3º ESO. Funciones: Generalidades .Propiedades de las …

3º ESO. Funciones: Generalidades .Propiedades de las funciones Actividades complementarias 1.- Halla las coordenadas de los siguientes puntos:

2.- Halla las coordenadas de los vértices del hexágono que se muestra en la figura. ¿Es un hexágono regular?. Justifica la respuesta. Determina su perímetro.

3.- Representa en los ejes de coordenadas los siguientes puntos:

A (4, 6), B (3, -5), C (-3, 0), D (-4, -2), E (0, -4), F ( 12

, 5), G ( 32

− , -2), H (4, 1,5)

4.- En una hoja de papel cuadriculado de tu cuaderno dibuja unos ejes de coordenadas cartesianas rectangulares, como los que se muestran en la ilustración adjunta, y dibuja la figura que se indica en cada uno de los siguientes casos: a) Un triángulo de vértices A(-3, -2), B(4, 1) y C(-1, 4). b) Un cuadrilátero de vértices: A(-2, -2), B(-1, 3), C(1, -2) y D(4, 1). c) Un cuadrado del que se conocen tres vértices: A(3, 3), B(-1, 3) y C(-1, -1). d) Un rectángulo del que se conocen tres vértices: A(-3,0), B(1,4) y C(4,1). 5.- En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, similar al utilizado en el ejercicio anterior, representa los puntos o región del plano que cumplen las siguientes condiciones:

3º ESO. Gráficas y Funciones 1

a) Su abscisa y su ordenada son iguales. b) Su abscisa es igual a 0. c) Su abscisa y su ordenada tiene signos opuestos. d) Su ordenada es igual a 0.

6.- ¿Cuál de las siguientes gráficas no corresponde a una función y por qué?

6.- El siguiente gráfico corresponde a tres personas. Describe cada una de ellas.

7.- Las siguientes gráficas describen a dos aviones ligeros, A y B. La primera gráfica muestra que el avión B es más caro que el A. ¿Qué otras informaciones podemos sacar de ella?

caso.

B

A

Antigüedad

Precio

B

A

Tamaño

Velocidad de crucero

Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o no justificando tu respuesta en cada

A

Capacidad

Autonomía de vuelo

B

• El avión más viejo es más barato • El avión más rápido es más pequeño • El avión más grande es más viejo • El avión más barato transporta menos

pasajeros • El avión que transporta menos pasajeros

debe repostar con más frecuencia


• El avión más rápido transporta menos pasajeros.

Dibuja en tu cuaderno dos sistemas de coordenadas cartesianas. En el primero de ellos, representa en el eje de ordenadas la antigüedad y en el de abscisas la velocidad. En el segundo, representa en ordenadas el tamaño y en abscisas la autonomía de vuelo. Representa en cada uno de ellos los dos puntos correspondientes a los aviones A y B. 8.- Escribe las fórmulas que corresponden a los siguientes enunciados: a) A cada número se le hace corresponder el mismo más dos. b) A cada número le corresponde el doble. c) A cada número se le asigna su cuadrado. d) A cada número le corresponde su inverso. e) A cada número le corresponde el cuádruple de su opuesto. 9.- Un litro de aceite cuesta 1,5 euros: a) Haz una tabla de valores

b) Haz la representación gráfica. c) Escribe la fórmula 10.- Dada la siguiente tabla de valores:

a) Describe verbalmente una función que se ajuste a este comportamiento. b) Escribe la fórmula. 11.- La fórmula de una función es y = 0,5x a) Describe verbalmente una función que se ajuste a este comportamiento. b) Haz una tabla de valores.

c) Haz la representación gráfica 12.- Escribe las fórmulas correspondientes a los siguientes enunciados e indica, en cada caso, si la relación es una función. a) Los ingresos obtenidos al vender manzanas a 1,2 €/kg. b) La cantidad que nos rebajan en una compra si nos hacen un 10% de descuento. c) La cantidad que pagamos si nos gravan con un 16% de IVA el precio marcado en los artículos que compramos. d) A cada número le corresponde su mitad y su doble. e) A cada número le corresponde su inverso más su opuesto. f) A cada número le corresponde la raíz cuadrada del mismo. g) A cada número le corresponde su raíz cúbica más el doble de su opuesto.


13.- Completa las tablas de valores de las siguientes funciones: a)

x - 2 23

− 12

3 0

( )2( ) 3 2f x x x= − − b)

x - 2 34

25

− 13

3

3( )2

xg xx−

=−

c)

x 34

− -1 34

− 43

0

3( )3 2

h xx−

=−

14.- Una función asigna a cada número comprendido entre -3 y 3 su cuadrado. a) Completa la siguiente tabla de dicha función: X 3

2− 2

5− 3

4

2 324

+

y

b) Escribe la ecuación correspondiente.

c) ¿Qué valor o valores de x tienen por imagen 94

; 4; 2?

d) Representa gráficamente la función. 15.- Calcula el dominio y el recorrido (conjunto imagen) de las funciones cuyas gráficas se presentan a continuación. ¿Alguna de ellas presenta simetrías respecto al eje de ordenadas? ¿Y respecto al origen de coordenadas?


b)

16.- Dadas las siguientes funciones, se pide:

a) Determinar su dominio más amplio. b) Decidir si sus gráficas son simétricas respecto al eje OY, o si son simétricas

respecto al origen.

( ) 2 1f x x= − ; ( ) 2

14

g xx

=−

; ( ) 3 3h x x x= − ; ( ) 5 5i x x= − ;

( ) 3

3k xx x

=−

; ( ) 2

2 43

xm xx x

+=

−; ( ) 2 4n x x= + ; ( ) 2 1r x x= +

17.- Relaciona cada una de estas gráficas con las ecuaciones que se presentan a continuación,

a) 1y x= +

b) 3y x=c) 2y x= 18.- Dada la siguiente función, calcula:

a) Máximos relativos b) Mínimos relativos c) Máximo absoluto d) Mínimo absoluto e) Crecimiento f) Continuidad


19.- Completa las gráficas siguientes sabiendo que corresponde a funciones pares:

20.- Completa las gráficas siguientes sabiendo que corresponde a funciones impares:

21.- La siguiente gráfica corresponde a una etapa de la Vuelta cuyo itinerario se describe a la izquierda.

a) Determinar la longitud de la etapa y el tiempo que tardaron los ciclistas en recorrerla. ¿Cuál fue la velocidad media?

b) ¿En qué tramos de la etapa han ido más rápido los ciclistas? ¿Y más despacio? c) ¿En qué momento comenzaron la ascensión al puerto de Fornolls? ¿Cuánto

tiempo tardaron en ascenderlo?. d) ¿Qué distancia hay entre las localidades de La Seo y Andorra y cuánto tiempo

tardaron en recorrerla?. ¿Qué velocidad media consiguieron en este tramo?

22.- La siguiente gráfica muestra la variación del volumen de agua que contiene un depósito desde el momento en que se inició su llenado hasta que quedó completamente vacío. Contesta razonadamente las siguientes preguntas.

Volumen (m3)

2100

1400

1200

a) ¿Cuál fue el máximo volumen de agua en edepósito?. ¿A qué hora se alcanzó dicho máximo?.

l

0 12 5 19 24 27 31

Tiempo (horas)


b) ¿Cuánto tiempo duró, en total, la operación de llenado de agua?. ¿Se interrumpió en algún momento la operación de llenado?. Si es así, indica cuanto duró la interrupción. c) ¿A qué hora comenzó a sacarse el agua del depósito?. ¿Cuánto tiempo tardó en vaciarse el depósito?. d) Determina la tasa de variación del vaciado del volumen del depósito en los siguientes intervalos: [19, 24]; [24, 27]; [27, 31]. ¿Qué conclusiones pueden obtenerse de los resultados obtenidos?. 23.- Aquí tienes dos tablas de valores:

Tiempo de combustión x (horas) 0 1 2

Altura de la vela y (cm) 8 6 4

Lado de la alfombra cuadrada

x (m) 1 2 3

Área de la alfombra y (m2) 1 4 9 a) ¿Cuándo dejará de arder la vela?. ¿Puedes completar la tabla de valores? b) ¿Para qué lado de la alfombra resultará un área de 25 m2?. ¿Puedes continuar la tabla de valores? c) La altura de la vela (y) varía según el tiempo que está encendida (x). El área de la alfombra cuadrada (y) varía según la medida del lado (x). ¿Qué diferencias hay entre las formas en que varían estas dos magnitudes?. ¿Qué forma tendrán sus gráficas?. Representa gráficamente ambas tablas y comprueba las repuestas dadas a la pregunta anterior. 24.- Di cuáles de estas funciones son continuas y, cuando existan, señala en qué puntos presentan discontinuidades.


e)

25.- Dada la función y x= a) Rellena la siguiente tabla de valores:

b) Represéntala gráficamente c) ¿Es continua? d) ¿Es simétrica? Si lo es di respecto de qué 26.- Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica y di si son crecientes o decrecientes: a) f (x) = -2x + 3 en [-1,5]

b) 12( )g xx

= en [3,4]

c) en 2( ) 3 4 5h x x x= − +1 2,3 3

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

d) ( ) 2

23

xk xx

=−

en 1 1,2 2

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

27.- Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica y di si son crecientes o decrecientes en dicho intervalo.

28.- La tabla de valores siguiente recoge el valor del ángulo interior de algunos polígonos regulares:


a) Completa la tabla de valores b) Halla una expresión matemática que nos permita saber el ángulo interior de un polígono regular conocido el número de lados que tiene c) Calcula el valor de la suma de los ángulos de cada polígono y establece una fórmula para calcularlo, conociendo en número de lados que tiene. 29.- Miguel ha medido este verano la temperatura del agua de su piscina todos los días cada 8 horas y ha calculado un valor medio diario. La representación gráfica es la siguiente:

a) ¿En qué intervalos de tiempo es creciente la función? b) ¿Cuándo es decreciente? c) ¿Se mantiene constante en algún momento? d) ¿Cuál es la temperatura máxima? e) ¿Cuál es la temperatura mínima? 30.- Una científica del Centro Superior de Investigaciones Científicas estudia el crecimiento de una población de bacterias. Con los datos que tiene ha elaborado la siguiente tabla:

a) Representa la función gráficamente b) ¿Son variables directamente proporcionales? c) ¿Cuál es la expresión matemática que representa el crecimiento de esta población de bacterias? 31.- La siguiente tabla recoge la medida del perímetro del cráneo de un niño durante los primeros meses de vida: Tiempo en meses 0 3 6 9 12 15 21 27 33Perímetro en cm 34 40 42 44 45 46 47 48 49

a) Haz una gráfica relacionando estas dos variables. Elige una escala adecuada. b) ¿Qué tendencia se observa en el crecimiento del cráneo de un niño? c) ¿Cuánto crees que medirá el perímetro craneal de un niño de 3 años?


3º ESO. Función Lineal y Afín 1.- De una función y = f(x) se sabe que para x = 0 toma el valor f(0) = 1 y por cada unidad que aumenta x, f(x) aumenta en 3 unidades. Indica, justificando la respuesta, cuál de las siguientes fórmulas corresponde a dicha función:

(i) y = 3x - 1 (ii) y = 1 - 3x (iii) y = 3x + 1 (iv) y = 3x

2.- Clasifica las siguientes fórmulas como funciones constantes, lineales, afines o no es función y dibuja su gráfica:

a) y = 4 b) x = -3 c) 2xy −

= d) y = 2x + 3

3.- Sea f(x) = -3x + n, donde n es una constante, cuando x aumenta en una unidad .....

(i) f(x) aumenta n unidades (ii) f(x) disminuye 3 unidades (iii) f(x) aumenta 3 unidades (iv) f(x) aumenta - 3 + n unidades

4.- Dibuja la gráfica de una función que pasa por los puntos A y B representados en el

e la figura y contesta la siguiente pregunta:

sistema de coordenadas cartesianas d

uántas gráficas diferentes que pasen por esos

uántas que sean rectas?

xplica la respuesta.

.- La rueda de una bicicleta mide 26 cm de radio.

s valores. ción.

hacer un trayecto de 1,5 km?

.- Un camión está cargado con cajas. Cada una pesa 20 kg y el camión vacío pesa 4500

a) Calcular el peso total del camión en el caso de que transporte 125 cajas. mión

na por W el peso total del camión y por x el número de cajas que transporta, escribir una ecuación que exprese W en función de x.

¿CB

A

X

Y

dos puntos podrían trazarse? ¿C E 5

a) ¿Qué espacio recorrerá al dar 5 vueltas? b) Haz una tabla de valores. c) Representa gráficamente lod) Halla la expresión algebraica de la fune) ¿Cuántas vueltas tendrá que dar la rueda para 6kg.

b) Determinar el número de cajas que transporta cuando el peso total del caes 6740 kg. c) Si se desig


7.- Dad función de la

edida de su lado: a la función que calcula el perímetro de un triángulo equilátero en

ma) Haz la tabla de valores:

b) Represéntala c) Escribe la fórmula y =

unción es?

e calcula el coste del trabajo de un técnico de lavadoras que cobra 0 euros por ir a casa y 20 euros por hora de trabajo:

d) ¿Qué tipo de fe) Halla la pendiente 8.- Dada la función qu1a) Haz la tabla de valores:

b) Represéntala. c) Escribe la fórmula y =

nción es? d) ¿Qué tipo de fue) Halla la pendiente.

23

x9.- Dada la función: ( )f x =− , calcula:

iimagen o valor de la función en –4/3

resenta gráficamente los pares de funciones siguientes en unos mismos ejes de oordenadas.

g (x) = -2x

a) f (-3) b) La imagen de –1/3 c) La antd) f (4) 10.- Repc¿Qué observas? a) f (x) = 2x y

b) 1 1( )2

f x x= y ( )2

g x x=

11.- Sin dibujar la gráfica, determina si los puntos P (2, 6) y Q (-1, 4) pertenecen a la ráfica de la siguiente función: y = 3x.

iones y di cuál es su pendiente y su ordenada.

g 12.- Representa gráficamente estas func

12

y x= − a)

23

xy −= b)

c) 3 15

xy −=

d) y

= -3


13.- ¿En qué puntos cortan los ejes de coordenadas a las gráficas de estas funciones? ) y = -4x a

b) y = -3x + 9

c) 2 43

xy = −

d) y

= 4

a cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones y preséntalas.

nte de una función afín es 3 y su ordenada en el origen 2. Represéntala.

14.- Indicrea) y = -2x + 1 b) y = 3x – 2 15.- La pendie 16.- Escribe la ecuación de las rectas representadas en el gráfico:

17.- Representa en los mismos ejes de coordenadas: ) y = 5 b) x = -3 a

c) x = 4 d) y = 0

e) 5− 2

y = f) x = 9/4x

lela a y = 4 que pasa por el punto (3, -4)

los puntos (2, -1) y (4, 0).

e Y en el mismo punto que la anterior.

1/2 y que pase por el punto: (1/2, 1/3).

-1).

azlo nalíticamente y luego comprueba el resultado representándolos.

18.- Halla la ecuación y haz la representación gráfica de: a) La recta parab) La recta paralela a x = 0 que pasa por el punto (-5, -2) 19.- Halla la ecuación de la recta y = mx + n que pasa por 20.- Dada la recta y = 3x – 2, halla una recta que pase por el punto (1, -1) y corte al ejO 21.- Calcula la recta paralela a y = -4x + 22.- Halla el punto de intersección de la recta 3x – 2y = 0 y la recta y = 6x – 2. 23.- ¿Cuál es el punto de intersección de las rectas y = 3 y x = -2? 24.- Halla la ecuación de la función lineal que pasa por el punto (3, 25.- Averigua si los puntos (1, -3/2); (4, -6) y (2,3) están en línea recta. Ha 26.- Representa gráficamente las funciones:


a) 34

xy = b) 1 27

xy − +−=

−

c) 1 x+ d) 222

y x= − 3x y x− =

27.- Indica cuál es la pendiente y la ordenada de las funciones:

a) 2 43

y = b) x − 3 26

xy = c) − 74

y x−= +

28.- En el nivel de la supe tre prficie terres la tem eratura decrece a razón de 6,4 ºC por m. de altura. Haz una gráfica que exprese el descenso de temperatura de 28 ºC a nivel k

del mar hasta alcanzar una altura de 11 km. 29.- Halla la pendiente de AB, BC y AC.

30.- Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,6) y tiene la misma

ordenada en el origen que la recta 124

xy −=

31.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, -4) y (2, 4).

ción orrespondiente si:

al. denada en el origen es -1. ¿Cuál es su pendiente?

) Pasa por (-2, 3) y (5, -4).

32.- Sabiendo que la imagen de x = 4,5 es y = 6, halla la ecuación de la funca) La función es constante. b) La función es linec) La función es afín y su or 33.- Escribe la ecuación de las siguientes rectas y dibuja su gráfica. a

b) Pasa por el punto 3⎛ ⎞ y su pendiente es , 25−⎜ ⎟

⎝ ⎠3

2− .

c) Pasa por el punto (-2, -1) y su ordenada en el geori n es 1. d) Pasa por (-2, 0) y es paralela a la recta y = -2x.

. e) Paralela a 4x – 3y = 4 y pasa por el origen de coordenadasf) Paralela al eje OX y pasa por el punto (5, 4). 34.- Halla la ecuación de las rectas a y b:


35.- Dada la función 4 52

xy −= localiza el punto de intersección de su gráfica con la

bisectriz del segundo cuadrante. 36.- Halla el punto de intersección de las rectas:

a) 3 27

xy −= b) 2x – 7y = 8

37.- Halla los vértices del triángulo definido por la intersección de las rectas que son la representación gráfica de las funciones siguientes:

a) 3 44

y x= − +

b) y = x – 5 c) y = 3 38.- Calcula el valor de la pendiente de la recta para que el área del triángulo de la figura sea 12 m2

39.- Un jardinero quiere hacer unos parterres en forma de triángulos isósceles de manera que todos tengan un perímetro de 5 m. Elabora una tabla de valores con algunas posibilidades para establecer cuanto tiene que medir el lado desigual en función de lo que midan los dos lados iguales. Representa gráficamente los valores y halla la expresión de la función correspondiente.


40.- Representa gráficamente en unos mismos ejes de coordenadas las funciones: a) y = 2x + 3

b) 1 33

y x−= +

c) y = 3

d) 5 93xy − +

=

e) ¿Qué observas? 41.- Un león que puede alcanzar una velocidad media de 70 km/h ve pasar un antílope que se desplaza a 40 km./h. Cuando el antílope está a 90 m del león, éste decide perseguirlo. a) ¿Cuántos metros separan al león del antílope después de 5 s de persecución? b) Si los dos animales se dirigen a un lago que se encuentra a 150 m, ¿quién llegará primero? c) ¿En qué momento y dónde se encuentran el león y el antílope? 42.- Si designamos por r1 a la recta que pasa por los puntos A y B. Se pide:

a) Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta r1.

B(3, 5)

A (1, 3)

X

Y

C(5, 1)

b) Hallar la ecuación de la recta r2 que pasa por C y es paralela a la recta r1 del apartado anterior. c) Hallar la ecuación de la recta r3 que pasa por C y por el origen. d) Determinar las coordenadas del punto en que se cortan las rectas r1 y r3.

43.- Sean las coordenadas de los puntos que aparecen en la gráfica A(2, 4); B(3, -3) y C(-4, -2).

a) Si r1 designa a la recta que pasa por C y B, hallar su ecuación. b) Hallar la ecuación de la recta r2 que pasa por B y es paralela a la recta que determinan los puntos A y C. c) Hallar la ecuación de la recta r3 que pasa por A y es paralela a la recta r1 del apartado a). d) Determinar las coordenadas del punto D en que se cortan las rectas r2 y r3. ¿Qué nombre recibe la figura geométrica cuyos vértices son los puntos ADBC?


44.- Encuentra las ecuaciones de las rectas en cada uno de los siguientes casos:

• Recta r1 de pendiente -2 cuya ordenada en el origen es -6.

• Recta r2 que pasa por el punto (2, 1) y su pendiente es 12

.

• Recta r3 cuya ordena en el origen vale -6 y pasa por el punto (6, -6). • Recta r4 que pasa por los puntos (-2, 2) y (4, 5).

¿Son algunas de ellas paralelas entre si?. Determina las coordenadas del punto de corte de las rectas r3 y r4. 45.- En un laboratorio han estudiado la longitud de una barra de metal (y), medida en mm, al someterla a una tensión x, obteniéndose los valores que se indican en la tabla:

x 4 8 16 64 y 51 52 54 66

a) Explicar que tipo de función expresa la dependencia de la variable y respecto a la variable x y hallar la correspondiente ecuación. b) Hallar la longitud de la barra de metal cuando está sometida a una tensión nula y su longitud cuando esta sometida a 32 unidades de tensión. 46.- El "peso teórico" en kilogramos (y) de una persona está relacionado con su talla en centímetros (x) por medio de una función polinómica de primer grado. Halla dicha función sabiendo que a una talla de 170 cm le corresponde un "peso teórico" de 65 kg. y a una talla de 180 cm. le corresponde un peso de 72'5 kg. 47.- Se considera el cilindro hueco de la ilustración 1. El diámetro de la base mayor mide 8 cm. Y su altura 10 cm. Se pide:

a) Expresar mediante una fórmula su volumen V como función del grosor x. b) Completar la tabla de dicha función para los valores de x que se indican: c) Representar gráficamente dicha función. d) A la vista de la gráfica ¿Sabrías indicar para qué grosor xresulta ser el

volumen V máximo?. Justifica la respuesta.

8 cm.

10 cm.

x

x V

0

1

3

5

7

48.- El área de un triángulo es igual a 2 m2 . Si se designa por x la base del triángulo y por y la altura. Se pide: a) Escribir una ecuación que exprese la relación funcional entre la altura y el área. b) Formar una tabla de valores y representar gráficamente dicha función.


49.- Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de la siguiente forma: a medida que A se va vaciando, B se va llenando. Estas son las gráficas:

En el eje de ordenadas se ha representado la capacidad, y, en litros mientras en el eje de abscisas se representa el tiempo, x, en minutos. a) Indica cuál es la gráfica del depósito A y cuál es la de B y escribe sus correspondientes ecuaciones. b) ¿Cuál es la velocidad de entrada y salida del agua? c) ¿En qué momento los dos depósitos tienen igual cantidad de agua?. ¿Cuántos litros tienen en ese momento?. d) ¿Cuánto tiempo tardará el depósito B en alcanzar el nivel que tenía inicialmente el depósito A? 50.- Las rectas r: 2x + 3y – 6 = 0; s: x – y – 7 = 0; t: y – 4 = 0, determinan un triángulo. Hallar las coordenadas de sus vértices. 51.- En el contrato de trabajo de un vendedor de libros le ofrecen dos alternativas: Contrato A: sueldo fijo de 1200 euros por mes. Contrato B: sueldo fijo mensual de 980 euros más el 20% de las ventas que haga de libros.

a) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes el vendedor, según la modalidad de contrato elegida, tomando como variable independiente el valor de las ventas de libros y como variable dependiente el sueldo.

b) ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para que gane lo mismo con cualquiera de las dos modalidades de contrato?

c) Determina para qué valores de ventas es más ventajoso el contrato A. ¿Y el contrato B?

52.- La siguiente gráfica corresponde a una función definida por intervalos o “trozos” mediante funciones lineales. Su ecuación puede escribirse en la forma:

( )1

1 11

ax b si xf x cx d si x

mx n si x

+ ≤⎧⎪= + − < <⎨⎪ + ≥⎩

−


Calcula los valores de a, b, c, d, m, y n. 53.- Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:

54.- Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:

a) b) ( )2 1 0

1 0x si x

g xx si x

− + <⎧= ⎨ + ≥⎩

( )2 1 0

3 05 2

x si xf x si x

x si x

+ <⎧⎪ 2= − ≤⎨⎪ − ≥⎩

<

c) ( ) 2h x x= + d) ( ) 2 1k x x= − +

e) f) ( )1 0

01 0

si xsig x si x

si x

− <⎧⎪= ⎨⎪ >⎩

0= ( )10

si x Zm x

si x Z∈⎧

= ⎨ ∉⎩


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