3.- SOLUCIONARIO ENSAYO EX CÁTEDRA Nº 1

Curso: Matemática

SOLUCIONARIO ENSAYO EX CÁTEDRA Nº 1

MATEMÁTICA

1. La alternativa correcta es D

El inverso multiplicativo de 1x + y

es x + y, luego 1 1 3 + 2 5

x + y = + = = 2 3 6 6

2. La alternativa correcta es B

a = 4 · 1 4 =

3 3; b = 8 · 1

6 = 8 4

= 6 3

; c = 6 · 18

= 6 3 =

8 4. Luego, a = b > c

3. La alternativa correcta es D El sucesor impar de 17 es 19 y el antecesor primo de 11 es 7. Luego, Matías tiene 19 + 7 = 26 años, y como su hermano es 5 años mayor la edad de éste será 26 + 5 = 31 años.


Como Claudia tiene 18 años, formamos la proporción 5 x =

9 18, para obtener la edad de

Rosita. Luego, la edad de Rosita es 10 años. En 6 años más la edad de Rosita será 16

años y la de Claudia 24 años. La nueva razón será 16 2 =

24 3.

5. La alternativa correcta es E

Como ocupa 56

le queda 16

de 5 12

, es decir: 1 1 1 11 11 · 5 = · =

6 2 6 2 12 kilos

Luego derrama 512

, lo que significa que le queda: 11 5 6 1 = =

12 kilo

12 12 2−

6. La alternativa correcta es C

=

1 1 4 3 1 = =

3 4 12 12−

− B = 1 1 1 · =

3 4 12A , luego A = B

7. a alternativa correcta es A

ara determinar el orden de estas fracciones, se buscarán fracciones equivalentes que

=

L Ptengan igual denominador, y luego se compararán los numeradores. A mayor numerador mayor es el valor de la fracción.

4 24 =

n 6n, b = 7 2

= 2n 6n

a 1 y c = 13 26 =

3n 6n

Luego el orden decreciente es: c > a > b

8. a alternativa correcta es B

i en 1 segundo recorre 60 metros, en 60 segundos recorre 60 · 60 = 3.600 metros.

9. a alternativa correcta es E

Trabajando sobre las expresiones:

I) b – a > 0 ⇒ 0 > a. (Verdadero) ue a ≤ 0 ⇒ a < 0 ó a = 0 (no ambas).

(Verdadero)

10. L alternativa correcta es D

C mo un cubo tiene 6 caras y el 50% de ellas es 3, es decir, hay 3 caras pintadas rojas

l cubo B sólo tiene 4 caras pintadas de color rojo, debido a la información del

or lo tanto el total de caras rojas de ambos cubos es de: 3 + 4 = 7.

L S L

II) a – b ≤ 0 ⇒ a ≤ 0. Verdadero, ya qBasta que se cumpla una de ellas para que sea verdadero.

III) -a > -b, al multiplicar la expresión por -1, se obtiene a < 0. a o

en el cubo A. Eproblema. P

2


Si α = 60º, al disminuirlo en el 25% de su medida, es decir:

25% de 60º =

25 1100

· 60º = 4

· 60º = 15º. Entonces, α = 60º – 15º = 45º. Luego el

complemento de 60º que es 30º, aumenta en 15º, para transformarse en 45º.

Para obtener el porcentaje de aumento se resuelve la siguiente proporción:

15 x =

30 100 ⇒ x =

15 · 10030

= 50%


·

L

109

6 · 15 = p2q2r2

p2q2r2 = 100 ⇒ pqr = ±10


+ n = 3 ⇒ (m + n)2 = 9

L m m2 + n2 + 2mn = 9 8 + 2mn = 9

2mn = 1

mn = 1

2


⊗ x =

1

316

⇒ 3 · 4x = 3

164 / : 3

4x = 1

1 4x = 4

6

-2

x = -2

3


[A – A-1 · B] · A-1 = A · A-1 – A-1 · A-1 · B

= 1 –

L

= 1 – A-2 · B -2⎛ ⎞1

2a⎜ ⎟⎠

· ⎝

13a

22a 1 ·

1 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 – a

= 1 – 24a

3a = 1 – 4

3a


s del vértice

L

-b -b, f

2a 2a⎡ ⎤⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣Coordenada

⎦

Por lo tanto: = -1 y f(-1) = 12

(-1)2 + (-1) + 52

-b -1 =

12a 2 · 2

= 2

∴ V = (-1, 2)

17. a alternativa correcta es C

ea a la medida de cada uno de los lados iguales del triángulo. Luego la base mide

ntonces, a + a + a + x = 60 ⇒ 3a = 60 – x

L Sa + x. E

a = 20 – x 3

∴ a + x = 20 + 23

x


ntonces, la suma de las edades actuales es: 19 + (n + 4) = n + 23

Edad hace 4 años Edad actual

L

Simón 15 19 Rocío n n + 4

E

4

19. a alternativa correcta es A L

2 2

2 2 2

(a a 20)(a a 2) a + 1 :

a(a 25)(a + 2a 8) a + 5a

− − − −

− − = (a 5)(a + 4)(a 2)(a + 1) a + 1

: a(a 5)(a + 5)(a + 4)(a 2) a(a + 5)

− −− −

= (a 5)(a + 4)(a 2)(a + 1) · a · (a + 5)a · (a 5)(a + 5)(a + 4)(a 2)(a + 1)− −

− −

= 1


2

-2 7 -2 7

3 2 -10 6 -10

-a · -b a · b =

(a ) · b a · b =

a-2 – 6 · b7 – (-10) = a-8 · b17


ean m = número total de manzanas y n = número total de naranjas.

2

S

Entonces, 66 2 %m = 3

2 m y 75%n = 3 n. 3 4

tado son iguales, se tiene: Como el número de manzanas y de naranjas en mal es2 m = 3

3 n de donde m = 4

9 n. 8

Luego, el total de fruta es m + n = 98

n + n = 178

n y el total de fruta en mal estado es

2 · 34

n = 32

n.

Por lo tanto la fracción pedida es:

3n

122 = 1717

n8


L x y a

= y b− ⇒ x a

1 = y b

− ⇒ x a = + 1

y b ⇒ x a + b

= y b

⇒ y b

= x a + b

5


omo ha completado

L

14

m – 5, le faltan para completar C

1 1 3m m 5 = m m + 5 = m + 5

4 4 4⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠


a opción C muestra que una paralela al eje y intersecta al gráfico y a un punto, por lo

uego, no es función.


e deben expresar ambos lados de la igualdad como potencias de igual base:

L Ltanto hay dos valores para x. L L S

x132⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 84x + 3

(2-5)x = (23)4x + 3

uego, utilizando la propiedad: am = an ⇒ m = n, con a distinto de -1, 0 y 1, se

5x = 12x + 9

2-5x = 212x + 9

Ltiene: -

-9 = 17x

-917

= x


< 1 – 3x ≤ 7

-2 ≤ x < 1

L -2-3 < -3x ≤ 6 1 > x ≥ -2 ⇒

6

27. La alternativa correcta es A

i (1, 2) es la solución del sistema, entonces reemplazaremos los valores de x e y por

S

1 y 2, respectivamente. Así el sistema queda de la siguiente forma a + 2b = 3

2a .

2b = 9−

uego resolvemos este sistema por el método de reducción, obteniéndose

a = 12 ⇒ a = 4


e deben expresar en cada caso igualdad de potencias de igual base y aplicar la

I) 5x =

L 3 L

Spropiedad an = am ⇒ n = m.

3

1

5 = 5-3 ⇒ x = -3 (Verdadero)

II) x 3 33 = -81 ⇒ x = 33 -81 = -27

3

= - 3 33 = -3 (Verdadero) III) x = - 9 = -3 (Verdadero)

29. L alternativa correcta es C

I) Al despejar y en la ecuación x + 3y – 6 = 0, se obtiene y = -

a

13

x + 2. Luego,

m = - 13

(Falso).

II) Al reemplazar y = 0 en la ecuación dada se obtiene x = 6 ∴ A(6, 0); y al

III) Se forma un triángulo rectángulo de catetos 6 y 2 ∴ Ár =

reemplazar x = 0, se obtiene y = 2 ∴ B(0, 2). Por lo tanto x + y = 8 (Falso).

6 · 2

2 = 6

(Verdadero).

7


f(-3) = -⎜2 – 3(-3)⎟ ⇒ -⎜2 + 9⎟ ⇒ -⎜11⎟ ⇒ -(11) = -11

31. L alternativa correcta es A

f(g(2)) = [-2 – 2,5]


I) Para m = -6 ⇒ x2 + 6x + 9 = y ⇒ b2 – 4ac = 36 – 4 · 1 · 9 = 0.

II) P ra cualquier valor de m entre -6 y 6 la parábola no intersecta al

III) Para cualquier valor de m menor que -6, la parábola intersecta en 2 puntos


Como una función es par cuando se cumple f(x) = f(-x), entonces por definición de


Utilizando la propiedad cambio de base se tiene:

=

a

= [-4,5]

= -5 a

∴ La parábola intersecta en un solo punto al eje x (Verdadero). a

eje x (Falso).

al eje x (Falso).

valor absoluto es verdadera la opción E.

3

a bg b · log c

logb logc ·

loga logb lo

logcloga

=

alog c =

8


D la observación del gráfico:

I) f(0) = 0 y f(3) = 0. (Verdadero)

erdadero)

1. (Falso)


g(3) = g(4 – 1) = f(3 · 4 – 9)

∴ f(3) = 3 · 3


l área de un rombo está dada por el producto de su base por la altura: A = b · h.

i su altura se triplica y su base se reduce a la tercera parte quedaría así:

e

II) No existen “saltos” entre [-2, 4]. (V

III) f(x) es creciente a partir de x = 2 y no de x = a

= f(3) 2 – 3 + 2

= 26 a

E S

A = b

· 3h = b · h, por lo tanto se mantiene igual. 3



I) Por LLA> los triángulos son congruentes. (Verdadero)

de. (Falsa)

40. L alternativa correcta es B

l triángulo rectángulo puede ser isósceles (y, en ese caso, tiene un eje de simetría), y

uego, sólo el escaleno nunca tiene eje de simetría.

a a

II) Por LLA> los triángulos son congruentes. (Verdadera)

III) Si las diagonales se dimidiaran entonces no sería deltoi a

Ede igual modo puede suceder con el triángulo obtusángulo.

L

9


Del primer dato se obtiene que k = 5, y del segundo dato se obtiene que h = -2.

42. L alternativa correcta es E

E ctángulo EFIH es de ancho

a

a

3 y largo 5 3 – 3 = 4 3l re , así su área es 12 cm2.

El triángulo ACF tiene base 5 , luego su área es 152

3 y altura 3 , o sea 7,5 cm2.

El cuadrado DEHG es de lado 5 3 – 3 = 4 3 , así su área es 48 cm2.


Se calcula el área total y se divide por el área del triángulo.


C mo BE = 12 por teorema de Pitágoras, entonces

a

a

AD + BC2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝

o⎠ · BE = 180.


D la información se desprende que: α + α + 2α = 180º

or lo tanto:

I) Es un triángulo rectángulo, ya que posee un ángulo de 90°. (Verdadera)

II) Es un triángulo isósceles, ya que posee dos lados iguales. (Verdadera)

III) No es un triángulo acutángulo, ya que posee un ángulo igual a 90° y deben ser

a e 4α = 180º α = 45º

P

menores de 90°. (Falsa)

10


I) No, ya que tienen sólo un ángulo igual.


Con los datos

a

II) No, ya que tienen sólo un ángulo igual.

III) Sí, ya que tienen dos ángulos iguales. a

AB ≅ BC y α = 30º; podemos indicar que el ángulo CAB es de 30º, B s idado que el ΔA C e sósceles de base AC . Además, α es un ángulo inscrito que

subtiende al arco AB y, por lo tanto, el áng lo del centro AOB es de 60º. Con esto el triángulo ABO es equilátero (radios de la circunferencia), determinando así que el ángulo ABO es de 60º.

u

Por último, el valor de x se obtiene por la propiedad de la suma de ángulos interiores en

x + 30º + 60º = 180º


60º O

A

B

C

x

α

60º

30º

un triángulo:

x = 90º

4

AB DC2− = 18º, despejando obtenemos que el arco DC mide 84º.


CFP ∼ ΔBFE (A – A)

a

Δ∴ CF : FB = CP : EB

CEn ΔAED se tiene: : AD = CP : AE D

CF : FB = CD : AAE = EB ⇒ Como D

11


l dato

L

EC // DB ,E nos permite utilizar teorema de Thales, es decir,

8 1 =

2x 1 x−5 ⇒ x = 15

22

omo BCC = 2x – 1, entonces

BC = 2 · 1522

– 1

BC = 411


Por Pitágoras se obtiene que AD = 4 cm y aplicando Euclides se tiene 36 = 4 . DB, de


l llevar la información a una gráfica, ésta queda:

e busca el valor de x, para ello utilizaremos la función tangente de un ángulo

tg 30º =

a

modo que DB = 9 cm. a

A

12 m 12 m

6 m 30º

x

x

S

6x

1 6 = x3

x = 6 3 m

12


I) El centro de gravedad corresponde a (3, 3, 3). (Verdadera) intersectarse y

II) Para que en el plano dos rectas sean paralelas deben noademás pertenecer al mismo plano. (Verdadera)

III) La diagonal de un cubo de arista a es a 3 . (Verdadera)



I) La probabilidad que sea mujer es de

L L

65120

, y la probabilidad de que elija el

plan biólogo, dado que es mujer, es de 2565

. Por lo tanto lo solicitado es

65 25 25 · =

120 65 120. (Verdadero)

II) La probabilidad que sea varón es de 55120

. (Falso)

ro)


F = 37

⇒

III) El total de los que elije el plan humanista son 45. (Verdade

5

B = 9 37 9 2 +

45 45 45−

F ∩ B = 2


(1ª extracción que sea blanca):

a

38

p

27

p(2ª extracción sea blanca sin reposición):

3 2 3p(B y B) = 8

· 7

= 28

13


Como la entrada tiene 3 maneras de ocurrir, el plato de fondo igualmente 3 maneras de

a

ocurrencia y finalmente el postre tiene 2 maneras que ocurra (sucesos independientes),

entonces la probabilidad de lo pedido es 1 1 1 1 · · = .

3 3 2 18


3 alumnos tienen 0 celular

ue tenga a lo más 2 celulares son 12 alumnos en total. Por lo tanto la probabilidad

a

6 alumnos tienen 1 celular 3 alumnos tienen 2 celular Q

pedida es 1512

.

60. a alternativa correcta es D L 50 + 40 + 30 + 35 + 40 + x

6 = 40

195 + x

6 = 40


a moda es 2, que es el dato que tiene la frecuencia más alta.

a mediana es 2, que es el dato que se encuentra en la posición central y además

a media aritmética es

45=x a

L Lsabemos que los alumnos encuestados son 27.

0 · 5 + 1 · 7 + 2 · 10 + 3 · 3 + 4 · 227

L = 1,62

I) Falsa, son iguales.

II) Falsa, es mayor. III) Verdadera.

14

62. alternativa correcta es A

I) Si la suma de los elementos de A es cero, entonces la media es

II) Es imposible saber cual es la mediana ya que la lista podría ser:

La

cero. (Verdadera)

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} o {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -9}. Ambas listas suman 0, pero tienen diferentes medianas. (Falso)

III) La moda no necesariamente es cero por la misma razón anterior. (Falso)


a 294.000

42 = x

100 ⇒ x = 700.000

l sueldo total del presupuesto familiar es de $ 700.000. Por lo tanto gasta en vivienda

64. L alternativa correcta es E

on el dato (1) no se sabe cuántas personas viven en la Región Metropolitana.

Región


Con el dato (1) sólo conocemos el valor del radio.

on el dato (2) al unir B con O, se obtiene el ΔAOB (isósceles) y el sector circular BOC

E$ 140.000, que es el 20%. a

C

Con el dato (2) no se sabe cuántas personas viven en la Región Metropolitana.

Para poder resolver el problema se necesita saber cuántas personas viven en laMetropolitana, y con ambas informaciones a la vez no se puede determinar. Por lo tanto se requiere información adicional. a

C

( 1 del círculo), pero no conocemos el radio.

4

on ambos datos se puede determinar el área. C

15


Asociamos P a la edad actual del Padre y J para la edad actual de Julio y planteamos las

) (P – 2) + (J – 2) = 40 ⇒ P + J = 44, tenemos una ecuación. ).

laramente, necesitamos de ambas ecuaciones para resolver el problema.


on el dato (1) no se puede determinar la altura del trapecio.

L

ecuaciones. Consideremos que como se trata de dos incógnitas, necesitamos tener dos ecuaciones: (1(2) P – J = 24, la diferencia continua entre sus edades (2ª ecuación C a

C

AB = 15, AD = 5 y la alturaCon el dato (2) se determina que del trapecio es 4.


Se requiere información adicional por que no conocemos medidas de trazos.


A artir de la opción (1), si AB = 10, no es posible determinar la medida del trazo CB,

n cambio de la opción (2)

∴ Se puede calcular el área. L

6

p

ya que no conocemos el tipo de triángulo que se representa.

⊥ CD AB y CD = 2 5E , sí es posible determinar la medida ar

or lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.


Dato (1) no es suficiente, ya que no se conoce el número de fichas azules.

les están el

del trazo CB, ya que se puede aplic el Teorema de Pitágoras. P a

Dato (2) no es suficiente, ya que no se conoce el número de fichas negras.

Datos (1) y (2) sirven, ya que nos dice que las fichas blancas, negras y azu

la razón 1 : 2 : 3 respectivamente. Así: P(negra) 2 1 = .

6 3

16

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