4 geometria analitica

Capítulo 7

Ecuación de la recta

Vamos a ver que, si a y b son dos números reales, el gráfico de la función f�x� � ax�b es una recta.Si a � � entonces f�x� � b es la función constante: su gráfico, (figura 7.1) es una recta paralela al eje x.

b

0 Una función constante

Figura 7.1

Supongamos a �� y b � �, entonces el gráfico de f�x� � ax es una recta que pasa por �� , comoen la figura 7.2, pues basta observar que:

Si x �� x� y� � recta ��y

x� tan� � a

x

yα

Una recta por el origen

Figura 7.2

El número a � tan� se llama la pendiente de la recta.Si a �� y b �� entonces el gráfico de f�x� � ax� b es una recta paralela a la anterior que pasa por

el punto �� b�, como en la figura 7.3. Diremos que la ecuación y � ax� b es la ecuación de una recta, oque la recta es el lugar geométrico de los puntos del plano que satisfacen la ecuación. Esto significa queun punto P de coordenadas �x�� y��, está en la recta, si y sólo si sus coordenadas satisfacen la igualdad:y� � ax� � b.

En la ecuación y � ax�b aparece la y «despejada». En general, una ecuación linealAx�By�C � �,donde A y B no son nulas simultaneamente, representa una recta, porque si B �� , despejando y

obtenemos y � �A

Bx�

C

B, que es la recta de pendiente�

A

B. Si B � � y A �� la ecuación Ax�C � �

representa la recta paralela al eje y por el punto �C

A.

En una recta vertical, es decir donde el ángulo ángulo � es�

�diremos que tiene «pendiente infi-

nita». Esta recta vertical no es el gráfico de ninguna función, (figura 7.4). Por esta razón es preferible

94 Ecuación de la recta

Recta con pendiente a, que corta el eje de lasordenadas (eje y) en el punto �� b�

y

x

b

b

y=ax+b

y=ax

ax

α

tan = aα

Figura 7.3

Recta vertical

α

-C/A

Figura 7.4

pensar en términos de «ecuación de la recta» o de «lugar geométrico» como un conjunto de puntoscuyas coordenadas satisfacen una ecuación, en vez de pensar en términos de gráficos (de funciones).Obtenemos así todas las rectas del plano, incluso las verticales.

7.1 Geometría Analítica: método de las coordenadasEl introducir coordenadas en el plano, y caracterizar conjuntos de puntos como curvas o regionesmediante ecuaciones, nos permite estudiar las propiedades geométricas de esos conjuntos, usandopara ello las propiedades de las ecuaciones que las representan. Este método se llama GeometríaAnalítica, y fue propuesto independientemente por Pierre Fermat (1601- 1665) y por René Descartes(1596-1650). No es realmente una nueva geometría sino un método para estudiar geometría.

Vamos a comenzar estudiando las rectas y circunferencias en el plano. El primer problema esencontrar la ecuación de una recta que tiene ciertas propiedades o restricciones.

7.2 Ecuación de una recta que pasa por un punto PSi el punto P tiene coordenadas �x�� y�� y la recta y � ax � b tiene que pasar por P , entonces lascoordenadas �x�� y�� deben satisfacer la ecuación, es decir y� � ax� � b.Eliminando b de las ecuaciones, esto es, restando miembro a miembro

y � ax� b

y� � ax� � b

obtenemos y � y� � a�x � x�� , que es la ecuación general de la recta que pasa por P , (figura 7.5).Observe que si la recta no es vertical, es decir x � x� �� entonces podemos dividir por x � x� y

obtenemos que a �y � y�

x� x�es la pendiente de la recta.

7.3 Recta que pasa por dos puntos 95

y

y0

xx0

P

Recta por un punto P �x�� y��

Figura 7.5

Por supuesto que hay infinitas rectas que pasan por P . Cada valor arbitrario que demos a la pen-diente a, determina una recta por P .

Observación Interesante: El número de rectas que pasa por un punto P es infinito. La pendiente, elnúmero a, da una biyección entre R y todas las rectas no verticales por P . Hay entonces un «continuo»de rectas por P , pero las propiedades «geométricas» de este continuo difieren de las de R, puesto queexiste una recta vertical. Si trazamos una circunferencia de centro P , cada recta por P está determinadapor dos puntos opuestos q y q � en la circunferencia, (figura 7.6) y la recta vertical determinada por eldiámetro vertical. La geometría de las rectas por P se parece más a la de la circunferencia que a la de

Q

Q'P

Todas las rectas por un punto

Figura 7.6

R.

7.3 Recta que pasa por dos puntosSi tenemos dos puntos distintos, P� de coordenadas �x�� y�� y P� de coordenadas �x�� y��, entoncesexiste una única recta que pasa por ambos. Para encontrar la ecuación de esta recta, escribimos laecuación de una recta genérica que pase por P�: y�y� � a�x�x��, (figura 7.7) y ponemos la condiciónde que esta recta pase por P�: y� � y� � a�x� � x�� entonces, si la recta no es vertical, es decir si

x� � x� �� , podemos calcular a �y� � y�

x� � x�y obtenemos entonces finalmente la ecuación

y � y� �y� � y�

x� � x��x� x��

Si la recta es vertical, es decir si x� � x�, la ecuación es: x � x� �� x��

7.4 Rectas ParalelasDos rectas no verticales, son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Las ecuaciones serány � ax � b y y � ax � b� . Por ejemplo: halle la ecuación de la recta paralela a una dada y que pasapor el punto P de coordenadas �x�� y��. Dada la recta y � kx � b, escribimos la ecuación generalde las rectas que pasan por P , (figura 7.8) y � y� � a�x � x�� y fijamos el valor a � k. la ecuacióny � y� � k�x� x�� esta totalmente determinada por el valor k � R. Hemos encontrado una expresión


La recta por dos puntos

y -y2 1

x -x2 1

P2

P1

α

Figura 7.7

Recta paralela por un punto P

P

y=kx+b

Figura 7.8

analítica del postulado de Euclides: por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única rectaparalela a ella.

Si la recta hubiera sido vertical, de ecuación x � c, entonces la paralela por P hubiera tenidoecuación x � x�.

7.5 Rectas Perpendiculares

Veamos que dos rectas (no verticales) con pendientes a y a�, son perpendiculares si y sólo si las pen-

dientes satisfacen la relación a � �

�

a�(o a a� � ��) (figura 7.9). En efecto, si la recta y � a�x � b� es

perpendicular a la recta y � ax� b entonces

a� � tan�

�

��

�

tan��

�

a

Pendientes de rectas perpendiculares

γ=π/2+α

α

π/2

Figura 7.9

7.5 Rectas Perpendiculares 97

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por P �x�� y�� y es perpendicular a larecta y � ax � b. Sabemos que la ecuación general de la recta que pasa por el punto P esy � y� � m�x� x��. Luego, como esta recta debe ser perpendicular a la anterior, entonces

m � ��

ay, por lo tanto, la ecuación es y � y� � �

�

a�x� x��.

1. Determinar cuáles de los puntos �� , �� , �� , ��, ��, �� están situados enla recta �x� �y � � � y cuáles no lo están.

2. Los puntos A�B�C�D�E están situados en la recta �x� �y � � � sus abcisas son 4, 0, 2, -2, -6respectivamente. Determinar las ordenadas de esos puntos.

3. Determinar los puntos de intersección de la recta �x � �y � �� con los ejes coordenados ydibujar la recta en el plano.

4. Hallar los puntos de intersección de las rectas

�x� y � ��

�x� �y � ��

5. Los lados de un triángulo están sobre las rectas

x� �y � �� x� �y � � � � x � �

Determinar las coordenadas de sus vértices.

6. Un paralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas x � �y � � � � �x � y � � y una desus diagonales sobre la recta �x� �y � � � determinar las coordenadas de sus vértices.

7. Dada la recta �x� �y � � , hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,1) y es

(a) paralela a la recta dada.(b) perpendicular a la reta dada

8. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del triángulo A��, B�� ,C�� y son paralelas al lado opuesto.

9. Dados los puntos medios de los lados de un triángulo M�� , M�� , M�� hallar lasecuaciones de sus lados.

10. La altura es la recta que pasa por un vértice del triángulo y es perpendicular al lado opuesto.Dados los vértices del triángulo A�� , B��, C�� hallar las ecuaciones de sus alturas.

11. La mediana es la recta que une un vértice de un triángulo con el punto medio de su lado opuesto.Dados los vértices del triánguloA��,B�� ,C�� hallar la ecuación de la perpendicularbajada desde el vértice A a la mediana trazada desde el vértice B.

12. Hallar las ecuaciones de los lados y de las medianas del triángulo que tiene como vérticesA�� ,B��, C�� .

13. Dados los vértices consecutivos de un cuadrilátero convexoA�� ,B�� , C�� ,D��determinar el punto de intersección de sus diagonales.

14. Hallar en la recta �x�y�� un punto P de manera que la suma de sus distancias a los puntos�� , �� sea mínima.

15. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen, b, de la recta �x� �y � �.

16. Pruebe que la ecuación de la recta que corta al eje X en �a� � y al eje Y en �� b� esx

a�y

b� �.

(¿Hay restricciones?).

17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P �� y es paralela a la recta que pasa porA�� y B�� .

18. Halle la ecuación de la recta que pasa por A�� y que es perpendicular a la recta �x� y � .Encontrar el punto de corte de ambas rectas.

19. Dibuje las rectasx

�y

�� y

x

�

y

�� . ¿Son estas rectas perpendiculaes o paralelas?


20. Encuentre una fórmula para el ángulo entre dos rectas que se cortan y � ax� b y y � cx� d, entérminos de a y c (las pendientes de las rectas dadas).

21. Halle el ángulo de corte de las dos rectas �x� y � � � � y �x� �y � �

22. Determinar el ángulo formado por las rectas:

(a) �x� y � � �� x� �y � �

(b) �x� �y � � �� x� �y � � � �

(c) x� �y � � � �� x� �y � � � �

(d) �x� �y � � � �� x� �y � � � �

23. El punto �� es un vértice del cuadrado cuya diagonal está en la recta x� y � �. Hallar lasecuaciones de los lados y de la otra diagonal.

24. Desde el punto �� se dirige hacia el eje x un rayo de luz con una inclinación de un ángulo �.Se sabe que tan� � �. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están los rayos incidente yreflejado.

25. Demostrar que la ecuación de la recta que pasa por el punto M y es paralela a la recta Ax�By�C � �, puede escribirse

Ax� x�� By � y��

26. La mediatriz es la recta que trazada por el punto medio de un lado de un triángulo es perpendicu-lar a dicho lado. Hallar las mediatrices del triángulo que tiene como vértices A�� , B��,C�� .

27. Si � � � son enteros positivos, demostrar que las coordenadas del punto P x� y� el cual divide al

segmento de recta P�P� en la razón ��

, es decir,jP�P j

jP�P�j��

�, vienen dadas por las fórmulas

x ��x� � � � ��x�

�� y �

�y� � � � ��y��

siendo x�� x�� las coordenadas del punto P� y x�� y�� las del punto P�.

28. Escribir las ecuaciones de las mediatrices de los lados del triángulo de vértices A�� , B�� ,C�� y determinar las coordenadas del circuncentro (se llama así al punto en que se cortanlas mediatrices y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo dado).

29. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que forman ángulo de �� con la recta x � �y � � � � yque pasan por el origen de coordenadas.

30. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas r� y r� definidas de lasiguiente forma: r� pasa por el punto A�� y forma un ángulo de �� con la dirección positivadel eje x, r� pasa por el punto B�� y corta el eje x en un punto c tal que el área del triánguloABC es igual a 12.

31. Dada la recta r� de ecuación �y � �x � � y el punto P ��

(a) Hallar la ecuación de la recta que para por P y es perpendicular a r�.(b) Hallar una fórmula para la distancia desde un punto Q � x�� y�� a una recta r � fax� by�

c � �g, donde a� b� c� x�� y� � R.

32. Hallar las ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices A��, B�� , C�� ycomprobar que las tres medianas se intersectan en un punto.

33. Demostrar que los segmentos de recta que unen los puntos medios consecutivos de los lados deun cuadrilátero cualquiera forman un paralelogramo.

34. Por un punto P cualquiera del plano pasan infinitas rectas. El conjunto de estas infinitas rectas sellama haz de rectas de vértice P . Sea r� una recta de ecuación A�x�B�y�C� � � y r� otra rectade ecuación A�x � B�y � C� � � (no paralela a la anterior) y sea � un número real cualquiera.Demostrar que la ecuación:

A�x�B�y � C� � �A�x�B�y � C��

representa un haz de rectas cuyo vértice es el punto de intersección de r� y r�.

7.5 Rectas Perpendiculares 99

35. Utilizando lo aprendido en el ejercicio anterior y sin hallar las coordenadas del punto de intersec-ción de r� y r� contestar las siguientes preguntas, siendo las ecuaciones de r� � �x� �y � � � �y de r� � �x� �y � � � �

(a) Hallar la recta del haz que pasa por � ��.

(b) Hallar la recta del haz paralela al eje x.

(c) Idem paralela el eje y.

(d) Idem perpendicular a la recta �x� y � � � �.

(e) Hallar la recta del haz que forma un triángulo isósceles con los ejes de coordenadas.

ejercicio 36

Figura 7.10

36. Determinar un triángulo ABC conociendo un punto A, la longitud del lado BC, la pendiente dela recta sobre la que se encuentra el lado BC y sabiendo que B � C y que el punto P está sobrela recta BC.

Datos: A�� P �� mBC � �

�� jBCj � �

Solución: la recta r está completamente determinada pues conocemos un punto y la pendiente.El problema se reduce a trazar desde A dos rectas AB y AC que forman ángulos iguales con r ytales que determinen un segmento sobre r de longitud dada igual a 5.Una forma simple de resolverlo, vea la figura 7.10, teniendo en cuenta que la altura AL pasa porel punto medio de BC, es determinar las coordenadas del punto L y llevar a cada lado de L

segmentos de longitudjBCj

�y hallando los puntos B y C.

Ecuación de la recta AL que pasa por A y es perpendicular a r:

mAL � �

mBC

� ��

AL � y � � � ��x� �� y � ��x� �

Ecuación recta BC � y � � �

�x� �� y � x

��

Coordenadas del punto L, intersección de AL y BC:

�y � ��x� �y � x

��

��

��

� � � �

�x� �� x � ��

�� y � ��

�

L� ��

jBLj � jLCj ��

�jBCj �

�

� �

�

Como se conoce la pendiente de BC, mediante una simple regla de tres, que resulta de aplicar elteorema de Thales, se determinan los incrementos que debemos dar a la abcisa y ordenada de Lpara obtener las coordenadas de C y B


ejercicio 36

Figura 7.11

p�

��

�

�

�x� �x �

p�

p�

��

�

�

�y� �y �

p�

�XC � xL ��x xB � xL ��xYC � yL ��y yB � yL ��y

xC ��

��p� xB � ��

��p�

yC ��

��

�yC � ��

��

�

Queda determinado el triángulo ABC por las coordenadas de los tres vértices:

A �� B

��

��p� �

��

��

�

�� C

��

��p� �

��

��

p�

�

��

Capítulo 8

Ecuación de la circunferencia

8.1 Distancia entre dos puntos

Establecido un sistema cartesiano en el plano (coordenadas x� y), el teorema de Pitágoras nos permitehallar la distancia entre dos puntos P� de coordenadas �x�� y�� y P� de coordenadas �x�� y��, (figura 8.1) con la fórmula:

d�P�� P�� p�x� � x�� y� � y��

La distancia entre dos puntos

Figura 8.1

Definición: Una circunferencia de centro C �x�� y�� y de radio r, donder es un número real positivo, es el lugar geométrico de los puntos P , queestán a distancia r de C.

Entonces, las coordenadas �x� y� de P (figura 8.1 ) deben satisfacer la ecuaciónd�P�C� �

p�x� x�� y � y�� r, y al elevar al cuadrado ambos miembros obtenemos la

ecuación

�x� x�� y � y��

� � r�(8.1)

Por otro lado todo punto de coordenadas �x� y� que satisface la ecuación anterior, tambien está a dir-tancia r del punto central C�x�� y��, así que 8.1 es la ecuación de la circunferencia buscada.

102 Ecuación de la circunferencia

Un punto P en la circunfurencia

Figura 8.2

Observación importante: la circunferencia anterior no puede ser el gráfico de una fun-ción ya que a cada valor x del dominio debería corresponder dos valores de f�x�, lo que nopermite definir la función. Pero si tomamos sólo media circunferencia, entonces la funciónf estará definida en el intervalo �x� � r� x� � r� por la fórmula

f�x� � y� �pr� � �x� x��

(si tomamos el valor positivo de la raíz) y f tiene como gráfica la media circunferenciasuperior en la figura 8.3 .

Media circunferencia superior de centro �x�� y��

Figura 8.3

Por otro lado la función

g�x� � y� �pr� � �x� x��

tiene como gráfica la semicircunferencia inferior. Igualmente es posible construir otras fun-ciones cuya gráfica este compuesta por arcos tomados de las semicircunferencias superior einferior, por ejemplo definidas por trozos. Escriba y dibuje usted un ejemplo de esto último.

La circunferencia es un lugar geométrico; el lugar geométrico de los puntos P que equidistan deotro punto C. Hemos visto que, analíticamente, ese lugar se describe con una ecuación dada por unpolinomio de segundo grado en las variables x e y:

�x� x�� y � y��

�� r

� � �

Efectuando operaciones y ordenando el polinomio obtendremos:

x� � y

�� x�x� �y�y � x

�

� � y�

� � r� � �

8.2 Ejercicios: circunferencias y rectas 103

El polinomio de segundo grado más general en dos variables es el siguiente:

Ax� �By

� � Cxy �Dx�Ey � F

donde A� B� C D� E� F son números reales. Si A �� podemos asumir A � �, dividiendo por Atodos los coeficientes del polinomio.

Miremos un polinomio de segundo grado en x y y como el anterior pero con A � �. Para que estepolinomio represente una circunferencia, debemos tener que A � B � �� C � � y

�F � �E

��

D

��

En efecto, en este caso el polinomio es x� � y� � Dx � Ey � F . Hacemos ��x� � D� ��y� �E� x�� y�� r� � F y obtenemos:

x� � �D

�� y� � �

E

�y r� � �F � �

D

��

E

��

Con esta notación el polinomio es �x� x�� y � y��

� � r� y la ecuación

�x� x�� y � y��

�� r

� � �

representa la circunferencia de centro �x�� y�� y radio r � �.

Ejemplo: Sea P �x� y� � Ax��By��Cxy�Dx�Ey�F un polinomio de segundo grado

tal que A � B � �� C � � y �F � �E

��

D

�� , entonces la ecuación P �x� y� � � no

representa ningún lugar geométrico porque, haciendo x� � �D

�y y� � �

E

�� P �x� y� � �

es equivalente a la ecuación �x � x�� y � y��

� � �F � x�� y�� . No existe ningúnpar �x� y� que verifique esta ecuación (sería una circunferencia de «radio imaginario»).

8.2 Ejercicios: circunferencias y rectas1. Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro �� y radio �.

2. Lugares geométricos:

(a) Sean los puntos A�� y B�� . Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntosP �x� y� del plano tales que,

d�P�B�

d�P�A��

Ayuda: Considere

d�P�B�

d�P�A��

p�x� �� y�p�x� �� y�

� �

Asi, �x� �� y� � ��x� �� y�� es una circunferencia de centro �� y radio �.(b) Dados dos puntos fijos cualesquiera,A� B, demuestre que el lugar geométrico de los puntos

P del plano tales que,d�P�B�

d�P�A�� k constante

es una circunferencia. Halle esa circunferencia.(c) Dados dos puntos fijos cualesquiera, A� B. Halle la ecuación del lugar geométrico de los

puntos P del plano tales que,d�P�A�� d�P�B�� k constante

Demuestre que es una recta perpendicular a la recta que pasa por A y B.

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia �x � �� y � �� en el punto�� .

104 Ecuación de la circunferencia

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto donde la recta �x��y�� corta al eje X y que pasa por el punto donde la recta �x� y � � � � corta al eje Y .

5. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por �� y �� y cuyo centro está en la rectax� �y � � �.

6. Considere dos puntos fijos A�a�� a�� y B�b�� b�� en el plano.

(a) Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos P �x� y� que equidistan de A y deB.

(b) Pruebe que es una recta perpendicular a AB. Pruebe que es la mediatriz del segmento AB.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como centro C�� y que pasa por el puntoA�� .

8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A�� yB�� y su centro estásituado en la recta �x� y � � � �.

9. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x� � �x � y� � �y � � , que latoca en el punto del segundo cuadrante donde x � ��.

10. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A�� y cuyo centro es el puntode intersección de las rectas �x� y � � � � y �x� �y � � � �.

11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A�� y B�� y su centro estásobre la recta �x� �y � �� .

Si se tienen dos lugares geométricos, representados por ecuaciones f�x� y� � � y g�x� y� � �,hallar los puntos de intersección de los dos lugares geométricos equivale a resolver el sistema deecuaciones en x y y.�

f�x� y� � �g�x� y� � �

12. Encuentre los puntos de corte de la recta x� y � y la circunferencia x� � y� � �.

13. Sea P �� y la recta �x� �y � � �, encuentre la distancia de P a la recta. Esto es la mínimadistancia d�P �� Q�x� y�� donde Q�x� y� es un punto de la recta.

Capítulo 9

Secciones Cónicas

9.1 La ParábolaDefinición: Una parábola es el conjunto de todos los puntos P del pla-no que equidistan de una recta fija L, llamada directriz, y de un puntoF (que no está en L), llamado foco.

Llamaremos eje (de simetría) de la parábola a la recta perpendicular a la directriz L que pasa porel foco F . Al punto medio entre F y L lo llamaremos vértice de la parábola (ver Figura 9.1 ).

V

F

P

EJE

DIRECTRIZ

Una parábola

Figura 9.1

A continuación encontraremos analíticamente la ecuación de la parábola que tiene como foco alpunto F �� p� y como directriz a la recta de ecuación y � �p. Es fácil ver que esta parábola tiene comovértice al origen y como eje de simetría al eje y. Además, según la definición, P �x� y� es un punto de laparábola si y sólo si d�P� F � � d�P�L� es decir:

px� � �y � p�� y � p�

Elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando:

106 Secciones Cónicas

x� � �y � p�� y � p��

x� � y

�� yp� p

� � y� � �yp� p

�

x�� yp � �yp�

Nos queda:

x� � �py�(9.1)

La ecuación 9.1 se llamada la forma canónica de la ecuación de una parábola que tiene como directriza la recta horizontal L de ecuación y � �p y como foco F �� p�, y un punto está sobre esta parábola siy sólo si cumple con esta ecuación. Si p � �, la parábola se abre hacia arriba como en la Figura 9.2 . Sip � �, la parábola se abre hacia abajo.

Una parábola con eje vertical

F(0,p)

P'(x,-p)

P(x,y)

V

y

y=-p

x=4py2

x

Figura 9.2

De manera similar podemos ver que la forma canónica de la ecuación de una parábola que tienecomo directriz a la recta vertical L de ecuación x � �p y como foco F �p� �� es

y� � �px�(9.2)

En este caso, si p � �, la parábola se abre hacia la derecha como en la Figura 9.3 . y si p � �, la parábola

Una parábola con eje horizontal

P'(-p,y)

F(p,0)

P(x,y)

V

y

x=-p

y=4px2

x

Figura 9.3

se abre hacia izquierda.

Ejemplos

1. Encuentre el foco y la directriz de la parábola de ecuación x � ��

y�.

9.1 La Parábola 107

y

x

F(-9/4,0)x=9/4

La parábola y� � ��x

Figura 9.4

Respuesta. Reescribiendo la ecuación dada como y� � ��x obtenemos que �p � �� es decir,

p � �

�

�. Por lo tanto, el foco es F ��

�� y la directriz es la recta L de ecuación x �

�

�(ver

Figura 9.4 en la página 107 ).

2. Determine la ecuación de la parábola con vértice �� , que tiene al eje y como eje de simetría yque pasa por el punto P �� .Respuesta. Según las condiciones dadas, la ecuación de la parábola es de la forma x� � �py. ComoP �� está sobre la parábola, �� p, es decir que p � �

��

�. Por lo tanto, la ecuación

de la parábola es: x� � �y.

9.1.1 Forma canónica de ecuación de la parábolaAhora buscaremos la forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice V �h� k� y directrizparalela a uno de los ejes coordenados.

� Si la directriz es paralela al eje X y el vértice de la parábola es V �h� k�, el eje de simetría esla recta vertical x � h. Supongamos que el foco es el punto F �h� k p�, entonces la directrizL de la parábola es la recta horizontal y � k � p. P �x� y� está sobre la parábola si y sólo si,d�P� F � � d�P�L�, es decir:

p�x� h�� y � �k p�� y � �k � p��


�x� h�� y � �k p�� y � �k � p��

�x� h�� y�� y�k p� �k p�� y

�� y�k � p� �k � p��

�x� h�� py �k p�� py �k � p��

�x� h�� py k� pk p

� � py k�� pk p

�

�x� h�� py pk � py � pk�

Nos queda:

�x� h�� p�y � k��(9.3)

Como antes, si p � �, la parábola se abre hacia arriba como en la Figura 9.5 en la página 108 , ysi p � �, la parábola se abre hacia abajo.Una forma alternativa, sencilla, rápida y elegante de obtener las ecuaciones canónicas anterioresse tiene partiendo de la forma de las ecuaciones con vértice en el origen y luego cambiar variables.Que el lector cambie x �� x� h y y �� y � k e interprete el significado de estos cambios.


Una parábola con eje vertical y con vértice �h� k�

V(h,k)

P(x,y)

y

y=k-p

x

F(h,k+p)

(x-h)=4p(y-k)2

Figura 9.5

� Si la directriz es paralela al eje Y y el vértice de la parábola es V �h� k�, el eje de simetría es la rectahorizontal y � k. Supongamos que el foco es el punto F �h � p� k�, entonces la directriz L de laparábola es la recta vertical x � h�p. De manera similar podemos ver que, en este caso, la formacanónica de la ecuación de la parábola es:

�y � k�� p�x� h��(9.4)

Aquí, si p � �, la parábola se abre hacia la derecha como en la Figura 9.6 , y si p � �, la parábola

La parábola �y � k�� p�x� h�

F(h+p,k)

V(h,k)

y

x=h-p(y-k)=4p(x-h)p 0>

2

x

y=k

Figura 9.6

se abre hacia la izquierda.

Ejemplos

1. Determine la ecuación de la parábola que pasa por el origen, tiene vértice V �� y su directrizes paralela al eje Y .

Respuesta. Como el vértice de la parábola es V �� y su directriz es paralela al eje Y , la formacanónica de su ecuación es:

�y � �� p�x� ��

Si la parábola pasa por el origen, entonces �� es solución de esta ecuación, es decir �� p�� . Por lo tanto p � � y la ecuación buscada es:

�y � �� x� ��

2. Encuentre el foco y la directriz de la parábola de ecuación y� � y � � � x.

9.1 La Parábola 109

Respuesta. Podemos completar cuadrados del lado derecho de la ecuación. Sumando y restado 16nos queda:

�x � y� � �y � ��

Esto es equivalente a:

y� � �y � �� x

�y � �� x

�y � �� x� �

De aquí que la forma canónica de la ecuación de la parábola dada es:

�y � �� x� ��

Por lo tanto, p � �

�, el foco es el punto F ��

�� F � �

�� y la directriz es la recta vertical

x � �

�, ver Figura 9.7 ,

F(9/2,-4)

V(4,-4)

y

x=7/2

x

-4

2x=y +8y+242

La parábola �y � �� x� �

Figura 9.7

Ejercicios

1. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de cada una de las siguientesparábolas:

(a) x� �

�

�y

(b) x� � ��y

(c) y� � �x

(d) �x � �y�

(e)�

�x �

�

�y�

(f) y� � �

�

�x

(g) �y � ��

��x� �

(h) y� � ��x� �

2. Escribir la ecuación de cada parábola que tenga las propiedades indicadas y graficar:

(a) Foco en � ��, directriz y � �.

(b) Directriz y � � �

�, vértice � � .

(c) Vértice � � ; eje vertical; el punto �� está en la parábola.

(d) Vértice ��, directriz x � � �

�.


9.2 La Elipse

Definición: Una elipse es el conjunto de todos los puntos P del plano(lugar geométrico) tales que la suma de las distancias de P a dos puntosfijos F� y F� del plano (llamados focos) es constante.

Llamaremos centro de la elipse al punto medio entre F� y F� (ver Figura 9.8 ).

Una elipse general

F

F

centro

2

1

P

Figura 9.8

A continuación encontraremos las ecuaciones de las elipses que tienen como centro al punto C�� y como focos a los puntos F��c� �� y F��c� ��, c � � (ver Figura 9.9 ). Denotemos por �a a la suma

Una elipse con centro C�� y con focos lospuntos F��c� �� y F��c� ��

y

xO F(c ,0)

2F( -c ,0 )1

P(x ,y )

Figura 9.9

constante de las distancias de F� y F� a un punto P sobre la elipse (a es un parámetro adicional que serequiere para determinar la elipse). En la Figura 9.10 en la página 111 , podemos ver que a � c, puesla suma de las longitudes de dos lados de un triángulo (d� � d� � �a) es mayor que la longitud deltercer lado (�c). Por definición P �x� y� está en la elipse si y sólo si d�P� F�� d�P� F�� a, es decir:

p�x� c�� y� �

p�x� c�� y� � �a�

O lo que es lo mismo:p�x� c�� y� � �a�

p�x� c�� y��


�x� c�� y� � �a� � �a

p�x� c�� y� � �x� c�� y

�

x� � �cx� c

� � �a� � �ap�x� c�� y� � x

�� cx� c

�

a�� cx � a

p�x� c�� y��

9.2 La Elipse 111

y

x(c,0)(-c,0) O

(a,0)(-a,0)

(0,b)

ba

c

(x/a) +(y/b) =1(a b, o a=b)

2 2

>

Estudio de la ecuaciónde la elipse con centroC�� y con focos lospuntos F��c� �� yF��c� ��

Figura 9.10

Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación se obtiene:

�a� � cx�� a��x� c�� y

��

a�� a�cx� c

�x� � a

�x�� a�cx� a

�c� � a

�y�

a�� a

�c� � a

�x�� c

�x� � a

�y�

a��a� � c

�� x��a� � c

�� a�y��

Como a� � c� � �, podemos poner b� � a� � c�. Al dividir ambos lados por a�b� obtenemos laforma canónica de la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos F��c� ��y F��c� ��, c � �:

x�

a��

y�

b��

Llamaremos vértices de la elipse a los puntos V��a� �� y V��a� �� (que son los puntos donde lagráfica de la elipse interseca al eje X) y eje mayor al segmento de recta V�V� (en este caso paralelo alejeX). Los puntos donde la gráfica de la elipse interseca al eje Y sonM��b� �� yM��b� ��. Llamaremoseje menor al segmento de recta M�M� (ver Figura 9.10 ).

De manera similar podemos ver que la forma canónica de la ecuación de una elipse con centro enel origen de coordenadas y focos F��c� y F�� c�, c � �, es:

x�

b��y�

a��

En este caso, los puntos V��a� y V�� a� (que son los puntos donde la gráfica de la elipse inter-seca al eje Y ) son los vértices de la elipse y el segmento de recta V�V� es el eje mayor (paralelo al eje Y ).Los puntos donde la gráfica de la elipse interseca al eje X son M��b� y M�� b� y el segmento derecta M�M� es el eje menor. Ver la Figura 9.11 en la página 112 .

Ejemplos1. Encuentre los vértices y los focos de la elipse

�x� � �y� � ��

Respuesta. Si dividimos ambos miembros de la ecuación por 12 podemos reescribir la ecuacióndada como

x�

��y�

��

Por lo tanto, a� � �, el eje mayor es paralelo al eje X y c� � a� � b� � �� . De aquí que, losfocos son F�� y F�� y los vértices son V�� y V�� .


Estudio de la ecuación de la elipse concentro C�� y con focos los puntos

��c� y �� c�

y

x

(c,0)

(0,-c)

O (b,0)(-b,0)

(0,a)

(0,-a)

b

ac

(x/b) +(y/a) =1(a b, o a=b)

2 2

>

Figura 9.11

9.2 La Elipse 113

2. Determine la ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, que tiene un foco en�� , e interseca el eje Y en y � �.Respuesta. Como el foco está en el eje Y , la ecuación de la elipse debe ser de la

x�

b��

y�

a��

Además, c � �, a � � y, por lo tanto, b� � �� . Entonces la ecuación buscada es:x�

��

y�

��

9.2.1 La forma canónica de la ecuación de la elipseBusquemos ahora la forma canónica de la ecuación de una elipse con centro �h� k� y ejes paralelos a losejes coordenados (al igual que antes, denotaremos por �a a la suma de las distancias de F� y F� a unpunto P sobre la elipse).

� Si su eje mayor es paralelo al eje X y los focos de la elipse son F��h� c� k� y F��h� c� k�, con unsencillo argumento de traslación de ejes se puede probar que la forma de la ecuación es:

�x� h��

a��

�y � k��

b��

Los vértices de la elipse son V��h� a� k� y V��h� a� k�, es decir los puntos de corte de su gráficacon la recta horizontal y � k.

� Si su eje mayor es paralelo al eje Y y los focos de la elipse son F��h� k � c� y F��h� k � c�, con unargumento de traslación de ejes se puede probar que la forma de la ecuación es:

�x� h��

b��

�y � k��

a��

Los vértices de la elipse son V��h� k � a� y V��h� k � a�, es decir los puntos de corte de su gráficacon la recta (vertical) x � h.

en ambos casos a � c y b� � a� � c�.

Ejemplos1. Determine la forma canónica de la ecuación de la elipse que tiene focos F�� y F��,

y cuyo eje mayor mide �� unidades.Respuesta. El centro de la elipse es el punto medio entre los focos, es decir, C� ��

��

��

C��. Sabemos que la distancia entre los focos es igual a �c y que la longitud del eje mayores igual a �a, entonces c � y a � �. Como b� � a� � c� � �� y los focos están sobre larecta horizontal y � ��, la forma canónica de la ecuación de la elipse es:

�x� ��

��

�y � ��

��

2. Encuentre el centro y los focos de la elipse de ecuación �x� � ��y� � � x� �y � ��

Respuesta. Para encontrar el centro de la elipse agrupamos los términos en x y los términos en y

de la siguiente manera:��x� � � x� � ��y� � �y� � ��

��x� � �x� � ��y� � y� � ��

Completando cuadrado en cada una de las expresiones que están dentro de los paréntesis, obte-nemos:

��x� � �x� �� y� � �y � ��

��x� � �x� �� y� � y � � � � � ��

��x� � �x� �� y� � y � � � ��

��x� �� y � ��


Entonces, dividiendo ambos miembros de la última ecuación por 144 obtenemos la ecuación dela elipse:

�x� ��

��

�y � ��

��

Por lo tanto, el centro de la elipse es el punto C��, a� � ��, b� � �, c� � a� � b� � y losfocos de la elipse son F��

p��, F��

p��.

1. Elaborar la gráfica de cada una de las siguientes elipses. Señalar las coordenadas del centro, losextremos de los ejes mayor y menor y los focos:

(a) x�

��

y�

��

(b) x�

��

y�

��

(c) �x� � y� � �

(d) �x� � �y� � ��

(e) �x� ��

��

�y � ��

��

(f) �x� ��

��

�y � ��

��

(g) �x� ��

��

�y � ��

��

2. Escribir la ecuación de la elipse que tiene las propiedades dadas:(a) Centro en � � �; eje mayor horizontal con longitud � , eje menor con longitud �.(b) Centro en �� , focos �� y �� ; eje menor con longitud �.(c) Centro en �� , focos �� y �� b � �.

3. ¿Las circunferencias son elípses?

9.3 La HipérbolaDefinición: Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos P delplano tales que la diferencia de las distancias de P a dos puntos fijos F�

y F� del plano (llamados focos) es, en valor absoluto, una constante.

Llamaremos centro de la hipérbola al punto medio entre F� y F� (ver Figura 9.12 ).

Una hipérbola

F2

F1

OP

Figura 9.12

Supongamos que la hipérbola tiene como centro al punto C� � � y como focos a los puntos F��c� �y F��c� �, c � . Denotemos por �a al valor absoluto de la diferencia constante de las distancias de F�

y F� a un punto P sobre la hipérbola. Por definición, P �x� y� está en la hipérbola si y sólo si se cumple:

9.3 La Hipérbola 115

jd�P� F�� d�P�F��j � �a�(9.5)

En la Figura 9.13 en la página 115 ), podemos ver que:

y

xF (c,0)2F (-c,0)1

O

P(x,y)

La hipérbola jd�P� F�� d�P� F��j � �a

Figura 9.13

d�P� F�� d�F�� F�� d�P�F��

pues la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.De la misma manera,

d�P� F�� d�F�� F�� d�P�F��

Estas desigualdades son equivalentes a:

d�P� F�� d�P� F�� d�F�� F��

d�P� F�� d�P� F�� d�F�� F��

Es decir:

�d�F�� F�� d�P� F�� d�P� F�� d�F�� F��

De aquí que:

jd�P� F�� d�P�F��j � d�F�� F��

y por lo tanto:

�a � �c�

Para encontrar la canónica del la ecuación de la hipérbola con focos F��c� ��, F��c� �� utilizamosla ecuación 9.5 que es equivalente a:

jp�x� c�� y� �

p�x� c�� y�j � �a�


�x� c�� y� � �

p�x� c�� y�

p�x� c�� y� � �x� c�� y

� � �a�

�x� � �c� � �y� � �p�x� c�� y�

p�x� c�� y� � �a�

x� � c

� � y� � �a� �

p�x� c�� y�

p�x� c�� y��

Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación se obtiene:


�x��c��y��a�x��a�c��a�y��a� � ��x�c��y��x�c��y��

�x��c��y��a�x��a�c��a�y��a� � ��x�c��x�c��y��x��c��y�

�x��c��a�x��a�c��a�y��a� � �x��c��

�x�c��a�x��a�y� � �a�c��a�

�c��a��x��a�y� � a��c� � a

��

Como c� � a� � �, podemos tomar b� � c� � a�. Al dividir ambos lados por a�b� obtenemos la formacanónica de la ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y focos F��c� �� yF��c� ��, c � �:

x�

a��

y�

b��

Llamaremos vértices de la hipérbola a los puntos V��a� �� y V��a� �� (que son los puntos donde lagráfica de la hipérbola interseca al eje X) y eje transversal de la hipérbola al segmento de recta V�V�

(en este caso paralelo al eje X). Las rectas cuyas ecuaciones son:

y � �b

ax�

son llamadas asíntotas de la hipérbola. (ver Figura 9.14 ).

La hipérbola x�

a��

y�

b��

y

x

(x/a) -(y/b) =12 2

(c,0)(-c,0)

O

y=(b/a)xy=-(b/a)x

(0,a) (a,0)

Figura 9.14

De manera similar podemos ver que la forma canónica de la ecuación de una hipérbola con centroen el origen de coordenadas y focos F��c� y F�� c�, c � �, es:

y�

a��

x�

b��

En este caso, los puntos V��a� y V�� a� (que son los puntos donde la gráfica de la elipse inter-seca al eje Y ) son los vértices de la hipérbola y el segmento de recta V�V� es el eje transversal (en estecaso paralelo al eje Y ). Las rectas cuyas ecuaciones son:

y � �a

bx�

son las asíntotas de la hipérbola. (ver Figura 9.15 en la página 117 ).

Ejemplos1. Encuentre los focos y las asíntotas de la hipérbola

�x� � y��

9.3 La Hipérbola 117

y

x

(y/a) -(x/b) =12 2

(0,c)

(0,-c)

O

y=(a/b)xy=-(a/b)x

(0,a)

(0,-a)

La hipérbola y�

a��

x�

b��

Figura 9.15

Respuesta. Si dividimos ambos miembros de la ecuación por 9 podemos reescribir la ecuacióndada como

x��

y�

��

Por lo tanto, a� � �, b� � � el eje transversal es paralelo al eje X y c� � a� � b� � ��. De aquíque, los focos son F��

p�� y F��

p�� y las asíntotas son

y � ��x2. Determine la ecuación de la hipérbola que tiene vértices V�� y V�� y tiene como asín-

totas a las rectas de ecuaciones

y � ��

x�

Respuesta. Como los vértices están en el eje X la ecuación de la hipérbola debe tener la forma

x�

a�� y�

b��

Además, a � ��, ba� �

�, es decir, b � �

�a � . La ecuación buscada es:

x�

�� x�

� ��

9.3.1 La forma canónica de la ecuación de la hipérbolaBusquemos ahora la forma canónica de la ecuación de una hipérbola con centro �h� k� y ejes paralelosa los ejes coordenados (al igual que antes, denotamos por a al valor absoluto de la diferencia de lasdistancias de F� y F� a un punto P sobre la hipérbola).� Si su eje transversal es paralelo al eje X y los focos de la hipérbola son F��h� c� k� y F��h� c� k�,

y otra vez, vía una traslación de ejes se puede probar que la la ecuación es:

�x� h��

a�� y � k��

b��


Los vértices de la hipérbola son V��h � a� k� y V��h � a� k�, es decir los puntos de corte de sugráfica con la recta horizontal y � k. Las rectas:

y � k � � b

a�x� h��

son las asíntotas de la hipérbola.� Si su eje transversal es paralelo al eje Y y los focos de la hipérbola son F��h� k� c� y F��h� k� c�,

se puede probar (vía una traslación de ejes) que la ecuación es:

�y � k��

a�� x� h��

b��

Los vértices de la hipérbola son V��h� k � a� y V��h� k � a�, es decir los puntos de corte de sugráfica con la recta vertical x � h. Las rectas:

y � k � �a

b�x� h��

son las asíntotas de la hipérbola.en ambos casos c � a y b� � c� � a�.

Ejemplos1. Determine la forma canónica de la ecuación de la hipérbola que tiene focos F�� y F�� y

un vértice en (5,3).Respuesta. Como conocemos los focos podemos encontrar el centro de la hipérbolaC� ��

��

��

C�� y el valor de c � � � � � . Así mismo, como las coordenadas x de los focos soniguales, sabemos que el eje transversal de la hipérbola es vertical. Como la coordenada y delvértice (3) es mayor que la coordenada y del centro (1) entonces a � � � � � Por lo tanto,b� � c� � a� � � � � � y la ecuación buscada es

�y � ��

��

�x� ��

��

2. Encuentre el centro, los focos y las asíntotas de la hipérbola de ecuación

x� � y� � �x� ��y � � ��

Respuesta. Para encontrar el centro de la hipérbola,agrupamos los términos en x y los términosen y de la siguiente manera:

�x� � �x�� y� � ��y� �

�x� � �x�� y� � ��y� � �

Completando cuadrados en cada una de las expresiones que están dentro de los paréntesis, obte-nemos:

�x� � �x� � � �� y� � ��y � � � ��

�x� � �x� �� y� � ��y � ��

�x� �� y � ��

Entonces, dividiendo ambos miembros de la última ecuación por 9 obtenemos la forma canónicade la ecuación de la hipérbola:

�x� �� y � ��

� ��

Por lo tanto, el centro de la hipérbola es el punto C�� , a� � �, b� � , c� � a� � b� � ��, losfocos son F��

p�� , F��

p�� y las rectas:

y � � � �p��x� ��

son las asíntotas de la hipérbola.

9.4 Ejercicios 119

9.4 Ejercicios1. Elaborar la gráfica de cada hipérbola. Señalar las coordenadas del centro, vértices y focos:

(a) x�

��

y�

��

(b) x�

��

y�

��

(c) y�

��

x�

��

(d) �x� � y� � �

(e) ��y� � �x� � ��

(f) �x� � �y� � ��

(g) y � ��

��

x� ��

��

(h) x� ��

��

y � ��

��

2. Escribir la ecuación de la hipérbola que tenga las propiedades indicadas:(a) Centro �� , focos �� , vértices �� .(b) Centro �� ; eje transversal vertical con longitud �� c � �.(c) Centro �� ; vértices en �� b � �.

9.5 Ejercicios adicionales1. Identificar cada cónica:

(a) x� � y� � �x� �y � � � �

(b) y � �x� � �x� �

(c) �x� � y� � ��x� �y � ��

(d) x� � �y� � �x� � � �

(e) x� � �y� � �x� � � �

(f) y � x� � �x� �

2. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias aF�� F�� es �

p�.

3. Demostrar que, en la elipse x�

a��

y�

b�� , la longitud del segmento trazado desde �� b hasta el

foco es a.4. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X , y que pasa por lo puntos ��

y �� .

5. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos �� p�

�� y que

tiene sus ejes paralelos a los ejes coordenados.6. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos �� y � �, tiene su centro en el

origen y el eje transversal coincide con el eje X .

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