5. ÜNİTE İZOMETRİK VE ORTOGRAFİK...

5. ÜNİTE ÜçgenlerDİK PRİZMALAR VE PİRAMİTLER

111

İZOMETRİK VE ORTOGRAFİK ÇİZİMLER

d1

l1

l1

d2

l2

l2

d3 l3

l3

d4 l4

l4

d1

l1d1

d2

l2 l3

l4

d2d3

d3

d4

1.Resim

3.Resim

2.Resim

Yukarıdaki resimlerde görülen yapıların bazı kenarlarını taşıyan ışınlar çizilmiştir Hangi resimdeki d1, d2, d3 ve d4 ışınları kesişmez? Hangi resimdeki d1, d2, d3 ve d4 ışınları kesişir gibi görünürler? Aynı soruları l1, l2, l3 ve l4 ışınları için cevaplayınız. Işınların paralel olmasının veya kesişir gibi görünmesinin resme nasıl bir katkı sağladığını tartışınız.

Yapıların veya 3 boyutlu cisimlerin kâğıt üzerindeki çizimlerinde, kenarlarını taşı-yan ışınlar daima paralel görünüyorsa bu çizime izometrik çizim, kesişir gibi görünüyorsa bu çizime perspektif çizim adı verilir.

İzometrik çizimde perspektif dikkate alınmaz. Çizim bir bütün olarak izometrik kâ-ğıtlar kullanılarak yapılır.

5. ÜNİTE ÜçgenlerÜNİTE3.

112

ÖRNEK

Aşağıda verilen yapıyı ve yanda verilen izometrik çizimini inceleyelim.

300300

İzometrik çizimde perspektif olmadığını görebiliriz.

Gökyüzündeki bulutu ve yeryü-zündeki gölgesini inceleyiniz.

Gölgenin görünümünü bulutun gö-rünümüyle karşılaştırınız.

1

Yanda birim küplerden yapılmış L harfi ne benzeyen yapıyı inceleyelim.

Bu yapıya önden baktığınızda gördüğünüz çokgeni çiziniz.

Aynı çalışmayı sol yandan ve üstten bakarak yapınız.

Bulduğunuz sonuçları aşağıdaki şekillerle karşılaştırınız.


113

Önden görünüm Üstten görünümSol yandan görünüm

Bu cismin sağ yandan görünümünün nasıl olacağını tartışınız.

Üç boyutlu yapılara tek bir yönden bakarak görünümlerin iki boyutlu çizilmesine dik görüntü (ortografi k) çizimi denir. Bu çizimde yapının iki boyutlu görüntüsüne ortografi k izdüşüm adı verilir.

İzdüşüm çiziminde farklı düzlemler düz bir çizgi ile gösterilir. Görünmeyen farklı düz-lemler ise kesik bir çizgi ile gösterilir.

Yandaki yapının önden, üstten ve sağ yandan ortografi k izdüşümlerini çizelim.

ÇÖZÜM:

Yapının önden, üstten ve sağ yandan görünümleri aşağıdaki gibidir.

Önden Görünüm Üstten Görünüm

Sağ Yandan Görünüm


114

Yanda izometrik çizimi verilen şeklin ortografi k çizimini yapalım.

Önden Sağ yandan Üstten görünüm görünüm görünüm

ÇÖZÜM: Verilen izometrik çizimin ortografi k çi-zimi sağdaki gibidir.

Önden Sağ yandan Üstten görünüm görünüm görünüm

Yanda ortografi k çizimi verilen yapının izometrik çizimini yapalım.

ÇÖZÜM:


115

Üstten Önden Sağdan

Yanda ortografi k olarak üstten, önden ve sağdan görünümleri verilen yapının izometrik çi-zimini yapalım.

Sağdan

Üstten

Önden

ÇÖZÜM :

Verilen ortografi k çizimin görünüm-leri sol tarafta renklendirilmiştir. Buna göre izometrik çizim sağ taraf-taki çizim gibidir.

2

1 br1 br21 br3

1br1br

1br

1br1br

1br

Yandaki şekillerde verilen ölçü birimlerini karşılaş-tırınız.

Yandaki şekillerin boyutlarını karşılaştırınız. Hangisinin hacim kavramı ile ilişkilendirilebileceğini tartışınız.

Şimdi de izometrik çizimi yanda verilen eş birim küp-lerden oluşmuş yapının hacmini bulalım.

Cismin hacmi ile birim küplerin sayısını karşılaş-tırınız.


116

İzometrik çizimleri verilen yapıların hacminin hesaplanmasında, her bir katta bu-lunan birim küplerin sayıları bulunur. Bulunan birim küp sayıları toplanarak yapının hacmi hesaplanır.

Yanda izometrik çizimi verilen birim küplerden oluşmuş yapının hacminin kaç br3 olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

Yapının; 1. katında 4 br3,2. katında 2 br3,3. katında 1 br3 vardır. O hâlde yapının hacmi 4 + 2 + 1 = 7 br3 olarak bulunur.

1. Aşağıdaki yapıların izometrik çizimlerini yapınız.

a)

b)

c)

ç)

2. İzometrik kağıda altı adet birim küp kullanarak üç farklı yapı oluşturunuz.


117

3. Aşağıda izometrik çizimi verilen 1. şekildeki yapıdan hangi yapı çıkarılırsa 2. şekildeki yapı elde edilir?

1. Şekil 2. Şekil

4. Aşağıda izometrik çizimleri verilen yapıların belirtilen ok yönünden ortografi k izdüşümlerini çiziniz.

a)

A

B

b)

A

BC

c)

A

B

5. A, B, C yapılarının her birine aşağıda veri-len Ç, D, E, F, G ve Ğ yapılarından hangileri eştir?

A

B

C

Ç


118

D

E

F

G

Ğ

6. İzometrik çizimi aşağıda verilen yapının or-tografi k çizimini yapınız.

7. Ortografi k çizimi aşağıdaki şıklarda verilen yapıların izometrik çizimlerini yapınız.

Üstten görünüm

a)

b)

c)

Önden görünüm

Önden görünüm Sağdan görünüm

Sağdan görünüm

Üstten görünüm

Üstten görünüm

Önden görünüm

Sağdan görünüm


119

8. Aşağıda izometrik çizimleri verilen A ve B yapıları kullanılarak X, Y ve Z yapılarından hangisi oluşturulur?

A X YZ

B

9. Aşağıdaki her bir yapı kaç birim küpten oluşmuştur?

a) b) c) ç)

f)e)

d)


120

DİK PRİZMA VE DİK PİRAMİT

Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.

Resimlerdeki üç boyutlu cisimlerin ya da yapıların birbirine benzer ve farklı yanları sorgulayınız.

İlköğretim bilgilerinizden bu cisimlerin hangi isimlerle anıldığını hatırlamaya çalışınız.

3

Yanda verilen kolon resmini inceleyiniz.

Kolonun alt ve üst yüzeylerindeki dörtgensel bölgeleri karşılaştırınız.

Bu yüzeylerin birbirine göre konumlarını karşılaştı-rınız.

Kolonun yan yüzeylerini geometrik şekillerle ilişkilen-diriniz.

Kolunu oluşturan demirlerin uzunluklarını ve konum-larını karşılaştırınız.

Oluşan kapalı cismin hangi geometrik yapıya dönüş-tüğünü söyleyiniz.


121

Uzayda bir E düzleminde bulunan bir çokgen (ABCD dörtgeni) ile E düzlemin-de bulunmayan ve E düzlemini kesen bir l doğrusu alalım.

l doğrusuna paralel olan ABCD dörtgeninin kenarlarından birini kesen bir d doğrusu çizelim.

d doğrusunu ilk konumuna pa-ralel olarak ABCD dörtgeninin kenarları üzerinde kaydıralım.

Bu biçimde oluşan yüzeye priz-matik yüzey, bu yüzeyin belirlediği uzay parçasına da prizmatik bölge denir.

Şimdi de E düzlemine paralel bir P düzlemi ile prizmatik yüzeyi kesiştirelim.

l d

A B

CD

E

l d

A B

CD

A/ B/

D/

E

d

P

Oluşturulan ve E düzlemindeki ABCD dörtgeni ile alttan A/B/C/D/ dörtgeni ile üstten sınırlanan kapalı prizmatik böl-geye prizma, prizmayı sınırlayan yüzey parçalarına da prizma yüzeyi adı verilir.

E düzlemindeki ABCD dörtgenine prizmanın alt yüzeyi, P düzlemindeki A/B/C/D/ dörtgenine prizmanın üst yüzeyi denir.

Ayrıca d doğrusuna da bu prizmanın ana doğrusu denir.

Etkinlikte ele alınan masa yüzeyi ve zemindeki KLMN dikdörtgensel bölge-si ile sınırlanan prizmatik bölge prizma, zemindeki dikdörtgensel bölge ve örtü-lerin kapladığı yüzey prizma yüzeyi ve masa ayaklarından birini taşıyan doğru da prizmanın ana doğrusu olarak alınabilir.

C/


122

Herhangi bir prizmanın birbirine paralel olan alt ve üst yüzeylerine tabanları, tabanların kenarlarına da taban ayrıtları denir.

Yandaki prizmada, tabanlar ABCD ve A/B/C/D/ dikdörtgenleridir. Taban ayrıtları ise [AB], [BC], [CD], [DA], [A/B/], [B/C/], [C/D/], [D/A/] dır.

Tabanların karşılıklı köşelerini birleştiren [AA/], [BB/], [CC/] ve [DD/] na yanal ayrıtlar,

ABB/A/, BCC/B/, CDD/C/ ve DAA/D/ dik-dörtgenlerine yanal yüzler adı verilir.

İki taban arasındaki uzaklığa da |OO/| prizmanın yüksekliği denir.A B

CD

A/ B/

C/D/

O/

O

A

D

B

C

A/

B/

C/

D/

Yandaki dik prizma biçimindeki parfüm kutusu-nun taban ayrıtlarını, yanal yüzlerini ve yüksekliğini yazalım.

ÇÖZÜM:

Taban ayrıtları: [AB], [BC], [CD], [DA]

Yanal yüzleri: ABB/A/ dikdörtgeniBCC/B/ dikdörtgeniCDD/C/ dikdörtgeniDAA/D/ dikdörtgeni

Yüksekliği:[AA/], [BB/], [CC/], [DD/]


123

4

E E E

A B

CD

K L

MN

X Y

Z

P P P

A/ B/

C/D/

K/ L/

M/N/

X/ Y/

Z/

ABCDKARE

KLMNDİKDÖRTGEN

XYZEŞKENAR ÜÇGEN

1. Şekil 2. Şekil 3. Şekil

Yukarıda 1, 2 ve 3. şekillerdeki prizmaları inceleyelim. Prizmaların yanal ayrıtları ile taban düzlemleri arasındaki açıların ölçüsü için ne söy-leyebilirsiniz? Prizmaların tabanlarındaki çokgenleri karşılaştırınız. İsimlendirme yapılırken prizmanın hangi özelliklerinin dikkate alınacağını tartışınız.

Yanal ayrıtları taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma denir. Prizmalar tabanlarındaki çokgenlere göre isimlendirilir. Tabanları düzgün çokgen olan bir dik prizmaya düzgün prizma denir.

Yanda verilen resimlerdeki priz-maları isimlendirelim ve hangilerinin düzgün prizma olduğunu söyleyelim.

ÇÖZÜM: 1. şekil : Düzgün altıgen dik prizma 2. şekil : Dikdörtgen dik prizma 3. şekil: Eşkenar üçgen dik prizma

1 ve 3. şekillerdeki prizmaların tabanları düzgün çokgen olduğundan düzgün prizmadırlar.


124

5

TD

A

B

C

Yanda inşa edilecek bir evin maketi görülmek-tedir.

T noktası ile ABCD karesel bölgesinin içinde bulunduğu düzlemin konumunu karşılaştırınız.

Çatının yanal yüzlerindeki çokgenleri söyleyi-niz.

Çatının yüksekliğini çiziniz. |TB|, |TC|, |TA| ve |TD| nı hesaplamak için

hangi yolun izleneceğini tartışınız. Çatının hangi geometrik yapıya dönüştüğünü

ve isimlendirme yapılırken yapının hangi özel-liklerinin dikkate alınacağını söyleyiniz.

K

N M

L

T

OO

Dolayısıyla her düzgün piramit, dik piramittir. Pi-ramitler de prizmalarda olduğu gibi tabanlarındaki çok-gensel bölgeye göre isimlendirilir. Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı KLMN kare-sel bölgesi ve tepe noktası T olan kare dik piramitte yük-seklik [TO] dır.

T T

Uzayda herhangi bir düzlem ve bu düzlemde bir çokgen verilsin. Verilen düz-lemin dışında sabit bir T noktası alalım.

T noktası ile çokgenin kenarları üzerindeki her bir noktadan geçen doğ-ruların oluşturduğu yüzeye piramidal yü-zey, bu yüzeyin sınırladığı bölgeye de pi-ramidal bölge denir.

Verilen çokgenin içinde bulun-duğu düzleme paralel bir düzlem ve T noktası arasındaki piramidal bölgeye de piramit adı verilir.

Herhangi bir piramitte, hem tepe noktasından hem de tabandaki çokgensel bölgenin ağırlık merkezinden geçen doğru, taban düzlemine dik ise bu piramide dik pi-ramit, tabanı düzgün çokgensel bölge olan piramide de düzgün piramit denir.


125

A

D C

B

T

O

Yandaki şekilde kenar uzunlukları |AB|=8m ve |BC|=6m olan ABCD dikdörtgen-sel bölgesinin O ağırlık merkezine |TO|=12m olan bir direk dikilerek piramit biçiminde bir çadırda |TB| nu bulunuz.

ÇÖZÜM:

ABCD dikdörtgeninde,|BD|=10m (Pisagor bağıntısı)|DO|=|OB|=5m

TOB dik üçgeninde,|TB|=13m bulunur. (Pisagor bağıntısı)

6

Aşağıda 1. şekilde bir kenar uzunluğu |AB|=10cm ve |TO|=12cm olan düzgün kare piramit verilmektedir.

A

D C

B

T

O

1.Şekil

10 cm

10 cm

12 cm

Tabandaki köşegen uzunluklarını |AC|=|BD|=10 2 cm alarak |AO|, |OC|, |OB|, |OD| nu bulunuz.

Bu sonuçlara göre, AOT dik üçgeninden |AT|=? BOT dik üçgeninden |TB|=? COT dik üçgeninden |TC|=? DOT dik üçgeninden |TD|=? Bulduğunuz yanal ayrıtları karşılaştırınız.

Yanal yüzlerdeki kenar uzunluklarını göz önüne alarak üçgensel bölgeleri sorgulayınız.

A

D C

B

T

O

2. Şekil

10 cm

12 cm

H

Bu kez tabandaki O noktasından [BC] na [OH] dikmesini çizelim.

|OH| ve |TH| uzunluğunu bulunuz.

TBC nin yükseklik uzunluğunu bulunuz. Benzer işlemleri yaparak O noktasından [AB], [AD] ve

[DC] nın orta noktalarına dikmeler çiziniz. Diğer yanal yüz yükseklik uzunluklarını bulunuz.Düzgün piramitlerde yanal yüzlerin özelliklerini söyleyi-

niz.


126

Düzgün piramitlerde yanal yüzler birbirine eş ikizkenar üçgensel bölgelerden oluşur. Dolayısıyla bu ikizkenar üçgensel bölgelerin eş olan kenarları, piramidin yanal ayrıtlarıdır ve uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca yanal yüzlerde bulunan eş ikizkenar üçgensel bölgelerin yükseklikleri de birbirine eşit olur.

Aşağıdaki şekillerde verilen piramitlerin hangilerinde yanal yüzlerin birbirine eş ikizke-nar üçgenlerden oluştuğunu yazalım.

A B

CD

ABCD DİKDÖRTGEN DİK PİRAMİT

1. Şekil

ABCD İKİZKENAR YAMUK DİK PİRAMİT

2. Şekil

ABC EŞKENAR ÜÇGEN DİK PİRAMİT

3. Şekil

ABCD DİK YAMUK DİK PİRAMİT

4. Şekil

ABCD PARALELKENAR DİK PİRAMİT

5. Şekil

ABCDE DÜZGEN BEŞGEN DİK PİRAMİT

6. Şekil

ABCDEF DÜZGÜN ALTIGEN DİK PİRAMİT

7. Şekil

A B

CD A

B

C

A B

CD

A B

CD

A B

C

D

A B

C

DE

F

T

E

T T T

T T T

ÇÖZÜM:

3, 6 ve 7 şekillerdeki prizmaların tabanları düzgün çokgen olduğu için bu prizmaların tüm yanal yüzleri eş ikizkenar üçgendir.


127

1. Aşağıdaki şekillerden hangileri dik prizma veya dik piramittir?

............................ ............................ ............................

............................ ............................ ............................

2. Yanal yüzleri eş kareler olan üçgen dik prizma çiziniz.

3. Bir prizmanın en az kaç köşesi vardır?

4.

Değişik yüzleri farklı renklerde boyanmış yukarıdaki küpün karşılıklı yüzlerindeki renk-leri söyleyiniz. Açınımını çiziniz.

5.

Şekildeki eşkenar üçgen dik piramidin diğer bir yüzeyi üzerine yatırılmasıyla oluşan pi-ramit dik piramit midir? Neden?


128

6. Aşağıdaki şekilleri isimlendirerek soruları cevaplayınız.

A B C Ç

D E F G

a) Tabanları, aynı çokgensel bölge olan şekiller hangileridir? b) Yan yüzleri dikdörtgen olan şekilller hangileridir? c) Yan yüzleri üçgen olan şekiller hangileridir? d) Yan yüzleri ikizkenar üçgen olan şekiller hangileridir?

DİK PRİZMALARIN VE DİK PİRAMİTLERİN YÜZEY ALANLARI

Yandaki resimde görülen binanın duvarları sıvanacaktır.

Sıvanacak bölgenin alanının nasıl hesap-lanabileceğini tartışınız.


129

7

Çay üreticisi bir fi rma elma, nane ve limon aromalı üç ürününü aşağıdaki şekillerde verilen kare, dikdörtgen ve eşkenar üçgen tabanlı prizma biçimindeki karton kutulara ambalajlayıp satışa sunmak istemektedir.

ELMALIÇAY

NANELİÇAY

LİMONLUÇAY

A B

CD

A/ B/

C/D/

K L

M

K/ L/

M/

P Q

S R

P7 Q/

S/ R/

Kutu ambalajı yapan fi rmaya verilen siparişlerde; Kare dik prizmanın boyutlarının |AB|=|BC|=8cm ve |AA/|=10cm, Eşkenar üçgen dik prizmanın boyutlarının |KL|=|LM|=6cm ve |KK/|=10cm, Dikdörtgen dik prizmanın boyutlarının |PQ|=8cm, |QR|=6cm, |PP/|=10cm olması isten-mektedir.

Her bir kutu için kaç cm2 karton kullanılacağını bulunuz. Kare prizma biçimindeki kutunun açınımını çiziniz.

A B

CD

A/B/

C/D/

A

BC

D

A/

B/

C/

D/

A B

CD

A/ B/

C/D/

D/

D/

D

C/

C/

C/

C/

C C

C

D

C

Kare prizmanın açınımında hangi geometrik şekiller bulunur? Kare prizmanın yüzey alanını bulunuz ve kutuda kaç cm2 karton kullanılacağını söy-leyiniz. Kare dik prizma yüzeyinin alanını veren bir bağıntı oluşturmaya çalışınız.


130

Eşkenar üçgen, dik prizma ve dikdörtgen dik prizmanın açınımlarını çizelim.

Q PP R S

Q/ P/P/ R/ S/

Q P

Q/ P/

M L

M/ L/K/

K

K/

K

K

K/

Eşkenar üçgen dik prizma açınımı Dikdörtgen dik prizma açınımı

Benzer çalışmalar yaparak eşkenar üçgen dik prizmanın ve dikdörtgen dik prizmanın yüzey alanlarını bularak kaçar cm2 karton gerektiğini hesaplayınız.

Eşkenar üçgen dik prizmanın ve dikdörtgen dik prizmanın yüzey alanlarını veren birer bağıntı oluşturmaya çalışınız.

8

Bir oyuncak fabrikasında tabanları paralelkenar, dik yamuk, ikizkenar dik yamuk, düzgün beşgen, düzgün altıgen olan prizmalar ve küp biçiminde oyuncaklar imal edilmektedir. Bu oyuncaklardan açınımı aşağıda gösterilen paralelkenar dik prizma biçimindeki oyuncağı inceleyiniz.

D CA

A

B

D/A/A/

B/

B/

B

A

A/

C/

A B

CD

A/ B/

C/D/

5cm

3cm 7cm

8cm

/

K

K

5cm5cm

3cm 7cm

8cm

Paralelkenar dik prizma Paralelkenar dik prizma açınımı

Oyuncağın yüzey alanını bulunuz.


131

Şimdi de boyutları ve açınımları verilen dik yamuk tabanlı ve ikizkenar yamuk tabanlı dik ve düzgün çokgen prizma biçimindeki diğer oyuncakları inceleyiniz ve yüzey alanlarını bulunuz.

A DC

A

B A

A/B/

A/

D/

C/D/A/

DA B

CD

A/ B/

D/ C/

Dik yamuk dik prizma Dik yamuk dik prizma açınımı

|AB|=6cm|AD|=4cm|DC|=3cm|DD/|=8cm

A DC

A

B A

A/B/

A/

D/

C/D/A

DA B

B/A/

İkizkenar yamukdik prizma İkizkenar yamuk dik prizma açınımı

D

D/ C/

C

|AB|=9cm|AD|=5cm|DC|=3cm|DD/|=8cm|BC|=5cm

AA B

C

D

Düzgün altıgen dik prizma Düzgün altıgen dik prizma açınımı

A/

D/

C/

B/

E

F

E/

F/

B C D E F G

G/F/E/D/C/B/A/

A/ B/

C/F/

A

B E

F

|AB| = 4 cm|DD/| = 8 cm


132

DA B

C

D

Düzgün beşgen dik prizma Düzgün beşgen dik prizma açınımı

A/

D/

C/

B/

E

E/

E A C D

D/C/E/D/

E/

D/

C/

E C

D

B/A/

B

|AB| = 4 cm|DD/| = 8 cm

Küp açınımı

A B

CD

C/D/

A/B/

A

B

D C

A

B B

B/A/

D/C/A/

B/B/

Küp

|AB| = 4 cm

Her bir prizmada tabanlardaki çokgensel bölgeleri ve yanal yüzlerdeki dikdörtgensel bölgeleri kendi aralarında karşılaştırınız. Her bir prizmada tabandaki çokgenin çevre uzunluğu ve yükseklik uzunluğu ile yan yüzlerdeki dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamını ilişkilendiriniz. Dik prizmaların yüzey alanlarını veren bir genelleme yapmaya çalışınız.

Son iki etkinlikte yapılan çalışmalar göz önüne alındığında dik prizmalarda yüzey alanı, birbirine eş olan alt ve üst tabandaki çokgensel bölgelerin alanları toplamı ile yan yüz-lerdeki dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamından oluşur. Yan yüzlerdeki dikdörtgensel bölgelerin alanları toplamı ise taban çevresi ile yükseklik uzunluğu çarpımına eşittir.

Yandaki prizmanın yüzey alanı;

2 A(ABC) + Ç(ABC) . |AA/|

biçiminde ifade edilir.A B

C

A/ B/

C/


133

AB

CD

E

F

G

H

Dikdörtgenler prizması biçimindeki bir çikolata kutusunun kapağından, planlanan yeni tasarımı için, yanda verilen resim-deki gibi ABCD dikdörtgensel bölgesi çıkartılıyor. |EF|=12cm, |HF|=8cm, |FG|=8cm, |AB|=4cm ve |CB|=6cm olduğuna göre kutunun yeni tasarımının yüzey alanını bulalım.

ÇÖZÜM: Prizmanın yüzey alanı = 2 (2.12 + 8.2 + 12.8)=272 cm2 dir. A(ABCD) = 6.4 = 24 cm2 dir. Kalan yüzey alanı = Prizma yüzey alanı - A(ABCD) = 272 - 24 = 248 cm2 bulunur. y y

6m

7m

8m

5m 5m

A

B C

S1

S2

S3S4

H

S

Yanda uzunlukları verilen seranın yüzeyini kaplamak için kaç m2 cam kullanıldığını bulalım.

ÇÖZÜM:

Cam yüzey ikişer tane S1, S2, S3 dikdörtgensel bölgeden ve ikişer tane S4 ikizkenar üçgensel bölgeden oluşur.

S1= 6.7 = 42m2 ise 2S1= 84m2

S2= 7.8 = 56m2 ise 2S2= 112m2

S3= 5.8 = 40m2 ise 2S3= 80m2

S4 için ABC nde [AH] çizelim. |BH|=|HC|=3m (İkizkenar üçgen)ABH nde |AH|=4m (Pisagor bağıntısı)

S4= 6.42

= 12m2 ise 2S4=24m2

Cam yüzeyin toplam alanı= 2S1+ 2S2+ 2S3+ 2S4= 84+112+80+24 = 300m2 bulunur.y y p

Ayrıt uzunlukları tam sayı olan ve farklı üç yüzeyinin alanları 20, 24 ve 30cm2 olan dikdörtgen dik prizmanın ayrıt uzunluklarını bulalım.

ÇÖZÜM:

Ayrıt uzunlukları x, y ve z olmak üzere farklı yüzeyler: x.y=20, y.z=24, x.z=30 ve x, y, z tam sayı olduğundan 5.4=20, 4.6=24 ve 5.6=30 dur. x=5cm, y=4cm ve z=6cm bulunur.


134

9

A B

CD

T

O

Yukarıdaki resimde yer alan havuzun, bir kenar uzunluğu |AB|=16m ve yükseklik uzunluğu |TO|=15m olan kare piramit biçiminde çatısı vardır.

Bu çatının yüzeyi, güneş ışığından yararlanmak için cam ile kaplanacaktır. Kaç m2 cam kullanılacağını bulmaya çalışalım.

Tabanın ağırlık merkezi olan O noktasından [BC] nın orta noktası olan H noktasına OH dikmesini çizerek bu dikmenin uzunluğunu bulunuz.

A B

H

CD

T

O

16

15

TOH dik üçgeninde |TH| nu bulunuz.

TBC ikizkenar üçgeninin yüksekliğini bulunuz.

Şimdi bu kare piramidin aşağıdaki açınımını inceleyelim.

A B

CD

T

TT

T

A B

CD

T

T

T

T H8 17


135

Kare piramidin yüzeyi hangi geometrik şekillerden oluşmuştur? Taban çevresi ile yanal yüz yükseklik uzunluğunu kullanarak ikizkenar üçgensel bölge-lerin alanları toplamını bulunuz. Havuzun piramit biçimindeki çatısında kaç m2 cam kullanılacağını bulunuz. Dik kare piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız.

Kare piramitte yüzey alanı, tabandaki karesel bölgenin alanı ile yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamına eşittir. Sözü edilen yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamı, taban çevresi ile yan yüz yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.

A B

H

CD

T

O

h

h/

Genel olarak, yandaki kare piramitte yüzey alanı;

A(ABCD) + Ç(ABCD) . |TH| .12

= a2 + 4ah/.12

= a2 + 2ah/

eşitliği ile verilir.

A B

N L

M

CD

T

DR

A B

18

N L

K

9H

M

CD

T

DR

Yandaki kare dik piramitte |TM|=|MN|=|NA| ve [MR]//[NL]//[AB] dir. |AB|=18cm ve piramidin yükseklik uzunluğu 12cm olduğuna göre piramidin yüzeyindeki yeşil şeridin alanını bulalım.

ÇÖZÜM:THK dik üçgenini çizelim.|KH|=9cm (ABCD kare)TKH dik üçgeninde,|TK|=15cm (Pisagor bağıntısı)A(TAB)=135cm2

TAB nde

A(TMR)=S ⇒ A(MNLR)=3S ve

A(NABL)=5S ⇒ A(TAB)=9S dir. (Benzerlik)

A(TAB)=9S ⇒ S=15cm2 veA(MNLR)= 3.15 = 45cm2 dir.Yeşil şeridin toplam alanı = 4. A(MNLR) = 4. 45 = 180cm2 bulunur.

3.


136

10

T

C

A

F

G

D

B

E

Yanda tabanının bir kenar uzunluğu |AB|=12m ve yükseklik uzunluğu |TG|=2m olan eşkenar üçgen dik piramidin yüzey alanını bulmaya çalışalım.

G noktasının ağırlık merkezi olduğunu göz önünde bulundura-rak |GE| ve |TE| nu bulunuz.

Ele aldığımız eşkenar üçgen piramidin aşağıdaki açınımını inceleyelim.

T

C

A

F

G

D

B

E

C

A

B

T TT

C

A

B

T

T

T

G

F

E

D6

66

66

6

4

4

4

6

66

6

4

Yanal yüzeyler hangi geometrik şekillerden oluşur? Piramidin yüzey alanını hesaplayınız. Eşkenar üçgen dik piramidin yanal yüz alanları toplamını taban çevresi ve yanal yüz yüksekliği ile ilişkilendiriniz. Eşkanar üçgen dik piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız.

Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı eşkenar üçgen olan dik piramidin yüzey alanı, tabandaki eşkenar üçgensel bölgenin alanı ile birbirine eş olan yan yüzlerdeki üç ikizkenar üçgensel bölgenin alanı toplanarak bulunur. Yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamı ise taban çevresi ile piramidin tepe noktasından yan yüzler-den birinin tabanına çizilen yan yüz yüksekliğinin çarpımına eşittir. Genel olarak, bu durum yukarıdaki şekildeki gibi bir eşkenar üçgen dik piramitin yüzey alanı,

T

C

A

F

G

D

B

E

A(ABC) + [ Ç(ABC) . |TE| . 12

]biçiminde ifade edilir.


137

Tabanının bir kenar uzunluğu 6 3 cm olan eşkenar üçgen dik piramidin yanal yüz yüksekliği taban düzlemi ile 600 lik açı yapmaktadır. Bu piramidin yüzey alanını hesaplayalım.

ÇÖZÜM:

T

600

C

A

6

F

G

D

B

E

3 3

3 3

3 3

3

[AE]⊥ [BC], |BE|=|EC|= 3 3 cm,

|AE|=6 3 3

2=9cm ve

|GE|=13

|AE|=13

.9=3cm (ABC eşkenar üçgen)

|TE|=6cm (TEG, açılarının ölçüleri 300, 600 ve 900 olan üçgen)Yüzey alanı;

A(ABC) + Ç(ABC).|TE|.12

= (6 3)2 . 34

+18 3.6.12= 81 3 cm2

olur.

11

T

C

A D

B

O

EF

Yandaki şekilde tabanın bir kenar uzunluğu |BC|=4m ve yükseklik uzunluğu |TO|=6m olan düzgün altıgen dik piramidin yüzey alanını bulalım.

Önce taban alanını oluşturan eşkenar üçgenlerden birinin alanını bu-lunuz. Toplam taban alanını hesaplayınız.

C

A D

B

O

EF A

B

O

H

300

300

600

600

4

42

2

Yandaki AOB nde |OH| nu bulunuz.

T

C

A

B

OH

TOH dik üçgeninde |TH| uzunluğunu bulunuz.


138

Ele aldığımız düzgün altıgen piramidin açınımını inceleyelim.

T

C

A D

B

EF

T

C

A D

B

EF

TT T T T

T

C

A

D

B

E

F

T

T

T

T

T

Düzgün altıgen dik piramidin yanal yüzleri hangi geometrik şekillerden oluşur? Verilen ve elde ettiğimiz uzunlukları kullanarak düzgün altıgen dik piramitte yanal yüzey alanını ve tüm yüzey alanını bulmaya çalışınız. Yanal yüz alan toplamını taban çevresi ve yanal yüz yükseklik uzunluğu ile ilişkilendiriniz.

Düzgün altıgen dik piramidin yüzey alanını veren bir bağıntı bulmaya çalışınız.

Yandaki şekilde verildiği gibi tabanı düzgün altıgen olan dik piramitte yüzey alanı, tabandaki düzgün altıgensel bölgenin alanı ile birbirine eş olan yan yüzlerdeki altı ikizkenar üçgensel bölgenin alanı toplanarak bulunur.

Yan yüzlerdeki ikizkenar üçgensel bölgelerin alanları toplamı ise tabandaki düzgün altıgenin çevresi ile yan yüzler-deki eş ikizkenar üçgenlerden birinin tabanına ait yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.

Genel olarak bu durum yukarıdaki şekildeki gibi bir düzgün altıgen dik piramitte yüzey alanı;

A(ABCDEF) + [ Ç(ABCDEF) . |TH| . 12

]biçiminde ifade edilir.

T

C

A D

B

OH

F E

T

C

D

EF

A

B

OH

Yanda verilen düzgün altıgen dik piramitte piramidin yükseklik uzunluğu |TO|=4cm ve tabanın bir kenar uzunluğu |BC|= 2 3 cm dir.

Buna göre bu dik piramidin yüzey alanını bulalım.


139

ÇÖZÜM:

T

C

D

EF

A5

3

4

B

OH3

32 3

|AB|=|BC|= 2 3 cm (Düzgün altıgen)

|AH|=|HB|= 3 cm (TAB ikizkenar üçgen )

[HO]⊥ [AB] ve |HO|=2 3. 3

2= 3 cm (ABO eşkenar üçgeninde yüksek-

lik uzunluğu)

[TH]⊥ [AB] (TAB ikizkenar üçgen)|TH|2=|TO|2+|HO|2 ⇒ |TH|=5cm (TOH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı)

Yüzey alanı,

A(ABCDEF) + Ç(ABCDEF). |TH|.12

= 6.(2 3)2 . 3

4+6.2 3.5.

12= 48 3 cm2 bulunur.

1. Aşağıdaki cisimlerin açınımlarını yapmaya çalışınız.

Dörtyüzlü Sekizyüzlü

2. Aşağıda açınımları verilen cisimlerin her biri eş şekillerden oluşmuştur. Bu açınımları bir kâğıda çiziniz. Çizdiğiniz açınımları çevrelerinden keserek ve çizgilerden katlayarak kapalı cisimler oluşturmaya çalışınız.

Onikiyüzlüaçınımı

Yirmiyüzlü açınımı


140

3. Eş düzgün çokgenlerden oluşan, her bir köşesinde buluşan, yüzey sayısı aynı olan cisimlere düzgün çok yüzlü denir. Düzgün çok yüzlülerden 1 ve 2. sorulardaki dörtyüzlü, küp, sekizyüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü olan cisimlere Platonik Cisimler denir. Buna göre;

a) Platonik cisimlerin her bir köşesinde buluşan yüzeylerin oluşturduğu açıların ölçüleri toplamı için ne söyleyebiliriz?b) Platonik cisimlerde her bir köşesinde buluşan yüzeylerin oluşturduğu açıların ölçüleri toplamı 3600 olursa ne olur?

4. Aşağıdaki cisimlerin içbükey ya da dışbükeyliğini tartışınız.

5.

Şekildeki 3x3x3 küpün yüzey alanı değişmeyecek şekilde birim küp çıkartmak istersek hangi birim küp çıkarılmalıdır?

6. Aşağıdaki şekillerin her biri, dört eşit küpten oluşmuştur. Bu şekillerin hangisinin yüzey alanı daha büyüktür?

7. Aşağıda ayrıt uzunlukları verilen cisimlerin yüzey alanlarını bulunuz.

17

12

4

8

66

6 10

3 322

5

15

515

8

1

13

3 3

9

15


141

8.A

B C

4cm 4cm

4cm

Yanda tabanı verilen ve yan yüksekliği 6 cm olan dik piramidin taban alanını, yanal alanını ve tüm alanını bulunuz.

9.Taban çevresi 24br, yüksekliği 4br olan kare dik piramidin yüzey alanını bulunuz.10. Köşegen uzunluğu 8br olan kare piramidin yan yüz yüksekliği 8 3 br ise kare piramidin yüzey alanını bulunuz.11. Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 48br, yükseklik uzunluğu taban uzunluğunun 2 katı olan kare prizmanın yüzey alanını bulunuz.12. Tabanın bir kenar uzunluğu 8cm ve yan yüzeyinin taban yüzeyi ile yaptığı açının ölçüsü 300 olan eşkenar üçgen dik piramidin yüzey alanını bulunuz.

13. Aşağıda açınımı verilen küp kapalı du-ruma getirildiğinde şeklinin bulunduğu kenar hangi şekil ile çakışır?

14. Cubo-Octahedron (Küp-sekizyüzlü) ayrıt uzunlukları eşit 6 kare ve 8 eşkenar üçgen-den oluşmuştur.

a) Şeklin açınımını yapmaya çalışınız.b) Her bir kenarı 4 cm olan küp-sekizyüz-lünün yüzey alanını bulunuz.

15. Yandaki şekil 4x4x4 boyutunda bir küptür.

a) 4 adet yeşil küp çıkardığımızda ge-riye kalan cismin yüzey alanı kaç br2 dir?

b) 4 adet mavi küp çıkarıldığında geriye kalan cismin yüzey alanı kaç br2 dir?

c) a ve b seçeneklerinde her birinde 4 adet küp çıkarılmasına rağmen cevaplarının farklı olmasının nedenini açıklayınız.

16.

Yukarıdaki şekil 5x5x5 boyutunda bir küp-tür. Kırmızı çizgiler boyunca ayrılıp çıkarılan parçalardan sonra ortada kalan cismin yüzey alanı kaç br2 dir?


142

17.

D

A B E

FH

G

C

Yukarıda açınımı verilen piramidin ayrıt uzunlukları eşittir. Bu piramidin tepe noktası hangi noktadadır?

18.A

B C

6cm 6cm

6cm

Şekilde ABC eşkenar üçgeninin kenar orta noktalarını işaretleyiniz. Orta noktaların birleşmesiyle oluşan doğrulardan katlayınız. Oluşan piramidin yan yüzey alanı kaç cm2 dir?

19.

Kesit yüzeyin ikizkenar yamuk olabilmesi için üstteki piramit nasıl kesilmelidir?

20.

Yukarıdaki piramitten tabanı düzgün altıgen olan şekil çıkarıldığında;

a) Çıkarılan cismin açınımını,

b) Geriye kalan piramidin açınımını çiziniz.

21.

A

E

D

CB

F

Tabanı ABCDE düzgün beşgen piramit ve yan yüzlerinden biri EDF ikizkenar üçgeni olan bir piramit oluşturulmak isteniyor. Bu piramidin dik piramit olmaması için diğer yan yüzlerin kenar uzunlukları için ne söylenebilir?


143

DİK PRİZMALARIN VE DİK PİRAMİTLERİN HACİMLERİ

1. Resim 2.Resim 1. resimde verilen lokum paketlerinin ve 2. resimde verilen peynir tenekelerinin hangi prizmalar olduklarını söyleyiniz. Boş bir lokum kutusunun kaç adet lokum alacağını ya da peynir tenekesinin kaç kalıp peynir alacağını bilmek için kutu ve teneke ile ilgili hangi bilgiye ihtiyaç vardır?

12

A B

C

C/

B/

D/

A/

D

Bir şeker fabrikasında bir kenarının uzunluğu 1cm olan küp biçiminde şekerler üretil-mektedir. Üretilen şekerler, taban ayrıt uzunlukları |AB|=12cm ve |AD|=7cm, yanal ayrıt uzunluğu |DD/|=4cm olan dikdörtgen dik prizma biçimindeki kutulara konularak satışa sunulacaktır.

Her bir kutuya kaç adet küp şeker konulduğunu ve bir kutunun hacmini hesaplayalım.Bunun için şekli inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız.

[AB] boyunca bir sırada kaç tane küp şeker vardır? [AD] boyunca bir sırada kaç tane küp şeker vardır? ABCD dikdörtgensel bölgesinin üzeri tamamen şekerle kaplandığında kaç adet küp şeker konulduğunu söyleyiniz. Şekerleri üst üstte dizerek kutu kaç kat şeker ile doldurulabilir? Bu kutuda kaç adet 1 cm3 hacminde küp şeker olduğunu bulunuz.

Kutunun taban alanı ile yükseklik uzunluğunu ilişkilendirerek dikdörtgen dik prizmanın hacmini veren bir bağıntı bulmaya çalışınız.


144

Herhangi bir dikdörtgen dik prizmada hacim, tabandaki dikdört-gensel bölgenin alanı ile dikdörtgen dik prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Daha genel olarak, yukarıdaki şekilde verildiği gibi a, b, c ∈ R olmak üzere taban ayrıtları a br, b br, yanal ayrıt uzunluğu c br olan dikdörtgen dik prizmanın hacmi,

V=a.b.c br3 bağıntısı ile hesaplanır.

A B

C

C/

B/

D/

A/

D

ab

c

A B

C

C/

B/

D/

D

A/

43

5

Taban ayrıtları 3cm ve 4cm, yanal ayrıt uzunluğu 5cm olan dikdörtgen dik prizmaya 1cm3 lük şekerlerden kaç tane sığdığını bulalım.

ÇÖZÜM:

V = 4.3.5 = 60 cm3 kutunun hacmi olur. Öyleyse kutuya 60 adet küp şeker sığar.

A B

D C

E F

H G Yandaki şekilde verildiği gibi dikdörtgen dik prizma biçimindeki cam bir kapta hacminin beşte biri kadar sıvı vardır. |AB|=10cm, |BC|=16cm ve |CG|=20cm dir. Bu prizma BCGF yüzeyi üzerine yatırılıyor. Bu durumdaki sıvının yükseklik uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM :

İlk durumda,

Vsıvı = 15

. Vprizma = 15

. 10.16.20 = 640 cm3 olur.

İkinci durumda,

Vsıvı = 16. 20. x 640 = 320. x ⇒ x=2 cm bulunur.


145

13

A B

D C

X L P Q

S R

T V

N M

A B

C

DE

F

M

A/ B/

D/ C/

X/ L/ P/ Q/

S/ R/

T/ V/

N/

M/

A/ B/

C/

D/E/

F/

M/

4

2

6

4

4 4

5

7

5

3

6

7

6

54

3

6

1. Şekil 2. Şekil 3. Şekil 4. Şekil 5. Şekil

A B

CD

A/ B/

D/ C/

4

5

6

6. Şekil

Yukarıdaki prizmaları isimlendiriniz. Bu prizmaların her birini bir dikdörtgen dik prizmaya tamamlayıp tamamlayamaya-cağınızı ya da dikdörtgen dik prizmaya dönüştürüp dönüştüremeyeceğinizi tartışınız. Buradan dik prizmaların hacim bağıntısını oluşturmaya çalışınız.

Dik prizmalarda hacim, tabandaki çokgensel bölgenin alanı ile prizmanın yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir.

Üçgen dik prizmanın hacmi,

V = A(ABC) . |AA/|

biçiminde verilir.A B

CA/ B/

C/


146

A

H

B

C

E

D

Sinem Hanım bahçesindeki ikizkenar yamuk dik prizma biçimindeki saksısının toprağını değiştirmek istiyor. Beton kalınlığı 3cm olan saksıda |AB|=20cm, |DC|=50cm, |CE|=60cm ve |AH|=30cm dir. Saksının tamamen dolması için kaç cm3 toprak satın alacağını bulalım.

ÇÖZÜM:

3cm beton kalınlığını göz önüne alarak toprağın hacmini be-lirleyen prizmanın ayrıtları şöyle olur:İkizkenar yamuğun taban ayrıtları; 20−2.3=14cm ve 50−(2.3)=44cm iken yükseklik uzunluğu da 30−3=27cm olur. Prizmanın yüksekliği ise 60−(2.3)=54cm dir.

V=Taban alanı x yükseklik uzunluğu

V= 44+142

.27.54 = 42282 cm3 bulunur.

A

B

C

D

E Marangoz Burhan usta resimde görülen düzgün altıgen dik prizma biçimindeki keresteyi noktalı çizgiler boyunca keserek ortadaki parçayı kullanmak istemektedir. |DC|=15cm ve |DE|=50cm olduğuna göre kullanı-lacak parçanın hacmini bulalım.

ÇÖZÜM:

|AD|=|BC|=15 3 cm

m(ADC)= m(DCB)= m(CBA)= m(BAD)=900 (Düzgün altıgen)

Vkesilen=A(ABCD).|DE|=15.15 3 .50= 11250 3 cm3 bulunur.


147

14

A

B

C

C/

D/

A/

D

B/

H1

H2 H3

H1/

H2/ H3

/

a a

a2

A

B

C

C/

D/

A/

B/

a a

a2

A

B

C

C/

D/

A/

D

B/

Ha a

a2

D

O O O

Yukarıda verilen bir kenarı |AB|=a br olan küpün AC/, BD/, CA/ ve DB/ köşegenleri O noktasında kesişmiştir. İnceleyiniz. Oluşan piramitler kullanılarak bu küpün açınımı aşağıdaki biçimde verilebilir:

D/O

O

O

O

O

B/

A/

A

A/

B/

B/

C/

D

D/

C/C/

CH3/

a2

OB

C

D/

DD

DD

a2

a2

a2

a2

H3

H2

H2/

H1

H1/

a2

Küpün hacmi ile açınımda görülen kare dik piramitlerin hacimlerini ilişkilendiriniz. Küpün hacim bağıntısını kullanarak bir kare dik piramidin hacmini hesaplayınız. Bu sonucu kare piramidin yükseklik uzunluğu ve taban alanı cinsinden bulunuz. Kare dik piramidin hacmini veren bağıntıyı yazmaya çalışınız. Benzer çalışmalar yaparak tabanı farklı çokgenlerden oluşan dik piramitlerin hacim bağıntılarının ne olabileceğini tartışınız.

Yapılan çalışmalardan dik piramitlerde hacim, taban-daki çokgensel bölgenin alanı ile piramidin yüksekliğinin çarpılıp üçe bölünmesinden bulunur. Bu durumda yandaki piramidin hacmi,

V = A(ABCD) . |TO| . 13

biçiminde ifade edilir.

A B

T

CB

O


148

OD 80

40

60A B

C

T

Yandaki resimde görülen zeytinyağı şişeleme makine-sinde kullanılan dikdörtgen dik piramit biçimindeki sıvı toplama kabında |AD|=40cm, |DC|=80cm ve |OT|=60cm dir. Bu kabın kaç cm3 zeytinyağı toplayabileceğini hesaplayalım.

ÇÖZÜM:

V = A(ABCD) . |TO| . 13

= 40.80.60. 13

= 64000 cm3 olur.

K

C

A D

B

M

EF

2

2

2 2

2

6

T

2. Şekil1. Şekil

C

AO

B

4

4

4

6

Yanda 1. şekilde eşkenar üçgen dik piramit ve 2. şekilde düzgün altıgen dik piramit verilmiştir. Verilen birim uzunluklara göre her iki piramidin ha-cimlerini bulmaya çalışalım.

ÇÖZÜM:

V1=13

A(ABC).|TO|=13

.42 3

4.6 = 8 3 br3

V2=13

.A(ABCDEF).|KM|=13

.6.22 3

4.6 =12 3 br3

Yanda açık hâli verilen karton ambalaj kapatılarak kare dik piramit biçiminde çikolata kutusu yapılmak isteniyor. Tüm ayrıt uzunlukları 12cm olan piramidin kaç cm3 çikolata alacağını bulalım.

ÇÖZÜM:

Yanal yüz yükseklik uzunluğu: 12 32

= 6 3 (Eşkenar üçgen)

Piramit yükseklik uzunluğu: 6 2 (Pisagor bağıntısı)

Piramidin hacmi: V=Taban Alanı x Yükseklik Uzunluğu x 13

= 122. 6 2 .13

= 288 2 cm3 bulunur.


149

1. Aşağıdaki katı cisimlerin hacimlerini hesaplayınız.

5

5

16

6 6

6

10

5

2

20

10

8

8

206

6

66

88

88

8

A

A

AAA

A B

T

CC

C

C

C

C B

B

BBB

B

D

G GH H

DD

D

D

E

E

E

E

F

F

F

F

O

12

3

4

2. Taban ayrıtları 4cm ile 5cm ve hacmi 180cm3 olan dikdörtgen dik prizmasının yanal alanı kaç cm2 olur?

3. Dik üçgen dik prizmada dik kenarlardan biri %10 azaltılıp diğeri %5 artırılırken, prizmanın yüksekliği %10 artırılıyor. Yeni şeklin hacmi % kaç değişir?

4. Taban ayrıtları tam sayı, hacmi 72cm3, yükseklik uzunluğu 6cm olan kaç farklı dikdörtgen dik piramit vardır?

5.

K

A

E

B

F

C

G

D

HL

M

Şekildeki ayrıt uzunluğu 10cm olan bir küpten K, L ve M noktaları içe-ren bir düzlem boyunca kesilerek piramit biçiminde bir parça çıkarılıyor. |KF|=3cm, |FL|=5cm, |FM|=4cm ise;

a) Çıkan piramidin hacminin kaç cm3 olduğunu bulunuz.b) Piramit çıkarıldıktan sonra kalan katı cismin hacminin kaç cm3 olduğunu belirleyiniz.

6. Yükseklik uzunluğu değişmeyen tabandaki bir kenar uzunluğu bir gerçek sayıya eşit olan düzgün prizmalarda tabandaki kenar sayısı arttıkça prizmanın hacmindeki değişim için ne söylenebilir?7.

1. Yüz 2. Yüz

Yanda değişik iki yan yüzü verilmiş küpün 1. yüz konumundayken ok yönünde çevrildiğinde yeni durumunu çiziniz.


150

ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARI

1. Tüm prizma ve piramitlerde köşe sayısı K, yüzey sayısı Y ve ayrıt sayısı A olmak üzere K, Y ve A arasında aşağıdaki bağıntı vardır:

K + Y − A = 2Yukarıda verilen açıklamaya göre aşağıdaki soruları cevaplayınız:

a) Köşe sayısı 10, yüzey sayısı 7 olan bir prizmanın ayrıt sayısı kaçtır? Bu prizma nasıl isimlendirilir?b) Tabanı kare olan bir piramidin ayrıt sayısı kaçtır?c) K + Y = 20 eşitliğini sağlayan prizmanın tabanı nedir?ç) 4 köşesi olan bir prizma çizilebilir mi?d) 8 köşeli ve 8 yüzlü bir prizma da çizilebilir mi?

2.

A

B

C

Şekildeki gibi boyalı ahşap bir küpte A, B ve C noktaları bulundukları ayrıtların orta noktalarıdır.Küp, bu noktaları içeren bir düzlem boyunca kesilerek piramit biçiminde bir parça çıkarılıyor. Piramit önce boyasız yüzey üzerine oturtulup yükseklik uzunluğu ölçülüyor. Daha sonra boyalı yüzlerden biri üzerine oturtulup yeni yükseklik uzunluğu ölçülüyor. Hangi durumda yükseklik daha fazladır?

3. Yan yüz yükseklik uzunluğu 5, tabanının bir kenarının uzunluğu 8cm olan kare dik piramidin hacmi kaç cm3 tür?

4. Bir küpün ayrıtları iki kat artırılırsa hacmi kaç kat artar? A) 2 B) 4 C) 7 D) 26 E) 27

5. Kenarları tam sayı ve yüksekliği tabanının kısa kenar uzunluğunun iki katı olan dikdörtgen dik prizmada ayrıtlarının uzunlukları toplamı 76cm dir. Dikdörtgen dik prizmanın hacminin en büyük değeri kaç cm3 tür? A) 210 B) 216 C) 224 D) 232 E) 240

6. Bir kenarı 8m ve yüksekliği 3m olan kare dik piramit biçiminde çadır için kaç m2 çadır bezi gereklidir? A) 60 B) 64 C) 72 D) 80 E) 92

7.

Kare biçimindeki pembe renkli kâğıdın iki köşesi düzgün altıgen dik prizma biçimindeki kalemliğin iki yanal ayrıtını ortalayacak şekilde tüm yan yüzlere yerleştiriliyor. Prizmanın taban ayrıt uzunluğu 8cm, yanal ayrıt uzunluğu 16cm ise prizmanın tüm dış yüzeyinde kullanılan pembe renkli kağıdın kapladığı alan kaç cm2 dir?

A) 192 B) 196 C) 202 D) 206 E) 212

5. ÜNİTE İZOMETRİK VE ORTOGRAFİK...

Documents

Transcript of 5. ÜNİTE İZOMETRİK VE ORTOGRAFİK...