7. complejos
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LA CLASE VIRTUAL LOS NUMEROS COMPLEJOS
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LA CLASE VIRTUAL
LOS NUMEROS COMPLEJOS
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en el campo de los números reales.
loge(-2) no es un número real. Tampoco es un número real (-2)p
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Un número complejo a viene dado por un par ordenado (a, b) de números reales. El primero se llama parte real, y se escribe
a=Re( )a El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
b= Im( )a
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto C=R2 de los números complejos y el conjunto E2 de puntos del plano, habiendo fijado un sistema de referencia cartesiano.
De modo que el complejo =a (a,b) representa el punto P (llamado afijo), cuyas coordenadas son precisamente a y b.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El complejo (0,1) se representa mediante la letra i y es la unidad imaginaria.
Los números reales son los números complejos de la forma (a,0), donde a es el número real que se identifica con el complejo (a,0). Los números imaginarios son de la forma (a,b), con b distinto de cero.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los números reales forman el conjunto R al que le corresponde el eje de abscisas. Los números imaginarios puros se corresponden con los puntos del eje de ordenadas.
El módulo del complejo =a (a,b) viene dado por y el argumento por el valor de q tal que . Nótese que si q es un argumento también lo es +2q kp
22 ba a/btg
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El argumento se llama principal si La representación módulo argumental del
complejo =a (a,b) viene dada por rq La identidad entre los complejos (a,b) y
(c,d) equivale a: a=c y b=d La identidad entre los complejos rq y sz
equivale a: r = s y =q z+ 2kp
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El paso del par ordenado a la forma módulo argumental se logra del siguiente modo:
)b(signo)(signo
)a/b(arctgba
sinb
cosa
)b,a(
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
La aritmética compleja viene dada por:
Se demuestra fácilmente que:
rqsz=( )rs +q z
)bcad,bdac()d,c)(b,a(
)db,ca()d,c()b,a(
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b) El inverso de a=(a,b), distinto de cero (0,0),
es
También se tiene que para rq distinto de cero
)ba
b,
ba
a(
22221
)()( 11
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La forma binómica del complejo (a,b) se escribe a+ib, ya que
La forma trigonométrica del complejo rq viene dada por r(cosq+isinq), puesto que
iba)b,a(
)0,b(*)1,0()0,a()b,0()0,a()b,a(
)sini(cos
)sin(i)cos(iba)b,a(
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La forma exponencial del complejo rq viene dada por
rq= r eiq
teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:
eiq =cos + q i sinq
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Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i. De otra parte: Además, si n es un número natural se tiene:
(Fórmula de De Moivre)
etc. ,ii ,1i ,ii 543
)nsin(i)ncos()sini(cos
))nsin(i)n(cos()())sini(cos(
)()(
n
nn
)n(nn
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Las expresiones anteriores son válidas para n negativo.
Además:
de donde basta definir
para poder evaluar la expresión
con m y n enteros, n positivo.
mn/1n/m )(
n/1n/m
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La expresión en realidad corresponde a n números complejos diferentes dados por
Los afijos de son los vértices de un polígono regular de n lados, centrado en el origen de coordenadas.
n/1
1-n0,1,2,...,k
,)(n
k2n/1
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Se justifica lo anterior como sigue:
Para los demás valores de k se repiten las soluciones cíclicamente
n/)k2( ,
k2n ,
)(
n/1
n
n
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La exponencial compleja se define muy fácilmente: Sea a=(a,b), entonces
Nótese que:
)bsinib(cose)e(eee aibaiba
1e
eee0
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El logaritmo de un número complejo en realidad son infinitos complejos. En concreto:
,...3,2,1,0k
),k2(iln)ln(
LOS NUMEROS COMPLEJOS
La justificación de lo anterior es como sigue:
)k2(ilnivu)ln(
:definitivaen ,k2v
y lnu bien, o ,e
luego ),sini(cos
)vsiniv(coseeeee
: tienese ivu Si
)ln(e
)sini(cos Sea
u
uivuivu
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Para k=0 se obtiene el valor principal del logaritmo, con
Nótese que: Se define ml mediante
iln)(Ln
)ln(e
lne
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EJEMPLOS:– 1) loge(-2)
– 2) (-2)p
i2ln)2(Ln)k21(i2ln
)k2(i2ln)2ln()2(loge
))k21sin(i)k21(cos(eee
ee)2()2(222ln)k21(i2ln
))k21(i2(ln)2ln(
2
LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS:– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):
– 3) ii3.7974 i - 7.9662-
)sini(cose)2( 222ln
)k22/())k22/(i1(lni
)1ln(iilnii
ee
eei 2/
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EJEMPLOS:– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del ángulo doble.
2079.0ei 2/i
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EJEMPLOS:– Se tiene que
cossin22sin
sincos2cos
)2sini2(cos)sini(cos22
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