CUERPO NEGRO I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

INTEGRANTES:

SILLO QUISPE, CARLOS

URIARTE RIVAS, JOSE ANTONIO

2014 - I

PROFESOR:

VALDIVIA MENDOZA, HÉCTOR

INDICE:

TEMA PAG

1.- Objetivos……………………………………………………………………………………. 3

2.-El cuerpo negro y su superficie…………………………………………………….. 4

3.- Propiedades de la superficie de un cuerpo…………………………………. 5

4.- Propiedades de la superficie de un cuerpo negro………………………… 6

5.- Radiación de un cuerpo………………………………………………………………. 7

6.- La ley del desplazamiento de Wien…………………………………………….. 9

7 .- Experimentos para hallar las constantes de boltzman y Planck … 13

8 .- Conclusiones ……………………………………………………………………………… 15

OBJETIVOS:

Estudiar al cuerpo negro y sus propiedades de su superficie Estudiar la radiación y las leyes que se cumplen en el cuerpo negro

EL CUERPO NEGRO Y SU SUPERFICIE

El nacimiento de la cuántica generalmente se sitúa el 14 de Diciembre de 1900. Ese día Max Planck dio una charla acerca del cuerpo negro donde había que cambiar la visión que se tenía hasta el momento de la interacción de la materia con la radiación. El cuerpo negro es un sistema físico (ideal) que presenta enormes sorpresas. Bajo estas circunstancias es justo que le dediquemos una entrada en el blog. Intentaremos hacerlo muy visual y que se pueda entender el fundamento del por qué hubo que recurrir a un cambio de ideas en física para explicar su comportamiento.

Un cuerpo, por el hecho de estar a una determinada temperatura, emite radiación. Se sabe que la radiación es emitida en todas las frecuencias pero emite más intensamente para una frecuencia específica que se puede calcular sabiendo su temperatura. Es por eso que vemos las estufas de resistencia ponerse al rojo cuando las encendemos.

Un cuerpo negro es aquel que absorbe toda la radiación (en todas las frecuencias) que le llega. Generalmente se piensa en un cuerpo negro como en una caja cerrada donde la materia y la radiación están en equilibrio. Por lo tanto, todo lo que es absorbido vuelve a ser emitido y la radiación está, de manera efectiva, rebotando por las paredes. Este sistema es ciertamente ideal, en la vida real no existe nada que absorba a todas las frecuencias por igual.

Evidentemente este sistema tiene que estar cerrado para que el equilibrio térmico sea posible. Sin embargo, podemos pensar que hacemos un agujero minúsculo por el que la radiación escapa de muy poco en poco y eso nos permite ver qué frecuencias y con qué intensidad está la radiación dentro del cuerpo negro.

PROPIEDADES DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO

Sobre la superficie de un cuerpo incide constantemente energía radiante, tanto desde el interior como desde el exterior, la que incide desde el exterior procede de los objetos que rodean al cuerpo. Cuando la energía radiante incide sobre la superficie una parte se refleja y la otra parte se transmite.

Consideremos la energía radiante que incide desde el exterior sobre la superficie del cuerpo. Si la superficie es lisa y pulimentada, como la de un espejo, la mayor parte de la energía incidente se refleja, el resto atraviesa la superficie del cuerpo y es absorbido por sus átomos o moléculas.

Si r es la proporción de energía radiante que se refleja, y a la proporción que se absorbe, se debe de cumplir que r+a=1.La misma proporción r de la energía radiante que incide desde el interior se refleja hacia dentro, y se transmite la proporcióna=1-r que se propaga hacia afuera y se denomina por tanto, energía radiante emitida por la superficie.

En la figura, se muestra el comportamiento de la superficie de un cuerpo que refleja una pequeña parte de la energía incidente. Las anchuras de las distintas bandas corresponden a cantidades relativas de energía radiante incidente, reflejada y transmitida a través de la superficie.

Comparando ambas figuras, vemos que un buen absorbedor de radiación es un buen emisor, y un mal absorbedor es un mal emisor. También podemos decir, que un buen reflector es un mal emisor, y un mal reflector es un buen emisor.

Una aplicación práctica está en los termos utilizados para mantener la temperatura de los líquidos como el café. Un termo tiene dobles paredes de vidrio, habiéndose vaciado de aire el espacio entre dichas paredes para evitar las pérdidas por conducción y convección. Para reducir las pérdidas por radiación, se cubren las paredes con una lámina de plata que es altamente reflectante y por tanto, mal emisor y mal absorbedor de radiación.

PROPIEDADES DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO NEGRO

La superficie de un cuerpo negro es un caso límite, en el que toda la energía incidente desde el exterior es absorbida, y toda la energía incidente desde el interior es emitida.

No existe en la naturaleza un cuerpo negro, incluso el negro de humo refleja el 1% de la energía incidente.

Sin embargo, un cuerpo negro se puede sustituir con gran aproximación por una cavidad con una pequeña abertura. La energía radiante incidente a través de la abertura, es absorbida por las paredes en múltiples reflexiones y solamente una mínima proporción escapa (se refleja) a través de la abertura. Podemos por tanto decir, que toda la energía incidente es absorbida.

LA RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO

¿A qué se refiere con radiación?

El término radiación se refiere a la emisión continua de energía desde la superficie de cualquier cuerpo, esta energía se denomina radiante y es transportada por las ondas electromagnéticas que viajan en el vacío a la velocidad de 3·108 m/s . Las ondas de radio, las radiaciones infrarrojas, la luz visible, la luz ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma, constituyen las distintas regiones del espectro electromagnético.

Consideremos una cavidad cuyas paredes están a una cierta temperatura. Los átomos que componen las paredes están emitiendo radiación electromagnética y al mismo tiempo absorben la radiación emitida por otros átomos de las paredes. Cuando la radiación encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átomos de las paredes, la cantidad de energía que emiten los átomos en la unidad de tiempo es igual a la que absorben. En consecuencia, la densidad de energía del campo electromagnético existente en la cavidad es constante.

A cada frecuencia corresponde una densidad de energía que depende solamente de la temperatura de las paredes y es independiente del material del que están hechas.

Si se abre un pequeño agujero en el recipiente, parte de la radiación se escapa y se puede analizar. El agujero se ve muy brillante cuando el cuerpo está a alta temperatura, y se ve completamente negro a bajas temperaturas.

Históricamente, el nacimiento de la Mecánica Cuántica, se sitúa en el momento en el que Max Panck explica el mecanismo que hace que los átomos radiantes produzcan la distribución de energía observada. Max Planck sugirió en 1900 que

1. La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes que se comportan como osciladores armónicos de frecuencia dada f .

2. Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad proporcional a f. Cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su energía aumenta o disminuye en una cantidad hf .

La segunda hipótesis de Planck, establece que la energía de los osciladores está cuantizada. La energía de un oscilador de frecuencia f sólo puede tener ciertos valores que son 0, hf , 2hf ,3hf ....nhf .

La distribución espectral de radiación es continua y tiene un máximo dependiente de la temperatura. La distribución espectral se puede expresar en términos de la longitud de onda o de la frecuencia de la radiación.

dEf /df es la densidad de energía por unidad de frecuencia para la frecuencia f de la radiación contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es (J·m-3)·s.

donde k es la constante de Boltzmann cuyo valor es k=1.3805·10-23 J/K.

dEl /dl es la densidad de energía por unidad de longitud de onda para la longitud de onda l de la radiación contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es (J·m-3)·m-1.

LA LEY DEL DESPLAZAMIENTO DE WIEN

La posición del máximo en el espectro de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura del cuerpo negro y está dado por la ley de desplazamiento de Wien. Calculando la derivada primera de la función de la distribución de Planck expresada en términos de la longitud de onda o de la frecuencia

Obtenemos la ecuación trascendente

Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, que establece que el máximo de la densidad de energía dEl /dlpor unidad de longitud de onda a distintas temperaturas T1, T2, T3, .., se produce a las longitudes de onda l1, l2, l3...tales que

De modo similar en el dominio de las frecuencias

Obtenemos la ecuación trascendente

A medida que la temperatura T se incrementa el máximo se desplaza hacia longitudes de onda menores (mayores frecuencias).

Como podemos comprobar el producto

no nos da la velocidad de la luz c como se podría esperar a primera vista, ya que estamos tratando con el máximo de una distribución que nos da la intensidad por unidad de longitud de onda o por unidad de frecuencia.

La luminosidad de un cuerpo caliente no se puede explicar, como se indica en algunos textos, a partir de la ley del desplazamiento de Wien, sino a partir de la intensidad de la radiación emitida en la región visible del espectro, tal como veremos más abajo. Así, a temperaturas tan elevadas como 6000 K el máximo medido en el eje de frecuencias de la distribución espectral se sitúa en la región del infrarrojo cercano. Sin embargo, a esta temperatura una proporción importante de la intensidad emitida se sitúa en la región visible del espectro.

LA LEY DE STEFAN-BOLTZMANN

La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de longitud de onda para la longitud de onda l , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión.

Su unidad es (W·m-2)·m-1.

La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia para la frecuencia f , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión.

Su unidad es (W·m-2)·s.

El applet realiza una representación gráfica de esta función en escala doblemente logarítmica. La intensidad por unidad de frecuencia en el eje vertical, y la frecuencia en el eje horizontal, para las temperaturas que se indican en la parte izquierda del applet.

Se muestra la parte visible del espectro en el centro, a la izquierda la región infrarroja y a la derecha la región ultravioleta del espectro. Se han señalado los máximos de las curvas y se ha trazado la recta que pasa por dichos puntos.

La intensidad total en W·m-2, de la radiación emitida por un cuerpo negro, se obtiene integrando la expresión anterior para todas las longitudes de onda (o frecuencias).

o bien W= ·T4, con  =5.670·10-8 (Wm-2K-4)

Esta expresión se conoce como ley de Stefan-Boltzmann. La energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y unidad de tiempo es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T.

Del mismo modo, integrando dEf/df para todas las frecuencias, podemos comprobar que la densidad de energía de la radiación contenida en una cavidad es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T de sus paredes. La constante de proporcionalidad vale s’=4s /c.

INTENSIDAD DE LA RADIACIÓN EMITIDA EN UNA REGIÓN DEL ESPECTRO

Vamos a calcular, la intensidad emitida por un cuerpo negro en una región del espectro comprendida entre las frecuencias f1 y f2, o entre las longitudes de onda l1=c/f1 y l2=c/f2

La fracción de la intensidad emitida en una región del espectro es el cociente entre la intensidad emitida en dicha región dividido por la intensidad total (ley de Stefan).

Esta fracción no depende de l o de T sino del producto l T. Esto quiere decir que por ejemplo la fracción de la intensidad emitida por un cuerpo negro en la región del espectro comprendida entre 0 y 10 mm a 1000º K es la misma que la fracción de la intensidad emitida en la región comprendida entre 0 y 5 mm a 2000º K.

Para calcular la integral definida se ha de emplear un procedimiento numérico, por ejemplo el método de Simpson, o bien la aproximación que se explica a continuación.

Se define la función F(x) a:

El término 1-e-x en el denominador se puede expresar como suma de potencias de e-

x desarrollando el binomio (1-z)-1=1+z+z2+z3+z4+…

Integrando por partes obtenemos la siguiente expresión para F(x)

Un pequeño programa de ordenador, nos permite calcular el valor de F(x1) y de F(x2) y a partir de la diferencia el valor de fracción de la intensidad emitida por el cuerpo negro en una región dada del espectro comprendida entre dos longitudes de onda o entre dos frecuencias. La intensidad total emitida en la región del espectro delimitada por las longitudes de onda l1 y l2 se obtiene:

Donde s ·T4 como se ha explicado, es la intensidad de la radiación emitida en todas las regiones del espectro.

En la siguiente tabla, se proporcionan los datos acerca del tanto por ciento de la contribución de la radiación infrarroja, visible y ultravioleta a la radiación de un cuerpo negro a las temperaturas que se indican.

Temperatura (K) % infrarrojo %visible %ultravioleta

1000 99.999 7.367·10-4 3.258·10-11

2000 98.593 1.406 7.400·10-4

3000 88.393 11.476 0.131

4000 71.776 26.817 1.407

5000 55.705 39.166 5.129

6000 42.661 45.732 11.607

7000 32.852 47.506 19.641

8000 25.565 46.210 28.224

9000 20.154 43.247 36.599

10000 16.091 39.567 44.342

EXPERIMENTOS PARA HALLAR LAS CONSTANTES DE BOLTZMAN Y PLANCK

Partimos del experimento en el que tenemos una caja negra por donde introducimos un haz de luz, de tal forma que el haz realice múltiples rebotes dentro de la caja.

Figura 1. Experimento de cuerpo negro.

De los resultados obtenidos de la distribución de energía espectral (P) en este experimento.

F

i

g

u

r

a

2

.

E

s

p

e

c

t

r

o

s

d

e

l

c

u

e

r

p

o

n

e

g

r

o

.

Este comportamiento fue estudiado y se le conoce como la ley de distribución de Rayleigh-Jeans:P(λ,T)=8πkTλ4siendo k la constante de Boltzmann, T la temperatura emitida y λ la longitud de onda.

Sin embargo, esta ecuación tiene problemas en el régimen del ultravioleta, por eso en 1900 Planck realizó una modificación a esta ley. La consideración que hizo fue que la

energía absorbida o emitida por el cuerpo negro no es continua y que era absorbida o emitida en paquetes discretos o cuantos.E=hν

F

i

g

u

r

a

3

.

M

o

d

i

f

i

c

i

a

c

i

ó

n

d

e

l

a

l

e

y

d

e

d

i

s

t

r

i

b

u

c

i

ó

n

d

e

P

l

a

n

c

k

.

CONCLUSIONES:

Al estudiar las propiedades de la superficie del cuerpo negro nos pudimos dar cuenta que a diferencia de un cuerpo normal, aquel no irradia energía sino se la guarda, por así decirlo.

La aplicación de las leyes concernientes al cuerpo negro (ley de la radiación, ley de Wien, ley de Planck) es con frecuencia útil , pero hay que recordar de estas páginas las condiciones físicas en las que se puede aplicar el modelo de cuerpo negro: la radiación tiene que ser testigo del equilibrio térmico del objeto considerado. Sin esta hipótesis, la aplicación de las leyes anteriores no puede ser utilizada y puede llevar a malas interpretaciones. En primera aproximación, las estrellas radian como cuerpos negros, pero las numerosas líneas de absorción pueden deformar el aspecto de distribución de la radiación. La radiación del fondo cosmológico es un excelente cuerpo negro.