Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio...

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto

Politécnico Nacional

Este material fue elaborado por la Comisión creada por la Academia Institucional de

Matemáticas para este fin. Esta comisión la formaron los profesores:

Javier Montes de Oca Olvera CECyT 4 “Lázaro Cárdenas”

Francisco Bañuelos Tepallo CECyT 5 “Benito Juárez”

José Calvillo Velázquez CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizabal”

José Luis Torres Guerrero CECyT 7 “Cuauhtémoc”

Guillermo Carrasco García CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz”

Salvador Romano Reyes CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

Pedro Ortega Cuenca CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

María del Carmen Sevilla CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Norberto Matus Ruiz CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Claudio Héctor Galván Aguirre CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Manuel Aguilar Zamora CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Estudiante Hoja 1

Geometría y TrigonometríaLibro para el estudiante

Nivel Medio Superior del

Instituto Politécnico Nacional

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superiordel Instituto Politécnico Nacional


Libro para el estudiante

Introducción

1. Secuencia de Aprendizaje (Contenido y referencia de suubicación)

Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicasUnidad 2. Geometría euclidianaUnidad 3. Trigonometría

2. Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje(MAPOA)

3. Problemas I. Problemas II. Problemas con guía III. Proyectos

4. Ejercicios

5. Lecturas

6. Autoevaluaciones

7. Bibliografía


IntroducciónEl marco institucionalEn el Simposio ‘La Prospectiva del IPN y los Desafíos para el Siglo XXI’, que tuvo lugar afines del siglo pasado, se destacó que el quehacer institucional se debe orientar hacia lacreación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad deadquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido desolidaridad. En particular, al IPN le corresponde atender a las necesidades del país parasustentar su desarrollo científico y tecnológico, por lo que deberá convertirse en un espaciode socialización que integre en sus propuestas formativas la ciencia, la tecnología y elconocimiento con una ética de responsabilidad profesional, en donde el currículo, lapedagogía, la organización, el diseño y la aplicación de las políticas institucionales, tenganla capacidad para actuar consistentemente frente a los escenarios del siglo que comienza.Para lograr estas metas, el IPN debe mantener un esquema dinámico de acción que lo hagaun espacio de formación, aprendizaje, actualización e investigación de alta calidad; unespacio y una comunidad en los que la permanencia y el apoyo se hagan posibles enfunción del mérito intelectual, la competencia demostrada y el potencial de contribuciónsocial, a donde la sociedad y sus instituciones puedan dirigirse para obtener respuestasconfiables a sus cuestionamientos.Las nuevas exigencias de acreditación de carreras y de certificación de egresados, imponenuna sistematización del desarrollo curricular que obliga a que la reforma académica seconstituya en un ejercicio permanente que garantice a los egresados el perfil profesionalrequerido para los tiempos por venir.Así, la educación que el IPN ofrezca tendrá que superar la imagen tradicional de laadquisición de conocimientos como un fin en sí, para insistir en el desarrollo de aptitudesen el nivel de métodos, de procedimientos y de estrategias de intervención; por lo que habráque mejorar los programas educativos y de investigación, adecuar las instalaciones, losrecursos humanos y la infraestructura, y fomentar el desarrollo tecnológico.En atención a las demandas que la sociedad le plantea, el IPN tiene como eje de sutransformación un nuevo perfil profesional que orienta el diseño y la instrumentación denuevos modelos educativos que proponen una relación adecuada entre los conocimientos,las habilidades práctico-productivas y las actitudes que dotarán a los estudiantes decapacidad emprendedora, responsabilidad, creatividad y flexibilidad en su desempeñoprofesional.En su prospectiva 2000-2015 hacia el nuevo Modelo Educativo Politécnico se señala que elreto no considera cambios radicales pero sí contundentes en:♦ la reorientación del enfoque y los contenidos de tal manera que el IPN eduque para

o vivir,o aprender,o emprender,o crearo y saber ser;

♦ la presencia de un esquema cultural que amplíe los horizontes de la ciencia y latecnología nacionales;


♦ dar un valor social, económico y ético a los conocimientos resultantes, para estarpresente en los circuitos de la distribución mundial de los saberes;

♦ proveer de servicios y haberes a la población del país;♦ y de contribuir a mantener la equidad, la unidad y el bienestar nacionales.Estos son los desafíos que, en palabras de la propia institución, el IPN reconoce para elpresente y el futuro inmediatos.

¿Qué entendemos por enseñar y aprender en el área de matemáticas?Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y consus compañeras en el salón de clases hay un acuerdo implícito, el estudiante está ahí paraaprender y el profesor para enseñar. Tu experiencia en la escuela te ha formado una nociónintuitiva de lo que estas dos ideas y prácticas significan y de lo que puedes esperar de unaclase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se diseñó para queaprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por latecnología. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, o siquiera posible, quepudieras aprender a interpretar textos no familiares con propósitos variables, construirargumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos,desarrollar diversos enfoques a los problemas o llevar a buen fin la solución de unproblema trabajando en grupo. Pero la sociedad requiere cada vez más una educación quese centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, denombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas,organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos yactividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte averdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumirlas consecuencias. . . Todo esto es complicado, pero es lo que haces, y vas a seguirhaciendo cada vez más, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocidainvestigadora en educación matemática, quien ha estudiado este pensamiento de ordensuperior, lo caracteriza señalando que

♦ no es algorítmico, porque las vías por las que circula no están bien definidaspreviamente,

♦ es complejo, porque no basta una perspectiva,♦ da lugar a soluciones diversas, cada una con sus costos y beneficios,♦ requiere de la aplicación de criterios múltiples, en ocasiones contradictorios, que

al aplicarse producen juicios matizados,♦ va acompañado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo

lo que se necesita,♦ debe auto-regularse,♦ comprende la asignación de un significado, encontrando la estructura que

subyace al desorden aparente♦ y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con propósitos definidos

en diversos niveles.De la Prospectiva del IPN podemos retomar la orientación que se debe dar al quehacerinstitucional hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuoen la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinentecon un sentido de solidaridad. Esto es una invitación para contribuir a una reformaeducativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualización de lo que

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significa «tener clase». Para nosotros, tus profesores, «enseñar matemáticas» significarácrear las condiciones que, con tu indispensable participación protagónica, producirán laapropiación del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formación de lasactitudes. «Aprender matemáticas» significará involucrarse en una actividad intelectualexigente, cuya consecuencia final será la disponibilidad de un conocimiento dual: comoinstrumento y como objeto. Así, «saber matemáticas» significará el desarrollo de estos dosaspectos del conocimiento:♦ Como instrumento, el conocimiento matemático está inscrito en un contexto. En este

caso es necesario usar las nociones y teoremas matemáticos que considera el programade la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas.

♦ Como objeto, el conocimiento está descontextualizado y es atemporal. Debes ser capazde formular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementosde una disciplina: la matemática.

Los tres pensamientos siguientes nos señalan aspectos que debemos considerar en nuestroaprendizaje:

Oigo y olvido,veo y recuerdo,

hago y comprendo.(Un viejo proverbio chino)

Hacer . . . y reflexionar acerca de lo que se hace.(Seymour Papert)

No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo(Así decían los griegos)

Es decir, oyendo, viendo, haciendo . . . pero además reflexionando y comunicando.

Así nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquemática, en la tríada

El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino quedebe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y secompromete con su aprendizaje. Juntos podrán discutir y definir las distintas maneras dedesarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas ysus riesgos.

Las Competencias Básicas y su dimensión matemáticaNuestro marco de referencia lo establece la SEP en sus competencias básicas del estudiantede bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante,


de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para lacomprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para suaplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo quese considera que deben ser comunes a todos los bachilleratos del país.

Se considera que las competencias básicas que se deben desarrollar durante el paso deleducando por el bachillerato son:

♦ Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, asícomo interpretar los mensajes en ambas formas.♦ Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos,matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.).♦ Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos parala resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa ytrabajando individualmente o en grupos.♦ Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de losconocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de sucomunidad, región y del país.♦ Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes parapropiciar su progreso intelectual.♦ Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que serefiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formacióncultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en losocial.♦ Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar ycotidiana.♦ Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medionatural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.

En cada una de las competencias anteriores hay una componente matemática, por lo que enel área de matemáticas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudesque al articularse con los de las otras áreas te permitan desarrollar significativamente estascompetencias. Estos objetivos, que sin duda quieres lograr tanto como nosotros, exigennuevas modalidades de trabajo, a las que quizás no estás acostumbrado, y pueden causarteconflictos, cierta desesperación, algo de presión, pero, según afirman los expertos comoResnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles,desarrollándolas e integrándolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen enjuego, simultáneamente, tanto las habilidades de índole general, como los conocimientosespecíficos, junto con tu disposición para embarcarte en situaciones con una fuerte carga deriesgo e incertidumbre. Estos ‘buenos propósitos’ son más complejos, lograrlos es una tareamás difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante.La experiencia básica en nuestras clases se definirá por nuestra relación con los problemas.La resolución de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando losproblemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factoresque intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algosignificativo como resultado de la interacción con el problema, son muchos y de distintos


niveles. La desatención de uno, o varios de estos factores puede entorpecer y a veces hacerimposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacciónfecunda con el problema. Un componente que influye de manera determinante correspondea la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. Piensa enun laboratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los factores queintervienen en los mismos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos secontrolan. Así, si queremos crear un ambiente propicio para el desarrollo de las habilidadesintelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a participar en cada modalidadde trabajo: individual, equipo y grupo completo.El desarrollo de la tecnología, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfiladoel mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matemática queno sólo atañe al especialista sino al ciudadano. Las matemáticas están tan inevitablementeincorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de algunamanera, hacemos un buen uso de las pocas o muchas matemáticas que sabemos.La herramienta tecnológica por excelencia es la matemática, pero la matemática es unaherramienta dinámica porque para cada problema nuevo hay que diseñar una herramientanueva; basta revisar la gran cantidad de matemáticas nuevas que se han hecho,especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempeñado en lasolución de los problemas importantes de todas las áreas.Anteriormente, los objetivos que perseguía una sociedad, o una institución, cambiaban cadados o tres generaciones. Actualmente, los objetivos se revisan constantemente y el cambioforma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte años estabanvigentes en la electrónica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Másque conocimientos específicos, que, por supuesto, en cierta medida siguen siendonecesarios, lo que se trata de lograr en la educación de hoy es la capacidad para serautosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige la profesión.Para organizar uno mismo su aprendizaje es necesario desarrollar:♦ las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un

propósito más complejo;♦ las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una componente importante de

incertidumbre;♦ la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situación distinta a aquélla en la que

aprendimos, los conocimientos que adquirimos.El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relación entreun profesor y sus alumnos. Pero la clase también es un sitio de interacción de costumbres ycreencias de cada uno de sus participantes es conveniente contar con un lenguaje comúnque nos permita tener un ambiente que propicie la enseñanza y el aprendizaje desde laperspectiva descrita. Así, cada una de nuestras experiencias de aprendizaje dentro del salónde clases tendrá un doble propósito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprendermatemáticas.El ambiente estará dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidadque debe tener en su aprendizaje, a través de:

♦ El trabajo individual y en equipo.♦ La resolución de actividades matemáticas.♦ La discusión matemática.


♦ La evaluación de tu trabajo y del trabajo de tus compañeros en el equipo y en elgrupo.

Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa,crítica y creativa, se suele decir: “sí, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero¿cómo lo hago?”. En la Academia de Matemáticas hemos reconocido la gran dificultad quehay para lograr estos objetivos y, junto con los Clubes de Matemáticas de varias escuelas,hemos diseñado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organización delaprendizaje, que te servirán para traducir en acciones cotidianas este importante propósito.Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se usan y comentanconstantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que, tanto elprofesor como los alumnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguajecomún, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje másimportantes. En una sección de esta Libro se tiene un comentario un poco más amplio deestos Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA’. En términosgenerales, estos auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su aprendizaje» ycontribuyen al logro de la autonomía de los alumnos en la organización de sus propiosaprendizajes.

El curso de Geometría y TrigonometríaEl IPN tiene fama de ser uno de los mejores bachilleratos en matemáticas de México. Lagran mayoría de ustedes seguramente se enorgullece de tener cierta facilidad para lasmatemáticas. El segundo curso del área de matemáticas se llama Geometría yTrigonometría. Al escuchar el título, lo que viene a nuestra mente es, quizás, un conjuntode figuras y operaciones con áreas y perímetros, en las que suele aparecer el raro π. Sinembargo, conforme realices las actividades que te propondremos te darás cuenta de la clasede conocimiento que queremos que logres, un conocimiento que se asocia con la calidad desu uso. Esto quiere decir que no se trata de padecer cursos, para aprobarlos, que nos exigenrealizar operaciones para las que no tenemos ningún significado inmediato, con la promesade que en un futuro indeterminado acabaremos por aplicarlas. No se trata entonces de queingenieros titulados no sean capaces de resolver los problemas que se les presenten si notienen una receta, o alguien que los dirija, para hacerlo. Nadie contrata hoy a un profesionalpara que resuelva un problema que ya está resuelto. Queremos que el criterio básico parajuzgar la calidad de nuestro aprendizaje sea la medida en que somos capaces de darlesentido a las conclusiones que obtenemos al aplicar nuestros conocimientos a la resoluciónde un problema, ya sea familiar o nuevo; que seamos capaces de descubrir los patrones querelacionan las características de un proceso, de imponer un modelo matemático, si esnecesario; y de evaluar los resultados de su aplicación en función de criterios propios de lasituación en la que se originó nuestro problema.Por supuesto que este tipo de aprendizaje es más difícil. Así como el espacio de nuestraexperiencia básica tiene varias dimensiones (una longitud, una anchura, una profundidad yun tiempo), el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: losconocimientos, las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender aidentificar y lograr objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizajemultidimensional en la escuela, particularmente en nuestras clases de matemáticas.El objetivo del curso, según lo estipula tu programa, es “Que el estudiante desarrolle sushabilidades de pensamiento, como son: razonamiento, análisis, reflexión, comunicacióny valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, que permita


relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, pararesolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y latecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias paravalidar resultados mediante demostraciones formales.”El método de trabajo se basa en la problematización continua, la formulación de conjeturasy la revisión sistemática de los conocimientos adquiridos, utilizando técnicas grupales parael análisis y la discusión, así como técnicas expositivas y de indagación, apoyadas conrecursos audiovisuales y tecnológicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que larelación entre el alumno y el objeto sea constructiva.Durante todo el desarrollo del curso se promoverán el análisis, la solución y la discusión deproblemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de supropio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su docente.Deberá tenerse presente que la resolución de problemas es la que permite generar e integrarconocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menosimportante. En este proceso el docente es el organizador de las experiencias de aprendizajeque problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, de manera quesus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interacción,avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, a lo largo de las actividades, losalumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbrengradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólicoy gráfico, así como al uso de tablas y diagramas.En términos generales, la enseñanza de los temas no debe seguir la exposición magistral,sino fomentar el trabajo en equipos y la exposición de las experiencias logradas por partede sus integrantes a través de una adecuada planeación de las actividades de aprendizaje.Lo que aquí estudiaremos debe ser algo más que la manipulación de figuras y expresionessimbólicas. Se debe convertir en una herramienta de modelación en el estudio desituaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando eséticamente aceptable, algunas de sus características pero, primordialmente, con el objeto decontribuir a explicarnos mejor los fenómenos del mundo en que vivimos.

La organización del Libro para el estudianteEn este Libro se incluyen varios tipos de actividades de aprendizaje. Cada actividad tieneun objetivo dentro de toda la red de experiencias consideradas en el curso y se presentacomo un apartado en este Libro:♦ Problemas

o Problemaso Problemas con guíao Proyectos

♦ Lecturas♦ Ejercicios♦ Tareas♦ Autoevaluaciones

El Libro va acompañada de un disco compacto que incluye algunos paquetes y actividadesque contribuirán a tu aprendizaje del Álgebra, la Geometría y la Trigonometría. Lasactividades se desarrollan en un ambiente que favorece el autoaprendizaje, la


autoevaluación, el trabajo en equipo, el manejo de la incertidumbre, la apropiación deestrategias personales para el manejo de situaciones no familiares, el empleo de formas depensamiento lógico y el uso de tecnología como una herramienta.Las actividades están planeadas para que estudiantes y profesores interactúen con diferenteselementos (los problemas, los problemas con guía, los algoritmos, los ejercicios, laslecturas y las exposiciones) que brindan las experiencias complementarias que sonnecesarias para el logro de los objetivos del programa.La cátedra, o exposición magistral del profesor, merece un comentario aparte. El profesorsólo hará matemáticas frente a ti en ocasiones bien planeadas, cuando estás preparado parabeneficiarte de sus explicaciones y participar con preguntas y comentarios, pero en generalserás tú quien haga matemáticas con tus compañeros al realizar las actividades deaprendizaje. Las explicaciones del profesor, en general, tendrán como punto de partida eltrabajo del grupo. En algunos casos resolverás completamente un problema (es un decir, unproblema nunca termina, siempre engendra otros), pero en otras quizás lo que obtengas detus afanes sean preguntas bien formuladas, que no es algo desdeñable, sino, por elcontrario, algo indispensable para lograr un aprendizaje profundo y duradero, porque le daun sentido personal a una situación que, en principio, nos puede resultar ajena.Una descripción del tipo de actividades que se desarrollarán durante el curso de Álgebra seresume en el cuadro siguiente:

Actividad deaprendizaje

¿En qué consiste?

Resolución deproblemas

Es una actividad en la que se vinculan las herramientasmatemáticas con algunos conceptos utilizando un contexto. Se tratade propiciar la interacción del estudiante con una situación(familiar o no) en la que se usan las matemáticas y se formulan oresponden preguntas que contribuyen a la conceptualización de losobjetos matemáticos.En la clase se propone a los estudiantes un problema, que puedecontener un cuestionario guía, para resolverlo, generalmente, enequipo. El profesor orienta a los estudiantes en la solución delproblema. Los alumnos presentan y validan la solución.

Desarrollo deProyectos

Es una tarea extraclase de varias etapas que requiere de un esfuerzocoordinado durante varios días o semanas, de la consulta a fuentesde información actualizada como periódicos, revistas o entrevistasa personas vinculadas con alguna situación problemática propiciapara un análisis matemático.Los estudiantes investigan, buscan y organizan su trabajo.Consultan con su profesor, quien los orienta y retroalimenta encada una de las etapas del proyecto. Se produce un informe que sepresenta y discute en el grupo.

Resolución deejercicios

Se trata de profundizar en el conocimiento de los algoritmos, decomprender por qué funcionan y practicarlos, de ser posible con elauxilio de herramientas tecnológicas, de ser capaces de generarlos,a partir de la solución de los problemas, de explorarlos ygeneralizarlos.Los estudiantes trabajan, generalmente, en forma individual


exponen y validan la solución. El profesor dirige y orienta,reformula e introduce las convenciones de la disciplina.

Lecturas Se trata de que el alumno interactúe con un texto con el objeto degenerar una interpretación global, de identificar la estructura deltexto, de reformular sus ideas principales, de comentarlo yconectarlo con el curso, de formular y resolver dudas, todo desde laperspectiva del desarrollo de una cultura matemática.Se realiza generalmente fuera de la clase, dejando sólo la discusiónpara la clase y, de ser posible, su prolongación en un foro dediscusión en la red.

Cátedra Consiste en retomar o conducir el trabajo de los estudiantesmediante anotaciones pertinentes. Formula nuevos problemas,comenta definiciones, teoremas o demostraciones y su papel en laorganización del conocimiento matemático.El profesor retoma las soluciones de sus estudiantes para presentary discutir nuevos temas así como para formalizar el conocimiento.

Autoevaluación Es un cuestionario diseñado para que el alumno pueda evaluar susavances con respecto a un objetivo bien definido. Aquí seencuentran organizadas por unidad. El alumno mismo puedecontrastar sus respuestas con las que se incluyen para medir suslogros.

Las secciones están organizadas según el tipo de actividad de aprendizaje. En la primerasección encontrarás la secuencia que corresponde a cada unidad del programa de Álgebra.La organización de las actividades que aquí se presenta constituye una propuesta flexible yfundamentada que puede ser modificada por el profesor.En cuanto al uso de las herramientas tecnológicas en las actividades de aprendizaje, hayque destacar que, en el área de Matemáticas, se reconoce como un aspecto natural denuestra sociedad y, por consiguiente, debe estar presente, en la medida de lo posible, con eldoble propósito de contribuir a fortalecer la comprensión de los alumnos y de permitir quese familiaricen con la interacción mediada por estos dispositivos que caracteriza el ejerciciode las profesiones en la actualidad. Así, en particular, se considera el uso responsable, perocotidiano, de las calculadoras con poder de graficación y con sistemas de cálculo algebraicoy los programas de computadora diseñados para el aprendizaje y el uso del Álgebra, laGeometría y la Trigonometría.Los programas vigentes de matemáticas en el IPN reconocen que un examen escrito nopermite evaluar todos los tipos de aprendizajes señalados antes, por ello incorpora lallamada “evaluación continua”, en la cual se ponderan habilidades y actitudes que se vandesarrollando paulatinamente.


Programa de Geometría y TrigonometríaVersión del alumno

Objetivo generalQue el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento,análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa,crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra,geometría y trigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas,sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructurasconceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.

Las cuatro líneas indispensables que se desarrollan en el curso de Álgebra y que secontinúan en la primera y tercera unidades de este curso son:

El Álgebra contempla cuatro grandes líneas de desarrollo, que se deberán ir tratando ydesplegando a lo largo de todo el curso:

• Lenguaje algebraico

• Modelación

• Ecuaciones

• FuncionesEs importante hacer notar que no es conveniente que haya largos período dedicadosexclusivamente a la ejercitación de la operatividad, sino que a medida que los alumnoshayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos, los utilicen en la resolución deproblemas y aplicaciones.En cuanto a la unidad de Geometría, cada experiencia de aprendizaje que tengas en este curso,dentro o fuera de la clase, será más provechosa en la medida en la que puedas identificar cómocontribuye al logro de las líneas siguientes:

• El desarrollo de la imaginación geométrica y espacial

• La construcción de la idea de demostración

• La familiarización con los objetos de la Geometría (incluyendo propiedadesy relaciones)

• La articulación de los conocimientos pertinentes en el cálculo geométrico(a partir de lo que se conoce, averiguar lo que se ignora, combinando datosy relaciones

El programa deberá cumplirse hasta sus últimas unidades, pues éstas preparan a losalumnos para los siguientes cursos. Lo anterior será posible si el docente distingue siemprelo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitación excesiva de temas de pocaimportancia para los cuales bastará resolver uno o dos ejemplos en el salón de clases y dejar


otros como tarea. También deberán evitarse aquellos tratamientos teóricos superfluos oinnecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio, pues el programa ha sidodiseñado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo detodo el curso.

LLiinneeaammiieennttooss ggeenneerraalleess ppaarraa llaa iinnssttrruummeennttaacciióónn ddee ttooddoo eell pprrooggrraammaa

- El núcleo de la actividad del curso será la problematización, pues el problema deberá

ser el instrumento que permita generar el conocimiento, el desarrollo de la habilidad

para aplicarlo y la consolidación para asimilarlo.

- La orientación de la dinámica se enfocará a la comunicación, el razonamiento y la

resolución de problemas.

- Se propone un modelo de sesión que incluya tres momentos:• Apertura. El docente puede informar y generar códigos de instrucción.• Desarrollo. El docente, y/o el estudiante, propone o plantea problemas, y/oactividades, dentro del contexto del tema. El docente organiza la dinámica deltrabajo.

• Cierre. El estudiante describe la actividad de la sesión, comunica lo que cree haberaprendido, el docente evalúa y toma decisiones para la siguiente sesión.

Esta instrumentación se aplicará en todas las unidades del programa y la Academiadiseñará los problemas tipo, con los que abordará la temática.

Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicasEl estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas yexponenciales a través de problemas de situaciones reales, lo que le permitirá incrementarsus habilidades interpretativas y destrezas operativas.

1.1 Noción intuitiva de función1.2 Concepto de función exponencial y logarítmica1.3 Propiedad de la función logarítmica

1.3.1 Cambios de base1.4 Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas con una variable

Unidad 2. Geometría euclidianaA partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos,postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución


de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas yfomentar su razonamiento lógico.

2.1 Conceptos básicos2.1.1 Antecedentes históricos2.1.2 El método axiomático-deductivo2.1.3 Términos no definidos2.1.4 La demostración deductiva directa e indirecta2.1.5 Definiciones, postulados2.1.6 Teoremas fundamentales sobre punto, recta y ángulos

2.2 Congruencia de triángulos2.2.1 Definición de triángulos congruentes2.2.2 Postulados de congruencia LAL, ALA y LLL2.2.3 Líneas y puntos notables del triángulo2.2.4 El triángulo isósceles y sus propiedades2.2.5 Teorema del ángulo externo

2.3 Paralelismo y perpendicularidad2.3.1 Teorema para la construcción de perpendiculares a una recta2.3.2 Rectas paralelas: postulados de las paralelas. Propiedades2.3.3 Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal: definición yteorema2.3.4 Pares de ángulos con lados respectivamente paralelos y con ladosrespectivamente perpendiculares

2.4 Propiedades del triángulo2.4.1 Teoremas para los ángulos internos y los ángulos externos2.4.2 Relación entre ángulos interiores y ángulos opuestos2.4.3 Desigualdad del triángulo

2.5 Semejanza de triángulos2.5.1 Definición de semejanza2.5.2 Postulados de semejanza: AAA, LAL y LLL2.5.3 Teorema de Tales2.5.4 Teorema de Pitágoras

2.6 Polígonos2.6.1 Definición y clasificación2.6.2 Propiedades de los paralelogramos2.6.3 Teoremas relativos a suma de ángulos internos, externos y número dediagonales

2.7 Circunferencia y círculo2.7.1 Rectas y puntos notables2.7.2 Propiedades relativas a cuerdas y tangentes2.7.3 Ángulos y arcos2.7.4 Transformación de medidas angulares de grados a radianes y viceversa

Unidad 3. TrigonometríaEl estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funcionestrigonométricas, modelos geométricos que le permitan resolver problemas.


3.1 Funciones trigonométricas3.1.1 Definición3.1.2 Relación entre funciones trigonométricas

3.1.1.1 Identidades trigonométricas3.1.1.2 Identidades pitagóricas3.1.1.3 Identidades de cociente

3.1.3 Círculo trigonométrico3.1.4 Funciones trigonométricas inversas3.1.5 Gráficas de funciones trigonométricas (para seno, coseno y tangente)

3.2 Resolución de triángulos3.2.1 Rectángulos3.2.2 Oblicuángulos

3.3 Ecuaciones trigonométricas

Bibliografía

Clemens, Stanley R., O’Daffer, Phares G., Geometría, México, Prentice Hall, 1998.

García Arenas, Jesús, Bertrán Infante, Celestí, Geometría y Experiencias, México, EditorialAlhambra, 1990.

Rich, Barnet, Geometría, México, Mc Graw-Hill, 1991.

Phillips, Elizabeth et al, Álgebra con aplicaciones, México, Editorial Oxford UniversityPress, 1999.

Gustafson, David R., Álgebra intermedia, México, Thomson Editories, 1996.

Smith, Stanley A. et al, Álgebra y Trigonometría, México, Addison-WesleyIberoamericana, 1997.

Calter, Paul, Fundamentos de matemáticas I y II, México, Mc Graw-Hill, 1996.

‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 16

EVALUACIÓNASPECTO AEVALUAR DEFINICIÓN OPERATIVA FORMA DE EVALUACIÓN INDIRE

CTADIRECT

APotencia

MatemáticaHabilidad y capacidad de usar la matemática para resolverproblemas en diferentes áreas de estudio

− Exámenes escritos− Exposición y resolución

de problemas− Trabajos extraclases

XX

X

X

Resolución deProblemas

Capacidad para resolver problemas y plantearlos, considerandodiversas alternativas para resolver problemas, un plan pararesolverlos, interpretar y comprobar resultados, y generalizarsoluciones

− Exámenes escritos− Exposición y resolución

de problemas− Trabajos extraclases

XX

X

X

Razonamiento Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes yformular conjeturas

− Exámenes escritos− Exposición− Interrogatorios− Entrevistas

XXXX

X

Comunicación Capacidad del alumno para expresar ideas matemáticas endiversas formas: hablada, escrita y gráfica

− Exámenes escritos− Interrogatorios− Trabajos extraclases

XXX

X

ActitudMatemática

Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas,comunicar ideas y razonar, probar métodos alternativos para laresolución de problemas; la perseverancia de llegar hasta el finde la tarea matemática; el interés, la curiosidad, la inventiva delos alumnos para hacer matemáticas; reconocer el valor quetienen las matemáticas en nuestra cultura, como herramienta ycomo lenguaje

− Exámenes escritos− Observación− Entrevistas− Interrogatorios− Trabajo en equipo

XXXXX

X

X

PERIODO UNIDADESTEMÁTICAS

PLAN DE EVALUACIÓN

1 1 a 2.2 Examen departamental 60%Evaluación continua 40%

2 2.3 a 2.10 Examen departamental 60%Evaluación continua 40%

3 3Examen departamental 60%Evaluación continua 40%

El examen departamental estará conformado por problemas que se evaluarántomando en cuenta:1. la comprensión del problema2. la planeación de una solución3. la obtención de una respuestaEn la evaluación continua se tomará en cuenta el modelo PER para propiciar que losalumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje


1. Secuencia de AprendizajeUnidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicasEl estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas y exponenciales a través de problemas desituaciones reales, lo que le permitirá incrementar sus habilidades interpretativas y destrezas operativas.

Horas Problemas Problemas conguía

ActividadesInternet

Ejercicios Lecturas Proyectos

1-3 El chisme Las ballenas deAlaska

El lenguaje de lasfunciones

Aspectosexternos

4-5 Dédalo yCalipso

Háganme lugar

Gauss, listillodesde chiquillo

Lee haciendopp. 591 a 602 de tu libro de

texto de Álgebra Álgebra conaplicaciones de Phillips et al

Haz los ejercicios cuyonúmero es de la forma 4n+13

pp. 602 a 606

El que noconoce a Dios

5-6 Vértigo La escala Richter Funciónexponencial

Lee haciendopp. 606 a 617.

Haz los ejercicios cuyonúmero es de la forma

4n+15 de la sección 10.2,pp. 617 a 620

e

7-9 Incrementos Construcciones 1Usando Geómetra

Lee haciendopp. 621 a 630.

Haz los ejercicios cuyonúmero es de la forma

4n+11 de la sección 10.3,pp. 630 a 633

10-12 Atenuadores Funciónlogarítmica

Haz los ejercicios cuyonúmero es múltiplo de 9de los ejercicios derepaso, pp. 634 a 636

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/4a_eso/Lenguaje_funciones.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/4a_eso/Lenguaje_funciones.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/Func-exp.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/Func-exp.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/Func-log.htm

http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/Func-log.htm


Unidad 2. Geometría euclidiana (1)

A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados y teoremas de la geometríaeuclidiana que aplicará en la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas yfomentar su razonamiento lógico.


ActividadesInternet


1-3 Tales de Mileto Tales

Construcciones 2

Homotecia ySemejanza

Lee haciendo el capítulo«Conceptos básicos deGeometría » del libro

Geometría y Experienciasde García Arenas y Bertrán

Infante

La Filosofía dela Matemática

La culturamatemática

4-5 El sope Viaje a Liliput conlas magnitudes

6-8 La torre Eiffel Construcciones 3 Proporcionalidad Geométrica

9-10 En Liliput Demostraciones 1 Lee haciendo el capítulo«Los polígonos» del libroGeometría y Experienciasde García Arenas y Bertrán

Infante11-13 El granjero:

Esfuerzomínimo

Costo mínimo

Construcciones 4

Demostraciones 2

El teorema dePitágoras





ActividadesInternet


14-15 Las escalerascruzadas

Pitágorasgeneralizado

Construcciones 5

Razonestrigonométricas

Lee haciendo el capítulo«Proporcionalidad de

segmentos y semejanza »del libro Geometría y

Experiencias de GarcíaArenas y Bertrán Infante

El casete

16-18 El Progreso delPeregrino

Construcciones 6 Simetría einvariancia

19-21 Las aparienciasengañan

Demostraciones 3 Cónicas Lee haciendo el capítulo «El teorema de Pitágoras y

otras relaciones entriángulo» del libro

Geometría y Experienciasde García Arenas y Bertrán

Infante

Calculemos π

22-24 Hayrevoluciones

que engendran...

Construcciones 7

Demostraciones 4





ActividadesInternet


25-27 Dos tazas Un presuntotetraedro

Teorema dePitágoras

Topología La cienciapara todos

28-30 El vaso cónico Identidadesalgebraicas

Lee haciendo el capítulo«La circunferencia» del

libro Geometría yExperiencias de García

Arenas y Bertrán Infante31-32 Otra revolución Construcciones 8

La razón áurea

QED,demostraciones

y teoremas33-35 Simas

¡Qué lata!

Construcciones 9 Lee haciendo el capítulo«Áreas de figuras planas»

del libro Geometría yExperiencias de García

Arenas y Bertrán Infante


Unidad 3. TrigonometríaEl estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas, modelos geométricos que lepermitan resolver problemas.Horas Problemas Problemas con

guíaActividades

InternetEjercicios Lecturas Proyectos

1-3 En las entrañasdel ángulo

Construcciones 10

Demostraciones 5

Resolución detriángulos

rectángulos

Lee haciendo el capítulo«Trigonometría del

triángulo rectángulo» deTrigonometría de la serieTeoría y Práctica de H-B

Jovanovich,

Pi Mi detectorinfalible

4-6 La lata familiar

El mirón

El cálculo π segúnArquímedes

Gráficas de funcionestrigonométricas

7-9 Hipólito y Fedra

Sin segundasintenciones

Construcciones 11

Demostraciones 6

Las funcionestrigonométricas

Algunos ejercicios deTrigonometría

10-12 El jovenecologista

Los pasillos

Construcciones 12 Lee haciendo el capítulo«Trigonometría general» de

Trigonometría de la serieTeoría y Práctica de

Harcourt Brace Jovanovich13-15 El negro que no

se raja

La banda de laspoleas

Construcciones 13 Razonestrigonométricas

OperacionesIdentidades y

ecuaciones

Identidades y ecuacionestrigonométricas

Cinta deMöbius y

orientabilidad

16-18 El pistón

El hogareñoCaronte

Demostraciones 7 Resolución detriángulos

oblicuángulos


2. Materiales Auxiliares para la Organizacióndel Aprendizaje (MAPOA)

Introducción

Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)

Para lograr el aprendizaje integral y multidimensional que aquí proponemos es necesario que todosnos hagamos corresponsables. Esta responsabilidad compartida apunta al fortalecimiento de nuestraautonomía. A lo largo de las sesiones discutiremos explícitamente algunos de los materiales para laorganización del aprendizaje y procuraremos convencernos de la importancia de su uso cotidiano.Estos materiales se encuentran en la Academia de Matemáticas de tu CECyT y en el disco compactoque acompaña a este Libro, y sirven como un marco de referencia compartido al que recurriremosconstantemente durante el curso. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar aconstituir un lenguaje común, con el que podemos hablar acerca de algunos aspectos importantes detu aprendizaje.En términos generales, estos materiales auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de suaprendizaje» y contribuyen al logro de nuestra autonomía en la organización de nuestros propiosaprendizajes.

Los auxiliares para la organización del aprendizaje son los siguientes:

En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución deproblemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nively se propone un modelo de aprendizaje esquemático, «hacer,

reflexionar y comunicar», que contrasta con el tradicional «oír, ver y reproducir».Aquí se presenta por primera vez la idea del problema como el mejor medio de establecer unarelación fecunda con una disciplina. Esta idea se discute más detalladamente en «La Heurística».

En el modelo de organización del aprendizaje PER (Propósito, Estrategia,Resultado) de Selmes, investigador especializado en las habilidades deestudio, se presenta un marco de referencia para estructurar las actividades de

aprendizaje. Se invita a administrar los dos enfoques que se proponen, el superficial y el profundo,con el objeto de formarse un estilo independiente.

PPaarraa eennttrraarr eenn mmaatteerriiaa..

EEll mmooddeelloo PPEERR..


En este documento de Schoenfeld, investigador especializado en la resolución deproblemas matemáticos, se presenta una estrategia de resolución de problemas,acompañada de un diagrama de flujo y de una tabla que incluye las heurísticas de

uso más frecuente.El material consta de tres partes:

5. «La estrategia».6. «Algunas heurísticas de uso frecuente».7. «Una síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas».

El portafolios es un recipiente en el que se acumula, organiza y reorganiza todolo que se produce en las actividades, en forma individual o en equipo, así comolos comentarios y extensiones de estos productos.El portafolios aporta información sobre:

8. el pensamiento del alumno,9. su crecimiento en el tiempo,10. las conexiones que establece,11. el punto de vista del alumno acerca de su quehacer matemático,12. el proceso de resolución de problemas.

La mejor manera de convencernos de la utilidad del portafolios, de conocer su potencial y advertirsus limitaciones, es usarlo para recopilar todos los reportes de resolución de problemas, los planes,los reportes de las experiencias, los comentarios de las lecturas, etcétera.

Algunos comentarios y sugerencias sobre la elaboración del reporte, el trabajo enequipo, la discusión matemática, el control durante la resolución de problemas enel salón de clases y la elaboración de controles de lectura se presentan en forma de

fichas.A partir de los resultados de las investigaciones de algunos educadores se proponen una serie decomentarios, para su discusión, sobre diversos aspectos de las sesiones de resolución de problemas.

La evaluación de nuestro aprendizaje debe estar basada en las objetivoseducativos a corto, mediano y largo plazos y, por supuesto, en losobjetivos de nuestro curso, así mismo debe apuntar a mejorar nuestrométodo de aprendizaje y a reforzar nuestro conocimiento de nosotrosmismos. Estos formatos establecen criterios que nos permitirán evaluar

de una forma más integral nuestro propio trabajo y el de nuestros compañeros.

LLaa HHeeuurrííssttiiccaa..

EEll ppoorrttaaffoolliiooss

LLaass ffiicchhaass

LLooss ffoorrmmaattooss ddeeeevvaalluuaacciióónn


Algunos materiales auxiliares para la organización del aprendizaje que puedes consultar conprovecho son:

Propósitos y Competencias Básicas del Estudiante de BachilleratoPara entrar en materiaEl Modelo PER

El enfoque profundo y sus característicasEl enfoque superficial y sus característicasCuestionario de autoevaluaciónAlgunos enunciados sobre la organización

La HeurísticaHeurísticas de uso frecuente.Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas

El PortafoliosUn diagrama del portafoliosEspecificaciones adicionales sobre el contenido del portafolios como escaparate

Las FichasRecomendaciones para el trabajo individualRecomendaciones para la discusión generalRecomendaciones para el trabajo en equipoRecomendaciones para la elaboración del reporte de la actividad¿Qué es un problema?¿Qué es un ejercicio?Antes de entregar tu reporte, ¡revísalo!Cómo se construye un mapa conceptualLas actividades de comprensión de PerkinsGuía para la elaboración de informes de lectura

Los Formatos de EvaluaciónEvaluación de presentacionesAutoevaluación de reportesLas tres preguntas reveladoras de MostellerAutoevaluación del cursoAutoevaluación de habilidades, actitudes y valores

A continuación te presentamos un plan para revisar e incorporar estos materiales en tus actividadesde aprendizaje de matemáticas (y otras materias). En este plan se incluyen algunas cápsulas quepuedes discutir con tus compañeros y profesores. Además te hacemos algunos comentariosadicionales y te sugerimos algunas formas para trabajarlos con provecho.

Programación de algunas actividades que permiten discutir el uso de los MAPOA

Unidad MAPOA1 Introducción.

Sobre resolución de problemas y juegos.Las Matemáticas en mi vida.Conozcamos mejor nuestros libros de texto.Las secciones del Portafolios.Las fichas del Modelo PER.


2 La tabla de Heurísticas más frecuentes.Los Organizadores: Mapas conceptuales.El trabajo en equipo y la discusión.Profesor, ¿Estoy bien?

3 Engendra problemas.Profesor, ¡No entiendo!Portafolios como escaparate.

Las Matemáticas en mi vida(Una autobiografía matemática)Escribe un texto titulado "Las matemáticas en mi vida". Toma en cuenta los puntos siguientes:

1. Relato escrito en un mínimo de dos cuartillas.2. Usa el esquema de las dimensiones del aprendizaje (conocimientos, habilidades, actitudes y

transferencia) para la descripción de los que sabes de matemáticas y trata explícitamente lorelativo a la forma en que lo usas fuera de tu clase de matemáticas.

3. Haz una evaluación de tu último curso de matemáticas, evalúa a tu profesor y autoevalúate.4. Describe lo que consideras buenas y malas clases, explica por qué las calificas así.5. Incluye el aspecto emocional.6. Describe la actitud de tus familiares con respecto a las matemáticas.7. Trata lo que han sido las matemáticas en tu pasado, lo que son en tu presente y lo que esperas

que sean en tu futuro.8. ¿Qué espero de mi profesor?9. ¿Qué estoy dispuesto a hacer para aprender? Especifica.10. ¿Qué son las matemáticas?11. ¿Cómo aprendo matemáticas?12. ¿De dónde salieron las matemáticas?13. Incluye tus opiniones y en caso de que consultes algún libro, específica la fuente.

Conozcamos mejor nuestros libros de textoEsta actividad consiste en la presentación de uno de los libros que te pueden servir como consulta yapoyo en el curso actual de matemáticas. Se trata de que, como estudiantes, conozcamos mejor unade nuestras herramientas básicas de trabajo: los libros de texto y de consulta y de que usemos labiblioteca de la escuela. Además de los textos de matemáticas, la actividad se puede extender a loslibros de las otras materias, con el propósito de identificar en las otras materias los vínculos con, o lapresencia de, las matemáticas.Guía para la presentación de textos

La actividad será desarrollada por equipos de dos personas.La presentación se hará en un tiempo máximo de 20 minutos con el apoyo de acetatos y otrosmateriales audiovisuales.Los elementos que se deberán tomar en cuenta en la presentación son:

1. Ficha bibliográfica2. Mensajes al lector (estudiante y profesor)3. Propuesta didáctica. ¿Cómo propone el texto que el lector aprenda?4. Indicaciones de cómo usar el texto.


5. Herramientas para el estudio (índices, tablas, resúmenes, cuestionarios, apéndices,bibliografía adicional, recursos tecnológicos, internet, etc.)

6. Estructura del texto (distribución del contenido, unidades, capítulos, secciones, etc.)7. Secciones especiales (preguntas, actividades, lecturas extra, recomendaciones de videos,

programas de computadora, etc.)8. Descripción del lenguaje que se usa en el libro.9. Manejo de representaciones (textual, simbólico, gráfico).10. Comparar con el programa de la materia, objetivos, contenidos, instrumentación didáctica,

tipo de aprendizaje y establecer las coincidencias y las diferencias.

¿Qué es el portafolios? ¿Qué debes tener en tu portafolios?El portafolios es un instrumento en el que se pretende evaluar una diversidad de registros quereflejan aspectos distintos del aprendizaje de los alumnos, que parece muy adecuado para hacer unaevaluación continua y además para hacer cortes de evaluaciones acumulativas e integradoras tantasveces como se requiera, recuperando el propósito original de la evaluación que es partir de elementosconfiables para mejorar tanto el aprendizaje del alumno como la enseñanza del profesor. (Consulta eldiagrama de tus materiales auxiliares para la organización del aprendizaje)

Presentación del documento: «El modelo PER».Entre los materiales auxiliares hay una introducción al modelo de organización y evaluación delaprendizaje propio llamado PER (Propósito, Estrategia, Resultado). Recorta y enmica las fichas queincluye.La aplicación cotidiana del modelo PER te ayudará a desarrollar una actitud más reflexiva en tusactividades de aprendizaje y a que, gradualmente, logres formar un estilo propio e independiente deorganización de tus aprendizajes.Aplica el modelo PER a las actividades que has realizado consideradas globalmente, especificando loque aprendiste y lo que te falta por aprender, lo que entendiste ya y lo que aún no acabas decomprender. Usa las fichas.

Presentación del documento: «La Heurística».Entre los materiales auxiliares (MAPOA) hay una sección que se llama ‘La Heurística’, que incluyelos documentos:

Una breve introducción que trata de la importancia de las heurísticas en la resolución deproblemas y de la forma en que puedes usar con provecho los otros dos documentos.La tabla «Heurísticas de uso frecuente».El diagrama de flujo «Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas».

Lee atentamente los documentos y discute con tus compañeros sobre la mejor forma de usarlos pararesolver problemas cada vez más difíciles.

Sobre tu portafolios.Abre en tu portafolios una sección de «Heurísticas».Revisa los problemas que has resuelto, en forma individual o en equipo, y analiza cuál fue laestrategia que aplicaste para lograr resolverlo.Descríbelas, dales un nombre y explica la forma en que la aplicaste en cada caso. Anota tanto lascaracterísticas comunes como las diferencias.Recuerda las indicaciones relativas al enfoque profundo para este importante capítulo de tuportafolios.


No subestimes las dificultades que implica este aprendizaje tan complejo y ambicioso: Saber escogery aplicar eficientemente la estrategia que resulta adecuada para resolver un problema.

Repaso, evaluación y autoevaluación.Revisa tus exámenes, haz un registro sistemático de lo que has aprendido (Conocimientos,Habilidades, Actitudes, Transferencia) y de lo que no has logrado aprender satisfactoriamente. Hazun plan para superar tus dificultades de aprendizaje.El objetivo del curso de Geometría y Trigonometría es que el estudiante continúe el desarrollo de lashabilidades del pensamiento: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, con unaactitud participativa, crítica y creativa que le permita relacionar los conocimientos de la aritmética, elálgebra, la geometría y la trigonometría para resolver problemas de situaciones cotidianas, sociales,de la naturaleza y la tecnología.Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resolución de problemas, la comprensiónpersonal de las matemáticas, el razonamiento, la comunicación, la valoración de las matemáticascomo una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu capacidad de hacermatemáticas cotidianamente.Toma en cuenta también las características del enfoque profundo de aprendizaje.Incluye en tu portafolios el resultado de esta autoevaluación.

Sobre tu portafolios.El catálogo de gráficas.Abre en tu portafolios una sección que se llame «Catálogo de Gráficas» e incluye lascorrespondientes a los modelos lineal y cuadrático. Relaciona las características de la gráfica con lascaracterísticas de la ecuación y describe las partes en donde la gráfica corta a los ejes, es creciente, esdecreciente, es máxima, es mínima, etcétera.Puedes consultar en internet ‘Cómo dibujar gráficas’ de Mario García González en la dirección:http://www.xtec.es/~mgarc127/

Las fichas.En los materiales auxiliares encontrarás un conjunto de fichas que, una vez enmicadas, podrásconsultar cuando lo juzgues pertinente.Las fichas que se incluyen son:

¿Qué es un problema?¿Qué es un ejercicio?Recomendaciones para el trabajo individual.Recomendaciones para el trabajo en equipo.Recomendaciones para la discusión general.Algunas sugerencias para la elaboración del reporte de la actividad.

¡Penalti!No hace mucho tiempo se habló en la televisión, la radio y los periódicos de la maldición que es paralos jugadores mexicanos tirar penaltis. ¿En qué radica la dificultad?¿Acaso los jugadores no saben cómo deben pegarle a la pelota para no fallar un penalti? Es decir,¿no tienen el CONOCIMIENTO de cómo tirar un penalti?¿O es más bien que son torpes y no son capaces de pegarle al balón en forma apropiada? Es decir,¿carecen de la HABILIDAD para anotar un penalti?¿O será que no pueden hacer a un lado la presión que provoca el rival, el lugar, el público que quieregoles y la importancia de anotarlo o fallarlo? Es decir, ¿el problema de los jugadores es deACTITUD?

http://www.xtec.es/~mgarc127/


¿Qué piensas tú? Justifica tus respuestas.

Profesor, ¿estoy bien?¿Cómo sabemos si un resultado o procedimiento es correcto? En este curso es una pregunta que unay otra vez nos hemos hecho. Si lo que tuviéramos que hacer fuese una suma, después de calcular elresultado, ¿necesitaríamos que alguien nos dijese si está bien para asegurarnos de haber procedidocorrectamente? Seguramente no, porque conocemos bien el procedimiento que se debe seguir y, siaun así nos asaltaran las dudas, bastaría revisar con cuidado la aplicación de nuestro algoritmo paradetectar si hubo alguna equivocación. Para tareas más complejas, si no estamos seguros de lo quehemos hecho, debemos revisarlo cuidadosamente, buscando entender el significado tanto delprocedimiento particular como de la idea general. Es decir que no basta con hacer cálculos,operaciones, dibujos, etcétera. Debe haber una explicación que les dé sentido. En muchas ocasionesdejamos esas explicaciones sobreentendidas, pues suponemos que quien nos escucha o lee sabeperfectamente lo que estamos haciendo y por qué lo hacemos. Pero esta costumbre nos lleva a serdescuidados en la justificación de nuestros cálculos, procedimientos y resultados. Pecamos poromisión. Nos olvidamos de dos aspectos fundamentales: dar una explicación clara de lo que hicimosy por qué lo hicimos y poner atención e intentar entender lo que hicieron los demás. Estamosdesatendiendo la comunicación, que es uno de los eslabones básicos de nuestro esquema deaprendizaje: Hacer, Reflexionar, Comunicar.Estos dos aspectos son fundamentales para decidir cuándo un procedimiento y su resultado soncorrectos. Así, si lo que se nos dice está equivocado, estaremos en condiciones de detectarlo yseñalarlo. No será un simple «está mal», sino que irá acompañado de nuestras razones. Para que estasrazones tengan peso deberán enfocarse hacia el asunto y no a la persona que lo dice. Si, por otrolado, es a nosotros a quienes se nos señala un error, también pediremos argumentos y si sonrazonables aprovecharemos el señalamiento para corregir nuestro trabajo.Esta actitud, de cuidar los argumentos que damos y de escuchar con atención lo que dicen los otros,es la que permite una auténtica comunicación de nuestras ideas.

El examen como aprendizaje.El examen es un medio de evaluación y de autoevaluación que te permite darte cuenta tanto de losprogresos que vas logrando como de las dificultades que tienes que superar en tu aprendizaje. Perono podemos ignorar la función social del examen. Necesitamos testimoniar ante los demás que estáspreparado para esfuerzos mayores, que mereces reconocimiento por los conocimientos, lashabilidades y las actitudes que has incorporado. Parece muy razonable, pero ¿qué nos ocurre cuandoescuchamos las palabras «Hay examen»?«Aquí entre nos» Algunas preguntas.¿Crees que se vale copiar en los exámenes? ¿Y dejar copiar? Justifica tu respuesta.¿Piensas que hay alguna relación entre el desempeño escolar y la práctica profesional de una personaactualmente en México? Explica lo más detalladamente que puedas.¿Conoces algunas estadísticas al respecto? ¿Qué piensan tus amigos, tus familiares?Escribe un comentario sobre la forma de evaluación de este curso. Incluye en tu comentario algunassugerencias viables.

Engendra problemas.Un problema nunca termina. Cuando llegamos a un resultado siempre hay manera de plantear nuevaspreguntas, de que el problema sea fuente de problemas nuevos. Dos estrategias gemelas deformulación de problemas son las llamadas ‘¿Qué pasaría si . . .?’ y ‘¿Qué pasaría si no . . .?’ Ambasson estrategias muy potentes para generar problemas, ¿cómo las aplicarías?


Sobre tu portafolios.El catálogo de algoritmos.De las exposiciones que se han presentado en el grupo sobre las operaciones con polinomios yfracciones algebraicas, escribe los algoritmos y represéntalos mediante diagramas de flujo.Pruébalos e inclúyelos en tu portafolios en una sección nueva.

Una cita pertinente: Come tú mismo la frutaEn cierta ocasión se quejaba un discípulo a su Maestro:«Siempre nos cuentas historias, pero nunca nos revelas su significado»El Maestro le replicó:«¿Te gustaría que alguien te ofreciera fruta y la masticara antes de dártela?»Nadie puede descubrir tu propio significado en tu lugar. Ni siquiera el Maestro.

Profesor, ¡no entiendo!.El primero de los materiales auxiliares para la organización del aprendizaje contiene las ochocompetencias básicas que deben estar presentes en el alumno de bachillerato. En estas competenciasestán implícitos aprendizajes multidimensionales (conocimientos, habilidades, actitudes), y se hacereferencia explícita a la transferencia de estos aprendizajes, ya que se habla del uso y articulación deestos aprendizajes en los distintos aspectos de la vida. Seguramente estás de acuerdo con ellas,puesto que estás estudiando el bachillerato. Hoy queremos comentar contigo dos de ellas, las quedicen«Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar suprogreso intelectual» y«Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana»Pero estar de acuerdo con algo no quiere decir que sepamos cómo conseguirlo. Un factor importantepara que una persona realice un esfuerzo es que pueda palpar el provecho que le reporta el esfuerzo.Pero para que este provecho sea perceptible necesitamos tener «ojos» para verlo. Detengámonos unmomento a reflexionar y a discutirlo en nuestro equipo.¿Qué estamos haciendo para avanzar en el logro de estos objetivos?¿Cómo podemos saber, y medir si es posible, qué tanto progresamos?Escribe un reporte con las conclusiones de tu equipo.

El non plus ultra y los hábitos de estudio. Mis actividades cotidianas y las matemáticas.Enumera las diez actividades más importantes de tu vida cotidiana, asígnales un tiempo, en horas porcada semana, y ordénalas de mayor a menor.¿En qué lugar se encuentran las matemáticas?¿Estás satisfecho con tu aprendizaje de las matemáticas? ¿y con tu calificación?Describe lo que haces actualmente para aprender matemáticas.¿Vale la pena hacer un esfuerzo para mejorar sustancialmente tu aprendizaje en matemáticas?Para que un plan tenga alguna probabilidad de funcionar necesitas definir

unos propósitos asequibles,una estrategia clara yuna forma de evaluar el logro de tus objetivos.

Escríbelos de la manera más detallada posible.

Reflexionar: ¿Qué he logrado?Revisa tus exámenes, haz un registro sistemático de lo que has aprendido (Conocimientos,Habilidades, Actitudes, Transferencia) y de lo que no has logrado aprender satisfactoriamente. Hazun plan para superar tus dificultades de aprendizaje.


Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resolución de problemas, la comprensiónpersonal de las matemáticas, el razonamiento, la comunicación, la valoración de las matemáticascomo una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu capacidad de hacermatemáticas cotidianamente.Toma en cuenta también las características del enfoque profundo de aprendizaje.Incluye en tu portafolios el resultado de esta autoevaluación.Reescribe las soluciones de los problemas de las semanas anteriores y haz un resumen de lascaracterísticas comunes que hayas advertido en las situaciones, en las fórmulas, en las gráficas, enlos procedimientos, en los errores y en las estrategias de solución. Relaciona los problemas con laslecturas y elabora un apunte personal que incluya los problemas que inventaste.Revisa tu apunte personal y extrae los conceptos y procedimientos importantes para actualizar tuglosario.Organiza tu portafolios por secciones, actualízalas y escribe un índice. Así tendrás un registropersonal de tu paso por el curso de geometría y trigonometría.

El portafolios como escaparateColoca al frente de tu portafolios los cinco trabajos de los que te sientas más orgulloso yacompáñalos de una nota en la que expliques por qué te sientes orgulloso de ellos.Muestra tu portafolios a un adulto y a una amiga de tu edad y pídele a cada uno que escriba uncomentario. Incluye el comentario, con PER, en tu portafolios.

Sobre resolución de problemas y juegos*

Para desarrollar esta actividad no tienes que construir ni manipular ningún material, sólo debes leercon atención lo que sigue y reflexionar sobre la lectura ya que en las próximas actividades deberásrecordar lo que aquí se dice.¿Qué es un problema o un juego matemático?Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, y que es aceptada comoproblema por alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar esepropósito, y requiere deliberación, ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo oprocedimiento para resolverlo.Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo.Además debe tener interés en sí mismo, estimular el deseo de proponerlo a otras personas; no debeser un problema con trampa o un acertijo, ni dejar bloqueado inicialmente a quien lo ha de resolver.No confundas problema con ejercicio: éstos de un golpe de vista se ve en qué consisten y cuál es elmedio para resolverlas. A la hora de resolver un ejercicio se suele tener a la mano una receta quefacilita su solución y en general la resolución de un ejercicio exige poco tiempo, situaciones que nosuelen darse ante un problema o juego.¿Qué es resolver un problema o juego?La resolución de un problema o juego es un proceso de acontecimientos que nos lleva a recorrerdiferentes etapas en un viaje: aceptar el desafío, formular las preguntas adecuadas a cada caso,clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de acción y evaluar la solución. Llevará consigo el usode la heurística (el arte del descubrimiento), pero no de una manera predecible, porque si el método(que no existe) pudiera ser predicho de antemano, se convertiría en un algoritmo pasando deproblema a mero ejercicio.

* Tomada de: J. L. Antón Bozal, et, al Taller de Matemáticas. Narcea Ediciones y MEC de España. Madrid, 1994.


Todo esto comporta, para cada uno de los problemas a resolver, una inmersión en el mundoparticular del problema, poniendo de manifiesto las técnicas, habilidades, estrategias y actitudespersonales de cada individuo que aborda el problema.La resolución de problemas es un proceso, no un procedimiento paso a paso: es fundamentalmenteun viaje, no un destino (…"no hay camino, se hace camino al andar"). Este viaje queda plasmado enir cubriendo las siguientes etapas: deseo de acercarse al problema, aceptar el desafío, correr unriesgo, hallar la respuesta, comprender una pregunta, descubrir nuevos conocimientos o crear unasolución.¿Quién es un buen resolvedor de problemas?El que tiene deseo de afrontarlo (yo quiero), acepta el desafío con entusiasmo (yo puedo), está enposesión del equipamiento de técnicas y estrategias (heurística) matemáticas oportunas (estoydispuesto a aprenderlas) y tiene talento para ello (aunque el talento es fundamental para llegar lejosen el viaje, no lo es para disfrutar de él). Y por fin, el que practica las virtudes de la paciencia y laperseverancia.¿Qué se aprende resolviendo problemas?Se aprende fundamentalmente a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, adominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos, nuestraautoestima.¿Cuál es la mejor forma de resolver problemas?La única forma es resolviendo problemas. Cada problema afrontado, con o sin éxito, nos enseña aresolver el siguiente. De alguna manera se aprende a aprender, por eso es interesante esta actividad.Pero recuerda que ésta, como todo arte, es una actividad que requiere fe (en que puedes), coraje (enque quieres), humildad (porque no lo sabes todo) y disciplina (estás dispuesto a esforzarte porseguir aprendiendo).

Regla de oro: Lo que importa es el camino

Siempre debes tener en cuenta que lo que importa es el camino. No pongas la mira en el éxito, sinoen el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un problema resuelto es un problema muerto, pero siaún se te resiste, vive en ti como problema.Bloqueos y DesbloqueosDijimos anteriormente que un problema constituye un auténtico reto. Sabemos, más o menos, adónde queremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta situación caben actitudes positivascomo confianza, tranquilidad, disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etc. y otrasnegativas o bloqueos que pueden obstaculizar nuestro avance como, miedo a lo desconocido,nerviosismo, prisa por acabar o cierta desazón ante la prueba.En la tabla siguiente puedes ver los tipos de bloqueos que nos pueden afectar y algunas pautas parareflexionar sobre ellos e intentar superarlos.

Bloqueos de origen Pautas para superar los bloqueosAfectivo

Apatía, abulia, pereza por el comienzo. Miedo al fracaso, a la equivocación, al

ridículo. Ansiedades. Repugnancias

♦ Piensa en las distintas formas de comenzar tu tarea.Escoge una y comienza.

♦ El inicio puede tener carácter provisional.

♦ Los fallos y equivocaciones nos enseñan sobre las formasadecuadas de proceder.

♦ Aminorar la hiperactividad cuando nos percatamos de


estar empujados a ella.

♦ Actúa ocasionalmente contra la tendencia que te arrastra.

Cognoscitivo Dificultades en la percepción del

problema. Incapacidad de desglosar el problema. Visión estereotipada.

♦ Examinar cómo otros se enfrentan con actividadesparecidas y comparar procedimientos.

♦ Tratar de descomponer en partes más sencillas.Establecer prioridades.

♦ Permanecer abierto a lo extraño.

Culturales y Ambientales La sabiduría popular dice:

"Busca la respuesta correcta""Esto no es lógico""Hay que ser práctico"

♦ No te contentes con la primera respuesta, busca variasrespuestas.

♦ Déjate llevar por ideas imaginativas y por tu fantasía.

♦ Cultiva, en lo posible, la actitud lógica.

♦ Juega con tus problemas.

Autoexamen sobre tu manera de pensarLa resolución de problemas nos debe llevar a entender el funcionamiento de nuestro propiorazonamiento, a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos.en definitiva, nos ayuda a conocernos mejor a nosotros mismos. El conocerte a ti mismo, en eseámbito, te proporcionará la posibilidad de utilizar tus recursos de la forma más eficaz posible yalcanzar con seguridad un conocimiento más pleno.Lee con atención, reflexiona detenidamente y escribe con cuidado y orden las respuestas a lassiguientes cuestiones:1. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué papel de los siguientes te identificas más?

investigadorexploradornegociantedetectiveactormatemáticoprofesorjuezconstructorconductor de cochescientíficoel más listo de la clase

Explica brevemente tu elección2. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué estado de animo te identificas más?

optimistavigilanteangustiadopesimistaderrotadoaburridodesanimadocrítico

divertidoindiferentedisgustadotranquilo

‘Geometría y Trigonometría’ Guía para el Estudiante Hoja 33

Explica brevemente por qué.3. ¿Qué es lo que más te ayuda a concentrarte? El silencio, la paz, la tranquilidad, la música, viajar,

pasear, contemplar el paisaje, etc. Explica por qué.4. Si no te sale un problema, qué prefieres hacer: continuar a pesar de todo, olvidarte de él por un

tiempo, abandonarlo definitivamente, seguir pensando en él en casa. Explica por qué.5. A la vista de la tabla de bloqueos, ¿de qué tipo son los bloqueos que encuentras al resolver un

problema? Explica por qué.6. ¿Qué buscas en la resolución de problemas? Entretenimiento, ejercicio, cumplimiento de un

deber, satisfacer mi curiosidad, autosuperación, preparación más eficaz, etc. Explica por qué.7. ¿Cómo eres respecto al trabajo? Me cuesta ponerme en marcha, soy de esfuerzos prolongados,

me canso y me aburro fácilmente, soy de intensos altibajos. Explica cuál puede ser la causa.8. En el trabajo, ¿qué te produce más satisfacción: pensar autónomo, observar, mirar como lo hacen

los otros, explorar, repetir, repasar, asegurarse, no trabajar? ¿qué es lo que más trabajo te cuesta?9. ¿Qué tipos de problemas son los que más te gustan?10. Tu pensamiento, ¿anda casi siempre bajo control o a ratos anda vagando y divagando? ¿cuál

crees que sea la causa?

Cómo construir un mapa conceptual∗(y sus criterios de puntuación)1. Identificar una pregunta referida al problema, el tema o el campo de conocimiento que se quiere

representar mediante el mapa. Luego, basándose en esta pregunta, hay que identificar de 10 a 20conceptos que sean pertinentes a la pregunta y hay que hacer una lista con ellos. A algunas personas lespuede resultar útil escribir estas etiquetas conceptuales en tarjetas o en hojitas de post-it para manipularlasmejor. Si se trabaja con un programa de computadora especialmente diseñado para este fin hay queintroducir la lista de conceptos. Las etiquetas conceptuales deben estar compuestas por tres palabras a losumo.

2. Hay que ordenar los conceptos colocando el más amplio o inclusivo al principio de la lista. A veces esdifícil identificarlo. Suele resultar de utilidad el discutir y reflexionar sobre la pregunta original paradecidir el orden de los conceptos. En ocasiones esto conduce a modificar la pregunta o a escribir otradistinta.

3. Revisar la lista y añadir más conceptos si son necesarios.4. Comenzar a construir el mapa colocando el concepto más incluyente o general (pueden ser varios) en la

parte superior. Suelen ser dos o tres los conceptos generales en la parte superior del mapa.5. A continuación hay que escoger de uno a cuatro subconceptos y colocarlos debajo de cada concepto

general. Si hay más de cuatro subconceptos que aparentemente van debajo de un concepto general, sepuede identificar un concepto intermedio adecuado, con el que se puede crear un nivel jerárquico nuevoen el mapa.

6. Luego hay que unir los conceptos con líneas y denominar a estas líneas con palabras de unión adecuadas,que deben definir la relación entre ambos conceptos, de modo que se lea un enunciado o proposiciónválidos. Estos enlaces son los que crean el significado. Cuando se une de forma jerárquica un númeroamplio de ideas relacionadas, se advierte la estructura del significado de un tema determinado.

7. Ahora hay que modificar la estructura del mapa, añadir, quitar o cambiar conceptos supraordenados. Esposible que sea necesario realizar varias veces esta modificación; de hecho, es un proceso que se puederepetir de forma continua, conforme se adquieren conocimientos o ideas nuevos. Es ahí dónde son útileslos post-it o, mejor aún, los paquetes para crear mapas.

∗ Tomado de Aprendiendo a aprender’de Novak y Gowin


8. Buscar vínculos cruzados entre los conceptos de diversas partes del mapa y colocar palabras de enlaceadecuadas. Los vínculos cruzados suelen contribuir al descubrimiento de nuevas relaciones creativas en elcampo de conocimientos en cuestión.

9. Se pueden incluir en las etiquetas conceptuales ejemplos específicos de los conceptos.10. Los mapas conceptuales se pueden realizar de formas muy distintas para un mismo grupo de conceptos.

No hay una forma única de elaborarlos. A medida que se modifica la comprensión de las relaciones entrelos conceptos, también se modifican los mapas.

Criterios de puntuación de los mapas conceptuales1. Proposiciones. ¿Se indica la relación de significado entre dos conceptos mediante la línea

que los une y mediante la(s) palabra(s) de enlace correspondiente(s)? ¿Es válida estarelación? Anota un punto por cada proposición válida y significativa que aparezca (ver elmodelo de puntuación más adelante).

2. Jerarquía. ¿Presenta el mapa una estructura jerárquica? ¿Es cada uno de los conceptossubordinados más específico y menos general que el concepto que hay dibujado sobre él (enel contexto del material para el que se construye el mapa conceptual)? Anota cinco puntospor cada nivel jerárquico válido.

3. Conexiones cruzadas. ¿Muestra el mapa conexiones significativas entre los distintossegmentos de la jerarquía conceptual? ¿Es significativa y válida la relación que se muestra?Anota diez puntos por cada conexión cruzada válida y significativa y dos por cada conexióncruzada que sea válida pero que no ilustre alguna síntesis entre grupos relacionados deproposiciones o conceptos. Las conexiones cruzadas pueden indicar capacidad creativa y hayque prestar una atención especial para identificarlas y reconocerlas. Las conexiones cruzadascreativas o singulares pueden ser objeto de un reconocimiento especial o recibir unapuntuación adicional.

4. Ejemplos. Los acontecimientos y objetos concretos que sean ejemplos válidos de lo quedesigna el término conceptual pueden añadir un punto, cada uno, al total (estos ejemplos novan dentro de una figura porque no son conceptos).

5. Además se puede construir y puntuar un mapa de referencia del material que se va arepresentar en los mapas conceptuales y dividir las puntuaciones de los estudiantes entre lapuntuación del mapa de referencia para obtener un porcentaje que sirva de comparación. Porsupuesto que algunos estudiantes pueden construir mapas mejores que el de referencia y suporcentaje será mayor que el 100%, de acuerdo con lo anterior.


3. Problemas

Introducción

La habilidad para resolver problemas constituye un excelente indicador del nivel dedesarrollo matemático que has alcanzado. En este Libro la actividad de resolución deproblemas es la parte más importante, ya que te permitirá vincular las herramientasmatemáticas con una dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizandocontextos, y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización delos objetos matemáticos.

¿Qué es un problema?Por problema se entiende una situación matemática o extramatemática que no tienesolución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones,puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzomental, imaginación y creatividad. Un problema no se trabaja una vez y ya nos olvidamosde él, tanto profesor como alumnos, sino que puede retomarse en distintos momentos paramejorar su solución o profundizar en alguna cuestión que haya suscitado.A través de la actividad de resolución de problemas queremos que tú:

♦ hagas uso de las matemáticas con las que cuentas para dar respuesta a laspreguntas planteadas en el contexto de la situación,

♦ busques conexiones entre diferentes representaciones,♦ logres diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques,♦ generalices tus soluciones y reformules, ampliándolo, el problema en otros

campos,♦ generes criterios para validar las interpretaciones y los modelos

matemáticos,♦ construyas y hagas evolucionar los conceptos matemáticos como respuesta

a tus propias preguntas, y♦ desarrolles actitudes que te permitan enfrentar y manejar situaciones

complejas con un alto grado de incertidumbre.

La resolución de problemas es un proceso que no se puede encerrar en una receta paso apaso, es en esencia un viaje, una aventura, no un destino, que a ratos sufrimos y a ratosdisfrutamos, para el que no tenemos un mapa de antemano, necesitamos aprender adescubrir o construir caminos. Sin embargo, se pueden destacar algunas etapas de estaaventura: hay un deseo de acercarse al problema, de aceptar el desafío, de correr un riesgo,de encontrar la respuesta, de comprender una pregunta, de descubrir nuevos conocimientoso de crear una solución. Alguien ha dicho que en la resolución de un problema, como en lavida, lo que importa es el camino. Si tomas esto en cuenta, podrás aprender a adoptar unaactitud que te permita disfrutar y aprovechar la resolución de un problema. No pongas lamira en el éxito o en el fracaso, sino en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un


problema resuelto es un problema muerto, mientras no está resuelto vive en ti comoproblema.

En este Libro se habla de problemas, problemas con guía y proyectos. Todos elloscomparten la misma idea de problema que acabamos de mencionar en los párrafosanteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellos.

I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo quese quiere que hagas y respondas. El tiempo estimado para discutirloprovechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado.

II. Problema con guía: Además del enunciado contiene un cuestionario o unasecuencia de pasos que te permiten seguir avanzar en el problema usualmentede situaciones sencillas a otras más complejas. También el tiempo estimadopara discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlotrabajado.

III. Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de doshoras de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que tengasque generar tú mismo los datos y una parte importante del trabajo la tengasque hacer fuera del salón de clases.

Conjeturas y TeoremasEn esta sección, que comprende ‘Construcciones’ y ‘Demostraciones’, se incluye un tipo deproblemas con un énfasis, que se destaca en los objetivos, en este curso.Busca en el diccionario el significado de ambos términos. Establece lo que tienen en comúny lo que los distingue.Haz lo mismo con los términos axioma, postulado, premisa, corolario, lema, definición.Incluye en una sección de tu portafolios (ver los MAPOA) las conjeturas, proposicionesque establecen una relación entre las características de una situación o las propiedades deun objeto y que formulas al resolver un problema o al estudiar una figura, y los teoremasque demuestres y uses, acompañados de referencias a los casos en que te han servido.Aquí te proponemos algunos ejemplos para tu sección de «Conjeturas y Teoremas»:Conjetura :

baba +=+ 22

Para ver como funciona, pensemos en unos ejemplos a=1 y b=2, a=2 y b=2, a=3 y b=4. Sino se cumple en un caso, éste constituye un contraejemplo e invalida la conjetura comoproposición general, es decir que no podemos afirmar que «para dos números realescualesquiera, a y b, la raíz cuadrada de la suma de sus cuadrados es igual a la suma de losnúmeros».Una vez desechada nuestra conjetura podemos preguntarnos ¿en qué casos sí se cumple?Para responder esta pregunta habrá que resolver la ecuación

baba +=+ 22

¿Qué obtuviste?Como conclusión, podemos afirmar que: en general, no es cierto que la raíz cuadrada de lasuma de dos números es igual a la suma de los números, es decir


baba +≠+ 22

La igualdad sólo se cumple si uno de los dos números es cero.Investiga las conjeturas siguientes:

o Los puntos medios de los lados de un triángulo son los vértices de un triángulosemejante al triángulo original con razón de semejanza 2:1.

o Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de uncuadrilátero semejante al cuadrilátero original con razón de semejanza 2:1.

o Los puntos medios de los lados de un hexágono son los vértices de un hexágonosemejante al hexágono original con razón de semejanza 2:1.

o El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera es igual a la suma de loscuadrados de los números.

o Las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide a cada medianaen razón 2:1.

o El producto de cuatro números consecutivos aumentado en uno es el cuadradode un natural.

Sobre los proyectos:Los proyectos te permitirán, más que cualquier otra actividad, profundizar en el aprendizajede la modelación matemática. Para que tengas una perspectiva más amplia sobre el papel dela modelación matemática en los distintos ámbitos del quehacer humano puedes leer‘Aspectos externos’ de Reuben y Hersh que se incluye en la sección ‘Lecturas’.Seguramente te suscitará muchas preguntas que puedes discutir provechosamente con tuscompañeros y con tu profesor.Un proyecto es una tarea extraescolar de varias etapas que requiere un trabajo coordinadodurante varias semanas, o meses, para llegar a darle una conclusión satisfactoria. Es decirque se logre dar respuesta a las preguntas que se plantearon y una evaluación, que puedeincluir preguntas nuevas, de la calidad de la respuesta. En cada proyecto hay algunas partesen las que es muy probable que te atores. En ocasiones te podrás desatorar solo, gracias aque logres una mejor comprensión de alguna idea y así puedas desatar el nudo y avanzar.Pero, más a menudo, requerirás de la asesoría de tus profesores, quienes te ayudarán pormedio de preguntas, sugerencias, ejercicios complementarios o lecturas.La evaluación del proyecto se hará mientras realizas el proyecto, no sólo al presentar eltrabajo concluido. Por lo tanto, debes hacer un plan desde el principio y fijar una calendarioque especifique las fechas de entrega de los informes parciales y del informe final. Además,deberás considerar la presentación ante el grupo y preparar un guión para la discusión quese realizará durante, o después de, la presentación. Entre mejor entiendas lo que se trata delograr con los proyectos, más fácil te será hacer el esfuerzo considerable que exigen. Con laevaluación, tanto la continua como la final, queremos obtener información sobre eldesarrollo de tus habilidades matemáticas, como, por ejemplo, la capacidad para:

♦ Formular los problemas que resultan de una situación.♦ Identificar los procedimientos matemáticos que te permiten obtener la

información necesaria.♦ Recopilar y organizar los datos obtenidos.♦ Formular conjeturas razonables al considerar los patrones que observas en, o

impones a, los datos.♦ Poner aprueba tus hipótesis.


♦ Hacer los cambios necesarios y obtener otras informaciones a partir de lasreformulaciones de los problemas.

♦ Explicar tus métodos de indagación.♦ Producir un informe del desarrollo y conclusiones del proyecto sucinto y

articulado.También se considerarán algunas actitudes como:

♦ La creatividad y la iniciativa.♦ La participación en el equipo.♦ El liderazgo y la cooperación efectivos.♦ La perseverancia y la minuciosidad.♦ La flexibilidad y la amplitud de criterio.♦ La disposición para ir más allá de las soluciones inmediatas.

Es muy recomendable que uses los paquetes que se incluyen en el disco compacto mientrasresuelves los problemas. Algunas muy buenas herramientas para la comprensión son lospaquetes de geometría dinámica. Si tienes dudas en su manejo tu profesor te puede orientar.


I. Problemas

1. El chisme

En una ciudad de 50000 habitantes una persona inventa un chisme y lo comunica atres personas en un cuarto de hora, cada una de éstas hace lo mismo en el siguientecuarto de hora y lo mismo ocurre con cada una de las que se van enterando. ¿Encuánto tiempo se habrá enterado toda la ciudad?

2. Dédalo y Calipso

En una ciudad chica hay dos misceláneas, «La gruta de Calipso» y «El laberinto deDédalo» que compiten por 1000 clientes potenciales. Cada mes, el 80% de losclientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el20% restante prefiere irse con Dédalo. En cambio, de los clientes de Dédalo, sólo el70% queda satisfecho, el otro 30% se va con Calipso. El número de clientes en cadamiscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en unamiscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá encada tienda en ese momento?

Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 clientes en cadatienda y observando cómo evoluciona la situación mes por mes. ¿Qué ocurre si sesuponen otros datos iniciales, por ejemplo, 700 clientes en una miscelánea y 300 enla otra, etcétera?

3. Háganme lugar

La población mundial crece aproximadamente a razón del 2 % anual. ¿En cuántotiempo habrá un habitante por metro cuadrado de tierra firme?

4. Vértigo

Se dibuja un triángulo equilátero de lado a. Al unir los puntos medios de los lados seforma otro triángulo equilátero. Se repite la misma operación una y otra vez, por lossiglos de los siglos, ¿cuál es la suma de los perímetros de todos estos triángulos?¿cuál es la suma de las áreas de estos triángulos?

5. Incrementos

Se acordó que las tarifas de energía eléctrica, para no aumentarlas súbitamente, seincrementarán 10% cada mes. ¿En cuánto tiempo se duplicarán?, ¿en cuánto tiempose triplicarán?


6. Atenuadores

Los materiales translúcidos atenúan la intensidad de la luz que los atraviesa. Unahoja de 1 milímetro de espesor de un determinado plástico translúcido reduce laintensidad de la luz en 15% ¿Cuántas hojas de este plástico se necesitan para reducirla intensidad de la luz hasta el 25% de su valor original?

7. Tales de Mileto

Según otra versión, posiblemente más fiel que la del problema con guía, excepto porel detalle de las unidades, para conocer la altura de otra pirámide, Tales clavó unbastón de 2 m en el suelo y luego hizo medir las sombras del bastón y la pirámide,en dos momentos diferentes del mismo día:

En la primera medición, la sombra del bastón midió 3.25 m y la de la pirámide,56.50 m.

En la segunda medición, la sombra del bastón midió 1.65 m y la de la pirámide,18.75 m.

2 m

3.25 m

18.75 m

2 m

y

��

��

��

��

56.50 m x x

1.65 m

y y

¿Cuál es la altura de la pirámide? Diseña un cuestionario como el de «Tales».

8. El sope

Un sope de 10 cm de diámetro y 1.25 cm de espesor cuesta $4. ¿Cuánto debe costarun sope de

20 cm de diámetro y 1.25 cm de espesor?

30 cm de diámetro y 2.5 cm de espesor?

20 cm de diámetro y a cm de espesor?

d cm de diámetro y a cm de espesor?

¿Cuáles deben ser las dimensiones de un sope que cuesta $50?, ¿de $20? ¿y de$100?


9. La torre Eiffel

La torre Eiffel mide aproximadamente 300 metros de altura y pesaaproximadamente 8000 toneladas.

Se quiere hacer un modelo a escala que pese un kilogramo. ¿Cuál debe ser la alturadel modelo?

¿Qué cantidad de acero se necesitará para construir un modelo a escala que mida unmetro de altura?

10. En Liliput

En Liliput, cada una de las dimensiones, altura, anchura y espesor, de los seres yobjetos es la dozava parte de las dimensiones ordinarias correspondientes entrenosotros. Gulliver, uno de los nuestros, se encuentra en Liliput. «Trajeron 600colchones de dimensiones liliputienses ordinarias a mi local, donde los sastrescomenzaron su trabajo. De centenar y medio de colchones, cosidos entre sí, salióuno en el que cabía holgadamente a lo largo y a lo ancho. Pusieron, uno encima deotro, cuatro colchones como éste, pero, aún así, este lecho era tan duro para mícomo el suelo de piedra»

¿Por qué le resultaba tan duro este lecho a Gulliver?

11. El granjero: Esfuerzo mínimo

La casa de un granjero está a 150 m de un camino recto. Su buzón está sujeto algranero, a 100 m de la casa y a 90 m del camino. Cada lunes deja la basura a laorilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino haceque su recorrido sea el más corto?

12. Costo mínimo

Dos ciudades necesitan un servicio adicional de agua. Se decidió construir unaplanta purificadora de agua junto a un río cercano y canalizar el agua desde la plantapurificadora hasta las ciudades. Cada ciudad pagará la instalación de las tuberíasque la unirán a la planta purificadora. Hay dos posibilidades:

La planta purificadora se ubica a la misma distancia de las dos ciudades.

La planta purificadora se ubica de tal manera que el gasto sea mínimo y las ciudadescomparten por partes iguales los gastos.


Ciudad A

Ciudad B

río

¿Dónde debe colocarse la planta purificadora en cada caso?

13. Las escaleras cruzadas

Dos escaleras, de 5.4 y 3.6 metros de largo, respectivamente, se apoyan en los ladosopuestos de un pasillo que está entre dos edificios, con los pies de las escaleras enlas bases de los edificios. Las escaleras se cruzan a una distancia de 0.9 metros porencima del pasillo. ¿Cuál es la anchura del pasillo?

14. El Progreso del Peregrino

La posición inicial del triángulo equilátero ABP, de lado a, se muestra en la figura.El triángulo se mueve, girando con respecto a uno de sus vértices, en el sentidopositivo convencional, dentro del cuadrado ACDE, de lado 2a.

Calcula la longitud del recorrido que hace el punto P desde su posición inicial hastaque el punto P vuelve a ocupar exactamente su posición original

15. Las apariencias engañan

El lado AC del triángulo ABC se divide en ocho partes iguales. Se trazan sietesegmentos paralelos a BC desde los puntos de división. Se sabe que BC = 10, ¿Cuáles la suma de las longitudes de los siete segmentos que trazaste?

16. Hay revoluciones que engendran ...

Al hacer girar un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, alrededor de cada uno de suslados, se forma un sólido de revolución distinto. ¿Cuál de los tres sólidos tiene elvolumen mayor?, ¿y el volumen menor?

Escribe un razonamiento que explique los resultados que obtuviste.

B

E

A B C

D

P


Plantea algunas preguntas y conjeturas alrededor de este problema y trata, alresponderlas y comprobarlas, de llegar a alguna generalización.

17. Dos tazas

Una cafetera de base circular se reduce uniformemente hasta la tapa que tiene unradio que mide la mitad del de la base. A la mitad de la altura de la cafetera hay unamarca que dice «dos tazas». Si la cafetera se pudiera llenar hasta el borde ¿cuántastazas de café contendría?

18. El vaso cónico

Una hoja rectangular de papel de 21 centímetros por 27 centímetros se corta por unade sus diagonales. De cada parte se forma un vaso cónico, usando un sector circularque tiene como centro el vértice del ángulo recto y es tangente al lado opuesto.

Calcula la cantidad de papel que no se usa.

Calcula la capacidad del vaso.

19. Otra revolución

En una circunferencia de 10 cm de radio se inscriben un triángulo y cuadriláteroregulares, con un lado del triángulo paralelo a un lado del cuadrado. Las figurasgiran alrededor del diámetro que contiene la altura del triángulo que esperpendicular a un lado del cuadrado.

Calcula las razones de los volúmenes de los sólidos.

Calcula las razones de las áreas totales de los sólidos.

20. Simas

En un terreno triangular con lados de 6, 8 y 9 metros se va a construir una albercacircular de superficie máxima y 5 metros de profundidad.

¿Cuánto costará la excavación si cobran $ 250 por cada metro cúbico?

¿Cuánto costará la construcción de la alberca si cobran $ 150 por cada metrocuadrado?

Plantea otras preguntas alrededor de esta situación y respóndelas.

¿Qué diferencia habría si el terreno tuviera lados de 6, 8 y 10 metros?


21. En las entrañas del ángulo

Dadas dos rectas OA y OB, desde un punto de OA se traza una perpendicular a OB;desde el pie de esta perpendicular, se traza una perpendicular a OA; desde el pie deesta segunda perpendicular se traza otra perpendicular a OB y así, sucesivamente, sesiguen trazando perpendiculares. El primero y segundo de estos segmentos miden ay b, respectivamente.

Calcula la suma de las longitudes de

los tres primeros segmentos perpendiculares.

los seis primeros segmentos perpendiculares.

¿Es infinita la suma de un número infinito de segmentos?

Si se traza un número infinito de segmentos perpendiculares, ¿tendrá la suma de laslongitudes un valor límite? Explica.

22. ¡Qué lata!

Con una lámina metálica rectangular de 21 cm por 27 cm se va a construir unrecipiente cilíndrico cerrado. La superficie lateral y las tapas deberán estar hechasde una pieza, no de retazos.

¿Cuál es el volumen máximo que puede tener el recipiente?

¿Qué cantidad de material se desperdicia?

23. El mirón

Sobre un edificio de 100 m, hay un anuncio de 12 m de altura. Desde la calle, unapersona trata de leer, con los ojos a 1.6 m del suelo, lo mejor posible el anuncio. Lopodrá ver mejor si el ángulo bajo el que lo ve es mayor.

¿Dónde debe colocarse la persona para leer mejor el anuncio?

24. La lata familiar

Se estudia la posibilidad de presentar en lata el tamaño familiar de las cervezas. Lascervezas familiares contienen 940 mililitros.

¿Cuáles son las dimensiones de la lata en la que se invierte menos material?

25. Hipólito y Fedra

En un prado de forma triangular de lados iguales, se colocan Hipólito en unaesquina del prado y Fedra en un punto arbitrario del interior del prado. Cuando se


les hace una señal, comienzan, caminando a la misma velocidad, los recorridos quese indica a continuación.

Hipólito: camina en dirección perpendicular a la orilla opuesta, al llegar a la orillaretorna al punto de partida siguiendo el mismo camino por donde llegó.

Fedra: camina en dirección perpendicular a una de las orillas, al llegar a ella regresapor el mismo camino a su punto de partida y repite el mismo procedimiento con lasotras dos orillas.

¿Quién de los dos regresará primero a su punto de partida después de haber hechotodo su recorrido?

26. Sin segundas intenciones

Desde la calle se quiere apoyar una escalera en una pared vertical de un edificiomuy alto. Entre el edificio y la calle hay una barda de 2.5 metros de altura paralelaal edificio. La distancia entre la barda y el edificio es de 3 metros.

¿Cuánto debe medir, por lo menos, la escalera?

27. El joven ecologista

Vitrubio, el joven ecologista, debe atravesar un lago circular, que tiene un kilómetrode radio, para llegar a un punto diametralmente opuesto. Puede cruzarlo de variasformas: remando a 2 km/h o bordeándolo a pie a 4 km/h o una parte remando y otraparte caminando. De qué manera tendrá que cruzar el lago si su propósito es

ver el máximo de paisaje.

hacerlo de la forma más rápida.

28. Los pasillos

Dos pasillos hacen esquina en forma perpendicular. Uno tiene un ancho de 2 metrosy el otro de 1.5 metros. Si no tomas en cuenta la altura de los pasillos, ¿puede pasaruna jabalina de 5 metros? ¿Cuál es la longitud máxima que puede tener una jabalinapara que pase de un pasillo a otro?

29. La banda de las poleas

Una banda pasa por dos poleas de 15 cm y 20 cm de radio, respectivamente. Ladistancia entre sus centros es de 75 cm.


Calcula la longitud de la banda.

¿Cuántas revoluciones por segundo da la polea chica cuando la grande completa 21revoluciones por segundo?

30. El negro que no se raja

En el instante t = 0, se comienza a introducir agua en un tinaco vacío, con un gastode 40 litros/minuto. Este gasto se mantiene constante durante dos minutos, hasta queel tinaco contiene 80 litros. Desde t = 2 hasta t = 4, el gasto se reduce gradualmentehasta los 5 litros/minuto. Este gasto permanece constante durante los dos últimosminutos. En el instante final, t = 6, el tinaco contiene 135 litros.

¿Cuántos litros de agua contiene el tinaco cuando t = 2.5, 3 y 3.7 minutos? ¿Y encualquier instante t?

Supongamos ahora que, en la misma situación descrita, se pone a funcionar unabomba en el instante t = 2 y que, durante los cuatro minutos siguientes, se extraeagua del tinaco a un gasto constante de 15 litros/minuto.

¿Cuándo alcanza el nivel del agua su máximo valor?

Supongamos ahora que, en la primera situación descrita, se pone a funcionar unabomba en el instante t = 2 y que, durante los cuatro minutos siguientes, se extraeagua del tinaco con un gasto que aumenta uniformemente hasta alcanzar 20litros/minuto.

¿Cuándo alcanza el nivel del agua su máximo valor?

Escribe dos preguntas más y respóndelas.

31. El pistón

Un brazo de b cm de longitud conecta a un pistón con una biela de c cm de longitud,que gira, en sentido positivo convencional, a n revoluciones por minuto.

Describe la posición del pistón en función del tiempo.

32. El hogareño Caronte

Caronte, en su barca, se encuentra a 2 km de distancia de un tramo recto de la costa.A lo largo de la costa, a 5 km del punto más próximo a Caronte, se encuentra sucasa. Caronte puede remar a 3.6 km/ h y caminar a 6 km/h.

¿Cuál es el tiempo mínimo en que puede llegar a su casa?


II. Problemas con guía

1. Las ballenas de Alaska

En un estudio reciente se afirma que la población actual de ballenas en Alaska estáentre 5700 y 10600 y que la diferencia entre los nacimientos y las muertes naturalesda lugar a un crecimiento de aproximadamente 3% anual. Los esquimales de Alaskatienen permiso para cazar 50 ballenas cada año para su supervivencia.

Cuestionario

(1) Supongamos que en 2000 la población de ballenas era de 5700.

(a) ¿Cuál es el cambio en un año en esta población debido a la diferenciaentre los nacimientos y las muertes naturales?

(b) ¿Cuál es el cambio en un año debido a la cacería de los esquimales?

(c) ¿Cuál sería la población de ballenas en 2001?

(2) Escribe las instrucciones para calcular a partir de la población de un añodado la población del año siguiente. De ser posible hazlo en tu calculadora.

(d) Haz una tabla con tus estimaciones hasta el año 2010. Traza una gráfica.

(e) Haz otra tabla pero supón ahora que la población en 2000 era de 10600.Traza una gráfica.

(3) Aplica la estrategia ‘¿Qué pasaría si . . .?’ con respecto al volumen de cazapermitido. Escribe tus conclusiones.

(4) En este estudio hiciste estimaciones para varios años futuros, basándote enlas tendencias de crecimiento del pasado.

(f) ¿Qué cálculos tuviste que hacer para estimar el cambio en el número deballenas de un año al siguiente? Aplica la estrategia de ‘indicar sinefectuar’ para identificar la expresión algebraica que relaciona el tiempo yla población.

(g)¿Cómo puedes predecir la población de ballenas dentro de muchos años?

(h)¿Qué semejanzas y qué diferencias adviertes entre el patrón de cambio dela población de las ballenas y el de los seres humanos?

2. Gauss, listillo desde chiquillo

Gauss, a los diez años, encontró la suma de los primeros mil números naturalesrazonando de la manera siguiente «si sumo el primero y el último números, 1+1000,la suma es 1001. La suma del segundo y el penúltimo, 2+999, también es 1001. Lomismo pasa al sumar las parejas siguientes, 3+998, 4+997, . . ., hasta llegar a500+501, todas las sumas dan 1001. Puesto que se pueden formar 500 parejas deéstas con los mil números, la suma total debe ser (500)(1001)= 500500». De esta


manera Gauss reinventó la fórmula para calcular la suma de los términos de unaprogresión aritmética.

Cuestionario

(1) Calcula la suma de los números impares que hay desde 1 hasta 69, ambosinclusive.

(2) Calcula la suma de los primeros 100 términos de la progresión aritmética 2, 7,12, . . .

(3) Escribe una fórmula que dé la suma de los primeros n números naturales.

(4) Deduce, o investiga y explica, la fórmula para la suma de los términos de unaprogresión aritmética.

(5) ¿Qué es una progresión geométrica? Escribe cinco ejemplos.

(6) Escribe el término general de la progresión:

1 , 2 , 4 , 8 , . . . , 512, 1024, 2048, . . .

a1, a2, a3, a4, . . . , a10, a11, a12, . . .

(7) Por analogía con el razonamiento de Gauss para la suma, escribe el producto delos primeros doce términos de la progresión anterior.

(8) Escribe la fórmula del producto de n términos de una progresión geométrica.

3. La escala Richter

Al sismólogo norteamericano C. F. Richter (1900-1985) se debe la escala paracomparar la intensidad de los terremotos. Según la escala que ideó en 1935 lamagnitud R de un sismo se define por la fórmula:

=

010log

AAR

donde A es la amplitud de la onda sísmica más grande del movimiento telúrico y A0es la amplitud de un temblor que se considera normal. A partir de R=5.5 un temblorya causa daños graves.

Algunos terremotos recientes son

San Francisco, en 1906, R=8.25

Japón, en 1933, R=8.9

Alaska, en 1964, R=8.5

México, en 1985, R=7.8


Compara los sismos anteriores con el que causa daños graves y establece cuántomás intensos fueron. También compáralos entre sí y con algunos otros temblores delos que tengas noticia.

Investiga sobre el tema y escribe un breve, pero bien fundamentado, artículo dedivulgación.

¿Qué otras mediciones se hacen con métodos análogos al de los temblores?

4. Tales

Ante los atónitos ojos de sus contemporáneos, aparecen los siete sabios de Grecia.Uno de ellos fue Tales de Mileto. Un sacerdote egipcio le pregunta cuál puede ser laaltura de la pirámide del rey Keops. Tales reflexiona y a continuación contesta queno se conforma con calcular a ojo, sino que la medirá sin la ayuda de ningúninstrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo.Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está ideando y Tales les explica: «Mepondré simplemente en el extremo de esta línea que mide la longitud de mi cuerpo yesperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante la sombra de lapirámide de vuestro venerado Keops, también ha de medir tantos pasos como laaltura de la pirámide». Y como el sacerdote desconcertado de la extrema sencillezde la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade:«Pero si queréis que os mida esta altura a cualquier hora, clavaré en la arena mibastón. ¿Veis?, por ejemplo ahora su sombra es aproximadamente la mitad de sulongitud; por consiguiente, en este momento también la sombra esaproximadamente la mitad de su longitud: por lo tanto, en este momento también lasombra de la pirámide mide más o menos la mitad de su altura. Ahora estáis endisposición de medirla con toda exactitud: os bastará comparar la longitud delbastón con la de su sombra para encontrar, mediante división o multiplicación de lasombra de la pirámide, la altura de ésta».

Cuestionario

(1) Explica en forma concisa pero clara cómo midió Tales la altura de la pirámidede Keops.

(2) ¿Cuál es la idea fundamental de este texto? Ponle un título que resuma dichaidea.

(3) Haz un dibujo que exprese tal idea, utilizando sólo figuras geométricas.

(4) Este descubrimiento de Tales es el punto de partida de la teoría de la semejanza.Explica qué son figuras semejantes. ¿Es lo mismo semejanza que igualdad?Anota todas las diferencias que encuentres.

(5) ¿Cuántas pirámides famosas hay en Egipto? ¿Para que las construían? ¿Quiénlas construyó?

(6) Recuerda el teorema de Tales ¿Hay alguna relación entre dicho teorema y estetexto?


(7) Describe todas las características de una pirámide en términos geométricos.

(8) En el instante en que la sombra es igual a la altura de Tales, la pirámide proyectauna sombra de 24.5 m, a partir de la base. Si la base mide 227 m, ¿cuál es laaltura de la pirámide?

(9) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto alaprendizaje que lograste en esta actividad.

5. Viaje a Liliput con las magnitudes

Las matemáticas elementales nos enseñan que en las figuras semejantes el áreaaumenta como el cuadrado, y el volumen como el cubo, de las dimensiones lineales.

Así en Liliput los ministros de Su Majestad al encontrar que la estatura de Gulliverexcedía a la suya en proporción de 12 a 1, llegaron a la conclusión, por el parecidode sus cuerpos, de que Gulliver había de contener al menos 1728 ( 312 ) de los suyosy por lo tanto necesitaba una ración de comida de acuerdo con ello.

Pero un célebre ornitólogo no pudo ver lo que estaba claro para los liliputienses;porque hallando que un cierto pájaro de patas largas, el zanco que pesa sólo 120.5gramos tiene patas de 20.3 centímetros de largo, pensó que un flamenco que pesa1.8 kilogramos debería tener patas de 3 metros de largo para estar en la mismaproporción del zanco. Pero para nosotros resulta evidente que como los pesos deambas aves están en relación de 1 a 15, las patas, o cualquier otra parte dedimensión lineal, deberían ser iguales a las raíces cúbicas de estos números, es decirestar en la relación 1 a 2.5. De acuerdo con esta escala las patas del flamencodeberían ser, como realmente son, de unos 50 centímetros de largo.

Se pueden deducir muchas consecuencias partiendo de estos principios elementales,todas ellas más o menos interesantes y algunas de gran importancia. En primerlugar, aunque el crecimiento en longitud y el crecimiento en volumen, que engeneral es equivalente a la masa o al peso, son partes de un mismo proceso, lo queatrae nuestra atención es el aumento de uno mucho más que la otra. Por ejemplo, unpez al doblar su longitud, multiplica su peso ocho veces y dobla su peso al crecer de10 a 13 cm de longitud.

En segundo lugar vemos que una comprensión de la relación entre longitud (L) ypeso (P) en cualquier especie particular de animales (la determinación de k en lafórmula 3LkP = ) nos permite en todo momento calcular las dimensionescorrespondientes con una cinta métrica, aunque esto está sujeto siempre a lacondición de que el animal no haya alterado su forma ni su peso específico. Porejemplo, si una persona de 1.60 m de estatura pesa 50 kg, entonces un gigante deldoble de estatura, de 3.20 de estatura, que tenga las mismas proporciones deberíapesar 400 kg. El peso del gigante es ocho veces el peso de una persona común, peroel área de la sección transversal de sus piernas, o de sus tobillos, es sólo cuatroveces el área de la sección transversal de la persona común. Al aplicar el mismorazonamiento a gigantes de 3, 4, 5 . . . veces la estatura normal, se obtendría un peso


multiplicado por 27, 64, 125, . . ., pero la sección transversal de sus tobillos sólo semultiplicaría por 9, 16, 25, . . . Llegaría un momento en que sus tobillos no podríansoportar el peso y nuestro gigante se derrumbaría.

Cuestionario:

(1) ¿Qué quiere decir la frase «la superficie aumenta como el cuadrado y el volumencomo el cubo de las dimensiones lineales»?

(2) Relaciona esta frase con el error del ornitólogo al pensar que el flamenco deberíatener una patas de 3 metros de largo.

(3) Dibuja las patas de un zanco de Liliput y las de un flamenco, según la relaciónde 1 a 2.5. De acuerdo con esta escala, ¿cuánto miden las patas del flamenco?

(4) ¿Qué obra de la literatura recoge la historia que aquí se cuenta?

(5) Las magnitudes peso y longitud no son proporcionales ¿De qué parte del texto sededuce esta afirmación? ¿Qué pasaría si fueran proporcionales?

(6) Con los datos de este texto puedes resolver el problema siguiente: un pez mide30 centímetros y pesa medio kilogramo, ¿cuánto pesará un pez de la mismaespecie de 60 centímetros?

(7) ¿Qué limitaciones impone la forma al tamaño? Si existieran los gigantes, ¿cómoserían?


6. Pitágoras generalizado

(1) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior de 90°. Por comodidadllamaremos C al vértice del ángulo recto y A y B a los otros vértices deltriángulo rectángulo ABC. En el triángulo ABC de la figura construye uncuadrado sobre cada uno de los catetos y otro cuadrado sobre la hipotenusa.Calcula el área de cada cuadrado. ¿Qué relación hay entre estas áreas?

(2) En el punto 1 confirmaste el teorema de Pitágoras, que dice que, en un triángulorectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados que se construyen sobre loscatetos es igual al área del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa. Enuna hoja de papel punteado, construye el triángulo rectángulo ABC. Construyeun triángulo equilátero sobre cada lado, tanto catetos como hipotenusa. Compara


la suma de las áreas de los triángulos que construiste sobre los catetos con elárea del triángulo que construiste sobre la hipotenusa. ¿Qué adviertes? Comparatu descubrimiento con los de tus compañeros. Formula una conjetura en laforma si-entonces y justifícala.

(3) Traza el triángulo ABC en una hoja de papel punteado. Sobre cada lado deltriángulo construye un triángulo isósceles rectángulo con sus lados congruentesiguales al lado del triángulo ABC sobre el que se construye. Compara la sumade las áreas de los triángulos que construiste sobre los catetos con el área deltriángulo que construiste sobre la hipotenusa. Formula una conjetura en la formasi-entonces y justifícala.

(4) Traza el triángulo ABC. Sobre cada uno de los lados construye un semicírculo.Compara la suma de las áreas de los semicírculos que construiste sobre loscatetos con el área del semicírculo que construiste sobre la hipotenusa. Formulauna conjetura en la forma si-entonces y justifícala.

(5) Traza el triángulo ABC. Sobre uno de los catetos construye un triángulo a tuantojo. Construye triángulos semejantes sobre el otro cateto y sobre lahipotenusa. Compara la suma de las áreas de los triángulos que construiste sobrelos catetos con el área del triángulo que construiste sobre la hipotenusa. Formulauna conjetura en la forma si-entonces y justifícala.

(6) Con base en los ejercicios 1-5 anteriores, formula una conjetura acerca de lasfiguras que se construyen sobre los catetos y la hipotenusa de un triángulorectángulo. Escoge una figura en la que no la hayas probado para ver si tuconjetura se sostiene. Explica por qué piensas que tu conjetura es verdadera..

7. Un presunto tetraedro

Un tetraedro es un poliedro que está limitado por cuatro caras que son triángulosequiláteros.

Vas a construir un poliedro, un presunto tetraedro, doblando papel.

Recorta una tira rectangular de papel, de 28 cm de largo y 4 cm de ancho.

Divide la tira rectangular en cuatro rectángulos congruentes, de 4 cm por 7 cm.

Traza las diagonales de los rectángulos chicos de la manera siguiente:

Para el primero y tercer rectángulos, traza la diagonal que une el vértice inferiorizquierdo con el vértice superior derecho.

Para el segundo y cuarto rectángulos, traza la diagonal que une el vértice superiorizquierdo con el vértice inferior derecho.


Pega los extremos de la tira rectangular.

Dobla la tira por todas las diagonales que trazaste y dobla la cinta plegada hasta quelogres formar un poliedro.

Cuestionario

(1) Cada cara del poliedro que formaste es un triángulo. Dos lados de cada triánguloson diagonales de los rectángulos de la tira. ¿A qué corresponde el otro ladode cada triángulo?

(2) Mide y calcula la longitud de cada uno de los lados (que son aristas del poliedro)de una cara. ¿Es un triángulo equilátero? Explica.

Para el resto de las preguntas considera que el poliedro es regular.

(3) Cuenta las caras, los vértices y las aristas. Comprueba si se cumple el teorema deEuler (C + V = A + 2).

(4) Imagina el tetraedro cortado por un plano que pasa por el vértice y esperpendicular a la base. ¿Qué clase de polígono forma dicha sección?

(5) Imagina que un plano que pasa por los puntos medios de cuatro aristas corta altetraedro en dos partes. ¿Qué clase de polígono es la sección del plano con eltetraedro? Investiga otras secciones del plano con otras condiciones.

(6) Calcula la apotema, la altura, el área lateral y el volumen del tetraedro. Explicadetalladamente cómo los calculaste.

(7) ¿Cuáles son las dimensiones de un cubo que tiene el mismo volumen que eltetraedro?, ¿y las de una esfera?, ¿y las de un cilindro?

(8) Construye otro poliedro con una tira de 56 por 8 cm y establece la relación entresus dimensiones y las del poliedro anterior.

(9) Idea un procedimiento para construir un tetraedro verdadero doblando papel.

(10) ¿Recuerdas el acertijo clásico que pide construir cuatro triángulos equiláteroscon seis palillos iguales sin quebrarlos?


8. Identidades algebraicas

Observa cuidadosamente las siguientes figuras y establece la relación que hay entrecada figura y la identidad algebraica correspondiente. Redacta un párrafo para cadafigura y destaca en tu descripción los elementos que te ayudaron a establecer larelación.


x

a b c

ax bx cx

1

x a

b

ax

bx

x x2

ab

2

x(a+b+c) ≡ xa + xb + xc (x+a)(x+b) ≡ x2 + ax + bx + ab

a b

a(a+b)a

b b(a+b)

3

a

b

a2a

b

b2ab

ab

4

(a+b)2 ≡ a(a+b) + (a+b)b (a+b)2 ≡a2 + 2ab +b2


a

(a-b) 2

��

a

b

b

b

��

ab

ab

a

5

��

a

ba

b b2

a-b��

b

a-b

6

(a-b)2 ≡ a2 -2ab + b2 a2 - b2 ≡ (a+b)(a-b)

ab a

b a

b

(a-b) 2

b

ab

ab

ab

b

a

a

7

(a+b)2 - (a-b)2 ≡ 4ab


(8) Establece las identidades algebraicas que son ilustradas por las siguientesfiguras.

k

a b

ka kb

a

x x

x

x

2x

2x

b

x

1

x

1

1

c

a

k

ba-bd

a

d

b

c-d

e

(9) Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas:

a) (x+3)(x-2) ≡ x2 + x - 6

b) (a-b)(2a-b) ≡ 2a2 - 3ab + b2

c) (a+b+c)2 ≡ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

d) (a+b)(x+y+z) ≡ ax + ay + az + bx + by + bz

(10) AB es un segmento de recta con punto medio en C, que se prolonga por B hastaD. Dado que AD = 2AB, representa por medio de una figura la relaciónAD*BD = 8AC2. Establece la identidad algebraica correspondiente, conAC=x.

(11) A, B, C, D son cuatro puntos colocados en orden sobre una línea recta.Representa por medio de una figura la relación AC*BD = AB*CD + AD*BC.Te ayudará rebautizar a los segmentos AB, BC, CD como x, y, z,respectivamente. Establece la identidad algebraica correspondiente.

(12) El segmento AB, con punto medio en C, se prolonga por B hasta un puntocualquiera D. Representa por medio de una figura AC*AD = CB*BD + 2AC2.Establece la identidad algebraica correspondiente.

9. La razón áurea

1Cuando los griegos se plantearon la pregunta

¿Cuál es la forma ideal, la más armoniosa, en el arte?,

pensaron que la respuesta debían darla las matemáticas. Para responderlaapropiadamente la transformaron en otra pregunta


¿Cuál deberá ser la razón de la base con respecto a la altura de un rectángulo, de talforma que si se recorta un cuadrado del rectángulo original, el rectángulo restantetenga la misma forma que el rectángulo original?

Tú, como los griegos, seguramente podrás hallar la respuesta.

2La forma ideal de un rectángulo en el arte es el rectángulo áureo inventado (¿odescubierto?) por los griegos. Si se recorta un cuadrado de un rectángulo áureo seobtiene un rectángulo menor que conserva la misma razón de largo a ancho que elrectángulo original. Por lo tanto esta razón de largo a ancho es

51 +

2 (Como seguramente ya averiguaste en la primera parte).

Ahora:

(1) Construye un rectángulo áureo.(Sugerencia: construye un segmento, cuyalongitud sea la altura del rectángulo que vas a construir, y después construyeotro segmento que esté en razón áurea con el primero, este último segmento serála base de tu rectángulo).

(2) Divídelo en un cuadrado, cuyo lado sea igual al ancho del rectángulo original, yen un rectángulo.

(3) Construye un arco de circunferencia con centro en un vértice del cuadradoadyacente al rectángulo.

(4) Prosigue subdividiendo este último rectángulo en un cuadrado y un rectángulo, yconstruye otro arco de circunferencia en el cuadrado que continúe el primerarco.

(5) Repite esta operación tres veces más.

a) Calcula la longitud del primer arco de circunferencia.

b) Calcula la longitud de la curva formada por los cinco arcos de circunferencia.

c) Si se continúa repitiendo la construcción calcula la longitud de la curvaformada por los k arcos de circunferencia.

10. El cálculo de π según Arquímedes

Para calcular el área, de una figura de contornos rectilíneos, basta dividirla pormedio de segmentos de recta en figuras cuyas áreas se puedan calcular fácilmente,como triángulos o cuadrados. Pero si la figura tiene contornos no rectilíneos, ya noes tan sencillo el cálculo de su área. Entre los griegos, el cálculo del área de unafigura se llamaba cuadratura y consistía en encontrar, sólo con regla y compás, el


lado de un cuadrado cuya área fuera exactamente la misma que la de la figura encuestión.

Los tres problemas clásicos de la matemática griega fueron la cuadratura del círculo,la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Más de dos mil años habrían detranscurrir antes de que se demostrara que los tres problemas eran insolubles en laforma en que fueron planteados, es decir, usando sólo regla y compás. Pero, a pesarde lo que podría parecer un final triste para tanto trabajo y dedicación, mucho delmejor pensamiento matemático posterior tuvo su origen en estos esfuerzos porlograr lo imposible.

Hipócrates de Quíos, Eudoxo de Cnido y Arquímedes el Siracusano, entre muchosotros geómetras griegos trataron de cuadrar el círculo. Ninguno de ellos viocoronados sus esfuerzos.

Hipócrates logró la cuadratura de lúnulas en su intento de cuadrar el círculo. AEudoxo se le atribuye la primera demostración satisfactoria de que el volumen delcono es la tercera parte del volumen del cilindro que tiene la misma base y la mismaaltura, mediante su método de exhaución, que establece la igualdad de dos números,probando que su diferencia es menor que cualquier cantidad dada, por pequeña quesea. Ya los matemáticos anteriores habían sugerido que el área del círculo se podríallegar a agotar inscribiendo en el círculo un polígono y aumentando indefinidamenteel número de sus lados.

Arquímedes de Siracusa, que logró cuadrar un segmento parabólico, usó estas ideaspara realizar el cálculo aproximado del área del círculo, a partir del cual podemosobtener la razón de una circunferencia y su diámetro. Su punto de partida fueron loshexágonos regulares, uno inscrito en y otro circunscrito a la circunferencia. Despuéscalculó las áreas de los polígonos que obtuvo al duplicar sucesivamente el númerode lados hasta llegar a los polígonos regulares, inscrito y circunscrito, de 96 lados.El resultado que logró corresponde a una aproximación de π mejor que la de losbabilonios o de los egipcios.

Como puedes observar, las áreas de los polígonos inscrito y circunscrito son cadavez más próximas al área del círculo, pero el área de los polígonos inscritos, aunqueaumenta siempre, no puede ser mayor que el área del círculo y el área de lospolígonos circunscritos, aunque disminuye siempre, no puede llegar a ser menor queel área del círculo, porque el área del círculo es el límite de ambas. Calcula el valoraproximado de π que obtuvo Arquímedes aplicando sus ideas.

Traza una circunferencia de radio unitario.

Inscribe y circunscribe un hexágono a la circunferencia y calcula sus áreas.

Inscribe y circunscribe un dodecágono a la circunferencia, relaciona susdimensiones con las del hexágono y calcula sus áreas.

Establece las fórmulas de las áreas de los polígonos sucesivos, a partir de losanteriores.

Escribe la aproximación de Arquímedes en forma de desigualdad y compárala conel valor de π que da tu calculadora.


¿Cuántos lados deben tener los polígonos para que la diferencia entre sus áreas seamenor de

una centésima?

una milésima?

una diezmilésima?

una millonésima?

Escribe tus conclusiones sobre el significado e importancia de π.

Escribe otras aplicaciones que se le puedan dar al método que usaste.

Inventa un problema inspirado en la actividad.

Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).

Construcciones

En esta sección se te pide que realices algunas construcciones de manera pulcra ycuidadosa, usa regla, compás y escuadras (en algunas ocasiones se te pedirá queuses sólo compás y regla sin graduar). Si tienes oportunidad, puedes usar algúnpaquete de geometría dinámica. Los propósitos de estas construcciones incluyen eldesarrollo de la habilidad para hacer conjeturas sobre las propiedades de las figuras,así como la habilidad de probar y verificar estas conjeturas.

11. Construcciones 1

El triángulo.

Traza los triángulos cuyos lados miden: (a) 3, 4, 5; (b) 3, 4, 6; (c) 3, 4, 7; (d)3, 4, 8.

HACER, REFLEXIONAR Y COMUNICAR, no olvides que así se aprende.¿Qué conclusiones obtuviste de tus construcciones?

Incluye el reporte, con PER, en tu portafolios.


Segmentos.

En esta ocasión usarás sólo compás y regla sin graduar.

Dado el segmento unitario siguiente :

construye segmentos que tengan doble, triple, quíntuple longitud y describeel procedimiento para construir un segmento que tenga una longitud de kunidades enteras.

Construye segmentos cuyas longitudes sean 3/2, 5/4, 8/5.


Describe un procedimiento para construir un segmento que tenga unalongitud de m/n, donde m y n son números naturales.

Construye segmentos cuyas longitudes sean √2, √3, √5.

Describe un procedimiento para construir un segmento que tenga unalongitud de √p unidades, donde p es un número natural.



Cuadrados.

En esta parte usarás sólo compás y regla sin graduar.

Dado un cuadrado de lado m,

construye un cuadrado cuya área sea el doble de la del cuadradodado.

construye un cuadrado cuya área sea el triple de la del cuadrado dado.

describe el procedimiento para construir un cuadrado cuya área sea kveces la del cuadrado dado, donde k es un número natural.

Dado un rectángulo de lados m y n, construye un cuadrado que tenga un áreaigual a la del rectángulo dado.

Dado un ángulo construye un ángulo que mida la mitad del ángulo dado.

Para esta parte puedes usar también escuadras.

Traza el segmento AB de 12 cm de longitud.

Traza una recta que pase por A y llámala r1.

Traza desde B la perpendicular a r1 y marca con tinta el punto deintersección de la perpendicular que trazaste y la recta r1.

Traza otra recta que pase por A y llámala r2.

Traza desde B la perpendicular a r2 y marca con tinta el punto deintersección de la perpendicular que trazaste y la recta r2.

Repite doce veces el procedimiento anterior trazando las rectas r3, r4, …,r12, que pasen por A.

Formula una conjetura en la forma «si-entonces» sobre el tipo de curva quese obtiene con los puntos entintados.



Triángulos


Construye un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

Traza un triángulo que tenga como puntos medios los vértices del triánguloque construiste.

Construye un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 6 cm y 7cm.

Traza un triángulo que tenga como puntos medios los vértices del triánguloque construiste.

Construye tres triángulos, uno acutángulo, uno rectángulo y unoobtusángulo.

Traza un triángulo que tenga como puntos medios los vértices de cada unode los triángulos que construiste.

Formula una conjetura, o varias, en la forma «si-entonces» a partir de lasconstrucciones que hiciste y trata de probarla.

Describe un procedimiento para construir un triángulo que tenga comopuntos medios tres puntos dados distintos cualesquiera.

Investiga el problema análogo correspondiente a un cuadrilátero.

Enuncia el problema.

Formula conjeturas en la forma «si-entonces» a partir de las exploracionesque hagas y trata de probarlas.

Escribe tus conclusiones.

¿Qué pasará con otros polígonos?

Cacería

En los vértices de un triángulo PQR equilátero de 10 km de lado hay tresmisiles cazamisiles que se lanzan simultáneamente con velocidadesconstantes. El misil P va a la caza de Q, el Q a la caza de R y el R a la cazade P. Los misiles funcionan de tal manera que cada kilómetro corrigen elrumbo tras localizar su presa.

Traza la trayectoria de cada uno de los tres misiles con una escala de 1 cmpor cada km.

Construye un triángulo equilátero de 20 cm de lado y divídelo en cuatrotriángulos equiláteros congruentes. Repite en cada uno de estos triángulos elpatrón que obtuviste de las trayectorias de los misiles.



La diagonal dada.

Traza un segmento de 6 cm de longitud.


Traza muchos rectángulos que tengan como diagonal este segmento.

Marca los otros dos vértices de cada uno de los rectángulos que trazaste.

Formula conjeturas y trata de probarlas.

El rectángulo de área constante.

En una hoja de papel punteado traza todos los rectángulos de área igual a 36unidades cuadradas.

¿Cuál de los rectángulos tiene perímetro menor?

Conjetura y explica.

El rectángulo de perímetro constante.

En una hoja de papel punteado traza todos los rectángulos de perímetro iguala 36 unidades.

¿Cuál de los rectángulos tiene área mayor?

En una hoja de papel punteado traza todos los rectángulos de perímetro iguala 34 unidades.

¿Cuál de los rectángulos tiene área mayor?

Conjetura y explica.

Las razones trigonométricas.

El seno de un ángulo es un tercio, ¿cuánto mide el ángulo?

El seno de un ángulo es 1/3.

Construye un triángulo que ilustre esta situación.

Mide el ángulo en el triángulo que construiste y verifica el valor en tucalculadora.

¿Cuál es el seno de 40°?

Construye un triángulo rectángulo con un ángulo de 40°.

Mide los lados y calcula el seno.

Compara el valor que obtuviste con el de tu calculadora.

Plantea situaciones parecidas a las anteriores para cada una de las razonestrigonométricas.

Escribe tus conclusiones.



Inscripción y Circunscripción.


Dada una circunferencia de 10 cm de radio, construye un triánguloequilátero circunscrito a ella. Llámalos C1 y T1, respectivamente.

Formula algunas conjeturas sobre las relaciones de los perímetros y las áreasde ambas figuras y verifícalas.

Inscribe un triángulo equilátero T2 en la circunferencia C1.

Inscribe una circunferencia C2 en el triángulo T2.


Inscribe una circunferencia C3 en el triángulo T3.


Calcula las razones de las áreas y los perímetros de T4 a T1.

Formula otras conjeturas de carácter más general sobre las relaciones de losperímetros y las áreas de las figuras que trazaste.

Demuestra o refuta tus conjeturas y haz un reporte que incluya todo elproceso, tanto el correspondiente a las conjeturas que demostraste como a lasque refutaste.

Incluye el reporte en tu portafolios en la Semana 9.

Investiga las relaciones entre otras figuras inscritas y circunscritas.



Las lúnulas.

Una lúnula es una figura plana limitada por dos arcos de circunferencias deradios distintos.

Construye un triángulo rectángulo isósceles. Considera la hipotenusa deltriángulo como su base.

Traza un semicírculo circunscrito al triángulo con la hipotenusa comodiámetro.

Traza semicírculos sobre cada uno de los catetos del triángulo.

Compara las áreas de las lúnulas con el área del triángulo.

Formula conjeturas y trata de demostrarlas.

Puntos medios

Dibuja un círculo de 5 cm de radio con centro P. Toma muchos puntos sobrela circunferencia, Q1, Q2, Q3, . . . y marca con tinta los puntos medios de lossegmentos P Q1, P Q2, P Q3, . . . Da una descripción de la figura queobtienes. Explica.

Dodecágono y circunferencias.


Traza un polígono regular de doce lados cuya área sea de 24 centímetroscuadrados. ¿Cuánto miden sus lados?, ¿y los radios de las circunferenciainscrita y circunscrita?

La mariposa.

Traza un círculo de radio 5. Traza una cuerda AB que no sea un diámetro ylocaliza su punto medio M. Traza dos cuerdas cualesquiera CD y EF quepasen por M. Ahora traza las cuerdas CE y DF, que cortan AB en P y Q,respectivamente. Mide todos los segmentos y formula conjeturas sobrecuáles de ellos son congruentes. Escribe un argumento que justifique cadauna de tus conjeturas.



Un lugar geométrico.

Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud.

Traza varias circunferencias que pasen por P y por Q y marca con tinta loscentros de estas circunferencias.

Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas.

Otro lugar geométrico.

Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud.

Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQR que tengan unángulo opuesto al segmento PQ de 30° y marca el vértice R de cada uno deestos triángulos.

Usa tu escuadra 45-45-90 para trazar muchos triángulos PQS que tengan unángulo opuesto al segmento PQ de 45° y marca el vértice S de cada uno deestos triángulos.

Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQT que tengan unángulo opuesto al segmento PQ de 60° y marca el vértice T de cada uno deestos triángulos.

Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQU que tengan unángulo opuesto al segmento PQ de 90° y marca el vértice U de cada uno deestos triángulos.

Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas.

Otra de triángulos.

Traza un triángulo de lados 6, 9 ,12.

Localiza los puntos medios de dos de sus lados y traza un segmento que losuna.


El triángulo queda dividido en dos regiones, descríbelas, calcula susperímetros y áreas y compáralos, ¿en qué razón están? Conjetura y explica.

Haz una indagación parecida a la anterior pero ahora parte de la trisección delos dos lados. Conjetura y argumenta.

Dado el triángulo de lados 6, 9, 12.

¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que el triánguloquede dividido en dos regiones de áreas iguales?

¿A qué alturas se deben trazar paralelas a la base para que el triángulo quededividido en cinco regiones de áreas iguales?

¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que los perímetros delas dos regiones sean iguales?

¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que las áreas de lasdos regiones que resultan estén en razón 1:2, 1:3, 1:4, 2:3, m:n?



Tres problemas de Apolonio.

En cada uno de los problemas escribe un argumento que justifique laconstrucción.

Dados dos rectas que se cortan y un punto cualquiera en una de ellas trazauna circunferencia que sea tangente a ambas rectas y que pase por el punto.

Dadas tres rectas distintas que se cortan de manera no concurrente traza unacircunferencia tangente a ellas.

Dados tres puntos distintos no alineados traza una circunferencia que pasepor ellos.



El triángulo áureo.

Traza un triángulo isósceles ABC, con los ángulos de los vértices B y Ccongruentes, ambos con una medida de 72°, y el lado BC de 10 cm.

Mide los lados iguales y establece la razón en que se encuentran conrespecto al lado BC.

Traza la bisectriz del ángulo B. Llama D al punto de intersección con el ladoAC.

Describe el triángulo BCD.


¿Qué tipo de triángulo resulta?

¿Cuánto miden sus ángulos?

¿En qué razón se encuentran sus lados?

¿Qué relación tiene con el triángulo ABC?

Traza la bisectriz del ángulo C. Llama E al punto de intersección con el ladoBD.

Describe el triángulo CDE.

Repite el procedimiento y describe los triángulos que vas obteniendo, DEF,EFG, FGH, etc.

Traza una espiral con arcos de circunferencia y calcula su longitud para 1, 2 ,3, . . . , k arcos. Para el primer arco te apoyas en el punto E. ¿Puedes calcularla longitud total de la espiral?

Describe también la serie de triángulos ABD, BCE, CDF, . . .

Llama U, V, W, . . ., a los puntos medios de los lados AB, BC, CD, . . .,respectivamente, y traza las medianas CU, DV, EW, . . .

¿Qué observas con respecto a estas medianas?

¿Puedes revertir el proceso construyendo triángulos mayores en lugar demenores? Explica.

Investiga o calcula los valores exactos de las razones trigonométricas de losángulos del triángulo áureo. ¿Qué relaciones observas? Explica.



Más sobre tangentes.

Traza las tangentes comunes a dos circunferencias dadas.

Dadas tres rectas, construye una circunferencia que sea tangente a dos deellas y tenga su centro en la tercera.

Dentro de una circunferencia dada traza tres circunferencias que seantangentes entre sí y tangentes a la circunferencia dada. Haz la construcciónpara cuatro y seis circunferencias. Describe los procedimientos y explícalos.

Más sobre triángulos.

Dadas las tres medianas de un triángulo, construye el triángulo.

Dados dos lados y la mediana correspondiente a uno de ellos, construye eltriángulo.

¿Cuál es la información mínima que necesitas para trazar un triángulo?

Inventa otros problemas de construcción de triángulos.


Triseca el área de un triángulo dado. Es decir, localiza un punto P en elinterior del triángulo dado ABC, tal que los triángulos PBC, PCA y PABtengan áreas iguales.

Dados un lado, su ángulo opuesto y el radio de la circunferencia inscrita,construye el triángulo.

El pentágono.

Seguramente sabes inscribir un pentágono en una circunferencia. Describe elprocedimiento y justifícalo, es decir, demuestra que lo que construyes es unpolígono regular de cinco lados.



Más sobre lugares geométricos.

El lado AB de un triángulo ABC mide 5 cm. El ángulo C, opuesto a estelado, mide 30°.

Traza el lugar geométrico (locus) de los puntos correspondientes al vérticeC.

Dibuja una recta d y un punto F que esté a 3 cm de la recta d.

Localiza varios puntos que estén a la misma distancia de la recta d que delpunto F.

Traza el locus de los puntos que equidistan de la recta d y del punto F.

Dado un rombo de 5 cm de lado, con un lado fijo,

traza el lugar geométrico de los centros del rombo.



Más sobre lugares geométricos.

Traza un segmento de 6 cm cuyos extremos son los puntos F1 y F2.

Localiza varios puntos cuya suma de distancias a F1 y a F2 es igual a 10 cm.

Traza el lugar geométrico de los puntos que cuya suma de distancias a lospuntos F1 y F2 es igual a 10.

Otro triángulo.

Dados un ángulo, la altura correspondiente al vértice del ángulo dado y elperímetro del triángulo, construye el triángulo.

Trayectorias.


Con seguridad has visto a los perros ladradores correteando automóviles ybicicletas. ¿Te has parado a pensar cuál es la trayectoria que siguen? El perrono corre hacia donde estará su presa sino que corre hacia donde se encuentraen cada instante. Para trazar aproximadamente la trayectoria del perro,hagamos ciertas suposiciones: la trayectoria del automóvil es rectilínea, lavelocidad del automóvil es dos veces la del caniche (ambas velocidades sonconstantes), el perro corrige su trayectoria cada medio metro, la cazacomienza cuando el ángulo que forman la trayectoria del automóvil y lalínea que une a ambos es de 45° y la distancia que los separa es de 15 m.

Traza la trayectoria que sigue el perro en su cacería.

¿Cómo sería la trayectoria del perro si la trayectoria del automóvil o labicicleta fuera circular?

¿En qué se modificaría la trayectoria del perro si la razón entre lasvelocidades fuera distinta?


24. Demostraciones 1

A partir de los supuestos siguientes:

(1) Un ángulo central de un círculo se mide por el arco interceptado.

(2) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos.

(3) En un triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales.

(4) La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que va delcentro al punto de tangencia.

Demuestra los teoremas siguientes:

(5) Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulosinteriores no adyacentes.

(6) Un ángulo inscrito en un círculo mide la mitad del arco que intercepta.

(7) Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

(8) El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en un círculo mide lamitad de la suma de los arcos que interceptan.


Aquí se trata de que te familiarices con el razonamiento deductivo, de que hagasconjeturas, consideres algunos casos particulares como ejemplos y que las pruebesen general por medio de un razonamiento lógico o que las refutes aportando uncontraejemplo.


El razonamiento deductivo es importante en muchas actividades humanas, peroquizás en ninguna sea tan fundamental como en las matemáticas. Sin duda, elrazonamiento deductivo está en el meollo de la disciplina matemática.Para que puedas utilizar las matemáticas en la resolución de problemas esimportante que aprendas a razonar, es decir a conjeturar, a construir argumentos, acomunicarlos eficazmente, a examinarlos y a considerar su validez.En la geometría razonar también significa desarrollar la habilidad de traducir unproblema con sus características en una figura, o en varias figuras según los casos, yen sus partes y sus relaciones.En una demostración hay que comprender la proposición que tratas de demostrar,distinguiendo las partes que la componen:

♦ los datos y♦ las conclusiones cuya validez tratas de establecer.

Hay que explorar los casos que ejemplifican la proposición, ayudándote condibujos, esquemas, tablas y otras formas que te sirvan para organizar la informaciónque vas generando en tu indagación.Una vez que hayas construido un argumento convincente es necesario que presentestus resultados en una forma matemáticamente correcta.Pero el razonamiento deductivo es propio de todas las matemáticas, no sólo de lageometría. En esta ocasión te proponemos algunos resultados aritméticos para quelos demuestres. En todos los casos, si no se indica otra cosa, los números sonenteros naturales.

(1) Todo número impar es la suma de dos enteros consecutivos.(2) La diferencia entre dos cuadrados perfectos consecutivos es siempre un

número impar.

(3) 54

43

32

21

<<< . . . y así sucesivamente.

(4) El cuadrado de todo número impar es impar y, recíprocamente, si elcuadrado de un número es impar, entonces el número es impar.

(5) La suma de tres enteros consecutivos es múltiplo de 3.Investiga lo que ocurre en los casos de 4, 5, 6, . . .¿En qué casos la suma de k enteros consecutivos es múltiplo de k?

(6) El cuadrado de todo número entero o bien es múltiplo de 4, o bien esmúltiplo de 4 aumentado en 1. Sugerencia: Trata por separado los casos enlos que el entero es par y los casos en los que es impar.

(7) El cubo de todo entero o bien es múltiplo de 9, o bien es múltiplo de 9aumentado o disminuido en 1. Sugerencia: Cualquier número puedeescribirse en una de las formas 3k, 3k+1 ó 3k+2. Investiga lo que ocurre encada caso.

(8) Si tres enteros a, b, c satisfacen a2 + b2 = c2, o a o b o ambos son pares (o loque es lo mismo, a y b no pueden ser ambos impares).

(9) Si tres enteros a, b, c satisfacen a2 + b2 = c2, o a o b o ambos son múltiplosde 3. Sugerencia: Demuestra primero que el cuadrado de todo número esmúltiplo de 3 o es un múltiplo de 3 aumentado en 1, examina luego quepasa si se supone que ni a ni b son múltiplos de 3.


(10) Si a, b, c son tres enteros cualesquiera, entonces el producto (a - b)(b - c)(c- a) es divisible entre 2. Sugerencia: ¿Qué ocurre si los tres números, a, b,c, son pares?, ¿si sólo dos son pares?, etcétera.

(11) Todo primo mayor que 3 es un múltiplo de 6 aumentado o disminuido en1. Sugerencia: Todo número puede escribirse en una de las formas 6k,6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4 ó 6k+5. ¿En cuáles de estas formas puedesasegurar que el número no es primo?, ¿en cuáles puede serlo?

(12) Entre k números consecutivos siempre hay uno divisible entre k.Sugerencia: Dados k números consecutivos a+1, a+2, . . ., a+k, investigalos residuos que se obtienen al dividir cada número entre k.

(13) Observa, formula las proposiciones y demuéstralas.1 = 1 = 13

3 + 5 = 8 = 23

7 + 9 + 11 = 27 = 33

13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43

. . . y así sucesivamente.13 = 12

13 + 23 = 32

13 + 23 + 33 = 62

13 + 23 + 33 + 43 = 102

. . . y así sucesivamente


Demuestra que el cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de uncuadrilátero cualquiera es un paralelogramo.

Demuestra que el volumen de una pirámide y el volumen del prisma que tiene lamisma base y la misma altura están en razón 1 a 3.

Ya conoces las fórmulas para calcular los volúmenes y las áreas de la esfera, elcono, el cilindro y otros sólidos, ¿cómo le explicarías a un joven más chico que túde dónde salieron y por qué son válidas?


¿Dicen lo mismo las dos proposiciones siguientes? Explica.

Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan en ángulo recto, entonces es unrombo.

Si un cuadrilátero es un rombo, entonces sus diagonales se cortan en ángulorecto.

Atalanta


Atalanta quiere ir a la tienda después de cenar, pero su mamá, cariñosa ycontundentemente, dice que no puede salir, que deberá quedarse en la casa yhacer su tarea para conservar el promedio de 10 que la tiene tan orgullosa.Atalanta ha estudiado matemáticas y usa lo que ha aprendido de lasdemostraciones. Atalanta argumenta así: «Supongamos que no voy a latienda después de cenar. Entonces no podré conseguir un transportador,puesto que no tengo uno. Mañana, en la clase de geometría estaré sintransportador y el profesor, según el papel que le corresponde representar,montará en cólera, se pondrá iracundo, regurgitará bilis y se pondrá amarillo-verdoso. Además de todo este interesante proceso natural, que a mí no meatañe, me pondrá un cero. Pero esto es algo intolerable, tú misma lo dijiste,luego entonces debes dejarme ir a la tienda».

Analiza el argumento de Atalanta, identifica sus datos y establece lo quequiere demostrar.

Haz un esquema de la estructura de su demostración, ¿es válida? Explica.

Da un argumento que hayas formulado en tu ya larga vida que tenga lamisma estructura que el de Atalanta. Si nunca lo has hecho, ya es hora deque empieces, inventa uno.

Escribe una demostración matemática que tenga la misma estructura.

Estudia y aprueba

¿Dicen lo mismo las cuatro proposiciones siguientes? Explica cómo serelacionan.

(1) Si un alumno sabe, entonces aprueba.

(2) Si un alumno aprueba, entonces sabe.

(3) Si un alumno no sabe, entonces no aprueba.

(4) Si un alumno no aprueba, entonces no sabe.

Formula una proposición que resuma un principio rector justo de evaluaciónde aprendizajes. Justifícalo.


Demuestra que, si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan, entonces elproducto de las longitudes de los segmentos que determina en cada cuerda el puntode intersección es igual al producto de los segmentos que quedan determinados en laotra cuerda.

Demuestra que si en un triángulo cualquiera se construye un cuadrado sobre cadauno de los lados y se unen los vértices de estos cuadrados, no adyacentes altriángulo, de tal manera que no corten el triángulo, se forman tres triángulos de áreaigual a la del triángulo original.



En la base de un triángulo isósceles se escoge un punto cualquiera, desde el que setrazan dos segmentos perpendiculares a los lados iguales.

Demuestra que, independientemente de la elección del punto, la suma de lasmedidas de los segmentos es constante.

Desde un punto de un terreno plano, una torre subtiende un ángulo a y un asta debandera de m metros, que está sobre la torre, subtiende un ángulo b.

Demuestra que la altura de la torre es m sen a csc (b) cos (a+b).


Demuestra que la bisectriz de un ángulo interior de un triángulo determina en ellado opuesto dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las de los ladosque forman el ángulo.

En un triángulo cualquiera ABC se construye un cuadrado sobre cada uno de loslados, se construyen además dos paralelogramos, trazando paralelas a los lados delos cuadrados perpendiculares a los lados del triángulo original, como se muestra enla figura. Demuestra que el triángulo BDE es isósceles rectángulo.

A

B

C

D

E

En un triángulo cualquiera se trazan desde P, un punto arbitrario, tres segmentosperpendiculares a los lados del triángulo. Sea el triángulo ABC y los segmentos PD,PE, PF, perpendiculares a los lados AB, BC, CA, respectivamente.

Demuestra que (AD)2 + (BE)2 + (CF)2 = (DB)2 + (EC)2 + (FA)2.


III. Proyectos

1. El casete

Entre los dos carretes de un casete hay marcas que se pueden usar para dar ciertamedida de la cinta que no se ha reproducido o grabado. Las marcas están espaciadasuniformemente. ¿Podrías mejorar este marcaje? Justifica ampliamente ladistribución de las marcas que propongas.

2. El que no conoce a Dios, dondequiera se anda hincando

Escoge un artículo en un periódico, o revista, reciente que te intereseparticularmente y que reporte los resultados de algún tipo de estudio deinvestigación o que informe de alguna decisión tomada a partir de un estudio.Asegúrate de que el artículo que escogiste proporcione suficiente información paraque puedas responder las preguntas siguientes (que deberás usar como encabezadosde las secciones de tu reporte) o investiga en las fuentes que cita. Incluye una copiadel artículo.

Evaluación crítica:

1. ¿Cuál es el propósito del estudio de investigación que se describe en elartículo?

2. ¿Qué métodos se utilizaron para responder la pregunta de investigación?

3. ¿Qué preguntas le formularías a los investigadores para entender mejorel estudio?

4. ¿Hay algún aspecto del estudio que podría hacer que cuestionaras lasconclusiones que se presentan en el artículo?

Por ejemplo, a partir de la nota periodística siguiente, se puede plantear la pregunta¿cuál fue el argumento que sirvió a Profeco para sancionar a las compañías? Yrecurrir a otras fuentes que permitan entender el argumento que utilizó la Profecopara sancionar a los productores.

Cualquier noticia, de cualquier medio, puede servir como punto de partida pero hayalgunas publicaciones que dedican alguna sección a los resultados de lainvestigación.

(La nota se consultó en la siguiente dirección:

http://www.reforma.com/nacional/articulo/008789/ )

Sanciona PROFECO productos fraudulentosLa Procuraduría señaló que entre los productos se encuentra el famoso jabón

http://www.reforma.com/nacional/articulo/008789/


reductor 'Siluet 40', la solución para las varices 'Goicochea', y el enjuaguesupuestamente para dejar de fumar 'Quit'Por ANGÉLICA CHÁVEZ/ Reforma/MéxicoCd de México.-El Procurador Federal del Consumidor, Eduardo Almeida, anuncióeste miércoles que varios productos comercializados por la empresa QBC deMéxico, que se especializa en servicios de "telemercadeo", han sido retirados delmercado o bien se ha solicitado que su publicidad sea modificada, tras comprobarlesque no producen los resultados que prometen.Entre los productos retirados se encuentran dos de los jabones supuestamentereductores "Siluet 40", la supuesta solución para várices "Goicoechea", el enjuaguesupuestamente para dejar de fumar "Quit", la goma de mascar "Sexgum",supuestamente afrodisíaca y audiocasetes y discos motivacionales que seanunciaban como "subliminales".

Almeida informó que la empresa ya modificó los anuncios comerciales de lossiguientes productos: faja térmica "Saunatronic 2000", regenerador capital "Cre-C";y ligas ejercitadoras "Flash 9".

Los comerciales que deberán ser modificados en las próximas semanas son lascápsulas de gel supuestamente contra la celulitis, "Cel-U-tin", y la barra "Fataché",que supuestamente sirve para bajar de peso.

La empresa QBC de México ha recibido hasta la fecha 17 multas por un total de$128 mil pesos, debido a la publicidad engañosa de estos productos.

(Para investigar más sobre la nota se puede consultar la dirección de internet:http://www.profeco.gob.mx/menu.htm )

3. Mi detector infalible

Tú estás diseñando un sistema de seguridad para un hospital. El hospital guarda suprovisión de medicinas en un almacén cuya entrada se localiza a la mitad de unpasillo de 12 metros de largo. La entrada es una puerta de 0.9 metros de ancho. Elhospital quiere vigilar todo el pasillo y la puerta del almacén. Debes decidir cómoprogramar un detector que lo haga. El detector se desliza en un carril y lanza un hazde luz dirigido a la pared opuesta. El haz alcanza desde el piso hasta el techo.Considera el pasillo como una recta coordenada con el centro de la puerta comoorigen y el pasillo que se va a vigilar como el intervalo [-6,6]. Necesitas decidir loque es x(t), donde x(t) representa la posición del haz en el instante t.

El diagrama de la Figura 1 muestra el haz señalando el origen (i.e., el centro de lapuerta), así que si el detector estuviera en esta posición en algún instante t,tendríamos x(t)=0. Como otro ejemplo, x(5)=-4.5 significa que el haz señala la partede la pared que está a 4.5 metros a la izquierda del centro de la puerta 5 unidades detiempo después de que el detector comienza.

http://www.profeco.gob.mx/menu.htm


Parte 1.

A. Traza una gráfica de x(t) versus el tiempo para 10 minutos de lo que tuequipo piense que es una buena elección para x(t). Una parte importantecorresponde a las razones por las que piensas que es una buena elección.

B. El haz debe permanecer sobre un objeto durante al menos un décimo desegundo para que lo detecte. Si la anchura de una persona es de 0.3metros, decide si tu respuesta a A detectará a una persona parada enalgún punto del pasillo. Explica.

C. Investiga si un intruso podría llegar a la puerta caminando por el pasillosin que tu sistema lo detecte. Explica cómo podría hacerlo y cuánprobable piensas que resultaría. Esto puede provocar que revises turespuesta a A.

D. De tu respuesta a A, calcula el tiempo más largo que la puerta no estarábajo vigilancia. Recuerda que la puerta tiene 0.9 metros de anchura ysupón que mientras el haz señale cualquier parte de la puerta, ésta estábajo vigilancia.

CARRIL CARRIL

DETECTOR

entrada alpasillo

entrada alpasillo

PUERTAdel almacén-6 6

Figura 1. Detector para el sistema de seguridad

Parte 2.

A. Encuentra una regla (función) para x(t) para los 10 primeros minutos.Esta parte de tu reporte debe incluir cualesquiera restricciones sobre lasreglas posibles para x(t) y las razones para estas restricciones. Porejemplo, x(t) nunca debe ser menor que -6 porque el pasillo sólo va de -6a 6.

Repite los puntos B, C y D de la Parte 1.


4. La ciencia para todos

Escoge un libro de la colección ‘La ciencia para todos’ y participa en elconcurso con el tipo de trabajo que corresponda según tu edad. Si el libroque escogiste no es de matemáticas, entonces, además del texto queentregues para concursar, redacta un informe en el que destaques el usoque se hizo de las matemáticas en el libro.Los libros de matemáticas publicados son:75. La cara oculta de las esferas de Luis Montejano Peimbert77. ¿En qué espacio vivimos? de Javier Bracho163. Las matemáticas, perejil de todas las salsas de Ricardo Berlanga,Carlos Bosch y Juan José Rivaud166. Álgebra en todas partes de José Antonio de la Peña167. Entre el orden y el caos: La complejidad de Moisés Sametbant168. La caprichosa forma de Globión de Alejandro Illanes Mejía177. Máthema: El arte del conocimiento de Fausto Ongay

5. La cultura matemática

Escoge un tema que te interese relacionado con las matemáticas, quepuede ir desde ‘la demostración en matemáticas’, la invención enmatemáticas’, ‘las matemáticas, ¿se inventan o se descubren?’, ‘¿cómo seaprenden las matemáticas?’ hasta el estudio de algún problemamatemático, resuelto o no. Incluimos una nota periodística del 25 demayo de 2000 que informa sobre un reto que te puede interesar.

(Se consultó en la siguiente dirección de internet:http://www.reforma.com/ciencia/nota/20000525/004410.htm )

Hágase millonario con las matemáticasInstauran un premio para motivar a nuevas generaciones de matemáticos

AP/FranciaSi la idea de sacar raíces cuadradas y resolver problemas algebraicos nunca le hizomuy feliz, considere esta posibilidad: varios de los principales matemáticos delmundo ofrecen 7 millones de dólares a quienes encuentren la solución de algunas delas ecuaciones más difíciles que plantea esa disciplina.Tras buscar en vano durante años la solución de siete problemas matemáticos deprimera fila, una fundación norteamericana presentó las ecuaciones al resto delmundo, en un reto llamado "Los problemas del millón de dólares''.

Los matemáticos afirman que la eventual solución de tales problemas podría darcomo resultado avances insólitos en las aplicaciones de la criptografía y la ciencia

http://www.reforma.com/ciencia/nota/20000525/004410.htm


aeroespacial, y abriría campos matemáticos no imaginados siquiera hoy día.

El Instituto Clay de Matemáticas, que incluye a los matemáticos más preclaros delmundo, anunció el reto durante su reunión anual en París al mismo tiempo que loanunciaba en su página cibernética.

"Los siete problemas matemáticos descuellan como los grandes problemas noresueltos del siglo XX'', dijo Andrew Wiles, profesor de matemáticas de Princetonfamoso por haber resuelto el llamado "último teorema de Fermat'' en 1995.

"Confiamos en que, con la proclamación de los premios, incitaremos e inspiraremosa las futuras generaciones de matemáticos'', dijo Wiles, de 45 años.

El grupo ha puesto un precio de un millón de dólares a cada uno de los problemas.

Pocos científicos confían, empero, que surjan pronto ganadores. "No hay límite detiempo'', dijo Arthur Jaffe, un profesor de matemáticas de Harvard que es presidentedel instituto Clay. El profesor declaró que lo más pronto que podrían conocerse losganadores sería dentro de cuatro años.

Según las reglas del concurso, las soluciones deben publicarse en una revistaespecializada en matemáticas y esperar durante dos años la reacción de lacomunidad matemática. Una vez lograda esta aceptación, el instituto Claycomenzará su propio proceso de revisión para decidir si otorga el premio.

Pero los matemáticos observaron que unas pocas décadas, o incluso un siglo no esdemasiado cuando se trata de resolver los problemas más difíciles que ofrece hoydía la ciencia de los números.

Los siete enigmas que forman parte del reto del Instituto Clay son el problema de Pversus NP, la Conjetura de Hodge, la Conjetura de Poincaré, la Hipótesis deRiemann, la Brecha de existencia y masa de Yang-Mills, el Problema de existenciay suavidad de Navier-Stokes, y la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

6. Calculemos π

π por aquí, π por allá y hay todavía mucho de π por averiguar. En este proyecto setrata de que obtengas aproximaciones de π de diez maneras distintas. Para cadamétodo que apliques debes incluir los datos, los instrumentos y los procedimientosque hayas usado. Cinco de estos métodos se deben caracterizar como:

1. Un método que no incluya polígonos.2. Un método que use la trigonometría.3. Un método sin trigonometría.4. Un método sin uso de calculadora.5. Tu mejor método.


7. ¿Cuánto cuesta una matada?

La información siguiente se publicó en el periódico La Crónica de Hoy el viernes 13de septiembre de 1996.Durante su comparecencia en el Senado de la República ante las comisiones unidasde Educación, Ciencia y Tecnología, Cultura y Patrimonio Histórico del Congresode la Unión, como parte de la glosa del capítulo de Política Social del II Informe deGobierno del entonces presidente de la República, el secretario de Educación fuepuntual al dar a conocer la inversión anual que en cada nivel requería en esemomento un estudiante mexicano:

en preescolar 3016 pesosen primaria 2825 pesosen secundaria 5124 pesosen profesional medio 5314 pesosen bachillerato 9382 pesosen superior 15991 pesosen normal 31187 pesosen posgrado 85774 pesos

[1] Actualiza la información y averigua cómo se calcularon las inversionesanteriores.

[2] ¿Quién paga el dinero que se invierte en educación?[3] ¿Cuánto ha costado tu formación escolar hasta la fecha?[4] ¿Cuánto cuesta la formación escolar de

(a) un profesional medio?(b) un normalista?(c) un licenciado?(d) un maestro en ciencias?(e) un doctor en filosofía?

[5] ¿Qué es una «matada de clases»? ¿Por qué ocurren?[6] ¿Cuánto cuesta una matada de una hora de clase?[7] Investiga cuántas horas se matan de clases en la escuela por semana y calcula su

costo.[8] Escribe un párrafo que contenga tus conclusiones, comentarios y sugerencias.[9] Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a los aprendizajes que

lograste en esta actividad.


4. Ejercicios

IntroducciónEn matemáticas es usual que se hable de ejercicio y problema y de que en muchosmomentos se tomen como sinónimos. En este Libro son cosas diferentes. En otra parte setrata lo de problema, aquí comentamos la idea que en este Libro utilizamos para ejercicio.Una característica del ejercicio es que con él se pretende que adquieras soltura en el manejode ciertos procedimientos o en el tratamiento de ciertas situaciones que son útiles cuando teenfrentes a problemas.Cuando te enfrentas a un ejercicio ya sabes lo que tienes qué hacer y hay que hacerlo.Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como la aplicación de la fórmula general pararesolver una ecuación de segundo grado. Si ya dominas la aplicación de este algoritmo,cada vez que te encuentres una ecuación que tú reconoces de segundo grado, ya sabes quepuedes resolverla y lo harás. En cambio, si tienes dificultades para aplicar la fórmulageneral, cada vez que necesites resolver una ecuación de segundo grado tendrás unproblema.También puede ser algo más laborioso como la aplicación del método de diferencias finitaspara la obtención de la ecuación de una función polinomial a partir del conocimiento deciertos valores que se conocen de la función.Incluso puede tratarse de modelos algebraicos de problemas como la altura en función deltiempo que adquiere un cuerpo que es lanzado de alguna forma.Cuando se te pide hacer un ejercicio, es porque cuentas con la información necesaria paraello. Usualmente consiste en una explicación de los pasos que tienes que seguir y estos sonejemplificados con un ejercicio resuelto, en el que se explican los pasos que se siguen. Estaexplicación se puede realizar en el salón de clases (en este caso no sólo debes anotar lo quese te presenta en el pizarrón o algún otro medio, sino tomar las notas adicionales necesariaspara que no se te olviden detalles) o puede estar escrita en un libro. No debes preocupartesólo por reconocer los pasos que tienes que seguir para resolver el ejercicio, sino tambiénbusca entender el porqué de estos pasos. De esta forma estás en condiciones de darte cuentasi puedes aplicar algunos de los pasos del ejercicio en una situación parecida al ejercicioque ya sabes resolver.Hay algo más. Dominas por completo un ejercicio cuando eres capaz de resolverlo sinconsultar tus apuntes o la información que tienes del mismo. Por ejemplo, sabes resolveruna ecuación de segundo grado por la fórmula general cuando, sin necesidad de consultaren tus apuntes, aplicas la fórmula general. Desde luego, para esto es necesario que tengasaprendida la fórmula de memoria. Pero la memorización se logra al aplicar varias veces lafórmula en ecuaciones de segundo grado.En cambio, dominas a secas un ejercicio cuando puedes resolverlo consultando parte de lainformación de la que dispones (usualmente algunas fórmulas).Si necesitas preguntar algo a un compañero o un profesor para resolver un ejercicio,entonces todavía no dominas el ejercicio y te hace falta más práctica.


Lo ideal es que domines por completo los ejercicios; de esta manera dispondrás de mástiempo para dedicarte a trabajar en los aspectos nuevos o desconocidos del problema al quete enfrentes.En este Libro se te señalan ejercicios para que los trabajes y en dónde puedes obtener lainformación que necesitas. En algunos casos los ejercicios señalados son suficientes paraque llegues a dominarlos, pero en otros no y tú debes buscar o crear otros ejercicios paraque sigas practicando. Hacerlo es parte de tu responsabilidad como estudiante.Por cierto, tú mismo eres capaz de crear ejercicios cuando resuelves un problema y luegodetallas los pasos que deben seguirse para resolver la situación del problema. Es decir,cuando elaboras una información similar a la que tu consultaste para resolver los ejerciciospropuestos.

Aquí hay algo más sobre las características de un ejercicio:

¿Qué es un ejercicio?

Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamentesencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos condestrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros derepresentación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina oen el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja,se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmentehace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino lafrecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafóricoes la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil.


Tareas de los libros

Unidad 1Funciones exponenciales y logarítmicas♦ Lee haciendo el capítulo de funciones exponenciales y logarítmicas (pp. 591 a 636) detu libro de texto de Álgebra, ‘Álgebra con aplicaciones’ de Phillips, Butts y ShaughnessyEditorial Oxford University Press.♦ Haz los ejercicios:

o cuyo número es de la forma 4n+13 de la sección 10.1 (pp. 602 a 606)o cuyo número es de la forma 4n+15 de la sección 10.2 (pp. 617 a 620)o cuyo número es de la forma 4n + 11 de la sección 10.3 (pp. 630 a 633)o cuyo número es múltiplo de 9 de los ejercicios de repaso (pp 634 a 636)

Unidad 2Geometría euclidiana♦ Lee haciendo el capítulo «Conceptos básicos de Geometría » del libro ‘Geometría yExperiencias’ de García Arenas y Bertrán Infante♦ Lee haciendo el capítulo «Los polígonos» del libro ‘Geometría y Experiencias’ deGarcía Arenas y Bertrán Infante♦ Lee haciendo el capítulo «Proporcionalidad de segmentos y semejanza » del libro‘Geometría y Experiencias’ de García Arenas y Bertrán Infante♦ Lee haciendo el capítulo «El teorema de Pitágoras y otras relaciones en triángulo» dellibro ‘Geometría y Experiencias’ de García Arenas y Bertrán Infante♦ Lee haciendo el capítulo «La circunferencia» del libro ‘Geometría y Experiencias’ deGarcía Arenas y Bertrán Infante♦ Lee haciendo el capítulo «Áreas de figuras planas» del libro ‘Geometría y Experiencias’de García Arenas y Bertrán Infante♦ Lee haciendo el capítulo «Figuras de revolución» del libro ‘Geometría y Experiencias’de García Arenas y Bertrán Infante

Unidad 3Trigonometría♦ Lee haciendo el capítulo «Trigonometría del triángulo rectángulo» del libro‘Trigonometría’ de la serie Teoría y Práctica de Harcourt Brace Jovanovich, Ed. SITESA.♦ Haz los ejercicios complementarios de las páginas 75 a la 78.♦ Lee haciendo el capítulo «Trigonometría general» del libro ‘Trigonometría’ de la serieTeoría y Práctica de Harcourt Brace Jovanovich de la editorial SITESA.♦ Haz los ejercicios complementarios de las páginas 234 a la 236.


Ejercicios Complementarios

Unidad 1Funciones exponenciales y logarítmicas

LogaritmosomtiragoLEncuentra el valor de L, b o N según el caso.Ejemplos:

5)(log3 =N ; N= ?N=53 ; N=243

2)49(log =b ; b= ?492 =b , pero 49=72

b2=72, entonces b=7

L=)11(log121 ; L= ?121L=11, pero 121=112;(112)L=11; 112L=111;

2L=1, entonces 21

=L

Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada.Escribe los números que aparecen en las expresiones como potencias de primos yaplica las leyes de los exponentes para encontrar lo que se pide.

Log49(7)=L;

L=

log6(N)=4;

N=

logb(625)=4;

b=

log100(10000)=L;

L=

log2(N)=10;

N=

logb(9)=21 ;

b=

log625(5)=L;

L=

3)(log52 =N ;

N=

Resuelve las ecuaciones siguientes.

3x=58; x= log(x2)=4; x= e-x=8; x=

2(x+2) =8(x-2); x= log(x+21)+log(x)=2; x= ; x=

Se decidió suprimir paulatinamente el subsidio al consumo del agua a partir deenero de este año. Para que las tarifas no aumenten súbitamente, se incrementarán15% cada mes durante los próximos dos años.En una hoja de papel milimétrico, o cuadriculado, haz una tabla, con su gráficacorrespondiente, de lo que pagará una empresa chica durante los próximos dos añossi tiene un consumo de agua mensual aproximadamente constante. Al principio delaño pagó 35000 pesos.


Escribe la función que da sus pagos (y) en función del tiempo (x).¿Duplicará la empresa sus pagos? ¿Cuándo?¿Triplicará sus pagos? ¿Cuándo?

Algunos ejercicios sobre ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1. Resuelve numéricamente el sistema de ecuaciones siguiente y comprueba gráficamentela solución.

2x – 3y-1 = 52(x+1) + 8·3y =712

2. Resuelve numérica y gráficamente (cambiando las ecuaciones en la escena anterior), elsistema de ecuaciones exponenciales:

2x + 5y = 92(x+2) – 5(y+1) = - 9

Resuelve las ecuaciones siguientes, comprueba gráficamente la solución.

3. 3)2(32

=− x

4. 4(2x+1) = (0.5)(3x+5)

5. 2(x-1) + 2x + 2(x+1) = 76. ex - 5e-x + 4e-3x =0

7. Resuelve el sistema de ecuaciones logarítmicas:x - y = 9log (x )+ log (y) = 1

8. Resuelve numéricamente el siguiente sistema y comprueba gráficamente la solución.log(x) - log(y) = 1x + y = 22


Unidad 2Geometría euclidiana

1. ¿Cuál es la altura del rectángulo cuya área es 80 cm2 y base 10 cm? Constrúyelo.

2. La base de un triángulo es 10 cm y su área es 80 cm2, ¿cuál es su altura?

3. La altura y la base de un triángulo son iguales y su área es de 243 cm2. Encuentra laaltura y la base.

4. En el triángulo ABC, D y E son los puntos medios de AC y BC. Los segmentos AE y BDse cortan en F. Muestra que los triángulos AFD y FBE tienen igual área.

5. Una moneda cuyo diámetro es de 1.9 cm, cuando se coloca a una distancia de 17.8 cmdel ojo, ésta cubre totalmente el disco de la Luna. Si el diámetro de la Luna es de3475440 m. ¿A qué distancia está la Luna de la Tierra?

6. Un hombre de 1.80 m está parado al pie de un poste. Si las sombras del hombre y delposte son 1.20 m y 12 m respectivamente; ¿cuál es la altura del poste?

7. Encuentra x y y si: ∆I ~ ∆II

68

10

I

6

xy

II

8. Las áreas de dos triángulos semejantes son 25 y 16 u2. El perímetro del primero es 15 u,encuentra el perímetro del segundo.

9. Dos triángulos equiláteros tienen lados de 4 y 6, respectivamente. ¿Cuál es la razón desus áreas, de sus perímetros y de sus alturas?

10. Encuentra x ó y en los triángulos rectángulos siguientes.

x

2

6 6

2

x

4

8y

11. ¿Cuál es la diagonal de un cuadrado cuyo lado es a?

12. ¿Cuál es el lado de un cuadrado cuya diagonal es a?

13. Encuentra el área de un triángulo equilátero cuyo lado es a.


14. La fórmula de Herón establece que el área del triángulo con lados a, b, c, está dada por:A = s(s− a)(s− b)(s− c)

donde el número s = (a+b+c)/2 es el semiperímetro. Demuestra la fórmulaverificando los siguientes pasos:

hba

dc-d

c

a) A =12

hc

b) a2 = b2 + c2− 2 cd

c) d =1

2cb2+ c2 − a

d) h2 = b2 − d2

h2 = b2−1

4c2b2 + c2 − 2a

2

h2 =1

4c2(a+ b+ c)(b+ c− a)(a+ b+ − c)(a− b+ c)[ ]

h2 =1

4c22s(2 s− 2 a)(2s− 2 c)(2 s− 2b)[ ]

h2 =1

c24 s(s− a)(s− c)(s− b)[ ]

e) h =1c

4s(s− a)(s− c)(s− b)

f ) A = s(s− a)(s− b)(s− c)

2

Los pasos anteriores requieren algunos cambios si la figura tiene la siguiente forma.¡Verifícalos!

d

hba

c

15. Emplea la fórmula de Herón y otro método para calcular el área del triángulo rectángulode lados 3, 4, 5.

16. Emplea la fórmula de Herón para verificar el resultado del ejercicio 18.

17. Encuentra la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son:a) 3, 4; b) 5, 12; c) 6, 8; d) 7, 24.


18. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 15 y uno de sus catetos 12. ¿Cuál es su otrocateto?

19. Si E es un punto interior del rectángulo de la figura, muestra que: a2+c2=b2+d2

a

d c

b

A B

D C

E

F

G

20. En la figura todos los triángulos son rectángulos, encuentra a, b, c, d, e.1

1

11

1

1

a b

c

de

21. Demuestra que en cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonaleses igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados.

22. Un lado de un cuadrado es igual a la diagonal de un segundo cuadrado. Encuentra larazón de las áreas del mayor al menor.

23. Un lado de un triángulo equilátero, es igual a la altura de un segundo triánguloequilátero. Encuentra la razón del perímetro del mayor al menor.

24. Muestra que en el triángulo rectángulo de 30º - 60º la altura sobre la hipotenusa ladivide en dos segmentos cuyas longitudes están en razón 1 a 3.

25. El diámetro de un círculo es igual al radio de un segundo círculo. Encuentra la razón desus áreas.

26. La razón de las áreas de dos círculos de radios R y r es 2 a 1. ¿Cuál es la razón R/r desus radios?

27. Encuentra el área de un sector de un círculo de radio 10 y cuyo ángulo central es:a) 60º ; b) 90º; c) 48º; d) 18º.


a)

a

a

a a

aa

a

aa

a

2a

b)

c)

28. Dos circunferencias concéntricas tienen perímetros 30π y 40π respectivamente.Encuentra el área del anillo que se forma entre ellas.

29. Muestra que el área de la región comprendida entre dos circunferencias concéntricas esigual al área del círculo cuyo diámetro es una cuerda del círculo exterior que es tangenteal círculo interior.

30. Encuentra el área de la región sombreada en cada figura.

31. Una cabra está amarrada a la esquina de un corral de 3.65 m de largo y 3.05 m deancho. Si la cuerda con que amarraron a la cabra mide 4.57 m ¿Sobre qué región delcorral se puede mover la cabra? ¿cuál es el área de esta región?

32. La Tierra se encuentra aproximadamente a 149 millones de kilómetros del Sol.Suponiendo que la órbita de la Tierra es circular, ¿aproximadamente cuánto avanza laTierra a lo largo de su órbita en cada segundo?

33. Considera dos círculos, siendo el segundo tangente al primero internamente en el puntoA y además pasa por su centro. Muestra que toda cuerda del primer círculo que pase porA es bisecada por el segundo círculo.


A

34. Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, entonces los ángulosopuestos A y C son suplementarios.

B

D

A

C

35. AB y CD son dos cuerdas de una circunferencia que se cortan en E. Muestra que elproducto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otracuerda, es decir:

AE*BE=CE*DE

D

C

B

A

E

36. Si AB y CD son dos cuerdas de una circunferencia que al prolongarse se cortanexternamente en un punto E. Muestra que:AE*BE=CE*DE.


D

C

BAE

37. Encuentra el volumen y la superficie de la caja rectangular, de medidas 4, 5, 6.

38. Encuentra la longitud de la diagonal que une dos vértices opuestos en la caja delejercicio anterior.

39. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya superficie total es 967.7 cm2?

40. Un cilindro tiene 17.8 cm. de altura y el radio de su base mide 10.16 cm. Calculaa) su volumen.b) su área lateral.c) su área total.

41. El radio de la base de un cilindro es duplicado y su altura triplicada. ¿Por qué número esmultiplicado su volumen?

42. Encuentra el volumen de un cilindro, si el radio de la base es un tercio de la altura.

43. Si en un cierto cilindro el área lateral es la mitad del área total. ¿Cómo es la altura enrelación al radio r de la base?

44. Encuentra el volumen del cono de 8.59 m de altura y cuyo diámetro de la base mide3.66 m.

45. Encuentra la altura de un cono cuyo volumen es de 484 cm3 y su base tiene un radio de7 cm.

46. La altura de un cono es igual al radio de la base. Muestra que el volumen, V, está dadopor la fórmula V= 1/6 rA, donde A es el área lateral.

47. La altura de un cono es h. Un plano paralelo a la base interseca al eje del cono en uncierto punto. ¿A qué distancia debe estar dicho punto de la base, si el plano divide alárea lateral en dos partes iguales? ¿y si el plano divide al volumen en dos partes iguales?

48. La altura de un cono es h y el radio de la base es r. Si el radio es reducido a la mitad,¿cómo debe cambiar h para que el volumen del cono no se altere?


49. Un plano paralelo a la base de un cono biseca al eje de dicho cono. ¿Cuál es la razón delvolumen del cono original con el volumen del cono truncado que se obtiene?

50. La Gran Pirámide de Egipto tiene una base cuadrada de 230 metros de lado y una alturade 147 metros. Calcula el volumen.

51. Una tienda de campaña, de forma cónica se hace empleando una pieza de lona de formasemicircular de radio 2.44 m. Determina la altura de la tienda y el número de metroscúbicos de aire que caben en la tienda.

52. En la figura, el cubo consta de seis pirámides idénticas. Encuentra el volumen de una deellas por dos caminos distintos.

6

53. El radio de la base de un cilindro se triplica y su altura se duplica. ¿Por qué número esmultiplicado su volumen?

54. Encuentra el volumen de un cilindro, si el radio de la base es el triple de la altura.

55. Si en un cierto cilindro el área total es el cuádruple del área lateral. ¿Cómo es la alturaen relación al radio r de la base?

56. Encuentra el volumen de una esfera cuyo diámetro es 6.

57. Encuentra el diámetro de la esfera cuyo volumen es 2304π.

58. Encuentra el área de una esfera si la circunferencia de su círculo máximo es 40π. (Uncírculo máximo es el que se obtiene al intersecar la superficie de la esfera, con un planoque pasa por el centro de la esfera)

59. Encuentra el radio de la esfera cuya área es 36 π.60. El radio de la Tierra es aproximadamente 6436 km. Si la superficie de México es de

1956201 Km2. ¿Qué porcentaje del área de la tierra, representa la superficie de México?61. Un cilindro se circunscribe a una esfera. Encuentra la razón del volumen del cilindro al

volumen de la esfera.62. Un cilindro con altura 6 y radio 4 es inscrito en una esfera. Encuentra el área y el

volumen de la esfera.


63. Un cilindro es circunscrito a una esfera. Un cono tiene la misma base y altura delcilindro. Encuentra la razón del área total del cilindro a la de la esfera y el cono.

64. Un triángulo equilátero y un cuadrado son inscritos en una circunferencia, con un ladodel triángulo paralelo a un lado del cuadrado. Triángulo y cuadrado son giradosalrededor de la altura del triángulo, la cual es perpendicular a un lado del cuadrado.Encuentra la razón del área de la esfera al total del área del cilindro y la razón del áreadel cilindro al total del área del cono.

65. Una esfera es inscrita en un cono. La longitud de la generatriz del cono es igual aldiámetro de la base. Si la altura del cono es 9 m, encuentra el área de la esfera.

66. La razón de los volúmenes de dos esferas es 27/343 y la suma de sus radios es 10.¿Cuál es el radio de la esfera más pequeña?

67. Una esfera se circunscribe a un cubo. Encuentra la razón del volumen del cubo alvolumen de la esfera.

68. Un cilindro circunscribe a una esfera. Encuentra que la razón de sus volúmenes es iguala la razón de sus áreas totales.

69. Dos esferas de radios 3 y 5 respectivamente, están colocadas sobre una tabla y se tocanmutuamente. ¿Que tan separados están los puntos donde las esferas tocan a la tabla?


Unidad 3Trigonometría

Algunos ejercicios sobre Trigonometría

1. Encuentra x en la figura.

x

61° 34°

3114

2. Bernardo está volando una cometa y tiene sus manos a 1.5 m por encima del suelo. Si la

cometa está a 600 m por encima del suelo y la cuerda de la cometa forma un ángulo de32.4° con la horizontal, ¿cuánto mide la cuerda que está usando?

3. La Gran Pirámide tiene 147 metros de altura y su base cuadrada mide 230 metros porlado. Encuentra el ángulo de elevación de una de sus aristas.

4. Un decágono regular (10 lados iguales) está inscrito en un círculo de radio 12. ¿Quéporcentaje del área del círculo es el área del decágono?

5. Encuentra el área de la estrella regular de 5 puntas (el pentagrama) que está inscrita enun círculo de radio 1.

6. En un círculo unitario, ¿cuánto mide el arco correspondiente a un ángulo central dea. 1 radian?b. 1.5 radianes?c. 3.8 radianes?d. 6 radianes? Una fórmula estrechamente relacionada con la fórmula de la longitud de arco θrs =es ωrv = , en la cual v es la rapidez de un punto del borde de una rueda de radio r, conla velocidad angular ω a la cual la rueda está girando, ω se mide en radianes porunidad de tiempo.

7. Laura está pedaleando su triciclo de manera que la rueda delantera (radio igual a 20 cm)

gira a cuatro revoluciones por segundo, ¿qué tan rápido está avanzando en metros porsegundo?

8. Supón que la llanta de un automóvil tiene un diámetro exterior de 75 cm. ¿A cuántasrevoluciones por minuto gira la llanta cuando el automóvil viaja a 96 km/hora?

9. Convierte a radianes: -1440°; 2.5 revoluciones, 060

π


10. Convierte a grados: π3623 rad; -4.63 rad,

π23 rad.

11. La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse casi circular con un radio de 148.8millones de kilómetros, ¿cuál es la velocidad aproximada de la tierra (en km/ hora) ensu trayectoria alrededor del Sol?

12. Una mosca muerta está atorada en una banda que pasa por dos poleas de 15 y 20 cm deradio, respectivamente (ve la figura). Suponiendo que la banda no resbala, ¿qué tanrápido se mueve la mosca cuando la polea mayor gira a 20 revoluciones por minuto?,¿qué tan rápido gira la polea pequeña?

13. Encuentra el área de la región sombreada del triángulo rectángulo ABC que se muestraen la figura.

150

��

��

100

14. Considera dos círculos, ambos con radio r y el centro de cada uno en el borde del otro.

Encuentra el área de la región común de ambos círculo.

15. Si el extremo de un radio vector es un punto P(t) que tiene coordenadas (4/5, -3/5),evalúa cada una de las siguientes expresiones: sen (-t), sen (π /2 - t), cos(2π + t),cos(2π -t), sen (π +t), cos(π -t).

16. Llena todos los espacios en blanco de la tabla siguiente: t sen(t) cos(t) sen(t+π ) cos(t+π ) sen(t-π ) cos(t-π )

23

21

−

22

22


21

−

23

−

1−

23

21

1

-1

17. Evalúa: sen (1°)+ sen(2°)+ sen(3°)+ ... + sen(357°)+ sen(358°)+ sen(359°)

18. Evalúa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )°+°+°++°+°+° 359358357...321 222222 sensensensensensen

19. Evalúa, sin usar calculadora: sec(7π /6), tan(-2π /3), csc(3π /4), cot(11π /4),csc(570°), tan(120°)

20. Calcula: tan(sen(2.4)), cot(tan(1.49)), csc(sen(11.8°)), sec2(tan(91.2°)), csc(tan(π )),tan[tan(tan(1.5))]

21. Si la csc(t) = 25/24 y cos(t)<0, encuentra cada una de las siguientes expresiones: sen(t),cos(t), tan(t), sec(-t+π /2), cot(-t+π /2), csc(-t+π /2).

22. Una rueda de radio 5 centrada en el origen está girando en el sentido contrario a lasmanecillas del reloj a razón de 1 radian por segundo. En t=0 cae una mancha de lodo enla orilla de la rueda en (5, 0). ¿Cuáles son las coordenadas de la mancha en el tiempo t?

23. Escribe cada una de las siguientes expresiones en términos de senos y cosenos ysimplifica:

tan θ (cos θ - csc θ)

tan4 θ - sec4 θ

a) c)

d) f)e)

b)sec θ csc θtan θ + cot θ

sec 2 θ - tan2 θsec θ csc θ cot θ - tan θ

csc θ - sec θ

sec 2 θ (1 + tan θ)2

24. Verifica cada una de las siguientes expresiones identidades:

sen (t+π )=-sen(t), cos (t+π )= -cos(t), tan (t+π )= tan(t), cot (t+π )= cot(t), sec (t+π )=-sec(t), csc (t+π )=-csc(t).

25. Encuentra las coordenadas de P en la figura.


150°

(5,0)

P

y

x

26. Expresa la longitud L de una banda cruzada que se interseca formando un ángulo de 2x

y que rodea dos ruedas de radios r y R (ve la figura) en términos de r, R, y x.

��

�� Rr 2x

27. Cuando estudies cálculo aprenderás que: sen(t) = t - t3/3! + t5/5! - t7/7! + ..., y que cos(t) = 1 - t2/2! + t4/4! - t6/6! + ..., donden! = (1)(2)(3)(4)...(n-1)(n). Emplea los 5 primeros términos de estas series, paraaproximar cada una de las siguientes expresiones y compáralas con el valorcorrespondiente que da tu calculadora: sen(0.1), sen(0.4), cos(0.2), cos(1.1)

28. En la figura, un rayo de luz de la lámpara L se refleja en un espejo al punto 0.a. Encuentra la distancia x.b. Escribe una ecuación para θ .c. Resuelve la ecuación.

60 cm

30

10

0

L

θθ

espejo x

29. Sin usar tablas o calculadora redondea, al grado más cercano, el menor ángulo positivot que satisface tan(t)=-40000.


30. Si A es un ángulo en el cuarto cuadrante cuyo lado final coincide con la recta 3x+5y=0.Encuentra sen(A).

31. Una rueda con un radio de 20 cm de longitud se usa para mover una rueda de 50 cm deradio por medio de una banda que está alrededor de ellas, ¿qué longitud tiene la bandasi los centros de las dos ruedas están a una distancia de 100 cm?

32. Tomás y Juan se perdieron en el desierto a un kilómetro de la carretera en el punto Ade la figura. Cada uno siguió una dirección diferente para encontrar la carretera. Tomásllegó a la carretera en el punto B y Juan llegó en el C, 31+ kilómetros más adelanteen el camino. Escribe una ecuación para θ y resuélvela.

Carretera B

1 π /4

1+ 3

θ

A

C

33. Bernardo construyó una resbaladilla de 10 pies de altura, (ve la figura)

a. encuentra el ángulo x en grados.b. ¿por cuánto (θ en la figura) debe incrementarse el ángulo de inclinación si desea

aumentar la altura a 15 pies, manteniendo la base de 20 pies?

θ

x

5

10

20

34. Encuentra los ángulos θ 1, θ 2 y θ 3 que se muestran en la figura. Las respuestas deben

convencernos de que el ángulo ABC no está trisecado.

AB

C

2

2

2

10

θ1θ2θ3

35. Resuelve la ecuación: sen(4t) + sen(3t) +sen(2t) = 0


36. Resuelve la ecuación: cos(5t) + cos(3t) - 2 cos(t) = 0

37. Resuelve: cos8(u) + sen8(u) = 41/128, para 0<t<π .

38. Demuestra que t = π /4 es la única solución en 0<t<π para la ecuacióna + b cos t

b + a sen t

a + b sen t

b + a cos t=

Algunas identidades trigonométricas

Demuestra las identidades siguientes:

sen α sec α = tg α1

2 cosα cscα = ctgα

secα (secα − cosα) = tg2α3

sen2αctg2α = cos 2α4

(senα + cosα)2 = 1+ 2senα cosα5

(1 − senα )(1 + senα) = cos2 α6

1sen2α

−1 = ctg2α7

(secα + tgα)(secα − tgα) = 18

sen2α − sen2α cos2 α = sen 4α9


sec2 α csc2α = sec2α + csc2 α10

cosαsenα

+1 + senα

cosα=

1+ senαsenα cosα

11

11 − cosα

= csc2 α + ctgα cscα12

11 + senα

= sec2 α − tgαsecα13

csc4α − ctg4α = csc2 α + ctg2α14

ctgα − tgα1− tgα

= 1 + ctgα15

1secα + tgα

= secα − tgα16

1cscα − ctgα

= cscα + ctgα17

18senα − tgαcscα − ctgα

= senα + tgα•

senα cosα1 − cosα

= ctgα + cscα − senα19

cos2 αcscα + 1

= senα − sen2α20

tg5α = tg3α sec2 α − tgα sec2 α + tgα21

sec4α = tg2α sec2 α + sec2α22


sec6 α = tg4α sec2α + 2tg2α sec2α + sec2 α23

csc6αctg3α = (ctg3α + 2ctg5α + ctg7α )csc2 α24

25 sec4α csc4 α = tg2αsec2 α + 3sec2α + 3csc2α + ctg2α csc2 α

csc5 αctg3α = (csc6 α − csc4α )cscαctgα26

tg4α sec5 α = sec9 α − 2sec7 α + sec5α27

cscα sec3 α = cscα secα + tgα sec2 α28

sen2α =12

−12

cos2α29

cos 2 α =12

+12

sen2α30

senα cosα =12

sen2α31

sen4α =38

−12

cos2α +18

cos4α32

sen 2α cos2 α =18

−18

cos4α33

sen 2α cos4 α =1

16−

116

cos4α +18

sen2 2α cos2α34

cos6 α =5

16+

12

cos2α +3

16cos 4α −

18

sen 2 2α cos 2α35


sen5αsen3α =12

cos2α −12

cos8α36

cos 4α cos3α =12

cos7α +12

cosα37

(1 + tgα )2 − 2tg2α1+ tg2α

= sen2α + cos2α38

tg3α = tgα sec2α − tgα39

tg4α = tg2αsec2 α − sec2α + 140


5. Lecturas

IntroducciónEn este material se cuenta con algunas lecturas sobre temas de matemáticas. No se trata deun material de relleno, simplemente para introducir o motivar el estudio de ciertos temas.La comprensión de la matemática no se limita al conocimiento y adquisición de soltura enel uso de ciertos procedimientos, principalmente algebraicos. También incluye la discusiónde ideas y conceptos.

La lectura te exige un esfuerzo que debes realizar si quieres lograr comprender susignificado. Por ejemplo, la expresión “yo sólo sé que no sé nada” es atribuida a Sócrates.Sin embargo, en la Apología de Sócrates lo que se dice es “yo sólo sé que lo que sé esnada”. ¿Son equivalentes ambas expresiones? ¿Puedes explicar sus diferencias designificado?

Es posible que tengas compañeros que digan que ya entendieron algún tema dematemáticas, digamos ecuaciones de segundo grado, de manera que si les dan una ecuaciónno tienen dificultad para resolverla, pero que si de lo que se trata es leer un texto y a partirde él plantear una ecuación que deben resolver para responder lo que se les pregunta,entonces no pueden hacerlo, pues no entienden cómo se puede saber la ecuación que sirvepara lo que dice el texto. Aquí se tiene un problema de comprensión de lectura y no porqueel alumno no pueda darse una idea de lo que dice el texto, sino porque él mismo se bloqueay no sabe leer. En este Libro un problema se inicia con un texto y lo primero que debeshacer cuando te enfrentes a uno es leer el enunciado y buscar darle un sentido y significadocoherente a la situación planteada.

No se trata de hacer complicada una lectura. Pero es que la comprensión de la lectura no esuna actividad sencilla. Cuando decimos que una lectura nos permite descansar, hacer unapausa de nuestras actividades o deberes cotidianos, relajarnos, no es porque la lectura seauna actividad sin chiste y que aprende cualquier niño en los primeros años de primaria alreconocer las letras del alfabeto y cómo deben pronunciarse. Si nos sentimos bien luego deleer es porque nos interesa el tema que estamos leyendo y ya sabes que cuando realizamosalguna actividad que nos gusta, no nos pesa tanto el trabajo que debemos hacer para ello.

Para leer un libro de matemáticas necesitas al menos de lápiz y papel a un lado pararealizar anotaciones, cálculos, dibujar figuras, o representaciones de lo que se estáestudiando en el libro. Para leer un artículo o ensayo, es recomendable tener a la mano undiccionario para consultar con facilidad las palabras de las que se desconoce su significado.Ser un buen lector es una habilidad que desarrollamos poco a poco.


Cuando has leído un artículo y dices que lo has comprendido, es porque eres capaz deseñalar sus ideas principales sin recurrir a la simple cita textual y cuando puedes identificartus acuerdos y desacuerdos con el autor del texto.

Discutir una lectura también permite desarrollar nuestra capacidad de comunicación yargumentación. No basta decir que ya entendimos algo; si no somos capaces de expresar ycomunicar a otros esta comprensión no logramos el principio básico de una discusión: selogra convencer a los otros a partir de la elaboración y exposición de argumentoscoherentes y no por hablar más tiempo, más fuerte o por ocupar un puesto más alto que losotros.

Debemos saber comunicar nuestras ideas, pero también escuchar cuidadosamente losargumentos de otros, tratando de entender lo que nos están diciendo, reflexionar en losargumentos que nos presentan y aceptarlos si nos parecen convincentes.

La lectura de un artículo y luego la discusión del mismo nos permite reflexionar el tematratado y enriquecer la comprensión del mismo. La lectura es una actividad que realizamosconstantemente, en los periódicos, en el cine, en la televisión, en internet y en los mensajesque recibimos de estos medios tan diversos siempre hay una dimensión matemática que nopodemos ignorar. Si algo de lo que lees llama tu atención por la importancia que lasmatemáticas tienen en su interpretación, ya sea un fragmento de película o de novela, unanoticia o un reportaje, puedes elaborar un guión y organizar y conducir una discusión en laclase.


Lecturas

1. Aspectos externos

Por Philip J. Davis y Reuben Hersh

¿Por qué funcionan las matemáticas?

Respuesta de un convencionalista___________________________________________

Todo el mundo sabe que si quiere hacer física o ingeniería más vale ser bueno enmatemáticas. Son cada vez más las personas que se encuentran con que para trabajaren ciertas áreas de la economía o la biología tienen que desempolvar y sacar lustre alas matemáticas que aprendieron. Las matemáticas han penetrado en la sociología,la psicología, la medicina y la lingüística. Camufladas bajo el nombre de cliometríase han infiltrado en el campo histórico, con gran sobresalto de la vieja escuela.¿Cuál es la causa de todo esto? ¿Qué les confiere su fuerza a las matemáticas? ¿Aqué se debe que funcionen?.Una respuesta muy popular ha sido la de que "Dios es matemático". Quienes a la parcon Laplace consideren que la deidad no es hipótesis necesaria pueden decirlo deeste modo: el universo, en sus manifestaciones, se expresa espontáneamente en ellenguaje matemático. La atracción gravitatoria disminuye según el cuadrado de ladistancia; los planetas describen órbitas elípticas en torno al Sol; la luz viaja en línearecta o, al menos, así era antes de Einstein. De acuerdo con esta concepción, lasmatemáticas han evolucionado justamente como trasunto simbólico del universo.No es maravilla, así pues, que las matemáticas funcionen, tal es precisamente larazón misma de su existencia. Es el universo quien ha impuesto las matemáticas a lahumanidad.Tal concepción de las matemáticas concuerda bien con la que suele llamarseconcepción platónica. El platonismo matemático postula que las matemáticasexisten con independencia de los seres humanos; se encuentran en <algún lugarexterior>, flotando eternamente alrededor de nosotros en un mundo de ideasplatónicas que todo lo invaden y penetran. Pi está en el firmamento.1 Por ejemplo,si estuviéramos considerando la posibilidad de comunicarnos con criaturas de laGalaxia X-9, tendríamos que hacerlo en el idioma de la matemática. Carecería desentido preguntarle a nuestro corresponsal extragaláctico por su familia, suocupación, su gobierno o sus artes gráficas, pues estos objetos pudieran no tenersignificado alguno para un ser tal. Por otra parte, si le estimulásemos con las cifrasde (3, 1, 4, 1, 5,...) es seguro que respondería. Eso al menos, es lo que sostienen losdefensores del razonamiento. El universo les habrá impuesto a los habitantes de laGalaxia X-9 esencialmente las mismas matemáticas que a los terrícolas. Lasmatemáticas son universales.

1 Juego de palabras intraducible, que se basa en la homofonía de "pi" y "pie" (N delT).


De acuerdo, pues, con esta concepción, el papel del teórico consiste en prestar oídoal cántico del universo y dejar constancia de la melodía.Pero hay otra concepción del problema. Sostiene esta segunda opinión que lasaplicaciones de la matemática se producen por decreto. Creamos multitud deestructuras y sistemas matemáticos. Tanta es la complacencia que sentimos por loque hemos creado, que deliberadamente nos esforzamos por lograr que las diversasfacetas físicas y sociales del universo se amolden lo más posible a ello. Si el zapatitoentra bien, como en el pie de Cenicienta, tenemos una bonita teoría. Si no (y elmundo de los hechos "en crudo" se parece mucho más a la hermanastra fea: elzapato siempre aprieta) hay que volver al tablero de diseño que es la teoría.Esta concepción está emparentada con la idea de que las teorías de la matemáticaaplicada son meramente "modelos matemáticos". La utilidad de un modelo resideprecisamente en el éxito que alcance en remedar o predecir la conducta del universo.Cuando un modelo resulta inadecuado por algún concepto, se mira alrededor,buscando un modelo mejor o una versión superior. Ninguno de los enunciados "laTierra da vueltas alrededor del Sol" o "el Sol gira en torno a la Tierra" expresa unaverdad filosófica. Tanto uno como otro son modelos; con cuál vayamos a operarserá cosa determinada por cuestiones como simplicidad, riqueza de resultados, etc.Ambos fueron deducidos de experiencias matemáticas previas de naturaleza simple.Esta concepción filosófica ha venido haciéndose más y más popular. Cada vez esmayor el número de cursos impartidos sobre "modelos matemáticos". Lo que engeneraciones precedentes hubiera sido enseñado como "teoría de tal y tal" hoy tienela mera denominación de "modelo de tal y tal". La verdad ha abdicado; en su tronoreina hoy la utilidad inmediata.

Ejemplos sencillos de matemáticas impuestas por decreto.

Es evidente que apenas si existen científicos cuya vida obedezca a un credocoherente. Los científicos creen simultáneamente en teorías y en modelos, en loverdadero y en lo conveniente.Por lo que al "pensador típico" se refiere, me parece que será un platónico. Dehecho, me imagino que lo será hasta un punto tal que le costará concebir que puedanllegar a imponérsele estructuras matemáticas al mundo. Me gustaría explicar lorecién dicho sirviéndome como ejemplo de algo bien familiar a todo el mundo: laoperación aritmética de sumar.En cuanto sabemos recitar la serie de nombres de los números enteros, uno, dos,tres,...., y hemos captado intuitivamente el orden secuencial, lo primero queaprendemos es a sumar. Podemos distinguir en la adición tres aspectos. El primerode ellos es el aspecto algorítmico. Entendemos por aspecto algorítmico el conjuntode reglas de manipulación de los números merced a las cuales podemos efectuarsumas (o puede hacerlas nuestra calculadora). El segundo aspecto (en el cual hacargado indebidamente el acento la llamada "matemática moderna") trata de lasleyes formales a las que obedecen las sumas, como por ejemplo, que a + b= b + a,que (a + b) + c = a + (b + c), o que a + 1>a. El tercer aspecto se refiere a lasaplicaciones de la adición, esto es, ¿en qué circunstancias hay que sumar?


Los dos primeros aspectos son sencillos. El tercero es difícil y es ahí precisamentedonde empieza la diversión. Entran aquí los problemas descriptivos, los problemas"de enunciado" que se proponen en la escuela elemental. Son muchos los niños quesaben sumar, pero no saben cuándo hay que sumar. ¿Cree el lector que los adultos sísabemos? Veámoslo.¿Cómo puede haber dificultad en saber cuándo hay que sumar? Dos manzanas mástres manzanas son cinco manzanas. ¿Dónde está el misterio? Propondré ahora, alobjeto de analizarlos, una serie de problemas descriptivos, que evidentementerequieren sumar.Problema 1. Una lata de bonito cuesta 210 pesetas. ¿Cuánto cuestan dos latas de

bonito?Problema 2. Mil millones de barriles de petróleo cuesta x dólares. ¿Cuánto costarán un

billón de barriles de petróleo?Problema 3. Un banco, al baremar a los solicitantes de créditos, concede dos

puntos por ser el solicitante propietario de su vivienda, añade unpunto por ganar más de 3 millones de pesetas al año, añade un puntomás si el solicitante no se ha mudado de domicilio en los cincoúltimos años, resta un punto por tener antecedentes penales, resta otropunto por tener menos de 25 años, etc. ¿Qué representa esta suma?

Problema 4. En un test de inteligencia nos dan un punto si contestamoscorrectamente a una pregunta sobre Felipe II, otro por acertar en la deosos polares, otro más por conocer el cambio de horario paraaprovechar mejor la luz solar, etc. ¿Qué representa la suma final?.

Problema 5. Se añade una taza de leche a una taza de palomitas de maíz. ¿Cuántastazas de mezcla se obtendrán?

Problema 6. Un operario es capaz de pintar una habitación en un día de trabajo. Sesuma a la fuerza laboral un segundo operario capaz de pintar lahabitación en dos días. ¿Cuántos días tardarán ambos hombres enefectuar conjuntamente la tarea?

Problema 7. Una piedra pesa un kilo. Una segunda piedra pesa dos kilos. ¿Cuántopesarán las dos piedras juntas?

Pasemos ahora a comentar brevemente estos problemas.Problema 1. En mi tienda venden una lata de bonito por 210 pesetas y dos por 399.Bueno, se podría decir que el verdadero precio era de 420 pesetas, y que el tenderohace una rebaja. Yo contesto que el precio "real" es el que me cobran en la tienda, yque si el encargado ha visto que la adición pura simple no es lo mejor para elnegocio, no hay reparo alguno en que la modifique. Tan habituales son losdescuentos y las rebajas, que todos comprendemos las imperfecciones de la adiciónen este contexto.Si compramos una lata de atún por 210 pesetas y una lata de melocotones por 100pesetas, al sumar tenemos una cuenta de 310 pesetas. Lo que este hecho refleja es lareducción de todos los bienes a un único sistema de valores. Esta reducción vaseguida después por la adición de los precios individuales; tal hecho es uno de losgrandes edictos decretados por el mundo económico. Ha habido ocasiones (porejemplo, durante períodos de racionamiento) en los que medio kilo de carne costaba500 pesetas más un cupón rojo, y un kilo de azúcar, 300 pesetas más un cupón azul.


Nos encontramos aquí con un ejemplo de "precios vectoriales" en el cual el preciode un bien consta de varias componentes distintas; la adición –vectorial- pone demanifiesto la arbitraria naturaleza del proceso.

Problema 2. Henos aquí con el mismo problema, pero a la inversa. ¿Qué precionos exigirán por un recurso cada vez más escaso? Lo procedente en tal caso nosería una rebaja, sino un recargo: tampoco es aquí adecuada la adición ordinaria.Podríamos formular una pregunta absurda, pero no desconexa de la anterior. Si elretrato de la Mona Lisa estuviera valorado en 1000 millones de pesetas, ¿cuál seríael valor de dos Mona Lisas?

Problema 3. El número obtenido por el banco es lo que se llama un <baremo> ocifra de mérito de su potencial cliente. ¿Tiene verdaderamente sentido cancelar latenencia de antecedentes penales con un sueldo anual de tres millones de pesetas?Posiblemente, sí.Baremos como éste se emplean profusamente. Hay en los EEUU un estado donde seutiliza un sistema de deméritos para penalizar las infracciones de tráfico.Baremos similares podrían servir en otros campos como fundamento de una éticaautomática, de la administración de justicia mediante ordenadores, o de laprestación informática de servicios médicos. Parece evidente que el plan o esquemade baremación de cada caso ha de ser perfectamente convencional y arbitrario.Todo esto me recuerda la historia del mendigo que pasaba el platillo en TimesSquare. Llevaba este hombre prendido con imperdibles el siguiente letrero:

Guerras 2Piernas 1Esposas 2Niños 4Heridas 2

Total 11

Problema 4. En casi todos los test y exámenes se hace la suma simple de losresultados obtenidos en cada una de las partres de que constan. Tal es el procedercomúnmente aceptado. En los exámenes de matemáticas de institutos y facultades,salvo cuando se trata de pruebas objetivas, donde se pide elegir una opción de entrevarias posibles respuestas, los estudiantes rugen para que se les cuentenpositivamente sus aciertos en las diversas preguntas, sin tener en cuenta los fallos.Los profesores sabemos que tal calificación no puede ser sino subjetiva. Todo elnegocio de la suma de puntos es completamente discrecional y arbitrario; empero,casi todo el mundo lo acepta. Dejamos de lado la difícil cuestión, de rabiosaactualidad en nuestros días, de qué es, en cualquier caso, lo que se verifica o pone aprueba en una pregunta individual.Problema 5. Una taza de palomitas de maíz absorberá casi por completo una tazade leche sin derramar nada. Lo que aquí interesa es que el significado de "suma" o"añadir" en un contexto físico o vulgar determinado no tiene por qué coincidirnecesariamente con la "suma" en sentido matemático.


Problema 6. Análogamente, por confusión de lenguajes, hacemos que el <sumar>de sumarse o unirse a otros induzca a pensar en la suma matemática. Así lo vemosclaramente en este problema directamente tomado de los manuales de álgebraescolar.Problema 7. Tan sólo es posible hablar con sentido de medidas físicas en elcontexto de una teoría, la física newtoniana, pongamos por caso. El peso esproporcional a la masa, y la masa es una magnitud aditiva. Es decir, por definición,la suma de la unión de dos cuerpos es la suma de las masas de los cuerposindividuales. Pero al pesar dos piedras con una báscula de muelle, si las piedraspesan lo suficiente, podemos ver que la deformación del resorte no es lineal (lo cual,si es necesario, se compensa por calibración) habida cuenta de la definiciónpreviamente aceptada de adición de las masas. La simple suma de las elongacionesdel muelle puede no ser apropiada.De toda esta discusión se saca la siguiente moraleja: No hay, y no puede haber unasistematización exhaustiva de todas las situaciones en que sea adecuado sumar.Recíprocamente. Toda aplicación sistemática de la adición a una categoría ampliade problemas tendrá que hacerse por decreto. Decimos sencillamente: "Adelante,sume", con la esperanza de que la experiencia pasada y la futura demuestren que setrató de una acción razonable.Y si lo dicho vale para la suma, cuánto más para otras operaciones y teoríasmatemáticas mucho más complejas. Este hecho explica, en parte, los tropiezos quetanta gente tiene con los <problemas descriptivos> y, a un nivel superior, las seriasdificultades con que ha de enfrentarse el científico teórico.Un último ejemplo. A una pastelería le marchan bien las cosas. El propietario, paraevitar conflictos entre sus clientes, ha decidido dar números. Son muchas las tiendasque tienen un sistema tal. ¿Cuál será a nuestro pastelero el método másconveniente? Bueno, diríamos quizá, bastará ir atendiendo a los clientes por ordende llegada. Pero no es ese el único criterio posible. Ni el universo lo estáreclamando a gritos, ni quedaría aniquilado con un fogonazo si se aplicase uncriterio distinto. Puede que las colas sean largas, y el propietario decida hacer másamena la espera insertando números de la suerte que den derecho a su poseedor aser atendido en el acto. Las matemáticas tienen capacidad para esto. Tal vez si sunúmero es par le sirva gasolina, y si impar, no. ¿Lo encuentra raro? Pues algo asísucedió hace años, cuando la crisis del petróleo.Aunque la imposición de reglas matemáticas se hace por decreto, una vezimplantadas tienen muchísimas y muy importantes consecuencias sociales. Lasmatemáticas que nos impone Hacienda son por decreto, las matemáticas que aplicala Seguridad Social, por decreto. Ambas disponen de inmensos sistemasinformáticos para poder llevar a cabo la imposición. Y una vez puesto en marcha elsistema, no es fácil <desenchufarlo> sin riesgo de rupturas sociales. Desde mipunto de vista, no es accidente que se esté dando una matematización de lo socialcada vez más intensa justamente cuando en filosofía de la ciencia está cobrandomayor fuerza la convicción de que a las ecuaciones debe concedérseles tan sólo laconsideración de modelos.

¿Decreto en las ciencias físicas?


¿Cómo es posible que el hombre, que apenas es una mota en el universo, puedaimponer su voluntad matemática sobre los grandes procesos cósmicos? Elrazonamiento, en este caso, es algo más difícil de entender, pero podemos esbozarloen las siguientes líneas.Vamos a fijarnos en dos teorías del movimiento de los planetas, dada la primera porClaudio Ptolomeo (siglo II) y la segunda por Isaac Newton (1642-1727). En elsistema ptolemaico, la Tierra tiene posición fija, mientas que el sol se mueve, ytodos los planetas giran en torno a él. Si nos fijamos, por ejemplo, en Marte, sesupone que Marte describe en torno a la Tierra un cierto círculo excéntrico, deperíodo fijo. Comparemos ahora esta teoría con las observaciones. Encaja, pero sóloparcialmente. Hay veces en que la trayectoria de Marte exhibe un movimientoretrógrado que resulta inexplicable por simple movimiento circular.Para superar este limitación, Ptolomeo añade al movimiento circular fundamental unsegundo movimiento circular excéntrico, de radio y frecuencia propias. Esteesquema puede ahora manifestar movimientos retrógrados, y si se ajustancuidadosamente los radios, excentricidades y períodos es posible ceñirsefrancamente bien al movimiento de Marte. De ser necesaria mayor precisión puedeañadirse todavía un tercer círculo de radio menor y de distinto período. Ptolomeoconsiguió de este modo lograr una concordancia muy buena entre la teoría y laobservación. Se trata de uno de los más tempranos ejemplos de ajuste de curvas enel campo científico ( no muy distinto del análisis armónico) pero no fue posiblelograr una explicación más profunda del proceso, y no resultó posible unificar losajustes correspondientes a los diferentes planetas.

Según Pope, quince siglos más tarde dijo Dios, "¡Sea Newton!, y todo fue luz". Lateoría newtoniana del movimiento planetario proporcionó un modelo de aromamoderno y de inmensa importancia teorética e histórica. En este caso, la baseorgánica yace mucho más profundamente. Entran a formar parte del cuadro nuevoselementos: masas, aceleraciones, la ley fundamental de la dinámica. F= mA, la leyde gravitación universal. Todas estas leyes físicas quedan matemáticamenteexpresadas mediante ecuaciones diferenciales. Se postula que tales leyes son devalidez universal, no sólo aplicables al Sol y a la Tierra, sino a Marte y a Venus, y atodos los demás planetas, cometas y satélites. Mientras que el esquema ptolemaicose nos presenta como estático y hecho al caso -un mero ajuste de curvas-, divorciadode la realidad, el esquema newtoniano, por el contrario, se nos muestra ricamentedinámico, fundado en la realidad de la materia, la fuerza, la aceleración. Laecuación diferencial resultante llegó a parecer mucho más cercana a la verdadúltima por lo que a la forma en que está gobernado el universo se refiere.¿Pero es verdaderamente así de sencilla esta cuestión? Tomemos la ecuacióndiferencial correspondiente a Marte y resolvámosla. Predice que Marte viaja entorno al Sol describiendo un elipse. Contrastémosla con las observaciones. Nocoinciden exactamente; existen discrepancias. ¿A qué se deben? Bueno, es que lafuerza de atracción es levemente errónea. Además de la fuerza del Sol quizádebamos tener en cuenta la fuerza de atracción de Júpiter, un planeta de gran masa.Bueno, contemos con Júpiter. Todavía no hay precisión total. Habrá que tener encuenta otras fuerzas. ¿Cuántas otras fuerzas habrá que considerar? Es difícil desaber: hay un número ilimitado de posibles fuerzas, y puede que algunas de ellas


eran de importancia. Pero no hay forma sistemática de decir a priori qué fuerzasexisten, y cuáles de ellas han de tenerse en cuenta. Inútil decir que no pueden serprevistas modificaciones históricamente posteriores de la teoría newtoniana, comola mecánica relativista. El criterio de éxito sigue funcionando, y una predicciónprecisa basada en una mecánica celeste puesta al día acaba por ser, lo mismo que lade Ptolomeo, una serie de remedio, una teoría por decreto. Seguimos ajustando unacurva, pero ahora lo hacemos a partir de un vocabulario más versátil, el vocabulariode las ecuaciones diferenciales, en lugar de utiliza el vocabulario de curvas simplesprêt-à-porter como los círculos.

Modelos matemáticos__________________________________

¿Qué es un modelo? Antes de generalizar, fijémonos en algunos ejemplos concretos.Como acabamos de mencionar, la teoría newtoniana del movimiento planetario fueuno de los primeros modelos modernos.Adoptando la hipótesis simplificadora de un único Sol y un único planeta, Newtonpudo deducir matemáticamente que el planeta describiría una órbita acorde con lastres leyes que Kepler había inferido de una considerable cantidad de observacionesastronómicas. Tal conclusión fue un gran triunfo del análisis físicomatemático, y dioal modelo decretado por Newton una fuerza compulsiva total.En el caso de que el número de cuerpos que interactúen sea de tres, cuatro, cinco,...,el sistema de ecuaciones diferenciales que rige su movimiento conjunto se complicaprogresivamente. Puede suceder, incluso en el caso de tres cuerpos solamente, queno existan soluciones <de expresión cerrada>, soluciones que den órbitas à laKepler. Es corriente que exista un hiato entre lo que nos gustaría que nuestra teoríahiciera y lo que nosotros podemos hacer que haga; lo cual puede controlar lametodología subsiguiente. Si queremos saber en qué punto del cielo se encontraráJúpiter, con el fin de planificar debidamente una fotografía del planeta joviano,tomaremos una cierta dirección matemática. En cambio, si estamos interesados porsaber si el Sistema Solar es dinámicamente estable o inestable tendremos queproceder de muy distinta manera.En vista de las dificultades intrínsecas de las matemáticas, el arte de construirmodelos es el arte de adoptar la estrategia adecuada. Tomemos, a título de ejemplomenos familiar, el problema de ingeniería química del control de una reacción en untanque de agitación (véase R. Aris, pp.152-164).Un tanque cilíndrico está provisto de tubos de alimentación y de un tubo de salida.Los tubos de alimentación aportan reactivos, y el tubo de salida va retirando unamezcla de productos y de reactivos sobrantes. El tanque está rodeado por unacamisa cilíndrica de agua, para refrigerarlo. Para lograr una mezcla perfecta, tanto eltanque del reactor como su camisa refrigeradora están siendo agitadoscontinuamente.Ahora, dejando aparte las hipótesis geométricas, que tal vez sólo seanaproximadamente ciertas, hemos de enfrentarnos, como mínimo, con once leyes ohipótesis ,,...,, 1010 HHH fundándonos en las cuales hemos de formular un modelomatemático. ,0H afirma las leyes de conservación de la materia, de la energía y la


ley de Fourier sobre conducción del calor. ,1H declara que los volúmenes del tanquey la camisa refrigeradora son constantes e igualmente que son constantes los gastosy temperaturas de los reactivos introducidos en el reactor. La mezcla es perfecta, porlo cual se puede suponer que las concentraciones y las temperaturas de reacción sonindependientes de la posición. De esta manera, se va proponiendo una hipótesis trasotra. ,9H por ejemplo, afirma que la respuesta de la camisa refrigeradora esinstantánea. ,10H declara que la reacción es de primer orden, e irreversible conrespecto a los ingredientes clave.Ahora bien, los modelos que pueden proponerse con este fundamento son seis,según el número de hipótesis que se utilicen. El modelo más general sólo da porsupuestas 40 ,..., HH y conduce a un sistema de seis ecuaciones, mientras que elmodelo más sencillo da por válidas ,,..., 100 HH y conduce a dos ecuaciones."Un modelo matemático -dice Aris- es cualquier sistema completo y compatible deecuaciones matemáticas, diseñadas para que se correspondan con alguna otraentidad, su prototipo puede ser una entidad física, biológica, social, psicológica oconceptual, tal vez, incluso, otro modelo matemático". El término "ecuaciones"puede ser reemplazado por "estructura", pues no siempre se trabaja con modelosnuméricos.Algunos de los propósitos con los cuales se construyen modelos son: 1) obtenerrespuestas sobre lo que sucederá en el mundo físico, 2) influir en la experimentaciónu observación ulteriores. 3) facilitar y fomentar el progreso y comprensión en elestudio de los fenómenos, 4) contribuir a la axiomatización de la situación física, 5)fomentar las matemáticas y el arte de construir modelos matemáticos.La constatación de las teorías físicas pueden cambiar o ser modificadas (compárenselas mecánicas newtoniana y einsteiniana, por ejemplo), de que puede haber teoríasenfrentadas o en competencia, de que las matemáticas disponibles pueden serinadecuadas para tratar una teoría en su sentido más pleno, son conceptos que hanllevado a la aceptación pragmática de que los modelos son construccionesprovisionales, aproximaciones convenientes a un determinado estado de cosas, enlugar de expresión de verdades eternas. Un modelo puede ser tenido por bueno omalo, por simplista o refinado, por estético o antiestético, por útil o por inútil; encambio, uno se siente menos inclinado a calificarlo de "verdadero" o "falso". Laactual dedicación a la confección de modelos, y no de teorías, ha llevado aconsiderar y estudiar la construcción de modelos como un arte por derecho propio, ya la correspondiente disminución del interés en la situación física concreta que estásiendo plasmada en el modelo.

Lecturas adicionales. Véase la bibliografíaR. Aris; P. Duhem; H. Freudenthal (1961); L. Iliev.

Utilidad________________________________________________1. Variedades del uso de las matemáticas.Para que una cosa sea útil ha de tener la capacidad de satisfacer una necesidadhumana. Se dice de ordinario que las matemáticas son útiles, pero por ser muy


grande la variedad de sus usos, resultará rentable ver qué diferentes significadospodemos hallar para esta palabra. Un pedagogo, especialmente de la variedadclásica, podría decirnos que las matemáticas son útiles porque nos enseñan a pensary a razonar con precisión. Un arquitecto o un escultor -de la variedad clásica,nuevamente- podría decirnos que las matemáticas son útiles porque llevan a lapercepción y creación de belleza visual. Un filósofo podría decirnos que lasmatemáticas son útiles en tanto que permiten escapar de las realidades de la vidacotidiana. Un profesor de matemáticas podría asegurar que las matemáticas sonútiles porque le permiten ganarse el pan y la sal. Los editores conocen bien lautilidad de las matemáticas, que les dan la oportunidad de vender muchos libros detexto. El astrónomo o el físico dirán que las matemáticas resultan útiles porque sonel lenguaje de la ciencia. Un ingeniero civil asegurará que las matemáticas lepermiten construir un puente de manera más expedita. Un matemático dirá que enel seno de las propias matemáticas, un sistema matemático es útil cuando esaplicable a otro sistema matemático.Como vemos, los significados de <utilidad matemática> abarcan elementos de tipoestético, filosófico, histórico, psicológico, pedagógico, comercial, científico,tecnológico y matemático. Y esta relación no agota la totalidad de significadosposibles. El profesor Roger Tanner, de Sidney, Australia, me refirió la siguienteanécdota. Dos estudiantes entraron en el despacho de un colega para decirle quequerían seguir su curso superior en matemática aplicada. El profesor, encantado, leshizo a sus potenciales alumnos una auténtica "venta" de su curso: los detalles delprograma, sus conexiones con otras materias, etc. Pero los dos estudiantes leinterrumpieron, diciendo: "No, no nos ha comprendido. Nosotros somos trotskistas.Queremos recibir su curso porque es totalmente inútil. Si lo seguimos, 'ellos' nopodrán hacer que lo utilicemos con propósitos contrarrevolucionarios". Así pues,hasta la inutilidad es útil.Vamos a fijarnos aquí en la utilidad matemática que se da dentro de la actividadcientífica o tecnológica. Podemos distinguir entre utilidades dentro del propiocampo matemático y utilidad para otros campos. Incluso con estas subdivisiones, lanoción de utilidad es sumamente resbaladiza.

2. Sobre la utilidad de las matemáticas en las matemáticas¿Qué significado tiene decir que una pieza de matemáticas es utilizada o aplicada enla propia matemática? Se puede afirmar, por ejemplo, que la teoría de ideales es útilen la teoría de números. Lo que se quiere decir con ello es que algunos resultados dela teoría de ideales han servido para demostrar la imposibilidad de ciertos casosparticulares del teorema magno de Fermat. Significa también que si uno quiereentender esa demostración de tal imposibilidad, más le vale conocer y comprendertales y tales teoremas de la teoría de ideales. (Históricamente, los hechos fueron alrevés: la teoría de ideales evolucionó como parte de un intento por establecer elteorema magno.) En este sentido podemos, pues, hablar de la aplicación del análisistensorial a la teoría de elasticidad, de la teoría de funciones complejas a la teoría denúmeros, del análisis no estándar a la teoría de espacios de Hilbert, o de la teoría depuntos fijos a las ecuaciones diferenciales.Por tanto, dentro de las matemáticas, lo que debemos entender por aplicación de lateoría A a la teoría B es que se han utilizado los materiales, la estructura, las


técnicas e intuiciones correspondientes a la teoría A, con el propósito de arrojar luza formar inferencias relativas a los materiales y estructuras de la teoría B. Lasconexiones o aplicaciones entre unas y otras partes de las matemáticas constituyenaspectos que suelen calificarse de "puros". De este modo, al utilizar la teoríaalgebraica de ideales para analizar algún aspecto del teorema magno de Fermat,dicha aplicación sería de carácter "puro". Por otra parte, si la teoría algebraica deideales llegara a tener aplicación en la teoría de conmutación telefónica (lo cualignoro), se habría hecho un uso "aplicado" de la teoría de ideales.Ahora bien, ni los métodos ni las demostraciones son únicas; los teoremas se puedendemostrar de distintas formas. Puede ser, por consiguiente, que una cierta aplicaciónde A para demostrar la verdad de ciertos resultados de la teoría B no sea de carácteresencial. Tal vez sea preferible, por razones históricas o de otra índole, establecer Bpor medio de C o de D. En realidad, puede incluso que parte del juego consista eneso. Así, durante muchos años el teorema sobre el número primo fue demostradopor medio de la teoría de funciones de variable compleja. Dado que la noción denúmero primo es más sencilla que la de número complejo, se consideró que valía lapena tratar de establecer dicho teorema sin recurrir a números complejos. Cuandofinalmente se alcanzó esta meta, la utilidad que tenía la teoría de variable complejaen la teoría de números había cambiadoEl tiempo puede ser causa de cambios de utilidad en sentido inverso. Así, cuando sedio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra, la topología aúnse encontraba en su infancia, y los aspectos topológicos de la demostración fuerontenidos por evidentes y sin importancia. Ciento cincuenta años más tarde, con unatopología madura a nuestra disposición, se considera que los aspectos topológicosdel problema son crucialmente importantes, y que constituyen una espléndidaaplicación del concepto de número de vueltas.Podemos distinguir entre teoremas útiles, o sea, teoremas a los que se les haencontrado aplicación, teoremas muy útiles, a los que se les han encontrado muchas,y teoremas inútiles, para los que no se sabe de ninguna. Como es obvio, siempre sele puede empalmar algo al teorema T y llegar a un teorema T´; dando de esta formauna aplicación a T. Pero esta clase de trucos van contra las normas del buen gustomatemático. La literatura matemática contiene millones de teoremas, la mayoría delos cuales es muy probable que sean inútiles. Son vías muertas, callejones sin salida.No es menos cierto que existe la tendencia a hilvanar el propio pensamiento (y mástarde la exposición) recurriendo a teoremas muy conocidos o rutinarios, como elteorema del valor medio, o el teorema del punto fijo, o el teorema de Hahn-Banach.Hasta cierto punto, ese proceder es arbitrario, de igual modo que Madrid es puntoarbitrario de transbordo para la mayoría de los vuelos entre ciudades españolas.Claro que no es difícil dar razones que así lo justifiquen.Grandes son la importancia y reputación que se concede a los teoremas muy útiles.Lo cual es hasta cierto punto paradójico, pues si un teorema es fruto u objeto de unaactividad matemática, entonces tal meta, por su carácter de objeto estético, deberíaser valiosa tanto si engendra a otros como si no.La gran consideración que se concede a los resultados "útiles", combinada con losconfusos significados atribuidos a "utilidad" ha provocado arduas discusionesacerca de qué es lo fructífero y qué no. Los juicios de este estilo afectan a todas las


facetas de las matemáticas, desde la enseñanza a la investigación, y llevan decuando en cuando a entusiasmos poco estables, consecuencia de las modas.Consideración y estima que subyacen también al énfasis que se pone en losprocesos del trabajo matemático, a expensas de los resultados de dicho trabajo. Ennuestros días son demasiados los textos de matemáticas que tienen una cualidadnerviosa, jadeante, por así decirlo, que están dedicados a perseguir implacablementeun objetivo. Alcanzado éste, no dejan en nosotros un sentimiento de alborozo, sinode anticlímax. En ningún punto de tales libros hallaremos el menor comentario depor qué es importante el objetivo, o para qué lo es, con la posible excepción de quetal meta puede ser utilizada ahora como punto de partida para alcanzar otrosobjetivos más profundos, que lamentables consideraciones de espacio impidenexponer al autor. Cárguese en Euclides el tanto de culpa si se quiere, pues esatendencia estaba ya en su exposición.

3. Sobre la utilidad de las matemáticas en otros campos científicos o tecnológicos.La actividad en la cual las matemáticas encuentran aplicaciones externas a susintereses propios se denominan corrientemente "matemática aplicada". Lamatemática aplicada es automáticamente interdisciplinar, y es probable que lo idealfuese que se dedicaran ella personas cuyo interés primordial no fueran lasmatemáticas. Si la disciplina complementaria fuera la física, pongamos por caso,puede resultar difícil saber qué ha de ser clasificado como matemática aplicada yqué como física teórica.La aplicación de las matemáticas en campos situados fuera de ellas suscitacuestiones de otra naturaleza. Supongamos, por ejemplo, que se tenga unaaplicación de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales a la teoría matemáticade elasticidad. Podemos preguntarnos ahora si la teoría de elasticidad tieneaplicaciones fuera de sí misma. Hállense éstas en la ingeniería teórica. Cabe inquirirsi esa teoría es de interés para el ingeniero práctico. Supongamos que sí, que lepermita, digamos, hacer un análisis de resistencia de la puerta de un automóvil. Unavez más se suscita la cuestión de cómo podría afectar una cosa así al hombre de lacalle. Supongamos que el análisis de esfuerzos demuestre que una puerta reciéndiseñada cumple los requisitos mínimos de resistencia exigidos por la ley. En talcaso, hemos podido ir siguiendo el descenso de la aplicación, desde las alturas de lamás elevada abstracción hasta el nivel del consumidor. Evidentemente, no hay porqué detenerse aquí. Podemos indagar ahora si el automóvil es útil para algo. Para ir yvenir a las ciudades-dormitorio. ¿Resulta útil...? Etcétera.Convengamos en llamar utilidad común a la que alcanza hasta el público general.(Lo cual da por supuesto que sabemos en qué está realmente interesada la gente,hipótesis objetable.) No estamos proponiendo que haya de ser sólo el criterio delinterés público el que juzgue la utilidad matemática; sería desastroso que así fuera.Pero dado que la vida se desarrolla en gran medida a través de actividades deproducción y consumo, de compra, venta e intercambio, se debería tener unconcepto claro y sólidamente asentado de la posición que ocupa nuestra disciplinacon respecto a estas actividades básicas.¿Qué aplicaciones de las matemáticas tienen utilidad común? Es obvio que larespuesta será de gran trascendencia para la educación, la preparación de textos y lainvestigación matemática. Y, sin embargo, está envuelta en mitos, revestida de


ignorancia, información errónea y puras ilusiones. Algunos ejemplos de utilidadcomún son tan claros como la luz del día. Cuando la cajera del supermercado hallael total de nuestra compra, o cuando en el estudio del arquitecto se confecciona unpresupuesto, tenemos aplicaciones claras de las matemáticas al nivel de utilidadcomún. Estos cálculos pueden ser triviales y realizables por personas sin granrefinamiento matemático; pero son matemáticas a pesar de todo, y los cálculosrelativos a recuentos, mediciones y precios constituyen el grueso del total deoperaciones matemáticas a nivel de utilidad común.Cuando se pasa a las matemáticas superiores, tales aplicaciones son más difíciles deobservar y comprobar. Sería de enorme importancia en la profesión que algúninvestigador vivaz y matemáticamente culto le dedicase algunos años a la tarea ymediante visitas a empresas, laboratorios, fábricas, etc., expusieradocumentadamente dónde se dan.2Una organización puede tener a su servicio personal de sólida formaciónmatemática, y disponer quizá de un complejo equipo informático porque losaspectos teóricos de su actividad pueden quedar plasmados en términosmatemáticos. Nada de ello significa que las matemáticas que allí se están haciendoalcancen el nivel de utilidad común. La emergencia de matemáticas potencialmenteaplicables al nivel de utilidad común puede verse frustrada o bloqueada por docenasde motivos diferentes. Quizá resulte muy dificultoso, caro o inadecuadocomputarizar esfuerzos en la puerta de un automóvil por medio de un modelomatemático; tal vez sea más económico y fiable ensayar mecánicamente la puerta enuna máquina de ensayos o mediante choques. Puede ocurrir también que un modelomatemático requiera muchos parámetros, cuyos valores, sencillamente, no esténdisponibles. En un texto típico de matemática aplicada encontramos, por ejemplo,un análisis del problema de Laplace para una región bidimensional. Esta teoríatiene importantes aplicaciones, dice el autor, en electrodinámica e hidrodinámica.Tal vez sea como dice, pero en lugar de hipócritas aplicaciones potenciales, unoquisiera verlas señaladas y localizadas al nivel de utilidad común.

4. Comparación entre la matemática pura y la aplicadaEstá ampliamente difundido el principio de que la mente prevalece sobre la materia,que el espíritu es más elevado que la carne, y que el universo mental es superior aluniverso físico. Pudo tal principio haber tenido su origen en la fisiología humana yen el sentimiento que identifica el "yo" con "la mente" y la mente con el cerebro. Noparece que reemplazar un miembro o un órgano, como una pierna o un ojo, por otro

2 No es tarea fácil: Se cuenta que hace algunos años, una institución gubernamental,que llamaremos Agencia A, pidió a un grupo de especialistas que evaluaran lainvestigación matemática patrocinada por la Agencia. ¿Qué trabajos matemáticos,sostenidos por la Agencia A, conducían directamente hasta aplicaciones al nivel deutilidad común en los que la Agencia estaba interesada, y cuáles de talesaplicaciones hubieran sido imposibles sin este patrocinio? Tras reflexionar variosdías, los expertos llegaron a la conclusión de que no podían identificar talestrabajos, aunque el patrocinio de la investigación matemática debería ser justificadopor otras razones. Una de ellas, por ejemplo, era que mantenía una reserva deinvestigadores preparados en previsión de "futuras necesidades"


artificial o trasplantado suponga alteración o amenaza para el "yo". Imaginemos, encambio, un trasplante de cerebro, o que el contenido del cerebro de otra personafuera volcado sobre el nuestro, y oiremos al yo gritar su sangriento asesinato: estásiendo destruido.La reputada superioridad de la mete sobre la materia encuentra expresión en ladeclaración de principios de que las matemáticas son a un tiempo la forma másnoble y más pura de pensamiento, que se deducen de la mente pura sin auxilioapenas del mundo exterior, y al que no necesitan devolver nada.La terminología actual diferencia entre matemática "pura" y "aplicada"; existe unsentimiento tácito y universalmente difundido de que las aplicaciones tienen algo deantiestético. Una de las más vigorosas confesiones de pureza ha salido de la plumade G. H. Hardy (1877-1947), quien ha escrito:

Jamás he hecho nada <útil>. Ninguno de mis descubrimientos ha causado, ni esprobable que sea causa de, directa o indirecta, para bien o mal, la más mínimadiferencia en el bienestar del mundo. He contribuido a formar a otrosmatemáticos, pero han sido matemáticos de la misma clase que yo, y sutrabajo ha resultado tan inútil como el mío, al menos en la medida en que hecolaborado en él. Juzgado según cualesquiera criterios prácticos, el valor de mivida es nulo y, fuera de las matemáticas, trivial en todo caso. Tengo apenasuna posibilidad de escapar al veredicto de trivialidad absoluta: quizá se juzgueque he creado algo digno de ser creado. Y que algo he creado es innegable; loque está en cuestión es su valor.El alegato en pro de mi vida, y obviamente de quienquiera haya sidomatemático en el mismo sentido en que lo he sido yo, es éste: que he aportadoalgo al conocimiento y he ayudado a otros a aportar más; y que estos algostienen un valor que difiere sólo en grado, más no en naturaleza, de lascreaciones de los más grandes matemáticos, o de cualesquiera otros artistas,grandes o pequeños, que hayan dejado en pos de sí algo por lo que serrecordados.

El manifiesto de Hardy es extremo, más expresa, no obstante, una actitud central enel ethos dominante en las matemáticas del siglo XX, a saber, que en matemáticas lamáxima aspiración es lograr una obra de arte duradera. Si una pieza preciosa dematemática pura resulta útil en alguna ocasión, tanto mejor. Pero la utilidad, entanto que meta a alcanzar, es inferior a la elegancia y la profundidad.Se ha producido en los últimos años un perceptible desplazamiento de actitudes enlos matemáticos norteamericanos. La matemática aplicada es hoy considerada debuen estilo. Tal tendencia no está libre de relación con los cambios en el mercadolaboral académico. No hay, en las universidades norteamericanas, mucho donde losdoctores en matemáticas puedan elegir. De las vacantes que se anuncian, en muchasse exige competencia en estadística, informática, análisis numérico o matemáticaaplicada. En consecuencia, son visibles los esfuerzos de muchos matemáticos porhallar nexos entre su especialidad y algún campo de aplicación. No está claro si estecambio de actitud es pasajero o si va a ser permanente. Hay pocos indicios decambios en el sistema básico de valores entre los matemáticos, que confieran alobjetivo de utilidad un rango inferior.


La afirmación de la superioridad de la mente sobre la materia ha proyectado susombra sobre los escritos de historia de las matemáticas. El grueso de los textossobre el tema se ocupa de cuestiones o desarrollos internos, es decir de lasrelaciones de las matemáticas consigo mismas. A pesar de la vasta cantidad dematerial de que dispone sobre asuntos exteriores a la matemáticas, este materialsigue sin valorar, o si lo está, está infravalorado o indebidamente representado. Porejemplo, se deja totalmente de lado el papel desempeñado por la astronomía en eldesarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Se sabe que gran parte dela motivación de esta teoría provino del deseo de resolver la ecuación posicional deKepler correspondiente al movimiento planetario.Aparte las cuestiones de superioridad, podemos afirmar decididamente que en buennúmero de aplicaciones resulta más difícil trabajar en aplicaciones que enmatemática pura. El escenario es más amplio, y los hechos más numerosos y másvagos. La precisión y el equilibrio estético que con tanta frecuencia es el alma de lamatemática pura puede ser un imposible.

2. e

por John Allen Paulos

Más universal aún que la conocida novela La historia de O y que las historiaskafkianas del Señor K es La historia de e. (Ya sé que es un comienzo estrafalario,pero todo el mundo tiene derecho a sus propias rarezas.) Comparable a л en cuanto aimportancia matemática y escrito a menudo en una modesta minúscula, e esaproximadamente igual a 2.718281828459045235360287471352662497. Acontinuación esbozaré algunas de sus propiedades.El número e fue introducido por el matemático suizo Leonhard Euler a mediados delsiglo XVIII y, a primera vista, su definición tradicional puede parecer misteriosa. Elnúmero se define como el límite de la sucesión de términos (1 + I/N)N cuando elentero N se hace más y más grande. Cuando N es 2, la expresión anterior es (1 +1/2)2, o lo que es lo mismo (3/2)2, es decir 2,25; para N igual a 3, es (1 + 1/3)3, o(4/3)3, que da 2,37; para valores sucesivos de N es (1 + 1/4)4, o (5/4)4, que da 2,44,luego (6/5)5, (7/6)6, o... (101/100)100, etc. El valor de e es el límite de esta sucesiónde números. Así pues, es muy próximo a (10001/10000)10000, que es igual a2.118145, pero es aún más próximo a (1000001/1000000)1000000.Aunque sea un tanto abstracta, esta definición en cierra la clave del papel de e en loscálculos bancarios y de interés compuesto. Mil dólares invertidos al 12% seconvierten al cabo de un año en 1000*(1+0.12) dólares. Si se invierten a interéscompuesto semestral, se convierten en 1000 * (1 + 0.12/2) dólares al cabo de seismeses (pues el 12 % anual equivale al 6 % semestral), y en 1000 x (1 + 0.12/2) x (1+ 0.12/2), o 1000 * (1 + 0.12/2)2 dólares al final del año. Si se trata de interéscompuesto trimestral, se convierten en 1000 * (1 + 0,12/4) dólares al final delprimer trimestre (pues el 12 % anual equivale al 3 % trimestral), 1000 * (1 +1,12/4)2 do1ares al final del segundo trimestre, y en 1000 * (1 + 0,12/4)4 al final de1año. Si seguimos así y calculamos el interés compuesto N veces al año, al final dedicho año el dinero se habrá convertido en 1 000 * (1 + 0.12/N)N dólares. Nótese


que, excepto porque tiene 0.12 en vez: de 1, el último factor es idéntico a ladefinición de e. Unos pocos cálculos matemáticos entre bastidores muestran que ainterés compuesto diario (N = 365) ese dinero se convierte al cabo del año en 1000* e0,12 dólares y en 1000 * e0,12T dólares al cabo de T años. A propósito, la funciónexponencial Y = eT, en términos de la cual se expresa el crecimiento exponencial, esuna de las más importantes en matemáticas.Hay otras definiciones de e, todas ellas equivalentes, por supuesto, y todas ponen demanifiesto (con un poco de abracadabra) el carácter natural de este número. Por estay otras razones relacionadas con el cálculo, el número e es la base del sistema delogaritmos naturales. Para aclarar esta afirmación hay que extenderse un poco en elanálisis de un tema desagradables como los logaritmos. El logaritmo natural odecimal de un número no es más que la potencia a la que hay que elevar 10 paraobtener el número en cuestión. El logaritmo decimal de 100 es 2 puesto 102 = 100(así pues log(100) = 2); el logaritmo decimal de 1000 es 3, pues 103 = 1 000. y ellogaritmo decimal de 500 es 2.7. pues 102.7 =500.Por su parte, el logaritmo natural de un número es la potencia a la que hay queelevar e para obtener dicho número. Así, e1 logaritmo natural de 1000 esaproximadamente 6.9 porque e6,9 = 1000, el logaritmo natural de 100 es 4.6 puese4.6 = 100, y el logaritmo natural de 2 es 0.7 porque e0.7 = 2. Se puede demostrar queeste último número, el logaritmo natural de 2, tiene un papel importante en elmundo de las finanzas: dividiendo 0.7 por el rédito se obtiene el número de años quetarda en doblarse el dinero invertido. Así, con réditos del 10% o del 14% (0.10 y0.14) se tarda respectivamente 7 o 5 años; (0.7/0.1 = 7 y 0.7/0.14 = 5). Pero en vezde explicar por qué esto es así, o qué es exactamente lo natural de los logaritmosnatura1es, explicaré algunos modos en los que el número e se da en otros contextoscomunes. (Y, desde luego, como los logaritmos decimales se basan en el hechoaccidental de que tengamos 10 dedos, no podemos pretender en modo alguno quesean matemáticamente naturales.)Imaginemos un departamento de una universidad que va a entrevistar sucesivamentea N candidatos para un puesto de profesor ayudante. Al final de cada entrevista, eldepartamento ha de decidir si el candidato entrevistado es el idóneo. Supongamosque si se descarta a un cierto candidato, no se le puede reconsiderar después; y que,si se llega al último candidato, hay que escogerlo por necesidad. Con el fin demaximizar las probabilidades de escoger al mejor, el departamento decide lasiguiente estrategia: escoge cuidadosamente un número K < N. entrevista a losprimeros K candidatos y los rechaza, y luego sigue con las entrevistas hastaencontrar un candidato mejor que todos los que le han precedido. Y contrata a esapersona.Esta estrategia no siempre funciona. Unas veces el mejor candidato estará entre lasprimeras K personas rechazadas, y otras el mejor candidato vendría después del quese ha contratado. Sin embargo, y dadas estas condiciones, se puede demostrar que laestrategia óptima consiste en tomar K igual a (N x l/e), donde l/e esaproximadamente 0.37 o el 37%. Así, si hay 40 candidatos y se entrevistan al alzar,la mejor estrategia consiste en rechazar sin más a los 15 primeros (el 37 % de 40) y,a partir de ahí, aceptar al primer candidato que sea mejor que todos suspredecesores. La probabilidad de elegir al mejor candidato por este método estambién, aunque suene extraño, l/e o el 37 %. Ninguna otra estrategia da una


probabilidad de éxito mayor del 37 %. Argumentos similares se manejan enestrategias parecidas de elección de esposa, aunque en esta situación las condicionesdel enunciado del problema son menos naturales.Tenemos otra aparición inverosímil del número e cuando una secretaria mezcla 50cartas distintas y sus 50 sobres con las direcciones respectivas. Si mete las cartas enlos sobres al azar, se podría preguntar: ¿cuál es la probabilidad de que al menos unacarta esté en el sobre que le corresponde? Por razones no muy fáciles de explicar, elnúmero e interviene también en la solución a este problema. La probabilidad de quehaya al menos una coincidencia es (1-1/e), o aproximadamente el 63 %. Otrosenunciados que dan el mismo resultado son el de levantar un par de cartas de dosmazos que se han barajado por separado, o el de los sombreros ordenados al azar ylos correspondientes resguardados en el guardarropa de un restaurante.El numero e también aparece inesperadamente en situaciones en las que nosinteresamos por el establecimiento de algún récord. A modo de ilustración,imaginemos una región de la Tierra que ha tenido en mismo clima durante eones.Con todo, la pluviosidad anual de esta región presentará fluctuaciones estadísticas.Si tuviéramos que empezar a partir de la pluviosidad del año 1, veríamos que losrécords de pluviosidad se dan cada vez menos a medida que pasan los años. Lapluviosidad del año 1 constituiría, naturalmente, un récord, y quizás la del año 4seria superior a la de los tres años anteriores, con lo que se establecería un nuevorécord. Probablemente tendríamos que esperar hasta el año 17 para que lapluviosidad superara la de los 16 años anteriores y se estableciera un nuevo récord.Si siguiéramos registrando las precipitaciones anuales por otros 10000 años, nosencontraríamos con que solo se bate el récord de pluviosidad unas 9 veces. Y, siconsideráramos un periodo de un millón de años, probablemente nosencontraríamos con que el récord se bate 14 veces.No es ninguna coincidencia que la raíz 9a de 10000 y la raíz 14a de 1000000 seanaproximadamente iguales a e. Si al cabo de N años se ha batido R veces el récord depluviosidad, la raíz R-ésima de N será una aproximación a e, que será tanto másaproximada cuanto mayor sea N. A pesar de ser irracional y trascendente, e esomnipresente en las fórmulas y teoremas matemáticos. La inverosímil trinidadliteraria del principio sólo era un intento egregio de sugerir de una manera nomatemática la enorme importancia de e.

3. La Filosofía de la Matemática


¿Qué son los números, los puntos y las probabilidades? ¿De qué naturaleza es laverdad matemática? ¿Por qué es útil la matemática? Estas son algunas de laspreguntas cuyas respuestas no encontrará aquí. No obstante, intentaré presentar unpar de asuntos relacionados con ellas.El observador más despreocupado se da cuenta de que los teoremas matemáticos nose confirman del mismo modo que las leyes físicas. Parecen ser verdades necesarias,mientras que las afirmaciones de las ciencias empíricas (la física, la psicología y lacocina) parecen depender completamente de la manera de que el mundo es


realmente. Al menos desde un punto de vista conceptual, las leyes de los gases deBoyle y la historia del Imperio austrohúngaro podrían haber sido fácilmente otras,mientas que no se puede decir lo mismo de la afirmación 25=32.Pero, ¿de dónde viene la certeza y la necesidad de la verdad matemática? Losmatemáticos en activo no suelen preocuparse por este asunto pero, si se les aprieta,la mayoría contestarán probablemente algo así como: los objetos matemáticosexisten independientemente de nosotros y las afirmaciones sobre ellos sonverdaderas o no independientemente de nuestro conocimiento y de nuestracapacidad de demostrarlas. Imagino que tales objetos existen en algún mundoplatónico más allá del tiempo y el espacio. Pero si es así, ¿Cómo encontramosverdades sobre tales objetos y los hechos que a ellos atañen?La respuesta de Immanuel Kant era que las matemáticas (o al menos sus axiomasfundamentales) eran conocibles a priori por la sola intuición y que su necesidad eraevidente. Los intuicionistas contemporáneos, sin suscribir las ideas kantianas acercadel espacio, el tiempo y el número, también basan la necesidad de la matemática enla indudabilidad de las actividades mentales simples. Algunos incluso llegan adesacreditar las demostraciones de la existencia de un objeto a menos que se dé unprocedimiento constructivo que permita encontrarlo.A muchos otros filósofos de la matemática les molesta tanto el subjetivismo de Kantcomo la insostenibilidad del platonismo ingenuo. Los llamados logicistas, BertrandRussell, Alfred North Whitehead y Gottlob Frege, trataron de demostrar que lamatemática se podía reducir a la lógica y por lo tanto era tan cierta como la simpleproporción "A o no A", y que en el fondo los enunciados matemáticos no eran sinomaneras tortuosas de decir «A o no A». Su esperanza era encontrar así una garantíade la certeza de los enunciados matemáticos, pero no acabaron de lograrlo del todo.Lo que llamaban lógica contenía ideas de la teoría de conjuntos que eranprecisamente tan problemáticas como los enunciados matemáticos que se seguían deellas.La respuesta convencionalista a la pregunta fue que la matemática alcanzaba sunecesidad por convenio, por fiat y por definición. Sus verdades no eran más quecuestión de convenio y, por tanto, no eran ni más ni menos oscuras que el hecho deque 5 pesetas sean un duro. Con un enfoque parecido, los filósofos formalistassostenían que los enunciados matemáticos no hacen referencia a nada, sino que sóloson sucesiones de símbolos gobernadas por reglas, exactamente igual que las reglasdel ajedrez rigen el movimiento de las piezas sobre el tablero. Que el movimientodel caballo sea dos cuadros en una dirección y uno en perpendicular es algonecesario pero no misterioso.La suficiencia con que dan por concluida la cuestión estas últimas posiciones esatractiva al principio, pero son absolutamente incapaces de explicar lo que el PremioNobel Eugen Wigner dio en llamar "la irrazonable eficacia de la matemática" en ladescripción de la realidad. Otros filósofos replican que la correspondencia entre lasestructuras matemáticas y la realidad física no es en absoluto "irrazonable". Es,según ellos, no muy distinta de la razonable correspondencia entre los distintossentidos biológicos (vista, oído, olfato, gusto y tacto) y los aspectos de la realidadfísica. La percepción matemática sería una especie de sexto sentido abstracto.De dónde viene la necesidad de la matemática y si los números son construccionesmentales, facetas de una realidad idealizada o sólo símbolos que se rigen por unas


reglas, son temas que han resonado bajo diversas formas a lo largo y ancho de todala historia de la filosofía. En la Edad Media, por ejemplo, los protagonistas de labatalla eran los idealistas, los realistas y los nominalistas, y sus posiciones acerca dela naturaleza de los universales como la Rojez y la Triangularidad eran en ciertomodo análogas a las que sostienen los intuicionistas, logicistas (o platónicos) yformalistas de hoy.Estos asuntos trascienden la matemática. Están íntimamente relacionados, porejemplo, con la distinción filosófica entre verdades analíticas y verdades sintéticas.Una proposición analítica es verdadera en virtud del significado de las palabras quela forman, mientras que la veracidad de una proposición sintética se da en virtud delmodo como son las cosas. (Un tipo especial de afirmaciones analíticas, laslógicamente válidas, son verdaderas en virtud del significado de las partículaslógicas <y>, "o", "no", "si..., entonces...", "algún" y "todo". Las afirmaciones queson verdaderas en virtud de las cuatro primeras de estas partículas lógicas se llamantautologías.)Así, "Si Pedro huele mal y es desdentado, entonces huele mal" es una proposiciónanalítica, mientras que "Si Pedro huele mal, entonces es desdentado" es sintética.Otros ejemplos del mismo antagonismo son "Los solteros son hombres no casados"frente a "Los solteros son hombres lujuriosos" y "Los ovnis son objetos voladoresque no han sido identificados" frente a "En los ovnis viajan unas criaturas verdes".Los filósofos cuentan las verdades matemáticas entre las analíticas y la mayoría delas demás entre las sintéticas, y, aunque no sea inamovible, esta distinción es unrecurso conceptual práctico. Cuando el pomposo médico de Molière dice que lapoción soporífera es eficaz gracias a su poder adormecedor, enuncia una frase vacíay analítica, y no de tipo objetivo y sintético.Al moverse en torno a cuestiones de verdad trascendente y certidumbre, la filosofíade la matemática tiene también una cierta resonancia con el pensamiento religioso.¿Por qué razón si no, un agnóstico convencido como yo habría empleado con tantafrecuencia palabras como "adivino", "sacerdotal", "cielo", "pureza" y "reverencia"en estas entradas? Las semejanzas son generalmente metafóricas, pero a veces lasmetáforas determinan las actitudes y los actos.Por último, sea cual sea el "istmo" al que uno se adhiera (o del que se proteja), losteoremas de incompletitud de Gödel barajaron los naipes filosóficos y obligaron atodas las partes a recomponer sus respectivos juegos. La existencia de proposicionesindemostrables indica, por ejemplo, que la verdad de las mismas no puede radicarúnicamente en su demostración a partir de los axiomas. Más aún, la mismaconsistencia de una teoría matemática es una de las proposiciones que no se puedendemostrar sino que simplemente hay que suponer (o aceptar por la fe, si se prefiereeste lenguaje).

4. El teorema de Pitágoras


Aunque sea discutible, suele decirse que los primeros matemáticos fueron Pitágoras(hacia 540 a.C.) y su antecesor Tales (hacia 585 a.C.). Existieron, por supuesto,


pueblos anteriores que poseían unos notables conocimientos matemáticos (el papirode Rhind del 1650 a.C. un filón impresionante de instrumentos de cálculo, entre losque se incluye el hábil uso de una notación rudimentaria para las fracciones), perolos egipcios, babilonios y demás pueblos tenían una actitud muy distinta hacia estamateria. Para ellos, la matemática sólo era una materia útil para fijar impuestos,calcular intereses, determinar el número de cuarteras de cebada que se necesitabanpara hacer una cierta cantidad de cerveza, calcular las áreas de los campos, losvolúmenes de sólidos, las cantidades de ladrillos y los datos astronómicos. Aunqueno cabe la menor duda de que se trata de técnicas importantes, que tristementesuperan la capacidad de demasiados ciudadanos contemporáneos, desde el tiempode Pitágoras y Tales la matemática ha significado algo más que mero cálculo.Nunca antes del siglo VI a. C. había considerado nadie la matemática como algo quetuviese una estructura lógica, como algo que admitiera una sistematización racional,o como un conjunto de conceptos ideales que podían aclararse mediante laaplicación de la razón humana. Tales, Pitágoras y sus contemporáneos y discípulosse dieron cuenta de ello. Nadie antes que ellos vio los números y las formasgeométricas como algo omnipresente, ni tampoco nadie pensó en términos decírculos teóricos y números abstractos en lugar de ruedas de carro y númerosconcretos. Tales y Pitágoras, sí. Nadie pensó en extraer las realidades máselementales y evidentes relativas a estos conceptos matemáticos y luego, a partir deestas realidades fundamentales, intentar obtener otras, teoremas menos evidentes,mediante la sola lógica. Coro: Tales y Pitágoras, sí. Ellos y los matemáticos griegosque les siguieron inventaron la matemática ( y la lógica) tal y como la conocemos;la fundaron como arte liberal y no como un simple mascar números.De Pitágoras nos han llegado pocos datos personales. Viajó mucho, fundó lasociedad mística de los pitagóricos que prohibía comer habas y cuyo lema era "Todoes número", y algunos dicen que acuñó las palabras "filosofía" ("amor a lasabiduría") y "matemático" ("estudioso"). Pitágoras y sus discípulos tuvieron unagran influencia sobre la matemática griega (es decir, sobre la matemática) y se lesatribuye haber descubierto gran parte de lo que 250 años después constituiría elprimero de los dos libros de los Elementos de Euclides, y en particular el teoremaque invariablemente lleva su nombre. (Véase la entrada sobre Geometría noeuclídea.) El teorema de Pitágoras es uno de los importantes e indispensables, y susdemostraciones más corrientes han sido ejemplos de belleza geométrica durante casiveinticinco siglos. Dice que en un triángulo rectángulo, el área del cuadradoconstruido sobre la hipotenusa (o lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma delas áreas de los cuadrados construidos sobre los otros dos lados. O escribiéndolo enuna forma más simbólica, si las longitudes de estos dos lados son A y B y lalongitud de la hipotenusa es C, entonces podemos asegurar que 222 BAC += [Heaquí una pista délfica para una demostración del teorema: hay dos maneras distintasde colocar cuatro triángulos rectángulos de lados A, B y C en el interior de uncuadrado de lado (A + B). Una de ellas deja al descubierto una superficie cuadradade lado C, y la otra deja sin cubrir dos porciones cuadradas de lados A y B,respectivamente.]Aunque Pitágoras probablemente habría tenido poco interés en ello, su teoremapuede emplearse para calcular distancias. Así, si Elvira está 12 kilómetros al norte


del Partenón y Guillermo está a 5 kilómetros al este de dicho edificio, podemoscalcular que, en línea recta, Elvira está exactamente a 13 kilómetros de Guillermo,pues 222 13125 =+ . De modo análogo se puede determinar la longitud de ladiagonal de un rectángulo o de una caja de zapatos. Expresado en el lenguaje de lageometría analítica (que no sería descubierta hasta 2000 años después) yconvenientemente generalizado, el teorema de Pitágoras es un instrumentomatemático potentísimo.No obstante, Pitágoras habría comprendido mejor la reacción estética del filósofoThomas Hobbes ante su teorema. Un amigo de Hobbes, John Aubrey, escribió queel filósofo tenía cuarenta años cuando por casualidad echó una ojeada a un libro degeometría. Estaba en la biblioteca de un caballero y se encontró con los Elementosde Euclides abierto sobre una mesa, y "era el teorema de Pitágoras. Hobbes leyó laproposición. “Por D____”, exclamó. (De vez en cuando juraría, a modo de énfasis.)“Por D___”, exclamó, “¿esto es imposible!” Y leyó la demostración, que hacíareferencia a tal otra proposición anterior, que a su vez leyó también. Esta le dirigió aotra anterior, y también la leyó. Et sic deinceps, que por fin se convenciódemostrativamente de la verdad. Esto hizo que se enamorara de la geometría".

He de confesar que la primera vez que estudié geometría me entró una chifladura dela misma clase (aunque resistí a la tentación de ir repitiendo "Por D___").Desgraciadamente, ya no se comunica a los estudiantes este inestimable legado quees el método axiomático, la deducción de proposiciones no intuitivas a partir deaxiomas evidentes. Demasiados textos de geometría parecen haber optado por unenfoque de la disciplina anterior al de los griegos, y prácticamente sólo ponen elacento en hechos desconectados, reglas empíricas y fórmulas prácticas. Pitágorashabría preferido comer habas a leer alguno de estos textos.

5. Pi


A BA

A

B

B

B A

C

CC

C

C

C

BA

B

BB

A

A

A

Cuadrado 1 Cuadrado 2

Las áreas de los cuadrados 1 y 2 son iguales. Las áreas de los cuatrotriángulos del cuadrado 1 y las de los mismos triángulos del cuadrado2 son iguales. Por tanto, el área restante interior al cuadrado 1 es igualal área restante interior al cuadrado 2. Esto es, 222 BAC += .


Una vez hice una investigación informal entre mis amigos y vecinos no matemáticospara ver cuántos de ellos sabían qué era pi. Casi todos sabían que tenía algo que vercon la geometría, y en concreto con los círculos, siendo esto último una explicaciónindudable de por qué algunos de ellos creían que se escribía "pie"3 (La letragriegaπ , en español pi, se usa para denotar el conocido número desde el sigloXVIII.) Unos pocos sabían que valía aproximadamente 22/7 (tengo que decir en suhonor que es una aproximación bastante buena), pero la mayoría daban estimacionesbastante alejadas (un eminente abogado llegó a decir con gran sonoridad que era5.42). Algunos decían que π era el área del círculo, mientras que la mayoríatrataron de disimular su ignorancia y/o mi impertinencia con una broma (el abogadome pidió que le recitara las estipulaciones de una ley de bancarrota). Sólo unospocos sabían que era el cociente de la longitud de la circunferencia entre eldiámetro. Esto es, π es igual a C/D, la circunferencia dividida por el diámetro.

Entre las estimaciones antiguas de π tenemos 3 (Antiguo Testamento: un problemainsuperable, según parece, para los autores bíblicos), 25/8 (babilonios), 256/81(egipcios), 22/7 (griegos), 355/113 (chinos, con seis cifras decimales correctas) y

10 (indios, una grata coincidencia). Una estimación mucho más precisa es3,1415926535897932384626433832795028841972, pero π es un númeroirracional (no se puede expresar como cociente de dos números enteros), lo queimplica que su expresión decimal tiene una longitud infinita y sin repeticionesperiódicas. Es un número trascendente, y esto significa que no es la solución deninguna ecuación algebraica. Como una de las principales constantes de lamatemática, π figura en muchas fórmulas importantes, y una fundamental es la delárea del círculo, que es π veces el cuadrado de su radio ( )2RA π= . Por contra, elvolumen de la esfera vale 4/3 por π por el cubo del radio ( )33/4 XRXV π= . Pi esindispensable para la formulación de las célebres leyes del electromagnetismo delfísico escocés James Clerk Maxwell y aparece también en otras muchas fórmulas ycontextos donde su presencia es más sorprendente, pues no tienen nada que ver concírculos ni esferas que expliquen su aparición. Por ejemplo,

...11/19/17/15/13/114/ +−+−+−=π

...6/15/14/13/12/11/16/ 2222222 ++++++=π

El problema de la aguja de Buffon, planteado por primera vez en el siglo XVIII porel conde de Buffon, tampoco tiene que ver con círculos y, sin embargo, su solucióndepende de π , y de hecho se usó una vez para calcular su valor. Supongamos conBuffon que tenemos un suelo hecho de tablas de madera de 6 centímetros deanchura. Supongamos también que tenemos una aguja de 6 centímetros y que ladejamos caer descuidadamente al suelo. ¿Cuál es la probabilidad de que la agujacaiga de modo que cruce una de las líneas que separan dos tablas adyacentes? O loque es lo mismo, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja al caer no esté contenida

3 La broma es intraductible. En inglés pi, el número, se pronuncia <pai>, igual quepie, pastel, cuya forma circular permite el chiste. (N. del T.)


en una sola tabla de madera? Me saltaré la deducción, pero se puede demostrar quela probabilidad es 2/π .

Este resultado se podría usar para hacer una estimación de π del modo siguiente:déjese caer la aguja al suelo 10 000 veces (ya sea porque uno se dedica a lamatemática experimental o porque está en la cárcel y no tiene nada mejor que hacer)y determínese que fracción de las veces cae sobre una línea. Supongamos que estoocurre en 6 366 casos. Nuestra estimación de la probabilidad de que la aguja caigasobre la línea será pues de 0.6366. (La aguja caerá sobre la línea con esta frecuenciaen el supuesto de que todos los puntos del suelo son igualmente probables y quetodas las orientaciones de la aguja son también equiprobables). Si igualamos estaprobabilidad a 2/π y despejamos π

De la ecuación resultante, llegamos a 3.1417 como estimación de π , que es unresultado bastante próximo al valor real. No hace falta decir que hay métodosincomparablemente mejores para determinar el valor de π .

El atractivo deπ reside, según mi opinión, en su universalidad. Como el Everest, esun desafío que siempre está ahí, frente a nosotros. Los últimos cálculos de π porsuperordenador (hacia 1990) dan más de mil millones de dígitos. Expresado en unsistema de numeración menos antropocéntrico, como el binario (en base 2), πpodría incluso servir, como han sugerido muchos relatos de ciencia ficción, paracomunicar nuestra sofisticación tecnológica y nuestra acogedora naturaleza euclídeaa seres de otra galaxia. Aun a riesgo de que los más anuméricos de ellos pudieraninterpretar la señal como una especie de partitura interestelar, el mensaje seríarecibido.

Y para terminar, un pequeño problema: imaginemos una cuerda que da la vueltaalrededor de la Tierra a ras de suelo sobre el ecuador. ¿Cuánta cuerda habrá queañadir para que la cuerda alargada dé la vuelta a la tierra un metro por encima delsuelo siguiendo también el ecuador?

La respuesta, que al principio sorprende, es que basta con algo más de seis metrosde cuerda. La explicación se basa en la fórmula del perímetro de la circunferencia:C=π D. Si el diámetro de la tierra es aproximadamente 13 000 kilómetros, lalongitud de la cuerda es π x13 000 kilómetros, que da aproximadamente 40 820kilómetros. Si estipulamos que la cuerda vaya ahora un metro por encima del suelosiguiendo el ecuador, estamos pidiendo que el diámetro aumente en dos metros. Portanto, la segunda circunferencia medirá π x(13 000 kilómetros + 2 metros), lo cualda (π x 13 000 kilómetros) + (π x 2 metros), es decir, aproximadamente igual a 40820 kilómetros más 6.28 metros. Así pues, sólo habremos de añadir 6.28 metros decuerda.


6. QED, demostraciones y teoremas


Un teorema es una proposición que se deduce, por aplicación únicamente de lalógica, a partir de los axiomas aceptados y de otras proposiciones demostradaspreviamente. Normalmente, sólo se da el nombre honorífico de teorema aproposiciones y enunciados que son importantes y principales. Una consecuenciainmediata de un teorema se llama corolario de dicho teorema. Los dibujos,diagramas y ejemplos pueden hacer que un enunciado sea creíble, pero lo único quelo convierte en teorema es una demostración detallada.Naturalmente esta no es más que la historia oficial. El autor de un teorema de unarevista de investigación matemática, especialista en, digamos, grupos de hemi-semi-demioperadores de orden exponencial primo, normalmente esboza unos argumentosque le convencen a él, a un par de otros expertos en hemi-semi-demi y al editor. Elresultado (los matemáticos suelen llamar “resultados” a los teoremas) es muyprobablemente válido, pero usted quizá no pondría la mano en el fuego por él.Tiene relación con esto una experiencia que he conocido en varios seminarios,coloquios y conferencias. El orador ha llenado la pizarra, o las transparencias, deuna densa cortina de definiciones, ecuaciones y demostraciones. Me he perdido,pero me he percatado de que un buen número de oyentes está asintiendo sabiamentecon la cabeza. En una interrupción de la charla mientras el orador borra la pizarra uordena sus transparencias, pregunto a uno de los que asentían con entusiasmosentado a mi lado qué significa uno de los símbolos cruciales. Por su tímidoencogimiento de hombros me queda claro que anda tan perdido como yo. Laconferencia continúa y él sigue con su cabeceo afirmativo. Observó que además delos que asienten están los que disienten. Hay también, supongo, unos cuantosmatemáticos cuyas especialidades son lo suficientemente afines a la delconferenciante para que no sientan la necesidad de asentir ni la tentación de disentir.Son los guardianes provisionales de la virtud matemática.En cualquier caso, tradicionalmente se escribían las letras QED al final de lademostración de un enunciado con objeto de subrayar que éste había alcanzado elrango superior de la teoremidad. Son las siglas de la frase latina “Quod eratdemostrandum” que significa “Lo que había que demostrar”, aunque a veces sirvatambién para otro fin: la intimidación. Para reaccionar interrogativamente a estastres letras, que se imprimen en mayúsculas y se pronuncian con una inflexión de lavoz, hace falta mucha confianza en uno mismo. Demasiada para las posibilidades dela mayoría, especialmente si se tiene en cuenta que la falta de confianza matemáticaes una condición bastante general en todas las edades. (De hecho no hace falta seranumérico ni matemáticamente ignorante para que a uno le intimiden así. La frase“Es trivial” con lo que un matemático eminente despacha la demostracióninexistente de un teorema tiene a menudo el mismo efecto intimidador sobre losestudiantes de doctorado que sobre los matemáticos profesionales.Actualmente la mayoría de los textos acostumbran a indicar que una demostraciónse ha acabado con una señal vertical en negro,▐, más funcional y menospretenciosa. Esta práctica fue introducida por el matemático norteamericano Paul


Halmos y es preferible, pues sirve igual que el QED para indicar el final, sin esaconnotación intimidadora. ¿Se puede acaso pronunciar ▐ con una inflexión en lavoz? No obstante, yo sostengo que no habría de renunciar al empleo del QED enocasiones señaladas, como los principales teoremas, pues la locución confiere aldemostrador una sensación más solemne de satisfacción y finalidad que el un pocoplebeyo ▐. Al fin y al cabo, hay un limite a lo que uno pude hacer para evitar laintimidación.La lógica matemática ha cambiado una barbaridad en los últimos 2500 años. Lossilogismos de Aristóteles llevaron a las clasificaciones medievales de losrazonamientos, que a su vez llevaron a las álgebras de Boole de proporciones. Loslógicos de fines del siglos XIX y del siglo XX, como Frege, Peano, Hilbert, Russelly Gödel, han rigorizado y generalizado enormemente las lógicas clásica y medievaly han creado el potente aparato de la moderna lógica de predicados. Sin embargo, laesencia de la lógica y el atractivo cautivador de la demostración matemática siguenahí y se reflejan en las tres letras QED. Significan abreviadísimamente, que elteorema se sigue necesariamente de las hipótesis y que (si se ha hecho bien) nada ninadie puede cambiarlo.Una última cosa sobre las demostraciones. Mucha gente piensa que sólo sonaceptables aquellas demostraciones que se expresan en forma simbólica y utilizantoda la parafernalia de la lógica formal. Sin embargo, las más de las veces talesdemostraciones no hacen sino embrollar las cosas. Con mucho es preferible unrazonamiento verbal claro y convincente. Véase por ejemplo, la demostración deque 6 es el menor número de invitados necesarios que garantizan que al menos 3 deellos se conocen o que 3 de ellos no se conocen en la entrada sobre Combinatoria, ola de la propiedad del punto fijo del escalador en la entrada sobre Topología.

7. Simetría e invariancia


La simetría y la invariancia no son tanto temas matemáticos como principiosorientadores de la estética matemática. Desde la preocupación de los griegos por elequilibrio, la armonía y el orden hasta la insistencia de Einstein en que las leyes dela física habían de ser invariantes para todos los observadores, estas ideas haninspirado buena parte del mejor trabajo en matemática y física de la matemática.La simetría y la invariancia son dos conceptos complementarios. Algo es simétricoen la medida en que es invariante bajo (o no cambia por) algún tipo detransformación. Para ilustrarlo, consideremos un círculo. Podemos girarlo, o haceruna reflexión con respecto a uno cualquiera de sus diámetros y conserva la mismacircularidad. Su simetría consiste en su invariancia bajo estos cambios. Perosupongamos ahora que lo aplastamos un poco (por ejemplo, dibujando el circulosobre un trozo de madera y comprimiéndola). Observamos que toma una formaelíptica. Ya no se cumple que dos cualesquiera de sus diámetros sean iguales; unasson más largas y otras son más cortas. Esta propiedad del círculo se ha perdido, perootras no. Por ejemplo, el centro de la figura achatada sigue siendo el punto medio de


cualquier diámetro, sea cual sea la longitud de éste. Esta última propiedad esinvariante aun bajo una transformación tan severa como la de este tipo y refleja puesuna clase de simetría mas profunda.Observaciones como ésta sugirieron al matemático alemán del siglo XIX FelixKlein la idea de que los teoremas que atañen a las figuras geométricas podíanclasificarse según siguieran o no siendo válidos cuando las figuras se someten adistintos cambios y transformaciones. Con mayor generalidad, dado un ciertoconjunto de transformaciones (movimientos rígidos en el plano, compresionesuniformes, proyecciones). Klein preguntaba que propiedades de las figuraspermanecen invariantes bajo estas transformaciones. El cuerpo de teoremas relativosa estas propiedades es considerado como la geometría asociada a este conjunto detransformaciones.La geometría euclídea se puede considerar como el estudio de las propiedades queson inavariantes bajo movimientos rígidos: rotaciones, traslaciones y reflexiones.Por contra se entiende por geometría proyectiva la que se ocupa de una clase menorde propiedades que son invariantes bajo todos los movimientos rígidos más lasproyecciones. (La proyección de una figura es, más o menos, la sombra queproyecta cuando se ilumina por detrás. La proyección de un círculo podría ser algúntipo de elipse, por ejemplo) Y la topología es la disciplina que se dedica a la claseaun menor de propiedades que son invariantes bajo las transformaciones anteriores,y además las torsiones, contracciones y estiramientos mas severos.La longitud y el ángulo son propiedades euclídeas (son conservados por losmovimientos rígidos), pero no son invariantes bajo transformaciones proyectivas.La linealidad y la triangularidad son propiedades proyectivas (son conservadas porlas transformaciones proyectivas, pues las proyecciones transforman siempre lasrectas y los triángulos en otras rectas y otros triángulos), pero no son invariantesbajo transformaciones topológicas. Y la conectividad y el número de agujeros deuna figura son propiedades que se mantienen a pesar de las torsiones y losestiramientos.Esta idea de que invariancias profundas indican simetrías mas sutiles es muypotente también en ámbitos distintos del puramente geométrico. Las formas de artesimétricas muchísimo más abstractas que, pongamos, el canon griego o la Alhambrade Granada son (en un sentido pickwickiano al menos) el objeto del arte moderno.La teoría especial de la relatividad de Einstein (estuvo pensando en llamarla teoríade los invariantes) fue fruto de su convicción de que las leyes de la física tenían queser invariantes bajo un grupo de transformaciones descubierto por el físico holandésH.A. Lorentz.Una consecuencia social del interés de la matemática por las verdades duraderas yeternas y esta estética de la simetría y la invariancia es que, en su forma más pura, lamatemática mantiene necesariamente una cierta reserva hacia el mundo real de lacontingencia caprichosa y la idiosincrasia humana. Esta aversión por lo personal semanifiesta incluso en los libros de matemática aplicada y en los de divulgación.Recuerdo haber recibido una carta de un matemático que me decía que les habíangustado muchos mis libros, pero que no eran matemática porque usaba en ellos lapalabra “yo” sin ninguna limitación. Tenía en parte razón, desde luego, pero es tristeque tuviera que disociar explícitamente el haber disfrutado de los libros y sudevoción por la matemática pura. O al menos así lo pienso yo.


La estrategia del matemático consistente en buscar la simetría y la invariancia nopuede fracasar, pues el desorden total a todos los niveles del análisis es unaimposibilidad lógica. Sin embargo, el descubrimiento de lo asimétrico, lo variable ylo personal no puede hacer daño a nadie.

8. Topología


Según Woody Allen, las falsas manchas de tinta, hechas de gomas, teníanoriginalmente un diámetro de 11 pies y no engañaban a nadie, hasta que un físicosuizo “demostró que un objeto de un tamaño dado podía reducir sus dimensionessimplemente “encogiéndose”, y este descubrimiento revolucionó el negocio de lasmanchas de tinta de broma”. Este pequeño cuento se podría interpretar como unaparodia de la topología, un tema cuyas ideas pueden parecer a primera vista untanto obvias. Se trata, con todo, de una rama de la geometría que se ocupaúnicamente de aquellas propiedades básicas de las figuras geométricas quepermanecen invariantes cuando las retorcemos y distorsionamos, las estiramos ycontraemos, o las sometemos a cualquier “deformación” siempre y cuando no lasrasguemos ni la desgarremos.En vez de dar una definición técnica de “deformación” seguiré con algunasobservaciones y ejemplos más. El tamaño no es una propiedad topológica, puescomo señaló el físico Woody Allen, las esferas (o las manchas de tinta de goma) sepueden hacer mayores o menores por dilatación o contracción sin necesidad dedesgarrarlas, simplemente agrandándolas o encogiéndolas (pensemos en un globoque se hincha o se deshincha). Tampoco la forma es una propiedad topológica, puesun globo esférico (o una mancha de tinta con una forma rara) puede deformarse enun elipsoide, un cubo e incluso darle forma de conejo sin tener que desgarrarlo.Como precisamente las propiedades topológicas son como las propiedades de unamembrana de goma, que no cambian al estirarla, comprimirla o deformarla, latopología ha sido llamada también geometría de la “membrana de goma”. (Estaexpresión me recuerda a mi profesor de Cálculo del Instituto de Milwaukee, que fuea un cursillo de verano sobre “matemáticas moderna” y a partir de entonces atribuyótodas las dificultades con que se topaban sus estudiantes a la ignorancia de lageometría de la membrana de goma. Se pasaba el tiempo estirando una gran cinta degoma, como si esto ilustrara de alguna manera lo incontrovertible de su afirmación.)Si una curva cerrada en el espacio, pongamos un trozo de hilo, tiene o no un nudo esuna propiedad topológica de la curva en el espacio, Una propiedad topológica de lascurvas en el plano es que una curva cerrada divide el plano que la contiene en dospartes –la interior y la exterior (teorema de Jordan) –. El número de dimensiones deuna figura, el hecho de tener o no borde, y en este caso de qué clase es, son tambiénpropiedades topológicas. (Véase la entrada sobre Cintas de Möbius yorientabilidad.)Una cuestión que también tiene su importancia es el género de una figura: el númerode agujeros que tiene o, como diría un carnicero, el máximo número de cortes quepodemos hacerle sin partirla en dos trozos. Una esfera tiene género 0 pues carece de


agujeros y basta un corte para romperla en dos pedazos, Un toro (una rosquilla o unafigura en forma de neumático) tiene género 1 pues tiene un agujero ( el agujero de larosquilla) y se puede hacer un corte sin romperlo en dos pedazos. Las figuras degénero 2, como unas gafas sin los cristales, tiene dos agujeros y se les pueden hacerdos cortes sin romperlas en dos partes separadas. Y así sucesivamente para lasfiguras de un género mayor,Las esferas, piedras y cubos, que tienen todos ellos género 0 son topológicamenteequivalentes. Para continuar con otro ejemplo de la misma índole miremos eldesayuno con los ojos de un topólogo. Henri Poincaré uno de los fundadores de latopología (y de muchas cosas más), quizás habría observado que una rosquilla y unataza de café, ambas figuras de género 1, son topológicamente equivalentes. Paraverlo, imaginemos una taza de café hecha con arcilla. Aplanemos el cuerpo de lataza y agrandemos el tamaño del asa, estrujando la arcilla para que pase del uno a laotra. El agujero del asa se convierte así en el agujero de la rosquilla y podemospercibir fácilmente la equivalencia topológica. Los seres humanos tienen también, almenos grosso modo, género 1. Somos topológicamente equivalentes a las rosquillas,y nuestro canal digestivo/excretor correspondería al agujero de la rosquilla. (Peroesto último tiene menos encanto que la inútil especulación del desayuno.)Estas ideas tienen varias aplicaciones, pero en su mayoría son internas a la propiamatemática. Frecuentemente en el trabajo teórico, por ejemplo, es importante saberque existe una solución pero no hace falta tener un método para encontrarla. Parahacerse una idea de esos llamados teoremas de existencia, pensemos en un escaladorque empieza su ascenso a las seis de la mañana de un lunes y llega a la cumbre amediodía. Y empieza el descenso el martes por la mañana a las seis y llega al pie amediodía. No suponemos nada más acerca de si va rápido o lento en su ascenso ydescenso de estos dos días. Podría, por ejemplo haber subido a un ritmo lento,descansando a menudo, en su ascenso al lunes, y, después de paseardespreocupadamente cerca de la cumbre el martes por la mañana, haber bajadoliteralmente a mata caballo, incluso cayendo los últimos 300 metros. La pregunta es¿podemos estar seguros de que, independientemente de cómo suba o baje, habránecesariamente un instante entre las seis de la mañana y el mediodía en el cual elescalador estará exactamente a la misma altura, tanto a la subida como a la bajada?La respuesta es sí, y la demostración es clara y convincente. Imaginemos el ascensoy el descenso, en todos sus detalles, realizados simultáneamente por dosescaladores. Uno empieza en el pie y el otro en la cumbre y ambos parten a la seisde la mañana, imitando lo que es el escalador original hizo el lunes y el martes,respectivamente. Está claro que estos escaladores se cruzarán en algún punto delcamino y que este instante los dos estarán a la misma altura. Como no hacen sinoreconstruir los pasos del escalador original, podemos concluir con toda seguridadque éste estaba a la misma altura a la misma hora de los dos días sucesivos.


Un ejemplo menos intuitivo de teoremas de existencia es el resultado de quesiempre hay un par de puntos diametralmente opuesto (antipodales) sobre lasuperficie de la Tierra que tienen la misma temperatura y la misma presiónbarométrica. Estos puntos van variando y no tenemos manera de encontrarlos, peropodemos demostrar que existen siempre. No se trata de un fenómeno meteorológico,sino matemático. Otro ejemplo: tomemos un pedazo de papel rectangular ycoloquémoslo plano en el fondo de una caja, poniendo cuidado en que todo el fondoquede perfectamente cubierto. Si ahora arrugamos el papel y hacemos una pelotacon él y lo dejamos en la caja, podemos estar topológicamente seguros de que almenos un punto del papel esta precisamente en la vertical del mismo punto delfondo de la caja que cubría antes de arrugar el papel. La existencia de dicho puntofijo es segura.Teoremas como estos a veces nos llevan a resultados concretos y prácticos encampos como las teorías de grafos y redes, que se ocupan, entre otras cosas, deidealizaciones matemáticas de las redes de calles y autopistas. Pero, como ya dije,contribuyen más frecuentemente a avances teóricos en otras ramas de la matemática.La topología algebraica, por ejemplo, usa ideas topológicas y algebraicas paracaracterizar diversas estructuras geométricas, mientras que la topología diferencialemplea técnicas de las ecuaciones diferenciales y de la topología para estudiar tiposmuy generales de variedades (superficies) de muchas dimensiones. Y la teoría decatástrofes, una subdisciplina de la topología diferencial, se ocupa de la descripcióny clasificación de discontinuidades –pliegue, cúspide, mariposa, ... –. La topologíaes mucho más que las manchas de tinta de broma.

9. Cinta de Möbius y orientabilidad


Tome una lata de atún y quítele la etiqueta con cuidado. Es una larga cintarectangular impresa por un lado y blanca por el otro. Si damos medio giro con estabanda de papel y pegamos sus dos extremos, procurando que la cara blanca encajeperfectamente con la cara exterior impresa, obtenemos una cinta de Möbius, famosapor sus extrañas propiedades topológicas.

28° C765 mm Mg

28° C765 mm Mg

Siempre hay un par de puntos antipodales que tienenexactamente la misma temperatura y la misma presión


La principal de estas propiedades es que la cinta de Möbius tiene una sola cara .Hay un cambio continuo de blanco a impreso y otra vez a blanco. Dicho de otromodo, puedo afirmar que ni usted ni nadie podría ganar los cien millones depesetas que alguien le prometiera por pintar una cara de la cinta de Möbuis derojo y la otra de azul. Si se empieza en rojo en cualquier punto de la cinta y sepinta sin parar, se llega irremediablemente al mismo punto de partida habiéndolapintado toda de rojo.Para entender otra extraña propiedad de esta figura, imaginemos una línea que larecorra por el medio. Si cortamos siguiendo dicha línea parece como si la cinta deMöbius de hubiera de romper en dos partes separadas. Pues no. El resultado no esotro que una cinta de Möbius más larga. Si en vez de ello cortamos la cinta por unalínea paralela al borde pero que diste de él un tercio de su anchura en lugar de lamitad, el resultado son dos cintas enlazadas, una de ellas de Möbius.La cinta de Möbius de una sola cara es una de las más conocidas de un granconjunto de aberraciones topológicas. (Véase la entrada sobre Topología.) Aunqueno tenga aplicaciones importantes ni se manifieste en la naturaleza ( al menos porel momento), su sorprendente simplicidad resulta atractiva. Simple como es, resultanotable que esta curiosidad no se descubriera antes, pero el honor de sualumbramiento pertenece al astrónomo alemán del siglo XIX, A.F. Möbius.Möbius descubrió también que no hay ninguna manera consistente de asignar unaorientación a la cinta. Para verlo mejor, imaginemos un objeto bidimensional enforma de mano y hagámoslo deslizar alrededor de una cinta de Möbius. Recordemosque la cinta de Möbius ideal no tiene grosor y, por tanto, la mano será visible desdeambas “caras” de la cinta. Observaremos que, al regresar al punto de partida, laorientación de la mano está invertida. Una mano izquierda se convierte en derecha yviceversa. Los físicos han especulado con la posibilidad de que el universo fuera“no orientable” como una cinta de Möbius (cósmicamente disléxico, si lo prefieren),de modo que, después de hacer un largo viaje cósmico, un astronauta pudieraregresar a la Tierra con el corazón en el lado derecho.El concepto de orientación depende del número de dimensiones. Si uno recorta dospedazos de cartón en forma de mano, una derecha y una izquierda, y los hacedeslizar sobre el suelo, no hay manera de hacerlos coincidir. Pero si levanta una delas “manos” a la tercera dimensión, basta con girarla para hacerla coincidir con laotra. La cinta de Möbius también tiene esta propiedad, pero de una manera másretorcida que refleja su peculiar forma de sumergirse en el espacio tridimensional.Un análogo tridimensional de la cinta de Möbius es la botella de Klein, que no tieneinterior. Si se corta por la mitad se obtienen dos bandas de Möbius, cada una de lascuales es, imagen especular de la otra. Para hacerse una idea visual de la botella deKlein, que sólo se puede realizar en un espacio de cuatro dimensiones, hay querecurrir a los trucos normales: Mirar secciones de la figura de dimensión menor(bidimensionales o tridimensionales) y examinar sus proyecciones o sombras. Losmismos trucos valen también para figuras de más dimensiones, pero al cabo de unrato uno abandona las visualizaciones y recurre a trabajar con estas figuras de unamanera puramente formal, tratando las dimensiones como simples archivosmatemáticos. En este sentido, un punto en un espacio de cinco dimensiones, porejemplo, es una sucesión ordenada de cinco números, y una “hipersuperficie” es una


colección de esos puntos. La no orientabilidad de tal superficie se convierte enciertas relaciones algebraicas entre sus puntos.


6. Autoevaluaciones

Introducción

Ya sabemos de qué se trata la autoevaluación: Comprobar uno mismo su avance en laadquisición de conocimiento y habilidades. Y esto de la evaluación no podía faltar en estematerial.

La autoevaluación no es algo que desconozcamos. Cuando aprendimos a andar en bicicletao en patines no fue necesario que alguien nos dijera que ya lo habíamos logrado. Cuandotodavía nos caíamos y sufríamos uno que otro raspón, sabíamos dos cosas: una, todavía nolográbamos dominar el arte de andar sobre ruedas y, la segunda, para lograrlo debíamosseguir practicando.

Hay ocasiones en que nuestra autoevaluación es complaciente. Encontramos motivos parajustificar nuestras deficiencias y en lugar de trabajar para superarlas, nos paralizamos con lajustificación que damos.

También llega a ocurrir que en la escuela la autoevaluación queda casi olvidada. Tal vez elsaber que periódicamente debemos ser evaluados por nuestros profesores nos lleva aolvidarnos de la evaluación propia. Pero si lo que aprendemos en la escuela nos va a ser útilpara nuestras diversas actividades dentro y fuera de ella, la autoevaluación es necesaria,pues de otra forma siempre estaremos esperando hasta que alguien nos diga que ya somoscompetentes en algo para atrevernos a usarlo. Lamentablemente esto pasa con ciertafrecuencia en matemáticas. Esperamos que el profesor nos diga no sólo que ya dominamosun tema sino además cuándo podemos usarlo.

En este material te proporcionamos por cada unidad un cuestionario para que te sirva comoautoevaluación. No es, desde luego, la única forma de autoevaluarte, tú mismo puedesdiseñar otras. De este cuestionario se dan las respuestas para que las compares con lastuyas.

Unas observaciones finales sobre estos cuestionarios:• No los desperdicies intentando trabajarlos antes de que hayas concluido el estudio de

una unidad.• No resuelvas por partes cada cuestionario. Cuando decidas resolver uno de ellos es

porque dispones del tiempo y condiciones necesarias para resolverlo completo.• No consultes la respuesta una por una, justo cuando acabas de resolver o responder lo

que se te pide, termina el cuestionario y luego compara los resultados.• Trata de no ser complaciente cuando encuentras errores en tus respuestas. No basta que

digas que ya te diste cuenta de tus errores. Es necesario que sigas trabajando yconfirmar al hacerlo o practicarlo que ya lograste adquirir los conocimientos ohabilidades requeridas.


Además de una evaluación por cada unidad, incluimos una muestra de exámenes ordinariosy extraordinario de algunos CECyT para que tengas una idea del tipo de preguntas quesuelen aparecer en el examen ordinario que representa el 60% de cada calificaciónordinaria. El examen extraordinario representa la calificación del curso y sustituye elpromedio de las calificaciones de los períodos ordinarios si es mayor que este promedio.


Autoevaluación de la Unidad 11. Escribe un ensayo breve sobre el modelo exponencial. Incluye por lo menos un mapa

conceptual.

2. En caso de ocurrir un accidente en una planta núcleo-eléctrica, el plan de emergenciaindica que las personas que se encuentren en un radio de 160 kilómetros deberán doblarun par de pañuelos 16 veces cada uno e introducirlos en las fosas nasales. Si estaoperación fuese físicamente posible, y se supone que el pañuelo tiene tres décimos demilímetro de espesor, calcula la altura que alcanzan estos tapones nasales.

3. Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada. Escribe losnúmeros que aparecen en las expresiones como potencias de primos y aplica las leyes delos exponentes para encontrar lo que se pide.

log13(169)=L;

L=

log6(N)=3;

N=

logb(125)=3;

b=

log2(N)=8;

N=

logb(9)=21 ;

b=

log625(5)=L;

L=

log10(10000)=L;

L=

4)(log52 =N ;

N=

logb(9)=21 ;

b=

4. Resuelve las ecuaciones siguientes.

3x=60; x= 2(x+2) =7(x-2); x=

log(x2)=3; x= e-x=6; x=

log(x2+2x)=1; x= ; x=

log(x+15)+log(x)=2; x=


22x+32=12*2x; x= ; x=

5. Despeja t en cada una de las ecuaciones siguientes.

)1(t

LR

eRVI

−−=

t=

rraS

t

−−

=11

t=

( )

+−−= 9.1100302.32

1001log100 37.0WHN

H=

6. El radio tiene una vida media de 1620 años. ¿Cuánto tardará el 75 % de una muestra endecaer?

7. Se requiere un cuarto de acre de tierra para proporcionar alimento a una persona. Elmundo contiene 10 mil millones de acres de tierra cultivable. Si suponemos que lapoblación continúa creciendo a una tasa de 1.6% al año, la población t años después de2000 está dada por P(t)=6e(0.016t) miles de millones de personas. ¿Cuándo dejaría de sersuficiente la tierra cultivable para alimentar a la población del mundo?

Justifica tu respuesta.

8. Se acordó que las tarifas de energía eléctrica, para no aumentarlas súbitamente, seincrementarán 12% cada mes.En una hoja de papel milimétrico o cuadriculado haz una tabla, con su gráficacorrespondiente, de lo que pagará una empresa chica durante los próximos dos años sitiene un consumo mensual aproximadamente constante. Al principio del año pagó 5500pesos.

Escribe la función que da sus pagos (y) en función del tiempo (x).¿En cuánto tiempo se duplicarán sus pagos?¿En cuánto tiempo se triplicarán sus pagos?


9. Una pelota cae verticalmente desde la cubierta de una mesa de 1.5 metros de altura yrebota, verticalmente también, hasta alcanzar el 85% de la altura desde la que cayó,repetidamente hasta quedar en reposo.

Determina en qué rebote comienza a alcanzar alturas menores a 9 centímetros.


Autoevaluacion de la Unidad 2

1. Escribe un ensayo breve sobre el papel de la demostración en el estudio de la Geometría.Incluye por lo menos un mapa conceptual.

2. Construye cuatro triángulos de lados 5, 6 y 7 cm. En el primero construye elcircuncentro. En el segundo, el incentro. En el tercero, el ortocentro. En el cuarto, elbaricentro. Debajo de cada construcción escribe los pasos que seguiste para localizar elpunto correspondiente y sus propiedades. Las instrucciones deben ser losuficientemente precisas para que una máquina pueda seguirlas.

3. La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo regular es 1080°.¿Cuántos vértices tiene este polígono y cuántas diagonales? ¿Cuánto mide cada ángulocentral, formado uniendo dos vértices consecutivos con el centro?

4. Una banda pasa por dos poleas de 10 cm y 25 cm de radio, respectivamente. La distanciaentre sus centros es de 75 cm. Calcula la longitud de la banda.

75 cm

10 cm25 cm

5. Un fabricante quiere comercializar sus lápices en un empaque novedoso que contengatres piezas. En la figura se muestra un corte transversal de la caja, que tiene forma deprisma triangular.

Cada lápiz tiene un diámetro de 1.2 cm y 18 cm de largo. ¿Cuánto debe medir cada lado de la base del prisma? ¿Cuál es el volumen de la caja? ¿Cuál es el volumen desocupado en el interior de la caja?


6. El razonamiento en la vida cotidiana: Tres aspirantes a un puesto directivo sonindistinguibles, como suelen serlo, tanto en las pruebas psicotécnicas como en lascalificaciones de sus virtudes administrativas. «¿A quién elegir?» se pregunta elencargado de la selección. Después de reflexionar, decide someterlos a una pruebadefinitiva: Les muestra tres estrellitas plateadas y dos doradas. «Colocaré una de estasestrellitas en la frente de cada uno. El primero que me diga de qué color es su estrellita,obtendrá el puesto.», les dice, apaga la luz, le pega una estrellita a cada uno en su nomuy amplia y respectiva frente, guarda las estrellas sobrantes, fuera de la vista de losaspirantes, y vuelve a encender la luz. Cada embrión de director ve que los otros dostienen estrellitas plateadas, pero él puede tenerla dorada o plateada. Sin embargo, a lospocos segundos, el más picudo, o el menos obtuso, se levanta y dice «yo tengo estrellitaplateada, ¿dónde está mi oficina?, ¿quién es mi secretaria?, . . .»Analiza el argumento del ahora director, identifica sus datos y establece como llegó a suconclusión.Haz un esquema de la estructura de su razonamiento. Explica.Inventa una situación que requiera un razonamiento parecido.

7. A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de48 m de longitud, que consta de 120 peldaños distribuidos uniformemente. Al apoyar laescalera sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se encuentra a30 cm del suelo.¿Qué altura del edificio alcanzará la escalera?Si el fuego se halla en el sexto piso y cada piso tiene 6 m de altura, ¿se podrá rescatar alos enfermos que allí se encuentran? Explica.Si inclinan la escalera hasta que el primer peldaño se encuentre a 36 cm del suelo, ¿quéaltura alcanzará la escalera?

8. Con los datos de la figura:

A B

C

D

CD = 6.300 cm

DB = 2.100 cm

Calcula:La hipotenusa.El cateto menor.El perímetro de ABC.El ángulo opuesto al catetomayor.El área de ABD.


9. En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12.¿Cuánto mide la altura con respecto a la hipotenusa?¿Cuánto mide la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa?¿Cuánto mide el ángulo opuesto al cateto mayor?¿Cuál es el área del círculo circunscrito al triángulo?

10. Una joven quiere cambiar el foco de un farol situado en una pared a 5.4 m de altura, conla ayuda de una escalera de 3.5 m de longitud. Si la joven puede alcanzar una altura de2.25 m con el brazo extendido, ¿a qué distancia máxima de la pared ha de colocar el piede la escalera para lograr su objetivo?

11. En un triángulo equilátero de 5 unidades de lado se inscribe una circunferencia y secircunscribe otra circunferencia.

5 u

5 u 5 u

¿Cuál es el área de la corona circulardeterminada por ambas circunferencias?¿Cuál es la razón del área de lacircunferencia circunscrita al área de lacircunferencia inscrita?

12. Llena la tabla siguiente si cada renglón se refiere al mismo arco de una circunferenciadada.

Arco engrados

Radio Ángulocentral

Longituddel arco

Ánguloinscrito

Arco enradianes

108 15

32 120

13. Un parque de forma rectangular mide 1200 m de longitud y 900 m de anchura. Alparque lo atraviesan dos paseos de igual anchura que son perpendiculares. Calcula laanchura de los paseos si el área total de estos paseos es 151875 m2.

14. Calcula las áreas que se piden.


P R

S

QT

U

W

V

Las diagonales del rombo de lafigura miden 15 y 36 unidades,respectivamente.¿Cuál es el área del círculo inscrito en elrombo?

Las diagonales del trapecio rectángulode la figura miden 39 y 45 unidades,respectivamente y su altura, 36unidades.¿Cuál es el área del trapecio?

15. Demuestra que si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo ABC,entonces el área de cada uno de los triángulos AID, BEF y CGH es igual al área deltriángulo ABC.

AC

IH

B

G

F

E

D

16. Un pastizal en forma de triángulo equilátero está cercado. En un punto de la cerca se vaa amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área delpastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro?

17. En la figura se muestran las tres primeras etapas del árbol pitagórico. Cada etapa constade un triángulo rectángulo isósceles y los cuadrados de sus lados. El lado del cuadradomayor mide 80 unidades.


¿Cuál es el área de las dos primeras etapasdel árbol?¿Cuál es el área de las cuatro primerasetapas del árbol?

18. En el triángulo rectángulo de la figura aparecen las medidas de sus catetosCalcula el área de la lúnula menor.Calcula el área de la lúnula mayor.Calcula el área del triángulo.

19. Una cafetera de base circular se reduce uniformemente hasta la tapa que tiene un radioque mide la mitad del de la base. A la mitad de la altura de la cafetera hay una marcaque dice «dos tazas». Si la cafetera se pudiera llenar hasta el borde ¿cuántas tazas decafé contendría?

20. Un depósito de agua tiene como sección un trapecio rectángulo de bases 20 m y 16 m, yuna altura de 10 m. Si tiene 3 m de profundidad, ¿cuántos litros puede almacenar?

21. Un pedestal tiene forma triangular con lados 5, 7 y 7 metros, tiene alrededor un jardíncircular. ¿Cuál es el área del jardín?


Autoevaluación de la Unidad 3

1. Escribe un ensayo breve sobre las aplicaciones de la Trigonometría. Incluye por lomenos un mapa conceptual.

2. Llena la tabla y escribe un párrafo que describa las regularidades que advertiste. Explica.

PQ= ST= PU= VZ=

=PQQR

=PSST

=PUUV tg(WPZ)=

=PRQR

=PTST

=PVUV sen(UPV)=

=PRPQ

=PTPS

=PVPU cos(QPR)=

3. Una escalera de 26 metros está apoyada en un edificio alcanzando una altura de 24metros.¿Cuánto se tiene que separar el extremo inferior de la escalera para que el extremo superiordescienda un metro?¿Cuánto tiene que disminuir el ángulo que forma la escalera con el piso para que la escaleradescienda un metro?¿Cuánto se tiene que separar el extremo inferior de la escalera para que el extremo superiordescienda la misma distancia?

4. En la figura, un rayo de luz de la lámpara L se refleja en un espejo al punto 0. ¿Cuántomide θ?

60 cm

30

10

0

L

θθ

espejo x


5. Dos automóviles parten de la intersección de dos carreteras rectas y viajan a lo largo deellas con velocidades de 85 km/h y 115 km/h, respectivamente. El ángulo que formanlas carreteras es de 72°.¿Qué distancia separa a los automóviles después de 30 minutos?¿Cuánto tiempo después estarán separados por 100 km?

6. Demuestra las identidades siguientes:( ) ( ) ( ) ( ) ( )ααααα 57924 2 SecSecSecSecTan +−=

( ) ( ) ( )ααα TanSecSen =( ) ( ) ( ) ( )αααα TanSecTanTan −= 23

( ) ( ) ( )ααα 481

8122 CosCosSen −=

( ) ( ) ( ) ( )αααα 4222 SenCosSenSen =−

7. Resuelve las ecuaciones siguientes para 0<x<2π4cos2(x)=3-4cos(x)7sen2(x)-4=0tg2(x)-5tg(x)+6=0

8. Resuelve el sistema siguiente si 0<x<0.5 π. Incluye las gráficas.y=2sen(x)y-3=4cos2(x)

9. Deduce los valores exactos de las seis razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45°y 60° a partir de unas construcciones adecuadas.

10. Un canal de desagüe se construirá con hojas de aluminio de 30 cm de ancho. Losextremos de 10 cm, a cada lado de la parte central, también de 10 cm, se doblarán haciaarriba un ángulo x.

10 cm10 cm 10 cm

x x

Escribe el área de la sección transversal del canal como una función del ángulo x.Encuentra el ángulo que permitirá tener un área mayor, de lo que depende el contra conun volumen de agua mayor.

11. Deduce las fórmulas para calcular el lado, la apotema, el perímetro y el área de unpolígono de n lados inscrito en una circunferencia de radio R.

12. Dos postes verticales cuyas alturas son a y b subtienden el mismo ángulo α desde unpunto que está en la línea que une sus pies. Si subtienden ángulos β y γ desde un puntodel plano horizontal desde el cual la línea que une sus pies subtiende un ángulo recto,demuestra que


(a+b) 2ctg2α = a2ctg2β + b2ctg2γ

13. Se transporta horizontalmente una escalera de longitud L por la esquina de un pasillo de1 metro hacia un pasillo de 1.5 metros.

L

x

Escribe la longitud de la escalera L como una función del ángulo x.¿Cuál es la longitud máxima que puede tener la escalera para pasar por esta esquina?


Muestras de Exámenes Ordinarios y Extraordinario

Primer Examen Ordinario de Geometría y Trigonometría. (Tipo A)

1. Imagínate una tira de papel larga y estrecha, extendida ante ti sobre la mesa, de izquierdaa derecha. Coge el extremo derecho y colócalo sobre el izquierdo. Ahora aplasta la tirasobre la mesa aplanándola, de manera que quede plegada por la mitad y presente undoblez. Repite toda la operación dos veces más sobre la tira doblada. ¿Cuántos doblecesse producirán? ¿Cuántos dobleces habrá después de repetir la operación diez, doce, veintey cien veces en total?

2. Dibuja la gráfica de la función y=3x, sin tabular.

3. Dibuja la gráfica de la función y=log2(x), sin tabular.

4. Resuelve para x la ecuación siguiente: 9(5x+2)=74-x

5. ¿Cuánto tiempo es necesario invertir $600 al 12% de interés compuesto anual pararecibir un total de $2500?

6. El número de bacterias en un cultivo creció de 100 a 400 en 12 horas, ¿cuántas bacteriasestarán presentes en 18 horas?


Segundo Examen Ordinario de Geometría y Trigonometría. (Tipo A)

1. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular dentro del cual se pueden trazar 35diagonales? (0.5 puntos)

2. Si el ángulo y mide 70°, ¿cuánto vale el arco x? (0.5 puntos)

3. Una escalera se encuentra apoyada de manera que su pie dista 2.5 m de la pared.Cuando el pie se retira 0.5 m más de la pared su parte superior desciende 0.2 m, ¿cuáles la longitud de la escalera? (1.5 puntos)

4. De acuerdo con la siguiente figura, obtén el valor de los ángulos x, y, z. (1.5 puntos)


5. ¿Cuánto vale x en la figura siguiente, si AB//CD? (1 punto)

6. Una placa circular tiene un área de 900 cm2. Determina su diámetro y el perímetro de sucircunferencia. (0.5 puntos)

7. El volumen de un cilindro es de 753.98 cm3, si su altura vale 15 cm, ¿cuánto vale elradio de su base? (0.5 puntos)


7. Bibliografía

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