Act 6 Trabajo Colaborativo No. 1 - Metodo Numerico
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UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
GRUPO: 100401_45
Preparado por
CRISTIAM ALBERTO CELIS
KAREN ANDREA JARDIM CASTRO
NURY SHIRLEY MURILLO
VANESSA CRISTINA MIRANDA
YESICA NATALIA BARRIENTOS
Tutor
JOSE HECTOR MAESTRE
San José de Cúcuta, Colombia
OCTUBRE DE 2012
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
INDICE
INDICE ............................................................................................................................ 2
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 3
OBJETIVOS .................................................................................................................... 4
ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1 ............................................................... 5
ACTIVIDAD No. 1 ..................................................................................................... 5
CONCLUSIONES ......................................................................................................... 18
REFERENCIAS ............................................................................................................ 19
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
INTRODUCCIÓN
Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico.
Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.
Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, tediosos cálculos aritméticos.
Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.
Es por ende que por medio del presente trabajo se pretende aplicar las temáticas del curso correspondientes a la Unidad 1 y acercarnos un poco más a los métodos propuestos para solucionar problemas.
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
OBJETIVOS
Estudiar y comprender muy bien los conceptos de cada capítulo de la unidad.
Evaluar e implementar los procesos de aplicación de los diversos casos de
errores y raíces de ecuaciones.
Desarrollar competencias comunicativas con sus compañeros de grupo al
realizar un procedimiento matemático.
Desarrollar la competencia argumentativa al exponer la resolución de un
problema utilizando los conceptos del módulo.
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
ACTIVIDAD No. 1
El trabajo se compone de dos partes:
Primera Parte: La construcción de un mapa conceptual por capítulo de la Unidad “Introducción a los Métodos Numéricos y
Raíces de ecuaciones” con base a la lectura y análisis los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 1.
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
Segunda Parte: Se resolverán una lista de 5 ejercicios enfocados a poner en práctica
los procesos desarrollados en la Unidad 1. Los ejercicios son los siguientes:
1. Considere los siguientes valores de p y p* y calcule el error relativo y el error
absoluto:
a) p = 1/3 – p* = 0,333
i) Error relativo:
ii) Error absoluto
Solución: El error relativo es de 9,999*10-4
y el error absoluto es de 3,333*10-4
.
b) p = pi – p* = 3,14
i) Error relativo:
ii) Error absoluto
Solución: El error relativo es de 5,07*10-4
en cuanto el error absoluto es de 1,59*10-3
.
P* = valor aproximado – p = valor real
P* = valor aproximado – p = valor real
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
2. Determine las raíces reales de f(x)= -0,3x
2 + 3,2x 5,7.
a) Usando la formula cuadrática:
a = -0,3; b = 3,2 y c = -5,7
√
√
√
√
b) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz
más grande. Emplee como valores iníciales x=5 y x=10:
x f(x)= -0,3x2 + 3,2x 5,7
5 ((-0,3)(52)) + (3,2*5) – 5,7 = 2,8
7.5 ((-0,3)(7,52)) + (3,2*7,5) – 5,7 = 1,425
8,125 ((-0,3)( 8,1252)) + (3,2*8,125) – 5,7 = 0,4953125
8,4375 ((-0,3)( 8,43752)) + (3,2*8,4375) – 5,7 = -0,057421875
8,75 ((-0,3)(8,752)) + (3,2*8,75) – 5,7 = -0,66875
10 ((-0,3)(102)) + (3,2*10) – 5,7 = -3,7
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
Iteración 0:
xa = 5 y xb = 10
Iteración 1:
xa = 7,5 y xb = 10
Iteración 2:
xa = 7,5 y xb = 8,75
Iteración 3:
xa = 8,125 y xb = 8,75
Iteración xa xb xr f(xa ) f(xr ) f(xa )*f(xr ) Ep
0 5 10 7,5 2,8 1,425 3,99 –
1 7,5 10 8,75 1,425 -0,66875 -0,95296875 14,29%
2 7,5 8,75 8,125 1,425 0,4953125 0,7058203125 7,69%
3 8,125 8,75 8,4375 0,495 -0,0574 -2,8413e-2
3,7%
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
c) Debe concluir con que exactitud se encuentra el valor real del valor aproximado
p* = 8,4375 – p = 8,125
Error absoluto
Error relativo porcentual
*100
Solución: La raíz en la tercera iteración es 8,4375 con un error aproximado de 3,7%.
3. Determine las raíces reales de f(x)= 2x3 – 21x
2 + 37x + 24 y use el algoritmo de
bisección para encontrar una solución en el intervalo [7,9]. (Use tres iteraciones). Y
concluya la exactitud del último resultado.
x f(x)= 2x3 – 21x
2 + 37x + 24
7 ((2)(73)) – ((21)(7
2)) + ((37)(7)) + 24 = -60
7,5 ((2)(7,53)) – ((21)(7,5
2)) + ((37)(7,5)) + 24 = -36
7,75 ((2)(7,753)) – ((21)(7,75
2)) + ((37)(7,75)) + 24 = -19,59375
7,875 ((2)(7,8753)) – ((21)(7,875
2)) + ((37)(7,875)) + 24 = -10,20703125
8 ((2)(83)) – ((21)(8
2)) + ((37)(8)) + 24 = 0
9 ((2)(93)) – ((21)(9
2)) + ((37)(9)) + 24 = 114
Iteración 0:
xa =7 y xb = 9
Iteración 1:
xa = 7 y xb = 8
P* = valor aproximado – p = valor real
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
Iteración 2:
xa = 7,5 y xb = 8
Iteración 3:
xa = 7,75 y xb = 8
|
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|
Iteración xa xb xr f(xa ) f(xr ) f(xa )*f(xr ) Ep
0 7 9 8 -60 0 0 –
1 7 8 7, 5 -60 -36 2160 6,7%
2 7,5 8 7,75 -36 -19,59375 705,375 3,2%
3 7,75 8 7,875 -19,59375 -10,207 199,993 1,6%
Solución: La raíz en la tercera iteración es 7,875 con un error aproximado de 1,6%.
4. Determine la raíz real de f(x)= -0,2 + 6x - 4x2
+ 0,5x3. Usando el método de
Newton – Raphson (tres iteraciones usando x = 4.2).
Iteración 0:
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Iteración 1:
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Iteración 2:
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Iteración 3:
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
Iteración 4:
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Iteración 5:
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Iteración xi xn Ep
0 4,2 -3,27 –
1 -3,27 -1,61 1,66%
2 -1,61 -0,63 0,98%
3 -0,63 -0,14 0,49%
4 -0,14 0,02 0,16%
5 0,02 0,03 0,02%
Solución: La raíz en la quinta iteración es 0,03 con un error aproximado de 0,02%.
5. Determine un cero aproximado de la función f(x) = (0,9 – 0,4x)/x usando el método
de la regla falsa o falsa posición en el intervalo [1,3] (realice 4 o 5 iteraciones).
x f(x) = (0,9 – 0,4x)/x
1 (0,9 – (0,4*1))/1 = 0,5
2,007 (0,9 – (0,4*2,007))/2,007 = 0,048430493 ó 4,84e-2
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
2,085 (0,9 – (0,4*2,085))/2,085 = 0,031654676 ó 3,17e
-2
2,129 (0,9 – (0,4*2,129))/2,129 = 0,022733678 ó 2,27e-2
2,157 (0,9 – (0,4*2,157))/2,157 = 0,017246175 ó 1,72e-2
2,176 (0,9 – (0,4*2,176))/2,176 = 0,013602941 ó 1,36e-2
2,190 (0,9 – (0,4*2,190))/2,190 = 0,010958904 ó 1,1e-2
2,4 (0,9 – (0,4*2,4))/2,4 = -0,195454545 ó -0,195
2,5 (0,9 – (0,4*2,5))/2,5 = -0,04
2,7 (0,9 – (0,4*2,7))/2,7 = -0,066666667 ó -6,67e-2
3 (0,9 – (0,4*3))/3 = -0,1
Iteración 0:
xa = 1 y xb = 3
Iteración 1:
xa = 1 y xb = 2,7
Iteración 2:
xa = 1 y xb = 2,5
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
Iteración 3:
xa = 1 y xb = 2,4
Iteración 4:
xa = 2,007 y xb = 2,4
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
Iteración 5:
xa = 2,085 y xb = 2,4
Iteración 6:
xa = 2,129 y xb = 2,4
Iteración 7:
xa = y xb = 2,4
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METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
Iteración 8:
xa = y xb = 2,4
Iteración xa xb xr f(xa ) f(xr ) f(xa )*f(xr ) Ep
0 1 3 2,7 0,5 -6,67e-2
-3,35e-2
–
1 1 2,7 2,5 0,5 -0,04 -0,02 8%
2 1 2,5 2,4 0,5 -0,195 -9,75e-2
4,2%
3 1 2,4 2,007 0,5 4,84e-2
2,42e-2
19,6%
4 2,007 2,4 2,085 4,84e-2
3,17e-2
1,53e-3
3,74%
5 2,085 2,4 2,129 3,17e-2
2,27e-2
7,1959e-4
2,02%
6 2,129 2,4 2,157 2,27e-2
1,72e-2
3,9044e-4
1,3%
7 2,157 2,4 2,176 1,72e-2
1,36e-2
2,3392e-4
0,9%
8 2,176 2,4 2,190 1,36e-2
1,1e-2
1,469e-4
0,6%
Solución: La raíz en la octava iteración es 2,190 con un error aproximado de 0,6%.
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ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
CONCLUSIONES
Es importante antes de iniciar un trabajo colaborativo, conocer e identificar
la temática planteada, los objetivos esperados y las actividades a desarrollar;
esto con el fin de profundizar e indagar en el contenido y establecer un
cronograma de trabajo que asegure el cumplimiento de las metas estipuladas.
Conocer nuestros compañeros de curso e interactuar con ellos, asegura una
buena dinámica para el desarrollo y construcción de los trabajos
colaborativos, ya que logra romper los paradigmas iniciales y propicia un
reconocimiento de los roles del equipo.
El curso consta de tres unidades didácticas, correlacionadas con el número
de créditos académicos asignados. La primera que se aplica en el presente
trabajo, se relaciona con los Conceptos Básicos y Raíces de Ecuaciones.
Realizar ejercicios y practicar con problemas planteados, permite aplicar los
conocimientos adquiridos en el desarrollo del tema de la Unidad 1, tales
como: error relativo, error absoluto, formula cuadrática, y método de
bisección.
Se sustenta por medio de ejercicios, habilidades para encontrar el valor real
del valor aproximado.
Se usa de manera asertiva el método de Newton – Raphson en tres
iteraciones.
Se aplica de manera correcta en una función el método de la regla falsa,
realzándolo en 4 o 5 iteraciones.
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
REFERENCIAS
Abalos, C. C. (2005). Revisión acerca de las normas para la presentación de
referencias bibliográficas según el estilo de la American Psychological Association (APA).
Extraído el 13 de Marzo de 2011 desde la base de datos E-Libro en la World Wide Web:
http://site.ebrary.com/lib/unadsp/.
Bucheli, C. (s.f.). – Módulo del Curso Métodos numéricos. Recuperado el 20 de
Agosto de 2012, del Aula virtual: 100401 Curso Métodos numéricos de la Universidad
Nacional Abierta y a Distancia: http://campus.unadvirtual.org/campus/.
Canales, T. (2002, 14 de Mayo). Formato APA – Quinta Edición. Extraído el 13 de
Marzo de 2011 desde http://www.mistareas.com.ve/las-normas-apa.php.
Guía Trabajo Colaborativo 1 (2012). - Extraído el 1 de Octubre de 2012 desde el
foro suministrado por el tutor.
Rocha, S. (2005). Métodos Numéricos. Recuperado el 13 de Septiembre de 2012
desde: http://dcb.fi-c.unam.mx/users/.../1.2%20Aproximacion%20numerica.pps.