MINISTERIO DE EDUCACIN DIRECCIN NACIONAL DE EDUCACIN PROYECTO DE REFUERZO ACADMICO PARAESTUDIANTES DE EDUCACIN MEDIA DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE MATEMTICA Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 2 PROYECTO DE REFUERZO ACADMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIN MEDIA Presentacin ElproyectoderefuerzoacadmicocomoaccinestratgicadelProgramaSocial Educativo 2009-2014 Vamos a la Escuela, se prev como una de las estrategias para evitar la repeticin y la desercin. En ese marco, este proyecto cobra importancia ya que a partir de ste se promover el apoyo a los estudiantes de segundo ao de bachillerato que presenten dificultades para desarrollarlascompetencias,conocimientosyhabilidades,queseesperatenganlos jvenes y seoritas que egresan de bachillerato. Parapoderhacerefectivoelrefuerzoacadmicosehacenecesariocontarcon informacin que permita tener un diagnstico de las fortalezas y las limitaciones de los estudiantesqueintegrancadaseccindesegundoaodebachillerato;porello,el proyectoiniciaconunaevaluacindiagnstica,cuyofinnoesasignarunanotaalos estudiantes, tal como se describe a continuacin. 1.Finalidad de la evaluacin diagnstica Laadministracindelaspruebasdediagnsticotienecomofinalidadponera disposicin de los docentes de educacin media un instrumento de evaluacin, que les permitaidentificarenlosresultadoslospuntosfuertesy/odbilesdelosestudiantes, conelpropsitoderealizaraccionespedaggicasquerespondanalasnecesidades individualesydegrupo,lascualesdebernestarencaminadasalamejoray aprovechamiento de los aprendizajes. staesunaevaluacinanalticayorientadoraquepretendeapoyaralosestudiantes que presentan ms dificultades en el aprendizaje; por lo tanto,no se debe tomar como una evaluacin para asignar calificaciones o calcular promedios en la asignatura. 2. Documentos que se proporcionan a los docentes -Pruebas por asignatura. Sehanelaboradopruebasdediagnsticodelas4asignaturasbsicas:Matemtica, LenguajeyLiteratura,EstudiosSocialesyCienciasNaturales.Cadaunadeellasse presentaencuadernilloseparado;lostems sondeopcinmltiplecon 4opciones de respuesta de las cuales slo una es la correcta. Losinsumosconsideradosparadefinirquevaluarencadaasignaturafueron:los indicadores de logro que resultaron ms difciles para los estudiantes evaluados enla PAES 2008 y 2009; as como los indicadores de logro de los programas de estudio de primer ao de bachillerato que son prerrequisito para el dominio de otros indicadores de segundo ao, y que a la vez se consideran difciles para los estudianteso difciles de impartir por el docente. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 3 -Actividades de Refuerzo Acadmico Esundocumentoporasignaturadirigidoalosdocentes,enelquesesugieren actividadesderefuerzoorientadasareducirlasdificultadesmostradasporlos estudiantes en el desarrollo de las tareas propuestas en los tems. En cada asignatura se identifica el contenido que se explora en cada tem de la prueba, ascomoelindicadordelogrodelprogramadeestudio.Paracadatemsedana conocerlascausasposiblesporlasquelosestudianteslorespondieron incorrectamente. Se presenta la actividad sugerida, los recursos con losque se puede desarrollar,la descripcindela mismayenalgunoscasossebrindainformacinpara enriquecer el desarrollo del contenido. Las actividades derefuerzoporasignatura debern trabajarse, prioritariamente,conel grupodeestudiantesqueobtuvieronmenosaciertosenlaprueba;auncuandolas actividades propuestas pueden ser aplicadas a todo el grupo. -Plantilla para registrar las respuestas correctas Despusdeaplicadacadaprueba,eldocenteresponsabledelaasignaturaydela seccin,deberrevisarlasrespuestasdadasporlosestudiantesacadatem;parael registro de las respuestas correctas se propone una plantilla por asignatura,en la que se identifica el nmero del tem y el literal que contiene la respuesta correcta; registrar slo lasrespuestas correctas; de esta manera tendr un diagnstico del desempeo de cadaestudianteydelgrupo.Enlaseccinpodridentificarculestemsfueron respondidoscorrectamente en mayor o menor cantidad por los estudiantes. 3. Desarrollo de la Evaluacin -Para que los resultados de las pruebas reflejen las dificultades o las fortalezas delosestudiantes,sesugieredesarrollarunaasignaturacadada,yquesta serealicesimultneamenteentodaslasseccionesdesegundoaode bachilleratodelainstitucin;eltiempomximoestimadoparacadapruebaes de 90 minutos. -La evaluacin deber realizarse en la segunda semana del mes de febrero. - Sedebenadministrarlaspruebasdandoindicacionesclarasydeforma imparcialenun ambientequegenereconfianza;esdecir,evitaraccionesque causen tensin en los estudiantes, ya que ello podra influenciar negativamente sobre el trabajo de stos en la prueba. -Losestudiantesdebernmarcarsusrespuestasencadacuadernillo;paralo cualsedebeencerrarenuncrculolaletradelaopcinquecontienela respuesta correcta.-El docente debe explicar a los estudiantes que la prueba no es para asignarles unanotaydebernmotivarlosparaquerealicensumayoresfuerzoal responder todos los tems. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 4 - Lasindicacionesparalaaplicacindelapruebadebenserrespetadas,Siun estudiantepideinformacinadicional,noseledebendarelementosde respuesta,niinformacinsusceptibledeorientarsurespuesta.Silaindicacin noescomprendida,sersuficientesolicitarquerelealaindicacinola pregunta. -Lapruebadebeserrealizadaindividualmente,paraqueelpropsitode diagnstico de sta, realmente sea alcanzado. 4.Procesoderegistrodelasrespuestasdadasporlosestudiantesencada prueba

-Despus de la aplicacin de las pruebas, los docentes proceden al registro de las respuestascorrectasdelosestudiantes.Estafaseesparteintegraldela evaluacin porque permite el anlisis de las respuestas y conduce a la reflexin y valoracin de decisiones pedaggicas que respondan a cada contexto.-Eldocenteresponsabledelaasignaturadeberrealizarelregistrodelas respuestas correctas, para ello utilizar la plantilla propuesta en la que se indica el nmero del tem y el literal que contienela respuesta correcta de cada tem de la asignatura. -Cuandoexistanerroresoausenciasderespuestamuyfrecuentesenuna mismaseccin,esimportanteverificarsiloselementosreferidosfueron estudiados y como se procedi. El docente podr as establecer un diagnstico y juzgar si es necesario o no desarrollar procedimientos de ayuda para algunos estudiantes. -Revisarenlosresultadosdecadaestudiante,culestemsnorespondi correctamenteparadeterminarculescontenidossonlosquerequierende refuerzo acadmico, de esta manera se pueden formar grupos con dificultades encomnparapoderatenderlosconlasactividadessugeridas.Asimismo,es importante identificar los puntos fuertes de cada uno con el propsito de poder tomarlos como apoyo en procesos de tutora con otros estudiantes que tengan dificultades. Los resultados globales no tienen un significado importante, puesto queloquesedebedestacarnoescuntosrespondi,sinoculesnofueron respondidos correctamente, para planificar y orientar las actividades de refuerzo acadmico.-Estosresultadosconciernenagruposdealumnosypuedenconstituir referencias,peroladimensindiagnsticadelasevaluacionestomatodasu pertinencia cuando el docente se interesa en el alumno en toda su singularidad -Revisarlaspropuestasdeactividadesderefuerzoacadmicoquesesugieren para los tems, si estn de acuerdo con stas, desarrollarlas con los estudiantes quelorequieran;siustedtieneexperiencia conotrotipodeactividadesquele han resultado exitosas para el dominio de ciertos contenidos, puede aplicarla en su clase y compartirla con otros docentes en crculos de estudio. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 5 Actividades de refuerzo acadmico sugeridas para que los estudiantes superen las deficiencias mostradas en el desarrollo de los tems de la prueba. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS TEMS NMERO 1 Y 2 Bloque de contenido: Nmeros y operaciones Contenido: Nmeros enteros Indicadores de logro:1.6(7 grado) Resuelve ordenadamente ejercicios de suma y/o resta de nmeros enteros (aplicando la ley de los signos)1.7 (8 grado) Resuelve problemas con seguridad, utilizando operaciones combinadas de nmeros reales y signos de agrupacin. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem:1) Desconoce las leyes de los signos 2) Desconoce las reglas para eliminar signos de agrupacin.3) Aplica la ley de los signos para la multiplicacin cuando suma. 4) Aplica incorrectamente las leyes de los signos aun cuando elimina correctamente los signos de agrupacin. 5) Interpreta incorrectamente el problema. 6) Se enfoca solo en una parte del problema. Actividad 1: Reforcemos saberes previos. Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Iniciarlaactividadreflexionandosobrelaimportantedeaplicarcorrectamentelas operacionesmatemticasensituacionesdelavidadiaria,comolasmedidasdela temperatura, las alturas tomando como punto de partida el nivel del mar, etc. 2. Reforzar los conocimientosprevios que son necesariosen la solucin de ste tem, como los siguientes: Ley de los signos para la suma y la resta: Se debe hacer nfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicacin y divisin, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera. Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos: Los nmeros tienen el mismo signo: en este caso se suman los nmeros y al resultado se le escribe el signo comn.Ejemplos:5 + 27 = 32(El signo ms de los nmeros 5 y 32 no se escribe) - 8 35 = - 43 Losnmerostienensignosdiferentes:enestecasoserestanyelminuendoserla cantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocar el signo de esta cantidad.Ejemplo:5 27 = - 22, ya que 27 es el mayor valor absoluto y posee signo menos. 18 11 = 7, ya que 18 es el mayor valor absoluto y posee signo ms. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 6 Ley de los signos para la multiplicacin y divisin Hacer nfasis en identificar la operacin que se desea realizar, para no confundir la ley delossignos.Laleyeslamismaparala multiplicacinyladivisinynosdicequeal multiplicarodividircantidadesconsignosigualesseobtieneunacantidadconvalor positivoyalmultiplicarodividircantidadesconsignoscontrariosseobtieneuna cantidad con signo negativo. Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos. Jerarqua de las operaciones Cuandosepresentanoperacionescombinadas,primeroseefectanpotencias,luego productos y/o divisiones, por ltimo sumas y restas.1. Completar la siguiente tabla: 2. Simplificar cada una de las expresiones siguientes: a)4 2- ( 8 12 ) b)( -36) + ( +15) ( -13 ) + ( +25 ) c)3 - [ 2 ( 4 5 8 ) ( 2 + 3 9 ) | d)(-5 + 4 10 + 25) (4 15) + (8 15 -19) e) 13 - [-8 (- 4 +3 -8 | + (15 20)- (13 40)f) -20 [ (13 + 12) + 15 (1 8 9 + 3)| g) 19 3 - [6 (5 3) (2 + 1) + (5 3) | ` h) 15 - [- (3 + 4 7) + (2 20 + 18)] + (3 5 10 7)3. Resolver los siguientes problemas:a.Si la construccin de una pirmide dur 200 aos y fue iniciada en el ao 152 a.C. en qu ao finaliz su construccin?b.Alas10delamaanaeltermmetromarc13oC,alas2delatardela temperatura aument 10 o C y luego disminuy continuamente hasta alcanzar una disminucin total de 15 o C a las 8 de la noche. Expresar la temperatura en grados centgrados a las 8 de la noche. c.Si se toma como origen para medir tiempo el 12 de julio de 1992 a las cero horas y seescogecomounidaddetiempolahora,culeslafechaylahoraque corresponden a los siguientes nmeros enteros? 1)252)-73 3) 105 a+5-7+31-52-17+19-41+13-5-8 b-13-12-110-10-9+20+210-23 a + b a - b Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 7 d.Completarconnmerosenteros elsiguientecuadradomgico,silasuma desus filas, columnas y diagonales es -10. Actividad 2: Reduzco expresiones aritmticas con nmeros reales Descripcin: Reforzarlasoperacionesbsicasconfracciones,luegoproporcionarunaseriede ejercicios de sumas y restas de fracciones de igual y distinto denominador. a)Cuandomultiplicamosfraccionessedebemultiplicarnumeradorconnumeradory denominadorcondenominador.Hacernfasisenqueunnmeroenteropuede expresarse como una fraccin, agregndole uno en el denominador. Ejemplos: 218) 7 )( 3 () 4 )( 2 (4732) )( ( = =

( )727307615764 ) )( ( 5 = = = b)Cuando sumamos o restamos fracciones homogneas se operan los numeradores y al resultado obtenido se le coloca el mismo denominador. Ejemplo:Realizar la siguiente operacin: 3131035 4 13534313 = = = + ++ + c)Cuando sumamos o restamos fracciones heterogneas (de distinto denominado) se buscaqueeldenominadorseaelmismoparaoperarlascomofracciones homogneas. Ejemplo:

475321+ El denominador comn debe ser 20 (mcm)

( ) ( ) ( )201320332035 12 102020 20 201475321= = =+ + Multiplicamos cada fraccin por el mcm 5 -9 2 0

-3 -2 -4 -7 -10 353431+ + Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 8 Ejercicios: a)Identificar si cada fraccin es homognea o heterognea y encontrar el resultado. 5. 454141+ + 6. 857431+ + 7. 353431 + b) Operar considerando la prioridad de las operaciones y las leyes de los signos. 1. ( ) 22543 2. 52313 5 + 3. ( )( )41577432 + 4. ( )( )41754732 + c)Resolver los siguientes problemas: a)Jos tiene $6 ms que Juan, si Juan tiene $28 Cunto dinero tienen entre los dos? b)CarmentienedeloquetieneOscar.SiOscartiene$70.Entonces,cuntotiene Carmen? c)Por el costo total de las llamadas que realizo en cada mes, la empresa de telefona me haceundescuentodelacuartapartedeloqueconsumo.Sienunmesgast$18 Cunto pagu en total? Fuente de informacin: Dimensin. Matemtica 7.Nelson Londoo, Hugo Guarn, Hernando Bedoya. Grupo Editorial Norma Educativa. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 3 Bloque de contenido: Nmeros y operaciones Contenido: Regla de tres simple Indicador de logro:5.12 (7 grado) Resuelve y explica con inters ejercicios y problemas usando la regla de tres directa o inversa. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem:1. Muestra dificultad para entender el problema (lectura comprensiva). 2. No asocia el problema con proporcionalidad ni con la regla de tres directa. 5. 41575 + 6. 413 7. ( )( )41577432 + 8. ( )41741 3 + 4. 477321+ 5. 475321+ + Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 9 3. Escribe diferentes unidades en la misma columna al plantear la regla de tres. 4. Resuelve la regla de tres directa como si se tratara de inversa. Actividad 1: Reforcemos saberes previos. Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo 2. Solicitarqueelaborenlagrficadelvolumenenfuncindeltiempo,conlosvalores presentados en la tabla que aparece en la gua. 3. Escribirlascaractersticasdelasgrficasdemagnitudesquesondirectamente proporcionales.Reflexionarantelasituacin:Unrecipienteseestllenandoconunlquido,detal manera que cada segundo aumenta 3 litros.Enlasituacinsepuedendistinguirdosmagnitudes(volumenytiempo)ysequiere conocer la relacin entre ellas. Observa la tabla:

Cmo podemos hacer para saber si las magnitudes guardan alguna relacin? Completa la razn del volumen y el tiempo ( V/T) Cules son los volmenes que corresponden 10 y 15 segundos respectivamente.En generalSi la magnitud A toma valorex1, x2,x3,y la magnitud B toma valores y1, y2,y3, decimos entonces que A es directamente proporcional B si se cumple que: = = = = constante, es decir = y = k. x Magnitudes inversamente proporcionalesCompleta la tabla de lavelocidad que necesita un vehculo paraque en determinado tiempo recorra cierta distancia.

Magnitudes Puedes observar que la constante se obtiene en este caso multiplicandok = v tTiempo (T) en segundos12341015 Volumen (V) en litros 36912?? ( V/T)3/16/2 K33?? Velocidad (V) en km/h100502510 Tiempo (t) en horas (h) 12410 Distancia (d) d = v t 100???

322211xyxyxy KxyMinisterio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 10 Ejercicio: Clasifica cada una de las siguientes proporcionalidades en directa o inversa.a)El precio de un artculo y el nmero de artculob)El tiempo empleado y la distancia recorridac)El volumen y la presin de un gas d)La base y la altura de un rectngulo (si el rea es la misma) Actividad 2: Clculo en la solucin de problema Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadObserva los siguientes ejemplos y escribe el resultado del clculo. Proporcionalidad directaProporcionalidad inversa La rueda de un automvil recorre 15 m cada 10 vueltas, cuntas vueltas dar al recorrer 75 m? Solucin Se puede observar que si la distancia aumenta el nmero de vuelta aumenta en la misma proporcin, entoncesla las magnitudes son directamente proporcionales Entonces x =15) 10 )( 75 ( = R/La rueda dar ____vueltasEn una fbrica 12 obreros hacen cierto trabajo en 15 horas. Cunto tiempo demoran 5 obreros en efectuar ese trabajo, en las mismas condiciones? Solucin

Si al disminuir el nmero de obreros, el tiempo aumenta en la misma proporcin las magnitudes son inversamente proporcionales Entonces x == R/ los 5 obreros realizan la obra en ____ das Nota: En la respuesta escribimos siempre la unidad de medida. Resuelve los problemas siguientes: a)Anaviounrayoquequemaunrbolaunadistanciade2,380myescuchoel truenopasado 7 segundos.Cuntos metros recorre el sonido en 1 segundo? b)Para un viaje en alta mar un barco con una tripulacin de 8 personas disponede alimentospara15das.Paracuntosdasalcanzarlaracindealimentossi en el barco viajarn 10 personas?c) Siungrifovierte1.2litrosdeaguaporsegundoytarda18horasenllenarun estanque. Cunto tiempo tardara en llenarlo si vertiera 0.9 litros por segundo? d)Unestanquede2.5mdeprofundidadcontiene85,000litrosdeaguacuando est lleno. Si el nivel de agua baja 1.8 m, qu cantidad de agua contiene? Fuente de informacina. http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres b. http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/Proporcionalidad c.http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530 d.Matemtica6,ColeccinCipotasyCipotes.MinisteriodeEducacin,PrimeraEdicin. Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008 Magnitudes DistanciaN de vueltas 1510 75x Magnitudes N de obreros Tiempo 1215 5x 5) 12 )( 15 (Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 11 ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 4 Bloque de contenido: Geometra Contenido: Conversin de ngulos de grados a radianes Indicador de logro:4.6 (1er. ao de bachillerato) Muestra confianza al convertir ngulos expresados en grados a radianes y viceversa, utilizando los factores de conversin. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem:1. Lefaltadominiodelaregladetressimpleysurespectivainteriorizacin,lacual debe ser una pauta para aplicar los factores de conversinde forma significativa y no mecnica.2. No tiene dominio de la equivalencia entre grados y radianes. Actividad 1: Reforcemos saberes previos Recursos: Representaciones grficas para visualizar las agujas del reloj. Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadApartirdelsiguienteproblemasedebeorientaralosestudiantesaqueenumerenlo quenecesitanyconloquecuentanpararesolverestetipodeproblemas(asociacin entrelos360odeunavueltaenteraylasparticionesquecorrespondeacadahora, equivalenciasentregradosyradianes,mtodosdeconversindeunaaotraunidad, etc.), esto les permitir integrar sus saberes, y no verlos de forma aislada, sin utilizar los recursos que ya poseen.El reloj de la torre de la iglesia, marca la 1 de la tarde, formando un ngulo con las dos manecillas.Decuntosgradoseselnguloqueforman?Representaesemismo ngulo en radianes. Para resolver: a) Recuerda la equivalencia de 1 radin en grados, de la relacin 360 entre 2 b) Realizar una tabla de los valores dey su equivalencia en grados; para hacer una comparacin del sistema sexagesimal y el sistema circular. Losgradosylosradianessondosdiferentessistemaspara medirngulos.Unngulo de 360o equivale a 2 radianes; un ngulo de 180o equivale a radianes (recordemos queelnmero=3.14159265359).Lasequivalenciasentreloscincoprincipales ngulos se muestran en las siguientes tres figuras: t t Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 12 Actividad 2: Realicemos conversiones Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadParaconvertirdegradosaradianesoviceversa,partimosdeque180oequivalena radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos. a)Convertir 38o a radianes. Primero planteamos la regla de tres. Ntese que la x va arriba, en la posicin de los radianes.

38 180x=t Despejamos x, tambin simplificamos.

901918038 t t = = x Por ltimo obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 0.6632 radianes b)Convertir 2.4 radianes a grados. Primero planteamos la regla de tres. Ntese que la x va abajo, en la posicin de los grados. x24180 =t Despejamos x. ( )t24 180= x Por ltimo obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 137.5099 o Convertir de Grados a RadianesConvertir de Radianes a Grados Fuente de informacinMc graw Hill, Mxico 1996 www. didactika.com www.descartes.com RadianesGrados 0.79483 Rad 3.54209 Rad 1.1680 Rad 4.5836 Rad 2.22106 Rad 0.8670 Rad 1.8536 Rad 3.1558 Rad 6.5438 Rad GradosRadianes 38 o 147 o 15 250 o 30 45 72 o 201 o 50 322 o 14 10 30 o 150 o 40 189 o 30 58 Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 13 ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 5 Bloque de contenido: Geometra Contenido: Sector circular Indicador de logro:5.10 (8 grado): Determina, explica y usa con seguridad la frmula para el clculo del rea de un sector circular. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem: 1.Desconoce la frmula del rea del crculo 2.Desconoce la frmula para encontrar el sector circular 3.Dificultad al aplicar la frmula del sector circular 4.Nohayconocimientodeloselementosnecesariosparaencontrarelreadeun sector circular. Actividad 1. Reforcemos saberes previosRecursos: Comps, regla, colores, tijeras, pegamento y crculos en papel bond. Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadCmo encontrar el rea de un crculo deduciendo la frmula? 1.Presentarcrculosenpapelbonddivididosinicialmenteencuatropartesiguales, trazando dimetros, pintar la mitad de un color y la otra mitad de otro color, recortar cada sector y colocar en forma invertida (ver figura). Realizar el mismo proceso con los otros crculos dividindolos en ocho, diecisis y treinta y dos partes.

2.Apoyar la actividad con preguntas pertinentes al contenido como:A qu figura geomtrica se parece? Qu relacin puedes hacer de las dimensiones del rectngulo con las del crculo? 3.Recordar como se deduce la frmula para encontrar el rea de un crculoConstruye un crculo de papel y piensa en la forma para encontrar el rea. Solicitarqueobservencomosetransformauncrculoenlamedidaquesedividen sectores de 8, 16, 32 y 64. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 14 Cuanto ms se sectoriza el crculo, a qu figura se parece? La figura compuesta por los sectores se aproxima a un rectngulo. Relaciona con una lnea las expresiones de la izquierda con las de la derecha y deduce la frmula del rea del crculo. Largo del rectngulo Radio x radio x Ancho del rectngulo Radio x 3.1416 Mitad de la circunferenciaDimetro x 3.1416 2 Dimetro x 3.1416 2Radio de la circunferencia rea de la circunferenciaMitad de la circunferencia

El ancho del rectngulo coincide con el radio del crculo. El largo del rectngulo coincide con la mitad de la longitud de la circunferencia A = r2 Para encontrar el rea de un sector circular, tienes que conocer la longitud del radio y el ngulo central en grados. Con estos datos utiliza la frmula: Donde es el ngulo interno del sector, medido en grados.

t t Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 15 Actividad 2: Resolvamos ejercicios y problemas aplicando la frmulaDescripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadAplica la frmula para encontrar el rea de crculos y sectores circulares.1-Encuentra el radio y el rea de los crculos cuyas circunferencias tienen las siguientes medidas: a) 62.8 cm b) 12.65 cm c) 47.1 2- Observa las figuras y calcula el rea de las partes sombreadas 3- Encuentra el rea de los siguientes sectores. 4- Encuentra el rea de un semicrculo cuyo radio mide 4cm. 5- Encuentra el rea de un sector circular con ngulo central de 60 y radio de 5cm Fuente de informacin: Matemtica 6, Coleccin Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educacin, Primera Edicin. Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008 ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS TEMS NMERO 6, 7 y 8 Bloque de contenido: Geometra Contenido conceptual: Tringulos. Clasificacin y teoremas Indicadores de logros:3.1 (8 grado) Construye con precisin y aseo tringulos; los clasifica, describe y explica segn sus lados y ngulos. 3.3 (8 grado) Resuelve con precisin problemas aplicando el teorema; la suma de los ngulos exteriores de un tringulo es igual a 360 o Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem: 1.Desconoce la clasificacin de los tringulos en relacin a sus ngulos. 2.No examina cuidadosamente todos los ngulos. 3.Desconocelascaractersticasclavesparaidentificarcuandountringuloes acutngulo o rectngulo. b) Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 16 4.Noencuentracoherenciaentrelarepresentacindeltringuloylosdatosque ste contiene. 5.No tiene dominio de las caractersticas de un tringulo issceles. 6.Desconoce los teoremas de los tringulos.7.Confunde los distintos teoremas. 8.Tiene dificultadpara plantear y resolver una ecuacin lineal. 9.Muestra dificultad en la comprensin del problema (lectura comprensiva).Actividad 1: Clasificando tringulos Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadPresentar el siguiente esquema, y que se discuta la informacin que contiene.Enlaclasificacinporsusngulos,quecompartanlasrazonesporlasque consideran que el tringulo acutngulo es presentado de esa manera y que a partir de ello, dibujen el tringulo obtusngulo, y discutan los resultados.Discutir de forma semejante la parte izquierda del esquema. Clasificando los tringulos Actividad 2: Apliquemos la clasificacin Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividad1. En parejas o tros, que discutan, complementen, definan o justifiquen y se pongan de acuerdo sobre los siguientes las siguientes tareas.a)Define qu es un tringulo issceles.b) Cundo un tringulo es obtusngulo?c) Cuntosngulosrectospuedeteneruntringulo?Escribelasrazonesdetu respuesta.d) Cuntosgradossumanlostresngulosinterioresdeuntringulo?Ejemplificatu respuesta. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 17 e) Con la ayuda de un reloj de agujas, representa los diferentes ngulos que conoces; utilizandodibujosparacadangulo,marcandolahoradelrelojqueformedicho ngulo. f)Si el reloj marca las 12:00 hrs, cmo se llama el ngulo que forman las agujas? g) Silas3manecillasdelreloj,seencuentranendiferenteposicin.Qunombre reciben los ngulos que forman? h) En tu reloj marca las 3 de la tarde. Qu ngulo forman las manecillas en esa hora? Qu nombre recibe ese ngulo? 2.Escribir la clasificacin del tringulo de acuerdo a lo que se solicita. Actividad 3: Apliquemos teoremas Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Resolverecuacioneslineales,considerandoloserroresmscomunesenlosylas estudiantes. d) 7x + 13 9x = 8x 3x 8 e) 11x + 5x 1 = 65x 36 f)2y 99 5y + 9y = 128 5y 7 2. Orientarlaresolucindelosejerciciosperodejarqueseanlosestudiantesquienes resuelvan. a) Pediralosylasestudiantesqueinvestiguenlosdistintosteoremasconque cumplenlostringulosylasdefinicionesdenguloscomplementariosy suplementarios. b) Ademsserecomiendaefectuarenclaselecturayplanteamientodediversos problemas(lgicos,algebraicos,aritmticos,etc.),paramejorarenlalectura comprensiva. Segn sus ladosSegn sus ngulos d) x + 3(x-2) = 2x 4 e) 36 94x = 8 Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 18 3. Hallar el valor de los ngulos aplicando los diferentes teoremas.

C 65o30o A 50o 35o Byx40o R Z

30o 58o P 60oQ q X65o y

x Y

CT 5x t 3x 4x R rs S AB 140o70o Actividad 4: Resolvamos problemas Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadResolver los siguientes problemas:1. Si uno de los ngulos de un tringulo es el doble del ngulo ms pequeo y el tercer nguloestresveceselngulomspequeo.Encontrarlamedidadecadangulo interior y su correspondiente ngulo exterior.2.Un ngulo externo a la base de un tringulo isscelesmide 155o. Cunto mide el ngulo vrtice? 3. En un tringulo A ABC, 0 x2 > 1, multiplicando por -1 x2 s 1 1 x2 s , comox x2 = , se tiene entonces que , x , s 1 -1 s x s 1 Luego Dom C =|-1, 1|, de manera anloga, se obtiene que Rec C= |-1, 1|. A continuacin se muestra el grfico de la relacin C. d) En IR, se define la relacin L={(x, y)/y = x + 2} Dom L = {x e IR/ - y e IR, (x, y) e L}= {x e IR/ - y eIR, y = x + 2}, comoy= x+ 2es un nmero real para todo x e IR, se obtiene que Dom L = IR 1 1 -1 -1 x y 0 Fig 1.C:x2+ y2 =1 Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 67 Rec L = {y e IR/ - x e IR, (x, y) e L} = {y e IR / - x e IR, y =x + 2} = {y e IR/- x e IR, y 2 =x}, como para todo y e IR, x = y 2 e IR,Rec L = IR La representacin grfica de la relacin L se muestra a continuacin

Actividad 2. Resolvamos ejercicios Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadLee cuidadosamente y resuelve los ejercicios 1. Escriba el dominio y el recorrido de cada una de las relaciones, definidas en Z.a) R={(5,2),(6,4),(8,6)}b) S={(5,6)} c) T={(6,2),(2,0),(13,0)}d) V=={(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)} 2.Dado D = {1, 0, 1,2}.Encontrar: a) D x Db) R1 = {(x, y) e DxD/ x =y}por extensin. c) Dominio y recorrido de la relacin anterior. d) R2 = {(x, y) e DxD /x2= y2} por extensin. 3.Dado E = {-1, 1, 3,5}, encontrar el producto cartesiano E x E.Hallar por extensin la relacinS= {(x, y) e E x E /x 0), ya que la raz cuadrada de un nmero negativo no es un nmero real.Ejercicios 1) Evaluar las funciones: a) Para qu valor de x esf (x) =3 xigual a 3? b)Si f (x) = f (x) =1 + x , hallar f (0), f (-8), f |.|

\|21 , yf |.|

\|21 c) Para qu valores de x es f (x) =12 xigual a 0? d) Si f(x) =x 2 4 + , halle f(0), f(4), f(-2) f|.|

\|23 2) Graficar las funciones y escribir las caractersticas de cada grfica FUNCINGRFICACARACTERISTICAS f(x) =x f(x) = - x f(x)=x 3) Grfica de cada pareja de funciones en el mismo sistema de ejes. Diferenciarlas utilizando diferentes colores. a) f (x ) =x , g(x) =1 xb) f (x) =x , g(x) =1 + xc) f(x) = -x , g(x) = -2 xMinisterio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 69 Actividad 4. Encontremos el dominio de las funciones Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadHallar el dominio de lasfunciones:a) f (x) =2 3 + xb) f (x) =4 xc) f (x) =2 + xFuente de informacin Algebra Segunda Edicin Max A. Sobel, Norbert Lerner, Prentice Hall hispanoamericana, S.A. Algebra y Trigonometra, Segunda Edicin Revisada. DennisG. Zill,Jacqueline M. Dewar ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 35 Bloque de contenido: Relaciones y funciones Contenido conceptual: Funciones algebraicasIndicador de logro:9.16 (1er ao de bachillerato) Resuelve ejercicios y/o problemas aplicando con confianza la funcin inversa. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem: 1. Comete error al aplicar los pasos para obtener la inversa de una funcin. 2. Tiene problemas para despejar una variable en una ecuacin.Actividad 1: Reforcemos conocimientos previos Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Recordar como se despeja una variable. En la ecuacindespejar k. a)Si la ecuacin es fraccionaria, como en este caso, hacerla entera. (f - k)(3a) = 5 (Se multiplic por el mcmde los denominadores) b)Hacer los productos indicados, si los hay. 3fa 3ka = 5 c)Dejar el o los trminos que contienen a la variable, en un solo lado de la igualdad. Es recomendable que sea en el lugar en que su signo sea positivo. 3fa 5 = 3ka d)Si la variable se encuentra en ms de un trmino, se debe obtener como factor comn. e)El factor que acompaa a la variable pasa a dividir al otro miembro de la igualdad.

d) f (x) =3 x- 1 e) f (x) = -x+ 3 Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 70 2.Proporcionar al estudiante situaciones donde aplique contenidos que ayuden a lograr el indicador propuesto por el tem. Ejercicios:En las siguientes ecuaciones, despejar la variable que se indica. 1), despejar M 2), despejar A 3), despejar P Actividad 2: Practiquemos la obtencin de la inversa de una funcin Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadProporcionar los ejercicios a resolver en equipo e indicar que cada uno debe ser discutido hasta que todos despejen sus dudas. Pasos para obtener la inversa de una funcin. 1)Realizar un cambio de variables: donde se encuentre x escribir y y viceversa. 2)Despejary la ecuacin que se obtenga ser . Ejemplo: obtener la inversa de Paso 1: x Paso 2. Por lo tanto la inversa de la funcin f(x) es: Ejercicios:1. Determinar la inversa de las siguientes funciones. a) b) c) d) 2. Determinar cul de las siguientes funciones es igual a su inversa. a)f(x) = - x b)f(x) = c)f(x) = 2x d)f(x) = e) f) g) h) , con0 < x < 2 Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 71 ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 36 Bloque de contenido: Relaciones y funciones Contenido: Funciones reales de variable real Indicador de logro: 4.10 (1 ao): Interpreta, plantea y resuelve, con confianza, funciones reales de variable real a fenmenos de la cotidianidad. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem: 1. Dificultad para comprender el problema (comunicacin con lenguaje matemtico).2. Dificultad para identificar la variable y escribir la ecuacin.Actividad 1. Reforcemos saberes previos Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Investigar los contenidos: funcin, tipos de funcin y evaluacin de funciones. 2. Realizar la lectura y planteamiento de diversos problemas (lgicos, algebraicos, aritmticos, etc.) para reforzar la lectura comprensiva. Ejemplo: Si viajas durante cierto tiempo en un automvil cuya velocidad promedio es 50 km/h. a) Cul es la variable independiente x?b) Cul es la variable dependiente y? c) Cmo puede representarse la situacin utilizando una ecuacin?d) Qu tipo de funcin representa la ecuacin planteada?e) Cul es la distancia recorrida en t = 3.5 horas?f)Cul es el dominio de la funcin?g) Cul es el rango de la funcin?h) Determinar la grfica que representa la relacin distancia- tiempo. Actividad 2: ResolvamosproblemasDescripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadUna de las causas ms frecuentes por las que los estudiantes cometen errores es: establecer una relacin funcional entre dos variables, interpretando datos escritos. Para superarla es necesaria la ejercitacin en la lectura. Ejercicios: Resolver los problemas: 1) Una compaa ha determinado que el costo de produccin de x unidades de su producto est dado por C(x) = 600 + 8x + 0.003x2. Evala el costo de producir:a)4000 unidades.b)1500 unidades.c)Ninguna unidad. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 72 2) En una prueba sobre el metabolismo del azcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azcar en la sangre era una funcin del tiempo t (medido en horas) y dada por a(t) = 3.9 + 0.2t 0.1t2 Encontrar la cantidad de azcar en la sangre:a)al principio de la prueba b)1 hora despus c)221horas despus 3)Ungranjerotiene400yardasdecercaparadelimitarunterrenorectangular. Expresar el rea (A) del rectngulo como una funcin de la longitud de uno de sus lados.4)Enla figura,s eslalongituddelasombraproyectadaporunapersonaque mide 1.83 metros de altura, parada a x metros de una fuente luminosa que se encuentra a 7.32 metrossobre el nivel del suelo. Expresar s en funcin de x.

7.32m 1.83mx s Fuente de informacin: Algebra Sobel, Max A. Lerner, Norbert.Segunda edicin.Prentice hall. Hispanoamericana, s. a. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 37 Bloque de contenido: Relaciones y funciones Contenido: Funcin lineal Indicador de logro:9.5 (1er. ao) Resuelve ejercicios y/o problemas aplicando las funciones lineales. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem: 1.Dificultad para expresar una situacin en lenguaje algebraico. 2.Dificultad para identificar las variables y escribir la ecuacin.3.No utiliza correctamente la ecuacin para determinar el resultado. Actividad 1. Reforcemos saberes previos Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadPara superar la primera dificultad que se identific, se presenta el siguiente ejercicio: Matemtica. Primer ao de bachillerato.Gloria Galo de NavarroGildaberto BonillaMarta Lidia Merlos David Navarro, UCA Editores. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 73 Expresar en lenguaje algebraico: a) El triple de un nmero menos quince. c) Tres nmeros enteros consecutivos. d) El permetro de un rectngulo, con uno de sus lados 4m ms largo que el otro. d)Eltriplodelcuadradodeunnmerodisminuidoen10equivalealnmero aumentado en 5. Actividad 2: Elaboremos grficas Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadOtrodelosproblemasyqueseidentificaenlasegundadificultad,esreconocercul ecuacin al ser graficada nos da como resultado una lnea recta. Ejercicios: 1) Elaborar las tablas de valores y graficar.a) y = x - 2b) y = - 2x +3 2) En el mismo sistema de ejes, graficar:a)y = x b) y = x + 1 c) y = x 1 Explicar la relacin entre las tres grficas. Actividad 3: Resolvamos problemas Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadOrientaraqueresuelvanindividualmenteantesdecompartirconsuscompaeroso compaeras. 1)Si se viaja en condiciones similares, por una distancia de 100km se pagan $30. Por 150km, el costo es de $45. a) Escribir la ecuacin de la funcin lineal para los puntos dados.b) Utilizar la funcin para calcular cunto se paga por una distancia de 200km. 2)Un contador determin cinco pagos diferentes de impuestos en un ao especfico.Ingreso (en miles de $)815254075 Impuestos ( en $)2470180300560 Ajustarlosdatosaunafuncinlinealycalcularelimpuestoquesedebepagar correspondienteauningresode$55.000,yelingresocorrespondienteaun impuesto de $240. 3) El valor de una mquina fotocopiadora nueva es de $5,200. Despus de dos aos de uso su valor es de $4,225. Encontrar su valor despus de 8 aos.4)Unfabricantetienecostosfijosde$3,000ycostosvariablesde$25porunidad. Encontrar la ecuacin que relacione los costos con la produccin y calcular el costo de producir 100 unidades. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 74 5) La pieza de un equipo que se compr hoy por$10,000 se depreciar linealmente, estimando que su vida til ser de 20 aos y su valor de desuso es de cero dlares. Escribir una frmula para su valor (V) despus de t aos.Fuente de informacin: Algebra. Segunda edicin.Max a. Sobel, Norbert Lerner Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. Algebra, Trigonometra y Geometra Analtica.StanleyA. Smith ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 38 Bloque de Contenido: Relaciones y funciones Contenido: Funciones Indicador de logro:4.8 (1er. ao) Interpreta las propiedades de las funciones y valora su importancia y utilidad al resolver diferentes situaciones relativas al entorno fsico. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem 1. No interpreta el significado de la trayectoria de cada intervalo (creciente, decreciente y constante) de la grfica. 2. Vincula la altura del grfico con el tiempo utilizado para el recorrido. Actividad 1: Reforcemos saberes previos Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividadPlantear la situacin y discutirla en equipo: Fernando, Luis, Mara y Yolanda, viven en una colonia cercana a la universidad. Esta maana fueron al centro de estudios en bicicleta y cada uno lo hizo de diferente forma. Yolanda: sali sin precipitarse pero en el camino empez a pedalear ms de prisa. Fernando: sali rpido pero en el camino tuvo que reparar una llanta para poder llegar. Luis: sali pero olvid algo en casa y regres. Despuspedale muy de prisa.Mara: sali tranquila y al final se apresur. 1)Silasgrficasmuestranlasdistanciasrecorridasenfuncindeltiempo,aquin corresponde cada grfica? Justifique su respuesta.

Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 75 2)A continuacin se presenta la grfica de Yolanda, con mayor precisin. Indicado la distancia en kilmetros y la hora en la que realiza el recorrido. Usa la grfica para contestar las siguientes preguntas: a) Cuntos kilmetros haba recorrido Yolanda a las 7:45? b) Cuntos minutos tard Yolanda en la primera mitad del recorrido?c) Cuntos km. pedale entre las 7:45 y las 8:00? d) Cmo puedes saber que Yolanda fue a la misma velocidad en los primeros 20 minutos (de 7:30 a 7:50)? e) SiYolandahubieraseguidoconla mismavelocidad,concuntosminutosde adelanto o atraso habra llegado? f)Entrequhoras,aproximadamente,fuelamayorvelocidaddeYolanda?A qu velocidad pedaleaba en ese momento? Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 76 Actividad 2: El vuelo del guila.Descripcin: Estetipodeejercicioesmuyimportanteparalainterpretacindelainformacinque encontramos en los medios de comunicacin. La grfica muestra la altura en metros del vuelo de un guila en funcin del tiempo.

Analicemos la grfica: Lagrficanosmuestraqueestuvovolandodurante100segundosyquesusalturas oscilaron entre 5 y 105 m aproximadamente.a) Podramos saber a qu altura estaba al cabo de 2 minutos? b) Observamos que en distintos instantes estuvo a la misma altura; por ejemplo, a los 20, 30, 40, y 57 segundos estuvo a 80 m del suelo.c) Cul es la mayor altura que alcanz entre los 20 y 30 segundos? d) Entre los 50 y 60 segundos, el vuelo era ascendente o descendente? e) Durante todo el tiempo que estuvo volando, en qu instante alcanza la mayor altura? f)A qu altura estaba cuando comenz a volar? g) Entre los 30 y 40 segundos hubo un instante en que estuvo ms bajo. A qu altura se encontraba? Ocurre esto en algn otro intervalo de tiempo? Cul?h) A los 70 segundos el vuelo era ascendente o descendente? i)Durante todo el tiempo que estuvo volando, en qu instante alcanza la menor altura? Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 77 ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS TEMS NMERO 39y 40 Bloque de contenido: Trigonometra Contenido: ngulos de elevacin y depresin Indicador de logro: 1.8 y 1.11 (1er. ao)Resuelve problemas con confianza y seguridad, utilizando los ngulos de elevacin y depresin. Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien los tems: 1. Confunden los ngulos de elevacin ydepresin. 2. Dificultad para identificar el lado desconocido del tringulo. 3. Confunden las razones trigonomtricas. 4. Presentan problemas al despejar la incgnita. Actividad 1: Reforcemos saberes previos Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividad1.Hacerejerciciosdeidentificacindeloscatetosylahipotenusaentringulos rectngulos. 2.Identificarloscatetosopuestoyadyacenteenrelacinaunodesusngulosagudos (A). 3.Encontrar las razones trigonomtricas para cada uno de los ngulos agudos.

zysenA = , zxA = cos , xyA = tan Recodar que el teorema de Pitgoras estableceque el cuadrado de la hipotenusa esigualalasumadeloscuadradosdeloscatetos,paraeltringuloanteriorse tiene que 2 2 2y x z + = , conocidas dos de ellas, se puede determinar la tercera. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 78 Ejercicio: Dado el tringulo rectngulo, determina las razones trigonomtricas. sen A,cos B,tan A,tan B, cos A Calcular la hipotenusa usando el Teorema de Pitgoras 25 15 20 15 202 2 2 2 2= + = + = x x x Calcular las tres razones trigonomtricas

6 . 02515= = senA 6 . 02515cos = = B75 . 02015tan = = A25 . 11520tan = = B 8 . 02520cos = = A 4.Determinar el valor de un ngulo dado el valor de una de sus razones trigonomtricas, usando calculadora. a) Si tan A= 2, hallar el valor de A. Usarlafuncintrigonomtricainversadelatangente(arcotangente).Enla calculadora se puede seguir una de las siguientes formas (depende de la calculadora): -Presionar la tecla inv o 2da. f y luego tan (aparece tan-1). A continuacin escribir el valor de la tangente, en este caso 2. -Escribir el valor de la tangente y a continuacin presionar las teclas inv o 2da. f y tan. Esto lo escribimos 43 . 63 2 tan1= =A Solicitar a los estudiantes que lo comprueben encontrando tan 63.43 b) Si Sen A=0.8 hallar el valor del ngulo. Transformar 0.8 en fraccin, construir el tringulo utilizando los lados que proporciona la fraccin y aproximar el valor del ngulo.Calcular el ngulo utilizando la calculadora 13 . 53 8 . 01= =sen AVerificar el resultado. Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 79 c) Solicitar que encuentren un ngulo cuyo coseno es 1.2 Indzcaloacalcularloconuntringulo,luegoapliquelafrmulaycompruebeque dicho ngulo no existe. Ejercicios a)Encuentre los valores de A, B y C, si Sen A= 0.5, tan B= 1, cos B= 3 ,b)Explique por qu la calculadora produce un error al buscar C en el caso sen C= 2. Actividad 2: Resolvamos problemas Descripcin de los pasos para el desarrollo de la actividad1.Reforzar los saberes previos. a) Lneadevisin:larectaimaginariaqueuneelojodeunobservadorconellugar observado.b) ngulodeelevacin:eselqueseformaentrelahorizontalylalneadevisin, cuando el observador se encuentra a menor altura que el punto de observacin. c) ngulodedepresin:eselqueseformaentrelahorizontalylalneadevisin, cuando el observador se encuentra a mayor altura que el punto de observacin.

d) Teorema de Pitgoras: se aplica nicamente a tringulos rectngulos. 2.Seguir el procedimiento adecuado. a) Trazar el tringulo que represente las condiciones del problema. b) Identificarlarazntrigonomtricaqueinvolucrealosdatosdelproblema(sise conocelahipotenusadebesersenoocoseno;sisonloscatetos,utilizarla tangente). Ministerio de Educacin Direccin Nacional de Educacin Actividades de Refuerzo para Matemtica Pgina 80 Ejercicios Resolvamos las siguientes situaciones: 1)Determinelaalturadeunrbol,sidesdeunadistanciade5msevelaparte superior del rbol con un ngulo de elevacin de 30. 2)Conquengulodebolanzarunapiedraparabajarunmangoqueesta6mde altura, si la piedra la lanzo desde una distancia de 3 metros del palo. 3)Unaescaleraelctricadebetransportaraunaalturadelpisode20pies,conun ngulo de elevacin de 25, qu longitud tendr la escalera? 4)Cuandoelngulodeelevacindelsolesde28.4;enPars,laTorreEiffelforma una sombra horizontal de 1822 pies de largo, qu altura tiene la torre? 5)Calcularlaalturadelrbolsielngulo deelevacinesde58ylasombra proyectada sobreel piso es de 8.8m. | 6) Desde la punta de un faro, a 120 pies sobre el nivel del mar, el ngulo de depresin endireccinaunbarcoaladerivadelmaresde9.4,aqudistanciaestel barco de la base del faro? 7) Un salvavidas se encuentra en una torre a 120 metros del nivel del mar. Descubre unapersonaquenecesitasuayudaaunngulodedepresinde35,aqu distancia de la base de la torre se encuentra esa persona? 8) Calcular la altura de una torre si desde un punto situado a un kilmetro de la base se velacspidecon un ngulode elevacin de 1642

9) Desde la cumbre de un cerro de 300m de alto, el ngulo de depresin de un barco es de 1735. Hallar la distancia del barco al punto de observacin. Fuente de informacin Algebra y trigonometra. Segunda edicin revisada Dennis G. Zill, Jacqueline M. Dewar Editorial Mc Graw Hill 58 16 42