Didctica de la Matemtica Profesorado de Educacin Primaria

Actividad 2

2.1. Leer el texto de : La didctica como ciencia2.2.Teniendo el texto responder:a)En qu consiste la teora de las situaciones?b)Cmo define Brousseau una situacin didctica?b)Cundo una situacin se considera adidctica?c)Cmo se entiende el medio?d)Qu es el contrato didctico?e)Cules son las tipologas de situaciones que define Brousseau en la Teora de las situaciones didcticas? Identifique en la resolucin resuelta pos ustedes estas situaciones.f)Conceptualice devolucin y sancing)Caracterice los tipos de obstculos a los que se refiere Brousseauh)En qu consiste una variable didctica? Identifique en la situacin resuelta las variables que intervienen.Actividad3 Los errores que siguen los cometen los alumnos de forma persistente:

Podra determinar el obstculo epistemolgico que los provoca?Actividad 4 Ante una tarea escolar en la que se peda llevar a cabo la descomposicin cannica de nmeros naturales, los alumnos dieron las siguientes respuestas:235 = 200 + 30 + 5,3 576 = 3 000 + 500 + 70 + 6,47 = 40 + 750 = 47 + 370= 65 + 5340 = 300 + 40El maestro corrigi las tres ltimas indicando a los alumnos que deban expresar cannicamente:50 = 50 + 0, 70 = 70 + 0, 340 = 300 + 40 + 0 Por qu razones didcticas, la mayora de los alumnos, en sus producciones, no incluy el cero como un sumando en la descomposicin cannicaActividad 5Analice el siguiente registro de clase e identifiquea)situaciones de accin, formulacin, validacin e institucionalizacin.b) Alguna situacin adidctica

La seorita de 2do ao inicia la clase dicindoles a sus alumnos que en la clase de hoy trabajarn junto al compaero de banco resolviendo esta situacin . ( ella la dise para que sea una actividad de iniciacin a un concepto )[Doa Josefa] prepar 9 bolsitas con 6 caramelos frutales cada una. Cuntos caramelos frutales utiliz?Los nios comienzan a resolver. Algunos dibujan, otros quieren utilizar las tapitas que tienen pero se dan cuenta que no tienen la cantidad suficiente.La docente recorre las mesas observando cmo trabajan. En una mesa los nios estn jugando, la seorita les pregunta por qu no comenzaron a resolver. Lucas le dice: no entiendo!. La docente les hace leer la consigna y les dice que tomen algn dato y partan de all, que confa en que ellos por algn camino lo van a lograr, que sabe que la van a sorprender. Anita le muestra a la docente que sum 6 + 9. La seo le pregunta Cuntos caramelos tiene cada bolsita Ana? Ana responde: 6. La seo dice: Y si yo te diera una bolsita a vos y otra a tu compaerita cuntos caramelos tendran? LA nia responde: 6 ella y 6 yo. La seo les dice y cuntos tendrn en total? Ana se pone a dibujar y la seo le dice: enseguida regreso a ver cmo van avanzandoLos alumnos escriben en sus cuadernos las respuestas. La docente le pide a Lucas que pase y muestre como resolvi . DE esta manera, pasan 2 alumnos ms, escriben en la pizarra sus procedimientos, pero adems deben explicar por qu lo hicieron de esa manera. Tambin pasa Ana y cuenta como resolvi. La seorita le recuerda que al principio ella sumo 6 con 9 y le pide que explique por qu pens hacerlo de esa manera. Esta pregunta genera un debate y uno de los alumnos dice . es que hay que sumar nmeros iguales, no nmeros distintos.La seorita les escribe en la pizarra otra situacin y les aclara que adems de resolverlo van a tener que pensar cul puede ser el procedimiento ms econmico para hacerlo.

La didctica como CienciaDentro de la comunidad de investigadores que, desde diversas disciplinas, se interesan por los problemas relacionados con la educacin matemtica, se ha ido destacando en los ltimos aos, principalmente en Francia, un grupo -donde sobresalen los nombres deBrousseau1,Chevallard2,Vergnaud3- que se esfuerza en realizar una reflexin terica sobre el objeto y los mtodos de investigacin especficos en didctica de la matemtica. En junio de 1993 se celebr en Pars un coloquio titulado Veinte aos de Didctica de las Matemticas en Francia: homenaje a Guy Brousseau y Grard Vergnaud. 1973 constituye un hito en esta comunidad de investigadores, aunque tambin podra tomarse el ao 1970 con la creacin de los primeros IREM: Institutos para la Investigacin de la Enseanza de las Matemticas, conjuntamente con la publicacin de los primeros artculos de Brousseau.Otro acontecimiento reciente fue la realizacin del I Congreso Internacional sobre la teora antropolgica de lo didctico: Sociedad, Escuela y Matemtica: las aportaciones de la TAD, realizado en octubre del 2005 en Baeza, Espaa. El propsito de este congreso fue reunir a los investigadores que trabajan actualmente en el campo de la TAD (Teora Antropolgica de lo Didctico) para hacer un balance tanto de los resultados y avance en los ltimos 25 aos de la investigacin fundamental, como del desarrollo del sistema de enseanza y la formacin docente. El comit cientfico estuvo formado por Artaud, Bosch, Chevallard, Godino, Espinoza, Estepa, Gascn, Ors, Ruiz Higueras y Contreras de la Fuente.Este conjunto de investigadores son los que contribuyen a una concepcin llamada por sus autores "fundamental" de la didctica, que presenta caracteres diferenciales respecto de otros enfoques: concepcin global de la enseanza, estrechamente ligada a la matemtica y a teoras especficas de aprendizaje, y bsqueda de paradigmas propios de investigacin, en una postura integradora entre los mtodos cuantitativos y cualitativos.Como caracterstica de esta lnea puede citarse el inters por establecer un marco terico original, desarrollando sus propios conceptos y mtodos y considerando las situaciones de enseanza y aprendizaje globalmente. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemolgicas, sociales y cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor, dentro del contexto particular de la clase.El primer concepto creado por G. Brousseau, que form parte de los dems desarrollos, es el de la Teora de las Situaciones, formulada en su primera fase a principios de los setenta, desarrollada en una segunda fase hasta la publicacin de la tesis de Brousseau y seguida por los aportes de Chevallard (1990) en trminos de instituciones y de las relaciones con el saber.Brousseau4establece que:La didctica de la matemtica estudia las actividades didcticas, es decir las actividades que tienen por objeto la enseanza, evidentemente en lo que ellas tienen de especfico de la matemtica.Los resultados, en este dominio, son cada vez ms numerosos; tratan los comportamientos cognitivos de los alumnos, pero tambin los tipos de situaciones empleados para ensearles y sobre todo los fenmenos que genera la comunicacin del saber. La produccin o el mejoramiento de los instrumentos de enseanza encuentra aqu un apoyo terico, explicaciones, medios de previsin y de anlisis, sugerencias y aun dispositivos y mtodos.Presentaremos, a continuacin, una sntesis de los principales conceptos ligados a esta lnea de investigacin, en palabras del propio Brousseau5(...) la teora de situaciones estudia: la bsqueda y la invencin de situaciones caractersticas de los diversos conocimientos matemticos enseados en la escuela, el estudio y la clasificacin de sus variantes, la determinacin de sus efectos sobre las concepciones de los alumnos, la segmentacin de las nociones y su organizacin en procesos de aprendizaje largos, constituyen la materia de la didctica de las matemticas y el terreno al cual la teora de las situaciones provee de conceptos y de mtodos de estudio. Para los profesores como para los alumnos, la presentacin de los resultados de estos trabajos renueva su conocimiento as como la idea que tienen de las matemticas, y esto incluso si es necesario desarrollar todo un vocabulario nuevo para vincular las condiciones en las que emergen y se ensean las nociones matemticas bsicas, con la expresin de dichas nociones en la cultura matemtica clsica.Los didactas que comparten esta concepcin de la didctica relacionan todos los aspectos de su actividad con las matemticas. Se argumenta, para basar ese enfoque, que el estudio de las transformaciones de la matemtica, bien sea desde el punto de vista de la investigacin o de la enseanza, siempre ha formado parte de la actividad del matemtico, de igual modo que la bsqueda de problemas y situaciones que requieran para su solucin una nocin matemtica o un teorema.ChevallardyJohsua(1982) describenel SISTEMA DIDCTICO en sentido estricto, como formado esencialmente por tres subsistemas: PROFESOR, ALUMNO y SABER ENSEADO. Un aporte de la Teora de las Situaciones Didcticas (TSD) al estudio de los procesos de aprendizaje de las matemticas en el contexto escolar es la inclusin, en el clsico tringulo didctico maestro, alumno, saber, de un cuarto elemento: el medio.El medio (milieu) se define como el objeto de la interaccin de los alumnos: es la tarea especfica que deben llevar a cabo, y las condiciones en que deben realizarla, es decir, el ejercicio, el problema, el juego, incluyendo los materiales, lpiz y papel u otros. En una acepcin un poco ms amplia, el medio al que el alumno se enfrenta incluye tambin las acciones del maestro, la consigna que da, las restricciones que pone, las informaciones y las ayudas que proporciona, y podramos agregar, las expectativas que tiene sobre la accin de los alumnos y que mediante mecanismos diversos, transmite. Es decir, es el subsistema sobre el cual acta el alumno (materiales, juegos, situaciones didcticas, etc.). Adems est el mundo exterior a la escuela, en el que se hallan la sociedad en general, los padres, los matemticos, etc. Pero, entre los dos, debe considerarse una zona intermedia, la NOOSFERA, que, integrada al anterior, constituye con l el sistema didctico en sentido amplio, y que es lugar, a la vez, de conflictos y transacciones por las que se realiza la articulacin entre el sistema y su entorno. La noosfera es por tanto"la capa exterior que contiene todas las personas que en la sociedad piensan sobre los contenidos y mtodos de enseanza".Siguiendo con la nocin de medio, ste es exterior al individuo y en ese sentido, podemos afirmar que en una clase existen medios para los alumnos y tambin para el docente. Si bien el profesor organiza un medio para la clase, las interacciones que cada uno de los alumnos establece con ese medio son diferentes, y por ello es posible hablar de medios[footnoteRef:1]. [1: La estructuracin del medio nos permitir distinguir diferentes posicionamientos de alumnos y profesor ante una organizacin determinada.]

Veamos un breve ejemplo tomado de Brousseau (1995) donde se ilustran algunos de los aspectos citados: las circunstancias exteriores a un individuo, en este caso un alumno, y las interacciones que establece con ese medio. En una situacin A, un alumno recita, en respuesta a la solicitud de su profesora, la sucesin de nmeros naturales hasta el 6. En una situacin B, un alumno coloca, en respuesta a la solicitud de su profesora, 6 fichas en una caja. En una situacin C, un alumno cuenta las 6 fichas de una caja solamente mirando para evaluar la posibilidad de llevar una ficha a cada uno de los compaeros de su mesa. Estas situaciones son diferentes aunque en todas aparezca de alguna manera el conteo; para cada una de ellas los instrumentos de control, es decir los conocimientos en juego, tambin son diferentes. En las dos primeras el actor responde con conocimientos numricos a una demanda de la profesora, en la ltima decide contar para resolver una actividad de distribucin.

Estos conceptos tratan de describir el funcionamiento del sistema de enseanza -y de los sistemas didcticos en particular- como dependientes de ciertas restricciones y elecciones. Asimismo, tratan de identificar dichas restricciones y poner de manifiesto cmo distintas elecciones producen modos diferentes de aprendizaje desde el punto de vista de la construccin por los alumnos de los significados de las nociones enseadas.La teora que estamos describiendo, en su formulacin global, incorpora tambin una visin propia del aprendizaje matemtico, aunque pueden identificarse planteamientos similares sobre aspectos parciales en otras teoras.Se adopta una perspectiva piagetiana, en el sentido de que se postula que todo conocimiento se construye por interaccin constante entre el sujeto y el objeto, pero se distingue de otras teoras constructivistas por su modo de afrontar las relaciones entre el alumno y el saber.El punto de vista didctico imprime otro sentido al estudio de las relaciones entre los dos subsistemas (alumno-saber). El problema principal de investigacin es el estudio de las condiciones en las cuales se constituye el saber, pero con el fin de su optimizacin, de su control y de su reproduccin en situaciones escolares. Esto obliga a conceder una importancia particular al objeto de la interaccin entre los dos subsistemas, que es precisamente la situacin-problema y la gestin por el profesor de esta interaccin.En la Teora de Situaciones Didcticas deG. Brousseause define que una situacin didctica es un conjunto de relaciones explcita y/o implcitamente establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos, algn entorno (que puede incluir instrumentos o materiales) y el profesor, con un fin de permitir a los alumnos aprender -esto es, reconstruir- algn conocimiento. Las situaciones son especficas del mismo. Es decir que la situacin didctica est sostenida por su intencionalidad didctica y ha sido diseada pensando que el alumno aprenda un saber. La perspectiva de disear situaciones de ofrecer al alumno la posibilidad de construir el conocimiento dio lugar a la necesidad de otorgar un papel central dentro de la organizacin de la enseanza- a la existencia de momentos de aprendizaje, concebidos como momentos en los cuales el alumno se encuentra solo frente a la resolucin del problema, sin que el maestro intervenga de manera directa, en cuestiones relativas al saber en juego. El reconocimiento de la necesidad de esos momentos dio lugar a la nocin de situacin adidctica.Una situacin funciona de manera adidctica cuando el alumno y el maestro logran que el primero asuma el problema planteado como propio, y entra en un proceso de bsqueda autnomo, sin ser guiado por lo que pudiera suponer que el maestro espera. En palabras de Berthelot y Salin (1992)

El termino de situacin a- didctica designa toda situacin que, por una parte, no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en prctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin intervencin del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego.Johsua y Dupin (1993) sintetiza de la siguiente manera en que esta hiptesis y teora se articulan en la teora:Lo que caracteriza la perspectiva constructivista es la voluntad de poner al alumno en situacin de producir conocimiento (en general reformulando- y luchando contra-conocimientos anteriores) en referencia en primer lugar al problema, y no en primer lugar la intencin de la enseanza. Es la presencia y la funcionalidad en la situacin didctica de una etapa de una situacin a-didctica la marca principal de la diferencia con las situaciones estrictamente formales.

Por otra parte la definicin de situacin a- didctica contiene distintos aspectos que conviene analizar por separado:1. El carcter de la necesidad de los conocimientos. La situacin se organiza de manera tal que el conocimiento al que se apunta sea necesario para la resolucin, en el sentido de que la situacin no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en prctica de los conocimientos o del saber que se pretende.2. La no intervencin del docente El docente no interviene de manera directa. Sin embargo se debe comprender que para entrar en una fase adidactica, es el docente el que debe gestionar dicha entrada. Para que el alumno "construya" el conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la resolucin del problema planteado en la situacin didctica. En este caso se dice que se ha conseguido la devolucin de la situacin al alumno. Para Brousseau (1998) la devolucin es el acto por el cual el enseante hace aceptar al alumno la responsabilidad de una situacin de aprendizaje (adidctica) o de un problema y acepta el mismo las consecuencias de esta transferencia. Margolinas (1993) seala que en la devolucin el maestro se despoja de la parte de responsabilidad que es especfica del saber a ensear3. La nocin de sancin (tambin denominada retroaccin)No debe entenderse como un castigo o rechazo a lo que el alumno realiza. El objetivo es que el alumno pueda juzgar por s mismo los resultados de su accin, y que tenga posibilidad de intentar nuevas resolucionesEl proceso de resolucin del problema planteado se compara a un juego de estrategia o a un proceso de toma de decisiones.Por otro lado, debido a la peculiar caracterstica del conocimiento matemtico, que incluye tanto conceptos como sistemas de representacin simblica y procedimientos de desarrollo y validacin de nuevas ideas matemticas, es preciso contemplar varios tipos de situaciones: SITUACIONES DE ACCIN, sobre el medio, que favorecen el surgimiento de teoras (implcitas) que despus funcionarn en la clase como modelos proto-matemticos. SITUACIONES DE FORMULACIN, que favorecen la adquisicin de modelos y lenguajes explcitos. En estas suelen diferenciarse las situaciones de comunicacin, que son las situaciones de formulacin que tienen dimensiones sociales explcitas. SITUACIONES DE VALIDACIN, requieren de los alumnos la explicitacin de pruebas y por tanto explicaciones de las teoras relacionadas, con medios que subyacen en los procesos de demostracin. SITUACIONES DE INSTITUCIONALIZACIN: que tienen por finalidad establecer y dar un status oficial a algn conocimiento aparecido durante la actividad de la clase. En particular se refiere al conocimiento, las representaciones simblicas, etc., que deben ser retenidas para el trabajo posterior.Hablemos ahora del proceso de institucionalizacin. En un proceso de aprendizaje por adaptacin, cuando los alumnos logran desarrollar una estrategia que resuelve el problema, el conocimiento que subyace a este no se les revela como un nuevo saber: si pudieron resolver el problema, es, para ellos, porque saban hacerlo. Los alumnos no tienen la posibilidad de identificar por s mismos la presencia de un nuevo conocimiento, y menos an el hecho de que dicho conocimiento corresponde a un saber cultural. Esto requiere de un proceso de institucionalizacin, que cae bajo la responsabilidad del maestro.Tipos de obstculosEnLa formacin del espritu cientfico, Bachelard0(1938) establece la idea deobstculo epistemolgico, el cual debe comprenderse como el efecto limitativo de un sistema de conceptos sobre el desarrollo del pensamiento, y da un listado extenso de los mismos, que impiden que un modo de pensamiento pre-cientfico conciba asimismo el enfoque cientfico.Brousseau se basa en esta idea al analizar el aprendizaje. Si el aprendizaje lo entendemos como adaptacin al medio, esto implica necesariamente rupturas cognitivas, acomodaciones, cambio de modelos implcitos (concepciones), de lenguajes, de sistemas cognitivos. Si se obliga a un alumno o a un grupo a una progresin paso a paso, el mismo principio de adaptacin puede contrariar el rechazo, necesario, de un conocimiento inadecuado.Las ideas transitorias resisten y persisten. Estas rupturas pueden ser previstas por el estudio directo de las situaciones y por el indirecto de los comportamientos de los alumnos (Brousseau, 1983).Un obstculo es una concepcin que ha sido en principio eficiente para resolver algn tipo de problemas pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su xito previo se resiste a ser modificado o a ser rechazado: viene a ser una barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por medio de los errores especficos que son constantes y resistentes. Para superar tales obstculos se precisan situaciones didcticas diseadas para hacer a los alumnos conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones y para ayudarlos a conseguirlo.Brousseau (1983) da lassiguientes caractersticasde los obstculos: un obstculo es un conocimiento, no una falta de conocimiento; el alumno utiliza este conocimiento para producir respuestas adaptadas en un cierto contexto que encuentra con frecuencia; cuando se usa este conocimiento fuera de este contexto genera respuestas incorrectas. Una respuesta universal exigira un punto de vista diferente; el alumno resiste a las contradicciones que el obstculo le produce y al establecimiento de un conocimiento mejor. Es indispensable identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber; despus de haber notado su inexactitud, contina manifestndolo, de forma espordica.Se distinguen los siguientes tipos de obstculos: OBSTCULOS ONTOGENTICOS -a veces llamados obstculos psicogenticos: se deben a las caractersticas del desarrollo del nio. OBSTCULOS DIDCTICOS: que resultan de las elecciones didcticas hechas para establecer la situacin de enseanza. OBSTCULOS EPISTEMOLGICOS: intrnsecamente relacionados con el propio concepto.Evidenciado por medio de un anlisis histrico, tal tipo de obstculo debe ser considerado como parte del significado del concepto. Por tanto, encontrarlo y superarlo parece ser una condicin necesaria para la construccin de una concepcin relevante.Observamos que, frente a la teora psicolgica que atribuye los errores de los alumnos a causas de tipo cognitivo, se admite aqu la posibilidad de que tales errores puedan deberse a causas epistemolgicas y didcticas, por lo que la determinacin de este tipo de causas proporciona una primera va de solucin.En general, podemos afirmar que los obstculos entran normalmente en el proceso de construccin del conocimiento, es ilusorio querer evitar a toda costa errores debidos a los obstculos. Bien al contrario, los alumnos deben enfrentarse a ellos, superarlos y tomar conciencia de sus limitaciones. Para que esto sea posible el profesor debe necesariamente ponerlos ante situaciones donde interacten con un medio que les provoque desequilibrios y retroacciones.

Otros conceptos tericos centrales de la teora de las situaciones didcticas son:Contrato didcticoEl contrato didctico es un conjunto de reglas -con frecuencia no enunciadas explcitamente- que organizan las relaciones entre el contenido enseado, los alumnos y el profesor dentro de la clase de matemtica (Brousseau, 1986).Los estudios sobre el contrato didctico y sus relaciones con los procesos de aprendizaje son esenciales, ya que lo que est en juego es el significado real del conocimiento construido por los alumnos.Y la misma nocin en la teora antropolgica es enunciada porBosch, Fonseca, Gascn6:Recordemos que el contrato didctico institucional (Chevallard 1992) est formado por un conjunto de clusulas que distribuyen las responsabilidades recprocas en el juego que se establece en cada institucin docente entre los estudiantes, el conocimiento matemtico y el profesor, como director del proceso de estudio. Las clusulas del contrato tienen un carcter marcadamente implcito (el contrato siempre est presente, pero no se puede explicitar) y no rigen todos los aspectos de la relacin que se establece entre los estudiantes y el profesor, sino nicamente los que hacen referencia al conocimiento matemtico a estudiar.Variables didcticas

Segn acabamos de ver, se considera que el alumno aprende cuando modifica l mismo su relacin al conocimiento, adaptndose a las situaciones-problema que le presenta el profesor. Entre las elecciones que el profesor lleva a cabo en las situaciones de enseanza, algunas de ellas van a ser fundamentales por la significacin de los conocimientos matemticos que espera que el alumno aprenda. Estas elecciones fundamentales se denominan variables didcticas.

Una variable didctica es un elemento de la situacin que puede ser modificado por el maestro, y que afecta a la jerarqua de las estrategias de solucin que pone en funcionamiento el alumno (por el costo, por la validez, por la complejidad, etc.) (Briand, Chevalier, 1995, p. 68).[footnoteRef:2] [2: Briand, J., Chevalier, M.C. (1995): Les enjeux didactiques dans l'enseignement des mathmatiques. Pars: Hatier.]

No podemos considerar que todo sea variable didctica en una situacin. Una variable didctica es un elemento de la situacin tal que, si actuamos sobre l, podemos provocar adaptaciones y aprendizajes.Asi por ejemplo en la actividad uno los mensajes que envan los alumnos son del tipo: Construye un tringulo de lados: AB = 10 cm; BC = 21cm y AC = 25 cm. Los receptores siguen los datos del mensaje y construyen sin dificultades el tringulo pedido.Sin embargo la estrategia de base empleada, anloga a la utilizada para la construccin del tringulo, en el caso de la construccin del rombo, no ha sido vlida. Los alumnos se enfrentan a un fuerte desequilibrio. Construyen diversos cuadrilteros, pero no coinciden con el dado.

La eleccin llevada a cabo por el profesor: dibujar primero un tringulo y posteriormente un rombo supone el control de una variable didctica[footnoteRef:3] muy pertinente en esta situacin: el tipo de figura a representar, ya que provoca en el alumno la necesidad de concebir un segmento no representado como algo vlido para resolver el problema. Ha existido la construccin de un aprendizaje con sentido: la determinacin de la diagonal me permite encontrar la solucin. [3: Ha existido un salto informacional: se llama salto informacional a un cambio de valor de una variable didctica en el interior de una situacin de aprendizaje susceptible de provocar un cambio de estrategia (Briand, 1995, p. 69).]