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ADMINISTRACION DE LAS FINANZAS INTERNACIONALES - UNMSM

Administración de las Finanzas

Internacionales

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

Renato Eduardo Anicama Salvatierra

Email: [email protected]


PORTAFOLIOS, DIVERSIFICACION Y

RIESGO


DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA

DE MERCADOLOS ESTADÍGRAFOS EN LA FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS

Todo activo financiero puede ser descrito a partir de dos estadígrafos:

1. Un estadígrafo de posición, la media, que proporciona una medida del rendimiento promedio del activo en un determinado periodo; y

2. Un estadígrafo de dispersión, la desviación estándar de los distintos rendimientos respecto al rendimiento promedio, que proporciona una medida del riesgo del activo financiero.


LOS ESTADÍGRAFOS EN LA FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS

En el cuadro se presenta los rendimientos de las acciones de dos empresas. Con fines de simplificación, los rendimientos son semestrales y corresponden a diez periodos. Para poder establecer relaciones más confiables, sería recomendable obtener rendimientos semanales y, por lo menos, de tres periodos anuales. Es conocido que el retorno medio es calculado como la suma de los rendimientos de capital (cambios en los precios de las acciones) y los pagos de dividendos.


• El retorno medio de cada una de las acciones puede ser calculado con la relación o fórmula: la suma de los rendimientos de cada periodo dividida entre el número de periodos. Se obtiene así el retorno medio de la acción 1 (R1=12,12%) y el retorno medio de la acción 2 (R2=8,98%).



• El riesgo asociado a la acción individual se determina a través de la desviación estándar. Aplicando la relación a las observaciones del cuadro de rendimientos semestrales, se obtiene que la desviación estándar de la acción 1 es 10,49% (s1) y la desviación estándar de la acción 2 es 3,59% (s2).

• La acción 1 se identificará con una rentabilidad (retorno medio) de R1=12,12% y un riesgo asociado (desviación estándar) de s1=10,49%. Del mismo modo, la acción 2 se identificará con una rentabilidad R2=8,98% y un riesgo asociado de s2=3,59%.



EL ESTADÍGRAFO DE COVARIABILIDAD

• Adicionalmente a los estadígrafos de posición y dispersión, para la conformación de portafolios es necesario contar con uno adicional: la covarianza entre los rendimientos de los activos financieros.

Supóngase dos acciones cuyos rendimientos se presentan en el cuadro adjunto. Como puede observarse, los rendimientos de los activos covarían en el mismo sentido. Es decir, tanto los rendimientos de la acción 1 como los rendimientos de la acción 2 se incrementan del periodo 1 al periodo 2 y del periodo 3 al periodo 4, y ambos descienden del periodo 2 al periodo 3, tal como puede observarse gráficamente en la figura adjunta.



• Con estos resultados, se concluirá que el portafolio no ha colaborado en lograr un mejor balance entre rentabilidad y riesgo en relación con las acciones individuales. Frente a opciones de igual riesgo (2,31%), habría sido más racional invertir el 100% del capital en el activo 2, cuya rentabilidad es mayor.


EL ESTADÍGRAFO DE COVARIABILIDAD• Luego, se puede concluir que cuando las acciones covarían en el mismo

sentido, el portafolio resultante no ofrece mayor ventaja.

Como puede observarse, mientras los rendimientos de la acción 1 se incrementan, los de la acción 2 descienden, y viceversa. Para fines del ejemplo, se ha establecido un rendimiento promedio único del portafolio: 10,5%.

En términos de los estadígrafos, la rentabilidad promedio de la acción 1 es 9% y su riesgo es de 2,31%. La acción 2 presenta el mismo riesgo, pero una rentabilidad mayor, igual a 12%.



• Con estos valores, lo que sí ha variado es el riesgo asociado al portafolio, ya que con una rentabilidad promedio similar al del caso anterior (10,5%), la desviación estándar del portafolio es igual a 0% (sin riesgo). Se puede observar, entonces, que el balance entre rentabilidad y riesgo del portafolio es claramente mejor respecto a la acción 1, mientras en el caso de la acción 2 se ha sacrificado algo de rentabilidad a cambio de disminuir significativamente el riesgo.


EL ESTADÍGRAFO DE COVARIABILIDAD• Los ejemplos anteriores permiten percibir la ventaja de construir

portafolios: a través de ellos se puede administrar el riesgo de las inversiones. Y la variable que incide en forma determinante en este proceso es la covarianza.

• La fórmula anterior expresa el valor numérico de la covarianza entre los rendimientos de la acción 1 y la acción 2. De aquí es interesante rescatar el índice de correlación entre los mismos rendimientos, que expresa de manera más clara la forma cómo covarían las acciones. Por ejemplo, en el primer caso, las acciones covarían en forma perfectamente directa, el coeficiente de correlación será 1 (?12=1); en el segundo caso las acciones covarían en forma perfectamente inversa, el coeficiente de correlación será 1 (?12=–1).


Formula del índice de

correlación

El cuadro presenta como es proporcionado normalmente por una hoja de cálculo. Se lee que el índice de correlación entre una misma acción es de 1, mientras el índice de correlación entre la acción 1 y la acción 2 es de –0,723 (inversamente correlacionadas).

En las dos figuras puede observarse la variación de los rendimientos de la acción 1 y de la acción 2 del ejemplo inicial, el de los 10 periodos. Los rendimientos tienen una covariación negativa (inversa), pero no perfecta. Aplicando la relación anterior, se puede encontrar el valor numérico del índice de correlación entre estos dos activos financieros.


PORTAFOLIOS CONFORMADOS POR UNA ACCIÓN Y EL ACTIVO LIBRE DE RIESGO

• ACTIVOS CON RIESGO Y ACTIVOS LIBRES DE RIESGO– El mercado de capitales selecciona los activos financieros haciendo un

balance entre el nivel de rentabilidad que ofrecen y el nivel de riesgo que presentan.

– Así, se puede encontrar tanto activos con riesgo mínimo, como son, por lo general, los referidos a los Bonos del Tesoro de Estados Unidos (los Treasury Bills a tres meses), considerados “libres de riesgo”, como activos con riesgo del negocio o riesgo financiero –por el nivel de endeudamiento.

– En el ejemplo, la interacción referida está precisando que los accionistas de la empresa 1 requieren 12,12% de retorno, mientras que los de la empresa 2 esperan 8,98% de retorno; y es que la primera presenta una variabilidad de 10,49%; y la segunda, de 3,59%.



PORTAFOLIOS DE ACTIVOS CON RIESGO Y ACTIVOS LIBRES DE RIESGO

• El activo libre de riesgo cumple la función de permitir la construcción de portafolios con intercambio lineal entre rentabilidad y riesgo. Para apreciar como se produce este intercambio, supóngase que las inversiones en las acciones 1 y 2 son excluyentes, pero que se puede invertir en portafolios conformados por una de estas acciones y por un activo libre de riesgo.

• La conformación de un portafolio de este tipo supone la inversión de un porcentaje del monto en el activo con riesgo (w1) y del % restante en el activo sin riesgo (w2).

• La rentabilidad media se obtiene según la relación adjunta, que muestra que la rentabilidad del portafolio es igual al promedio ponderado de la rentabilidad individual de cada activo según el porcentaje de inversión hecho en cada activo.



• PORTAFOLIOS DE ACTIVOS CON RIESGO Y ACTIVOS LIBRES DE RIESGO

• Por su parte, el riesgo asociado al portafolio se calcula con la fórmula adjunta.

• Puede apreciarse que la desviación respecto del rendimiento medio del portafolio (sP1) es función de la desviación individual de cada acción y, algo importante, también de la covarianza entre el activo 1 y el activo 2 (r12s1s2).



PORTAFOLIOS DE ACTIVOS CON RIESGO Y ACTIVOS LIBRES DE RIESGO

La construcción de líneas de portafolios es importante, ya que éstas determinarán, posteriormente, el rendimiento del mercado. Obsérvese que teniendo como punto de pívot la tasa libre de riesgo, cuanto más pendiente tenga la línea, mayor será el balance entre rentabilidad y riesgo que ofrezcan esos portafolios frente a aquellos cuya línea presente menor pendiente.


PORTAFOLIOS CONFORMADOS POR DOS ACCIONES CON RIESGO NEGOCIO

• Un portafolio se conforma asignando porcentajes diversos del monto de inversión a determinados activos financieros. En este segundo caso, y dado que se considera sólo dos activos, se asigna un porcentaje de la inversión a la acción 1 (w1) y el restante porcentaje a la acción 2 (w2).

La inversión en el portafolio origina una nueva desviación respecto al retorno medio de dicho portafolio. El riesgo asociado al retorno del portafolio (sp) depende de la desviación respecto al retorno de cada acción y de la covarianza entre las dos acciones. Este estadígrafo resulta de enorme importancia para la conformación de portafolios, ya que según el valor resultante se podrá obtener portafolios con un mejor balance entre rentabilidad y riesgo.


Puede percibirse que los portafolios ubicados en la parte superior del gráfico presentan un balance entre rentabilidad y riesgo superior al balance de los portafolios ubicados en la parte inferior. A cualquier posición de desviación similar, los portafolios de la parte superior muestran una rentabilidad mayor. Por esta razón, esta parte superior se denomina frontera eficiente.


DETERMINACIÓN DEL PUNTO TANGENTE (T) O RETORNO DE MERCADO

• En la frontera eficiente se encuentran distintos portafolios cuyos balances entre rentabilidad y riesgo no son posibles de discriminar como superiores o inferiores.

• Se puede elaborar un gráfico que contenga la frontera eficiente señalada, los portafolios formados por cada acción individual y por un activo libre de riesgo y agregar a ello otros dos portafolios: uno superior a los anteriores, conformado por el portafolio X (ver gráfico) y por un activo libre de riesgo, y uno que a su vez es superior al anterior, que resulta ser tangente a la frontera eficiente (punto T).


Como es posible deducir, se ha logrado la línea con mayor pendiente y no es posible tener una línea superior. A esta línea que resulta ser la combinación del portafolio de acciones en el punto T y el activo libre de riesgo se le denomina línea de mercado. Entonces, la preocupación será determinar ese punto T, al que también se denomina retorno de mercado, porque representa la inversión más eficiente que el mercado puede seleccionar realizando un balance entre rentabilidad y riesgo.


La desviación del portafolio es una función lineal de la desviación del portafolio T (sT). El resultado será la línea de mercado. En el gráfico se observa esta línea en una posición tangente a la frontera eficiente en el punto T.

Los puntos que conforman la línea de mercado constituyen portafolios superiores a los que forman la frontera eficiente. Y es que a un mismo nivel de riesgo, siempre será posible encontrar un portafolio constituido por el portafolio del punto T y el activo libre de riesgo que ofrezca mayor rentabilidad que el portafolio correspondiente en la frontera eficiente


CASO DE APLICACIÓN PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS FINANCIEROS

• FONDOS MUTUOS. RENDIMIENTO Y RIESGO.


• PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE UN PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS

– Los parámetros estadísticos que se necesitan para trabajar con más de una serie de datos al mismo tiempo son los Coeficientes de Correlación (r ij), tomando las series de datos de dos en dos.

– Los Coeficientes de Correlación, presentados en el siguiente cuadro (Matriz de Correlaciones), se utilizan para determinar la forma como covarían los retornos de un activo frente a otro


La matriz de correlación se establece según la estructura mostrada por una lógica de trabajo. Como se observa en la primera columna y la primera fila se señalan los retornos del activo 1, 2 y3 respectivamente. En la intersección de la acción por ejemplo 2 (fila) y 3 (columna) se tendrá el índice de correlación r23, que es similar al índice encontrado en la fila 3 y columna 2, r32. Así el r11 es igual a 1 porque está indicando el índice de correlación del activo 1 frente a sí mismo y es igual a 1. En términos generales denotamos el índice de correlación como rij, donde i representa la fila y j la columna


Dada una participación relativa de activos financieros, el portafolio resultante tiene sus propios parámetros estadísticos calculados a partir de los parámetros individuales de cada activo y los coeficientes de correlación (y/o covarianzas).


El Retorno de un Portafolio• El retorno esperado del portafolio, (Rp) resulta del

promedio ponderado, por las participaciones relativas (wi), de los retornos individuales (Ri).

• Retorno de un portafolio de n activos:

• Retorno de un portafolio de tres activos:


El Riesgo de un Portafolio • El cálculo de la desviación estándar del portafolio (sp) es un poco

más complicado que el cálculo del retorno y obedece a la siguiente fórmula general para un Portafolio de n Activos:

• Para este caso de un Portafolio de tres Activos (n=3), la desviación estándar es:

• Equivalente a:


Esquema Generalizado del cálculo del Riesgo de un Portafolio

• La varianza de los retornos del portafolio es el cuadrado de la desviación estándar y en valor es la suma de los términos de la matriz de covarianzas ponderada por las posiciones relativas de cada activo del portafolio.

• Donde W es la matriz de las posiciones relativas (nx1: n filas por una columna), W´es la matriz de posiciones relativas transpuesta (1xn: una fila por n columnas) y S es la matriz de covarianzas del portafolio.


• La matriz de covarianzas ponderadas, para el caso de tres activos, se puede obtener prácticamente en la siguiente tabla multiplicando cada elemento de la matriz de correlaciones por los correspondientes elementos de las dos primeras filas y de las dos primeras columnas, donde se encuentran los valores de las participaciones relativas y las desviaciones estándar de cada activo del portafolio.


Determinación práctica del Riesgo de un Portafolio de Tres Activos


LA FRONTERA EFICIENTE PARA UN PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS

• Se ha obtenido hasta el momento la rentabilidad y riesgo de una determinada combinación de los tres activos financieros que conforman este portafolio particular. Cada combinación da lugar a un portafolio posible con su propio retorno promedio y desviación estándar. Las combinaciones son ilimitadas. Una de esas combinaciones dará lugar al portafolio óptimo y otra combinación dará el portafolio de mínima varianza. Ambos portafolios están formados por participaciones relativas (aún desconocidas) de los tres activos financieros.

• Recordando que en el caso de dos activos financieros, el conjunto de portafolios posibles se representaba por una curva de rentabilidad y riesgo llamada la Frontera Eficiente, se puede llegar ala conclusión que en este caso de un portafolio de tres activos, la Frontera Eficiente toma la forma de la envolvente a una Familia de curvas de rentabilidad y riesgo. Sobre la parte superior de dicha envolvente todavía hay una infinidad de portafolios en los que la rentabilidad aumenta con el riesgo y cualquiera de ellos podría ser aceptable para distintos inversionistas.


LA LÍNEA DE MERCADO Y EL RETORNO DE MERCADO

• Un portafolio formado por un activo libre de riesgo y un activo con riesgo tiene un intercambio lineal de rentabilidad y riesgo.

• Suponiendo que la inversión en uno de los activos es excluyente, se puede formar con cada uno de los tres activos financieros (fondos mutuos) y el activo libre de riesgo un portafolio cuya rentabilidad esperada y su desviación estándar cumplen las fórmulas indicadas en el cuadro adjunto.

• En el siguiente gráfico cada punto de una misma recta representa una combinación diferente de las participaciones relativas de un activo con riesgo y del activo libre de riesgo.


Una vez determinado el punto T, y por lo tanto conocidas las participaciones relativas de cada activo con riesgo en el portafolio optimo y la pendiente de la Línea de Mercado, el inversionista podrá escoger, de acuerdo a sus preferencias de rentabilidad y riesgo, cualquier combinación de ese portafolio optimo y del activo libre de riesgo, prestando o pidiendo prestado a la tasa libre de riesgo (desplazándose sobre la Línea de mercado).


DETERMINACIÓN DEL PUNTO TANGENTE DEL PORTAFOLIO

• Recordando que la Línea de Mercado está formada por la inversión en un activo libre de riesgo y un activo con riesgo (en este caso el portafolio de tres activos), se puede demostrar que el Retorno del Mercado se encontrará al determinar las posiciones relativas de cada activo financiero del portafolio óptimo con la solución simultánea del siguiente juego de ecuaciones:


El método de los determinantes, que en pocas líneas consiste en armar las tres matrices adicionales que se muestran a continuación, consiste en reemplazar sucesivamente en la matriz de covarianzas, los términos de la derecha del sistema de ecuaciones por los coeficientes de cada incógnita.


Dividiendo cada determinante wi por la determinante de la matriz de covarianzas se obtiene los pesos relativos de cada activo financiero en el portafolio más eficiente en cuanto a balance de rentabilidad y riesgo. Para llevar estos resultados a porcentajes se dividen por la suma y se multiplica por cien.

Matriz de covarianzas


Con esto nuevos valores de la participación relativa se calcula el retorno y la desviación estándar del portafolio óptimo.

El primer activo (en este caso resulta ser el de menor rentabilidad y riesgo intermedio) tiene una participación relativa negativa, lo que significa que se toma una posición “corta” (se vende un activo que no se posee para invertir en los otros dos, para lo cual es necesario prestarse los valores de alguien más; para cerrar la posición corta, se deberá recomprar el activo y devolverlo al dueño original). Se produce un efecto de apalancamiento al vender en corto el activo con menor rentabilidad para comprara activos de mayor rentabilidad .El segundo activo de mayor rentabilidad tiene una participación menor que el tercer activo, lo que aparentemente sería un resultado sorprendente, pero debemos recordar que en este caso el segundo activo también es el de mayor riesgo.


DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE MÍNIMA VARIANZA.

Esta constante no es muy importante en sí mismo ya que luego los pesos relativos se llevarán a un porcentaje.


Los inversionista que son extremadamente adversos al riesgo puede seleccionar el portafolio de mínima varianza cuando el activo libre de riesgo no se encuentran disponible para invertir en él riesgo (actualmente esta situación se da cada vez con menor frecuencia dada la tendencia mundial de libre movimiento de capitales).


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