Algoritmos Codiciosos y problemas de Optimización en...

Algoritmos Codiciosos y problemas deOptimizacion en Grafos

CSI / Depto Matematicas

CB102

CSI / Depto Matematicas Algoritmos Codiciosos y problemas de Optimizacion en Grafos

Conceptos

Un arbol es un grafo conexo y sincircuitos. Un arbol trivial es ungrafo que consiste de un solo vertice.Un grafo sin circuitos se dicebosque. En un arbol G a un verticecon grado 1 se le llamara verticeterminal. Un vertice con gradomayor que 1 se llamara vertice ramao interno.

Ejemplo

de arbol:


Conceptos


Ejemplo

de arbol trivial:


Conceptos


Ejemplo

de bosque:


Conceptos


Ejemplo

de verticesterminales einternos:


Propiedad 1

Propiedad 1

Teorema

En un arbol T hay exactamente un camino entre todopar de vertices

Como T es un arbol, T es conexo. Ası, entre todo par de verticeshay al menos un camino. Si entre dos vertices a y b hubiera doscaminos distintos la union de esos dos caminos contendrıa uncircuito y por tanto T no serıa un arbol.


Propiedad 2

Propiedad 2

Teorema

Un grafo G es un arbol si y solo si entre cada par devertices de G existe solo un camino que los une.

Si G es un arbol, por el teorema anterior la propiedad se tiene.Supongamos ahora que la propiedad se cumple. Veamos que Gdebe ser un arbol, para ello veamos que es conexo y sin circuitos.Por la propiedad, entre todo par de vertices hay un camino que losune. Ası, G es conexo. Si existiera un circuito en G , se tendrıandos distintos caminos entre dos de los vertices del circuito. Lo cualcontradice la propiedad. Por tanto, no existen circuitos en G . Portanto, G es un arbol.


Propiedad 3

Propiedad 3

Teorema

Un arbol T con n vertices tiene n − 1 lados.

La prueba se hara por induccion fuerte sobre n. El caso n = 1 es el arbol trivial con cero lados. Supongamos que la

propiedad se cumple para todos los arboles con menos de k vertices. Veamos que se cumple para un grafo

cualquiera de k + 1 vertices. Suponga un arbol T cualquiera con k + 1 vertices. Sean vi y vj dos vertices unidos

por el lado e en T . Por la propiedad 2 no existe un camino que una vi y vj excepto el que se reduce al lado e. Al

remover e de los lados de T , T tendra exactamente dos componentes conexas digamos T1 y T2. Ambas son

conexas, no tienen circuitos y tienen un menor numero de vertices que T . Ası, son arboles a los cuales se le puede

aplicar la hipotesis inductiva. Digamos que T1 tiene n1 vertices y que T2 tiene n2 vertices. Ası, el numero de lados

de T1 es n1 y el de T2 es n2 − 1. Por tanto, n = n1 + n2 y el numero de lados de T es (n1 − 1) + (n2 − 1) + 1.


Tarea

Propiedad 4

Teorema

Cualquier grafo conexo con n − 1 lados es un arbol.

Propiedad 5

Teorema

Un grafo es un arbol si y solo si esta mınimamenteconectado.

Propiedad 6

Teorema

Un grafo con n vertices, n − 1 lados y sin circuitos esconexo.


Definicion

Un arbol abarcador para un grafo no dirigido conexo G = (V ,E )es un subgrafo de G que es un arbol y que contiene todos losvertices de V . En el caso de un grafo con peso G = (V ,E ,w), unarbol abarcador minimal (o MST por sus siglas en ingles) es unarbol abarcador cuyo peso total es mınimo.

4

32

1

2

3 12

32

14

21


Ideas

Determinar un MST es un problema de optimizacion.

Una primera idea es seguir una estrategia codiciosa (greedy):avanzar escogiendo una accion que incurra a corto plazo en elmenor costo posible. (¿Se dara la situacion donde estasdecisiones lleven a una situacion en la que no se puedan evitarcostos altos?)

La seleccion de lados de mınimo peso para ir construyendo unarbol, ¿funcionara correctamente?


Clasificacion de vertices

Clasificacion de los vertices en la evolucion del algoritmo:

Vertices en el arbol construyendose: los que sı estan en elarbol.

Vertices en el borde: que no estan en el arbol pero que sonadyacentes a algun vertice que sı lo esta.

Vertices no vistos: todos los demas.


Primera aproximacion al algoritmo de PRIM

primtMST(grafo G, int n)

1. Inicializar los vertices como no vistos.

2. Seleccionar un vertice s para iniciar el arbol.

3. Clasificar todos los adyacentes a s como de borde.

4. Mientras existan vertices en el borde hacer:

4.1 Seleccionar una arista con peso mınimo entre un vertice del arbol t

y uno en el borde v .

4.2 Reclasificar a v como arbol y anadir tv al arbol.

4.3 Reclaclasificar todos vertices no vistos como adyacentes a v como de

borde.


Propiedad a∗

Sea G = (V ,E ,w) un grafo conexo y sea T un arbol abarcador deG . Se dice que T satisface la propiedad a∗ si para cualquier ladouv de E que no esta en T si se anade la arista uv a T se formaraun circuito donde no existe un lado en T de tal circuito que tengamayor peso que uv . Si C es el circuito formado al anadir uv :w(uv) ≥ w(st) para cualquier lado st de C .


Lema 1

Sea G = (V ,E ,w) un grafo conexo y sean T1 y T2 dos arbolesabarcadores que satisfacen la propiedad a∗. Entonces tienen elmismo peso.

Por induccion sobre el n numero de aristas en que difieren T1 y T2. Si

n = 0 entonces son identicos y tienen el mismo peso. Sea k > 0 y

supongamos que la propiedad se cumple para cualquier dos arboles que

satisfacen a∗ y que difieren en j aristas con 0 ≤ j ≤ k . Veamos que se

cumple para j = k + 1. Sean T1 y T2 dos arboles que cumplen la

propiedad a∗ que difieren en k + 1. Sea uv una arista con peso mınimo

entre todas las aristan en que difieren T2 y T1. Digamos que uv este en

T2. En T1 debe haber un camino unico de u a v . Este camino debe

contener un lado que esta en T1 y que no esta en T2 digamos rs.

w(uv) ≥ w(rs) por cumplir T1 la propiedad a∗. w(uv) ≤ w(rs) porque

uv es la de peso menor en la que difieren. Anadimos el lado uv a T1 y

quitamos el lado rs para tener el arbol T ′1. T1 y T ′1 tienen el mismo peso,

T ′1 sigue teniendo la propiedad a∗ y T ′1 y T2 difieren en k aristas. Por la

hipotesis inductiva, T ′1 y T2 tienen el mismo peso. Ası tambien T1 y T2.CSI / Depto Matematicas Algoritmos Codiciosos y problemas de Optimizacion en Grafos

Teorema

Sea G = (V ,E ,w) un grafo conexo. Un arbol T es un MST si ysolo si satisface la propiedad a∗.

Suponga que T es un MST. Suponga que no cumple a∗. entonces existeun par de vertices u y v tal que uv no esta en T y tal que en el caminode T de u a v existe un lado mayor que uv , digamos rs. Cambiemos Treemplazando a rs por uv . Al nuevo arbol abarcador tiene menor pesoque T , contradiciendo que T sea un MST.

Suponga que T cumpla a∗. Sea T2 un MST. Ası por la recien demostrado

T2 cumple a∗. Por el lema, T y T2 son arboles abarcadores que cumplen

a∗. Por el lema probado, T y T2 tienen el mismo peso. Por tanto, no

existe un arbol con menos peso que T . Por tanto, T es un MST.


Lema 2

Sea G = (V ,E ,w) un grafo conexo y con peso con n vertices. SeaTk el arbol construido hasta la iteracion k por el algoritmo dePrim y sea Gk el subgrafo de G que consta de los vertices de Tk .Entonces Tk cumple a∗ para Gk .

Por induccion sobre k. Claramente, vale para k = 0. Supongamosque Tk cumple a∗ para Gk . Veamos que Tk+1 tambien la cumplepara Gk+1. Supongamos que no. Debe existir un lado uv que noesta en Tk+1 que cuando se anade a Tk+1 forma un circuito ydonde existe un lado de Tk+1, tr con peso mayor: w(uv) < w(tr).Esto es imposible: si todos los lados del circuito excepto uv estanen Tk , por tanto el lado que se anadio en la iteracion k + 1 debeestar en tal circuito. Ası mismo, todos los lados del circuito queestan en Tk no tienen peso mayor que uv . Esto nos lleva a unacontradiccion pues el algoritmo debio haber elegido uv en lugar detr .


Teorema

El algoritmo de Prim produce un MST.

Por el lema anterior, el arbol obtenido en la iteracion n cumple a∗

para G = Gn y por tanto es un MST.


Prim: con colas de prioridad

primMST(G,n)Inicializar la cola de prioridad cp como vacıa;Seleccionar un vertice arbitrario s para iniciar el arbol;Insertar (cp,s,0);Mientras cp no este vacıa hacer:

v = obtenerMin(cp); borrarMin(cp);anadir la arista que une con v al arbol;actualizar el borde del arbol;

actualizarBorde (cp, G, v);Para todos los vertices u de G adyacentes a v

Si u no vistoInsertar en cp (u,w(v , u));

Si u esta en la cola de prioridad cp hacer:Si la prioridad en cp de u es menor que w(v , u)

Cambiar la prioridad en cp de u por w(v , u).


i Padre Pri Sta

A -1 ∞ N

B -1 ∞ N

C -1 ∞ N

D -1 ∞ N

E -1 ∞ N

F -1 ∞ N

G -1 ∞ N

H -1 ∞ N

I -1 ∞ N

primMST(Grafo G,int n,int s,int padre[])cp = crear(n, Sta, Padre, Pri)insertar(cp,s,-1,0)while (estaVacia(cp) == False)

v = obtenerMin(cp);borrarMin(cp);

actualizaBorde(cp, G, v);

A B

C

DE

F

G

HI

2

3

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4


i Padre Pri Sta

A -1 0 N

B -1 ∞ N

C -1 ∞ N

D -1 ∞ N

E -1 ∞ N

F -1 ∞ N

G -1 ∞ N

H -1 ∞ N

I -1 ∞ N




A B

C

DE

F

G

HI

2

3

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4


i Padre Pri Sta

A -1 0 Ar

B -1 ∞ N

C -1 ∞ N

D -1 ∞ N

E -1 ∞ N

F -1 ∞ N

G -1 ∞ N

H -1 ∞ N

I -1 ∞ N




A B

C

DE

F

G

HI

2

3

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4


i Padre Pri Sta

A -1 0 Ar

B A 2 Bo

C -1 ∞ N

D -1 ∞ N

E -1 ∞ N

F A 7 Bo

G A 3 Bo

H -1 ∞ N

I -1 ∞ N




A B

C

DE

F

G

HI

2

3

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4


i Padre Pri Sta

A -1 0 Ar

B A 2 Ar

C -1 ∞ N

D -1 ∞ N

E -1 ∞ N

F A 7 Bo

G A 3 Bo

H -1 ∞ N

I -1 ∞ N




A B

C

DE

F

G

HI

2

3

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4


i Padre Pri Sta

A -1 0 Ar

B A 2 Ar

C B 4 Bo

D -1 ∞ N

E -1 ∞ N

F A 7 Bo

G A 3 Bo

H -1 ∞ N

I -1 ∞ N




A B

C

DE

F

G

HI

2

3

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4


i Padre Pri Sta

A -1 0 Ar

B A 2 Ar

C B 4 Bo

D -1 ∞ N

E -1 ∞ N

F A 7 Bo

G A 3 Ar

H -1 ∞ N

I -1 ∞ N




A B

C

DE

F

G

HI

2

3

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4


i Padre Pri Sta

A -1 0 Ar

B A 2 Ar

C B 4 Bo

D -1 ∞ N

E -1 ∞ N

F A 7 Bo

G A 3 Ar

H -1 ∞ N

I G 1 Bo




A B

C

DE

F

G

HI

2

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4

3


i Padre Pri Sta

A -1 0 Ar

B A 2 Ar

C

D

E

F

G A 3 Ar

H

I




A B

C

DE

F

G

HI

2

3

7

6

4

2

28

1

26

5

1 3

4


Complejidad

T (n,m) = O(n T (obtenerMin) + n T (borrarMin) + m T (decrementarClave))= O(n log(n) + m log(n))


Algoritmo de Kruskal

kruskalMST(G,n,F)Construir una cola de prioridad cp con los lados de G;Inicializar componente conexa (cada nodo en su componente);F=∅;while (vacia(cp) != false)

arista = obtenerMin(cp);borrarMin(cp);u = De(arista);v = A(arista);if (NumeroComponente(u) != NumeroComponente(v))

anadir arista a F;unirComponentes(u,v);


Teorema

El algoritmo de Kruskal produce un MST.

Veamos que el arbol T producido por el algoritmo de Kruskalcumple la propiedad a∗: Razonemos por contradiccion,supongamos que no. Ası, debe existir un lado uv en E que no estaen T y que es tal que cuando se anade a T se forma un circuitodonde uv no es el mayor lado. Por consiguiente, debe haber almenos un lado tr en T en tal circuito con peso mayor:w(uv) < w(tr). Supongamos que el lado tr se anadio a T en laiteracion j . En dicha iteracion, el lado uv no formaba circuito enFj y tenıa un peso menor que tr . Por tanto, es imposible que elalgoritmo haya elegido a tr por encima de uv .


Complejidad Kruskal

T (n,m) = O(m log(m) + (n − 1) AgrupaComponentes(n))= O(m log(n))


El problema del Camino mas Corto

Definicion

Sea G = (V ,E ,w) un grafo con peso y un vertice origen s ∈ V . Elproblema consiste en encontrar el camino mas corto de s a cadavertice de V .


Algoritmo de DijkstradijsktraCC(G ,n,s, padre[])

cp=crear(n,sta,padre,prio);insertar(cp,s,-1,0);while (vacia(cp) != false)

v = obtenerMin(cp);borrarMin(cp);actualizarBorde(cp,G ,v);

actualizarBorde (cp, G, v);d = prioridad(cp,v);Para todos los vertices u de G adyacentes a v ;

Si u no vistopadre[u] = v ;Insertar en cp (u, d + w(v , u));

Si u esta en la cola de prioridad cp hacer:Si la prioridad en cp de u es menor que d + w(v , u)

Cambiar la prioridad en cp de u por d + w(v , u);padre[u] = v ;


El problema del Camino mas Corto

Lema 3

Sea G = (V ,E ,w) un grafo con pesos no negativos. Sea V ′ unsubconjunto de V y sea s un elemento de V ′. Suponga que d(s, y)es la distancia mas corta de s a y en G : si se escoge la arista yz demodo que d(s, y) + W (yz) es mınima entre todas las aristas quetienen un vertice y ∈ V ′ y un vertice z ∈ V − V ′, entonces elcamino mas corto de s a z es el camino mas corto de s a y seguidode la arista yz .

Razonemos por contradiccion: Supongamos que no, entonces debe haber

un camino de s a z que es mas corto: sea z1 el primer elemento de

V − V ′ en este camino y sea y1 el elemento de V ′ anterior a z1. Por

tanto, d(s, y1) + w(y1, z1) < d(s, z) ≤ d(s, y) + w(y , z). Esto es

imposible, pues se contradice la eleccion de z .


Teorema

Dado un grafo ponderado G = (V ,E ,w) con pesos no negativos yun vertice s ∈ V . Entonces el algoritmo de Disjktra determina ladistancia mas corta de s a todos los vertices a los que se puedellegar desde s.

La correctitud del algoritmo de Disjktra se obtiene de la aplicacionrepetida del lema 3.


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