Prof.: Juan Necochea Aybar

Elio Necohea Aybar

ANLISIS COMBINATORIO Qu estudia el Anlisis Combinatorio? Las diferentes combinaciones y ordenamientos que se pueden realizar en una cierta cantidad de objetos. Alumna: Mustreme un ejemplo por favor! Profesor: Si disponieras de 3 pantalones diferentes y de 2 blusas tambin diferentes. De cuntas maneras diferentes podrs vestirte? Alumna: De 6 maneras, ya que cont del modo siguiente:

1 1 1 1 2 1 3 1P B P B ; P B ; P B

2 2 1 2 2 2 3 3P B P B ; P B ; P B

3P

Profesor: Pero en este caso, puedes aplicar El principio fundamental del anlisis combinatorio o Principio de la multiplicacin Alumna: Cundo y cmo se aplica? Profesor:

Cuando las operaciones que vas a realizar, actan simultneamente (en forma adjunta), en el ejemplo, necesitas la operacin de vestirte y lo debes de hacer de la siguiente forma: Pantaln y blusa (A la vez)

3 x 2 = 6 maneras

OJO: El conectivo y indica las operaciones o eventos se van a realizar simultneamente, y que para hallar el nmero total de maneras, simplemente hay que multiplicar las posibilidades de cada operacin (principio de multiplicacin).

Alumna: Me puede mostrar otro ejemplo? Profesor: Pero, quiero que me des la solucin. Alumna: Muy bien! Profesor: Si de tu casa a la academia tiene 5 lneas de combi diferentes. De cuntos modos diferentes puede ir y regresar de tu casa a la academia? Alumna: Como necesito Ir y Regresar (simultneamente) 5 x 5 = 25

6

maneras

Nmero de posibilidades

Segn dato

Academia Antonio Raimondi siempre los primeros 22 Profesor: Me sorprendes! Alumna: Siempre se aplica este mtodo? Profesor: No siempre, tambin existe El Principio de la Adicin Alumna: Un ejemplo Profesor: Si deseas viajar a Ecuador dispone de 3 barcos, 5 aviones y 4 bus (todos diferentes entre s) De cuntas maneras puedes viajar a Ecuador? RESOLUCIN *) Para viajar, lo puedes hacer, ya sea en: Barco o avin o bus 3 + 5 + 4 = 12 maneras

OJO: El conectivo o indica que las operaciones o eventos no pueden actuar simultneamente y que debemos sumar (principio aditivo).

Alumna: Son los nicos mtodos para contar? Profesor: Tambin existe: las combinaciones permutaciones lineales, permutaciones circulares, permutaciones con repeticin, diagramas. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA ADICION: Si el evento A puede ocurrir de m maneras diferentes y el evento B puede ocurrir de n maneras diferentes y si A y B no pueden ocurrir simultneamente entonces el evento A o B se podr realizar de m+n maneras diferentes. Ejemplos: 1.- Una persona puede viajar de Lima a Cuzco por va area usando 2 lneas de transporte areo o por va terrestre a travs de 3 lneas de mnibus

De cuantas formas puede realizar el viaje de Lima a Cusco? a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3 2.- Juan desea comprar un libro de lgebra que es vendido en 3 lugares distintos ; frente a la UNSAAC en dos puestos de venta; en la Avenida el Sol en 3 libreras y en la feria de libros en 4 kioscos diferentes De cuntas maneras puede obtener el libro de lgebra? a) 9 b) 10 c) 45 d) 30 e) 24 3.- Wilfredo desea cruzar un ro para ello puede utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeas o un deslizador De cuntas formas podr cruzar el ro utilizando uno de los medios de transporte sealados? a) 6 b) 8 c) 12 d) 3 e) 24 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA MULTIPLICACION: Si el evento A puede ocurrir de m maneras diferentes y despus de haber ocurrido cualquiera de ellas otro evento B puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces los eventos A y B pueden ocurrir de manera conjunta de m.n maneras distintas. Ejemplos: 1.- Elio tiene 2 polos distintos y 3 pantalones diferentes De cuntas maneras distintas puede vestirse utilizando dichas prendas? a) 12 b) 10 c) 6 d) 3 e) 24 2,- Para ir de Lima a Ica hay 3 lneas de mnibus diferentes para ir de Ica a Arequipa hay 4 lneas de transporte y para llegar a Cusco de arequipa existen 2 lneas. De cuntas maneras puede ir Yasmina de Lima a Cusco pasando por Ica y Arequipa? a) 9 b) 10 c) 12 d) 30 e) 24 3.- Melvin tiene 3 blusas diferentes 2 pantalones

distintos y 2 pares de zapatillas de diferente modelo De cuntas formas distintas puede vestirse usando dichos artculos? a) 12 b) 10 c) 7

d) 3 e) 24

# de posibilidades

Pero no en barco,

avin y bus a la vez

lgebra Profs.: Juan y Elio Necochea Aybar 33 4.- De cuntas maneras diferentes podr vestirse un estudiante si tiene 2 camisas y tres pantalones. a) 6 b) 10 c) 12 d) 5 e) 2

EJERCICIOS

1.- De cuntas maneras podr vestirse una persona que tiene 2 pares de zapatos, 3 pantalones, 4 pares de medias y 5 camisas?

a) 14 b) 100 c) 120 d) 30 e) 240 CUNDO SE APLICAN Y CULES SON

SUS DIFERENCIAS?

A) nkCOMBINACIN C

Donde:

k veces

n n n 1 n 2 ... n k 1k k k 1 k 2 ...3x2x1

C

* 52

5 4C 10

2 1

*

74

7 6 5 4C

4 3 2 1

* n1

nC n

1 *

n n0 nC C 1

APLICACIN DE LA COMBINACIN: Cuando nos piden agrupar un conjunto de elementos o parte de todos los elementos sin interesar el orden de los elementos, de modo que cada grupo se diferencie de otro en por lo menos un elemento.

Ejemplo 01: Con Tati, Paco y Pito, Cuntos grupos de 2

personas se pueden formar?

Resolucin:

Contando

Tati, Paco Paco, Tati

Tati, Pito

Paco, Pito

Aplicando combinaciones:

3 x 2Nmero 32de grupos 3 x 1

C 3

Ejemplo 02: Cuntos tringulos se podrn formar al unir 7 puntos colineales? Resolucin: Para formar un tringulo es suficiente 3 puntos no colineales y como:

ABC ACB (no interesa el orden)

7 x 6 x 5Nmero de 73tringulos 3 x 2 x 1

C 35

Ejemplos: 1.- De cuntas maneras diferentes se pueden escoger 3 nios de un total de 5? 2.- De un grupo de 7 personas se quiere formar una comisin de 3 personas De cuntas maneras diferentes se puede formar dicha comisin? 3.- A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores Cuntas partidas s e jugar si se juega todos contra todos? 4.- En un examen se proponen 8 problemas con la condicin de resolver de resolver como mnimo 5 De cuntas maneras distintas se podrn elegir dichos problemas? IMPORTANTE: En la permutacin interesa el orden se busca ordenaciones. En las combinaciones no interesa el orden se busca agrupaciones. 1.- De un grupo de 7 personas se desea seleccionar un comit que este integrado por cuatro personas. De cuntas maneras se podr hacer esto? a) 10 b) 16 c) 18 d) 35 e) 12 2.- De cinco hombres y cuatro mujeres se debe escoger un comit de seis personas. De cuntas maneras se podr hacer esto si en el comit deben haber dos mujeres? a) 30 b) 36 c) 42 d) 25 e) 45 3.- Al trmino de una reunin hubieron 28 estrechones de mano. Suponiendo que cada uno de los participantes fue cortes con cada uno de los

3 maneras

diferentes

No interesa

el orden

Academia Antonio Raimondi siempre los primeros 44 dems el nmero de personas presentes era. a) 14 b) 56 c) 28 d) 8 e) 7 4.- De 5 fsicos, 4 qumicos y 3 matemticos se tiene que escoger un comit de 6, de modo que se incluyan 3 fsicos, 2 qumicos y 1 matemtico. De cuntas maneras puede hacerse esto? a) 180 b) 182 c) 190 d) 200 e) 117

B) nkPERMUTACIN P Donde:

nk

k veces

C n n 1 n 2 ... n k 1

* 52P 5 x 4 20

* 44P 4 x 3 x 2 x 1 24

* nn nP n n 1 n 2 ....3 x 2 x 1 P

(Convencin): nn nP P

APLICACIN DE LA PERMUTACIN: Cuando nos piden agrupar y ordenar (permutar) a la vez, los elementos de un conjunto, con parte o todos los elementos, interesando el orden, de modo que cada grupo se diferencie de otro por lo menos un elemento, por el orden opuesto. Ejemplo 01: Cuntos nmeros de 2 cifras diferentes se pueden formar con los dgitos 3; 4 y 5? Resolucin:

Contando

34 43

35, 53

45, 54

* Aplicando Permutaciones:

32P 3 x 2 6

Ejemplo 02:

En una carrera participan 4 atletas. De cuntas maneras pueden llegar a la meta, si llega uno a continuacin del otro? Resolucin: * Sean: A; B; C y D los atletas y como:

Nmero de 4 posiciones

maneras 4 atletasP 4 x 3 x 2 x 1 24

Alumna: Cundo aplico combinaciones y cuando permutaciones y como me doy cuenta? Profesor: La diferencia radica en el orden

Combinacin Permutacin No importa el

orden Importa el

orden

AB BA AB BA IMPORTANTE: En la permutacin interesa el orden se busca ordenaciones. En las combinaciones no interesa el orden se busca agrupaciones. Tambin debes considerar las siguientes relaciones:

n n !k n k ! k!

C

n n !k n k !

P

nn nP P n!

C) CircularnPERMUTACIN CIRCULAR P

Donde: circularnP n 1 !

APLICACIN DE LA PERMUTACIN CIRCULAR.- Cuando nos piden ordenar un grupo de elementos alrededor de un objeto. En

6 nmeros de 2

cifras diferentes

Interesa

el orden

Dgitos disponibles

Tomados de 2 en 2

Posiciones

(Interesa el orden)

4 3 2 1 4 3 2 1

D C B A D C A B

lgebra Profs.: Juan y Elio Necochea Aybar 55 estas ordenaciones no hay primer ni ltimo elemento, para calcular el nmero de permutaciones circulares, basta fijar la posicin de uno de ellos y los (n 1) restantes se podrn ordenar de (n 1)!, maneras. Ejemplo 01: De cuantas maneras distintas, se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa? Resolucin:

circular5P 5 1 ! 4 ! 4 x 3 x 2 x1 24 maneras

Ms ejemplos: 1.- De cuntas maneras pueden sentarse cuatro personas alrededor de una mesa circular? 2.- De cuntas maneras se podr ordenar 3 objetos alrededor de una mesa redonda? 3.- Alrededor de una torta de cumpleaos se ubican 6 vasos diferentes De cuntas formas pueden ser ubicados?

EJERCICIOS 1.- En una final de competencia automovilstica intervienen los cinco coches favoritos A, B, C, D, E. De cuntas maneras puede terminar la competencia? a) 120 b) 125 c) 12 d) 42 e) 24 2.- Dos varones y 3 chicas van al cine y encuentran cinco asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse De cuntas maneras diferentes pueden sentarse si las 3 chicas no quieren estar una al costado de la otra? a) 10 b) 16 c) 18 d) 15 e) 12

D)

na;b;c ...PERMUTACIN CON ELEMENTOS

REPETIDOS P

Donde: n n !a;b;c... a ! x b! x c!...

P

Aplicacin: Cuando nos piden ordenar un grupo de elementos, los cuales no son todos diferentes. Por ejemplo:

Ejemplo 01: Se tienen 3 bolas azules y 2 negras todas numeradas del 1 al 5. De cuntas maneras se pueden ordenar en fila? Resolucin: n = 5 a = 3 b = 2

Nmero de 5 5 !

maneras 3;2 3! x 2!

120P 10

6 x 2

OJO: n nn 0C C 1

n nk n kC C

11

n n nk k kC C C

n n n n n1 2 3 nC C C ... C 2 1

nrCOMBINACIONES CON REPETICIN (CR )

Combinaciones con repeticin de n elementos de orden r, son todas las agrupaciones de un nmero r de elementos con repeticin de un conjunto de n objetos (sin restricciones r respecto de n) PROPIEDAD: El elemento de combinaciones con repeticin de

n elementos de orden r, denotado por nrCR ,

est dado por

n n r 1r rCR C

Ejemplo 01: Cuntas agrupaciones de dos elementos se pueden formar con las letras: A, B, C y D, si se permite repeticiones? a) 9 b) 10 c) 6 d) 8 e) 12

Resolucin: El problema de una combinacin con repeticin. El nmero de maneras en que se pueden formar agrupaciones de dos letras con repeticin es:

4 4 2 1 52 2 2CR C C 10

Academia Antonio Raimondi siempre los primeros 66 Estas agrupaciones son:

AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD.

Rpta.: 10

Ejemplo 02: De cuntas formas podemos distribuir 4 caramelos idnticos entre 3 nios? a) 24 b) 20 c) 10 d) 4 e) 15 Resolucin: El problema es una combinacin con repeticin entonces el nmero de maneras en que podemos distribuir los 4 caramelos entre los 3 nios es:

3 3 4 1 64 4 4CR CR C 15

Rpta.: 15

Ejemplo 03: De cuntas formas se puede distribuir 7 canicas blancas idnticas en 4 recipientes diferentes? a) 84 b) 72 c) 36 d) 240 e) 120 Resolucin: El problema es una combinacin con repeticin de 4 elementos de orden 7. Entonces el nmero de forma que se distribuye las canicas en los recipientes es:

4 4 7 1 107 7 7CR C C 120

Rpta.: 120

DIAGRAMA DEL RBOL Un diagrama de rbol es el dibujo que se usa para aumentar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un nmero finito de maneras. En los ejemplos que siguen, ilustraremos la construccin de diagramas de rbol. Ejemplo 01: Si en una prueba de verdadero falso hay tres preguntas, de cuantas formas diferentes pueden contestarse estas tres preguntas? a) 8 b) 6 c) 10 d) 4 e) 3 Resolucin:

Consideramos V para la respuesta verdadera y F para la respuesta falsa. Los resultados posibles del problema lo obtendremos construyendo un diagrama de rbol. La construccin del diagrama de rbol se realiza de izquierda a derecha y en cada rama se coloca los resultados posibles del experimento dado. Los puntos finales del diagrama de rbol indica el nmero de resultados posibles de la prueba. Los 8 resultados posibles de la prueba son:

VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF

Rpta.: 8

VARIACIONES Una variacin de un cierto nmero de elementos es una disposicin de una parte de ellos en un orden determinado. Tambin: Se denomina variacin de m elementos de un conjunto base a otro conjunto ordenado cuyos elementos son grupos que involucran a n elementos del conjunto base de tal modo que cada grupo se diferencia de otro en el orden de colocacin o al menos en uno de sus elementos. Una variacin de un cierto nmero de elementos es una disposicin de una parte de ellos en un orden determinado.

Frmula: mn

m!V

(m n)!

Ejemplos: 1.- Calcular n en :

n n 15 4a) V 5V Rpta : .....

2.- Resolver:

x x4 2a) V 20V

x x 26 4b) V 90V

x 3 x 44 2c) V 10V

3.- Cuntas palabras de dos letras diferentes se pueden formar con las letras: a,b,c,d. Rpta.:

EJERCICIOS

lgebra Profs.: Juan y Elio Necochea Aybar 77 1.- Cuntos nmeros de dos cifras diferentes se pueden formar con los siguientes dgitos: 1.3.4.5.7 a) 6 b) 30 c) 12 d) 42 e) 24 2.- Con 6 consonantes y 3 vocales cuntos palabras que contengan 3 consonantes y 2 vocales se pueden formar sin que haya dos consonantes juntas? a) 14 b) 100 c) 720 d) 30 e) 240 3.- Si el cudruplo del nmero de variaciones de n objetos tomados de 3 en 3 es igual al quntuplo del nmero de variaciones de n-1 objetos tomados de 3 en 3, cul es el valor de n? a) 14 b) 15 c) 12 d) 16 e) 24 4.- El nmero de maneras en que se puede confeccionar una bandera de franjas de tres colores si se tiene tela de 5 colores distintos es: a) 10 b) 50 c) 60 d) 30 e) 240

PROBLEMAS RESUELTOS

ENUNCIADO: Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre s 1.- De cuntas maneras diferentes puede vestirse? a) 15 b) 240 c) 60 d) 120 e) 72 Resolucin: * Para vestirse lo har con:

Pantaln y camisa y zapatos

6 x 4 x 5 = 120 maneras * Donde: y se interpreta como principio multiplicativo

Rpta.: 120 2.- De cuntas maneras diferentes puede vestirse si 3 de los pantalones fueron iguales? a) 120 b) 60 c) 80 d) 12 e) 720 Resolucin:

4 diferentes

Pantalones(3 iguales) 1 2 3 4 4 4: P ; P ; P ; P ; P ; P

* Luego habr 4 combinaciones disponibles para los pantalones. * Entonces para vestirse necesitar:

Pantaln y camisa y zapatos

4 x 4 x 5 = 80

Rpta.: 80

3. De cuntas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre lo uso con el pantaln azul? a) 95 b) 80 c) 120 d) 61 e) 91 Resolucin: Separamos la camisa blanca, luego: Para vestirse lo har con:

Pantaln y camisa y zapatos

6 x 3 x 5 = 90 Pantaln y camisa y zapatos azul blanca 1 x 1 x 5 = 5

Nmerode maneras 90 5 95

Rpta.: 95

ENUNCIADO: De Lima a Ica existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna 5 caminos tambin diferentes. 4. De cuntas maneras diferentes podr ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica? a) 9 b) 20 c) 12 d) 40 e) 625 Resolucin: Para ir: Lima Tacna, tengo que viajar:

Lima Ica y Ica Tacna

4 x 5 = 20 manzanas

Rpta.: 20

Sin incluirla blanca

LIMA TACNA

ICA

Academia Antonio Raimondi siempre los primeros 88 5.- De cuntas maneras diferentes se podr ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 400 b) 380 c) 240 d) 399 e) 401 Resolucin: Para que la ruta de regreso sea diferente a la de ida, uno no debe regresar por la misma ruta, es decir que para el regreso tendr una posibilidad menos que las posibilidades de ida: Ir y regresar (Ruta diferente) 20 x 19 = 380

Rpta.: 380 6.- De cuntas maneras diferentes se puede distribuir 3 fichas iguales en un recuadro como se muestra en la figura, si en cada fila y columna haya a lo ms una ficha? a) 27 b) 81 c) 3 d) 6 e) 24 Resolucin: Para colocar la primera ficha en la 1era columna se tendr 3 posibilidades. La segunda ficha necesariamente en la 2da columna, donde tendr 2 posibilidades (ya que no podr colocarse en la fila que se coloc la primera ficha). La tercera en la tercera columna, donde tendr 1 posibilidad (ya que no puede colocarse en las filas que fueron colocados la primera y segunda ficha), pero debemos colocarlos a la vez, entonces: 1 y 2 y 3 ficha

3 x 2 x 1 = 6

Rpta.: 6

OJO: Es distribuciones se muestran a continuacin

7.- Cuntos nmeros de tres cifras existen?

a) 99 b) 999 c) 899 d) 900 e) 100 Resolucin: Un nmero de 3 cifras esta formado por:

Centenas y Decenas y Unidades

Rpta.: 900 8.- Al lanzar un dado y una moneda simultneamente. Cuntos resultados se obtendrn? a) 7 b) 8 c) 10 d) 4 e) 12 Resolucin: Dado y moneda 6 x 2 = 12 resultados

Rpta.: 12

OJO: Tambin se puede mostrar por el diagrama del rbol.

Moneda y Dado

Donde: C = cara S = sello

9.- Se tiene una urna con fichas azules y verdes, para ganar 1 sol, es necesario sacar 2 fichas azules seguidas 2 fichas verdes de cualquier forma.

De cuantas maneras se puede ganar un sol?

20 1

Nmero demaneras

Nmero deposibilidades

100

211

322

: : :

999

Puedenser

OJO :

Un nmero no

puede empezar

con cero, es decir

a 0

9 x10 x10 900 # s de 3 cifras

a b c

Posibilidades

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

C

S

12 maneras

lgebra Profs.: Juan y Elio Necochea Aybar 99 a) 7 b) 2 c) 6 d) 8 e) 9 Resolucion: * Por el diagrama de rbol:

1ra

Extraccin 2da

Extraccin 3ra

Extraccin 4 ta

Extraccin

AA, AVAA, AVAV, VVV, VA, VVA, VVV

Segn el grfico, puedo ganar 1 sol de 7 maneras donde: A: azul ; V: verde.

Rpta.: 7

10.- Un producto se vende en tres mercados en el primero se tienen disponibles 7 tiendas en el

segundo en 4 tiendas y en el tercero en 6 tiendas. De cuntas maneras puede adquirir una persona un ejemplar de dicho producto? a) 148 b) 17 c) 168

d) 24 e) 236

Resolucin: El producto lo podr adquirir en el:

1er 2do 3er Pr incipio

mercado mercado mercado aditivoo o

7 + 4 + 6 = 17 maneras

Rpta.: 17

11.- Cuntos grupos diferentes de 2 elementos, se puede formar con 10 elementos?

a) 10 b) 100 c) 45

d) 50 e) 55 Resolucin: Sean A y B 2 elementos luego AB y BA representan el mismo grupo (no interesa el orden), entonces aplicaremos combinaciones:

# de grupos de 2 en 2: 10 x 910

2 2 x 1C 45

Rpta.: 45

12.- Con seis pesas de 1; 2; 3; 5; 10; 30; 70 kg. Cuntas pesas diferentes pueden obtenerse, tomando aquellas de 3 en 3? a) 15 b) 120 c) 20 d) 60 e) 80 Resolucin: Como los grupos 1; 2; 5 y 5; 2; 1 representan el mismo peso, entonces no importa el orden:

6 x 5 x 4# de grupos 63de 3 en 3 3 x 2 x 1

: C 20

Rpta.: 20

13.- Un total de 120 estrechadas de mano se

efectuaron al final de la fiesta. Si cada

participante es corts con los dems, el nmero de personas era: a) 12 b) 18 c) 20 d) 14 e) 16

Resolucin: Sea: n: Nmero de personas y cmo las estrechadas de mano se dan cada 2 personas (sin

interesar el orden)

# de estrechadas de mano: n2C 120

n n 12 x 1

120 n n 1 240

n n 1 16 x 15

n 16

Rpta.: 16

14.- De cuntas maneras puede escogerse un comit compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

a) 530 b) 350 c) 305 d) 450 e) 380 Resolucin:

I. Los hombres lo escogeremos de un grupo de 7. II. Las 2 mujeres lo escogeremos de un grupo de

5, y cmo queremos

Un comit de 5 personas Hombres y Mujeres

A A sol A sol

A

V V sol

V sol

V A sol

A sol

V sol

V

Pesas disponibles

Academia Antonio Raimondi siempre los primeros 1100

73C x

53C = 35 x 10

= 350

Rpta.: 350

15.- 5 viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles. De cuntas maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en

hoteles diferentes? a) 60 b) 24 c) 120 d) 720 e) 30

Resolucin: Como es diferente hospedarse en el hotel A, que en el hotel B (interesa el orden), luego aplicaremos.

65P 6 x 5 x 4 x 3 x 2 720 maneras

Rpta.: 720

MISCELANEA 1.- De cuntas maneras diferentes pueden sentarse cinco personas en una banca? a) 120 b) 24 c) 720 d) 15 e) 12 2.- De cuntas maneras 3 hombres y 2 mujeres podrn alinearse en una fila si los hombres tienen que estar juntos y las mujeres tambin? a) 10 b) 6 c) 8 d) 24 e) 12 3.- De un grupo de 5 peruanos 7 chilenos y 6 argentinos se quiere seleccionar un comit de 10 personas de tal modo que en el se encuentren 3 peruanos 4 chilenos y 3 argentinos De cuntas formas diferentes se puede hacer dicha seleccin? a) 70 b) 700 c) 7000 d) 70000 e) 3500 4.- Se va a colorear un mapa de cuatro pases con colores diferentes para cada pas si hay disponibles 6 colores diferentes De cuntas maneras puede colorearse el mapa? a) 120 b) 360 c) 320 d) 720 e) 144 5.- Un estudiante tiene 10 libros de matemtica y el otro tiene 8 libros de fsica De cuntas formas

pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro? a) 1260 b) 620 c) 540 d) 840 e) 1620 6.- Cuntas palabras diferentes sin importar su sentido se pueden formar intercambiando de lugar las letras de la palabra TEMA a) 20 b) 16 c) 24 d) 18 e) 15 7.- Cuntas palabras de 6 letras diferentes que terminen en A pueden obtenerse con las letras de la palabra ROSITA sin que se repita ninguna palabra y sin importar si la palabra tiene sentido o no. a) 24 b) 56 c) 48 d) 120 e) 720 8.- De cuntas formas pueden sentarse 7 personas en un sof si tiene solamente 4 asientos? a) 24 b) 120 c) 48 d) 840 e) 720 9.- 10 nios son ubicados en una misma fila de modo que 3 nios siempre estn juntos .De cuntas maneras se puede hacer: a) 7! b) 8! c) 6.7! d) 6.8! e) 7.8! 10.- Se desea colocar en un estante tres libros distintos de lgebra tres libros diferentes de geometra y tres tambin diferentes de fsica De cuntas formas distintas pueden ser colocados si los libros de cada materia necesariamente deben estar juntos? a) 1296 b) 648 c) 432 d) 216 e) 108 11.- Seis profesores de la Academia Raimondi se encuentran en una ponencia. Determinar cuntos saludos se intercambian como mnimo si 2 de ellos estn reunidos? a) 14 b) 15 c) 28 d) 12 e) 13 12.- En un circo un payaso tiene a su disposicin 5 trajes multicolores diferentes 6 gorras especiales diferentes y 3 triciclos .De cuntas maneras puede seleccionar su equipo para salir a

lgebra Profs.: Juan y Elio Necochea Aybar 1111 la funcin? a) 45 b) 30 c) 90 d) 18 e) 40 13.- En una reunin 10 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse de cuntas maneras pueden ordenarse? a) 9! b) 8! c) 2.9! d) 6.8! e) 3.8!

PRACTICA DIRIGIDA 1.- Al lanzar una moneda y un dado simultneamente. De cuntas formas ocurre? a) 8 b) 12 c) 24 d) 9 e) 48 2.- Si hay 5 candidatos para presidente y 4 para secretario. De cuntas maneras se puede elegir estos 2 cargos? a) 20 b) 9 c) 24 d) 16 e) 21 3.- De cuntas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos (2 iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? a) 420 b) 280 c) 288 d) 840 e) 2880 4.- De cuntas maneras pueden llegar 4 atletas a la meta, si llegan uno a continuacin del otro? a) 6 b) 12 c) 24 d) 20 e) 18 5.- Cuntos partidos de ftbol se jugarn en una sola rueda con 20 equipos, jugando todos contra todos? a) 190 b) 200 c) 20 d) 210 e) 40 6.- De cuntas maneras diferentes, puede un panadero seleccionar 8 ingredientes de un total de 12 disponibles en la bodega? a) 495 b) 96 c) 55 d) 1320 e) 1980 7.- De cuntas maneras diferentes pueden colocarse en fila 5 hombres y 4 mujeres de manera que ests ocupen los lugares pares?

a) 1440 b) 400 c) 200 d) 2880 e) 20 8.- Se tiene 8 corredores De cuntas maneras diferentes se puede premiar a los 4 primeros lugares? a) 3600 b) 600 c)1600 d) 1500 e) 1680 9.- Se tiene 7 frutas diferentes. De cuntas maneras se puede preparar un jugo de 4 frutas? a) 7 b) 21 c) 35 d) 28 e) 70 10.- En que distrito de la capital se quiere elegir un comit, los candidatos son 12 personas de los cuales 7 son mujeres. De cuntas maneras puede escogerse dicho comit compuesto por 3 hombres y 2 mujeres? a) 230 b) 210 c) 315 d) 270 e) 235 11.- De cuntas formas se pueden ordenar 7 libros en un estante si 5 libros siempre deben estar juntos? a) 740 b) 144 c) 720 d) 700 e) 4420 12.- Cuntos objetos diferentes tiene que haber para que el nmero de combinaciones que se puedan formar tomndolos de 3 en 3 sea el doble del nmero de objetos? a) 63 b) 4 c) 2 d) 10 e) 5 13.- De cuntas maneras puede arreglarse en un almacn a 4 libros de matemticas, 3 libros de historia, 3 libros de qumica y 2 libros de sociologa, de tal manera que todos los libros sobre el mismo tema estn juntos? a) 72126 b) 28916 c) 12140 d) 41472 e) 20604 14.- 5 amigos salen de paseo en un automvil en el cual pueden sentarse 2 en la parte delantera y 3 en la parte posterior. De cuntas maneras diferentes podrn sentarse teniendo en cuenta que 2 de ellos no saben manejar? a) 24 b) 48 c) 72

Academia Antonio Raimondi siempre los primeros 1122 d) 120 e) 60 15.- De cuntas maneras puedes colocar 12 nios en una fila, de manera que cuatro nios, en particular queden juntos? a) 6!3! b) 1!6! c) 3!8! d) 9!4! e) 2!5! 16.- Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos, pero en la foto solo pueden aparecer 5 alumnos sentados en lnea recta De cuntas maneras diferentes se puede tomar dicha foto? a) 6750 b) 7820 c) 6720 d) 2450 c) 2730 17.- En una tienda hay 7 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones. De cuntas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan? a) 100 b) 500 c) 300 d) 400 e) 200 18.- Ins tiene cinco amigos y siempre va al cine acompaada por lo menos con uno de ellos. Cuntas alternativas de compaa tiene Ins para ir al cine? a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 41 19.- Con 4 futbolistas y 8 nadadores, Cuntos grupos pueden formarse de 6 integrantes cada uno, de tal manera que en cada grupo est por lo menos un futbolista? a) 698 b) 224 c) 896 d) 869 e) 422 20.- Jorge tiene 6 libros grandes y 5 pequeos. De cuntas maneras diferentes podr colocarlos en un estante en grupos de 5, de los cuales 3 sean grandes y 2 pequeos? a) 12000 b) 24000 c) 200 d) 3360 e) 336