Analisis de un circuito RL

Diego Alejandro Jimenez Rojas Cod:234797Sergio Camilo Galan Yaya Cod:234780

Oscar Leonardo Parra Cod:234281

Septiembre 8, 2014

Figure 1: Esquema de circuito RL

1 Circuito RL

1.1 Analisis mediante variables de estado

Mediante la aplicacion de las leyes de Kirchoff se obtiene:

L.V.KU(t) = VL(t) + Y (t) = VL(t) + VR(t)

Y dado que:

VL(t) = Ldi

dt

Y tomandoX1 iL

Se obtine:VL = LX1

Y dado que la corriente sobre el resistor y la corriente sobre el inductor soniguales, se obtine:

VR(t) = RiR(t) = RiL(t) = RX1

Reemplazando en L.V.K

U(t) = LX1 + VR(t) = LX1 +RX1

Despejando X1:

X1 =U(t)

l RX1

l

1

De tal forma se obtiene la forma canonica:

X = [R/L]X + [1/L]U

Y = [R]X

1.2 Analisis mediante E.D.O.

Mediante L.V.KU(t) = VL(t) + Y (t) = VL(t) + VR(t)

Y dado que:

VL(t) = Ldi

dt

VR(t) = RiL

Integrando en ambos lados de la ecuacionVL(t) dt =

Ldi

Se obtiene: VL(t) dt = LiL

Despejando iL

iL =1

L

VL(t) dt

Reemplazando iLen VR(t)

VR = Y (t) =R

L

VL(t) dt

dy

dt=R

LVL(t)

Despejando VL(t)L

R

dy

dt= VL(t)

Reemplazando VL(t) en el analisis L.V.K, se obtiene la ecuacion diferencial quedescribe el sistema

L

R

dy

dt+ Y (t) = U(t)

1.2.1 Funcion de transferencia

Mediante la transformada de Laplace, se obtiene:

L {LR

dy

dt+ Y (t) = U(t)} = SL

RY (s) + Y (s) = U(s)

Y dado que:

G(s) =Y (s)

U(s)

2

U(s)SLR + 1

= Y (s)

G(s) =1

SLR + 1

Tomando = LR ,se obtiene G(s)

G(s) =Y (s)

U(s)=

1

s + 1

1.2.2 Respuesta al impulso

Partiendo de la funcion de transferencia obtenida anteriormente, se desea obtenerla respuesta al impulso del sistema

G(s) =Y (s)

U(s)=

1

s + 1=

1

1

s+ 1/

h(t) = L 1{1

1

s+ 1/} = 1

L 1{ 1

s+ 1/} = 1

et/u(t)

Para poder graficar la respuesta al impulso se establece del exponentecomo una unidad permitiendo analizar el comportamiento de este elemento.

(t) 0 1 2 3 4 5 6h(t) 1

1 e

1 1 e

2 1 e

3 1 e

4 1 e

5 0

Al final se tiene el siguiente comportamiento convergente hacia cero:

Figure 2: Comportamiento h(t)

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