Análisis de frontera estocástica para un packing

UNIVERSIDAD DE TALCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

MAGISTER EN GESTIÓN DE OPERACIONES

ANÁLISIS DE PRODUCTIVIDAD

ANÁLISIS DE LA FRONTERA ESTOCASTICA PARA UN

PACKING DE LA REGIÓN

AUTORES

WALESKA LAGOS GUZMÁN

FRANCISCO PÉREZ GALARCE

PROFESOR

RODRIGO HERRERA LEIVA

CURICÓ – CHILE

JUNIO DE 2011

Análisis de la Frontera Estocástica para un Packing de la Región

Análisis de Productividad 2

RESUMEN

En este trabajo se presenta un análisis de eficiencia de dos plantas procesadoras de

fruta, de una empresa exportadora, este estudio muestra una selección de fronteras de

producción exhaustiva, considerando los dos packing antes mencionados y además por

cada uno de estos se estudia el comportamiento de la frontera considerando dos output

distintos. Una vez seleccionadas las fronteras más representativas para cada una de

estas variantes, se realizó una comparación entre los distintos output para un mismo

packing de forma de evaluar las principales similitudes y diferencias con el objetivo de

visualizar alguna generalización, se observo que no existen mecanismos de inferencia

para fronteras que utilicen los mismo input, pero distintos output, en tanto se hace

necesario manejar herramientas que permitan trabajar con fronteras con múltiples output.

Finalmente se realizó un estudio de los residuos de dos de las cuatro fronteras

seleccionadas anteriormente.

Palabras claves: Múltiples output, frontera estocástica de producción, Packing



INDICE

1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 5

2 OBJETIVOS ............................................................................................................................... 6

3 MARCO TEÓRICO .................................................................................................................... 7

4 METODOLOGÍA ...................................................................................................................... 10

5 RESULTADOS ........................................................................................................................ 11

5.1 FRONTERA DE PRODUCCIÓN DATOS 1 ......................................................................... 11

5.1.1 Selección de frontera más representativa ................................................................... 11

5.1.2 Evaluación comparativa de los diferentes output ........................................................ 13

5.1.3 Similitudes y diferencias .............................................................................................. 15

5.1.4 Análisis de Residuos ................................................................................................... 16

5.2 FRONTERA DE PRODUCCIÓN DATOS 2 ......................................................................... 17

5.2.1 Selección de frontera más representativa ................................................................... 17

5.2.2 Evaluación comparativa de los diferentes output ........................................................ 19

5.2.3 Similitudes y diferencias .............................................................................................. 21

5.2.4 Análisis de Residuos ................................................................................................... 22

6 CONCLUSIONES .................................................................................................................... 23

7 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................ 24

TABLAS

Tabla 1. Fronteras propuestas output Cajas, Packing 1 ................................................................... 11

Tabla 2. Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 1 ........................................................ 12



ILUSTRACIONES

Ilustración 1. Eficiencia Fronteras propuestas output Cajas, Packing 1 ........................................... 12

Ilustración 2. Eficiencia Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 1 ................................ 13

Ilustración 3. Análisis de elasticidad Fronteras propuestas output Cajas, Packing 1 ....................... 14

Ilustración 4. Análisis de elasticidad Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 1 ............ 15

Ilustración 5. Histograma de los residuos ......................................................................................... 16

Ilustración 6. Test ACF ...................................................................................................................... 17

Ilustración 7. Eficiencias Fronteras propuestas output Cajas, Packing 2 ......................................... 18

Ilustración 8. Eficiencia Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 2 ................................ 19

Ilustración 9. Análisis de elasticidad Fronteras propuestas output Caja, Packing 2 ........................ 20

Ilustración 10. Análisis de elasticidad Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 2.......... 21

Ilustración 11. Histograma de los residuos ....................................................................................... 22

Ilustración 12.Test ACF ..................................................................................................................... 22



1 INTRODUCCIÓN

Por su origen las estimaciones de fronteras de producción son una extensión de las estimaciones

de funciones de producción micro-económicas: la premisa básica parte de considerar que la función de

producción representa algún tipo “ideal”: maximiza el producto dado unos insumos. Variantes son la

minimización de insumos para un nivel dado de producto(s) y la optimización de beneficios. Las fronteras

de producción son útiles para otro fin: el análisis de eficiencia relativa, de ahí la sinonimia de las fronteras

de producción con las de fronteras de eficiencia.

Una buena medición de la eficiencia es a través de la comparación de cada observación con la

mejor práctica observada (la frontera) y, por extensión, se desarrollan conceptos como el de la eficiencia

técnica ET, capacidad de utilización de insumos de manera tal que se maximiza la cantidad producida-,

eficiencia en la asignación EA, capacidad de escoger la combinación de factores con la cual la tasa

marginal de sustitución es igual al precio relativo de los factores-, y eficiencia productiva EP, capacidad

de producir a un costo mínimo.

Este trabajo realiza un análisis de frontera estocástica de producción con datos transversales

para dos packing de la región estudiados en (Mejías Valderrama, 2006), luego se analizan dos tipos de

output para cada uno y se determinará la relación existente si es que la hubiese.

La sección 2 presenta los objetivos del trabajo y en la sección 3 se revisa el marco teórico para la

frontera estocástica. La sección 4 presenta la metodología a utilizar mientras que la sección 5 entrega

los resultados obtenidos para los análisis.

Finalmente la sección 6 entrega las conclusiones del trabajo y la sección 7 las referencias

utilizadas en este.



2 OBJETIVOS

El objetivo general de este trabajo es evaluar la eficiencia de dos packing de la Región del Maule

que ya fueron estudiados por (Mejías Valderrama, 2006).

Específicamente se pretende evaluar el comportamiento de la frontera de producción de dos de las

plantas estudiadas por la tesis anteriormente mencionada. Paralelamente se evaluara la variabilidad de la

frontera de producción estocástica si se consideran distintos output, para los mismos input.

Finalmente se busca realizar un análisis de elasticidad y de los factores de escala de las fronteras

seleccionadas.



3 MARCO TEÓRICO

Una frontera de producción estocástica puede definirse formalmente como se presenta en la

Ecuación 1, donde se asume una tecnología de la producción en la que un único output Y es producido

por N unidades productivas y K inputs X.

En la expresión contenida en la Ecuación 1, Y es un vector N x1 de outputs de producción de

cada una de las N unidades productivas, X es el vector N x (K+1) de los K inputs productivos de cada

una de las N unidades productivas con unos en la primera columna, el vector (K+1) x1 de parámetros

de la frontera de producción, V un vector de residuos que representa el efecto de los shocks

aleatorios sobre la producción, donde puede tomar cualquier valor real y ET un vector de

eficiencias técnicas de cada una de las N unidades de producción donde es la ineficiencia técnica que

toma valores mayores o iguales a 0; y cada unidad productiva es identificada por el subíndice i.

El modelo presentado en la Ecuación 1 tiene un error compuesto de un error de dos colas

representativo de los shocks aleatorios que desvían a la empresa de su output máximo potencial y un

término de error de una sola cola representativo de las ineficiencias de la empresa que hacen que su

output esté situado por debajo del que potencialmente es capaz de alcanzar.

El procedimiento de estimación de los modelos de fronteras estocásticas para datos de corte

transversal más generalizado es el de estimación Máximo Verosímil (MV) propuesto por ALS y MB que

exige fuertes supuestos distribucionales.

El AFE no posibilita hasta principios de los 80 la posibilidad de proporcionar medidas de la

eficiencia de unidades productivas individualmente consideradas para el procedimiento de estimación de

MV. Esta limitación fue superada por Jondrow, et al. (1982 - JLMS) que proponen la estimación de la

eficiencia técnica basándose en el cálculo de la media o la moda de la distribución condicional del

término de error que representa la ineficiencia técnica condicionada al error compuesto de cada unidad

productiva i de tal modo que ET es calculada de acuerdo con la expresión contenida en la Ecuación 2.

Posteriormente Battese y Coelli, (1988 - BC) propone que se utilice directamente la esperanza

matemática de ET.

El uso de datos de panel permite resolver problemas no superados en el caso de modelos de

corte transversal, tales como la estimación del cambio técnico o la consideración de eficiencia técnica

variante en el tiempo, además de estar dotados de una mayor flexibilidad permitiendo una relajación de



los fuertes supuestos distribucionales requeridos para la estimación de fronteras estocásticas en el caso

de datos de corte transversal.

El desarrollo de los modelos de panel en el AFE desde principios de los 80 siguió en líneas

generales dos caminos claramente diferenciados. Por un lado, los trabajos de Pitt y Lee (1981), Schmidt

y Sickles (1984) y Battese y Coelli (1988) que realizaron las adaptaciones necesarias de los métodos

clásicos de datos de panel para estimar la eficiencia técnica de las unidades productivas bajo el

supuesto de eficiencia técnica invariante en el tiempo.

Por otro lado, el segundo camino iniciado algo más tarde que el anterior por Conrwell et al.

(1990), Lee y Schmidt (1993), Khumbakar (1990) y Battese y Coelli (1992) permitió la posibilidad de que

la eficiencia técnica de cada una de las unidades productivas variara en el tiempo según distintos

patrones, hecho que resulta bastante probable cuando el número de períodos considerados es lo

suficientemente largo.

En lo que se refiere a los modelos de eficiencia técnica invariante en el tiempo, un modelo

general puede ser representado en los términos de la Ecuación 8 donde es el output del proceso de

producción, son los inputs utilizados en el proceso productivo, son los vectores de parámetros de la

tecnología de la producción, vit es un término de error normalmente distribuido con media 0 y varianza

e independiente de los regresores que refleja los efectos de los shocks aleatorios sobre la producción

y representa la ineficiencia de cada unidad productiva i de la que no se tiene por qué realizar ningún

supuesto distribucional o de independencia con respecto a los regresores, asumiéndose exclusivamente

que permanece invariante en el tiempo.

Destacan cuatro técnicas diferentes de estimación del modelo presentado en la Ecuación 3: la

técnica de efectos fijos o modelo de mínimos cuadrados con variables ficticias (MCVF), la técnica de

efectos aleatorios estimado por mínimos cuadrados generalizados (MCG), el modelo de Hausman-Taylor

para casos en los que la eficiencia técnica no está correlacionada con algunos regresores y con otros sí

(HT) y los modelos de fronteras estocásticas estimadas por MV.

La elección de cualquiera de estos modelos depende de si existe o no independencia entre la

eficiencia técnica y los regresores del modelo y de las características asintóticas de los estimadores

propuestos en cada uno de los modelos cuando el número de observaciones y / o el número de períodos

de tiempo tiende a infinito (Khumbakar y Lovell, 2000).

En lo referente a los modelos de fronteras estocásticas para datos de panel con eficiencia

variante en el tiempo han sido propuestas en la literatura distintas especificaciones para posibilitar la

variabilidad de la eficiencia, la cual implica la inclusión del subíndice t en el componente de error de una

sola cola presentado en la Ecuación 3.



Se han desarrollado en términos generales los siguientes métodos de estimación: el modelo de

efectos fijos, el modelo de efectos aleatorios con patrón de variación de la eficiencia diferente para cada

empresa y común para todas las empresas en cada momento del tiempo; y los modelos estimados por

máxima verosimilitud con patrón de variación común para todas las empresas o diferente para cada una

de ellas.



4 METODOLOGÍA

El análisis de de eficiencia propuesto en este trabajo se divide en tres grandes etapas, en primer

lugar se proponen diferentes fronteras de producción para cada uno de los packing a estudiar y para

cada uno de los output de los cuales se tienen datos (número de cajas y rendimiento) considerando como

variantes, el tipo de función de producción (Cobb Douglas o Translogarítmica), la inclusión o no del

intercepto y la distribución de la ineficiencia.

La segunda etapa consiste en seleccionar el mejor modelo para cada packing y para cada output,

donde se realizará una evaluación comparativa de los resultados de elasticidad y factores de escala para

cada uno de los output dentro de cada packing.

La tercera etapa consiste en seleccionar la frontera más representativa de cada packing según los

criterios evaluados en la etapa 2 y realizar un análisis profundo de los tests relacionados con los

residuos.



5 RESULTADOS

En esta sección se presentará la estructura principal del trabajo, se aplica la metodológica descrita

en el punto anterior para cada uno de los packing evaluados.

5.1 FRONTERA DE PRODUCCIÓN DATOS 1

5.1.1 SELECCIÓN DE FRONTERA MÁS REPRESENTATIVA

El primer paso de este análisis consiste en encontrar la frontera más representativa para cada uno

de los output (cajas y Rendimiento), en tanto a continuación se muestra una tabla resumen con los

resultados del AIC para cada una de las fronteras propuestas para cada output.

Tabla 1. Fronteras propuestas output Cajas, Packing 1

FUNCIÓN FRONTERA INTERCEPTO DISTRIBUCIÓN EFICIENCIA AIC

Cobb Douglas Con Truncada normal -210.8131

Cobb Douglas Con Half-Normal -212.7978

Cobb Douglas Sin Truncada normal -212.0407

Cobb Douglas Sin Half-Normal -212.0407

Translogarítmica Con Truncada normal -202.9906

Translogarítmica Con Half-Normal -204.9701

La frontera que tiene el mejor comportamiento para el output cajas y considerando el packing 1 es

aquella que se implemento con la función Cobb Douglas, considerando el intercepto y con una

distribución de la eficiencia Half-Normal. A continuación se presenta una gráfica de la ineficiencia de esta

frontera.



Ilustración 1. Eficiencia Fronteras propuestas output Cajas, Packing 1

Tabla 2. Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 1








La frontera que tiene el mejor comportamiento para el rendimiento y considerando el packing 1 es

aquella que se implemento con la función Cobb Douglas, considerando el intercepto y con una

distribución de la ineficiencia Half-Normal. A continuación se presenta una gráfica de la eficiencia

obtenida a través de esta frontera.



Ilustración 2. Eficiencia Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 1

5.1.2 EVALUACIÓN COMPARATIVA DE LOS DIFERENTES OUTPUT

A continuación se presentan los resultados de cada una de las fronteras seleccionadas, en primer

lugar se mostrará la frontera resultante para el output Cajas.

El primer análisis que se realizará a estos coeficientes será el de la elasticidad, en tanto a

continuación se muestra una tabla resumen.



Ilustración 3. Análisis de elasticidad Fronteras propuestas output Cajas, Packing 1

Insumo Coeficiente estimado

Interpretación

Labor -0,13066 Un incremento en un 1% del insumo Labor disminuye la productividad en relación al número de cajas embaladas en un 0,13066%

CVU 0,1816288 Un incremento de un 1% del insumo costo proceso provoca un aumento en la productividad en relación al número da cajas embaladas en un 0,1816%

Kilogramos 0,2582449 Un incremento de un 1% del insumo Kilogramos provoca un aumento en la productividad en relación al número da cajas embaladas en un 0,2582%

Por otro lado, la suma de los coeficientes es menor a uno en tanto según esta frontera el proceso

se encuentra en economías decrecientes de escala.

Ahora se procederá a realizar el mismo análisis para el output rendimiento.





Ilustración 4. Análisis de elasticidad Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 1


Interpretación

Labor 0,0956134 Un incremento de un 1% del insumo Labor provoca un aumento en la productividad en relación al rendimiento en un 0,0956134%

CVU -0,3422452 Un incremento en un 1% del insumo CVU disminuye la productividad en relación al Rendimiento embaladas en un 0,3422452%

Kilogramos 0,7708392 Un incremento de un 1% del insumo Kilogramos provoca un aumento en la productividad en relación al rendimiento en un 0,7708392%

Al igual que para el caso anterior, la suma de los coeficientes es menor a uno en tanto según esta

frontera el proceso se encuentra en economías decrecientes de escala.

5.1.3 SIMILITUDES Y DIFERENCIAS

Las principales similitudes entre las dos fronteras son: la eficiencia media entregada es similar

pues para el caso donde se considera como output las cajas embaladas es 94,27% y para el caso donde

considera como output el rendimiento la eficiencia media toma un valor de 93,57% en tanto se puede

considerar esta como una similitud importante.

Otra similitud de gran importancia es la economía de escala en la cual se encuentra el packing,

pues para ambos casos se encuentra en economías de decreciente.

Con respecto a las diferencias, estas radican principalmente en la elasticidad de los input, por

ejemplo cuando consideramos como input el número de cajas el input labor contribuye de forma negativa,

en cambio cuando consideramos el output rendimiento el output labor afecta negativamente a la frontera.

Para los análisis de los residuos se considerará el output caja, debido principalmente a la

importancia que posee este input en el contexto de la evaluación de eficiencia.



5.1.4 ANÁLISIS DE RESIDUOS

Como se menciono anteriormente se realizará un análisis de los test de hipótesis de los residuos,

para la mejor frontera estocástica de producción encontrada. Este análisis consiste en la aplicación de

algunos test y el análisis de gráficas de los residuos.

Test Shapiro-Wilk : el objetivo de este test es evaluar la Normalidad de los datos, es decir,

comprobar que su distribución sea normal con media cero. La hipótesis nula dice que los datos se

distribuyen normal y esta es aceptada si se tiene un p-valor mayor a 0,05.

El p-valor resultante es 0.4917, en tanto se acepta la hipótesis nula, es decir, los datos se

distribuyen normal, con media cero.

A continuación se presenta un histograma con la distribución del error.

Ilustración 5. Histograma de los residuos

Test Box-Pierce : El objetivo de este test es verificar la independencia del error, la hipoetesis nula

dice que el error el independiente, y esta es rechazada si se obtiene un p-valor inferior a 0,05.

El p-value resultante es 6.595e-14, en tanto se rechaza la hipótesis nula, es decir, los errores no

son independientes.

Test ACF: a través de la siguiente gráfica se puede comprobar que los residuos se encuentran

altamente correlacionados.



Ilustración 6. Test ACF

5.2 FRONTERA DE PRODUCCIÓN DATOS 2

5.2.1 SELECCIÓN DE FRONTERA MÁS REPRESENTATIVA

Tabla 3. Fronteras propuestas output Cajas, Packing 2








La frontera que tiene el mejor comportamiento para el número de cajas y considerando el packing

2 es aquella que se implemento con la función Translogaritmica, y con una distribución de la ineficiencia

Half-Normal. A continuación se presenta una gráfica de la eficiencia obtenida a través de esta frontera.



Ilustración 7. Eficiencias Fronteras propuestas output Cajas, Packing 2

Tabla 4. Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 2








La frontera que tiene el mejor comportamiento para el número de cajas y considerando el packing

2 es aquella que se implemento con la función Translogaritmica, y con una distribución de la ineficiencia

Half-Normal. A continuación se presenta una gráfica de la eficiencia obtenida a través de esta frontera.



Ilustración 8. Eficiencia Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 2

5.2.2 EVALUACIÓN COMPARATIVA DE LOS DIFERENTES OUTPUT

A continuación se presentan los resultados de cada una de las fronteras seleccionadas, en primer

lugar se mostrará la frontera resultante para el output Cajas.





Ilustración 9. Análisis de elasticidad Fronteras propuestas output Caja, Packing 2


Interpretación

Personas (a_1) 3.4524e+01 Un incremento en un 1% del insumo Personas (a_1) disminuye la productividad en relación al número de cajas embaladas en un 0,34524e+01 %

CVU(a_2) -9.9517e-01 Un incremento de un 1% del insumo CVU (a_2) provoca una disminución en la productividad en relación al número da cajas embaladas en un 0, 9.9517e+01%

Personas(b_1) ^2 -7.2349 Un incremento de un 1% del insumo Personas ( b_1) al cuadrado provoca un aumento en la productividad en relación al número da cajas embaladas en un 0,72349%

Personas(b_1) CVU(b_2) 1.717e-01 Un incremento de un 1% de la interacción, entre Personas (b_1) y CVU ( b_2) provoca un aumento en la productividad en relación al número de cajas embaladas de un 0,1717e-01%

CVU(b_2)^2 -2.4744e-01 Un incremento de un 1% del insumo CVU (a_2) al cuadrado provoca un aumento en la productividad en relación al número da cajas embaladas en un 0,24744e-01%

Con respecto a las economías de escala, la suma de los factores es mayor que uno en tanto se

encuentra en economías crecientes de escala.

Ahora se procederá a realizar el mismo análisis para el output rendimiento.

Ahora se procederá a analizar la frontera que está relacionada con el otro output el rendimiento.



Ilustración 10. Análisis de elasticidad Fronteras propuestas output Rendimiento, Packing 2


Interpretación

Personas (a_1) 14,0917629 Un incremento en un 1% del insumo Personas (a_1) aumenta la productividad en relación al rendimiento en un 0,1409%

CVU(a_2) -4,1350914 Un incremento de un 1% del insumo a_2 provoca una disminución en la productividad en relación al rendimiento en un 0,41350%

Personas(b_1) ^2 -3,4913591 Un incremento de un 1% del insumo Personas (a_1) al cuadrado provoca una disminución en la productividad en relación al rendimiento en un 0,34913%

Personas(b_1) CVU(b_2) 1.0113159 Un incremento de un 1% de la interacción, entre Personas ( a_1) y CVU ( a_2) provoca un aumento en la productividad en relación al rendimietno de un 0,10113%

CVU(b_2)^2 -0,2466198 Un incremento de un 1% del insumo CVU (b_2) al cuadrado provoca una disminución en la productividad en relación al rendimiento en un 0,2466198%

Con respecto a las economías de escala, la suma de los factores es mayor que uno en tanto se

encuentra en economías crecientes de escala.

5.2.3 SIMILITUDES Y DIFERENCIAS

A diferencia del packing anterior donde una de las principales similitudes entre las dos fronteras fue

la eficiencia media en este caso la diferencia es bastante alta, en tanto más que una similitud pasa a ser

una gran diferencia.

Otra gran diferencia con respecto al packing anterior es la elasticidad de los input, pues en este

caso al variar el output evaluado en la frontera la elasticidad se mantuvo contante.

La única similitid es la economía de escala en la cual se encuentra el packing, pues para ambos

casos se encuentra en economías de crecientes de escala.

Para los análisis de los residuos se considerará el output caja, debido principalmente a la

importancia que posee este input en el contexto de la evaluación de eficiencia.



5.2.4 ANÁLISIS DE RESIDUOS

Como se menciono anteriormente se realizará un análisis de los test de hipótesis de los residuos,

para la mejor frontera estocástica de producción encontrada. Este análisis consiste en la aplicación de

algunos test y el análisis de gráficas de los residuos.

Test Shapiro-Wilk: el objetivo de este test es evaluar la Normalidad de los datos, es decir,

comprobar que su distribución sea normal con media cero. La hipótesis nula dice que los datos se

distribuyen normal y esta es aceptada si se tiene un p-valor mayor a 0,05.

El p-valor resultante es 0.6291, en tanto se acepta la hipótesis nula, es decir, los datos se

distribuyen normal, con media cero.

A continuación se presenta un histograma con la distribución del error.

Ilustración 11. Histograma de los residuos

Test Box-Pierce : El objetivo de este test es verificar la independencia del error, la hipoetesis nula

dice que el error el independiente, y esta es rechazada si se obtiene un p-valor inferior a 0,05.

El p-value resultante es 1.354e-13, en tanto se rechaza la hipótesis nula, es decir, los errores no

son independientes.

Test ACF: a través de la siguiente gráfica se puede comprobar que los residuos se encuentran

altamente correlacionados.

Ilustración 12.Test ACF



6 CONCLUSIONES

Se puede apreciar que no existe una relación clara entre fronteras de producción que utilicen los

mismo input pero varíen sus output, es decir no se pueden realizar inferencias de este tipo, en tanto es

de vital importancia adquirir herramientas que permitan manejar este tipo de situaciones.

Por otra parte no es posible realizar recomendaciones de forma general la empresa con respecto al

funcionamiento de sus packing, pues las recomendaciones dependerán del packing específico en

cuestión y del en el caso de este análisis el output que se priorice.

Para un estudio mas acabado de la eficiencia de las plantas procesadoras de fruta, se pueden

realizar bastantes mejoras, como por ejemplo, incluir datos del tipo panel, ya que el cambio tecnológico

en este tipo de empresa es muy relevante, también se puede realizar fronteras de costos, para eso es

necesario realizar una redefinición de las variables, pues las variables utilizadas en la tesis son escazas y

poco representativas de la situación.



7 BIBLIOGRAFÍA

Mejías Valderrama, L. H. (2006). Análisis de eficiencia de las plantas procesadoras de manzana de

una empresa exportadora de fruta. Curicó: Universidad de Talca.

Análisis de frontera estocástica para un packing

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