Analisis matemático

7/21/2019 Analisis matemático

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ANÁLISIS MATEMÁTICO

(GRADO DE FÍSICA, UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA)

GUION DE LA ASIGNATURA

Contenido

Capítulo 1: números naturales y principio de inducción; números enteros y racio-nales.Capítulo 2: números reales.Capítulo 3: números complejos.Capítulo 4: funciones elementales.Capítulo 5: sucesiones.Capítulo 6: series.Capítulo 7: límites de funciones y continuidad.Capítulo 8: derivación.

Capítulo 9: cálculo de primitivas e integración.Capítulo 10: series de potencias.

Capítulo 1: números naturales y principio de inducción; númerosenteros y racionales.

Números naturales, enteros y racionales. Los números 1, 2, 3, . . . se llaman nú-meros naturales . El conjunto de los números naturales se representa por N:

N = {1, 2, 3, . . . }.

Los números 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . se llaman números enteros . El conjunto de los

números enteros se representa por Z:Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . }.

Los números de la forma pq

, donde p y q son números enteros (q = 0) se llaman nú-

meros racionales (o fraccionarios). El conjunto de los números racionales se representapor Q:

Q = { p

q ; p, q ∈ Z, q = 0}.

Los números naturales son números enteros; los números enteros son números racio-nales. Entre dos números enteros (distintos) hay infinitos números racionales.

El principio de inducción. Dada una lista de propiedadesP 1, P 2, P 3, P 4, . . . ,

supongamos que:

a) la propiedad P 1 es cierta;b) si alguna propiedad P n fuera cierta, también sería cierta P n+1 (la siguiente de la

lista).

Entonces, todas las propiedades P 1, P 2, P 3, . . . son ciertas.

Capítulo 2: números reales.

Los números reales se pueden representar como los puntos de una recta. El conjuntode los números reales se representa por R. Contiene a los números racionales. Losnúmeros reales que no son racionales se llaman números irracionales . Entre dos númerosreales (distintos) hay infinitos números racionales e infinitos números irracionales.



2 ANÁLISIS MATEMÁTICO - GRADO DE FÍSICA - UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

−32

−1

0

ln 2

1

√ 2

2 3

π

La recta real y algunos números

Desigualdades. Una desigualdad o inecuación es una expresión de la forma a < b,a ≤ b, a > b o a ≥ b. Las principales reglas para el manejo de desigualdades son:

Sumar un número:

a < b ⇐⇒ a + c < b + c

Cambiar de miembro un número:

a < b + c ⇐⇒ a − c < b

(consiste en sumar −c).Sumar desigualdades:

a < b

c < d

⇒ a + c < b + d

Multiplicar por un número positivo: si c > 0,

a < b ⇐⇒ ac < bc

Multiplicar por un número negativo: si c < 0,

a < b ⇐⇒ ac > bc

Encadenar desigualdades:

a < b

b < c ⇒ a < c

Las mismas reglas sirven con las desigualdades del tipo ≤, > y ≥.

El valor absoluto. El valor absoluto (o módulo) de un número a ∈ R es el número

|a| =a, si a ≥ 0,

−a, si a ≤ 0.

Las principales propiedades del valor absoluto son:

|a| ≥ 0 para todo a ∈ R;

|a| = 0 ⇐⇒ a = 0;

|a| < b ⇐⇒ −b < a < b (y lo análogo con ≤);√

a2 = |a|;|a − b| es la distancia entre los números a y b dibujados en la recta real;

|a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular).

a b

|a − b||a − b| es la distancia entre a y b



ANÁLISIS MATEMÁTICO - GRADO DE FÍSICA - UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA 3

Desigualdad de Bernoulli: para todo número real x ≥ −1 y todo número n ∈N,

(1 + x)n ≥ 1 + nx.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz: si a1, a2, a3, . . . , an ∈ R y b1, b2, b3, . . . , bn ∈ R,entonces

(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)2 ≤ (a21 + a2

2 + · · · + a2n)(b21 + b22 + · · · + b2n).

Desigualdad entre la media geométrica y la aritmética: si a1, a2, . . . , an ≥ 0,entonces

(a1a2 . . . an)1/n ≤ a1 + a2 + · · · + an

n .

El miembro de la izquierda es la media geométrica de los n números; el de la derecha,la media aritmética .

Factorización de polinomios. Sea

P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

un polinomio de grado n con coeficientes reales. Si c ∈ R y P (c) = 0, entonces

P (x) = (x − c)Q(x),

donde Q(x) es otro polinomio con coeficientes reales y grado n − 1.Si c1, c2, . . . , ck son todos los ceros reales de P (x), repetidos tantas veces como sea

su multiplicidad, entonces

P (x) = an(x − c1)(x − c2) . . . (x − ck)Q(x),

donde Q(x) es un polinomio de grado n

−k, con coeficiente director 1 y Q(x) > 0 para

todo x ∈ R.

Capítulo 3: números complejos.

Los números complejos son los pares de la forma (a, b), con a, b ∈ R, con las siguientesoperaciones:

suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);

producto: (a, b) · (c, d) = (ac − bd,ad + bc).

El conjunto de los números complejos se representa por C.Los números complejos se pueden identificar como los puntos del plano. Para los

puntos del eje de abscisas, de la forma (a, 0), la suma y el producto se reducen a:

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0);

(a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).

Podemos escribir (a, 0) ≡ a. Es decir, los números reales son números complejos. Sedefine i = (0, 1). Entonces:

a · (c, d) = (ac, ad);

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi;

i2 =

−1;

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

La expresión a + bi, con a, b ∈ R, se llama forma binómica de los números complejos.




Parte real, parte imaginaria, conjugado. Dado un número complejo z = a + bi,con a, b ∈ R,

se llama parte real de z al número a: Re z = a;

se llama parte imaginaria de z al número b: Im z = b;

se llama conjugado de z al número complejo z = a − bi.Módulo y argumento. Dado un número complejo z = a + bi, con a, b ∈ R,

se llama módulo de z al número |z | = √ a2 + b2;

si z = 0, se llama argumento de z a cualquiera de los ángulos que forma en elplano el semieje positivo de abscisas con el punto z (ver la figura);

si z = 0, se llama argumento principal de z al único argumento que está en elintervalo (−π, π]. Se escribe Arg z .

z ϕ = Arg z

φ

ψ

Tres de los argumentos de un número complejo

Propiedades del conjugado y el módulo. Sean z, w ∈ C.

|z | = |z |.z · z = |z |2.

Si z = 0, entonces 1

z =

z

|z |2 .

z + w = z + w.

zw = z · w.

Si w

= 0, entonces z /w = z/w.

Propiedades del módulo. Sean z, w ∈ C.

|z + w| ≤ |z | + |w|.|zw| = |z | · |w|.

Si w = 0, entonces z

w

= |z ||w| .

|z − w| es la distancia entre los puntos del plano z y w.

Propiedades del módulo y el argumento. Sean z, w ∈ C .

Si z

= 0 y ϕ es cualquier argumento de z , entonces

Re z = |z | cos ϕ,

Im z = |z | sen ϕ,

z = |z |(cos ϕ + i sen ϕ).




Si z = 0, w = 0 y ϕ, ψ son dos argumentos cualesquiera de z y w respectivamente,entonces ϕ + ψ es un argumento del producto zw.

z = w ⇐⇒ |z | = |w| y tienen los mismos argumentos.

Función exponencial compleja. Si z = a + bi, con a, b

∈R, se define

ez = ea(cos b + i sen b).

Si α ∈ R, entonces eiα = cos α + i sen α y |eiα| = 1.

|ez| = eRe z.

Si α, β ∈ R, entonces eiα = eiβ si y solo si α = β + 2πk para algún k ∈ Z.

Si z, w ∈ C, entonces ezew = ez+w.

Representación polar de un número complejo. Si z ∈ C \ {0}, r ∈ (0, +∞) yϕ ∈ R, entonces

z = reiϕ ⇐⇒ r = |z | y ϕ es un argumento de z.

La expresión reiϕ se llama representación polar de z .

Fórmula de Moivre. Si ϕ ∈R y n ∈N, entonces

(cos ϕ + i sen ϕ)n = cos(nϕ) + i sen(nϕ).

Raíces de un número complejo. Si z ∈ C \ {0} y n ∈ N, entonces z tiene n raícesde orden n, es decir, existen n números complejos w ∈ C tales que wn = z . En concreto,si α es un argumento de z ,

wn = z ⇐⇒ w = seiβ, dondes = |z |

1/n

,β = α+2kπ

n , k = 0, 1, . . . , n − 1.

Logaritmos de un número complejo. Si z ∈ C \ {0} y w ∈ C, entonces

ew = z ⇐⇒ w = log |z | + iϕ, y ϕ es un argumento de z.

Estos números w se llaman logaritmos de z . Se llama logaritmo principal de z al númeroLog z = log |z | + i Arg z .

Capítulo 4: funciones elementales.

Una función real de variable real es una aplicación f : A → R que a cada númerox ∈ A le asocia otro número real f (x). Aquí, A ⊆ R.

El conjunto A se llama dominio de la función.

Dado un subconjunto B ⊆ A, la imagen de B por la función f es el conjunto

f (B) = {f (x); x ∈ B}.

El conjunto imagen de la función (o rango) es el conjunto f (A).

Si C ⊆ R, la notación f : A → C significa que f (A) ⊆ C .

La gráfica de la función f es el conjunto del plano formado por los puntos

(x, f (x)), x ∈ A.

Dado un subconjunto C ⊆ R, su imagen inversa por la función f es el conjunto

f −1(C ) = {x ∈ A; f (x) ∈ C }.




Operaciones con funciones. Sean f : A → R y g : B → R.

La función suma es f + g : A ∩ B → R, dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x).

La función producto es f g : A ∩ B → R, dada por (f g)(x) = f (x)g(x).

La función cociente es la función f g

, dada por f g

(x) = f (x)g(x)

. Esta función está

definida en el conjunto

A ∩ g−1(R \ {0}) = {x ∈ A ∩ B; g(x) = 0}.

La función f compuesta con g es la función g ◦ f dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)).Esta función está definida en el conjunto

f −1(B) = {x ∈ A; f (x) ∈ B}.

Funciones inyectivas y biyectivas. Sea f : A → C una función (es decir, f (A) ⊆ C ).

f es inyectiva si f (x) = f (a) cuando x = a.

f es sobreyectiva si para todo y

∈ C existe algún x

∈ A tal que f (x) = y. La

función f : A → f (A) siempre es sobreyectiva.

f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva: para todo y ∈ C existe un únicox ∈ A tal que f (x) = y.

Funciones inversas. Dos funciones f : A → R y g : B → R son inversas una de laotra cuando

B = f (A);

para todo a ∈ A, g(f (a)) = a.

Si esto es así, también se cumple que A = g(B) y para todo b ∈ B, f (g(b)) = b. Seescribe entonces g = f −1 y f = g−1. La condición para que una función tenga inversaes que sea inyectiva.

Funciones monótonas. Sea f : A → R.

f es creciente si cumple: a < b ⇒ f (a) ≤ f (b).

f es estrictamente creciente si cumple: a < b ⇒ f (a) < f (b).

f es decreciente si cumple: a < b ⇒ f (a) ≥ f (b).

f es estrictamente decreciente si cumple: a < b ⇒ f (a) > f (b).

Se dice que f es monótona si es de alguna de estas cuatro clases.

Funciones acotadas. Sea f : A → R.Se dice que f está acotada superiormente si existe algún número C ∈ R tal quepara todo x ∈ A, f (x) ≤ C .

Se dice que f está acotada inferiormente si existe algún número C ∈ R tal quepara todo x ∈ A, C ≤ f (x).

Si f está acotada inferior y superiormente, se dice que está acotada . Esto equivalea que exista algún número C ∈ R tal que para todo x ∈ A, |f (x)| ≤ C .

Funciones pares, impares y periódicas. Sea f : A → R.

Se dice que f es par si para todo a

∈ A se tiene

−a

∈ A y f (

−a) = f (a).

Se dice que f es impar si para todo a ∈ A se tiene −a ∈ A y f (−a) = −f (a).

Se dice que f tiene periodo T si para todo a ∈ A se tiene a + T ∈ A y f (a + T ) =f (a). Se dice entonces que f es periódica .




Polinomios. Un polinomio es una función P : R → R de la forma

P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,

donde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R (y an = 0).

El grado del polinomio es n.

El coeficiente director es an.

El término independiente es a0.

Todo polinomio se puede factorizar de la siguiente manera:

P (x) = an(x − c1)m1(x − c2)m2 . . . (x − ck)mkQ(x),

donde:

c1, c2, . . . , ck son todos los ceros reales distintos de P , cada c j con multiplici-dad m j;

Q(x) es otro polinomio, de grado par, con coeficiente director 1 y tal que Q(x) > 0

para todo x ∈R;a su vez, el polinomio Q(x) es producto de polinomios de la forma x2 + rx + s(de grado 2) que no tienen raíces reales.

Funciones racionales. Una función racional es un cociente de polinomios. Sea f (x)una función racional; factorizando el denominador, la función racional se expresa como

f (x) = P (x)

Q(x) =

P (x)

(x − c1)m1 . . . (x − ck)mk(x2 + r1x + s1)n1 . . . (x2 + r jx + s j)nj.

La función racional se puede expresar como suma de las siguientes funciones:

un polinomio de grado gr P − gr Q, solo en el caso de que gr P ≥ gr Q;

por cada factor de la forma (x − c)m del denominador, una suma de la forma

A1

x − c +

A2

(x − c)2 + · · · +

Am

(x − c)m,

donde A1, A2, . . . , Am son ciertas constantes;

por cada factor de la forma (x2 + rx + s)n, donde x2 + rx + s es un polinomio sinraíces reales, una suma de la forma

B1x + C 1x2 + rx + s

+ B2x + C 2

(x2 + rx + s)2 + · · · +

Bnx + C n(x2 + rx + s)n

,

donde B1, B2, . . . , Bn y C 1, C 2, . . . , C n son ciertas constantes.

Esta expresión se llama descomposición en fracciones simples .

Funciones elementales. La exponencial y el logaritmo. Funciones trigonométricas ysus inversas. Funciones hiperbólicas y sus inversas. Sus propiedades se recogen en unguion aparte.

Capítulo 5: sucesiones.

Definiciones. Una sucesión (de números reales) es una lista ordenada de númerosreales:

a1, a2, a3, . . .

Con más rigor, es una función N → R, que a cada n ∈ N le asocia un número an ∈ R.Se escribe también (an)n∈N.

Se dice que un número L ∈ R es el límite de la sucesión (an)n∈N cuando paratodo ε > 0, existe algún índice N ∈ N de modo que si n ≥ N , |an − L| < ε.




Se dice que +∞ es el límite de la sucesión (an)n∈N cuando para todo K ∈ R,existe algún índice N ∈ N de modo que si n ≥ N , an > K .Se dice que −∞ es el límite de la sucesión (an)n∈N cuando para todo K ∈ R,existe algún índice N ∈ N de modo que si n ≥ N , an < K .

Para indicar que L

∈R

∪{±∞} es el límite de la sucesión (an)n∈N, se escribe

lımn

an = L, lımn→+∞

an = L, ann−→ L, an

n→+∞−−−−→ L.

Una sucesión no tiene por qué tener límite; pero si lo tiene, es único.

Ejemplos básicos.

lımn

na =

0, si a < 0

1, si a = 1

+∞, si a > 0

lımn

en = +∞, lımn

log n = +∞

lımn

cn =

+∞, si c > 11, si c = 1

0, si |c| < 1

(no existe) si c ≤ −1

Operaciones con límites.Límite de una suma: (an)∞n=1, (bn)∞n=1 ⊆ R, an

n−→ a, bnn−→ b.

a

b −∞ R +∞−∞ −∞ −∞ ?R

−∞ a + b +∞+∞ ? +∞ +∞lımn

(an + bn)

Límite de un producto: (an)∞n=1, (bn)∞n=1 ⊆ R, ann−→ a, bn

n−→ b.

a

b −∞ (−∞, 0) 0 (0, +∞) +∞−∞ +∞ +∞ ? −∞ −∞

(−∞, 0) +∞ −∞0 ? ab ?

(0, +∞

) −∞

+∞+∞ −∞ −∞ ? +∞ +∞

lımn

anbn

Límite de un cociente: (an)∞n=1 ⊆ R, (bn)∞n=1 ⊆ R \ {0}, ann−→ a, bn

n−→ b.

a

b −∞ (−∞, 0) 0 (0, +∞) +∞ 0+

−∞ ? +∞ ? −∞ ? −∞(−∞, 0) 0 ? 0 −∞

0 0 a/b ? a/b 0 ?(0, +

∞) 0 ? 0 +

∞+∞ ? −∞ ? +∞ ? +∞lımn

an/bn




Si f (x) representa una cualquiera de las funciones elementales (xr, |x|, ex, log x,sen x, cos x, tg x, arc sen x, arccos x, arc tg x), entonces en general

lımn

an = a =⇒ lımn

f (an) = f (a)

cuando esto tenga sentido, es decir, cuando la sucesión esté contenida en el do-

minio de la función f y también el límite a pertenezca al dominio.Órdenes de infinitud: log n << na << bn << n! << nn, si a > 0 y b > 1. Aquí, laexpresion rn << sn significa que lım

n

rnsn

= 0.

Equivalencias. Dos sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N se dice que son equivalentes si

lımn

anbn

= 1.

En este caso, se escribe an ∼ bn. Si ann−→ 0, entonces

sen an ∼ an,

1 − cos an ∼ 1

2a2n,

ean − 1 ∼ an,

log(1 + an) ∼ an.

Además, n! ∼ nne−n√

2πn ( fórmula de Stirling ).

Regla del sandwich . Si (an)n∈N, (bn)n∈N y (cn)n∈N son tres sucesiones que cumplen

an ≤ bn ≤ cn, para todo n

yan

n

−→ L, cn

n

−→ L

para algún L ∈ R, entonces también

bnn−→ L.

Regla del sandwich con límites infinitos. Si (an)n∈N y (bn)n∈N son dos sucesionesque cumplen

an ≤ bn, para todo n

yan

n−→ +∞,

entonces tambiénbn

n

−→ +

∞.

De manera análogoa, si an ≤ bn y bn n−→ −∞, entonces también an n−→ −∞.

Sucesiones acotadas y sucesiones monótonas.Una sucesión (an)n∈N se dice que está acotada superiormente si existe algún nú-mero C ∈ R tal que para todo n ∈N, an ≤ C . Los números C que cumplen estose llaman cotas superiores de la sucesión.Una sucesión (an)n∈N se dice que está acotada inferiormente si existe algún nú-mero C ∈ R tal que para todo n ∈N, C ≤ an. Los números C que cumplen estose llaman cotas inferiores de la sucesión.Si una sucesión está acotada inferior y superiormente, se dice que está acotada .Esto equivale a que exista algún número C

∈R tal que para todo n

∈N,

|an

| ≤ C .

Si una sucesión (an)n∈N cumple an ≤ an+1 para todo n, se dice que es creciente .Si cumple an < an+1 para todo n, se dice que es estrictamente creciente .Si una sucesión (an)n∈N cumple an ≥ an+1 para todo n, se dice que es decreciente .Si cumple an > an+1 para todo n, se dice que es estrictamente decreciente .




Límites con sucesiones acotadas o monótonas. Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos suce-siones.

Si (an)n∈N está acotada y bnn−→ 0, entonces anbn

n−→ 0.Toda sucesión monótona tiene límite.Si una sucesión es creciente y está acotada (superiormente), su límite es un nú-

mero real.Si una sucesión es creciente y no está acotada (superiormente), su límite es +∞.Si una sucesión es decreciente y está acotada (inferiormente), su límite es unnúmero real.Si una sucesión es decreciente y no está acotada (inferiormente), su límite es −∞.

Sucesiones de Cauchy. Se dice que una sucesión (an)n∈N es de Cauchy si para cadaε > 0 existe un intervalo de longitud ε que contiene a todos los an excepto, quizás,una cantidad finita. Las siguientes propiedades son equivalentes (la segunda se toma amenudo como la definición):

a) la sucesión (an)n∈N es de Cauchy;

b) para cada ε > 0, existe algún índice N ∈ N tal que si n, m ≥ N , |an − am| < ε;c) la sucesión (an)n∈N tiene límite y este es un número real (no ±∞).

Capítulo 6: series.

Una serie de números reales es una suma de infinitos sumandos (ordenados):∞n=1

an = a1 + a2 + a3 + . . . ,

donde cada sumando an es un número real. Para cada N ∈ N, se llama suma parcial de orden N a la suma

N n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · + aN −1 + aN .

Si

∃ lımN

N n=1

an = S ∈ R,

entonces se dice que la serie converge , o que es convergente, y se dice que su suma es S :∞n=1

an = S.

En los demás casos, se dice que la serie no converge. Si

∃ lımN

N n=1

an = +∞,

se dice que la serie diverge a +∞, y lo mismo con −∞. Si ese límite no existe, se dicea veces que la serie oscila .

Aclaración: aunque en la definición anterior la serie empieza en n = 1, en general una

serie es una suma de la forma∞

n=man. Las definiciones son completamente análogas.

Primer ejemplo básico. Sea r

∈R. Entonces

∞n=0

rn

= 11−r , si |r| < 1;

diverge a + ∞, si r ≥ 1;

oscila, si r ≤ −1.




Los primeros términos. Los primeros términos no alteran el carácter de una serie:

la serie∞n=1

an converge (o diverge a ±∞, u oscila) si y solo si la serie∞

n=man converge

(o diverge a ±∞, u oscila). En el caso de que converjan,∞

n=1 an = a1 + a2 + · · · + am−1 +

∞

n=m an.

Criterio de convergencia del término general. Si una serie∞n=1

an converge, en-

tonces ann−→ 0. El recíproco no es cierto.

Series de términos positivos. Una serie de términos positivos (∞n=1

an, con an ≥ 0

para todo n) o bien converge, o bien diverge a +∞. El primer caso sucede cuando lasucesión de sus sumas parciales está acotada; el segundo caso, cuando no está acotada.

Criterio de comparación por mayoración. Sean∞n=1

an

y∞n=1

bn

dos series de tér-

minos positivos, de modo que

0 ≤ an ≤ bn, para todo n.

Si la serie∞n=1

bn converge, entonces la serie∞n=1

an también converge.

Si la serie∞n=1

an diverge a +∞, entonces la serie∞n=1

bn también diverge a +∞.

Ejemplo básico. Sea a ∈ R. Entonces

∞

n=1

1

naconverge, si a > 1;

diverge a + ∞, si a ≤ 1.

Operaciones con series.

Si una serie∞n=1

an converge y λ ∈ R, entonces la serie∞n=1

λan también converge

y además∞n=1

λan = λ∞n=1

an.

Si dos series∞n=1

an y∞n=1

bn convergen, entonces la serie∞n=1

(an + bn) también

converge y además∞n=1

(an + bn) =∞n=1

an +∞n=1

bn.

Criterio de comparación por el límite. Sean∞n=1

an y∞n=1

bn dos series de términos

positivos y supongamos que

∃ lımn

anbn

= L

(necesariamente, L ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}).

Si L = 0 y la serie∞

n=1

bn converge, entonces la serie∞

n=1

an también converge.

Si 0 < L < +∞, entonces la serie∞n=1

an tiene el mismo carácter que la serie

∞n=1

bn (o las dos convergen, o las dos divergen a +∞).




Si L = +∞ y la serie∞n=1

bn diverge a +∞, entonces la serie∞n=1

an también

diverge a +∞.

Observemos que el criterio no dice nada si L = 0 y la serie∞

n=1bn diverge a +∞, y

tampoco si L = +∞ y la serie ∞n=1

bn converge. Tampoco dice nada sobre la suma delas series, en ningún caso.

Convergencia absoluta. Sea∞n=1

an una serie de números reales. Si la serie∞n=1

|an|converge, entonces la serie

∞n=1

an también converge. Se dice entonces que la serie∞n=1

an

converge absolutamente . El recíproco no es cierto: hay series que convergen, pero noconvergen absolutamente.

Criterio del cociente o de D’Alembert. Sea ∞n=1

an una serie y supongamos que

∃ lımn

an+1

an

= L


Si 0 ≤ L < 1, entonce la serie∞n=1

an converge. Incluso converge absolutamente.

Si 1 < L ≤ +∞, entonces la serie∞

n=1an no converge. De hecho, an → 0.

Observemos que el criterio no dice nada si L = 1.

Criterio de la raíz o de Cauchy. Sea∞n=1

an una serie y supongamos que

∃ lımn |an|1/n = L


Si 0 ≤ L < 1, entonce la serie∞

n=1an converge. Incluso converge absolutamente.

Si 1 < L ≤ +∞, entonces la serie ∞n=1

an no converge. De hecho, an → 0.

Observemos que el criterio no dice nada si L = 1.

Criterio de Leibniz para series alternadas. Supongamos una serie de la forma

∞n=1

(−1)n+1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . .

y de modo que

a) los bn son decrecientes (bn ≥ bn+1 para todo n ∈ N);b) bn

n−→ 0.

Entonces, la serie∞n=1

(−1)n+1bn converge.




Series telescópicas. Una serie de la forma∞n=1

(bn − bn+1), donde b1, b2, b3, · · · ∈ R, se

dice que está escrita en forma telescópica . En ese caso, sus sumas parciales sonN

n=1

(bn − bn+1) = b1 − bN +1.

La serie converge si y solo si la sucesión bn tiene límite real, y en este caso∞n=1

(bn − bn+1) = b1 − lımn

bn.

Series de términos racionales. Las series de la forma∞n=1

P (n)Q(n)

, donde P y Q son

polinomios, a veces se pueden sumar descomponiendo el término general en fraccionessimples.

Capítulo 7: límites de funciones y continuidad.

Límite de una función en un punto. Seauna función f : I → R, donde I es un intervalo, o una unión de intervalos;c o bien un elemento de I , o bien un extremo del intervalo I (o de alguno de losintervalos que forman I ); ∈ R ∪{±∞}.

Obsérvese que, según cómo sea I , puede ser c = ±∞. Entonces:

Se dice que el límite de f en c es ,

lımx→c

f (x) = ,

cuando todas las sucesiones (xn)n∈N ⊆ I tales que xnn−→ c, pero xn = c para

todo n, cumplen que f (xn) n

−→ .Se dice que el límite de f en c por la izquierda es ,

lımx→c−

f (x) = ,

cuando todas las sucesiones (xn)n∈N ⊆ I tales que xnn−→ c, pero xn < c para

todo n, cumplen que f (xn) n−→ .

Se dice que el límite de f en c por la derecha es ,

lımx→c+

f (x) = ,

cuando todas las sucesiones (xn)n∈N ⊆ I tales que xnn−→ c, pero c < xn para

todo n, cumplen que f (xn)

n

−→ .También se suele usar la notación

f (x) x→c−−→ , f (x)

x→c−−−−→ , f (x) x→c+−−−→ .

Además,

f (x) x→c−−→ ⇐⇒ f (x)

x→c−−−−→ y f (x) x→c+−−−→ .

Continuidad. Sea

una función f : I → R, donde I es un intervalo, o una unión de intervalos;c ∈ I .

Entonces:

a) Se dice que f es continua en c si lımx→c

f (x) = f (c).

b) Se dice que f es continua en c por la izquierda si lımx→c−

f (x) = f (c).

c) Se dice que f es continua en c por la derecha si lımx→c+

f (x) = f (c).




Propiedades de los límites de funciones. Los límites de funciones cumplen todaslas propiedades análogas a las de los límites de sucesiones. Por ejemplo:

Si lımx→c

f (x) = y lımx→c

g(x) = λ, entonces lımx→c

(f (x) + g(x)) = + λ.

Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ I y

f (x) x

→c

−−→ , h(x) x

→c

−−→ ,entonces también g(x)

x→x−−→ (regla del sandwich ).Si f (x) es una función acotada y g(x)

x→c−−→ 0, entonces f (x)g(x) x→c−−→ 0.

Si f (x) es una función acotada inferiormente y g(x) x→c−−→ +∞, entonces

f (x) + g(x) x→c−−→ +∞.

Límites y desigualdades. Supongamos que

f (x) ≤ g(x) para todo x,

y que

f (x)

x

→c

−−→ , g(x)

x

→c

−−→ λ.Entonces,

≤ λ.

La propiedad no se cumple cambiando ≤ por <: puede ocurrir que f (x) < g(x) paratodo x y sin embargo lım

x→cf (x) = lım

x→xg(x).

Equivalencias. Dos funciones g(x) y h(x) se dice que son equivalentes cuando x → c,si

lımx→c

g(x)

h(x) = 1.

En este caso se escribe: g(x) ∼

h(x), cuando x →

c. Las principales equivalencias son:supongamos que f (x) x→c−−→ 0; entonces,

sen f (x) ∼ f (x), cuando x → c;

1 − cos f (x) ∼ 1

2f (x)2, cuando x → c;

ef (x) − 1 ∼ f (x), cuando x → c;

log(1 + f (x)) ∼ f (x), cuando x → c.

Órdenes de infinitud. Cuando x → +∞,

log x << xa << bx << xx,

donde a > 0 y b > 1, y la expresión f (x) << g(x) significa que lımx→+∞

f (x)g(x)

= 0.

Límites, continuidad y funciones elementales. Las funciones elementales (poli-nomios, la exponencial y el logaritmo, las funciones trigonométricas y sus inversas, lasfunciones hiperbólicas y sus inversas) son todas ellas continuas, cada una en su domi-nio. El valor absoluto es una función continua. Las operaciones habituales con funcionescontinuas (sumas, productos, cocientes, composiciones) dan funciones continuas, dondeestén definidas. Otras reglas son las siguientes:

Potencias de exponente positivo: si r > 0, entonces

lımx→0+ xr

= 0, lımx→+∞ xr

= +∞.Potencias de exponente negativo: si r < 0, entonces

lımx→0+

xr = +∞, lımx→+∞

xr = 0.




Valor absoluto:

lımx→−∞

|x| = +∞, lımx→+∞

|x| = +∞.

Exponencial:

lımx→−∞ e

x

= 0, lımx→+∞ e

x

= +∞.Logaritmo:

lımx→0+

log x = −∞, lımx→+∞

log x = +∞.

Tangente: si k es un número entero, entonces

lımx→(π

2+kπ)−

tg x = +∞, lımx→(π2+kπ)

+tg x = −∞.

Arco tangente:

lımx→−∞ arctg x = −π

2 , lımx→+∞ arctg x =

π

2 .

Teorema de Bolzano. Sea f : [a, b] → R una función continua y λ ∈R comprendidoentre f (a) y f (b), es decir, de modo que f (a) < λ < f (b), o f (b) < λ < f (a). Entonces,existe algún c ∈ (a, b), que no tiene por qué ser único, tal que f (c) = λ.

Teorema de Weierstrass sobre extremos absolutos. Si f : [a, b] → R es continua,entonces la función f tiene máximo y mínimo absolutos, es decir:

a) existe algún c ∈ [a, b] tal que f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ [a, b];b) existe algún d ∈ [a, b] tal que f (d) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b].

Los puntos c y d no tienen por qué ser únicos.

Teorema: si f : I → R (I intervalo) es continua, entonces f (I ) es un intervalo;si además f es inyectiva, entonces f es estrictamente monótona y la función inversaf −1 : f (I ) → I es también continua.

Definiciones de límite y continuidad con ε y δ . Sea, como en todo el capítulo,

una función f : I → R, donde I es un intervalo, o una unión de intervalos;c o bien un elemento de I , o bien un extremo del intervalo I (o de alguno de losintervalos que forman I ); ∈ R ∪{±∞}.

Obsérvese que, según cómo sea I , puede ser c = ±∞.a) Si c ∈ R y ∈ R, entonces lım

x→cf (x) = ⇐⇒

para cada ε > 0, existe algún δ > 0 tal quesi x ∈ I , x = c y |x − c| < δ ,se cumple que |f (x) − | < ε.

b) Si c ∈ R, entonces lımx→c

f (x) = +∞ ⇐⇒para cada K ∈ R, existe algún δ > 0 tal que

si x ∈ I , x = c y |x − c| < δ ,se cumple que f (x) > K .

c) Si c ∈ R, entonces lımx→c f (x) = −∞ ⇐⇒para cada K ∈ R, existe algún δ > 0 tal que

si x ∈ I , x = c y |x − c| < δ ,se cumple que f (x) < K .




d) El límite por la izquierda, lımx→c−

f (x), se define de igual manera, pero cambiando

en los tres casos anteriores la condición x = c por x < c. Y el límite por laderecha, lım

x→c+f (x), se define cambiando la condición x = c por x > c.

e) Si ∈ R, entonces lımx→+∞

f (x) = ⇐⇒

para cada ε > 0, existe algún M ∈ R tal quesi x ∈ I y x > M ,

se cumple que |f (x) − | < ε.

f) lımx→+∞

f (x) = +∞ ⇐⇒para cada K ∈ R, existe algún M ∈ R tal que

si x ∈ I y x > M ,se cumple que f (x) > K .

g) lımx→+∞

f (x) = −∞ ⇐⇒para cada K ∈ R, existe algún M ∈ R tal que

si x ∈ I y x > M ,se cumple que f (x) < K .

h) Si ∈ R, entonces lımx→−∞

f (x) = ⇐⇒para cada ε > 0, existe algún M ∈ R tal que

si x ∈ I y x < M ,se cumple que |f (x) − | < ε.

i) lımx→−∞

f (x) = +∞ ⇐⇒para cada K ∈ R, existe algún M ∈ R tal que

si x ∈ I y x < M ,se cumple que f (x) > K .

j) lımx→−∞

f (x) = −∞ ⇐⇒para cada K ∈ R, existe algún M ∈ R tal que

si x ∈ I y x < M ,se cumple que f (x) < K .

k) Si c ∈ I , entonces f es continua en c si y solo si

para cada ε > 0, existe algún δ > 0 tal quesi x ∈ I y |x − c| < δ ,

se cumple que |f (x) − f (c)| < ε.

Capítulo 8: derivación.Derivada de una función en un punto. Sea f : I → R, donde I es un intervalo ouna unión de intervalos, y sea c ∈ I . Se dice que la función f es derivable en el punto csi

∃ lımx→c

f (x) − f (c)

x − c ∈ R.

Y en ese caso, este límite se escribe f (c) y se llama derivada de la función f en elpunto c. Se dice que f es una función derivable si es derivable en todos los puntos de I .Se puede hablar de derivadas laterales , cambiando el límite por los límites laterales.

Significados de la derivada. La derivada de una función f en un punto c se puede

interpretar como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto c.También se puede interpretar como la tasa de variación de la función f en el punto c.Por ejemplo, si f (t) indica la distancia recorrida por un móvil en cada instante t (enun movimiento rectilíneo), la derivada representa la velocidad.




Función derivada. Dada una función f : I → R, sea J = {x ∈ I ; f es derivable en x}.Si J = ∅, la función

f : J → R

x → f (x)

se llama función derivada de f .

Derivada y continuidad. Si una función f es derivable en un punto c, entonces escontinua en c. El recíproco no es cierto: puede ocurrir que una función sea continua enun punto c, pero no sea derivable.

Suma, producto y cociente de funciones derivables. Si dos funciones f, g : I → R

son derivables en un punto c y λ ∈ R, entonces:

la función λf es derivable en c y, además, (λf )(c) = λf (c);la función f + g es derivable en c y, además, (f + g)(c) = f (c) + g(c);

la función f g es derivable en c y, además, (f g)(c) = f (c)g(c) + f )c)g(c);si g(c) = 0, la función f

g es derivable en c y, además,

f g

(c) = f (c)g(c)−f (c)g(c)

g(c)2 .

Teorema. Si f es continua en I y derivable en I \ {c}, entonces f (c) = lımx→c

f (x). Más

exactamente: si este límite existe, entonces la función f es derivable en c y la derivadaes ese límite; si el límite no existe, puede ser que la función sea derivable en c, y puedeser que no.

Regla de la cadena. Sean f : I → R y g : J → R de modo que f (I ) ⊆ J . Sea c ∈ I y supongamos que:

a) la función f es derivable en el punto c;b) y la función g es derivable en el punto f (c).

Entonces, la función compuesta g ◦ f : I → R es derivable en el punto c y

(g ◦ f )(c) = g (f (c))f (c).

Derivada de la función inversa. Sea f : I → R una función inyectiva y continua ysea c ∈ I de modo que f es derivable en el punto c y además f (c) = 0. Entonces, lafunción inversa f −1 : f (I ) → R es derivable en el punto f (c) y además,

(f −1)(f (c)) = 1

f (c).

Derivadas de las funciones elementales.

Una función constante es derivable y su derivada es 0 en todos los puntos;si a ∈ R, la función f (x) = xa es derivable y f (x) = axa−1 en todos los puntosdonde xa−1 está definida (por ejemplo, la función f (x) =

√ x no es derivable

en 0);(sen)(x) = cos x para todo x ∈ R;(cos)(x) = − sen x para todo x ∈ R;(tg)(x) = 1 + tg2(x) = 1

cos2 x para todos los x donde está definida;

(arc sen)(x) = 1√ 1−x2 para todo x ∈ (−1, 1); no es derivable en ±1;

(arc cos)(x) = − 1√ 1−x2 para todo x ∈ (−1, 1); no es derivable en ±1;

(arc tg)(x) = 11+x2

para todo x ∈ R;(exp)(x) = exp(x) = ex para todo x ∈ R;la función f (x) = log |x| es derivable y f (x) = 1

x para todo x = 0.




Regla de L’Hôpital. Sean f, g : I → R dos funciones derivables, donde I es unintervalo o una unión de intervalos, y sea c o bien un elemento de I , o bien un extremode I . Supongamos que se cumple una de las dos condiciones siguientes:

a) lımx→c

f (x) = lımx→c

g(x) = 0;

b) lımx→c

g(x) =

±∞.

Entonces,

lımx→c

f (x)

g(x) = lım

x→c

f (x)

g(x).

Más exactamente: si el segundo límite existe (sea real o infinito), entonces el primerotambién y son iguales; si el segundo límite no existe, puede ocurrir que el primero existay puede ocurrir que no.

Equivalencias: las equivalencias que hemos visto se pueden deducir aplicando la reglade L’Hôpital.

Teorema del valor medio. Sea f : [a, b] → R una función continua en el intervalo[a, b] y derivable en (a, b). Entonces, existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) =f (c)(b − a).

Teorema de los valores intermedios para la derivada. Sea f : I → R unafunción derivable, donde I es un intervalo y sean a, b ∈ I , a < b. Si λ es un número realcomprendido entre f (a) y f (b), entonces existe algún c ∈ (a, b) tal que f (c) = λ.

Caso particular: si f no vale 0 en ningún punto de (a, b), entonces tiene signo cons-tante en el intervalo.

Derivada y crecimiento. Sea f : [a, b] →

R una función derivable en el intervaloabierto (a, b) y continua en los puntos a y b.

Si f ≥ 0 en el intervalo (a, b), entonces f es creciente en el intervalo [a, b].Si f es creciente, entonces f ≥ 0 en el intervalo (a, b).Si f > 0 en el intervalo (a, b), entonces f es estrictamente creciente en el intervalo[a, b].

El recíproco de la última propiedad no es cierto: si f es estrictamente creciente en [a, b],entonces f ≥ 0, pero puede ocurrir que la derivada se anule en algunos puntos.

Se cumplen las propiedades análogas sobre derivadas negativas y funciones decre-cientes.

También se cumplen las propiedades análogas para funciones definidas sobre inter-

valos cerrados solo por un lado o abiertos. Por ejemplo: si f : [a, b) → R es una funciónderivable en el intervalo (a, b), continua en a y además f ≤ 0 en el intervalo (a, b),entonces f es decreciente en el intervalo [a, b).

Derivadas de orden superior. Dada una función f : I → R derivable y un puntoc ∈ I , se llama derivada segunda de la función f en el punto c a la derivada de lafunción f en el punto c. Y se representa por f (c). De igual manera se puede definirla derivada tercera , que se representa por f (c); la derivada cuarta , que se representapor f IV (c) o f (4(c); y, en general, la derivada de orden n, que se representa por f (n(c).

Extremos de funciones. Sea f : I

→R y sea c

∈ I .

Se dice que f tiene en c un máximo absoluto si f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ I .Se dice que f tiene en c un máximo relativo si hay algún δ > 0 de modo f (x) ≤f (c) para todo x ∈ I ∩ (c − δ, c + δ ).Se dice que f tiene en c un minimo absoluto si f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ I .




Se dice que f tiene en c un minimo relativo si hay algún δ > 0 de modo f (c) ≤f (x) para todo x ∈ I ∩ (c − δ, c + δ ).

Se dice que f tiene en c un extremo (relativo o absoluto) si tiene un máximo o unmínimo (relativo o absoluto). Todos los extremos absolutos son extremos relativos.

Derivada y extremos relativos: sea f : (a, b) → R una función derivable y seac ∈ R.

Si f tiene un extremo relativo en c, entonces f (c) = 0.Si f (c) = 0 y además f (c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en c.Si f (c) = 0 y además f (c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en c.

Se llama punto crítico a cualquier punto donde la derivada vale 0.

Funciones convexas y funciones cóncavas. Sea f : I → R, donde I es un intervalo.Se dice que la función f es convexa en el intervalo I si cumple una cualquiera de las

siguientes condiciones (son equivalentes):a) f (x) ≤ f (a) + f (b)−f (a)

b−a (x − a) para todos los a, x, b ∈ I tales que a < x < b.b) f (x) ≤ f (a) + f (a)(x − a) para todo los a, x ∈ I .c) f (x) es creciente en el intervalo I .d) f (x) ≥ 0 para todo x ∈ I .

La primera propiedad significa que la gráfica de f queda por debajo de todas las cuer-das. La segunda, que la gráfica de f queda por encima de todas las tangentes. Laspropiedades segunda y tercera solo se pueden aplicar cuando la función es derivable; lapropiedad cuarta, solo cuando la función es dos veces derivable.

Se dice que la función f es cóncava en el intervalo I si cumple una cualquiera de las

siguientes condiciones (con los mismos comentarios):a) f (x) ≥ f (a) + f (b)−f (a)

b−a (x − a) para todos los a, x, b ∈ I tales que a < x < b.b) f (x) ≥ f (a) + f (a)(x − a) para todo los a, x ∈ I .c) f (x) es decreciente en el intervalo I .d) f (x) ≤ 0 para todo x ∈ I .

La función f es cóncava si y solo si −f es convexa. Si una función es cóncava en unintervalo (a, c] y convexa en otro intervalo [c, b) (o si pasa de convexa a cóncava), sedice que tiene en c un punto de inflexión .

Polinomio de Taylor. Sea f : (a, b) →

R una función derivable n veces y sea c ∈(a, b). Se llama polinomio de Taylor de la función f , de orden n, en el punto c, al

polinomio

f (c) + f (c)(x−c) +f (c)

2 (x−c)2 +

f (c)

3! (x−c)3 +

f (4(c)

4! (x−c)4 + · · ·+

f (n(c)

n! (x−c)n.

Es un polinomio de grado menor o igual que n.

Infinitésimos: si una función cumple lımx→c

f (x)(x−c)n = 0, se escribe

f (x) = o((x

−c)n) cuando x

→ c.

Si dos funciones cumplen que f (x) −g(x) = o((x− c)n) cuando x → c, también se sueleescribir

f (x) = g(x) + o((x − c)n) cuando x → c.




Fórmula de Young. Sea f : (a, b) → R una función derivable n + 1 veces y seac ∈ (a, b). Entonces,

f (x) −

f (c) + f (c)(x − c) + f (c)

2 (x − c)2 +

f (c)

3! (x − c)3 + · · · +

f (n(c)

n! (x − c)n

= o((x − c)n

), cuando x → c.Esta expresión se llama fórmula de Young de orden n, de la función f , en el punto c.Si además f (n+1(c) = 0, entonces

f (x) −

f (c) + f (c)(x − c) + f (c)

2 (x − c)2 +

f (c)

3! (x − c)3 + · · · +

f (n(c)

n! (x − c)n

∼ f (n+1(c)

(n + 1)!(x − c)n+1, cuando x → c.

Fórmula de Taylor. Sea f : (a, b) → R una función derivable n + 1 veces y seac ∈

(a, b). Para cada x ∈

(a, b) existe algún t, comprendido entre c y x, tal que

f (x) −

f (c) + f (c)(x − c) + f (c)

2 (x − c)2 +

f (c)

3! (x − c)3 + · · · +

f (n(c)

n! (x − c)n

= f (n+1(t)

(n + 1)!(x − c)n+1.

Esta expresión se llama fórmula de Taylor de orden n, de la función f , en el punto c.

La expresión f (n+1(t)(n+1)!

(x − c)n+1 se llama resto (de Lagrange) de la fórmula de Taylor.

En el caso particular c = 0, a las fórmulas anteriores se les suele añadir el nombre deMaclaurin: fórmula de Young-Maclaurin y fórmula de Taylor-Maclaurin.

Operaciones con polinomios de Taylor. Sean f y g dos funciones y sean P (x) yQ(x) sus polinomios de Taylor de orden n en un punto c. Entonces:

Para la función λf , donde λ ∈ R, el polinomio de Taylor de orden n en c esλP (x).Para la función f + g, el polinomio de Taylor de orden n en c es P (x) + Q(x).Para la función f g, el polinomio de Taylor de orden n en c consiste en tomar delproducto P (x)Q(x) solo los términos hasta (x − c)n.Para la función f , el polinomio de Taylor de orden n − 1 en c es P (x).

Si el polinomio de Taylor de orden n de f en 0 es P (x), entonces:

Para la función f (λx), donde λ

∈ R, el polinomio de Taylor de orden n en 0 es

P (λx).Para la función f (xm), donde m ∈ N, el polinomio de Taylor de orden nm en 0es P (xm).Para la función f (x − c), donde c ∈R, el polinomio de Taylor de orden n en c esP (x − c).

Desarrollos de Taylor de las funciones elementales: en un guion aparte recoge-mos los desarrollos de Taylor o de Young de algunas funciones.

Capítulo 9: cálculo de primitivas e integración.

Primitivas o integrales indefinidas. Dada una función f : I

→ R, se llama primi-

tiva (o integral indefinida ) de f a cualquier otra función F : I → R tal que F = f . Dosfunciones son primitivas de la misma función en un intervalo (es decir, sus derivadasson la misma) si y solo si se diferencian en una constante. Los métodos más importantespara calcular primitivas (integrales indefinidas) se dan en un guion aparte.




La integral definida (integral de Riemann). Dada una función f : [a, b] → R

acotada y dada una partición o división del intervalo [a, b], es decir, unos puntos a =x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b, se define la suma superior de Riemann como

M 1(x1 − a) + M 2(x2 − x1) + · · · + M n−1(xn−1 − xn−2) + M n(b − xn−1),

donde cada M j es el supremo de la función f en el intervalo [x j−1, x j ].

a = x0 x1 x2 . . . xn−1 xn = b

Suma superior de Riemann: el área de la figura.

Se define la suma inferior de Riemann como

m1(x1 − a) + m2(x2 − x1) + · · · + mn−1(xn−1 − xn−2) + mn(b − xn−1),

donde cada m j es el ínfimo de la función f en el intervalo [x j−1, x j].

a = x0 x1 x2 . . . xn−1 xn = b

Suma inferior de Riemann: el área de la figura.

Si elegimos un t j ∈ [x j−1, x j] para cada j , la suma

f (t1)(x1 − a) + f (t2)(x2 − x1) + · · · + f (tn−1)(xn−1 − xn−2) + f (tn)(b − xn−1),

se dice que es una suma de Riemman .Tomando particiones cada vez más finas, las sumas superiores se aproximan a un

valor y las sumas inferiores se aproximan a otro valor. Cuando ambos son el mismo,ese valor se llama integral de Riemann de la función f sobre el intervalo [a, b] y serepresenta por b

af (x) dx

(o con cualquier otra variable en lugar de x). Si esos dos valores no son iguales, se diceque la función f no tiene integral de Riemann en el intervalo [a, b]. Todas las funcionescontinuas son integrables (tienen integral); las que son continuas excepto en algunospuntos, donde tienen límites laterales finitos, también son integrables.




a = x0 x1 x2 . . . xn−1 xn = b

Una suma de Riemann: el área de la figura.

Si la función f es positiva, la integral representa el área de la superficie comprendidaentre la gráfica de f y el eje horizontal, entre las abscisas a y b.

Ejemplo de sumas de Riemann.

lımn

1

n

n j=1

f ( j

n) =

10

f (x) dx.

Operaciones con funciones. Sean f , g : [a, b] → R dos funciones integrables, y seanr, s ∈ R. Entonces, la función rf + sg también es integrable y además b

a(rf (x) + sg(x)) dx = r

ba

f (x) dx + s ba

g(x) dx.

Integrales y desigualdades. Sean f, g : [a, b] → R dos funciones integrables. Sif (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces b

af (x) dx ≤

ba

g(x) dx.

Notación: Si a < b, se define ab f (x) dx = − b

a f (x) dx. Y se define aa f (x) dx = 0.

Teorema fundamental del cálculo integral. Sea I un intervalo y f : I → R unafunción integrable en todos los intervalos [a, b] ⊆ I . Sea también c ∈ I y definamos

F (x) = xc

f (t) dt, para cada x ∈ I .

Se cumple lo siguiente:

a) la función F es continua en todos los puntos;b) si la función f es continua en algún punto x ∈ I , entonces F es derivable en x y

además F (x) = f (x).

Regla de Barrow. Sea f : [a, b] →R una función integrable en [a, b]; sea F : [a, b] → R

de modo que

en el intervalo (a, b), F es derivable y F = f ;

F es continua en a y en b.Entonces, b

af (x) dx = F (b) − F (a).




Notación: se suele escribir

F (b) − F (a) =F (x)

x=bx=a

.

Escribiendo F en lugar de f , la regla de Barrow es

ba F (x) dx =

F (x)

x=bx=a.

Integral por partes. Si f, g : [a, b] → R son dos funciones derivables y con derivadacontinua, entonces b

af (x)g(x) dx =

f (x)g(x)

x=bx=a

− ba

f (x)g(x) dx.

Cambio de variable. Si ϕ : [a, b] → R es una función derivable con derivada continuay f : ϕ([a, b]) → R es otra función continua, entonces

b

af (ϕ(x))ϕ(x) dx =

ϕ(b)

ϕ(a)f (y) dy.

Abreviadamente:

y = ϕ(x), dy = ϕ(x) dx,

x = a −→ y = ϕ(a), x = b −→ y = ϕ(b).

Aplicaciones de la integral: las aplicaciones de la integral al cálculo de áreas, lon-gitudes, volúmenes, centros de gravedad. . . se recogen en un guion aparte.

Capítulo 10: series de potencias.

Definición. Una serie de la forma

∞n=0

an(x − c)n = a0 + a1(x − c) + a2(x − c)2 + . . . ,

donde c ∈ R está fijo y se entiende que x puede variar, se llama serie de potencias (si se quiere precisar, potencias de x − c). El número c se llama centro de la serie depotencias.

Teorema. Dada una serie de potencias∞n=0

an(x − c)n, siempre existe un R ∈ [0, +∞]

(puede ser +∞) tal que:

a) si |x − c| < R, la serie∞

n=0an(x − c)n converge;

b) y si |x − c| > R, la serie∞n=0

an(x − c)n no converge.

Además, si |x − c| < R, la serie∞n=0

|an(x − c)n| converge; y si |x − c| > R, entonces

an(x − c)n no tiende a 0.

Radio e intervalo de convergencia.El valor R del teorema anterior se llama radio de convergencia de la serie depotencias.El conjunto de los números x para los que la serie converge es uno de estosintervalos:

(c − R, c + R), (c − R, c + R], [c − R, c + R), [c − R, c + R]

(en el caso R = ∞ hay que interpretar que c − R = −∞ y c + R = +∞). Esteconjunto se llama intervalo de convergencia o dominio de convergencia .




En el caso R = 0, la serie∞n=0

an(x − c)n solo converge para x = c; en el caso

R = ∞, la serie converge para todo x ∈ R.

Continuidad. Las series de potencias son funciones continuas en todo el intervalo deconvergencia.

Derivada de una serie de potencias. Sea

f (x) =∞n=0

an(x − c)n

una serie de potencias con radio de convergencia R > 0 y sea D su intervalo de conver-gencia. Consideremos la serie de las derivadas,

∞n=1

nan(x − c)n−1,

y sea D su intervalo de convergencia:

D = {x ∈ R; la serie∞n=0

an(x − c)n converge},

D = {x ∈ R; la serie∞n=1

nan(x − c)n−1 converge}.

Entonces:

a) La serie de potencias de las derivadas tiene también radio de convergencia R.Además,

(c − R, c + R) ⊆ D ⊆ D ⊆ [c − R, c + R].

Es decir, si la serie de las derivadas converge, la serie inicial también.b) En los puntos x ∈ D la función f es derivable y además

f (x) =∞n=1

nan(x − c)n−1.

c) Si alguno de los puntos c ± R está en D pero no en D, entonces la fórmulaanterior no es cierta en ese punto porque la serie de las derivadas no converge.Pero puede ocurrir que la función f sea derivable en ese punto.

Derivadas de orden superior. Sea

f (x) =

∞n=0

an(x − c)n

una serie de potencias con radio de convergencia R > 0 y sea D su intervalo de conver-gencia. Sea j ∈ N, consideremos la serie de las derivadas de orden j,

∞n= j

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − j + 1)an(x − c)n− j,

y sea D su intervalo de convergencia:

D = {x ∈ R; la serie∞

n=0

an(x − c)n converge},

D = {x ∈ R; la serie∞n= j

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − j + 1)an(x − c)n− j converge}.

Entonces:




a) La serie de potencias de las derivadas de orden j tiene también radio de conver-gencia R. Además,

(c − R, c + R) ⊆ D ⊆ D ⊆ [c − R, c + R].

Es decir, si la serie de las derivadas de orden j converge, la serie inicial también.

b) En los puntos x ∈ D la función f es derivable hasta el orden j y además

f ( j(x) =∞n= j

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − j + 1)an(x − c)n− j.

c) Si alguno de los puntos c ± R está en D pero no en D, entonces la fórmulaanterior no es cierta en ese punto porque la serie de las derivadas de orden j noconverge. Pero puede ocurrir que la función f sea derivable hasta el orden j enese punto.

Fórmula del término general. Con la notación anterior, an = 1n!

f (n(c), para todo n.

Primitivas de una serie de potencias. Sea

f (x) =∞n=0

an(x − c)n

una serie de potencias con radio de convergencia R > 0 y sea D su intervalo de conver-gencia. Entonces, la serie de potencias

∞n=0

ann + 1

(x − c)n+1

tiene también radio de convergencia R, converge para todos los x ∈ D y es una primitivade f en D. En particular,

xc

f (t) dt =

∞n=0

ann + 1 (x − c)n+1, x ∈ D.

Si F es otra primitiva de f en el intervalo D , entonces

F (x) = F (c) +∞n=0

ann + 1

(x − c)n+1, x ∈ D.

Desarrollo en serie de potencias de las funciones elementales: en un guionaparte recogemos los desarrollos en series de potencias de algunas funciones elementales.

Analisis matemático

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