Antiderivada
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Antiderivada
Una antiderivada de una función f(x) es una función cuya derivada es f(x).
Ejemplos
Pues la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4. Pues la derivada de x2+30 es 2x también, una otra antiderivada de 2x es x2+30. En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2-49. En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)
In fact:Cada antiderivada de 2x tiene la forma x2 + C, donde C es constante.
P Pues la derivada de x4+C es 4x3,
una antiderivada de es .
Integral indefinida
Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral indefinida de la función f como
f(x) dxy la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto,
f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.
Ejemplos
2x dx = x2 + C La intgegral indefinida de 2x respecto a x es x2 + C
Elija una Elija una
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4x3 dx = x4 + C La integral indefinida de 4x3 respecto a x es x4 + C
Leyendo la formula
Leemos la primera formula más arriba como sigue:
2x dx =x2 + C
La antiderivada
de 2x, respecto a x, es igual ax2 + C
La constante de integración, C, nos recuerda que podemos añadir cualquiera constante y así obtener una otra antiderivada.
Algunos para usted
P Pues la derivada de 4x3 es 12x2,
=
P Uno más:
6 dx =
Aquí está un concurso tipo test:
CONCURSO
x3 dx = ?
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x4
4dx
3x2 + Cx4
4
x4
4 + C
3x2 3x2dx
x4
3 + C
x4
3
x4
3dx
La respuesta correcta a la última pregunta sugiere una formula para hallar la antiderivada de cualquier potencia de x. la siguiente tabla incluya esta formula y también otra información.
Función Antiderivada Formula
xn
(n ≠ -1)
xn+1
n+1
+ C
xn dx
=xn+1
n+1
+ C (n ≠ -1)
Ejemplos:
x5.4 dx
=x6.4
6.4
+ C
Por la formula con n = 5.4
3x5.4 dx
= 3x6.4
6.4
+ C
El múltiplo 3 "va adelante para el
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paseo".
Función Antiderivada Formula
x-1 ln |x| + C x-1 dx = ln |x| + C
Ejemplo:
(5x-
1 + 11x-
3) dx
=
5 ln |x|
-11x-2
2
+ C
Función Antiderivada Formula
k(k consta
nte)kx + C k dx = kx + C
Ejemplo:
(5x-
5.4 + 9) dx
=-5x-4.4
4.4
+ 9x + C
Función Antiderivada Formula
ex ex + C ex dx = ex + C
Ejemplo:
(3x5.4 + 9ex - 4) dx
=3x6.4
6.4
+ 9ex - 4x + C
Si desea una copia de la tabla más arriba, pulse aquí para abrir una nueva página que puede imprimir.
CONCUR
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SO
En este concurso, tiene que ingresar una exprexión algebráica usando al formato correcto para graficadores como más ariba (espacios son ignorados). Pulse el botón para ver ejemplos de expresiones con logarítmos y exponenciales.
(x2 - 3x-1 + 4) dx =
(2x-1.1 + 0.5x0.5 + 2ex) dx =
(4x-
x2
2+
3x-
1.1 - 6)
dx
=
P
¿Cómo se trata potencias de x en el denominador, como, por ejemplo,
6
5x4
?
R Primero, conviértalas en forma exponencial; es decir, escriba la expresión con cada término en la forma Axn, donde A y n son constantes. Por ejemplo, escriba
6
5x4
como
6
5
x-
4.
Entonces, tome la antiderivada como más arriba; por ejemplo, la antiderivada de esta expreción sería
6
5x-4 dx =
6
5
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x-3
-3 + C = -
6x-3
15 + CCONCUR
SO
En forma exponencial, la expreción
1
6x
+
x
6
+
5
4x-2
es:
6-1x - 6-1x - 5(4-1)x2 6x-1 + 1
6x +
6-1x + 6-1x + 5(4-1)x2
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5
4x2
6x-1 + 1
6x + 20x2
6-1x - 6-1x + 5(4-1)x2
1
6x-1 +
1
6x +
5
4x2
-1
6x-1 +
1
6x -
5
4x2
1
6x-1 +
1
6x -
5
4x2
-1
6x-1 +
1
6x -
5
4x2
1
6x-1 -
1
6x +
5
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4x2
CONCUR
SO
Ingrese las respuestas y pulse "Verifica."
(7ex
+1
6x+
x
6
-5
4x-2
)dx
=