“TAREAS CON MÚLTIPLES SOLUCIONES: UN MEDIO PARA … · los métodos con múltiples soluciones...
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1 “TAREAS CON MÚLTIPLES SOLUCIONES: UN MEDIO PARA PROMOVER EL ENTENDIMIENTO MATEMÁTICO EN PRIMARIA” TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA PRESENTA: Luisa Elida de la Cueva Hernández DIRIGIDA POR: DR. FERNANDO BARRERA MORA DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ Mineral de la Reforma, Hidalgo, Julio de 2015 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
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“TAREAS CON MÚLTIPLES SOLUCIONES: UN MEDIO PARA PROMOVER EL ENTENDIMIENTO MATEMÁTICO EN PRIMARIA”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
PRESENTA:
Luisa Elida de la Cueva Hernández
DIRIGIDA POR:
DR. FERNANDO BARRERA MORA
DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ
Mineral de la Reforma, Hidalgo, Julio de 2015
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
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Resumen
Uno de los objetivos centrales de la educación matemática es que los estudiantes
construyan un conocimiento estructurado. Por otra parte, el desarrollo de un conocimiento
con estas características requiere que los estudiantes lleven a cabo aspectos centrales del
pensamiento matemático. En este contexto, el presente trabajo tiene el objetivo de
documentar y analizar las diversas rutas de solución que construyen seis estudiantes de
quinto grado de primaria que poseen diferentes niveles de desempeño en matemáticas,
quienes resolvieron durante tres sesiones de trabajo problemas en contextos de la vida real,
los cuales tienen diferentes respuestas. El análisis de las videograbaciones y de las notas de
campo realizadas por la investigadora permitió determinar en qué medida las tareas con
múltiples soluciones (TMS) pueden apoyar la construcción de conexiones entre conceptos o
ideas matemáticas, lo cual es un aspecto central del aprendizaje con entendimiento.
Abstract
The central goal of mathematics education is that students develop a structured knowledge.
Moreover, the development of knowledge with these characteristics requires that students
perform key aspects of mathematical thinking. In this context, the aim of this research is to
document and analyze the solution routes implemented by six fifth grade students, from a
private elementary school, with diverse levels of mathematical performance. The students
solved real-life problems which have different answers. The analysis of videotapes of the
problem solving sessions and the notes taking by the researcher, allow us to determine to
what extent multiple solution task (MST) can support the construction of connections
among mathematical concepts or ideas, which is a central aspect of learning with
understanding.
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CONTENIDO
Capítulo 1. El problema de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2. Revisión de la literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Planteamiento del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Capítulo 2. Marco de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.2. Una visión del aprendizaje y la enseñanza basada en la resolución de problemas. . . . 11
2.3. Aprendizaje con entendimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Tareas con múltiples soluciones (TMS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Capítulo 3. Metodología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1. Los participantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Las tareas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
3.3. Análisis preliminar de las tareas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Capítulo 4. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1. Tarea 1. Charola de dulces típicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
4.2. Tarea 2. Bolsa de chocolates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3. Tarea 3. Arreglos frutales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
Capítulo 5. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1. Respuesta a las preguntas de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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5.2. Alcances y limitaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3. Reflexiones finales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
Apéndices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
Apéndice A. Transcripción del proceso de implementación de la tarea “Charolas de dulces
típicos”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Apéndice B. Transcripción del proceso de implementación de la tarea “Bolsas de
chocolates”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Apéndice C. Transcripción del proceso de implementación de la tarea “Arreglos frutales”. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
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CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. Antecedentes
Muchas veces como profesores queremos que nuestros estudiantes entiendan los conceptos
o ideas matemáticas. Al terminar una sesión es clásica la pregunta ¿entendieron? ¿Tienen
alguna pregunta? Generalmente la respuesta a la primera pregunta es un “sí” o un absoluto
silencio; la respuesta a la segunda pregunta generalmente es un “no” o nuevamente silencio.
En ambos casos damos por hecho que los estudiantes sí entendieron y pasamos a revisar
otros contenidos, pero casi nunca reflexionamos acerca del significado de la palabra
“entender”.
El “entendimiento”, es una idea complicada porque es algo que siempre está
cambiando y está creciendo, razón por la cual existen diferentes niveles de entendimiento
de un concepto. El conocer algo no es una proposición de todo o nada, más bien, hay varios
grados de ‘dominio’ de un conocimiento, aun con respecto a hechos y conceptos simples-
(Schoenfeld A. H., 1985). Pero, ¿qué significa entender algo? Entender consiste en
establecer relaciones o conexiones entre un nuevo conocimiento y otras cosas que
conocemos de forma previa (Hiebert et al., 1997).
Por otra parte, la construcción de estas relaciones se lleva a cabo a través de los
procesos de reflexión y comunicación. La comunicación involucra hablar, escuchar,
escribir, justificar y razonar. Esto es, participar en una interacción social, compartiendo
ideas y escuchando otros puntos de vista. El National Council of Teachers of Mathematics
(NCTM) afirma que cuando los estudiantes piensan, razonan y comunican sus ideas a otros,
oralmente o por escrito, aprenden a ser claros y convincentes. Además, escuchar las
explicaciones de otros les brinda oportunidades para desarrollar su propio punto de vista.
Las conversaciones en las que las ideas matemáticas son exploradas y discutidas, desde
múltiples perspectivas, ayuda a los participantes a aguzar sus pensamientos y a establecer
conexiones (NCTM, 2000). La reflexión es esencial para el entendimiento, la reflexión se
lleva a cabo cuando los estudiantes exploran fenómenos, elaboran conjeturas y justifican
resultados. Los profesores debemos entender que reflexionar matemáticamente es un hábito
de la mente, y como todos los hábitos debe ser desarrollado a través del uso constante en
muchos contextos.
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Un recurso para construir conexiones y reflexionar en matemáticas lo constituyen
las tareas con múltiples soluciones (TMS), ya que uno de los mejores medios para
desarrollar conexiones entre diferentes conocimientos matemáticos consiste en buscar
caminos diferentes para resolver un mismo problema (NCTM, 2000; Levav-Waynberg A. y
Leikin R., 2012). De esta forma, los estudiantes aprenderán a construir herramientas
matemáticas que puedan usar de manera flexible, adaptarlas a nuevas situaciones y usarlas
para aprender cosas nuevas.
1.2. Revisión de literatura.
En esta sección se revisan trabajos cuyo interés es conocer en qué medida la utilización de
tareas con múltiples soluciones puede favorecer el desarrollo del entendimiento
matemático. Al respecto, Santos-Trigo M. (2007) identifica las características de diferentes
soluciones a un problema denominado “cerdos y gallinas” en el que dos niños habían
tomado en consideración cosas diferentes para saber cuántos cerdos y cuántas gallinas
habían en una granja, y mientras uno contó 19 cabezas el otro contó 60 patas, resaltando la
importancia de las representaciones y de la consideración de los problemas como dilemas
que los estudiantes tienen que resolver mediante la utilización de sus recursos y estrategias.
Para este autor, la consideración de múltiples soluciones favorece el que los estudiantes
pongan en práctica diversos elementos del pensamiento matemático, entre los que se
encuentra la exploración y búsqueda de relaciones entre ideas y conceptos matemáticos, la
formulación y justificación de conjeturas, la comunicación de resultados, el establecimiento
de conexiones y la formulación de nuevos problemas matemáticos.
Por otra parte, Ainsworth S., Wood D. y O’Malley C. (1997), utilizaron problemas
multiplicativos con múltiples soluciones para analizar el entendimiento de estudiantes entre
seis y siete años, mediante el uso de materiales manipulables que permitían a los
estudiantes descomponer un número de diferentes maneras. Los resultados indican que la
orientación del profesor es fundamental para que los estudiantes produzcan más soluciones
de las que proponen usualmente. Además, se obtuvo evidencia de que los materiales
manipulables favorecieron el entendimiento de los estudiantes. En la misma línea de ideas
Groβe C. y Renkl C. (2006), probaron la efectividad de presentar más de un método de
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solución al resolver problemas de combinatoria y de probabilidad para favorecer el
aprendizaje de estudiantes. Se aplicó un pre-test y un pos-test, cuyos resultados indican que
los métodos con múltiples soluciones pueden favorecer el aprendizaje de este tipo de ideas.
Existen otras investigaciones como la desarrollada por Leikin R. y Lev M. (2007),
quienes utilizaron tareas con múltiples soluciones como una herramienta para examinar la
creatividad matemática en escolares con diferentes niveles de desempeño académico. La
creatividad se analizó mediante aspectos tales como la flexibilidad, el dominio en el manejo
de las ideas matemáticas y la innovación de las soluciones. Los resultados mostraron
diferencias en cuanto a la novedad y la flexibilidad entre los tres grupos de estudiantes
analizados, resaltándose las pocas diferencias entre los diferentes grupos.
En otros trabajos, se ha tratado de identificar el efecto de usar tecnología y tareas
con múltiples soluciones. Al respecto Kordaki M. y Mastrogiannis A. (2006), se enfocaron
en el potencial de las TMS como proveedoras de una gran variedad de herramientas de
aprendizaje. Se utilizaron tareas enfocadas en desarrollar la noción de ángulo, las cuales se
abordaron utilizando el software Cabri. Los resultados obtenidos en el análisis preliminar
de las tareas indican que los estudiantes pueden desarrollar al menos 18 estrategias de
solución, cada una de las cuales favorece el desarrollo de diversas habilidades. En un
contexto similar Balomenou A. y Kordaki M. (2009), llevaron a cabo una investigación en
la que analizaron el efecto de utilizar Cabri para resolver tareas con múltiples soluciones,
en la que participaron 25 estudiantes de entre 12 y 15 años. Los datos mostraron que el
carácter dinámico del programa permite a los estudiantes explorar y experimentar, así
como buscar más de una estrategia de solución.
Algunas investigaciones han analizado los cambios en la adquisición del
conocimiento geométrico y el desarrollo de la creatividad de los estudiantes al utilizar
TMS. En esta línea de ideas Levav-Waynberg A. y Leikin R. (2012), desarrollaron un
estudio con 303 estudiantes de catorce grupos en clases de geometría. En once grupos (229
estudiantes) la aproximación se basó en la resolución de TMS; mientras que en el resto de
los grupos se llevó a cabo una aproximación usual y se recopiló información mediante
pruebas escritas. El conocimiento geométrico se midió por la exactitud de las soluciones
presentadas; y el criterio para la creatividad fueron la flexibilidad, la innovación y el
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dominio. Los resultados de este trabajo indican que las conexiones que los estudiantes
hacen entre sus conocimientos previos y las diferentes rutas de solución crecían tanto como
su dominio y, la flexibilidad se beneficiaba al implementarse las TMS.
Por otra parte, Silver E., Leung S., y Cai J. (1995), examinaron y compararon las
diferentes rutas de solución de estudiantes japoneses y estadounidenses. La investigación se
llevó a cabo con 150 estudiantes americanos (EE.UU.) y 200 estudiantes orientales
(Japón), la mayoría de cuarto grado; quienes resolvieron cinco problemas no rutinarios en
los grados 4,6 8 y 11; con dos problemas en cada grado y un problema compartido entre 4°
y 6°, y otro entre 8° y 11°. Se concluyó que los estudiantes mostraron estrategias muy
parecidas y, usaron los mismos tipos de explicaciones. No obstante, los estudiantes
japoneses produjeron ideas matemáticas más sofisticadas que los estudiantes
estadounidenses.
También se han llevado a cabo estudios en los que las TMS se han utilizado en la
formación de profesores. Levav-Waynberg A. y Leikin R. (2006), observaron a 12
profesores voluntarios de secundaria, quienes utilizaban las TMS como herramienta
didáctica. A diez de ellos se les entrevistó antes del curso y a los doce después del curso.
Posteriormente, con el propósito de analizar el desarrollo de la destreza de los profesores,
se les pidió que trabajaran con tareas con múltiples soluciones, siete de los doce cumplieron
con la petición mientras que seis de ellos fueron más allá de las discusiones en torno a las
soluciones en sus clases. Nueve profesores fueron entrevistados al final de la segunda parte.
Los resultados obtenidos mostraron que la implementación de tareas con múltiples
soluciones favoreció el desarrollo de destrezas didácticas en los profesores, que les
permitieron orientar apropiadamente a sus estudiantes para resolver este tipo de tareas.
En lo que respecta a cómo los profesores consideran múltiples soluciones a un
problema, Bingolbali E. (2011) examinó las concepciones de profesores mediante dos
cuestionarios con ítems acerca de las diferentes soluciones de los estudiantes. Los
cuestionarios se aplicaron en cerca de 500 salones de clase, pero para este estudio se
analizaron únicamente dos ítems que son los que tienen que ver con diferentes soluciones.
Los resultados obtenidos revelaron que la mayoría de los profesores aceptan una sola
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solución. Revelaron también que, a pesar de que debe haber diferentes soluciones los
profesores se interesan más por las reglas y la práctica.
En este mismo orden de ideas, Leikin R. (2011), analizó el desarrollo de la
experiencia docente en relación a la implementación de material novedoso como son las
TMS en sus clases, el estudio se centró en la naturaleza de estas tareas y las subsecuentes
discusiones en clase. El estudio constó de dos etapas, la de aprendizaje y la de
implementación; en la primera participaron doce profesores de secundaria quienes fueron
entrevistados antes y después del experimento. Tres de los docentes imparten clase en
secundarias, cuatro en preparatorias y cinco en ambas. Se aplicaron tres tareas. Los
resultados obtenidos fueron que el aprendizaje de los docentes se relaciona con la
convencionalidad de las tareas que implementa en sus clases y los tópicos que incluye en
éstas. La más significativa mejora en el conocimiento de los profesores es el hecho de
cambiar sus tareas tradicionales a la implementación de TMS.
Después de revisar la literatura se pudo observar la importancia de la
implementación de Tareas con Múltiples Soluciones como un medio para favorecer el
entendimiento de las ideas matemáticas. En este sentido, el interés de este trabajo se centra
en determinar en qué medida el abordar este tipo de tareas permite a los estudiantes
desarrollar un aprendizaje con entendimiento, es decir si las TMS favorecen la
estructuración de ideas y conceptos matemáticos y, además, conocer qué elementos del
pensamiento matemático se promueven.
1.3. Planteamiento del problema
Con base en la revisión de la literatura se pudo identificar que la investigación en torno al
papel de las tareas con múltiples soluciones como medio para apoyar a que los estudiantes
desarrollen una forma matemática de pensar es un área de indagación relevante. Así, el
objetivo general de esta investigación es documentar y analizar las diversas rutas de
solución que construyen estudiantes de quinto grado de primaria para resolver problemas en
contextos de la vida real, con la finalidad de determinar en qué medida las tareas con
múltiples soluciones (TMS) apoyan la construcción de conexiones entre conceptos o ideas
matemáticas. Las preguntas que orientan el proceso de investigación son las siguientes:
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1. ¿En qué medida el uso de las tareas con múltiples soluciones favorece la construcción de
conexiones entre ideas y conceptos matemáticos?
2. ¿Qué elementos del pensamiento matemático se promueven al implementar tareas con
múltiples soluciones en el proceso de instrucción?
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CAPÍTULO II. MARCO DE INVESTIGACIÓN
Un marco de investigación es un conjunto de ideas, reglas, acuerdos y principios que
proporcionan las bases para plantear el problema, establecer los lineamientos
metodológicos, interpretar la información recolectada durante el trabajo de campo y
establecer las conclusiones. Un marco de investigación puede pensarse como un andamio
que ayuda a los investigadores a construir, a reparar y/o a llegar a donde no se tendría
acceso sin esa estructura conceptual. Un marco de investigación nos permite ir más allá del
sentido común, porque gracias a él se puede dar sentido a las cosas que no podemos
explicar de otra manera. En esta investigación se utiliza un marco conceptual integrado por
elementos de la aproximación de resolución de problemas, así como la conceptualización
de aprendizaje con entendimiento propuesta por Hiebert, et al. (1997) y la consideración de
múltiples soluciones a una tarea como una actividad central en el desarrollo de formas
matemáticas de pensar. La disposición a cuantificar y modelar, así como el hábito de ver a
los fenómenos desde un punto de vista matemático caracterizan a las personas con “una
forma matemática de pensar”. (Barrera F. y Reyes A., 2014)
Las matemáticas son la ciencia de los patrones (Steen, 1988), de ahí que el trabajo
matemático consista en observar y codificar regularidades en los mundos de los símbolos y
los objetos matemáticos. De acuerdo con Schoenfeld (1989), es importante que durante el
proceso de aprender matemáticas el estudiante se desenvuelva en un medio análogo al de
los matemáticos cuando generan nuevo conocimiento disciplinar. Se considera que este
escenario es el propicio para que el estudiante desarrolle estrategias y habilidades propias
del quehacer matemático. Es decir, aprender matemáticas significa que el estudiante debe
adquirir destreza y habilidad para identificar, seleccionar y usar estrategias análogas a
aquellas utilizadas por los matemáticos al resolver problemas. Además de memorizar o
adquirir fluidez para implementar reglas y procedimientos, es importante que los
estudiantes desarrollen habilidades para resolver problemas y representar sus ideas en
lenguaje matemático (Barrera F. y Reyes A., 2014).
Con base en lo expresado en el párrafo anterior, durante el proceso de instrucción se
busca promover el desarrollo de diversos aspectos del pensamiento matemático y la
construcción de un entendimiento conceptual, a través de la resolución de problemas,
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considerando como problema a una tarea que es intelectualmente significativa para un
individuo- (Schoendeld A. H., 1985), es decir un problema es una tarea que representa un
reto intelectual, más que dificultades puramente procedimentales o de cálculo. En esta línea
de ideas, Polya G. (1945) resalta la identificación de varias etapas o categorías en el
proceso de resolver problemas. Inicialmente habla de la fase del entendimiento del
enunciado del problema. Es aquí donde se requiere entender la información que se
proporciona en el enunciado y las posibles relaciones entre los datos y la incógnita. Luego
ubica la etapa relacionada con la concepción de un plan y el proceso de implementación.
Después de haber entendido el problema, el siguiente paso es diseñar un plan e
implementarlo para resolver el problema. Finalmente, se identifica una fase de evaluación
de la solución o soluciones mediante una visión retrospectiva de todo el proceso de
solución y del potencial del problema. Es decir, aquí no solamente se incluye la actividad
de revisar los cálculos y operaciones, sino también evaluar el sentido de la solución y el
análisis de las posibles extensiones o conexiones del problema (Santos Trigo M., 2007).
Durante el aprendizaje de las matemáticas resulta esencial que el profesor utilice
tareas de instrucción que permitan a los estudiantes desarrollar elementos esenciales del
pensamiento matemático, entre los que se encuentra: (a) experimentar, (b) observar
relaciones, (c) formular conjeturas, (d) justificar conjeturas, (e) comunicar resultados y (f)
formular nuevos problemas, así como generalizar o extender problemas ya resueltos. El
llevar a cabo estos procesos permitirá a los estudiantes establecer conexiones entre ideas
matemáticas y por ende aprender con entendimiento. El aprender matemáticas con
entendimiento es importante porque las cosas aprendidas con entendimiento pueden ser
usadas de manera flexible, adaptarse a nuevas situaciones, y usarse para aprender nuevas
cosas. Si los profesores son conscientes de este hecho, ya no tendrán el dilema acerca de
qué enseñar primero, sino que la atención se centrará en enseñar de manera que los
estudiantes aprendan con entendimiento.
Aunque ha sido muy difícil definir el entendimiento y hay muchas definiciones o
conceptualizaciones; se adoptará una definición que es útil para los propósitos de este
trabajo. Consideramos que entender algo significa “ver como ese algo se relaciona o
conecta con otras cosas que conocemos” (Hiebert y Carpenter, 1992). Hay dos procesos
que son útiles en la construcción de relaciones o conexiones: la reflexión y la
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comunicación. Por un lado, la reflexión ocurre cuando pensamos en nuestras experiencias
de manera consciente, es decir, cuando le damos vuelta a las ideas en nuestra cabeza,
cuando pensamos en las cosas desde diferentes puntos de vista, cuando podemos hacer una
retrospectiva (paso a paso) de las cosas que hacemos entendiendo la razón de porqué las
hacemos. Y por otro, la comunicación involucra hablar, escuchar, escribir, demostrar,
observar, etc. Esto es, participar en una interacción social, compartiendo ideas con otros y
escuchando otros puntos de vista.
Ahora la pregunta es ¿cómo lograr ese aprendizaje con entendimiento? Existen
cinco dimensiones que trabajan en conjunto para permitir un ambiente de aprendizaje y que
le permitirán al profesor facilitar el entendimiento matemático. Estas dimensiones son: a) la
naturaleza de las tareas, el tipo de tareas propuestas llevará al tipo de aprendizaje que se
logrará; b) el rol del profesor, esto es, él tiene el “poder” de seleccionar y poseer secuencias
apropiadas de problemas que les den a los estudiantes oportunidades para aprender, que les
permitan reflexionar y comunicar sus resultados o puntos de vista, y debe guiarlos con
preguntas que les muestren el camino sin resolverles el problema y esta guía no debe ser tan
profunda que inhiba en sus estudiantes la creatividad y la iniciativa; c) la cultura social del
salón de clases, en la que el profesor debe lograr que los estudiantes interactúen logrando
así que haya comunicación y reflexión; d) el tipo de herramientas matemáticas, que sean un
soporte para el aprendizaje, y e) la accesibilidad para aprender matemáticas que se ofrecen
en el salón de clase, esto se refiere que todos y cada uno de los estudiantes deben tener las
mismas oportunidades de aprender matemáticas, y deben ser escuchados por el profesor
con el mismo interés (Hiebert, et al, 1997).
Las características de las tareas que cada profesor implemente determinan el tipo de
aprendizaje que los estudiantes logran construir. De ahí la importancia de diseñar e
implementar tareas que representen verdaderas situaciones problemáticas, que permitan al
estudiante conectar lo que conoce con un nuevo conocimiento; es decir, que favorezcan el
desarrollo de formas matemáticas de pensar. Además, el profesor debe promover la
construcción de un ambiente que ofrezca oportunidades para aprender, lo que implica
permitir el trabajo individual y en pequeños grupos, la comunicación de ideas, la reflexión
y la discusión de diferentes soluciones, puntos de vista o rutas para abordar un problema. El
profesor orienta el proceso de aprendizaje de los estudiantes mediante la formulación de
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preguntas y comentarios cuando el grupo ya no puede avanzar más en el proceso de
solución o cuando los estudiantes han pasado por alto un detalle que es relevante para
diseñar un plan de solución. Además el profesor debe escuchar a los estudiantes, identificar
sus dificultades de comprensión e ideas erróneas, en resumen, tratar de comprender cómo
piensan sus estudiantes.
En este contexto, uno de los caminos que ha mostrado ser útil para el desarrollo de
conexiones entre conocimientos e ideas matemáticas son las tareas con múltiples soluciones
(TMS). Es decir, problemas en los que explícitamente se pide a los estudiantes buscar
diferentes caminos o rutas para llegar a la solución. También resulta relevante utilizar tareas
que tiene múltiples respuestas (TMR), ya que las mismas son más cercanas a los problemas
que aparecen en la vida cotidiana, donde la selección de la ruta o camino de solución
requiere generalmente de realizar consideraciones extra-matemáticas. En este trabajo
entenderemos por “respuesta de una tarea” a la información (incógnita) solicitada en el
problema, mientras que una “solución” está integrada por una respuesta y una justificación
de porqué la respuesta es correcta (Lithner, 2008).
Dos o más rutas de solución son diferentes si se utilizan: (a) diferentes definiciones
o representaciones de un concepto matemático; (b) diferentes niveles de jerarquía,
expresados al considerar una idea como un caso especial de una idea más general; (c)
diferentes herramientas y teoremas matemáticos de un mismo tópico matemático; y (d)
diferentes herramientas y teoremas matemáticos de diferentes ramas de las matemáticas.
(Levav-Waynberg A. y Leikin R., 2006).
Un constructo importante cuando se abordan TMS es el “espacio de soluciones”
(Leikin R., 2009). Existen por una parte “el espacio de soluciones de los expertos” que se
refiere a las soluciones que sugieren los matemáticos a un problema; pero también existen
las oportunidades de solución dentro de la clase y éstas incluyen “el espacio de las
soluciones convencionales” las que generalmente son recomendadas por el plan de estudios
y los libros de texto; y el “espacio de soluciones no convencionales” que incluyen
soluciones a problemas que generalmente no están en el plan de estudios. Por otro lado,
también existen “espacio de soluciones individuales” que se refieren a la habilidad de un
estudiante de encontrar soluciones de manera independiente; y las encontramos de dos
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tipos: “espacio de soluciones personales” que incluye soluciones que los estudiantes pueden
dar inmediatamente después de leer el problema o después de algunos intentos sin ayuda de
otros. Y “espacio de soluciones potenciales” que incluyen soluciones que un resolutor
puede obtener con ayuda de otros. Finalmente “el espacio de soluciones colectivas” que
caracteriza a las soluciones producidas por un grupo de estudiantes. Lo importante de todas
ellas es que nos abren un camino para la reflexión y la comunicación.
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Figura 1. Integración de los elementos del marco conceptual
Elementos del
Pensamiento Matemático
Heurísticas
Recursos
Reflexión
Comunicación
Conexiones
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
APRENDIZAJE MATEMÁTICO
CON ENTENDIMIENTO
TMS
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CAPÍTULO III. METODOLOGÍA
La metodología de este trabajo es cualitativa que tiene como características las siguientes:
su objetivo es la descripción de las cualidades de un fenómeno, no trata de probar o medir
en qué grado una cierta cualidad se encuentra en un acontecimiento dado sino de descubrir
tantas cualidades como sea posible. Se trata de estudios en pequeña escala que sólo se
representan a sí mismos. No suele probar teorías, sino más bien genera teorías. Los
investigadores cualitativos participan en la investigación a través de la interacción con los
sujetos que estudian. Se eligió esta metodología porque interesa documentar las
características del proceso de entendimiento seguido por un estudiante al resolver
problemas con múltiples soluciones, particularmente analizar cómo construye relaciones
entre una situación nueva y sus conocimientos previos, desde entender la información del
enunciado del problema hasta la obtención de múltiples soluciones.
3.1. Los participantes
Los participantes son estudiantes de 5° grado de primaria en un colegio privado de la
ciudad de Pachuca, Hidalgo. Las edades de los estudiantes se encuentran en un rango de 10
y 11 años. El nivel socioeconómico de los estudiantes es alto. La investigadora es profesora
regular de este grupo de estudiantes y fue ella quien implementó las actividades.
Se trabajó una tarea por semana, para obtener evidencias del trabajo realizado por
los estudiantes; se grabó un video panorámico, además de las preguntas y comentarios
individuales de los estudiantes en los que se enfocó la investigación. En la primera tarea el
trabajo se llevó a cabo en parejas, también en la tarea dos, procurando que fueran parejas
diferentes y, por último en la tarea tres en pequeños grupos de tres y de cuatro personas.
Aun cuando las tareas se llevaron a cabo con todos los integrantes del grupo, en este trabajo
sólo se analizó la actividad de seis estudiantes. Estos seis niños se eligieron por
conveniencia, dos niños a los que se les facilita el trabajo con las matemáticas, dos a los
que les resulta difícil entenderlas y dos estudiantes con un desempeño promedio, de
acuerdo con el criterio de la profesora del grupo. En las transcripciones de los videos y de
las grabaciones de audio, se identifica a los estudiantes, cuya actividad se analiza en esta
investigación, mediante las etiquetas E1 a E6, y los participantes que se escuchan en los
audios y que no son alguno de los estudiantes seleccionados se les representa como S, S1 y
S2. De los primeros seis, identificaremos a E1 y E2 como estudiantes a los que se les
18
dificulta el trabajo en matemáticas; mientras que E3 y E5 tienen un desempeño intermedio
en el mismo y, E4 y E6 se les facilita el trabajo en matemáticas. Los aspectos que se
tomaron como referentes para ubicarlos en estas categorías fueron, en primer lugar, el
hecho de que la profesora tuvo a todo ese grupo como estudiantes el ciclo escolar previo y,
en segundo lugar porque los ha observado, los ha escuchado cuando hacen conjeturas y ha
revisado sus trabajos.
3.2. Las tareas
Las tareas con las que se llevó a cabo la investigación fueron diseñadas por la
investigadora, no fue un trabajo fácil porque era la primera vez que diseñaba tareas de este
tipo, se pensaría que pueden estar terminadas a la primera, sin embargo se logró tenerlas
listas después de tres o cuatro intentos por hacerlas. Son tareas que tienen múltiples
soluciones, es decir son tareas para las cuales es posible diseñar varios métodos de
solución, por lo que requieren que el estudiante lleve a cabo una actividad intelectual que
va más allá de la aplicación de reglas, fórmulas o algoritmos. Los estudiantes abordaron las
tareas de manera individual y en pequeños grupos, cuando algún estudiante no podía
avanzar en la solución, la profesora ofreció algunas sugerencias, o formuló preguntas que
centraban la atención del estudiante en variables o procesos relevantes que le permitieron
superar las dificultades a las que se enfrentaba, pero sin proporcionar la solución de la
tarea. De ahí que la profesora debía estar al pendiente del trabajo de los estudiantes para
escuchar y orientarlos.
Las tareas están diseñadas con el objetivo de fomentar un aprendizaje con
entendimiento, ya que el estudiante debe diseñar sus propias estrategias de solución y
durante este proceso los estudiantes debieron establecer conexiones al seleccionar y utilizar
un conjunto de recursos, estrategias y herramientas para obtener la solución. El propósito
de las tareas fue crear un ambiente que promoviera la reflexión y la comunicación.
Las tareas se abordaron durante las horas regulares de clase. La profesora del grupo
fue quien coordinó el proceso de implementación de las tareas. Al final de cada actividad se
promovió un proceso de comunicación, el cual consistió en que los estudiantes expusieran
el resultado de su trabajo en una sesión plenaria o que elaboraran un trabajo escrito en el
que reportaran la ruta o rutas de soluciones desarrolladas. En el caso de las exposiciones,
dado que los estudiantes estarían organizados en pequeños grupos, se elegiría a algún
19
estudiante como representante de cada grupo. En el caso del trabajo individual se trató de
promover que pasaran a explicar sus soluciones aquellos estudiantes que participan poco o
que tienen dificultades para expresarse verbalmente con fluidez, como un medio para
propiciar la autoconfianza. Mientras se realizaran las exposiciones, los integrantes del
grupo contarían con libertad (esperando turno) para hacer comentarios, ya sea porque no
estar de acuerdo con la solución o porque detectó un error o justificación incorrecta.
Para la recolección de la información se dispuso de los trabajos escritos de los
estudiantes, y las grabaciones de video o audio de aquéllos cuyos padres o tutores firmaron
la carta de autorización. Las grabaciones se transcribieron. Posteriormente se identificaron
aquellas porciones de las transcripciones que aportan evidencia del establecimiento de
conexiones, así como de la puesta en práctica de los diferentes aspectos del pensamiento
matemático que son de interés para la investigación. Posteriormente se realizó una tabla en
la que se identifican aquellos aspectos del pensamiento matemático que aparecieron con
mayor frecuencia, así como el tipo de conexiones que se favorecieron al llevar a cabo las
tareas propuestas. De la misma manera se clasificaron las diferentes soluciones elaboradas
por los estudiantes.
3.3. Análisis preliminar de las tareas
Tarea 1: Los estudiantes de 5° grado van a armar unas charolitas con dulces mexicanos que
entregarán como regalo a su mamá el día 10 de mayo. En un puesto del mercado se venden
diferentes dulces típicos. Los precios por pieza de los dulces se muestran en la siguiente
tabla.
PRODUCTO PRECIO POR PIEZA
CALAVERAS
$6.50
LIMONES RELLENOS
$5.50
20
COCADAS
$3.50
MACARRONES
$7.00
PALANQUETAS
$4.50
CAMOTES
$5.50
Si dispones de $100.00 ¿Cómo armarías tu charola de tal manera que no te sobre nada de
dinero? Las charolas cuestan $25.00, los moños $6.00 y el papel celofán cuesta $2.00.
Busca diferentes formas de armar tu canasta de regalo. ¿Cómo harías para decidir cuál
canasta regalar?
A CONTINUACIÓN CONTESTA LO QUE SE TE PIDE.
a) ¿Podrías armar una charola sólo con calaveras?
21
b) ¿Podrías armar la charola únicamente con palanquetas?
c) ¿Y únicamente con limones? ¿Qué podrías comprar con lo que te sobra?
d) Si por fuerza tuvieras que ponerle 3 naranjas, ¿qué puedes comprar con el resto?
e) Si tuvieras que incluir 3 limones en la charola, ¿qué puedes comprar con el resto del
dinero?
f) Si tuvieras que comprar un dulce de cada uno, ¿cómo te gastarías lo demás?
g) Si sólo tuvieras $50.00 ¿de qué manera armarías tu charola?
Omar es un niño que cursa el 4° año de primaria en el Distrito Federal. Envíale una carta en
la que le cuentes cómo resolviste el problema de la charola de dulces. Explica en la carta
cómo sabes que la solución que obtuviste es correcta.
POSIBLES SOLUCIONES
La idea de esta parte es que se encuentren algunas soluciones anticipadas que, por un lado
ayudarán a entender el trabajo de los estudiantes y, por otro, permitirán orientarlo durante
el proceso. Cabe aclarar que no se espera que el estudiante necesariamente siga algunas de
estas formas de solución.
1. Haciendo uso de una tabla como la que está a continuación.
1 2 3 4 5 6
CALAVERAS $6.50 13.00 19.50 26.00 32.50 39.00
LIMONES
RELLENOS
$5.50 11.00 16.50 22.00 27.50 33.00
COCADAS $3.50 7.00 10.50 14.00 17.50 21.00
MACARRONES $7.00 14.00 21.00 28.00 35.00 42.00
PALANQUETAS $4.50 9.00 13.50 18.00 22.50 27.00
CAMOTES $5.50 11.00 16.50 22.00 27.50 33.00
22
2. Restando cada cosa que va a comprar de la cantidad original. Por ejemplo:
100.00 cantidad original
25.00 charola
75.00
6.00 moño
69.00
• Y así sucesivamente.
3. Sumando cada cosa que va a comprar hasta juntar la cantidad original. Por ejemplo:
25.00 charola
6.00 moño
2.00 celofán
2.50 calavera
35.50
Tarea 2. El profesor de Educación Física organizó las competencias Columbia en las que
resultó ganador el equipo Azul gracias a 3 estudiantes de 5° grado. Los premios son tres
bolsas de chocolates Ferrero una con 3/4 de kilogramo, otra con 5/6 de kilogramo y la
última con 3/8 de kilogramo. Si les diera a escoger a cada uno de los ganadores, ¿cuál
escogerían?
Explica, ¿por qué escogerías esa bolsa y cómo decidiste escoger dicha bolsa?
POSIBLES SOLUCIONES.
Encontrar algunas soluciones anticipadas permitirán entender el trabajo de los estudiantes,
también permitirán orientarlo durante el proceso. Cabe aclarar que no se espera que el
estudiante necesariamente siga algunas de estas formas de solución.
1. a) Buscar fracciones equivalentes de cada una de las bolsas con el mismo
denominador:
3/4 = 18/24 5/6 = 20/24 3/8 = 9/24
_____________________
-
- _______________________________
_______________________________
+
23
b) Después comparar las tres fracciones: 3/8 ˂ 3/4 ˂ 5/6 2. Comparar con figuras que representen las bolsas de dulces:
Tarea 3: EN PAREJAS RESUELVE EL SIGUIENTE PROBLEMA.
Lo alumnos de 5° grado van a armar unos arreglos frutales para venderlos y donar el dinero
recaudado a la Casa Hogar del Niño Jesús. Los estudiantes cuentan con $2000. Cada
arreglo debe tener 5 kilogramos de fruta. Se busca armar y vender diez de estos arreglos, en
$350 cada uno. Los precios por kilogramo de las frutas se muestran en la tabla.
FRUTAS PRECIO POR KILOGRAMO
$32.00
$43.00
$35.00
24
DESPUÉS DE LEER CONTESTA LO QUE SE TE PIDE.
a) ¿Qué cantidad de cada fruta pondrías en una canasta?
b) ¿Qué cantidad total de cada fruta debes comprar?
c) ¿Te alcanza el dinero para comprar la fruta que necesitas?
d) ¿Te sobraría algo de dinero de los $2000?
e) Si se venden todas las canastas, ¿cuánto dinero se donará a la Casa Hogar?
POSIBLES SOLUCIONES:
La idea de estas posibles soluciones es que se encuentren algunas soluciones anticipadas
que, por un lado ayudarán a entender el trabajo de los estudiantes y, por otro, permitirán
$24.00
$55.00
$39.00
$23.00
$12.00
25
orientarlo durante el proceso. Cabe aclarar que no se espera que el estudiante
necesariamente siga algunas de estas formas de solución.
1. Organizaría el peso de las frutas para tener los 5 kilogramos, de la siguiente manera:
• 1 kg de kiwi (6)
• 600 gr de manzana (4)
• 600 gr de pera (4)
• 1/2 kg de mamey (1)
• 1/2 kg de uvas
• 1/2 kg de mango manila (3)
• 300 gr de carambola (2)
• 1 kg de plátanos (6)
En cada arreglo gastarían $152.70
Sí les alcanzaría para hacer 10 canastas.
Sí sobraría dinero, $473.00
2. Quizá otra forma de organizar el peso de las frutas es el siguiente:
• 1/4 kg de kiwi (2)
• 1/2 kg de manzana (3)
• 1/2 kg de pera (3)
• 1 kg de mamey (3)
• 1/2 kg de uvas
• 1 kg de mango manila (6)
• 1/4 kg de carambola (2)
• 1 kg de plátanos
Y entonces multiplicaría por 10 o sumaría 10 veces la cantidad para obtener la siguiente
respuesta. Después restaría de los $2 000.00.
39.00 21.00 19.20 + 11.50 21.50 12.00 16.50 12.00 152.70 X 10
1 527.00 2000.00 - 1527.00 473.00
9.75 17.50 16.00 + 23.00 21.50 24.00 13.75 12.00
137.50
26
CAPÍTULO IV. RESULTADOS
En esta sección se describen los resultados del trabajo de investigación, en primer término
se realiza un breve recuento de las rutas de solución que llevaron a cabo los estudiantes, y
posteriormente se identifican aquellos aspectos del pensamiento matemático que los
estudiantes ponen en juego al resolver los problemas, así como las conexiones entre
conocimientos que emergen al transitar por las diferentes etapas de resolución de la tarea.
Tarea 1. Charolas de dulces típicos
Para esta tarea el tiempo destinado era de dos horas, pero debido al acomodo de la cámara,
la organización de las parejas de trabajo, y la explicación de las reglas de comportamiento
que se establecieron para la realización de la actividad, el tiempo real de trabajo fue de sólo
hora y media. Por esta razón, la mayoría de los estudiantes sólo pudieron armar las tres
charolas que les solicitaba el problema. Sólo una minoría de estudiantes resolvió hasta el
inciso c de la hoja de trabajo. Algunos de los estudiantes organizaron la información con
base en los encabezados “datos”, “esquema”, “operaciones” y “resultado” por lineamientos
que se establecen en los cursos de matemáticas que se ofrecen en el colegio. Por otro lado,
esta tarea no se pudo retomar porque la profesora tenía asignados, por las autoridades
escolares, los días específicos para el trabajo de las tareas que se aplicarían para este
estudio.
E1 - S
Para resolver este problema, los estudiantes E1 y S escogieron para su primera charola,
algunos dulces de los que se muestra en la hoja de trabajo, de forma que gasten 100 pesos
para armar la charola, porque es la cantidad de dinero de que disponen. La profesora pide a
los estudiantes que enfrente de cada sumando, se coloque el nombre del dulce al que
corresponde, para entender cada una de sus operaciones. En su primer intento para
conformar una charola, sumaron el precio de una calavera, un limón relleno, una cocada, un
macarrón, una palanqueta y un camote; esto les dio como resultado 32 pesos con cincuenta
centavos, pero no han entendido que deben agregar el costo de una charola, un moño y un
celofán, los cuales son elementos sin los que no se podría elaborar el regalo. Después que la
profesora les explica lo anterior, suman al precio de los dulces, el costo de la charola, la
envoltura y el moño. Sin embargo, no suman inmediatamente estos tres artículos en su
27
segundo intento para armar la charola uno sino lo que hacen es escoger algunos dulces
sumar su precio e ir agregando e intercalando la charola, el moño y el celofán, en esta suma
no ponen qué es cada precio y el resultado es 65 pesos con cincuenta centavos, aún no da
como resultado 100 pesos, que es lo buscan gastar. Finalmente, a ese último resultado le
agregan los precios de otros dulces para obtener los 100 pesos deseados y tener la charola
uno (ver figura 2). Antes de todo esto hacen muchas multiplicaciones y divisiones sin
razón alguna.
Para otras dos charolas diferentes, buscan dos dulces. Para la segunda charola
escogieron camotes para la tercera charola, camotes y palanquetas; y multiplican cada uno
por diez, suman el resultado y les da para ambas charolas 100 pesos exactos. Pero se
olvidan de agregar la charola, el moño y el celofán en las dos. Uno de los dos estudiantes ya
había entendido que sólo se agregaban una charola, un moño y un papel celofán pero, para
el otro lo importante era obtener los 100 pesos y para completar el dinero buscaba poner
doble charola.
Primer intento de charola 1
Suma de la charola, el moño y el celofán
Segundo intento de charola 1
Charola 1
Figura 2. Procedimiento seguido por E1 y S para armar charola uno.
28
Comentarios. El trabajo realizado por estos estudiantes, permitió identificar que no tienen
hábitos para organizar la información, ya que la estrategia de solución se enfoca
directamente en la realización de operaciones aritméticas. Tampoco tratan de entender el
problema antes de iniciar con la solución porque mientras uno de los dos estudiantes ya
había entendido que sólo era una charola, el otro pensaba poner dos charolas juntas. Por
otro lado, al parecer intentan explicar por escrito lo que hicieron, aunque nada detallado.
Conexiones. Después de que la profesora los guía para llegar a la solución, se dan cuenta
que sumando llegarán a ella. Por sí solos no hubieran podido completar la tarea.
E3 –E2
Para resolver esta tarea E3 y E2 suman mentalmente el precio de la charola, el moño y el
papel, obteniendo como resultado 33 pesos. Por sus comentarios, considero que a los
estudiantes les parece ilógico disponer únicamente de 100 pesos, porque creían que debían
sumar todos los dulces además de la charola, el moño y el celofán, y cien pesos era muy
poco. Empezaron con una suma, sin anotar lo que significaba cada sumando. Los
estudiantes obtuvieron como resultado 32 pesos con cincuenta centavos, le agregaron los 33
pesos y resultó 65 pesos con cincuenta centavos, estuvieron haciendo operaciones para
encontrar por ensayo y error la solución. La charola número uno la armaron con los
siguientes productos: una charola, un macarrón, una calavera, un limón relleno, un camote,
una palanqueta, una cocada, un moño y un papel celofán. El resultado obtenido fue 65
pesos con cincuenta centavos; pero como les faltaba buscaron una cantidad que sumada
con 65 pesos con cincuenta centavos les diera 100 pesos, esa cantidad fue 34 pesos con
cincuenta centavos, así que se dieron a la tarea de sumar un macarrón, una calavera, un
limón relleno, un camote, una cocada, otra cocada y otra cocada, y el resultado de la suma
fueron 35 pesos, pero como les sobraban 50 centavos en la operación pusieron 34 pesos con
cincuenta centavos y les dio 100 pesos (ver figura 3). La profesora les pidió que dejaran así
su respuesta y ella lo observaría.
29
Para armar la siguiente charola emplearon una estrategia de ensayo y error pues iban
sumando poco a poco, sin dejar de lado los 33 pesos de la charola, el moño y el papel. Al
final se pasaron por nueve pesos, porque se habían centrado en los dulces que le gustan a su
mamá. La profesora les recomendó ver de nuevo los precios y quitar algún producto. Para
su tercera charola, primero eligieron los dulces y obtuvieron la cantidad a pagar por cada
tipo de dulce al realizar multiplicaciones, porque eligieron más de un dulce de cada tipo.
Las cantidades involucradas en las multiplicaciones se etiquetaron con los nombres de los
productos, pero al efectuar la suma, de los productos no especificaron a que correspondía
cada sumando (ver figura 4). Por último, debido a que el tiempo no fue suficiente,
contestaron el inciso que dice “¿Podrías armar tu charola sólo con limones? ¿Qué podrías
comprar con lo que te sobra?” Para eso multiplicaron el precio de un limón relleno por diez,
aunque el precio real era de cinco pesos con cincuenta centavos ellos lo tomaron como
cinco pesos, le sumaron los 33 pesos de la charola, el moño y el papel, y aseguraron que
con el dinero que les sobraba podrían comprar una calavera. En la carta que le escribieron a
Omar le platican que resolvieron el problema con sumas, que gastaron 100 pesos en los
La suma que les dio por resultado 65.50, y
la operación que hicieron para saber cuánto les faltaba
para los 100 pesos.
La suma que hicieron para completar los 34.50 que les faltaba para los
100 pesos
Figura 3. Estrategia utilizada por E3 y E2 para completar los 100 pesos.
30
productos pero que tuvieron que ver cuáles eran los necesarios y que con eso sacaban el
número, le dicen que también usaron los 25 pesos de la charola, los seis pesos del moño y
los dos pesos del papel.
Comentarios. El trabajo realizado por estos estudiantes, permitió identificar que no tienen
hábitos para organizar la información y que empiezan a resolver sin haber entendido
completamente el problema; sin embargo, cada operación que realizaron tiene una razón de
ser. No obstante fue la única pareja que escribió la carta que se solicitaba en la tarea.
Aunque la carta no está muy detallada sí explican lo que hicieron para resolver el problema.
Conexiones.
Multiplicaciones para poner más de un dulce del mismo tipo en la
tercera charola.
Operación para obtener su tercera charola
Figura 4. Operaciones de E3 y E2 para armar su charola 3.
SUMAS
SUMAS MULTIPLICACIONES
Para las otras charolas y las preguntas
Por ensayo y error para charola 1 Es muy poco
dinero para poner todos los dulces
Guía de la profesora
Diagrama 1. Conexiones de E3 y E2 para armar sus charolas.
31
E5 – E4
E5 y E4 empiezan a armar su primera charola sumando una calavera, un limón, una cocada,
un macarrón, una palanqueta, un camote, una charola, un moño y un papel, en total les da
65 pesos con cincuenta centavos, entonces empiezan a agregar dulces y como les falta para
completar los 100 pesos, deciden poner otro moño. La profesora les da la idea de organizar
de otra manera los dulces para no tener que comprar dos moños pues en la vida cotidiana
no es usual colocar dos moños a un regalo. Los estudiantes deciden eliminar un moño y
agregar otros dulces para tratar de gastar los 100 pesos. Entonces, agregan a los 65 pesos
con cincuenta centavos que habían obtenido el precio de dos palanquetas, un camote, una
calavera y tres palanquetas. Obteniendo un total de 100 pesos y queda armada su primera
charola.
Arman su segunda charola con dos calaveras, dos macarrones, dos camotes, dos
limones, un moño, dos cocadas, un papel y una charola, el resultado es 100 pesos con
cincuenta centavos. La charola tres la arman con una charola, un moño, un papel celofán,
una calavera, tres macarrones, cuatro palanquetas, cuatro camotes; y el resultado es 100
pesos con cincuenta centavos. Para responder a la primera pregunta los estudiantes eligen la
charola número uno porque es la que da exactamente 100 pesos. La pregunta “¿Podrías
armar una charola sólo con calaveras?”, la responden anotando que sí se puede aunque
sobra dinero, para esta respuesta primero restaron a 100 pesos los 33 pesos de la charola, el
moño y el celofán; luego trataron de hacer una división en la que el dividendo eran los 67
pesos que obtuvieron como resultado de la resta, y el divisor eran los seis pesos con
cincuenta centavos, que es lo que cuesta una calavera, pero no pueden resolverla (ver figura
5); así que por ensayo y error multiplican el precio de la calavera hasta que obtienen la
cantidad deseada y se dan cuenta que sobra dinero. Para el inciso b, “¿Podrías armar la
charola sólo con palanquetas?”, la respuesta es sí aunque también sobra dinero. La pregunta
del inciso c, “¿Y únicamente con limones? ¿Qué podrías comprar con lo que te sobra?, para
la solución hicieron una multiplicación de tres pesos con cincuenta centavos por tres y
luego le sumaron 33 pesos, ese resultado se lo restaron a 100 pesos, y sumaron una
calavera, un macarrón, una palanqueta y un camote y les dio 23 pesos con cincuenta
centavos. Sin embargo, no respondieron dicho inciso.
32
Comentarios. Aunque esta pareja es más ordenada al armar sus charolas, al hacer
operaciones básicas tales como dividir 67 entre seis punto cinco, por tener ellos (como son
pesos) 67 punto cero y seis punto cincuenta, esos ceros les causan confusión y no pueden
efectuar la operación. Lo mismo sucede con otra operación que hicieron en la que restaron
77 menos 33, su resultado fue 110.
Por otro lado, el procedimiento que buscan utilizar para resolver el problema no
toma en cuenta consideraciones extra-matemáticas, ya que intentaron poner doble moño a
la charola con el único propósito de utilizar todo el dinero posible. Hay una separación
entre el problema matemático y la realidad.
Ejemplo de operación básica que no lograron
resolver solos
Figura 5. Ejemplo de operación básica que no logaron resolver solos.
33
Conexiones
E6 –S1
Antes de empezar a hacer operaciones organizan la información, como están
acostumbrados empiezan anotando los datos, es decir, ponen los precios de la charola, el
moño y el papel celofán, además de los 100 pesos con que cuentan. Luego hacen un gráfico
de una charola con dulces, papel celofán y moño. Después empiezan a hacer operaciones.
Para armar su primera charola eligen cuatro dulces diferentes y sus precios los multiplican
por cinco a cada uno de ellos, se dan cuenta que se pasa y deciden multiplicarlo por tres, lo
suman y le agregan 25 pesos de la charola, seis pesos del moño y dos pesos del papel. El
total es de 96 pesos con cincuenta centavos, hacen una resta y se dan cuenta que les faltaron
tres pesos con cincuenta centavos para completar los 100 pesos y le preguntan a la
profesora si le pueden poner otro celofán aunque les sobren 50 centavos.
Para armar su segunda charola toman cinco limones, cinco camotes, tres cocadas,
una charola, un moño y un papel celofán, y les sobraron un peso con 50 centavos; para
llegar a esta conclusión resolvieron por ensayo y error, multiplicaciones de más de un dulce
típico y sumas para obtener 100 pesos (ver figura 6).
SUMA
RESTA
SUMA
Dificultad al querer agregar doble moño
Moño-charola-papel
Conecta con la realidad y en vez de agregar otro moño pone otro dulce
Busca la manera de armar otras charolas
Para saber cuánto hay que completar para los 100 pesos
Apoyo de la profesora
Diagrama 2. Conexiones de E5 y E4 para resolver el problema.
34
Para su última charola deciden poner nueve macarrones, una cocada, una charola,
un moño y un papel celofán, porque se dan cuenta que al multiplicar siete macarrones se
obtienen 63 pesos. Para la respuesta del inciso a, llegan a la conclusión de que sí se puede
armar una charola sólo con calaveras, poniendo diez calaveras, una charola, un moño y un
papel, lo comprueban haciendo una multiplicación del precio de una calavera por diez,
aunque les falten dos pesos para completar los 100 pesos. En lo que respecta al inciso b,
también se puede armar únicamente con palanquetas, poniéndole 15 palanquetas, una
charola, un moño y un papel; se dan cuenta que se pasan por 50 centavos al hacer primero
la operación de multiplicar el precio de una palanqueta por 15 y luego sumarle a ese
resultado la charola, el moño y el celofán. Y, finalmente el inciso c, que pregunta si sólo se
podrá armar con limones, su respuesta es sí y lo hacen multiplicando el precio de cada
limón por 12 limones, obtienen 66 pesos más los 33 pesos del moño, charola y papel, así
que no pueden comprar nada con lo que les sobra; esta es su respuesta.
Figura 6. Procedimiento seguido por E6 y S1 para armar dos de sus charolas.
35
Comentarios. Esta pareja es muy organizada para resolver el problema, sigue los
lineamientos al buscar datos, esquema, operaciones y resultado. Sin embargo, también su
único objetivo es resolver el problema, dejando de lado el contexto real al querer colocar
doble papel celofán al regalo.
Como posibles soluciones para esta tarea se ponía una tabla como primera opción,
otra era, de los cien pesos ir restando cada dulce, el moño, la charola y el celofán y, como
última opción sumar cada cosa que se comprara hasta juntar la cantidad original. Todas las
parejas eligieron ir sumando dulce con dulce hasta juntar los cien pesos de que disponían.
La explicación de por qué no eligieron la tabla ni las restas podría ser que ellos están
acostumbrados a buscar una operación básica con la que puedan llegar a la solución, una
tabla no es considerada para ellos una solución; como tampoco lo sería utilizar restas (como
la segunda opción que se propone) porque, aunque sí saben restar, para ellos es más fácil
utilizar sumas y multiplicaciones.
Conexiones
SUMA MULTIPLICA
Arma charolas
RESTA
Diagrama 3. Conexiones de E6 y S1 para resolver el problema.
Organiza la información Ensayo y error
36
ELEMENTO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
E1 – S Ninguno
E3 – E2 Experimentar, al empezar a sumar dulces y buscar que les dé 100 pesos, al hacer
multiplicaciones para tener en una canasta más de un dulce, del mismo; establecer relaciones,
cuando se dan cuenta que no se trataba de sumar todos los dulces sino, más bien, de buscar
cuáles al sumarlos darían 100 pesos; comunicar resultados, al contar en su carta cómo
resolvieron el problema.
E5 – E4 Experimentar, al sumar por ensayo y error hasta obtener 100 pesos, al dividir para saber
cuántas calaveras necesitarían para armar una charola aunque no supieran cómo organizar
dicha división; establecer relaciones, al entender que no se trataba solamente de gastar los 100
pesos sino de armar una charola como se armaría en la vida real, y al buscar otras formas de
organizar los dulces para armar charolas diferentes; justificar resultados, ellos saben que
utilizando sumas, restas y divisiones pueden obtener la respuesta a cada pregunta.
E6 – S1 Experimentar, al pensar que podrían poner cinco dulces de cada uno pero al sumar se dan
cuenta que se pasan de los 100 pesos y tienen que reducir la cantidad, establecer relaciones, al
buscar otras formas de organizar los dulces para armar charolas diferentes; justificar
resultados, saber que pueden usar operaciones aritméticas para obtener los resultados que
necesitan; comunicar, al explicar oralmente lo que hicieron para contestar cada pregunta.
Tarea 2. Bolsas de chocolates
Fue una tarea que estaba pensada para llevarse a cabo en una hora con 30 minutos, se
terminó antes de ese tiempo y se completó todo el problema. Aquí todas las parejas
organizaron la información en datos, esquema, operaciones y resultado.
E1 – E3
Después de algunos intentos por saber cuál bolsa de chocolates escogerían, utilizaron una
estrategia que consistió en guiarse por el denominador, y de creer que comparar fracciones
podría ser una suma, se les ocurre que podrían hacer un esquema; sin embargo siguen sin
poder comparar porque los enteros que dibujaron (cada entero lo representaron con un
rectángulo) no son del mismo tamaño. Finalmente logran dibujarlos iguales y con su regla
dividen cada uno dependiendo de lo que dice el denominador y colorean con su lápiz lo que
pide el numerador (ver figura 7). Así pueden observar y se dan cuenta que 5/6 es la mayor
de las tres fracciones porque al entero de 3/4 le faltan cuatro centímetros para completarlo,
37
al de 5/6 tres punto cuatro centímetros, y al de 3/8 diez centímetros, y con esto logran tener
la primera solución.
Para la segunda saben que deben obtener fracciones equivalentes para poder
compararlas pero no saben cómo hacerlo, lo intentan multiplicando cada fracción con su
inverso y les resulta siempre un entero. Después de algunos intentos recuerdan como
obtener fracciones equivalentes mas no han comprendido que deben tener igual
denominador para poderlas comparar y siguen en las mismas porque 6/8 su fracción
equivalente es 12/16 mientras que la de 3/8 es 9/24 y la de 5/6 es 20/24 y entonces aún no
pueden compararlas. Para guiarlos la profesora les pregunta que hasta dónde deben sacar
fracciones equivalentes y ellos insisten en sumarlas. La profesora los orienta diciéndoles
que deberían sacar otra fracción equivalente de 6/8 pero obteniéndola de la fracción
original, después de un rato lo entienden y lo hacen, y obtienen 18/24. Por fin pueden
comparar (ver figura 8) y se dan cuenta que otra vez la fracción más grande es 5/6.
Medida de lo que le falta por completar al
entero
Figura 7. Estrategia seguida por E1 y E3 para comparar fracciones.
38
Tratando de recordar lo que han aprendido durante el curso mencionan ideas de lo
que podrían usar, pero nada sirve. Por ejemplo, intentaron utilizar proporcionalidad,
fracciones decimales, números decimales y otras. Lo anterior es indicador de una forma de
pensamiento basada en la aplicación de reglas, más que en el análisis y la reflexión. La
profesora les comenta que ya trabajaron la transformación de una fracción común a un
número decimal y que tal vez eso les podría ayudar. Deciden hacerlo así y pueden solos
porque sí lo recuerdan, dividen el numerador entre el denominador y obtienen decimales
que sí pueden comparar (ver figura 9), y observan que una vez más la mayor es 5/6.
Finalmente explican cada una de sus respuestas tal como lo pide el problema.
Fracciones equivalentes
Figura 8. Estrategia para obtener fracciones equivalentes.
39
Comentarios. Fueron mucho más organizados que en la tarea uno. Y finalmente pudieron
obtener las tres soluciones que pedía la profesora pero si no hubiera sido porque los fue
guiando con preguntas no lo hubieran podido lograr, porque al principio no entendían nada
del problema, aunque sí sabían obtener fracciones equivalentes, sí sabían convertir una
fracción común a decimal y sabían cómo comparar fracciones con un dibujo. Quizá lo que
no sabían era para qué servía cada una de esas cosas, ni cómo aplicarlas a un problema. No
obstante, se esforzaron por entender lo que la profesora les pedía hacer, y con la ayuda de
ella, ya después hicieron el trabajo sin ayuda del instructor.
Conversión de fracción común a
decimal
Figura 9. Procedimiento seguido por E1 y E3 para convertir fracción común
a decimal.
40
Conexiones
E6 – S1
Su primera solución para saber qué bolsa de chocolates escogerían fue dividir 1000 entre el
denominador de cada fracción y el resultado multiplicarlo por el numerador y así cada bolsa
de chocolates la convirtieron en gramos para poderlas comparar. En la segunda solución
obtuvieron fracciones equivalentes cuidando que todas esas fracciones tuvieran el mismo
denominador. Antes de esto probaron sumando las tres fracciones pero se dieron cuenta que
no les servía para nada, así que regresaron a las fracciones equivalentes y todas las dejaron
en términos de veinticuatroavos (ver figura 10). Finalmente, su tercera solución fue dibujar
tres rectángulos del mismo tamaño, dividieron cada uno según el denominador de cada
fracción y colorearon según las indicaciones del numerador, después trazaron una línea que
atravesaba los tres enteros donde terminaba cada fracción y así pudieron comparar (ver
figura 11).
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dificultad para encontrar
denominador común
Conversión de fracción a decimal
Esquema
Diagrama 4. Conexiones de E1 y E3 para comparar las bolsas de chocolates.
Cree que comparar fracciones se logra al sumar
Piensa en un gráfico Dificultad para representar 3 enteros del mismo tamaño
41
Conversión a gramos Fracciones equivalentes
Líneas trazadas para comparar las fracciones
Suma de fracciones
Figura 10. Dos procedimientos diferentes de E6 y S1 para resolver
Tarea 2.
Figura 11. Líneas trazadas para comparar fracciones.
42
Comentarios. Estudiantes muy organizados que sabían desde el primer momento lo que
tenían que hacer; hubo un momento en el que se perdieron al creer que sumando las
fracciones podrían saber cuál sería más grande pero ellos solos se dieron cuenta de su error
y lo corrigieron.
Conexiones
E4 – E2
E4 le explica a E2 que mientras no haya hecho nada para comparar las fracciones no puede
saber cuál es mayor. Así que deciden, en primer lugar, obtener fracciones equivalentes y
poderlas comparar (ver figura 12). Su segunda solución fue convertirlas en gramos, o sea,
dividir 1000 entre cada uno de los denominadores y el resultado multiplicarlo por el
numerador. Su tercera solución fue buscar un número que multiplicado por el denominador
diera 1000 y el resultado multiplicado por el numerador (ver figura 13). Por ensayo y error
buscaban un número que multiplicado por el denominador se acercara a 1000, por ejemplo,
en la fracción 3/4 buscaron el número 250 que multiplicado por cuatro da 1000, entonces
ese 250 lo multiplican por tres que es el numerador y obtienen una bolsa de 750 gramos. Y
así sucesivamente hicieron los otros dos.
Conversión a gramos como primera solución
Se dan cuenta que no sirve para la solución
Suma de fracciones como segunda solución
Usan fracciones equivalentes
Esquema para la tercera solución
Diagrama 5. Conexiones de E6 y S1 para comparar las bolsas de chocolates.
Organización de la información
43
Fracciones equivalentes
Convertir en gramos, forma directa.
Convertir en gramos, ensayo y error.
Figura 12. Primera solución a través de fracciones equivalentes.
Figura 13. Dos formas diferentes de convertir a gramos.
44
Comentarios. Fue un equipo muy organizado en la solución del problema. Sin embargo,
no se dieron cuenta que en la solución dos y tres hicieron lo mismo utilizando operaciones
diferentes, mientras que la forma directa era haciendo uso de divisiones, la otra era con
ensayo y error.
Las posibles soluciones que se habían preparado para esta tarea fueron comparar
fracciones obteniendo fracciones equivalentes con el mismo denominador y, compararlas a
través de un esquema. En la tarea se les pide que lleguen a la solución por tres caminos
diferentes, todas las parejas eligieron las dos formas mencionadas anteriormente porque
estaban acostumbrados a esas formas de comparación, la profesora considera que es más
exacto o se puede ver más claramente la división de un entero en partes cuando es
representado con un rectángulo en lugar de con un círculo, por eso los estudiantes lo
representaron de esta manera. Lo que resultó sorprendente fue que eligieran convertir a
decimal cada fracción como en el caso de la pareja E1-E3; así como también que
convirtieran en gramos como la pareja E6-S1. Como son niños de quinto grado de primaria
es muy común que sigan los esquemas de solución de su profesor.
Conexiones
Fracciones equivalente para la solución uno
Conversión a gramos, solución dos
Dificultad para darse cuenta que la solución era la misma
que la anterior
Conversión a gramos, solución tres
Diagrama 6. Conexiones de E4 y E2 para encontrar la solución.
E4 guía a E2 para que entienda el problema
Organizan la información
45
ELEMENTOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
E1 – E3 Experimentar, al querer obtener fracciones equivalentes pero como no recuerdan cómo
hacerlo deciden entonces convertir cada fracción en decimal, luego las representan en un
esquema y por último, obtienen fracciones equivalentes; establecer relaciones, al no poder
obtener fracciones equivalentes buscan otra forma que les permita comparar; justificar,
aunque saben que el camino a seguir para comparar las fracciones es obteniendo equivalentes
no lo hacen porque no pueden; comunicar resultados, tratan de explicar lo que hicieron en
cada solución aun cuando no dan muchos detalles..
E6 – S1 Experimentar, pensaron que al sumar las tres fracciones sabrían cuál era la mayor, al hacerlo
se dieron cuenta que estaban equivocados, y entonces decidieron convertir a gramos cada
bolsa de chocolates; establecer relaciones, se dieron cuenta que si no servía sumarlas
buscarían convertirlas en gramos; justificar, buscaban tres maneras de llegar a la solución, una
era con fracciones equivalentes, otra a través de un esquema y la tercera, al convertir a
gramos; comunicar resultados, sus explicaciones dieron ciertos detalles de sus procedimientos.
E4 – E2 Experimentar, buscaron fracciones equivalentes y convirtieron en gramos; establecer
relaciones, sobre todo E4 sabía que podría encontrar la respuesta por tres caminos diferentes;
justificar, E4 sí sabía que tenía que buscar fracciones equivalentes para poder compararlos
mientras que E2 sólo se guiaba por el denominador de las fracciones originales; comunicar
resultados, aun cuando no detallan sus explicaciones sí se entiende lo que hicieron.
Tarea 3. Arreglos frutales
Para esta tarea se contaba con una hora 30 minutos. Esta es la tercera tarea que se aplicó
con múltiples soluciones y como estos estudiantes no están acostumbrados a realizar este
tipo de tareas que demandan mayor cantidad de trabajo, es decir que son laboriosas, uno de
los pequeños grupos, en los que trabajaron, ya no quería resolverlo. No obstante, ambos
equipos resolvieron completo el problema.
E4 – E1 – E2 – S2
Empiezan con ensayo y error a elegir frutas para armar los diez arreglos frutales que se
pretenden tener porque no entendían cómo acomodar la fruta en cada canasta para tener los
cinco kilogramos que pide el problema, pero lo que sí sabían es que sólo tenían 2000 pesos
para armar dichas canastas; las primeras nueve canastas las arman poniendo un kilogramo
de cada fruta, sumaron los precios de cada una, y lo único que cuidaron fue que no
quedaran iguales, otra cosa que sí cuidaron es que no fuera muy cara, su rango era de
46
aproximadamente 150 pesos. La última canasta trataron de hacerla como se los propuso la
profesora, es decir, con menos de un kilogramo de cada fruta. Cuando ya tuvieron armadas
las diez canastas sumaron los totales y el resultado fue de 1420 pesos con cincuenta
centavos, estaban satisfechos porque habían gastado menos de lo que tenían.
Y empezaron a responder las preguntas, “¿qué cantidad de fruta pondrías en cada
canasta?”, su respuesta fue considerando la última que armaron, medio kilogramo de cada
una y un kilogramo de dos frutas. Siguiente pregunta “¿Qué cantidad de fruta debes
comprar?”, como son ocho frutas y cuatro integrantes deciden dividirse dos frutas cada
quien para hacer la operación necesaria (suma en este caso) y saber en total cuánto de cada
fruta compraron. Así concluyen que habían comprado 7 ½ kg de banana, 6 ½ kg de mamey,
5 ½ kg de uva, 5 ½ kg de pera, 7 ½ kg de mango, 7 ½ kg de manzana, 3 ½ kg de maracuyá
y 7 ½ kg de kiwi. “¿Te alcanza el dinero para comprar la fruta que necesitas?”, después de
restar a 2000 pesos los 1420 pesos con cincuenta centavos, entonces se dan cuenta que sí
les alcanza el dinero. Siguiente pregunta, “¿Te sobraría algo de dinero de los 2000 pesos?
Su respuesta fue sí pero se equivocaron en el resultado numérico porque pusieron 1460
pesos con cincuenta centavos. Y por último, “¿Cuánto dinero se donará a la Casa Hogar?”,
su operación fue una resta, a 3500 pesos, que es la cantidad obtenida si se venden las diez
canastas, menos 1420 pesos con cincuenta centavos que es la cantidad que gastaron
armándolas (ver figura 14).
Comentarios. Al leer este problema no entienden la diferencia entre poner en el arreglo
cinco kilogramos de fruta en total en cada uno, y cuánto poner de cada una de las frutas
para completar los cinco kilogramos. Cuando finalmente lo entienden no se les ocurre que
podrían ponerle menos de un kilogramo de cada fruta hasta que la profesora lo sugiere.
Otro aspecto que tampoco consideraron fue el de saber cuánto podrían gastar en
cada arreglo antes de armarlos, más bien fue suerte que al terminar de armarlos no se
pasara ninguno del tope de 200 pesos.
Por otro lado, para la cantidad total de cada fruta que debían comprar (inciso b) se
dividen el trabajo de sumarlas dos frutas por cada uno de los integrantes del equipo, en las
hojas del problema no están incluidas esas sumas.
47
Conexiones
Último arreglo
Suma total de arreglos
Operación para saber cuánto
donarían
Operación para saber cuánto
tendrían si vendían todos los arreglos
Figura 14. Procedimiento seguido por E4, E1, E2 y S2 para resolver la Tarea 3.
Para saber lo que obtendrían por los
10 arreglos MULTIPLICACIONES
Que no llegaran a 200 pesos
Que fueran de 5 kilogramos
RESTAS Para saber cuánto
donarían
SUMAS
Diagrama 7. Conexiones de E4, E1, E2, S2 para armar arreglos florales.
48
E6 – E5 – S3
Lo primero que hizo este equipo fue dividir la cantidad de dinero (2000 pesos) con el que
comenzaron por las diez canastas que tenían que armar, con esto sabrían que en cada una
podían gastar 200 pesos. La duda era a qué se refería eso de “cada arreglo debe tener cinco
kilogramos de fruta”, la profesora les explicó que tenían que organizar las frutas de tal
manera que cada canasta tuviera cinco kilogramos. Empezaron a organizar la fruta y
cuidaban de no repetir las frutas de alguna de las canastas anteriores porque decidieron
ponerle un kilogramo de cada fruta; los totales que obtuvieron de sus canastas después de
sumar sus precios por kilogramo fueron 200 pesos, 195 pesos, 199 pesos, 200 pesos, 192
pesos, 212 pesos, 199 pesos, 203 pesos, 195 pesos y 202 pesos. El argumento que daban
para aceptar las canastas que se pasaban de 200 pesos era que en las canastas donde era
menos de 200 pesos, el dinero que no se ocupaba se le podía pasar a las que se pasaban. Sin
embargo, en aquéllas en las que les faltaba mucho dinero decidían cambiar una fruta barata
por una cara. Otra cosa que el equipo quería hacer era facilitarse el trabajo haciendo
canastas de una sola fruta, la profesora aceptó que hicieran una nada más, las otras debían
ser con fruta variada.
Las respuestas a la preguntas, “¿Qué cantidad de cada fruta pondrías en una
canasta?”, para responderla tomaron una canasta y anotaron dos kilogramos de manzana,
uno de maracuyá, uno de uva y uno de pera. El inciso b, hicieron las sumas mentales y su
respuesta fue, un kilogramo de pera, ocho de uva, ocho de manzana, 15 de maracuyá, tres
de kiwi, seis de mamey, cuatro de banana y ninguno de mango. Para la pregunta “¿Te
alcanza el dinero para comprar la fruta que necesitas?”, sumaron el total de cada canasta y
el resultado fue 2098 pesos, entonces su respuesta fue que no les alcanzaba. El inciso d, no
les sobraría, al contario les faltarían 98 pesos. Y finalmente la última respuesta fue que
donarían 1402 pesos pues el total de canastas vendidas sería de 3500 pesos, pero restándole
lo que gastaron quedaría la cantidad antes mencionada (ver figura 15).
49
Comentarios. Fue un equipo con mucho orden porque iniciaron tal como están
acostumbrados, o sea, con datos, esquema, operaciones y resultado. Pero después de esto ya
no trabajaron con las ganas de siempre, para empezar no habían puesto atención acerca de
que eran cinco kilogramos de fruta y no cinco frutas diferentes. Perdieron mucho tiempo
revisando cada canasta que hacían para que no fuera igual a ninguna que ya hubieran
hecho.
Como ya la clase se estaba terminando, se repartieron algunas canastas para
armarlas individualmente y no en equipo. Y finalmente nunca hicieron el arreglo de una
Operación para saber cuánto podrían gastar en cada canasta
Suma de todas las canastas
Operación para saber cuánto
ganarían con los diez arreglos
Figura 15. Estrategias utilizadas por E6, E5 y S3 para saber cuánto donarían.
50
sola fruta. A pesar de todo terminaron su problema completo en el tiempo que tenían para
hacerlo.
Las posibles soluciones para esta tarea eran sumar fracciones del kilogramo, es
decir, obtener gramos de cada tipo de fruta hasta reunir los cinco que se pedía en la
instrucción. Claro que eso implicaría imaginar cuántas mangos hacen un kilogramo,
cuántas manzanas hacen un kilogramo, etcétera. Otra solución era pensarlo en fracciones
comunes de cada kilogramo, aunque también implicaba imaginar con cuánta fruta de cada
una se completa un kilogramo. Es por ello que los estudiantes decidieron tomar un
kilogramo completo de cada fruta para armar sus arreglos frutales. No están acostumbrados
a la laboriosidad y se inclinan por lo más fácil. De hecho el propósito de esta tarea era
aplicar conocimientos anteriores como el hecho de convertir en gramos, pero no se logró.
Conexiones
DIVISIONES
Para saber lo que obtendrían por los
10 arreglos MULTIPLICACIONES
SUMAS
Para saber cuánto podían gastar en la fruta
RESTAS Para saber cuánto
donarían
Para armar los 10 arreglos
Diagrama 8. Conexiones de E6, E5, S3 para armar arreglos florales.
No entendían cómo acomodar cinco kilogramos de fruta
Guía de la profesora
51
ELEMENTOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
E4-E1-E2-S2 Experimentar, al buscar formas diferentes de armar diez canastas; establecer relaciones, hasta que la profesora les dio la opción no entendían el hecho de poner menos de un kilogramo de alguna fruta; justificar, aunque no buscaron cuánto podían gastar en cada arreglo, sí sabían que no debían de gastar más de 200 pesos en cada uno; comunicar resultados, al platicar entre ellos cómo las armarían, al explicarle a quien no entendía lo que se estaba haciendo.
E6 – E5 – S3 Experimentar, al buscar formas diferentes de armar diez canastas, también al creer que si algún arreglo daba más de 200 pesos se compensaría con otro que diera menos de dicha cantidad; establecer relaciones, buscan la manera de armar los diez arreglos diferentes; justificar, lo primero que sabían que debían hacer era dividir el dinero con el que contaban entre los diez arreglos que debían armar; comunicar resultados, al platicar entre ellos cómo las armarían, al explicarle a quien no entendía lo que se estaba haciendo.
TAREA ASPECTOS RELEVANTES DE LAS TAREAS APLICADAS
1
Esta es una tarea que permite a los estudiantes adquirir habilidades para organizar la información, a estar bien atentos acerca de qué es lo que se pide hacer o encontrar, a conectarse con la realidad al darse cuenta que no pueden poner doble charola ni doble moño. Pero, sobre todo, los ayuda a experimentar, a justificar resultados y a que traten de comunicarlos.
2
Esta tarea los obliga a hacer conexiones porque de una u otra forma deben encontrar la solución, deben experimentar varios caminos para hallarla y, por lo tanto, a hacer conexiones.
3
Aun cuando no están acostumbrados a la laboriosidad de este tipo de tareas, en esta última se ve más organización, un poco más de conexión con la realidad, y mayor seguridad al saber qué camino tomar para encontrar la solución.
52
CAPÍTULO V. CONCLUSIONES
Entre las conclusiones más relevantes del trabajo se encuentran que algunos estudiantes
consideran a los problemas que resuelven en la escuela como una actividad que no está
relacionada con los problemas a los que se enfrentan en la vida cotidiana, por ejemplo, en la
tarea “Charolas de dulces típicos”, muchos estudiantes para gastar los 100 pesos decidieron
comprar dos charolas o dos papeles celofán, los cuales no serían necesarios si este
problema se resolviera en la vida cotidiana. Este resultado coincide con lo reportado por
Silver E. A. (1994) quien considera que los procesos cognitivos empleados para resolver
problemas en el mundo real son diferentes de los procesos puestos en práctica al resolver
problemas bien estructurados en el salón de clase.
También se encontró que algunos de los estudiantes al resolver la tarea uno
empezaron a hacer operaciones sin tener un objetivo claro, lo que indica que no les están
dando sentido; no están estableciendo relaciones entre operaciones y tarea, lo que quiere
decir que no hay entendimiento (Hiebert J. y Carpenter T., 1992) puesto que como creen
que resolver un problema significa realizar sólo operaciones entonces las hacen de todo
tipo y sin relación alguna con lo que se requiere para la solución.
Algo, que pudiera ser considerado lo más importante, es el cambio que se observó
en E1 y E2, son estudiantes que mostraban muchas dificultades para entender las ideas
matemáticas, al trabajar con actividades con respuesta única y un procedimiento definido
(como se mencionó anteriormente), sin embargo las ideas y formas de trabajo mostradas
por los estudiantes, así como las justificaciones que daban para defender sus puntos de
vista, les permitió llevar a cabo una reflexión en el salón de clase que no habían exhibido
con anterioridad. Simplemente, las soluciones gráficas que elaboraron son indicador de una
habilidad para aprender y de un cambio de actitud hacia el estudio de la disciplina que
pudiera ser considerado un gran logro. Como lo expresan Barrera F. y Reyes A. (2014),
estos estudiantes adquirieron habilidades para resolver problemas y representar sus ideas en
lenguaje matemático.
Finalmente, en cuanto a la realización de este tipo de tareas se puede decir que les
permitieron a los estudiantes tener una mejor organización. Esto es, la mayoría en la
primera de ellas se centró en hacer sólo operaciones sin organizar la información, en la
53
segunda se ve un poco más de orden sin lograr tenerlo al cien por ciento, no obstante se
puede observar una secuencia en sus soluciones. Mientras que, al observar la forma de
trabajo en la tercera tarea, es claro que hay mayor orden y no se encuentran operaciones sin
razón de ser.
5.1. Respuesta a las preguntas de investigación
1. ¿En qué medida el uso de las tareas con múltiples soluciones favorece la
construcción de conexiones entre ideas y conceptos matemáticos?
Al trabajar con este tipo de tareas los estudiantes tuvieron que buscar más de una
ruta de solución, es decir, utilizaron diferentes representaciones de conceptos
matemáticos y diferentes herramientas, tal como lo mencionan Levav-Waynberg, A.
y Leikin, R. (2006); claro ejemplo de lo que acabamos de mencionar es el hecho de
que cuando se encuentran con alguna dificultad buscan la manera de encontrar otras
soluciones u otros caminos para llegar a la solución tal como sucedió con la pareja
E1 y E3 al trabajar con la tarea dos porque aunque entendían el problema no sabían
cómo demostrar o encontrar cuál bolsa de chocolates tenía mayor cantidad, es decir,
pudieron hacer conexiones buscando de lo que ya saben lo que les pudiera servir
para encontrar la solución. Así, lo único que resta por decir es que lograron un
aprendizaje con entendimiento, tal como lo proponen Hiebert J. y Carpenter T.
(1992). Por otro lado, una de las ventajas del uso de este tipo de tareas es que los
estudiantes deben saber qué operación básica elegir y saber manipularla, como en el
caso de la Tarea uno, de la pareja E5 y E4, ellos sabían que podían utilizar una
división para responder a la pregunta “¿Podrías armar una charola sólo con
calaveras?”, con esto se comprueba que pueden justificar resultados incluso cuando
no supieron qué colocar como dividendo y qué como divisor, hasta que la profesora
los orientó.
2. ¿Qué elementos del pensamiento matemático se promueven al implementar tareas
con múltiples soluciones en el proceso de instrucción?
Al trabajar con este tipo de tareas los estudiantes pudieron experimentar porque en
cuanto leyeron los problemas, la mayoría de ellos, supieron buscar alternativas para
la solución, por ejemplo, en la tarea uno experimentaron al organizar de diferentes
54
maneras los dulces típicos para armar diez charolas diferentes; en la tarea dos al
buscar diferentes formas de llegar a la solución, y en la tarea tres experimentaron al
organizar la fruta de tal forma que no repitieran arreglos ni se pasaran de la cantidad
de dinero que tenían para cada uno. Aprendieron a establecer relaciones porque
cuando no pudieron encontrar la solución por el camino que ellos habían planeado,
buscaron otra opción y esto es muy claro en la tarea dos de E1 y E3 porque sabían
que una forma de comparar las bolsa era obteniendo fracciones equivalentes,
aunque no recordaban cómo sacarlas sí estaban seguros de que ese era un camino a
seguir; entonces decidieron buscar otra alternativa para saber cuál bolsa tenía mayor
cantidad y esa alternativa era un esquema. Justificaron resultados al saber que, en la
tarea 3 por ejemplo, debían usar operaciones aritméticas pero que debían cuidar
detalles para no hacer arreglos frutales iguales. Lo mismo sucedió con la tarea uno
porque aun cuando ya sabían las operaciones que debían utilizar, había que cuidar
detalles tales como la doble charola, el doble moño e incluso, el doble celofán. Y,
finalmente, están aprendiendo poco a poco a comunicar resultados porque aunque
todavía no detallan mucho cuando explican sus procedimientos lo intentan. Además
las TMS buscan promover esta parte, que se puede observar en la tarea uno porque
pide al final redactar una carta para un niño que vive en el Distrito Federal; otra
manera de promover la comunicación es organizándolos en parejas y en pequeños
grupos para trabajar juntos, como en la tarea tres; mientras que en la tarea dos
tenían que ponerse de acuerdo para encontrar la solución, dar sus puntos de vista,
etcétera.
5.2. Alcances y limitaciones
Como se dijo en la metodología y por las características de este tipo de investigación, los
resultados son válidos para este tipo de estudiantes, es decir para los seis que intervinieron
en este estudio. No podríamos generalizarlos ni para el grupo completo ni, mucho menos,
para todos los estudiantes de quinto grado.
En la tarea 1 “Charolas con dulces típicos”, se encontró que les costó trabajo este
problema porque no sabían cómo armar las charolas y aunque tenían las imágenes de las
frutas quizá se debió de llevar imágenes con las charolas armadas o material manipulable.
55
Otra de las limitaciones fue el tiempo, sobre todo en la tarea 1, sólo contaban con un
tiempo real de una hora con 30 minutos lo que limitó las respuestas de los estudiantes y
sólo pudieron resolver, la mayoría de ellos, hasta el inciso c. Mientras que algunos otros
sólo alcanzaron a armar las canastas. No se pudo retomar esta tarea otro día por
disposiciones del colegio.
Como los estudiantes no están acostumbrados a resolver este tipo de tareas, en la
tarea 3 ya no mostraron la disposición con la que iniciaron el proyecto por la demanda de
actividades y razonamientos que implicaba la solución de este problema.
5.3. Reflexiones finales
Con base en lo que se observó se recomendaría a quien desee continuar este estudio
realizarlo con un número mayor de tareas pues se considera que tres no fueron suficientes
ni para obtener resultados ni para analizarlos. Así como también, se podría haber trabajado
con más estudiantes para que los resultados arrojaran datos más amplios.
Por último una reflexión, y es que la realización de este trabajo ha ayudado a ser
resolutores más organizados y mejor estructurados, además de que creció el interés por la
forma como los estudiantes hacen sus propias reflexiones en sus soluciones. Se ha podido
comprobar que se obtiene aprendizaje con entendimiento si se centra la actividad de
enseñanza al uso de problemas matemáticos y mejor aún, a tareas con múltiples soluciones
y así podrían quedar atrás aquellas interminables listas de ejercicios mecánicos con los que
aprendieron muchas generaciones de estudiantes. Al trabajar con TMS se le da oportunidad
a cada estudiante de comprender bien lo que el problema está pidiendo para su solución.
Así que, si hubiera la oportunidad, desde el principio del ciclo escolar debería utilizarse
TMS como método de enseñanza.
A pesar de que se tuvo la oportunidad de conocer este tipo de tareas desde el inicio
del ciclo escolar, muchas veces no se conecta la teoría con la práctica. Es por eso que no se
aplicaron desde el principio. Después de darse cuenta que elaborar tareas con múltiples
soluciones es un verdadero reto, lo que resta es practicar la elaboración de ellas.
56
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58
APÉNDICES
Apéndice A. Transcripción del proceso de implementación de la
tarea “Charolas de dulces típicos”
59
60
E1: (Levanta la mano, me acerco a él)
Profesora: ¿Qué pasó E1?
E1: Miss, ¿ésta es la parte de ésta?
Profesora: Esta es la primera parte.
E1: Es que aquí no vienen preguntas.
Profesora: No, empiezas a leer aquí y te sigues leyendo acá, y contestas lo que te
preguntan.
E1: Gracias Miss.
Profesora: ¿Cómo van?
E1: bien.
Profesora: ¿Qué significa ese “bien”? A ver explíquenme, ¿qué van haciendo?
E1: Primero una lista, luego vamos a hacer una suma para ver, este.., que aquí dé $100.
Profesora: ¡Ajá!, OK, ¿ya tienen alguna idea?
E1: No, bueno, sumarle.
Profesora: No se les olvide poner qué son, aquí qué es cada cosa, aquí mismo me lo
hubieran puesto sino no les va a alcanzar el espacio. Aquí hubieran hecho ya la suma.
Hagan aquí la suma y borren ésta.
E1: Aquí ya los sumamos y nos dio esto, 32, ¿también podemos sumarle esto?
Profesora: ¿Cuál esto?
E1: Bueno 25, por las charolas 25, moño 6 y el papel celofán 2.
Profesora: ¿Para qué servirán estos precios? ¿Por qué crees que te los puse?
E1: ¿Para ver lo de la charola?
Profesora: ¿Qué tienes que hacer?, a ver explícame ¿qué tienes que hacer?
E1: Una suma para ver cuánto de aquí no debe de quedar, o sea, es que aquí nos sobró 32,
pero queremos, aquí dice “cómo armarías tu charola de tal manera que no sobre nada de
dinero”.
Profesora: ¡Ajá! Entonces se busca hacer una charola que tenga papel celofán, moño y
dulces típicos. Entonces, ¿servirá de algo que yo te haya puesto los precios de la charola,
del papel y del moño?
61
E1: Sí
Profesora: Sí
Profesora: ¿Cómo van?
E1: Bien.
Profesora: ¿Haciendo qué?
E1: Primero la división.
Profesora: ¿Para qué?
E1: Para los $100, o sea, ¿cómo armarías tu charola de la manera que no sobre nada de
dinero, estamos viendo para ver si no sobra así nada, pero del resultado que nos dio?
Estamos viendo formas.
Profesora: OK
Profesora: ¡Mande!
E1: Nos pasamos de 30, primero de 72 y luego de 30.
Profesora: Y luego de 30, y ¿entonces?
E1: Tenemos que seguir intentando.
Profesora: ¿No han armado ni una sola charola?
E1: No Miss.
Profesora: Y quiero tres diferentes.
Profesora: A ver, escucho.
S: Es que estamos resolviendo y como primero nos había dado $65 por todo por, por las
cocadas, la charola, los moños y todos los dulces típicos yo sin sumarlo y como apenas es
nuestra primera charola, sumé todo otra vez menos la otra charola.
Profesora: ¿Cómo menos la otra charola?
S: Aquí cuando sumamos no dio 65 y ya teníamos una charola y como apenas era nuestra
primera charola estaba pensando en sumar porque si le poníamos otra charola nos iba a dar
$130.
Profesora: Pero, ¿por qué doble charola? No entiendo.
62
E1: No, o sea, charola no, aquí lo sumamos por el precio de esta charola y de este resultado
que nos dio de $65.50 lo incluimos aquí.
Profesora: Y esto, ¿Esto qué es? ¿Estos precios de qué son?
E1: De los dulces.
Profesora: De los dulces, ajá, entonces aquí ya estaba la charola, aquí ya no la pusieron
porque ya está incluida aquí.
E1: Sí ya, ajá.
Profesora: Ajá, entonces ¿ahora?
E1: Sumamos todos los precios y nos dio eso.
Profesora: Nada más veo un pequeño error porque ustedes aquí me dicen que son $65.50 y
aquí le pusieron $65.
E1: Ah!
S: Y aquí eran $100 y éste era punto…¿Noooo?
Profesora: ¿Entonces?
E1: Sí, estamos mal.
Profesora: ¿Por qué están mal?
S: Porque aquí son $100 exactitos.
Profesora: Exactitos, OK, pónganle el resultado correcto y explíquenme en la respuesta,
¿qué pasa al sumar todo esto, sí?
E1: O sea que aquí ya tenemos una. Tenemos por ejemplo que armar de multiplicación o…
Profesora: Claro, claro, pero que no tenga los mismos productos, que sean productos
diferentes.
S: Ya no tenemos…Nosotros decidimos elegir multiplicarlo por 10 porque si lo
multiplicamos por 100 que es el número al que…en el que tenemos el dinero se pasaría y
entonces llegara a 100 y el 10 es como sucesor de 100 y es para, quizá, el más cercano.
Profesora: OK, y esto que me estás explicando, ¿qué es? ¿Para qué estás haciendo estas
operaciones?
S: Para hacer la primera charola.
63
Profesora: Ah, OK. Sí. Entonces pon cuántos voy a poner de este producto y cuántos voy a
poner de este producto. Dime qué producto es éste y ése. Aquí ponle nada más.
S: Ya acabé la respuesta.
Profesora: ¿A ver?
S: Aquí hice lo de 10 pero cuando resolvimos la otra, la de 45, me di cuenta que…aquí 6+3
te da 9. Pero cuando al estar sumando estos dos, este 9 se sube a un 10.
Profesora: ¡Ajá!, no le pongas el dedo porque se está manchando.
S: Ah bueno, y entonces como en el otro 44+5 te da 9 y con los dos cincos te daba 10, me
di cuenta de que si sumamos los números que te den 9, gracias al 5+5 te da 10.
Profesora: Ah OK, nada más no se les olvide que esto es para las preguntas, para los
incisos. Pero no se les olvide, préstame la otra hoja, que dice “¿podrías armar una charola
sólo con calaveras?” Tiene que llevar celofán, moño y charola, además de las calaveras.
S: Entonces ya vamos en la pregunta “a”.
Profesora: No sé, ¿en cuál [pregunta] van? Por eso les preguntaba en cuál [pregunta] iban.
E1: Es que usted nos dijo que eran tres charolas. Ya terminamos las tres.
Profesora: ¿Qué están haciendo?
E1: Ahorita yo estoy copiando la respuesta para ya ponérselas.
Profesora: Y S, ¿qué hace?
E1: S está haciendo…está viendo cómo ponerle…y ya ahorita que yo termine yo le voy a
ayudar.
Profesora: Pero, ¿en qué van entonces?
E1: En la “a”.
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65
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E2: Tenemos que sumarle uno más a éste.
E3: Tenemos que sumarle otro, este está raro.
Profesora: ¿Por qué está raro?
E2: Porque debemos de sumar esto más esto y luego si no alcanza, entonces debemos de
sumarle otras de éstas para que dé $100.
E3: Debemos sumar $100
Profesora: Pero no entiendo lo que es raro. No entiendo por qué dicen que es raro.
E2: Él dice, yo no.
Profesora: ¿Por qué? A ver explíquenme y yo les trato de ayudar.
E3: Es que dice que tenemos que sumar todo. Es que dice que tenemos que hacer unas
canastas y que las charolas cuestan $25, los moños $6 y el papel celofán$2 y…
Profesora: Pero tienes que hacer una charola no una canasta.
E3: Bueno, una charola.
Profesora: Ajá, sí.
E3: Y te da nada más $100.
E2: Y todo esto da $33 más esto da…
Profesora: ¿Pero le vas a poner de todos los dulces?, ¿de todos? Porque nada más tienes
$100.
E2: Sí pero no alcanza, pero dice que no debe sobrar nada y aquí sobra todavía. Entonces
yo creo que le debemos agregar más para que dé $100.
Profesora: Exactamente.
E3: Ya sumamos esto más los 33 y ya después le agregamos esto sumado otra vez.
E2: Pero no debemos de sumarle todo esto otra vez sólo poco, haz de cuenta que debemos
de buscar cuál, ¿no?
Profesora: Exactamente, tienes que buscar cuál puedes ponerle a tu charola para que
ocupes el dinero que te dan.
E3: yo creo que las cocadas.
Profesora: ¿Si?
E2: Yo creo, bueno es que…
(E2 y E3 llaman a la profesora porque tienen duda)
67
E2: Miss, es que mire…
E3: Ya encontramos un número que sumado con éste nos da 100.
E2: Es que primero buscamos un número que sumado con 65.5 dé $100, entonces nos dio
34.5 y sumando algunos de éstos, nosotros creemos que tenemos que encontrar este número
y estamos a punto, nos dio 35.5 pero ya no sabemos qué hacer.
Profesora: Pero a ver entonces, pero no entiendo, ¿esta operación qué es?
E3: Esta operación es de las charola, moño y papel. Lo sumamos todo y nos dio 65.5.
E2: Entonces buscamos un número que sumado con esto da 100, entonces es 34.5.
E3: Sí, pero cuando tratamos de sumar esto no nos da.
Profesora: No les da. OK. Aquí pónganme de qué es cada precio y yo lo observo. Se pasa
$0.50 igual y podríamos dejarlo ahí, igual y podríamos pedir prestado $0.50.
Ahora después de anotar de qué es cada precio dice aquí (la profesora lee). Quiero que
busquen otras dos formas de armar esa charola. Aquí ya encontraron una, ahora quiero otras
dos diferentes.
E3: ¿Que si podemos deber $9?
Profesora: No porque se pasa demasiado, pero ahí pueden, pueden ver precios. ¡Miren!
E2: Sí pero aquí no le…es que buscamos otra forma, y nuestra forma es sólo poner esto y
algunos de los que le gustan a nuestra mamá y lo multiplicamos por 4 y para que sea más y
no dé menos. Entonces, luego…
Profesora: ¿Qué pasaría si le quitan uno a ésos? ¿A ver cuánto? A lo mejor a uno nada
más.
E3: A los macarrones.
E2: Sí da, es el que más cuesta.
E2: ¿Que si no podemos quedar a deber $4?
Profesora: $4 es demasiado.
E2: Es que ya intentamos, le quitamos al menor pero nos dio $104, pero ya…ahora le
vamos a quitar al mayor para ver cuánto nos da.
68
E2: Que si ya le sumaste al menor…
E3: Sí, sí, sí. Entonces este sería dos. Le quité uno a ver si da. A ver después $6…
E3: 6, 8 y 9.
Profesora: Entonces por qué no en vez de hacer estas operaciones o de centrarse a fuerza
en estas operaciones, pues eligen un dulce que le puedan poner, o sea, no necesariamente,
sólo de estos tres dulces. ¿O no? ¿Qué piensan?
E2: Es lo que te decía que le podemos agregar otros y si no nos da le sumamos. Así sería
menos lo que nos dé.
E3: Pues sí, a ver.
E3: Para la tercera forma.
E2: No pero no…no exactamente pero podemos aquí multiplicar, es no tan parecida a la
pasada pero le…por ejemplo, ésta la multiplicamos por…ésta la dejamos así igual, ésta la
multiplicamos por 3, ésta por 2 y ésta por…
E3: Y ésta por 2 y…
E2: Otras…
E3: Y después le sumamos los $33.
E2: Y entonces tal vez me dé $100.
Profesora: A ver E2 te pregunto, ¿por qué marcaron aquí 33?
E2: Porque la suma de éstos tres son 33.
Profesora: Y ya para no volver a hacer la suma ¿lo dejaron anotado? Ah, muy bien.
E2: ¿Podemos quedar a deber $0.50?
Profesora: Explícamelo en la respuesta.
E3: Ah, sí. Aquí como le explicamos al principio, multiplicamos esto…bueno aquí los
multiplicamos y los sumamos todos, y luego le tuvimos que sumar algunos otros y nos dio
$99.50. Pero pues ya si le quitamos o le sumamos más ya se va a pasar o le vamos a quitar
más y ya sería difícil, sólo nos quedan $0.50 por pagar.
Profesora: Entonces explícamelo en la respuesta, esto que me estás diciendo. ¿Sí?
69
E2: Ya tienes 93 más esto comprarías los 6, 93+6.
E3: 99
E2: ¿91?
E3: ¡No! 99, 99 daría.
E2: Y quedaríamos a deber $1.00. ¿Podríamos quedar a deber $1.00?
Profesora: Explíquenme por qué en su respuesta.
E2: Porque no tenemos todavía las operaciones pero ahorita…
E3: Aquí, (E3 lee) “¿podrías armar una charola sólo con calaveras?
E2: Entonces aquí como da 33 yo pensé multiplicar 6x10 y da 60 y sumarle esto, ¿cuánto?
33 y da 93, más $6.50 nos da $99.50.
E3: $0.50 Miss.
Profesora: Me explican esto que me están diciendo.
E3: Pero, ¿cómo Miss?
E3: ¿Podemos deber $1?
Profesora: Explícame. Ahorita me lo explicas en la respuesta, le pones por qué.
E2: Pero aquí hicimos casi lo mismo que en la pasada, aquí sumamos 33+40, aquí lo
multiplicamos por 10 y le sumamos 28 porque ese número lo buscamos para que diera más
o menos 100 y dio 101.
Profesora: OK, en su respuesta me explican. Sí, ¿por qué se pasó?
E2: ¿Aquí debemos de poner la respuesta?
Profesora: No, aquí en la hoja. Donde me pongan esas operaciones ahí pónganme la
respuesta.
E3: OK
Profesora: ¿Sí?
E2: Miss aquí no le entendemos esto de “únicamente con limones, qué podrías comprar con
lo que te sobra”. Pero acá arriba te dice que no te debe sobrar nada.
Profesora: Por eso, si por fuerza tuvieras que ponerle 3 en cuál, qué es eso…Y
únicamente, o sea, si tú pudieras comprar, llenar la charola sólo con limones ¿cuántos le
70
puedes poner y qué ´podrías comprar con lo que te sobra? Porque no te debe sobrar de
$100. ¿Si me explico? ¿Cuánto cuesta un limón?
E2: Un limón cuesta $5.50.
Profesora: ¿Cuántos podrías comprar con $100 para ponerle en tu charola?
E2: Emmm…¿500?
E3: ¿500? ¡Diez!
Profesora: ¿Cuántos podrían ponerle?, ¿Cómo sé cuántos limones le puedo poner a mi
charola? Sin descontar esto que tienen aquí. Si pongo 10 como dice E3 son 55+33 ¿cuánto
tengo?, 55+33…
E2: ¿55+33?
E3: 88
Profesora: 88, ¿todavía me alcanza para comprar limones? ¿Con $88? (los niños mueven
la cabeza diciendo que sí) Sí, entonces, tengo que ver cuántos limones le puedo poner en
total usando mis $100, y si les sobra dinero, ¿podría yo comprar algo más con ese poquito
de dinero que me sobró? Háganlo en operación.
E2: ¿Y lo que me sobre lo podemos poner en palanquetas o algo?
Profesora: En lo que sea, por eso te pregunta qué podrías con lo que te sobra.
E2: Miss ya lo tenemos. Aquí ya vamos en ésta (E2 lee) “Si por fuerza tuvieras que poner
tres cocadas, ¿qué puedes comprar con el resto?” Ya lo tenemos, multiplicamos 3.50x3 y
nos dio 10.50 y luego le sumamos los 33 y nos dio 40.50, entonces aquí nosotros le vamos
a sumar algunas de éstas que no sean cocadas para que dé 100.
Profesora: OK. Bien.
Profesora: ¿Qué pasó?
E2: Ya. Toda esta operación tuvimos que hacer, pero…
Profesora: ¿Para qué?
E2: Para obtener ésta porque aquí…
Profesora: ¿Cuál inciso?
E2: La del “d”, aquí primero sumamos 33+40+ qué…33+40+ las tres cocadas y luego con
lo que nos sobra hicimos…sumamos algunos de éstos que no sean cocadas y ya nos dio
esto, 99.
71
Profesora: Entonces dice…
E2: Y sobra $1
Profesora: Ahí está, pues ponle eso de respuesta.
E2: Ya acabamos otra vez.
Profesora: ¿Mande?
E2: Ya acabamos otra vez.
Profesora: ¿Ya acabaron?
E2: El “e”.
Profesora: ¿El “e” qué dice?
E2: Qué dice (E2 lee) Hicimos lo mismo que la pasada. Primero multiplicamos 5.50x3 y
luego le sumamos 33 y ya con eso le seguimos sumando otras que no sean limones rellenos
y ya nos dio $101.
Profesora: ¡Muy bien!
72
73
E4: Faltan 13.
E5: ¿6 de qué?
E4: 6 de los moños, le pones otro moño y ya.
Profesora: ¿Dos moños le van a poner a la charola? ¿No se va a ver raro con dos moños?
E5: Un moño y dos macarrones.
Profesora: El moño ahí está, perfecto pero con dos moños se va a ver un poco raro,
entonces mejor qué podemos hacer.
E5: Aquí podemos hacerlo con dos. Ah no, porque no hay uno. Es que estos 50 Miss…
E4: Necesitamos hallar un número que nos dé 13. Bueno una suma.
Profesora: ¿Y si organizan de una manera diferente a como habían organizado?
E5: ¿Cómo?
Profesora: Porque ya organizaron aquí de una forma y dicen que se pasa. ¿Por eso le
quieren poner otro moño?
E4: Nos sobra dinero, entonces (E4 lee el problema).
Profesora: ¡Ajá! Entonces en vez de ponerle otro moño mejor acomodan de otra forma los
dulces, ¿no?, o sea, no necesariamente tiene que ser un dulce de cada uno, si tengo dinero y
sé que a mi mamá le gustan las calaveras, pues a lo mejor le pueda yo poner otra calavera.
E5: Sí, a mi mamá le gustan los macarrones.
Profesora: ¡Ajá!, sí, ¿sí me explico?
E4-E5: Sí
Profesora: OK
E5: Tengo los $100 pero aquí dice “¿cómo harías para decidir qué charola regalar?”. No
entendemos esa pregunta. ¿A qué se refiere?
Profesora: Es que dice (la profesora lee el problema nuevamente) ”Busca…”
E4: O sea, ¿tenemos que hacer otras charolas? Y luego…
Profesora: Pero recuerden cuánto dinero tienen.
E5: ¿Cuántas charolas?
Profesora: Tres a lo mejor.
E4: ¿Y ésas también nos tienen que dar $100 exactos?
Profesora: Sí
74
E5: ¡Ay! Miss, esto nos está costando mucho trabajo.
Profesora: Que bueno que las está haciendo pensar.
E5: Aquí, si ya no me cabe, ¿me sigo aquí?
Profesora: Pues haces la suma y luego pones el resultado aquí y ya puedes hacer la…¿sí?
¿Sí me entendiste?
E5: Sí.
E5: ¿Treinta y seis?
E4: treinta y ocho.
E5: ¿Y seis?
E4: ¿Cuarenta y cuatro?
E5: ¿Y tres?
E4: Cuarenta y siete.
E5: ¿Y tres?
E4: Se…Cincuenta.
E5: Cincuenta y dos.
E4: Cincuenta y nueve.
E5: Miss, mire nos dio $100.50.
Profesora: Explícamelo en la respuesta.
E5: ¿Cómo?
Profesora: Explícame esos $0.50 que se pasó.
E4: ¿Escribimos que eso pasó? ¿Escribimos por qué se pasó?
E5: Pero no hay nada que cueste $0.50.
Profesora: Por eso, explícamelo en la respuesta, eso que me estás diciendo escríbelo en la
respuesta.
E4: Que no se lo podemos quitar porque no hay nada que cueste $0.50.
E5: Te lo pongo así y ¿ya lo dejamos así?
Profesora: Esa sería su segunda forma, ¿no?
E4: No da $100 exactos.
Profesora: Escriban que no da $100, por qué y me lo explican.
75
Profesora: ¿Y qué diferencia hay entre sus tres charolas? ¿Qué las hace diferentes?
E4: No todas tienen lo mismo, por ejemplo ésta la número tres no lleva ni cocadas ni
limones rellenos, eso no le vamos a poner. Y, pues, también el orden porque ésta sí nos dio
$100 exactos.
E5: Pero ésta nos dio $100.50.
Profesora: OK.
E4: Se puede decir que es porque no llevan lo mismo.
E5: ¿Podemos poner dos charolas?
Profesora: ¿Cómo dos charolas?
E5: Es que necesitamos algo que nos dé $25 cerrados pero…
Profesora: Pero se va a ver raro con dos charolas, ¿no?
E5: ¡Ay! Miss, la ponemos abajo y ya no se ve.
Profesora: Pero porque no mejor en vez de poner charolas, reparten dulces.
E4: ¿Nos puede sobrar dinero de los $100 que nos dan? ¿O nos tiene que dar $100?
Profesora: Lo mínimo que les pueda sobrar, ¿sí?
E5: Miss aquí nos da 100.50 y aquí 100.50, ¿tú vas a pensar que hicimos lo mismo?
Profesora: No, porque yo tengo que ver qué hicieron, qué operación hicieron, qué
productos usaron.
E5: Entonces aquí le podemos dejar aquí, pero aquí ¿si ya pusimos la respuesta y es la
misma?
Profesora: No pues ya, aquí ya me lo explicaron. ¿Sí?
E5: ¡Ah!
Profesora: Entonces, ¿ya tienen las tres? ¿Ya van a elegir cuál? Me ponen porqué eligen
esa charola.
E5: OK.
E4: ¿Cómo le haces para decidir cuál charola vas a dar?
E5: Aquí tienes que poner la charola 1.
E4: Pero, ¿cómo lo decidiste?
76
E5: Porque nos da $100 exactos.
E4: Pero…
E5: Pero tienes que poner cuál de todas, la charola 1 porque fue la que nos dio más exacto.
Profesora: ¿En qué van?
E5: Miss en la penúltima. Pero estamos viendo para ver si se puede hacer.
E4: En ésta. (E4 lee) ¿Podrías armar una charola sólo con calaveras?
Profesora: ¿Y qué están haciendo? ¿Qué operación están haciendo?
E4: Dividiendo el precio de las calaveras entre el precio de…
Profesora: No se les olvide que como es una charola debe llevar charola, celofán y moño.
No se les olvide eso.
Profesora: A ver, otra vez ¿qué me dijeron?
E5: No podemos resolver el inciso “a”, estamos sufriendo con las operaciones.
Profesora: Pero miren ahí está. Si le quitan a los $100 los $33 del moño, el celofán y la
charola, y a esta cantidad ya pueden buscarle como estaban buscando hace rato.
E5: A ésta nosotras le pusimos un tachecito.
Profesora: Por eso, así como lo estaban haciendo estaba bien pero no podían gastar todos
los $100 en calaveras. Pero ahora ya tienen la cantidad que sí pueden gastar en calaveras.
E5: Entonces aquí iría…
E4: O sea, ¿si ´podemos hacer división?
Profesora: Pero ya no 100 adentro.
E4: Sino 77.
Profesora: ¡Ajá!
E5: Miss si aquí es 77.0, ¿le puedo quitar el cero?
Profesora: Sí claro, pero…a ver chequen bien esta resta. Porque 7 y 3, 10, llevo uno. 7 y
3, 10 y uno que llevo, once aparte. Y nada más pueden poner aquí adentro ese número sin
tantos ceros.
77
78
E6: Aquí, (E6 lee) “¿Cómo harías para decidir qué charola regalar?” Es ¿cómo vamos a
organizarla? Y aquí Miss, ¿esto es lo cuesta una calavera?
Profesora: Sí.
E6: Ah, y ¿le podemos poner varias?
Profesora: Sí y recuerda que tienes $100.
E6: OK.
Profesora: ¿Qué están haciendo?
S1: Estamos poniendo…vamos a sumar 5 cocadas, 5 palanquetas y 5 macarrones y vamos a
ver si nos alcanza sino le vamos a quitar.
Profesora: OK.
E6: (Levanta la mano y llama a la profesora)
S1: Primero nos pasamos 40 y ahorita nos pasamos 13 pero teníamos cinco de todos y
modificamos las calaveras y los macarrones…y ahorita las cocadas y las palanquetas.
79
Profesora: ¿Y sigue sobrando?
E6: No sabemos aún…no! Hace ratito nos pasamos en el precio.
Profesora: ¿Están viendo la forma de…?
E6 y S1: ¡Miss! Una pregunta.
S1: Es que nos sobran $2 pero si le ponemos un celofán más nos vamos a pasar por $0.50.
Profesora: Explícamelo en la respuesta.
E6: O sea, ¿le ponemos que compramos tres de cada uno pero que no le podíamos poner
más?
E6: Ya le pusimos el resultado del…y ya no pudimos comprar más. ¿También la
escribimos aquí?
Profesora: No, este, nada más acuérdense de buscar otras dos formas, o ¿ya las buscaron?
Otras dos formas diferentes. O sea, quiero tres formas diferentes de armar esa charola, ésta
es una, quiero otras dos; para que al final puedan elegir cuál le van a regalar a su mamá
realmente, ¿sí?, de esas tres.
Profesora: ¿Qué hacen?
E6: Estamos haciendo la segunda charola que es de limones rellenos y…de camotes.
Profesora: ¿Y cómo lo van a hacer?
E6: Ocho limones y ocho camotes.
Profesora: ¡Bien!
S1: ¿Cuatro cincuenta?
E6: No, nos pasaríamos cincuenta centavos. Podríamos comprar una cocada y nos sobran
cincuenta centavos vamos a comprar…entonces, nueve. Nueve por siete, 63 eso sería igual
a los macarrones.
Profesora: ¿Qué dijeron?
E6: Ya hicimos la tercera charola, pusimos nueve macarrones, una cocada y nos sobraron
cincuenta centavos.
Profesora: ¡Bien chicos!
80
E6: Aquí teníamos que conseguir que las calaveritas costaran $67 para restarle $33 del
celofán, el moño y la charola, pero nos dio $65 y como cuestan $6.50, no nos iba a dar dos
pesos más, ¿puede costar $98 en total?
Profesora: ¿Qué es éste?, ¿el inciso “a”?
E6: ¡Ajá! De lo de las calaveras.
Profesora: (Lee el inciso “a”) ¿La podrías armar? ¿Sí? ¿No?, sí por qué, no por qué.
E6: Pero nos tiene que dar justo $100, ¿o no?
Profesora: No, ahí lo explicas.
E6: ¡Ah! Entonces sí, ¿lo contestamos aquí o lo contestamos aquí?
Apéndice B. Transcripción del proceso de implementación de la
tarea “Bolsas de chocolates”
81
E3: Es que nos diste otra hoja, ¿aquí también podemos hacer operaciones?
Profesora: Sí claro para eso es.
E3: Que podemos elegir la de 5/6 porque…
82
E1: Si este fuera…entonces tendríamos…
Profesora: ¿Están seguros? ¿Cómo podemos comprobar? O ¿cómo podemos saber cual es
la más grande? Porque supongo que escogerían la más grande, ¿no?
E1 y E3: ¡Sí!
Profesora: ¡Claro! Pero cómo podemos saber cuál es la más grande.
E1: Por el número.
Profesora: Por el número, ¿cómo?
E1: Ah…Por el…se me fue el nombre del número.
E3: Denominador.
Profesora: Inténtenlo y me llaman.
E3: ¿Cómo se hacía la comparación de fracciones?
Profesora: A ver, ¿cómo se hacía?
E1: Tenemos que buscar un número que nos dé o que se acerque a éste.
Profesora: ¡Mmm! ¡no! A ver piensen, recuerdan ¿cómo le hacíamos para comparar dos
fracciones con diferente denominador?
E3: Teníamos que multiplicar este con este.
Profesora: No.
E1: Teníamos que ver si cabía este número con este.
Profesora: Una pista, fracciones equivalentes.
E1: ¡Ay! Tenemos que hacer como si esto fuera una suma.
Profesora: No, tampoco.
E1: Como si fuera una resta.
Profesora: ¿Por qué no? ¿Por qué eso no? ¿Por qué ese procedimiento no vale para eso? Si
yo sumo algo, ¿qué estoy haciendo con esos algos que sumé?
E1: sacando lo que daría…
Profesora: Imagínate, si tengo una manzana y tres manzanas, si yo las sumo ¿qué obtengo?
E3: Cuatro manzanas.
Profesora: Cuatro manzanas. Y a poco eso me dice cuál es más grande.
E3: No.
Profesora: No, ¿verdad?
83
E1: Por la variedad, por la cantidad que tienen.
Profesora: Piensen y me llaman.
E1: Podemos hacer así como cuadritos para sacar el resultado porque daría en total 1/6 y
1/4.
Profesora: O sea, ¿Cómo un esquema?
E1: ¡Ajá!
Profesora: Sí, sí lo pueden hacer.
Profesora: ¿Cómo van?
E3: Mal.
Profesora: ¿Por qué?
E3: Porque no le entiendo.
Profesora: ¿A qué no le entiendes?
E3: A todo.
Profesora: A ver explícame, ¿a qué no le entiendes? ¿qué es todo?
E3: Es que…no le entiendo a cómo elegir las bolsas.
Profesora: ¡Ah! OK Fíjate, vas bien, lo estás tratando de resolver con un esquema pero
estas bolsas de chocolates no son del mismo tamaño. ¿Cómo vas a comparar si no son del
mismo tamaño? ¿Sí me explico? ¿Sí me entienden?
E1: Miss, ¿se podría hacer así o no?
Profesora: También se podría hacer así, pero ¿qué debe tener?
E1: (Aplaude)
Profesora: Sí, E1 está buscando fracciones equivalentes pero qué debe tener para poder
comparar y saber cuál bolsa tiene más.
Quiero que lo hagan E3 en parejas y que lo platiquen. Entonces, primero resuelvan ésta y
luego ésta y ya llevarían dos.
E1: OK.
Profesora: Pero juntos, en pareja.
E1: OK.
84
E1: Lo que me falta sería…o sea…¿compararlos después los dos? ¿O cómo?
Profesora: Son tres.
E1: Bueno los tres.
Profesora: ¡Ajá! ¿Qué puedes hacer con fracciones equivalentes para poder comparar las
tres fracciones diferentes que tienes?
E1: Pues ¿obtengo el resultado de la tres y la comparo?
Profesora: ¿Y cómo? A ver hazlo y me llamas.
E1: De acuerdo.
Profesora: Pero quiero que lo hagan juntos.
E1: Miss es que aquí ya lo multipliqué pero me da en todos un entero.
Profesora: No, entonces algo están haciendo mal pues porque están multiplicando por un
entero. Mira…o sea…están tomando los números al revés pero así no es sacar fracciones
equivalentes.
E3: No, yo sé cómo es.
Profesora: A ver, aquí mismo, aquí…
E3: Si tenemos 1/2 sería 2/4.
Profesora: ¡Ajá! Entonces, a ver, pregunta E3, ¿cómo saco fracciones…o para qué saco
fracciones equivalentes de estas tres fracciones que les di?
E3: Para saber cuál es la mayor.
Profesora: ¿Cuál es la mayor? ¿Cómo voy a saber cuál es la mayor?
E3: Sacando fracciones equivalentes.
Profesora: ¿Cómo, cómo voy a saber?
E1: ¿Por el número?
Profesora: No.
E3: ¿Multiplicándolo por dos?
Profesora: ¡Eh! A ver inténtenlo, pero quiero que lo hagan juntos. Ahora sí quiero que lo
hagan juntos. Me van a borrar esto para intentar sacar fracciones equivalentes de estas
fracciones del problema. ¿De acuerdo?
E3: ¡Ajá!
85
Profesora: A ver, ¿cómo van?
E1: Bien, pero…
E3: Ya sacamos fracciones equivalentes y después vimos que en ésta nos faltaba mucho
para…
E1: O sea que no es 3/8.
Profesora: ¡Ah! O sea, tienen que bus…¿qué tienen que buscar? O sea, ¿cómo…hasta
dónde saco fracciones equivalentes para poder comparar? Traten de entender eso.
E3: ¿Mmmm…?
E1: Me lo puedes repetir Miss.
Profesora: Por ejemplo, viendo lo que ustedes hicieron. No…Sigo sin poder comparar esta
con esta. ¿Por qué sigo sin poder compararla? Aunque ya le sacaron fracciones
equivalentes.
E3: ¿Porque es lo mismo pero con diferentes números?
Profesora: Pero, ¿por qué estos dos no los puedo comparar todavía?
E3: Porque…a ver préstame el lápiz.
Profesora: Porque…
E3: Porque si le sumamos…
E3: Porque si le sumamos 1/4…
Profesora: Pero, ¿de qué me sirve sumarlas?
E3: De que da un entero.
Profesora: ¿De qué da un entero? Yo digo que podríamos sacar nuevamente su…
E3: ¿Fracción equivalente?
E1: ¡Ajá!, pero ahora de este, de este.
Profesora: ¿Y por qué no intentan una fracción más de este? O sea, no de este sino del
original.
E1: Entonces, ¿sacamos su fracción equivalente además de ésta?
Profesora: Sí, ¿por qué números multiplicaron esto para obtener éstos?
E3: Por dos.
Profesora: Por dos. ¿Por qué no intentan esta fracción con otro número que no fuera dos?
E3: ¡Ah!
86
Profesora: A ver háganlo.
Profesora: A ver, ¿ya sacaron una fracción equivalente multiplicando por tres? ¿Qué
observan con esta fracción de ahorita y ésta de acá?
E3: ¿No sería esta de acá, Miss?
Profesora: No. Con esta y esta.
E1: Que…
Profesora: Observen esta fracción y esta fracción.
E1: Ah, que a esta le faltan cuatro y a esta…
E3: Seis.
Profesora: No, ¿de qué? ¿cómo? A ver qué observan de esta fracción y esta fracción.
E1: ¿Qué son diferentes? O ¿que tienen el mismo número de acá abajo?
Profesora: ¡Exacto! Tienen el mismo denominador. Si yo observo esta fracción y observo
ésta puedo ver cuál es más grande.
Fíjense, observen. Esta fracción 18/24 y 20/24, ¿puedo saber cuál es más grande?
E3: Sí.
Profesora: ¿Cuál?
E3: 20/24
Profesora: 20/24, entonces, qué debo hacer para comparar estas tres del problema y saber
cuál es la mayor.
E3: ¿Sacar su fracción equivalente multiplicando por tres?
Profesora: No.
E1: ¿O?
Profesora: Aquí ustedes lo están observando en estas dos.
E3: Que tenga el mismo denominador.
Profesora: ¡Exacto! ¿Sí? Y ya sacaste de dos con el mismo denominador. Falta sacar de
una, de la otra con el mismo denominador, ¿sí?
E1 y E3: Ah.
E1: Miss ya pudimos…ya obtuvimos el resultado.
Profesora: ¿Y cuál es la más grande?
87
E3: cinco sextos.
Profesora: OK. Entonces explíquenme cuál escogerían, ¿por qué escogerían ésa? Y ¿cómo
le hicieron para escoger ésa?
E1: OK.
E3: Vamos por otra hoja.
Profesora: Y la segunda solución es esta del esquema pero…está mal porque los…
E3: Ya los estoy haciendo.
Profesora: Ah, ahí va bien, del mismo tamaño, ¡exacto! ¡Bien chicos!
E3: Aproximadamente cuatro centímetros.
E1: Sí, mide cuatro centímetros.
E3: Ah. Y este mide aproximadamente diez centímetros.
Profesora: ¡Bien! Ahí observando se puede ver cuál es más grande, ¿no?
E1: Sí.
Profesora: ¿Cuál es más grande de los tres?
E3: Este.
Profesora: Ese, es el más grande de los tres, coincide con la primera solución, ¿verdad?
E3: ¡Ajá!
Profesora: Ajá, ¡Muy bien!
E3: Todo ya es fácil cuando resuelves la primera.
Profesora: Exactamente.
E3: Porque ya te sabes el resultado.
Profesora: Falta una sola solución.
E1: ¡Una sola!
Profesora: ¡Sale!
E3: ¿…tercera solución?
Profesora: ¿Qué dijiste?
E3: ¿Que cómo podría ser la tercera solución?
Profesora: Ah, pues piensa, piensa, piensa.
88
Profesora: ¿Algún tip para la tercera solución?
E1 y E3: ¡Sí!
Profesora: A ver, más bien ustedes propónganme algo.
E1: Podría, podría, podría ser…ah.
Profesora: Yo les he enseñado como convertir fracciones a decimales, por ejemplo. Les he
enseñado a sacar fracción decimal. Eso podría ser.
E1: Fracción decimal está fácil.
Profesora: Fracción decimal. ¡Eh! Pero aquí no queda. Piensen, piensen cómo lo podrían
hacer.
E1: Podría ser como de…así de…cómo se llamaba lo que era como para medir el terreno y
todo eso?
Profesora: ¿Cómo?
E3: ¿Área?
E1: Eso es de triángulos. Cuando nos dejaste de tarea de rúbrica los problemas, los cuatro
problemas…
E3: Proporcionalidad.
Profesora: O fracciones equivalentes, fracciones decimales, números decimales, fracción
común. Les he enseñado como se transforma una fracción común a un número decimal. Eso
les podría ayudar.
Profesora: ¿Ya pensaron?
E1 y E3: Ya, sí.
Profesora: ¿A ver?
E3: Estamos convirtiendo fracciones comunes en números decimales.
Profesora: ¿Y cómo van?
E3: Bien.
Profesora: Parece que bien. OK me llaman cuando hayan avanzado.
E3: OK Miss.
E1: Sí.
E3: ¿Cómo se llamaba este de arriba? Este es el denominador, ¿no? ¿Este es el numerador?
89
Profesora: Este es el numerador, sí.
E3: Sí, OK, gracias.
E3: Si aquí no nos da cero, ¿lo dejamos así?
Profesora: En dos decimales, sí.
E3: ¿Así? OK.
E1: ¡Terminamos!
E3: ¡Terminamos!
Profesora: ¿Cuál fue la solución ahí? ¿Cuál fue la respuesta?
E3: De…cambiamos las fracciones comunes a números decimales y fuimos viendo cuál fue
el mayor y vimos que 5/6 era el mayor.
Profesora: Otra vez. Entonces, ¿ya me explicaron la respuesta, la solución?
E3: Sí aquí está Miss.
Profesora: ¿Las tres soluciones?
E3: Las tres.
Profesora: Quiero que me hagas favor de revisar si estás de acuerdo con lo escribió E1,
¿sí? Alguna falta de ortografía, o algo así. ¿De acuerdo?
90
E6: Que el denominador tenga el mismo número para poder nada más sumar los
numeradores.
Profesora: Bueno, cuando lo hagan me avisan.
E6: Vamos a cambiar de lo que íbamos a hacer. Vamos a ver qué fracción…bueno las
fracciones, cuál es su equivalencia a gramos y de ahí ya vamos a escoger la que queramos.
Profesora: OK.
S1: Una pregunta, aquí nos va a sobrar otra vez 40, pero es como infinito, ¿no?
Profesora: Sí, hasta ahí.
S1: Hasta punto seis.
E6: Aquí nos dice que (E6 lee) “Cómo decidiste escoger dicha bolsa”, ¿ahí cómo le
ponemos?
Profesora: Explíquenme cómo decidieron esto que pusieron. No veo operaciones.
E6: Ah, aquí están.
91
Profesora: Ah, OK, las hubieran puesto aquí corazón. Aquí me ponen solución dos y ya lo
ponen junto.
E6: ¿Y la solución tres acá?
Profesora: Pero entonces explíquenme cómo llegaron a esta respuesta. Escribiendo.
S1: Hicimos lo que pusimos acá.
Profesora: Quizá no tan detallado porque ahí están las operaciones pero sí más o menos.
E6: ¿En las otras dos respuestas tiene que ser otra diferente?
Profesora: No, tenemos que llegar a la misma respuesta pero por caminos diferentes, ¿sí?
E6: Ah, OK.
E6: Una pregunta, es que estamos tratando de poner este en su mínima expresión.
Profesora: Sí.
E6: Pero, ¿lo hacemos por separado?
Profesora: Pero, ¿para qué en su mínima expresión? si ya tienen denominador común y ya
los pueden comparar.
E6: Es que decíamos que para que sea más fácil un denominador común.
Profesora: Pero ahí ya pueden observar qué está sucediendo. Sí, sí me entienden lo que les
estoy explicando. Sin hacer esto ustedes ya pueden tener la respuesta con esto que hicieron
acá. Observando, ¿si S1?
S1: Ajá.
E6: Miss una pregunta.
Profesora: Sí, sí, sí.
E6: Es que aquí hicimos la división porque nuestro entero medía 15 centímetros, dividido
entre 2/8 y nos dio 1.875, ¿eso cuánto es?
Profesora: Pues 1.9 quizá, un centímetro y…casi dos centímetros.
E6: OK.
Profesora: ¿Sí?
92
E6: Aquí hicimos los enteros con las fracciones y después trazamos las fracciones y lo
demás, y nos dio como resultado que otra vez era este. Pero entonces, aquí cómo lo
´podremos redactar. O sea, ¿igual que el que tiene 5/6?
Profesora: Sí, pero ¿qué hicieron para saberlo?
E6: Colocamos unas líneas en los dos enteros.
Profesora: Primero explíquenme, o sea, explíquenme, dibujamos tres enteros, etc. Todo
eso que me dijiste escríbelo.
E6: Ah, OK.
93
Profesora: ¿Qué dicen?
E4: Es que le estoy explicando a E2 que no sabe cuál es el mayor. Entonces, no puede
poner que 3/4 es mayor porque no ha hecho operaciones, entonces, no puede saber que este
es el mayor. No puede dibujarlo porque no ha hecho operaciones. No ha comprobado que
este es el mayor.
E2: Entonces hacemos operaciones de fracciones.
E4: Tienes que compararlo, cuál es más grande, y el que sea más grande lo dibujas más
grande y el que sea más pequeño lo dibujas más pequeño.
Profesora: ¿Cómo van?
E2: Bien.
Profesora: ¿Qué están haciendo?
E2: Yo estoy comparando las fracciones.
E4: Estamos tratando de convertir el número de abajo, el denominador, lo estamos tratando
de convertir por el mismo, que sea el mismo para que podamos ver cuál es el mayor y cuál
es el menor.
94
Profesora: OK.
Profesora: ¿Cómo van?
E2: Bien.
E4: Ya estamos buscando la tercera solución.
Profesora: ¿Ya la tercera?
E4: Sí, hicimos una con fracciones y otra con operaciones.
Profesora: O sea…
E2: Yo, primero las fracciones de las bolsas de chocolates las multipliqué entre algunos
números, en la de 3/4 la multipliqué por seis y me dio 18/24, en la de 5/6 la multipliqué por
cuatro y me dio 20/24, en la de 3/8 la multipliqué por seis y me dio 18/48 y esto…aquí
tuvimos que dividir y entonces dividimos 18 entre dos, nueve y 48 entre 2, 24, entonces me
daba 9/24 y los fui acomodando, cuál es mayor y cuál es menor.
E4: Y nos dimos cuenta que el 24 era nuestro denominador común, después con las
operaciones dividimos mil que es lo que tiene un kilogramo entre cuatro y nos dio 250.
Profesora: Sí.
E4: Y ahora lo multiplicamos por tres, nos va a quedar 3/4, luego mil entre seis y
multiplicamos por cinco para que nos diera 5/6, después mil entre ocho y nos dio 125 y
luego lo multiplicamos por tres.
Profesora: Ajá, ¿y qué bolsa les dio que es la más grande?
E2: 5/6
Profesora: ¿En qué solución van?
E4: Estamos intentando en la número tres, vimos que eran 3/4 kilogramos de chocolate.
Entonces estamos buscando un número que multiplicado por cuatro nos diera mil, que es lo
que tiene un kilogramo. Intentamos con 800 pero se pasaba, o sea tenía que ser un número
menor de 800, después lo intentamos con 100 pero quedaba muy pequeño, no se acercaba
nada a mil. Después lo intentamos con 150 y se acercaba un poco más pero no era. Después
lo intentamos con 250 y nos daba mil, después vimos que eran tres entonces teníamos que
buscar un número que, dividido entre tres nos diera 250, lo logramos con 750 entre tres, nos
dio 250. Y así buscamos con la segunda fracción que son 5/6.
95
Profesora: Ajá. OK
E4: Si multiplicamos ´por seis 200 para que nos dé 1200, pero nos tiene que dar mil, se
pasa, tiene que ser un número menor de 200. Intentamos con 125 y nos dio 750, se acerca
pero no es mil. Ahora lo estamos intentando con otro.
Profesora: Ajá, bien. ¡Ahí van!
Profesora: ¿Les falta mucho?
E4: No, sólo estamos escribiendo…
E2: Las explicaciones.
Profesora: Ajá, sí.
Apéndice C. Transcripción del proceso de implementación de la
tarea “Arreglos frutales”
96
E4: (E4 lee el problema)
E4: (E4 lee el inciso “a”) “¿Qué cantidad de cada fruta pondrías en una canasta?” Pero aquí
ya nos dijo que cada canasta debe tener cinco kilogramos de fruta.
Profesora: Cinco kilogramos de fruta en total.
E1: O sea cada canasta…
Profesora: Pero si tú le vas a poner cinco…o sea, tú vas a armar una canasta con cinco
kilogramos de fruta, ¿cómo acomodas todas estas frutas o cuáles frutas acomodas para que
haya en total cinco kilogramos?
E4: ¿En cada canasta?
Profesora: En cada canasta.
S2: Cinco kilogramos en cada canasta.
E2: Ir eligiendo por precios la fruta e ir acomodando…bueno, ir eligiendo los precios para
que dé dos mil pesos.
97
E1: O…
S2: Ponemos las más caras y luego las más baratas.
E4: Primero vamos a juntar qué le ponemos…primero vamos a elegir las frutas que le
ponemos, aproximamos los precios, si nos sobra le agregamos y si nos falta, pues le
restamos. Cambiamos algunas frutas para que nos dé.
E1: ¿No sería más fácil multiplicar?
Profesora: ¿Qué dijiste?
E1: Que si no sería más fácil multiplicar.
E2: No porque tenemos…nos podemos equivocar.
E4: Tenemos que ver…no sabemos cuántas frutas vamos a tener.
E1: Pero yo digo que para ver…si sumar para ver cuánto sería en total de lo que habríamos
comprado para la primera canasta.
E2: Bueno, podemos multiplicar…
E4: Bueno, pero primero ¿qué frutas le pondríamos a la primera canasta?
S2: Primero…
E4: Primero, ¿qué frutas le pondrían a la primera canasta?
S2: Las más caras.
E4: Elige una.
E2: Las más caras
E4: La que tú quieras.
Profesora: ¿Ya armaron una canasta?
E4: Ya.
Profesora: A ver, quiero ver.
E4: Armamos una canasta con las frutas que empiezan con “m” y una banana.
E2: Y el precio total de…
E4: Bueno, de lo que compramos son $149.
Profesora: OK. ¿Y son cinco kilogramos? Y ¿le van a poner el kilogramo completo?
E4: Sí.
Profesora: OK.
98
(Los estudiantes están sumando)
Profesora: Pero, ¿por qué todas van dando casi $150?
E2: Porque tenemos que ir…
E4: Estamos sumando…sólo lo sumamos para saber cuánto dinero nos gastamos en cada
canasta.
Profesora: ¡Ajá!
E4: Para luego sumarlo y ver si nos da los $2000 que tenemos, si nos sobra o nos falta.
Profesora: OK.
S2: Baratitas para ver cuánto nos da y luego todas las más caras.
E2: Aquí no le podríamos quitar una y ponerle una más cara, para que dé más.
S2: ¿Una más cara?
E4: No, déjala así.
S2: Canasta cinco. Yo elijo la manzana.
E4: Elijan una fruta.
S2: ¡Manzana!
E2: ¡Uva!
E1: ¡Pera!
E4: ¡Espérate!
E1: Manzana, uva, pera.
E4: Treinta y cinco pesos. ¿Cuáles tú?
E2: La uva.
E4: ¿Y tú?
E1: Y yo pera.
S2: Un kiwito cuesta en realidad como veinte pesos.
E2: No, más.
Profesora: ¿Le están poniendo los kilogramos completos? ¿No se les ocurre poner menos
de un kilogramo de cada fruta?
E4: ¿Cómo?
99
Profesora: Es que están poniendo los kilogramos completos, ¿no? Que tal que arman
alguna que tenga de todas las frutas pero buscar la manera de que al final se tengan los
cinco kilogramos de fruta, pero que tenga de todas las frutas posibles.
E1: Entonces, hay que quitar el…¿ya no sería kilogramo sino sería como la mitad?
Profesora: Ajá, quizá o quizá menos o quizá más.
S2: Miligramos.
Profesora: ¿Son miligramos?
S2: Creo.
Profesora: ¿Cómo son? ¿Cómo se llaman?
E2: Nos lo dijo hace ratito la Miss Gelita.
Profesora: Y qué, ¿yo no se los enseñé?
S2: Sí pero…decagramos.
Profesora: Que les ponía una regla de tres. Decagramos es más grande.
S2: Centi…¡no! Kilogramos, ¿luego?
Profesora: ¿Cuántos kilogramos?
S2: ¡Gramos!
Profesora: Gramos, exactamente. ¿Cuántos gramos tiene un kilogramo?
Todo el equipo: ¡Mil!
Profesora: Mil y ¿cómo podemos saber si yo elijo, bueno, si yo elijo la mitad de un
kilogramo es fácil saber, pero yo puedo elegir 700 gr, 300 gr, ¿sí?
E4: Ajá.
E4: Hazla mental.
S2: ¡Yo, yo, yo!
E4: 13 + 16 (siguen sumando).
E2: Quince.
S2: Exactito que aquí. ¿No es lo mismo? Mira lleva mango, lleva banana, lleva uva, y ésta
lleva pera y manzana.
E4: Bueno, ¿y si le cambiamos el mango? Por…lo vamos a cambiar con mamey.
S2: Es que el mamey está más caro.
E4: Sólo le quitas…el mamey cuesta $23, es lo mismo.
100
S2: 153.
E4: No, no, 149.
S2: ¡Claro!
Profesora: ¿Ya la nueve?
E4: Ya.
S2: Y la diez la vamos a hacer como nos dijiste.
Profesora: ¿Sí? Me parece muy bien. Cuando terminen de hacer la diez me llaman.
S2: Miss la diez.
Profesora: ¿La diez? A ver quiero ver cómo la arman.
E4: Elijan una fruta, sólo una.
E1: Mango.
S2: Banana. Si no completamos esto, y luego tenemos que dividir.
E4: Este cuesta $24, ponemos una mitad, un cuarto, ¿cuánto le ponemos?
S2: La mitad.
E4: La mitad es…
E2: Doce.
E4: Entonces sería medio de mango, serían $12.
S2: Ajá.
E4: De la banana serían $6. Podemos poner diez frutas.
S2: ¡Banana! Serían $6.
E1: Luego, luego van seis.
E4: Espérate. Medio kilogramo de banana sería igual a seis pesos. ¿Qué más?
S2: Algo barato. No tiene mitad exacta. O no sé, la pera.
E1: Manzana.
E4: Falta un kilogramo nada más. Ya lo hicimos y estamos checando los precios. Le
pusimos sólo dos frutas de kilogramos completos y nos faltan.
Profesora: Ajá.
101
E4: Otras dos frutas de medio kilogramo cada una, para llegar a un kilogramo y hacer los
cinco kilogramos de la canasta.
Profesora: OK. Sí.
E1: Hay que sumar esto, ¿no?
E4: Ya lo sumé todo. Hay que sumar los resultados.
S2: 149, 150, 153, 141, 164, 176, 149, 173, 126 y 139.5.
E4: ¿39.5? Como no hay otro punto cinco
E4: 27, 35, 41, 50. (Está sumando)
S2: No nos alcanzó.
E4: Tenemos doscientos pesos.
S2: Oh, claro.
E4: Nos sobró.
E1: Nos sobró de las diez.
E2: yo pensé que teníamos que juntar dos mil y que sólo teníamos esto.
E4: A ver ahora a responder. ¡Listo!
Profesora: Ponle aquí, “total de las diez canastas”.
E1: Sí por fin.
E4: Sólo que ahora vamos a hacer acá las preguntas.
E2: Las preguntas.
E4: (E4 lee) “¿Qué frutas pondrías en una canasta?
E2: Cinco frutas.
E4: Y si mejor lo ponemos como le hicimos acá en la diez.
E2: ¿Cuánto más o menos le pusimos?
E4: Medio kilogramo de diez frutas y hacemos ahí un kilogramo.
S2: ¡Oye! ¿Por qué no medio kilogramo de cada una?
E4: No porque son ocho frutas. Dos se repiten. ¿Qué le ponemos?
E2: ¿Por qué no primero respondemos éstas?
102
E4: (E4 lee) “Te sobraría…” Sí.
Profesora: Si tienen que escribir mucho lo escriben abajo en el inciso.
E2: OK.
E4: Sí mejor, sí vamos a hacerlo así, primero lo primero. (E4 lee) Medio kilogramo de cada
uno y un kilogramo de dos frutas.
Profesora: Kilogramo, ajá. (La profesora lee).
E4: (E4 redacta la respuesta) Qué cantidad…Cuántos kilogramos de…a ver cuántos
kilogramos…a ver vamos a organizarnos.
E2: Cinco por nueve.
E4: ¡Espera! Son ocho frutas y somos cuatro, tú las primeras dos, E1 la pera y la uva…
E1: Ah.
E4: Sí, son las dos que te tocó. A ti te tocó la manzana y el mango.
S2: A mi me gustan ésas.
E4: No importa no te las vas a comer. A ti te tocó el maracuyá y el kiwi, ay, ya, no se la
van a comer, nada más les toca contarlo.
Profesora: ¿Y qué van a hacer con eso?
E4: Cada uno va a contar el número de veces que compramos cada fruta que me tocó para
saber cuántas veces compramos esa fruta.
Profesora: OK.
E2: A ver, la manzana una, dos, tres, cuatro, cinco, seis y medio.
E4: No, seis, siete y medio.
E2: Ah, ¡rayos! Fallé.
E4: Siete y medio.
E2: ¡Voy yo!
E4: A ti qué te toca contar.
S2: A E2…
E4: Cuenta los maracuyás.
S2: ¿Ya contaron el kiwi? Llevas dos, tres, cuatro, dos…
E2: Excepto dos, tres, mmmm…
E4: Tres y medio, tres kilogramos y medio.
103
Profesora: A ver chicos las preguntas. Ya obtuvieron el total de cada fruta.
E4: (E4 lee el inciso “a”) Medio kilogramo de cada uno y un kilogramo de dos frutas.
Profesora: Ajá.
E4: (E4 lee el inciso “b”) de bananas compraríamos siete kilogramos y medio, de mamey
seis kilogramos y medio.
Profesora: Y aquí inciso “c” (la profesora lee el inciso).
E4: Sí, nos alcanzó.
Profesora: Sí, ¿por qué?
E4: Porque el total de la suma de lo que compramos fue $1420.5, y eso es menos que los
dos mil pesos.
Profesora: Entonces aquí anótenme eso que me están diciendo. Sí, ¿por qué? Y aquí,
inciso “d”.
E4: (E4 lee inciso “d”) Sí.
Profesora: ¿Cuánto? Aquí me lo ponen. Inciso “e”, ¿qué dice?
E4: (E4 lee inciso “e”) Si son diez canastas y cada una de $350 nos daría $3500, si le
restamos lo que, bueno debemos restar, lo que gastamos. Ahí estamos mal.
Profesora: OK. Lo componen.
E4: Sí.
Profesora: OK, gracias.
104
E6: Aquí se refiere a que deben gastar $350 en cada arreglo o que van a venderlos a esa
cantidad.
Profesora: Los van a vender en $350.
E5: ¿Cada arreglo?
Profesora: Cada arreglo.
E5: O sea que tenemos que juntar esto y tenemos que formar un precio que nos dé $350.
Profesora: Fíjense, ¿cuánto tienen?
S3: Ah, dos mil pesos.
E6: Entonces dividimos diez entre dos mil porque dice que tiene que hacer diez.
Profesora: Ajá.
E6: Y ahí sabemos cuánto tenemos que gastar.
Profesora: Ajá, exactamente. Pero se van a vender en $350 para poder donar el dinero.
E6: Ah. OK.
105
S3: ¿La charola?
Profesora: No, canasta. ¿Sí?
E5: Sí, gracias.
E6: Pero podríamos poner primero una de cada una y si nos sobra ponemos otra. Pero si
nos falta quitamos una.
E5: No, si nos sobra podríamos…
E6: No, si nos sobra ponemos una fruta más. Porque si nos falta dinero quitamos una fruta,
a pesar de que aquí dice “qué cantidad de fruta pondrías…” a no sí.
E5: Ajá. OK. Entonces tenemos que juntar…
E6: 32+43+35+24+…
S3: Pero tendría que ser de…
E6: No importa.
S3: Ah, bueno.
E5: Nos daría una cantidad muy alta, ¿no?
E6: Pues no importa.
S3: ¿Tenemos que hacer datos, esquema y procedimiento?
Profesora: Sí.
E6: ¿Para cada pregunta?
Profesora: No.
E6: ¿Es necesario ponerle los datos, como copiar la tabla?
Profesora: Pues no porque ahí tenemos la tabla.
E5: Miss pero yo tengo una duda, ¿aquí a qué se refiere con cinco kilogramos de fruta en
cada arreglo?
Profesora: En cada canasta debe haber cinco kilogramos de fruta. ¿Cómo la decides?
Como tú quieras.
E6: ¿Puede ser un kilogramo de cada una?
Profesora: Ajá.
E6: pero no puedes poner uno de cada uno porque se pasa.
106
Profesora: Sería demasiado.
E6: Serían ocho kilogramos.
E5: ¿Cada una debe tener cinco kilogramos?
E6: Debemos gastar $200 en cada canasta y tenemos $150.
Profesora: ¿Cómo supieron que tenemos que gastar $200 en cada canasta?
E5: Hicimos…
E6: Dividimos el total que tenemos para gastar entre las canastas que debemos hacer.
E5: Nos dio doscientos.
Profesora: Entonces, ¿cada canasta debe costar?
E6: Tenemos que gastar doscientos pesos.
Profesora: Deben gastar doscientos pesos. OK. ¡Bien!
E6: (Está sumando) 6+55, 11+3, 14+2, 16+3, 18+1, 20.
E5: Veinte ya nos dio.
S3: Les dije que tienen que ser los dos.
E6: Ponle doscientos pesos.
Profesora: ¿Y le están poniendo los kilogramos completos?
E5: Sí.
Profesora: En alguna de las canastas que tienen que hacer hagan la prueba de ponerle
menos del kilo…del kilogramo completo.
E6: Primera canasta le pusimos manzana.
E5: ¿Qué es de…?
E6: Manzana.
S3: Treinta y cinco pesos.
E6: Treinta y cinco pesos, maracuyá cincuenta y cinco pesos, luego uva de cuarenta y tres
pesos.
Profesora: Anota lo que es cada precio.
E6: Ah. Eso lo escribimos en primer lugar, 43, 35, 32.
S3: Dos kilogramos de manzana.
107
E6: Y ahora, esta es manzana.
E5: ¿La primera es manzana?
E6 y S3: (Dicen sí con la cabeza).
E5: ¿La segunda?
S3: Es maracuyá.
E5: ¿La tercera?
E6: La tercera son uvas.
S3: Y manzana, y la otra son mangos.
E6: Ahora si quieres vuélvelo a hacer para comprobar.
E6: ¿Debemos hacer primero diez canastas y luego contestar las preguntas?
E5: Pero aquí tenemos que poner las diez canastas.
E6: La culminación de las diez canastas.
E5: ¿Qué cantidad de fruta podría tener una canasta? Nada más tenemos que…
Profesora: De una.
E6: Ah, o sea Miss, armamos la que queramos.
Profesora: Ajá, sí.
E6: ¿Debimos haber hecho primero las diez canastas?
E5: ¿Nos tiene que dar doscientos exactos, Miss?
Profesora: No, no necesariamente. No puede ser más porque sólo tenemos dos mil pesos.
E6: Ah, o sea que la otra canasta que habíamos hecho estaba bien.
Profesora: Apúrense.
E6: Primero era una pera, una uvas, una manzana y un kiwi.
E5: No, era unas uvas, una manzana, un kiwi y una banana.
E6: Y una pera y una banana.
S3: ¡Y un mango! La pera no era, era un mango.
E5: Vamos a intentarle, pero dijimos que en lugar de la pera el mango. Entonces es uvas,
manzana, mangos, kiwi y banana.
E6: ¡Ah! OK.
108
E6: Miss, ¿podemos hacer una canasta de pura pera, de pura uva, de pura manzana?
Profesora: Pues, ustedes decídanlo.
E5: Pero si nos da una cantidad exacta, ¿lo podemos hacer? O ¿tiene que ser a fuerza
variada?
Profesora: No necesariamente.
E6: Faltan treinta y nueve pero tenemos ya las cinco frutas juntas. Así que hay que quitar el
de doce pesos y tendríamos que poner uno que cueste cincuenta y dos pesos.
Profesora: Pero, ¿dónde dice que tiene que ser cinco frutas a fuerza?
E6: Ahhh.
Profesora: Deben ser cinco kilogramos. Pero no a fuerza cinco frutas diferentes.
S3: Les dije.
E5: ¿Cuál es la máxima cantidad que podemos usar?
Profesora: Las que quieras que tenga cinco kilogramos cada canasta. Y que gastemos
doscientos pesos porque es lo que ustedes me dijeron.
E6: Entonces habrá que…yo digo que dividamos la maracuyá en medio kilogramo.
E6: Es la misma canasta.
S3: No es cierto.
E6: Sí es la misma, treinta y dos, treinta y dos, cuarenta y tres, cuarenta y tres, treinta y
cinco, treinta y cinco, sí.
Profesora: quiere decir que son las frutas que les encantan. (La Miss ríe). Apúrense chicos,
¿cuántas llevan?
E6: Es que aquí…pensamos que teníamos que ir respondiendo.
Profesora: cuando ya tengan las diez canastas ya responden.
E6: E5 hay que apurarnos.
E6: Quince, tenemos que sumarle quince.
S3: La banana.
E5: No tenemos banana.
E6: ¿Hay algo que sea de veinticuatro?
109
E5: Veintitrés.
E6: ¿Hay algo que sea de treinta y cinco?
E5: Sí, la…
E6: Entonces quitamos una maracuyá por unas manzanas.
S3: Pero, ¿no sería lo mismo?
E6: ¡Ay! Espero que no porque siempre resulta lo mismo. ¡Creo que va a salir lo mismo!
S3: Sí, va a salir lo mismo.
E5: A ver, tenemos…en la otra pusimos lo mismo.
E6: A ver, dime la tabla. El primero, ¿qué es?
E5: Veintitrés, cincuenta y cinco, treinta y cinco, cuarenta y nueve, treinta y nueve,…
E6: Ah, no es lo mismo. Mientras, tú y yo hacemos las otras.
S3: ¿Las otras canastas?
E6: Tú vas a hacer las canastas de pura pera, pura manzana, pura uva y pura piña. Y yo
hago la de maracuyá, puro kiwi, pura banana.
Profesora: Pero, ¿no será aburrido que más de una tenga una sola fruta?
E6: Pero es que así es más fácil.
Profesora: ¡Ah! Pero no se trata de facilidad. ¿Habrá quien compre una canasta de fruta
con sólo peras?
E6: Los fanáticos de las peras.
Profesora: ¿Y cuántos fanáticos de las peras hay?
E5: Nos faltan cinco pesos. ¡Yo soy una!
E6: (E6 alza la mano). ¡Otra!
Profesora: OK. Una sola canasta sí, pero los demás ya tienen que llevar muchas porque es
un arreglo frutal.
E5: Miss, ¿si nos dio 195 lo podemos dejar así?
Profesora: Yo espero que sí. Dependiendo de lo que les pregunte ahí.
E5: Si nos dice que tenemos que hacer doscientos pesos para que nos alcance…
Profesora: Para que nos alcance. ¿Y nos alcanza si hacemos una de 195?
E5: Sí porque nos sobra.
Profesora: Ajá, ¿entonces?
110
E5: ¿Esos noventa y cinco le podemos pasar otros cinco a una canasta?
Profesora: Quizá sí. La cosa es que sólo tienen dos mil.
S3: O sea, con dos mil podemos comprar todo lo demás.
Profesora: Van muy atrasados.
(Todos contestan): Sí Miss.
E6: Por más que hacemos nos quedan repetidas.
Profesora: Yo como que siento que hoy están jugando.
E6: No Miss, aquí estábamos haciendo esto pero no nos salió porque nos daba…esto sí nos
da doscientos pero son cuatro kilogramos. Y necesitamos un kilogramo más pero nos da
justo doscientos, entonces voy a ver si hacemos cambio. Si ponemos medio kilogramo de
esto, vamos a ver si ponemos…
E5: ¿Diecisiete?
E6: Esto cuesta más o menos de 127, entonces voy a ver si hay algún…ah, no ya sé.
Cancela una de éstas. Una…
E5: ¿Manzana?
E6: No, un maracuyá y ponle dos mameys.
E5: Mamey, ¿cuánto cuesta el mamey?
E6: Veintitrés y veintitrés, una manzana, dos maracuyás y una banana. A ver si así sale.
E5: A ver, dos maracuyá…
E6: Dos maracuyá.
E5: Ah no, dos mameys.
E6: Dos maracuyás y una manzana. Quita la banana. Bueno, a ver, deja la banana.
E5: A ver, otra vez.
E6: Dos maracuyás, dos mameys.
E5: ¿Los maracuyás de cuánto son?
E6: Los maracuyás de cincuenta y cinco.
E5: Dos maracuyás.
E6: Dos mameys, una manzana y una banana.
E5: O una manzana o una banana.
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E6: ¡Ya está!
S3: Ya.
E6: Asegúrate que no es ninguna de éstas.
Profesora: ¿Cuántas lleva?
E6: Tres y cada quien va a hacer dos y así ya nada más nos faltaría una al final.
S3: Cinco más cinco, diez.
Profesora: ¿Con frutas variadas?
E6: Sí, todas han sido variadas últimamente:
E6: Que estas dos queden en el presupuesto de dos mil.
S3: Vamos a intentar con las bananas.
E6: ¿Puras bananas?
S3: Sí, pura banana.
E6: OK.
S3: ¿E6 hago la de pura banana?
Profesora: ¿Y por qué esa que hiciste no?
S3: ¿Cuál Miss?
Profesora: ¿Por qué la borraste?
E6: ¿Esta?
Profesora: Esta, ¿por qué la borraste?, pregunto.
S3: No…es que…para hacer la de banana, Miss.
Profesora: Pues yo mejor terminaría esta y vería cuánto es.
E6: ¿Esta cuánto te dio?
S3: Nada.
E6: Pues hazla. Aunque hagas dos pero todas las que hagas.
S3: Ah, no es doce.
E6: Pero te pasas, quita un doce.
S3: ¡Ahí está!
E5: Me falta una y hago tres.
E6: Yo voy a copiar esta.
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E5: ¿Y sí te dio?
E6: Me dio noventa y nueve.
E5: Pero, ¿y los puntos?
E6: Ah, no importa.
E5: ¿Importan los puntos, Miss?
Profesora: No, porque todos tienen punto cero, cero, no.
S3: 8Después de sumar) 168 me dio.
E6: ¿168? OK. Que te parece si quitas un doce y le pones un cincuenta y cinco.
S3: A ver.
E6: Uvas, uvas,…
Profesora: ¿Y qué le decías a S3 del crédito?
E6: Ah, es que como aquí, por ejemplo, nos dio 195 y tenemos cinco pesos, si alguna se
pasa.
Profesora: Ah, son para cuando te pases.
E6: Para que cambies una de treinta y nueve por una de doce.
S3: A ver.
E6: Tú checa. Esta me da 199.
Profesora: ¿Se pasó?
S3: Sí Miss.
Profesora: ¿Mucho?
E6: Diecinueve, nuestro crédito sólo tenemos dos disponibles.
E5 y S3: (Suman).
E6: (Ayuda)
(Todos suman)
Profesora: Ahora contesten las preguntas.
E6: ¿No importa si nos hayamos pasado?
Profesora: A ver, ¿qué dicen primero las preguntas?
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Profesora: ¿Qué hacen?
E6: Estamos viendo cuánto…
E5: La respuesta dos.
S3: No nos alcanza.
E6: (Lee) No
Profesora: Contéstenla ahí.
E5: Sí nos sobró, noventa y ocho.
Profesora: No, les faltó noventa y ocho.
E5: Ah.
Profesora: Pónganle ahí, nos faltaron noventa y ocho. Siguiente pregunta.
E6: (Lee).
Profesora: ¿Les alcanza el dinero?
E6: No.
Profesora: No.
E6: (Lee la otra pregunta)
Profesora: Ahorita lo hacen. Terminen eso y ahorita lo hace
