UTFSM - Sede ConcepcinApuntes del CursoRESISTENCIA DE LOS MATERIALESPara la carrera deTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizProfesor:Gonzalo Daza HernndezIngeniero Civil MecnicoSemestre I - 2008ndiceNDICE .............................................................................................................................................. 1PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE RESISTENCIA DE LOS MATERIALES .................. 31.1. INTRODUCCIN ...................................................................................................................... 31.1.2 HIPTESIS FUNDAMENTALES...................................................................................................... 41.1.3 MTODO ..................................................................................................................................... 52. RELACIN ESFUERZO DEFORMACIN ............................................................................. 83. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES ............................................................................... 133.1. ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD ...................................................................................................... 133.2. LEY DE HOOKE ........................................................................................................................... 133.3. DIAGRAMA ESFUERZO - DEFORMACIN ( - ) DEL ACERO COMN .............................................. 143.4. DIAGRAMA ESFUERZO DEFORMACIN PARA OTROS MATERIALES .................................... 173.5. DIAGRAMAS IDEALES ................................................................................................................ 183.6 CONSTANTES ELSTICAS .................................................................................................. 193.6.1 MDULO DE ELASTICIDAD LONGITUDINAL (E) ........................................................................ 193.6.2 MDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL (G) ................................................................................ 203.7 COEFICIENTE DE POISSON ........................................................................................................ 213.8 CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DE TENSIN ADMISIBLE Y DECARGA ADMISIBLE .................................................................................................................... 234.- DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES . 254.1 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTAL..................................................................... 264.2 DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLE .................................................................... 294.2.1 RELACIN ENTRE E Y G............................................................................................................ 304.3 ESTADO DOBLE ...................................................................................................................... 30VARIACIN DE LAS TENSIONES EN EL PUNTO SEGN LA ORIENTACIN DEL PLANO. ........................ 304.3.1 VALORES MXIMOS Y MNIMOS, CRCULO DE MOHR ............................................................... 334.4 TRAZADO DEL CRCULO DE MOHR EN EL ESTADO TRIPLE ........................................................... 39TORSIN ........................................................................................................................................ 41INTRODUCCION ............................................................................................................................ 41SECCION CIRCULAR ..................................................................................................................... 41SECCIN ANULAR ............................................................................................................................. 44SECCIN TUBULAR CERRADA DE PEQUEO ESPESOR ....................................................... 45SECCIN RECTANGULAR ........................................................................................................... 46SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA......................................................................... 48DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO .............................................................................................. 51Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizDEFINICIONES .................................................................................................................................... 512Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizPRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE RESISTENCIA DE LOSMATERIALES1.1. INTRODUCCINLos cuerpos absolutamente rgidos, indeformables, no existen en larealidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la accin de cargas, enrealidad son pequeas y en general pueden ser detectadas solamente coninstrumentos especiales. Las deformaciones pequeas no influyen sensiblementesobre las leyes del equilibrio y del movimiento del slido, por lo que la MecnicaTerica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformacionesseria imposible resolver un problema de gran importancia practica como es el dedeterminar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de unapieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro.Las construcciones que el ingeniero encuentre en su prctica tienen, en lamayora de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementosde estas se reducen a los siguientes tipos simples, tales como barras, vigas,cscaras, placas, etc.Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de lamisma: a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado.Esto ltimo puede ocurrir por varios motivos: deformaciones demasiado grandes,falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, prdida del equilibrioesttico por pandeo, vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la fallapor rotura, deformaciones excesivas.La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitacionesinternas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargasexteriores. La diferencia entre la Mecnica Terica y la Resistencia de Materialesradica en que para sta lo esencial son las propiedades de los cuerposdeformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera.La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar mtodos simplesde clculo, aceptables desde el punto de vista prctico, de los elementos tpicosms frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientosaproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver losproblemas prcticos nos obliga a recurrir a hiptesis simplificativas, que puedenser justificadas comparando los resultados de clculo con los ensayos.Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos:a) Dimensionamientob) Verificacin3Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizEn el primer caso se trata de encontrar el material, las formas ydimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que sta pueda cumplirsu cometido:Con seguridadEn perfecto estadoCon gastos adecuadosEl segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas yes necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitacionesactuantes.1.1.2 Hiptesis fundamentalesa) El material se considera macizo (continuo): El comportamiento real delos materiales cumple con esta hiptesis an cuando pueda detectarse lapresencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de lamateria, compuesta por tomos que no estn en contacto rgido entre s, ya queexisten espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formandouna red ordenada.Esta hiptesis es la que permite considerar al material dentro del campo delas funciones continuasb) El material de la pieza es homogneo (idnticas propiedades entodos los puntos): El acero es un material altamente homogneo; en cambio, lamadera, el hormign y la piedra son bastante heterogneos. Sin embargo, losexperimentos demuestran que los clculos basados en esta hiptesis sonsatisfactorios.c) El material de la pieza es istropo: Esto significa que admitimos que elmaterial mantiene idnticas propiedades en todas las direcciones.d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, sonnulas: Las fuerzas interiores entre las partculas del material, cuyas distanciasvaran, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido acargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas molecularesque existen en slido no sometido a cargas. Esta hiptesis no se cumpleprcticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se originan estasfuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigndurante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudioespecial.e) Es vlido el principio de superposicin de efectos: Ya se ha hecho usode este principio, para el caso de slidos indeformables. Al tratarse de slidosdeformables este principio es vlido cuando:Los desplazamientos de los puntos de aplicacin de las fuerzas sonpequeos en comparacin con las dimensiones del slido.4Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizLos desplazamientos que acompaan a las deformaciones del slidodependen linealmente de las cargas. Estos slidos se denominan slidoslinealmente deformables.f) Es aplicable el principio de Saint Venant: Este principio establece queel valor de las fuerzas interiores en los puntos de un slido, situadossuficientemente lejos de los lugares de aplicacin de las cargas, depende muypoco del modo concreto de aplicacin de las mismas. Merced a este principio enmuchos casos podremos sustituir un sistema de fuerzas por otro estticamenteequivalente, lo que puede conducir a la simplificacin del clculo.g) Las cargas son estticas o cuasi-estticas: Las cargas se dicen que sonestticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras que sedenominan cuasi-estticas cuando el tiempo de aplicacin es suficientementeprolongado. Las cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominandinmicas, y las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayoresque si fuesen estticas o cuasi-estticas.1.1.3 MtodoAl realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por laeleccin de un esquema de clculo. Para realizar el clculo de una estructura sedebe, ante todo, separar lo importante de lo que carece de importancia, esdecir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellosfactores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistemacomo tal. Este tipo de simplificacin es en todos los casos absolutamentenecesario, puesto que la solucin del problema que considere todas laspropiedades de la estructura es imposible debido a que, en general stas soninagotables.Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cablede un ascensor. Debemos considerar ante todo el peso de la cabina, suaceleracin y, en el caso de que se eleve a gran altura, el peso del cable.Simultneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca importanciacomo la resistencia aerodinmica que ofrece al ascensor, la presin baromtricaa distintas alturas, la variacin de la temperatura con la altura, etc.Un mismo cuerpo puede tener esquemas de clculo diferentes, segn laexactitud pretendida y segn el aspecto del fenmeno que interesa analizar. Porotro lado, un hecho muy importante a tener en cuenta es que a un mismoesquema de clculo pueden corresponderle muchos objetos reales.Esto reviste gran importancia, pues al estudiar tericamente ciertoesquema de clculo se puede obtener la solucin de toda una serie de problemasreales comunes al esquema dado.5Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 1.1en:Al escogerse el esquema de clculo se introducen ciertas simplificacionesa) La geometra del objeto. As un slido muy alargado se puede idealizarcon una barra.b) Los vnculos. Usualmente se consideran ideales.c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que lascargas concentradas prcticamente no existen en la realidad, sino que son lasresultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeas.d) Las propiedades de los materiales. En el tem anterior hemos hechoconsideraciones al respecto.El paso siguiente a la elaboracin del esquema de clculo corresponde a laresolucin numrica del problema, para lo cual, las bases fundamentales de laResistencia de Materiales se apoyan en la Esttica, la que resulta sumamenteimportante en la determinacin de las solicitaciones internas y de lasdeformaciones.An cuando a partir del encauzamiento del estudio por la va de lasoperaciones matemticas pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejarbien en claro que el clculo no consiste solamente en el empleo de frmulas. Enefecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el sistemareal sino un modelo matemtico. Esto significa que los resultados deben seradecuadamente interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo msprximo posible a la solucin real.Finalmente, y a ttulo de resumen, podemos decir que el mtodo de laResistencia de Materiales, que no es sino el de la Mecnica Aplicada puedeenunciarse de la siguiente manera:6Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz1) Eleccin de un esquema de clculo (elaboracin de un modelomatemtico).2) Resolucin matemtica del problema.3) Interpretacin de los resultados en funcin del sistema fsico real.7Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz2. RELACIN ESFUERZO DEFORMACINComo introduccin al tema observemos la mquina de la figura 2.1 lafuncin de esta prensa es la de ensayar muestras de materiales sometidos aesfuerzos de compresin. Para ello se coloca la muestra sobre el piso de la base yse aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el volante delextremo superior. Esta accin somete as a la porcin inferior del tornillo acompresin axial y a las barras laterales a traccin axial. Se observa tambin quela cruceta de cabeza est sometida a flexin y corte, y la parte superior deltornillo a torsin.Si consideramos los componentes de prensa, vemos que los mismos estnsometidos a diferentes tipos de solicitaciones, generan esfuerzos internos. Porejemplo, podramos trazar los diagramas caractersticos correspondientes amomentos flectores y corte en la cruceta de cabeza.Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un corte comoel a-a indicado, veremos que para que la parte superior se encuentre enequilibrio (ver figura 2.2), en esta seccin debe aparecer una fuerza F que enrealidad representa la accin de la otra parte eliminada. Ahora bien debemossuponer que en la seccin indicada aparece en realidad una fuerza concentradaF? La intuicin nos dice que eso no parece lgico, lo razonable es que aparezcansolicitaciones en cada punto de la seccin considerada, que no son otra cosa quelos esfuerzos que actan en cada partcula manteniendo la continuidad delcuerpo. La ley matemtica que podra corresponderle a estas solicitaciones podaser la que se indica en la figura 2.2, aunque no lo podemos afirmarrigurosamente si no hacemos un buen estudio del problema.8Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 2.1Fig. 2.2Fig. 2.3Observemos a continuacin el tornillo 2, vemos que en la seccin indicadaaparece un momento torsor. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es enrealidad el resultante de un conjunto de solicitaciones que actan punto a punto,y con una ley semejante a la indicada en la figura 2.3. tambin podemosobservar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, yaque antes tenamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a laseccin, mientras que ahora las fuerzas son adyacentes en la seccin, conintensidades y sentido cambiantes.A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular unahiptesis: Los esfuerzos internos en una seccin cualquiera de un cuerpo sedesarrollan punto a punto. Esta hiptesis ser de gran importancia y, como seve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente.Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lodividimos en dos partes mediante la interseccin con un plano cualquiera,sabemos que en la seccin originada aparecern fuerzas que mantienen elequilibrio de la porcin. Si en la seccin tomamos un punto P y un entorno derea , sobre dicha rea existir una fuerza elemental F. Haciendo el cocientede F/, con tendiendo a cero, definiremos como vector tensin total otensin resultante en el punto P, al siguiente lmite:9Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 2.4(2.1) = limF0 La tensin es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediantetres parmetros: intensidad, direccin y sentido. Por otro lado, la dimensin quetiene es la de una fuerza por unidad de rea, y puede medrsela, por ejemplo, enKg/cm2 (KN/cm2).Fig. 2.5El vector tensin total puede descomponerse segn dos direcciones, unanormal al plano de la seccin y otra contenida en el mismo, obtenindose as doscomponentes de tensin denominadas tensin normal () y tensin tangencial(). Ver figura 2.5.Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando msgira el volante superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Seobserva as mismo que la barra se estira ligeramente de modo que para cadavalor de F se produce un pequeo alargamiento .10Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizComo el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas lasfibras longitudinales estn estiradas uniformemente. Podemosentonces establecer el cociente entre el desplazamiento y lalongitud L de la barra cuando est descargada, a este cociente lodenominamos deformacin unitaria o especificaLObservamos que sta no tiene unidades, es decir, es unamagnitud adimensional. Ahora bien, si todas las fibras se han alargadoigual, cada punto del cuerpo est caracterizado por tener la mismadeformacin especifica, aunque en otros casos esto podra no ser as,con lo que cada punto tendra un valor distinto de .(2.2)=Fig. 2.6De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de labarra tiene una tensin y una deformacin. Cabe entonces una pregunta: lastensiones y las deformaciones estn relacionadas entre s? Resolveremos esteinterrogante en el prximo tem.Supongamos ahora que quisiramos graficar la variacin Carga Desplazamiento (F ):Fig. 2.7Para nuestro anlisis, consideremos la posibilidad de combinar las variablesseccin y longitud; manteniendo las caractersticas del material constante.Fig. 2.811Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizDnde:2 > 1L1 > L2An cuando se trata del mismo material, la representacin Carga Desplazamiento va a variar si tomamos en cuenta la seccin o la longitud de labarra.Fig. 2.912Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz3. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES3.1. Elasticidad y PlasticidadSi retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos verque si la fuerza F cesa, el alargamiento desaparece completa o parcialmente,es decir, la barra tiende a recuperar su longitud original L. Esta propiedad queposee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial una vezque desaparece la carga es lo que se llama elasticidad. Si la barra recuperacompletamente su longitud inicial, se dice que el material es perfectamenteelstico; de lo contrario se dice que es parcialmente elstico.La plasticidad es una propiedad opuesta, un material es perfectamenteplstico cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene suconfiguracin deformada.En la realidad ningn material resulta perfectamente elstico operfectamente plstico. Algunos materiales como el acero, aluminio, goma eincluso la madera y el hormign pueden ser considerados como perfectamenteelsticos dentro de ciertos lmites, es decir, si no estn excesivamente cargados.Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse comoperfectamente plsticos.3.2. Ley de HookeLa denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia deMateriales y es vlida dentro de lo que se denomina rgimen lineal elstico. Estaley establece que si la tensin normal se mantiene por debajo de un ciertovalor p, llamado tensin de proporcionalidad, las deformaciones especficas ylas tensiones son directamente proporcionales.(3.1)E: Recibe el nombre de Mdulo de Elasticidad Longitudinal, o mdulo deYoung. El valor de E es una caracterstica de cada material.Fig. 3.113Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz3.3. Diagrama Esfuerzo - deformacin ( - ) del acero comnAl resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramoscon la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cualesse pueda basar la teora. Por ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke sehace necesario conocer el mdulo E, el cual debe determinarseexperimentalmente.Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tiposde ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de traccin. Para este ensayousualmente se emplean probetas especiales, que consisten en barras de seccincircular, las cuales son estiradas en una mquina especialmente diseada para elensayo. Cuando una barra esta sometido a un esfuerzo axial P, apareceninternamente tensiones normales calculables a travs de la siguienteexpresin:(3.2)=PFig. 3.2Dnde es el rea de la seccin transversal de la barra. Sabemos tambinque se originan desplazamientos . Si entonces se miden los valores (P ; ) paracada escaln de carga, se pueden graficar los valores ( ; ), que se evalanmediante las expresiones ya conocidas.Para el caso del acero comn, tambin llamado acero dulce, que es de bajocontenido de carbono, el diagrama tenso-deformacin resulta como el de lafigura siguiente:14Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 3.3 Diagrama Tensin-Deformacin para el AceroDulceEn este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadascaractersticas:a) Perodo elstico: Este perodo queda delimitado por la tensin e (lmitede elasticidad). El lmite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar almismo, el material se comporta elsticamente, es decir que producida ladescarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la prctica, este lmite seconsidera como tal cuando en la descarga queda una deformacin especificaremanente igual al 0.001 %. Este perodo comprende dos zonas: la primera, hastael p (lmite de proporcionalidad), dnde el material verifica la ley de Hooke. Lasegunda entre p y e, si bien es elstica, no manifiesta proporcionalidad entretensiones y deformaciones.d = =E(3.3)En la primera zona:d (3.4)reducidoEn la segunda zona:d = = f ( ) ; Mdulo de elasticidadd En general, los lmites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muypoco entre s.b) Perodo elasto-plstico: Para valores de tensin superiores al lmiteelstico, la pieza si fuera descargada no recobrara su dimensin original,aprecindose una deformacin remanente acorde con la carga aplicada. Amedida que aumenta la solicitacin, la grfica representativa es la de unafuncin para la cual disminuye el valor de su Tangente, tendiendo a anularse en15Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotrizel tramo final del perodo, al cual se llega con un valor de tensin que se indicacomo f (tensin de fluencia).c) Perodo plstico (fluencia): Una vez arribado al valor de tensin f(lmite de fluencia), el material fluye, es decir, aumentan las deformaciones sinque existe aumento de tensin. En realidad este fenmeno no es tan simple, yaque puede verse que la tensin oscila entre dos valores lmites y cercanos entres, denominados lmites de fluencia superior e inferior, respectivamente.La tensin de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de latensin de fluencia.(3.5) p 0.8 Fd) Perodo de endurecimiento y de estriccin: Como consecuencia de unreacomodamiento cristalogrfico, luego de la fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de incrementar la resistencia, esdecir, puede admitir un incremento de carga. Sin embargo en este perodo lasdeformaciones son muy pronunciadas.La tensin aumenta hasta alcanzar un valor mximo R, denominadotensin de rotura, a partir del cual la tensin disminuye hasta que alcanza unadeterminada deformacin de rotura, producindose la tensin R no es enrealidad la mxima tensin que se origina en la probeta sometida a carga. Enefecto, alcanzado el valor de la deformacin especifica correspondiente a R,comienza a manifestarse en la probeta un fenmeno denominado estriccin.Este consiste en la reduccin de una seccin centralde la pieza. Esta reduccin, progresiva con el aumento dela carga, hace que las tensiones aumenten y que, enrealidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar suconcavidad hacia abajo muestra un punto de inflexin enlas vecindades de R y cambia su curvatura presentandouna rama creciente hasta alcanzar la deformacin derotura R.Debido a lo que hemos mencionado recientemente eldiagrama que acabamos de ver suele denominarsediagrama convencional - , ya que los clculos de lastensiones se realizan siempre sobre la base de suponer laseccin transversal constante, con rea igual a la inicial.Fig. 3.4:Fenmeno deestriccinUna valoracin cuantitativa del fenmeno de estriccin esta dada por elcoeficiente de estriccin lateral, el cual se define segn la siguienteexpresin:16Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(3.6)=Ai A fAfDonde:Ai: Area InicialAf: Area FinalEn aceros comunes 50%Si al realizar el ensayo de unacero comn, una vez alcanzado unpunto tal como el M de la grfica dela figura 1.14, se descarga laprobeta, se llega a una tensin nula atravs de una recta paralela a la quedefine el perodo elstico, quedandouna deformacin remanente. Si laprobeta vuelve a cargarse retoma lacurva en el punto N,pero con un nuevo recorridodonde ya no existe el perodo defluencia. As mismo, la zona recta seprolonga hasta un valor 'p > p.Fig. 3.5: Endurecimiento mecnicodel acero dulce3.4. Diagrama esfuerzo deformacin para otros materialesHay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama - esuna curva continua sin tramos rectos, es decir, que prcticamente en ningnmomento verifican la ley Hooke. Un ejemplo clsico es el hormign, para el cualen general interesa su curva - en compresin.En estos casos no puede hablarse de un mdulo de elasticidad nico. Cabendistinguir tres valores del mdulo de elasticidad:a) Mdulo al origen(3.7)E = tg b) Mdulo instantneo o tangente. Suvalor lo da la pendiente a la curva - encada punto:17Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotrizd= tg 0dc) Mdulo secante, el que viene dadopor la tangente trigonomtrica del ngulo1.(3.7)E=Fig. 3.6 Mdulos Tangentes ysecantesPara estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propusocomo relacin entre y una ley de tipo exponencial que lleva su nombre: K = E (3.8)donde el coeficiente k depende del material(valor medio, ya que depende de muchasvariables):Fig.3.7En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke.Ciertos materiales presentan adems la particularidad de tener uncomportamiento diferente en compresin que a traccin, tal es el caso delhormign.3.5. Diagramas idealesLos diagramas que hemos visto suelen no ser prcticos para trabajar conellos, por lo que en determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramasidealizados debidos a Prandtl, que resumen las caractersticas fundamentales delos tres tipos bsicos de materiales.El diagrama ideal correspondiente a un material dctil se compone de dostramos rectos: uno inclinado, correspondiente al perodo elstico; el otrohorizontal, materializando el perodo de fluencia. El perodo de endurecimientono interesa porque la deformacin al final de la fluencia es tan significativa queel material est en falla antes de llegar a la rotura.18Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 3.8.1: diagramaideal para un materialdctilFig. 3.8.2: Diagramaideal de una materialfrgilFig.3.8.3: Diagrama idealpara un material plsticoEn los materiales frgiles el lmite de proporcionalidad es muy prximo a latensin de rotura, prescindindose entonces del tramo curvo.Para los materiales plsticos el diagrama es una recta horizontal, lo quesignifica que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incrementode tensin.3.6 CONSTANTES ELSTICASEl comportamiento lineal elstico de los slidos, permite determinar valorescaractersticos o constantes elsticas, para cada material, agrupando entre ellosa los llamados mdulos de elasticidad.3.6.1 Mdulo de elasticidad longitudinal (E)Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la accin de fuerzasaxiales. Esta pieza por accin de la fuerza sufre un alargamiento L.Fig. 3.9La relacin L/L, deformacin especifica unitaria, la identificamos con .Admitiendo para el material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensinP = , ser proporcional a la deformacin .19Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 3.10La constante E, llamada mdulo de elasticidad longitudinal, es tambinconocida como mdulo de Young. Es la ms importante de las cuatro constanteselsticas.3.6.2 Mdulo de elasticidad transversal (G)Sea un paraleleppedo fijo en su parte inferior y de baja altura losometemos a una fuerza P en su cara superior.Fig. 3.11La deformacin que se produce, muy pequea, es una distorsin(deformacin angular); al ngulo lo llamamos . La tensin (coincidente con elplano de la seccin) la designamos como , siendo:20Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(3.9) =de corteDe la misma forma que se grafica larelacin -, puede hacerse con la de - . Parael caso del acero comn la grficarepresentativa, es similar a la ya vista para lastensiones normales.Dentro del campo lineal elstico, laconstante que vincula la tensin tangencial conla deformacin angular, es llamada mdulo deelasticidad transversal(3.10)Fig. 3.12 Diagrama Tensin-Distorsin angulartg =P; : Tensin tangencial o=G = GPara el acero comn: Fl 0.57 Fl3.7 Coeficiente de PoissonAl someter a una barra a un esfuerzo axial, adems de experimentardeformacin segn la direccin de la fuerza, el cuerpo tambin deforma en lasdirecciones normales a ella.Fig. 3.13La; t =LaLlamando con L a la deformacin especfica en direccin de la fuerza y t ladeformacin especfica transversal, se define como coeficiente de Poisson (omdulo de Poisson) a la relacin entre:1(3.11) = t ; o bien,m= = LLtEl valor de es funcin del material, aunque su variacin es pequea. Engeneral para materiales istropos, vara entre 0,25 y 0,33.En cualquier caso < 0,50.L =21Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz22Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz3.8 CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DETENSIN ADMISIBLE Y DE CARGA ADMISIBLEEn el primer tem de este captulo hemos enunciado algunas de las causasque pueden provocar la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamientodebemos crear seguridad contra todas las clases de falla posible, la cual puedeproducirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por ejemplo, uncrecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuyaresistencia se ha debilitado por la existencia de vicios ocultos.La teora de probabilidades nos ensea que no se puede lograr unaseguridad absoluta, lo nico que puede hacerse es mantener reducidas lasprobabilidades de falla.La seguridad de una construccin siempre estar amenazada porincertidumbres, ser satisfactoria cuando las probabilidades de falla queden pordebajo del valor considerado como admisible.Existen numerosas causas de incertidumbres: Las hiptesis de cargas Las hiptesis de clculo Los errores de clculos Defectos del material Errores de las dimensiones Errores de ejecucin Etc.El mtodo de clculo fundamental y ms difundido de los Coeficientes deSeguridad es el basado en las tensiones. Segn este mtodo, el clculo de laresistencia se realiza controlando el valor de la tensin mxima que se produceen cierto punto de una estructura. La tensin mxima de trabajo no debe superarcierto valor.(3.12) mx L: cierto valor lmite de la tensin para el material dado. : un nmero mayor que la unidad denominado coeficiente de seguridadPara el caso de materiales dctiles el valor lmite L es el lmite defluencia, en el caso de materiales frgiles L es el lmite de resistencia o tensinde rotura. La relacin L / recibe el nombre de tensin admisible.(3.13)LL= admLa eleccin del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor gradode incertidumbre que exista en un problema, y se realiza basndose en toda una23Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotrizserie de criterios, en general probablisticos, que escapan a los alcances de estecurso. Existen reglamentos que establecen los criterios de Dimensionamiento delcoeficiente de seguridad, por ejemplo, AISC.Para los casos ms frecuentes ya existen valores establecidos de loscoeficientes de seguridad. Podemos hacer referencia a disposicionesreglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores quevaran entre 1.25 y 1.60 segn los recaudos constructivos, el destino de losedificios y los estados de carga considerados. Para estructuras de hormignarmado, los coeficientes de seguridad varan entre 1,75 y 2,10. Para el caso de lamadera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a sucomportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes ms grandes.Una expresin que es usada con frecuencia para dar un concepto delcoeficiente de seguridad, es que ste representa el incremento que deberatener el estado de cargas para producir el colapso de la pieza. Debemos sealarque si bien esto puede ser cierto, solamente lo ser si los dems parmetros queintervienen en el problema estn totalmente controlados, y no existe ningunaincertidumbre respecto de ellos.En los materiales que tienen un perodo lineal elstico, la tensin admisiblese encuentra en dicha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la leyde Hooke, ya que la tensin de trabajo resulta menor o igual que la admisible.Para los materiales donde no existe un perodo elstico bien definido, tambinpuede considerarse valida la ley de Hooke ya que para valores bajos de lastensiones, el diagrama - se aproxima bastante a una recta.Fig. 3.14: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materialesAl criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridadbasado en relacin de tensiones lo llamaremos criterio elstico. Adems de esteexiste otro al cual lo llamaremos plstico. La denominacin utilizada paraidentificar a cada criterio, est relacionada al mtodo de clculo empleado paraestablecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un mtodo declculo elstico, y mtodo de clculo plstico.24Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz4.- DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES YSIMPLES DE TENSIONESConsideremos el caso de un slido en equilibrio bajo la accin de cargasexteriores y aislemos del interior del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dyy dz, de manera que las cargas pueden orientarse segn el sistema de referencia.Sobre cada una de las caras existir un vector tensin total de manera talque el cubo elemental se encuentre en equilibrio. Estos vectores puedenproyectarse segn los ejes de referencia de manera que en cada una de las seiscaras tendremos en general una tensin normal y dos tensiones tangencialesperpendiculares entre s. Un estado de tensiones de estas caractersticas se diceque es un estado triple o espacial.En determinadas circunstancias las cargas actuantes sobre el cuerpo hacenque las tensiones sobre el cubo elemental queden ubicadas dentro de un plano.Este estado se denomina doble o plano.Cuando los vectores tensin son paralelos a un eje el estado se denominasimple o lineal.En realidad, la definicin de un estado como simple, doble o triple no solodepende de estado de cargas actuante sino de la orientacin del cubo elemental.Como veremos ms adelante, el estado simple puede pasar a ser un estado doblesi el elemento diferencial tiene una rotacin, inclusive puede convertirse en unestado triple. El proceso al revs no siempre es factible. Es decir, si tenemos unestado doble, por ejemplo, es probable que no encontremos, por rotacin delelemento, una posicin para el cual el estado sea lineal.Fig. 4.125Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 4.2Para poder entendernos con claridad el referirnos a las tensiones, vamos aestablecer ciertas convenciones:i: el subndice i indicar al eje respecto del cual las tensiones normales sonparalelas ( x, y, z ). Sern positivas cuando produzcan traccin.ij: el subndice i indicar el vector normal al plano donde actan lastensiones tangenciales, y el subndice j indicar el eje al que resultan paralelas(xy, xz, yz, yx, zx, zy ).Tanto las tensiones normales como las tangenciales varan punto a punto enel interior de un cuerpo, por lo tanto, debemos tener presente que las tensionesquedan expresadas como funciones: = (x,y,z); = (x,y,z)4.1 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTALConsideremos, como en la figura 4.3, un punto A correspondiente a unslido sujeto a tensiones, punto que hacemos coincidir con el origen decoordenadas; y tres planos perpendiculares que pasan por el punto, coincidentescon los planos coordenados. Supongamos adems un segundo punto B del mismoslido, de coordenadas dx, dy y dz.Admitiremos que las funciones que definen las tensiones en los puntos delslido son continuas y derivables. Las tensiones que actan en los planos quepasan por B pueden definirse como las que actan en los planos paralelospasantes por A mas el correspondiente incremento. As tendremos, por ejemplo,tomando como incremento el primer termino del desarrollo enserie de Taylor.El prisma elemental estar sometido a fuerzas actuantes en sus caras comoconsecuencia de las tensiones, adems existir una fuerza de masa quesupondremos aplicada en el baricentro. Llamaremos X, Y, Z a las componentes dedicha fuerza por unidad de volumen.26Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizSi planteamos el equilibrio del prisma elemental tendremos:Fig. 4.3Planteando adems Fy=0 y Fz=0 se llega a:27Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(4.1)Continuando con las ecuaciones de momento, donde suponemos trasladadala terna de ejes al baricentro del elemento, tendremos:(4.2)Despreciando diferenciales de orden superior nos queda:(4.3)Estas ltimas ecuaciones reciben el nombre de LEY DE CAUCHY o LEY DERECIPROCIDAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES, cuyo enunciado es: En dosplanos normales cualesquiera, cuya interseccin define una arista, lascomponentes normales a sta de las tensiones tangenciales que actan en dichosplanos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista.Las ecuaciones diferenciales del equilibrio tienen nueve incgnitas, las queconsiderando la ley de Cauchy se reducen a seis. Ahora bien, siendo que slodisponemos de tres ecuaciones, el numero de incgnitas excede el nmero deecuaciones, con lo que concluimos que este problema resulta ESTATICAMENTEINDETERMINADO. Las ecuaciones que faltan pueden obtenerse slo si se estudianlas CONDICIONES DE DEFORMACION y se tienen en cuenta las propiedades fsicasdel cuerpo dado (por ejemplo la ley de Hooke).La determinacin del estado tensional de un cuerpo siempre resultaindeterminada por condicin interna e implica la consideracin de ecuaciones decompatibilidad, las cuales establecen relaciones entre las deformaciones, enforma similar como las ecuaciones diferenciales del equilibrio relacionan a lastensiones entre s.28Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz4.2 DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLELa experiencia demuestra que cuando se produce el estiramiento de unabarra, el alargamiento longitudinal va acompaado de acortamientostransversales que son proporcionales al longitudinal. Si en un cubo diferencialacta solamente x tendremos:(4.4)Si adems acta y tendremos un valor adicional:(4.5)Y lo mismo si acta z. En consecuencia podemos establecer las siguientesleyes:(4.6)Puede demostrarse que las tensiones tangenciales no provocan alargamientoni acortamientos, slo cambios de forma, de modo tal que puede establecerse:Fig. 4.4(4.7)29Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz4.2.1 Relacin entre E y GSi en un cuerpo sometido a tensiones consideramos un elemento diferencialen una determinada posicin, la energa de deformacin por unidad de volumencorrespondiente al mismo deber mantenerse se la suponemos rotado. Sitenemos un prisma elemental sometido a corte puro, sabemos que a 45 de esaposicin nos encontraremos en el elemento sometido a tensiones de traccin ycompresin, las que en valor absoluto sern iguales entre s e iguales e la tensintangencial. Si evaluamos la energa de deformacin por unidad de volumen enambos casos obtendremos:(4.8)Fig. 4.54.3 ESTADO DOBLEVariacin de las tensiones en el punto segn la orientacin delplano.Un elemento definido por tres planos normales entre s, esta sometido a unestado plano, cuando las tensiones en dos de sus caras son nulas.Analicemos el elemento de la figura:30Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 4.6Adoptamos las siguientes convenciones de signos:Tensiones normales: sern positivas cuando produzcan traccin.Tensiones tangenciales: sern positivas cuando produzcan un giro demomento con sentido horario con respecto a un punto interior del prisma.Angulo : El ngulo se mide a partir del plano vertical y se considerapositivo cuando es antihorario.El plano definido mediante el ngulo es paralelo al eje z. Los tres planosdeterminados por los ejes x, y, y el ngulo pasan por el mismo punto; de allque no tenemos en cuenta fuerzas de masa sobre dicho elemento.Recordamos por Cauchy:|xy|= |yx|Planteando proyecciones de fuerzas sobre la direccin 1, por razones deequilibrio tenemos:31Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(4.9)Similar a lo anterior, proyectamos fuerzas sobre la direccin 2:(4.10)Las tensiones vinculadas a dos planos perpendiculares se denominantensiones complementarias. Para calcularlas podemos reemplazar en lasecuaciones anteriores, que son vlidas para cualquier ngulo , por ( +90 ).Si analizamos la siguiente suma:(4.11) de Invariante tensiones32Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizPodemos ver que la suma de las tensiones normales correspondientes a dosplanos ortogonales se mantiene constantes, por lo que a esta suma se ladenomina invariante de tensiones.4.3.1 Valores mximos y mnimos, crculo de MohrEn el tem anterior hemos visto la manera de poder calcular el valor de lastensiones cuando el prisma elemental tiene una rotacin, ahora vamos a tratarde determinar la rotacin que debera tener para que las tensiones alcancenvalores extremos.(4.12)Observando esta ltima ecuacin, podemos ver que la misma quedasatisfecha por dos valores de , los cuales difieren entre s 90. Reemplazandoentonces en la ecuacin 3.8 por estos valores llegamos a obtener las expresionescorrespondientes a las tensiones normales mxima y mnimas. Para ello nosapoyamos en la construccin grfica de la figura, de donde resulta muy simpleobtener los valores de cos 2 y sen 2.Fig. 4.733Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(4.12)Si calculamos el valor de para (4.13)Podemos ver que las tensiones mximas y mnimas, no slo se producensimultneamente en planos ortogonales, sino que al mismo tiempo en dichosplanos las tensiones tangenciales son nulas. Las tensiones mximas y mnimas sedenominan tensiones principales y los ejes perpendiculares a los planos dondeactan, ejes principales.A continuacin vamos a tratar de determinar las tensiones tangencialesmximas y mnimas.(4.14)Los planos donde se producen las tensiones principales difieren 45 deaquellos donde las tensiones tangenciales son mximas y mnimas.(4.15)Calculemos el valor de para 34Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(4.16)Esta ltima expresin resulta ser la ecuacin de una circunferencia concentro sobre un eje asociado a las tensiones normales , y de abscisa (x + y)/2.El radio de la circunferencia es:(4.17)La propiedad fundamental de esta circunferencia es que cada punto de ellaest asociado a un par de valores (, ) correspondiente a un plano.Desde el punto de vista prctico el trazado de la circunferencia es muysimple:- Ubicamos los puntos A y B de coordenadas:A (x, xy)B (y, yx)- La circunferencia con centro en C, pasante por A y B define el llamadoCirculo de Mohr, cuyo radio coincide con el indicado en la ecuacin anterior35Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 4.8(4.18)(4.19)(4.20)Si por los puntos A y B trazamos dos rectas paralelas a los planos deactuacin de las tensiones que definen los puntos, dichas rectas se cortan en elpunto P, el cual presenta propiedades muy importantes. Este punto P sedenomina punto principal de Mohr.Si por el punto principal de Mohr trazamos una recta paralela al planorespecto del cual deseamos evaluar las tensiones actuantes, la misma corta a lacircunferencia en el punto M.36Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 4.9A continuacin vamos a demostrar que las coordenadas de ese punto(OT;MT) se corresponden con los valores de y .El crculo de Mohr no slo resulta prctico para determinar las tensionespresentes en un plano cualquiera, sino que a partir del mismo pueden obtenerselas tensiones principales y sus planos principales, o las tensiones tangencialesmxima y mnima. En el crculo de la figura hemos representado las tensionesrecientemente mencionadas y sus correspondientes planos de actuacin. En el37Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotrizmismo tambin puede verse que en correspondencia con las tensiones principalesexisten tangenciales nulas.Fig. 4.10A travs del crculo de Mohr podemos analizar algunos casos particularesque nos interesan.a) Corte puroFig. 4.11En este estado vemos que existe un elemento girado a 45 con respecto alsolicitado por corte puro, tal que sus caras estn sometidas a tensiones normalesde traccin y compresin, iguales en valor absoluto y numricamente iguales a latensin tangencial.38Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotrizb) Traccin simpleFig. 4.124.4 Trazado del crculo de Mohr en el estado tripleAs como es posible determinar las tensiones principales en un estadodoble, stas tambin pueden calcularse en un estado triple. Si suponemos queestas tensiones son conocidas, es posible demostrar que el par de tensiones (, )correspondiente a un plano inclinado cualquiera se corresponde con lascoordenadas de cierto punto ubicado dentro del rea rayada indicada en lafigura, encerrada por los crculos, definidos, en este caso por las tres tensionesprincipales.Fig. 4.1339Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizUn hecho importante a destacar es el que se observa en el circulo, tenemosun estado triple donde 3=0, y puede verse que la tensin tangencial mximaresulta mayor que la que correspondera al estado plano correlacionado con lastensiones principales 1 y 2 exclusivamente.Fig. 4.1440Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz5 TORSIN5.1 INTRODUCCIONPodemos decir que un cuerpo est sujeto en una seccin a torsin simple,cuando la reduccin de las fuerzas actuantes sobre ste, a un lado de la seccin,da como resultado una cupla que queda contenida en el plano de la misma.El problema de torsin simple se presenta muy pocas veces, ya que engeneral aparece la torsin combinada con flexin y corte. Sin embargo, lo queestudiaremos es totalmente general, dado que aplicando el principio desuperposicin de efectos, a partir del problema de torsin simple puede llegarsea otros casos de torsin compuesta.5.2 SECCION CIRCULARPara esta seccin es valida la hiptesis de Coulomb, la cual se verificaexperimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas comohuecas. La hiptesis referida establece que las secciones normales al eje de lapieza permanecen planas y paralelas a s misma luego de la deformacin portorsin. Adems, luego de la deformacin, las secciones mantienen su forma(estamos dentro del perodo elstico).Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienenrotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continansiendo rectas y los ngulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatricesrectilneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hlices.A partir de las consideraciones anteriores, que estn relacionadas con lacompatibilidad de las deformaciones, deseamos saber qu tipo de tensionesgenera la torsin simple y cual es su distribucin. Supongamos en primerainstancia que aparecen tensiones normales . Su distribucin no podra seruniforme ya que de ser as existira una resultante normal a la seccin. Aldistribuirse entonces en forma variable, segn la Ley de Hooke, lasdeformaciones especificas variaran tambin punto a punto, y la seccin nocontinuara siendo normal al eje, no siendo vlida la hiptesis de Coulomb, queindica que la seccin se mantiene plana.En virtud de lo anterior slo resta considerar que en el problema de torsinaparecen nicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensionesconstituyan un sistema estticamente equivalente al momento torsor Mt debeocurrir que:41Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizZXd = 0d = 0ZY(6.1) (ZXy + ZY x )d = MtResulta evidente que si tomamosun elemento diferencial en coincidenciacon el borde de la seccin, la tensintangencial deber ser tangente a lacircunferencia, ya que de no ser asexistir una componente de radial, laque, por Cauchy, originara una tensintangencial aplicada sobre una generatrizdel cilindro.Fig. 5.1Esto que ocurre en el borde puede admitirse que tambin acontece enel interior, con lo que las tensiones tangenciales beberan ser normales al radio.De lo visto podemos obtener algunas conclusiones-Slo existen tensiones tangenciales.-Su distribucin a lo largo de un dimetro es altimtrica.-Su direccin es normal al radio.A continuacin trataremos de establecer la ley de distribucin de lastensiones. Para ello consideramos que aislamos de una barra torsionada unatajada de longitud unitaria. El ngulo que giran ambas secciones ser , y comola separacin entre las secciones es la unidad, a este ngulo la denominaremosngulo especfico de torsin.42Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(6.2)El ngulo resulta ser el ngulo dedistorsin de la seccin. Debemostener presente que si el ngulo espequeo entonces los arcos seconfunden con las tangentes, lo quepermite establecer tg .De acuerdo a la ley de Hooke:(6.3)Se puede apreciar que las tensionestangenciales varan linealmente conel radio, alcanzando su valormximo en el borde de la seccin:Fig. 5.2(6.4)(6.5)Fig. 5.3El ngulo de torsin especfico resulta directamente proporcional almomento torsor e inversamente proporcional al producto G. Ip que recibe elnombre de Rigidez a la torsin y que mide la resistencia a dejarse retorcer.Para el dimensionamiento debemos tener acotado el valor de la tensintangencial mxima.43Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz5.3 Seccin AnularSi analizamos un elemento diferencial del interior de una barra circulartorsionada encontraremos un estado de corte puro. Como ya hemos visto, paraeste caso las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signocontrario e iguales al valor de las tensiones tangenciales. Adems actan a 45con respecto a los planos de las secciones, formando superficies helicoidales.(6.6)Vamos a comparar la eficiencia de una seccin anular para absorber torsincon relacin a una seccin maciza de igual resistencia.Fig. 5.4(6.7)D: dimetro de la seccin maciza igualmente resistente a la hueca.44Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(6.8)Puede verse que, 1 , lo que significa que la seccin hueca es msconveniente que la seccin llena ya que siempre se requiere menor rea pararesistir el mismo esfuerzo. No debemos confundir rea con dimetro, ya que paraigual resistencia el dimetro de la seccin maciza ser menor que el exterior dela hueca. Lo que importa es que an con menor dimetro, la seccin maciza essiempre ms pesada y por ende ms cara.Lo que concluimos recientemente se debe a que las tensiones desarrolladasen la parte central de la seccin maciza son muy pequeas y no tienen un aportemuy significativo, por lo que para resistir a la torsin las secciones msconvenientes son las huecas. En efecto, si consider una seccin anular tal queD2 = 2 D1, o sea = 0.50, obtendremos = 1.28. Vemos entonces que la seccinmaciza igualmente resistente es un 28% ms pesada que la anular.5.4 SECCIN TUBULAR CERRADA DE PEQUEO ESPESORConsideremos una seccin tubular de forma arbitraria pero de paredes muydelgadas con relacin a la menor dimensin de la misma, sometida a torsin.Admitamos tambin que el espesor e del tubo vara en forma continua.Debido al pequeo espesor del tubo es posible suponer que las tensionestangenciales son constantes en intensidad y direccin a lo largo del espesor, yque la direccin coincide con la tangente al contorno medio de la seccin en elpunto considerado.Si en una seccin s-s tomamos un elemento diferencial de ancho e ylongitud ds, sobre el mismo actuar una fuerza elemental dT.Fig. 5.545Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica Automotriz(6.9)Si elegimos un punto cualquiera del plano de la seccin y llamamos r a ladistancia al mismo de la fuerza dT tendremos:(6.10)Si separamos del tubo una tajada de longitud unitaria y luego aislamos unaporcin seccionando al eje del tubo, tendremos que segn la ley de Cauchyaparecen tensiones verticales que dan dos resultantes T1 y T2, las cuales debernser de igual intensidad por razones de equilibrio.Dado que las secciones 1 y 2 son arbitrarias, de lo anterior podemosestablecer: e = cte(6.11)Frmula de Bredt: rea que encierra la lnea media de la seccinPuede verse que en este tipo de seccin la tensin tangencial esinversamente proporcional al espesor de la misma, lo que significa que la tensintangencial mxima ocurre en el lugar donde el espesor es mnimo.Si deseamos conocer el ngulo especifico de torsin, podemos calcularlo atravs de consideraciones energticas.Text = USi tomamos una porcin del tubo de longitud unitaria, el giro relativoentre las dos secciones extremas ser igual al ngulo especfico de torsin.(6.12)5.5 SECCIN RECTANGULAREn barras de seccin no circular, durante la torsin las secciones nopermanecen planas, sino que se curvan (alabean).Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales noaparecen tensiones normales. Esta torsin se denomina torsin pura o libre.46Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizExponemos a continuacin los resultados fundamentales para barras deseccin rectangular cuando a > b.Si la teora desarrollada por Coulomb para la torsin circular fuera vlidapara la rectangular, en un punto como el A de la figura 5.10 debera existir unatensin tangencial A perpendicular al radio vector rA, lo que dara componenteszx y xy no nulas, apareciendo tensiones xz y yz exteriores que contradicen lahiptesis de torsin simple. La hiptesis de Coulomb no es entonces aplicable ala seccin rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular.Fig. 5.6La solucin exacta del problema, atribuida a Saint Venant, comomencionamos antes, pertenece al dominio de la Teora de la Elasticidad. En lafigura siguiente se indica la ley de variacin de las tensiones tangenciales,pudiendo apreciarse que la tensin tangencial mxima tiene lugar en el centrodel lado mayor.47Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 5.7Las tensiones tangenciales mximas y el ngulo especfico de torsinpueden calcularse mediante las frmulas siguientes. Los coeficientes , y ,que son funciones de la relacin de lados a/b, pueden obtenerse de la tabladetallada a continuacin.11.51.75 22.53468100.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.3330.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.3331.000.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742a/b(6.13)(6.14)(6.15)5.6 SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADAPara encontrar la solucin a este problema se aplica un mtodo denominadode la Analoga de la Membrana, el cual no lo desarrollaremos en este curso.Para este tipo de secciones se puede suponer una distribucin lineal detensiones a travs del espesor. Adems, la teora mencionada muestra que lastensiones varan muy poco si suponen enderezados los perfiles de modo detransformarse en rectngulos muy alargados.48Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizFig. 5.8Para rectngulos muy alargados resulta:(6.16)(6.17)Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto derectngulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor Mt.Como estos rectngulos forman parte de una nica pieza, todos tendrn el mismogiro especfico de torsin.Si llamamos:Entonces:Donde Mti corresponde al momento torsor que absorbe un rectngulo icualquiera que constituye la seccin.(6.18)49Resistencia de los MaterialesTcnico Universitario en Mecnica AutomotrizEn el caso de perfiles laminados, el momento de inercia torsional resultamayor que el calculado mediante la expresin anterior. Esto se debe a que loscontornos redondeados incrementan la rigidez de la seccin.Los perfiles abiertos no tienen una buena capacidad para resistir torsin.Vamos a tratar de evidenciar esto comparando las rigideces de dos seccioneshuecas, una cortada y otra entera.(6.19)Fig. 5.9De este ejemplo puede verse que una seccin hueca es mucho ms rgidaque una seccin abierta. Por esto se debe evitar que las barras de seccinabierta trabajen a torsin.50