Apunte Resistencia de Materiales Parte II

Resistencia de los Materiales Técnico Universitario en Mecánica Automotriz

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6. Diagramas de corte y momento

6.1 Definiciones En muchas estructuras, como puentes, chasises, ejes, etc. hay componentes que realizan primero la función de transmitir las fuerzas transversales (cortante) y los momentos transversales (flexión). Tales miembros, si son de sección transversal relativamente angosta, reciben comúnmente el nombre de “Vigas”. Esta característica las diferencia de las barras que solo soportan tracción/compresión. Para analizar el comportamiento de vigas, es recomendable partir por analizar la flexión pura, en la figura 6.1 se muestran múltiples ejemplos, siendo las (d) y (e) diagramas corte y momento, que serán desarrollados hacia el final del capítulo. Bajo el prisma de la transmisión de fuerzas, los diagramas de corte y momento representan los esquemas de fuerza resultante transversal y del momento flexionante transmqitidos en cualquier sección transversal a lo largo de esa viga. Tal como se vió en la asignatura de “Mecánica general”, se tiene que en el espacio, existen 6 grados de libertad, 3 para traslación y 3 para rotacion. Ahora bien, para el caso de una viga y, aprovechando el principio de Saint-Venant, se puede representar el sistema de fuerzas actuantes como una resultante, consistente en 2 fuerzas y un momento. En la figura 6.2 (c) la condición de carga en la sección z, está representada por 3 fuerzas resultantes: una carga axial “A” que tenderá a comprimir/traccionar la viga, una fuerza transversal “V” que tenderá a cortar la viga y un momento resultante “M” que tenderá a flectar la viga. Para sistemas más complejos, se considerará un diagrama de corte y momento en distintos planos, lo que permite analizar en el plano y fenómeno que se produce en el espacio.


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Fig. 6.1 Ejemplos de flexión pura.

Fig. 6.2 Viga con cargas centradas


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En la fig. 6.2 (d) se muestran las fuerzas y momentos de reacción. Considerando la 3º ley de Newton, estas deben ser iguales y opuestas a las resultantes que se muestran en el diagrama 6.2 (c). Cuando una estructura, componente o elemento se encuentra en equilibrio estático, cualquier componente aislado de ésta (en nuestro caso inmediato, un “corte” de la viga) este también deberá permanecer en equilibrio bajo el influjo de todas las fuerzas y momentos externos que actúan sobre ella. La fig. 6.2 (d) muestra el “DCL” (Diagrama de Cuerpo Libre) para el cual, deben de satisfacerse las leyes del equilibrio estático. Para la vista en 2D de la figura 6.2, se requieren solo 3 ecuaciones de equilibrio, a saber:

∑ 0 ∑ 0 ∑ 0 La figura 6.3 muestra una viga bajo la solicitación de varias clases de cargas. Los apoyos son fijo y simple todas las fuerzas involucradas se encuentran en el diagrama de cuerpo libre de cuerpo libre de la figura 6.3 (b). por su parte

Fig. 6.3 Viga con múltiples solicitaciones y su correspondiente DCL Para el cálculo del corte y del momento flector, EN CUALQUIER PUNTO, por medio de la generación de sus respectivos diagramas, se requiere adoptar convenciones para los signos y los sentidos en que supondremos las cargas internas a lo largo de la viga. Estas convenciones que se usan comúnmente se muestran en la figura 6.4.

Fig. 6.4 Estados positivos para corte y flexión, según convención

6.2 Relaciones entre carga, cortante y momento flexionante Según la fig. 6.6, en la cual se muestra una porción angosta de viga con una carga distribuida. La carga total en la sección “s” se encuentra determinada por el valor de la fuerza lineal “q” que es función de la distancia s, medida desde el origen de nuestro sistema de referencia, hasta un incremento de distancia Δs, a su derecha, la carga entonces, será q+Δq. A través de la distancia Δs, la carga se muestra variando linealmente. El incremento de la fuerza cortante será:


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∆ ∆12 ∆ ∆

Donde la proporción del cambio de la fuerza cortante será:

∆∆

12 ∆

Haciendo el límite cuando Δs y Δq tienden a cero obtenemos que.

(6.1)

Fig. 6.5 Convenciones estructurales para

fuerza cortante y momento flector positivos en una viga curva cualquiera

Fig. 6.6 relaciones incrementales entre carga fuerza de corte y momento flector, para un

elemento infinitesimal de la viga. Análogamente para el caso del momento, tenemos que el incremento del momento estará dado por:

∆ ∆ ∆ 12 ∆ 1

2 ∆ ∆ 16 ∆

Factorizando por Δs, obtenemos:

∆∆

12 ∆

16 ∆ ∆

Haciendo nuevamente el límite tendiendo a cero, obtenemos la relación entre el corte y el momento flector en una sección determinada, a saber:

(6.2) Las ecuaciones (6.1) y (6.2) tienen gran importancia, ya que representan completamente la relación entre la carga distribuida, cortante y flexionante. Estas relaciones también son válidas para fuerzas


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concentradas, y para momentos y distribuciones de carga distribuidas, pero su demostración escapa a los objetivos del curso. Corolario:

• La solución buscada en este tipo de problemas, no es un valor determinado, sino encontrar una función que nos entregue el valor de la solicitación buscada en cualquier lugar de la viga analizada.

• La tasa de cambio de la fuerza cortante en un punto es igual al valor de la carga distribuida en ese punto.

• La tasa de cambio del momento flector en un punto de la viga es igual al valor de la fuerza de corte en ese punto.

• Del cálculo, sabemos que una función tendrá un “punto crítico” que puede ser un valor de máximo o mínimo y que saldrá de igualar la primera derivada a cero, para el caso del momento, este punto crítico saldrá de hacer q(s)=0.

• NOTA: Cuando se habla de punto de la viga, se considera que se habla de un punto ubicado a lo largo del eje de la viga. En capítulos posteriores se discutirá sobre las solicitaciones internas que se producen dentro de una sección y su análisis.

6.3 Construcción del diagrama de corte y momento En primer lugar, obtenga el DCL de la viga, considerando todas sus solicitaciones externas y obtenga los valores de las reacciones mediante las ecuaciones de equilibrio, note que el problema debe ser ISOSTÁTICO, de otra forma deberá buscar algún método de resolución para determinar las reacciones del sistema. Acto seguido, estas reacciones se consideran como fuerzas externas sobre el sistema considerando la dirección correcta en la que se encuentran aplicadas, ya que debieron suponerse para resolver las ecuaciones de equilibrio. Como ya sabemos, lo que se busca en este análisis no es un valor determinado, sino encontrar la ECUACIÓN que entregue en cada punto de la viga, los valores de fuerza de corte, momento flector y fuerza axial si la hubiera. En este punto debemos de realizar los “cortes” ya que las cargas buscadas de corte y momento ocurren al interior de la viga, debe realizarse un corte en ésta. Como sabemos si un sistema se encuentra en equilibrio, entonces, sus componentes también lo estarán, así es que si consideramos solo la porción de viga en la dirección considerada, con las cargas que estén contenidas dentro de la porción, deberá permanecer en equilibrio estático. Otro punto importante es que si escogimos la dirección de “izquierda a derecha” en una viga, entonces, el resultado deberá ser el mismo para las fuerzas buscadas (Corte y momento) que si hubiéramos seguido el camino inverso, es decir, de derecha a izquierda.


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Ejemplo: Para la viga de la figura adjunta, se tiene una carga distribuida q= -10 lb/in. Se solicita obtener los diagramas de corte y momento.

Primeramente debemos obtener las reacciones de la viga, al ser el apoyo de la izquierda un apoyo fijo, tenemos una reacción vertical y otra horizontal, mientras que el apoyo izquierdo, es un apoyo fijo, por lo que solo tiene una reacción vertical. Obteniendo la carga equivalente para la carga para la distribución uniforme, tenemos que esta es 10x180 lb, la cual se encuentra ubicada en el centro de la carga distribuida, vale decir con z=90 in, o a 70 in a la derecha del descanso A. Luego, haciendo la sumatoria de momentos respecto al descanso A, obtenemos que:

1800x70 – 120 RB = 0 Luego, RB = 1050 lb (hacia arriba)

De la misma forma, haciendo ΣMB = 0:

-1800x20 + 120 RA =0 Luego, RA =750 lb (hacia arriba)

Corte I: válido para 0 < z < 20 in

Luego, para determinar el valor de la V(z) y M(z) resolvemos el DCL de la sección mostrada de la porción variable de la figura, para ello, debemos obtener el valor equivalente de la carga distribuida solo en la porción variable considerada en la figura, para ello tenemos que el área bajo la carga distribuida será q·z. Al no tener más fuerzas actuando en esta sección, tenemos que V(z) = -qz


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Luego, para el momento, tenemos que la única carga aplicada en esta porción de barra es la porción de carga distribuida, obtenida anteriormente, ubicada en el punto medio de esta porción de viga, o sea en z/2. Con esto obtenemos que: ΣMI=0 10 · · Luego M(z) = 5z2 Con esto se prueba la relación que la derivada de M(z) corresponde a V(z) Corte II: válido para 20 < z < 140 in

En esta porción de viga, tenemos además de una parte más extensa de la carga distribuida la reacción la reacción A, luego, resolviendo el DCL obtenemos las expresiones de V(z) y M(z), a saber:

ΣFY=0 V(z) = 750 – 10z

ΣMII= 0 M(z) =750 (z-20) - 5z2 Corte III: válido para 140 < z < 180 in De acuerdo al DCL mostrado en la figura adjunta, resolvemos la condición de equilibrio:

ΣFY=0 V(z) = 750 +1050 – 10z = 1800 – 10z

ΣMIII= 0 M(z) =750 (z-20) + 1050 (z-140) - 5z2


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Finalmente, podemos construir las funciones definidas por tramos a través de los cortes I al III que consideran los cambios en las condiciones de carga a lo largo de toda la viga y con ellos podemos construir los diagramas de fuerza cortante y momento flector, según lo muestra la figura adjunta:

Notas:

• El diagrama de momento es continuo a lo largo de su rango de validez. • Las cargas puntuales aparecen claramente en el diagrama de corte, representando las

discontinuidades de esta función.


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6.3.1 Ejercicios Para las siguientes configuraciones de viga, se solicita determinar los diagramas de fuerza de corte y momento, en el caso de tener valores numéricos, considere las cargas en toneladas y las distancias en metros:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)


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7 FLEXIÓN Aunque los momentos que provocan la flexión son, por lo general, el resultado de la transmisión de fuerzas transversales (corte), la teoria de flexión se desarrolla de forma más simple para el análisis, considerar la existencia de flexión pura. Esta condición de carga, puede obtenerse en una prueba en la que la porción central de un elemento se encuentre solicitada bajo flexión pura (fig.7.1 y 7.2). Pero no podemos perder de vista que en las cercanías del lugar donde se aplica la carga, existe una compleja distribución de esfuerzos.

Fig. 7.1 Fig. 7.2

7.1 Modelo de flexión El modelo que utilizaremos para analizar la flexión es una viga recta y con sección transversal constante. Como se estableció en las hipótesis al principio del curso, el material es Isotrópico y homogéneo. La sección transversal es simétrica con respecto a una línea central contenida en el plano de flexión (más adelante veremos qué pasa cuando esto no ocurre). Analizando la figura 7.3 tenemos un estado puro de flexion, combando la viga con una curvatura conocida (1/R) como se aprecia tenemos que el eje de la viga – originalmente recto- se ha transformado en un arco de radio R. La curvatura de una línea se define como: (7.1)

1

Donde R= radio de curvatura. d = cambio infinitesimal del ángulo formado por la tangente sobre la longitud. ds = longitud infinitesimal a lo largo de la línea curva.


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Para reducir el número de símbolos de derivadas, sustituiremos ds por una pequeña longitud finita L0 que representa la distancia entre dos planos paralelos que pasan a través de la viga, inicialmente recta. Estos planos son normales respecto al eje z. Considerando que “Las secciones transversales inicialmente plantas, permanecen planas” tenemos que la figura 7.3c, esta consideración nos permite dibujar la línea B’B’ como una línea recta. Se ha girado con un ángulo d (Con respecto a la posición original BB) alrededor de algún eje que cae en la sección transversal. Este eje recibe el nombre de “eje neutro” (EN) que es un eje que aún cuando tenga un radio de curvatura tiene cero deformación. Esto queda más claro en la fig. 7.3d donde se ve la distribución de esfuerzos al interior de la sección analizada, partiendo de la lógica que “No habiendo esfuerzos, no se puede tener deformaciones”. La ubicación de este eje neutro, se definirá más adelante. El plano x-z que contiene a los ejes neutros de secciones transversales adyacentes se llama “plano neutro”. El cual, a su vez, será el plano con deformación cero. Tal como se aprecia en la fig. 7.3c se considera una “fibra” de longitud original Li sufre un cambio en su longitud. Este aumento de longitud δi de una fibra situada a una distancia yi del eje neutro puede hallarse sustituyendo en la ecuación de los valores de d para el pequeño triángulo sombreado (BDB’) y el triángulo COD:

De donde La deformación normal de la fibra en yi, se define como δi/Li.

Para una viga que es inicialmente recta, tendremos que todas las fibras Li tienen la misma longitud original L0 y L0/Li es unitario y adimensional. Luego, tenemos que la deformación normal (ingenieril) para la flexión pura está dada por:


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(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 7.3 Flexión pura para una viga recta, cuya sección transversal es simétrica


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El esfuerzo normal en un punto que se encuentra ubicado a una distancia “y” del plano neutro se puede determinar por la relación entre esfuerzo y deformación. Para una viga esbelta (vale decir, una relación entre largo y ancho, relativamente alta), se tiene que EN EL RANGO ELÁSTICO, el esfuerzo se encuentra dado por:

La fuerza axial total se determinará multiplicando cada elemento de área “dA” por el esfuerzo normal que actúa sobre dicha área dA, para dar el valor de la carga que lo provoca dP, luego, integrando dP sobre toda el área de la sección transversal tendremos que:

La segunda integral no es otra cosa que el momento inercia de área de lEscriba aquí la ecuación.a sección transversal. Luego se requiere que una fuerza axial P para poder combar la viga a través del eje neutro. Pero para tener la condición de flexión pura, debe cumplirse que P=0, por lo que el eje neutro de la sección debe pasar por el controide de la sección transversal, para la flexión pura, en el rango elástico. Luego para encontrar el momento resultante M de la distribución interna de esfuerzo, se debe multiplicar cada fuerza elemental dP por su distancia al eje neutro, para obtener dM, luego, la integración sobre toda la sección transversal resulta: Esta última integran se conoce como “momento de inercia” (o segundo momento de área) de la sección transversal (con respecto al eje x en este caso), vale decir

Reemplazando la expresión del momento de inercia en la del momento resultante, obtenemos:

Este sería el momento que se requiere para producir la curvatura (1/R) cuando los esfuerzos cuando estos pertenecen al rango elástico. La ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente forma:

De donde dΦ/ds= 1/R y la cantidad EI representa la resistencia elástica de una viga en contra de la curvatura. Esta ecuación es la base para la teoría de desplazamiento por flexión elástica en vigas. Finalmente, el esfuerzo normal en cualquier punto sobre la sección transversal se encuentra al sustituir el valor anterior de 1/R en la ecuación siguiente:


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Lo que nos entrega como resultado, la expresión del esfuerzo flector sobre una viga, que es de la forma:

Esta es la expresión general de la ecuación utilizada para calcular esfuerzos (que al tratarse de flexión pura se dice generalmente “esfuerzo flector o esfuerzo de flexión) en una viga de sección transversal simétrica sujeta a un momento de flexión pura, cuando los esfuerzos permanecen en el rango elástico (lo que implica una distribución lineal de esfuerzos) como se mostró en la figura 7.3c) Es importante hacer notar que esta expresión es independiente del valor de E. ya que el material tiene una relación lineal de esfuerzo-deformación. Por otro lado, tenemos que el valor del esfuerzo para una carga y sección dada solo podrá variar en función de la distancia a la línea neutra en el eje considerado, por lo que los valores máximos se alcanzarán en “las fibras” extremas de la sección.

Cálculo de la posición del eje neutro Como se dijo anteriormente este eje es a través del cual no se producen esfuerzos y, por ende, no tendrá deformación. Para secciones simples, como círculos, cuadrados y otros, la ubicación del eje neutro siempre estará centrada de acuerdo a los ejes coordenados, el problema surge para analizar secciones complejas o compuestas en las que el procedimiento no es otro que descomponer la sección compleja en un conjunto de secciones simples, obteniéndose la siguiente expresión para el cálculo:

· ·

De donde, AT: área total de la sección considerada. y: Posición del eje neutro, que es lo que se busca despejar. Ai: área de la i-ésima sección simple que conforman la sección compleja yi: distancia existente entre un punto de referencia y el centro de la i-ésima sección simple que compone a la sección compleja.


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Nota: es importante hacer notar que todas las distancias deben de ser medidas desde un punto de referencia único para todas las secciones componente y para la ubicación del eje neutro con respecto a esta referencia.

Cálculo del momento de inercia de una sección Es muy importante establecer que en cuerpo puede flectarse con respecto a cualquiera de sus ejes coordenados, es por eso que no se debe perder de vista que tendremos distintas posiciones tanto de ejes neutros como valores de momentos de inercia. En función del eje en torno al cual se desea flectar la viga, se debe tener en cuenta que, al igual que el caso anterior, existen dos formas de obtener el momento de inercia, si no deseamos realizar en cada oportunidad la integración de un elemento de área, entonces debemos considerar secciones simples o grupos de secciones simples que conformen una sección compleja, cuya solución sea ya conocida. Para el caso de secciones circulares masisas, tenemos simetría en los ejes, por lo que será indistinto el eje con respecto al cual tenemos la deformación, esta sería de la siguiente forma:

64 Donde D: Diámetro de de la sección considerada Para el caso de un cilindro hueco, lógicamente lo que debemos realizar es la sustracción del área que no existe, lo que en la expresión del momento de inercia será:

64 Donde claramente tendremos la diferencia entre diámetros externos e internos. Para una sección rectangular, tenemos que a diferencia de una sección circular que es simétrica, no será lo mismo en torno a que eje se realizará la flexión, por lo que esta es mucho más lógica presentarla de la siguiente forma:

·12

Luego en función del eje que se quiera flectar, siempre se entenderá que esto ocurrirá siempre de forma que sea la altura quien resista principalmente el esfuerzo flector. Esto se verá explicado con un ejemplo más adelante:


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Teorema de Steiner Este teorema se utiliza para determinar el momento de inercia resultante de una sección compleja, en la cual coexisten varias secciones simples. Este teorema también es conocido como de “Ejes paralelos” ya que una vez situada la línea neutra, la distancia buscada para trasladar el momento de inercia desde el centro de la sección simple hasta el eje neutro de la sección completa no hasta el punto en donde se encuentra ubicado el eje neutro. Luego, la expresión que determina el momento de inercia de una sección simple con respecto al eje neutro será:

Donde, Ip= Momento de inercia de una sección simple con respecto al punto “p” buscado I0= Momento de inercia de la sección con respecto a SU CENTRO GEOMÉTRICO. A= Área de la sección simple considerada. d= Distancia paralela, medida desde el centro de la sección simple, hasta a ubicación del eje neutro Ejemplo: La sección de viga “T” de la figura está solicitada por un momento M= 8(Kips•ft), se solicita determinar: • La ubicación del eje neutro. • El momento de inercia de la sección respecto de su eje neutro. • Es esfuerzo máximo en tensión y compresión para la sección.


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Resolución Problema: a) Ubicación del eje neutro La expresión para determinar el eje neutro es la siguiente:

∑∑ ⋅

=−

i

ii

AyA

y

Como se aprecia en la figura, es claro que las áreas de los dos rectángulos componentes de la sección son iguales y valen 5 (in2). Luego el área total será de 10 (in2) Luego, los valores de yi son los siguientes: Considerando el eje de referencia en el punto inferior de la viga, tenemos que para la sección superior es de 5,5 (in) y para el rectángulo inferior un valor de 2,5 (in). Con estos valores, reemplazamos y obtenemos:

(in) 10

5,255,55 ⋅+⋅=

−

y = 4 (in)

b) Momento de inercia con respecto al centro de gravedad de la sección Sabemos que, para una sección rectangular, el momento de inercia tiene la siguiente expresión:

3

121 bhI =

Esta expresión nos entrega el valor del momento de inercia con respecto al centro del rectángulo calculado, por lo que se debe trasladar según el teorema de Steiner al punto calculado en el punto anterior. Luego, para la sección superior: b=5 (in) y h= 1 (in)

)(12515

121 43

1 inIG =⋅=

Trasladando este momento hasta el centro de la sección tenemos que la distancia es de 5,5 – 4 (in) = 1,5 (in) Para el rectángulo inferior, tenemos que b = 1 (in) y que h = 5 (in) la expresión del momento de inercia es:

( )432 12

12551121 inIG =⋅= , este momento debe trasladarse en 4 - 2,5 = 1,5 (in)

Finalmente la expresión del momento de la sección con respecto al centro es la siguiente:

( )4222 in 33,3 5,15121255,15

125

=⋅++⋅+=⋅+= ∑∑ iiGG yAII


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c) Momentos máximos en tensión y compresión Como sabemos la expresión del momento flector es la siguiente:

IyM ⋅

=σ , donde I fue calculado en el punto anterior e y corresponde a la distancia entre la línea

neutra (calculada en el punto a) y el punto más alejado de la sección. Esfuerzo en compresión (superior): Entonces y = 2 (in)

(ksi) 77,5(ft) 1(in) 12

)(in 3,33)(2)(8000

4 =⋅⋅⋅

−=inftlb

Cσ

Esfuerzo en tracción (inferior): y = 4 (in)

(ksi) 53,113,33

12480002 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⋅

=inlb

Cσ

Limitaciones del método El método presentado tiene las siguientes limitaciones, a saber: El método usado solo fue considerando una sección simétrica, por lo que nos aseguraba que los ejes neutros coincidirían con nuestros ejes de referencia, luego, al no tener una sección simétrica, estos ejes aparecerían “rotados” lo que nos exige un proceso más complejo que la mera traslación utilizando Steiner, como sigue: Mientras tenemos que el supuesto para deformación pura de una sección simétrica parte de la

condición de una curva conocida de de la forma dsdφ

=R1 , por su parte, cuando la sección no es

simétrica, tenemos que considerar a la deformación supuesta, producto de la flexión pura, como sigue: luego, para resolver este problema, aparecerán los “productos de inercia” Ixy, Iyz e Ixz.

Finalmente la expresión del esfuerzo flector queda de la siguiente forma:


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Ejercicios propuestos: 1. Se solicita determinar el valor máximo en tracción y compresión para el esfuerzo flector que es producido por un momento Mf = 100 (lf in). Considere que este momento se aplica en una primera instancia para flectar la viga con respecto al eje “x” propuesto y posteriormente con respecto al eje “y”.

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