APUNTE SEGUNDA UNIDAD DE METODOS NUMERICOS.docx

7/25/2019 APUNTE SEGUNDA UNIDAD DE METODOS NUMERICOS.docx

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METODO GRAFICO:

Un mtodo simple para obtener una aproximacin de la ra!" de la ecuacin #$x%&'consiste en (ra#icar la #uncin ) obser*ar donde cru"a el e+e x, Este punto- .uerepresenta el *alor de x para el cual #$x%&'- o#rece una aproximacin inicial de ara!",

/as tcnicas (ra#icas tienen un *alor pr0ctico limitado- )a .ue no son precisas, 1inembar(o- los mtodos (r0#icos se utili"an para obtener aproximaciones de la ra!",Dic2as aproximaciones se pueden usar como *alores iniciales en los mtodosnumricos,

/as interpretaciones (r0#icas- adem0s de proporcionar estimaciones de la ra!"-son 2erramientas importantes en la comprensin de las propiedades de las#unciones ) en la pre*encin de las #allas de los mtodos numricos,

Emplense (r0#icas para obtener una ra!" aproximada de la #uncin # $x% & e3x3 x,

1olucin: 1e calculan los si(uientes *alores,

x # $x% # $x%

',' 4,'' 4,''

',5 ',647

',8 ',59'

',6 3 ','4

',; 3 ',


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3 4,''

/a cur*a cru"a entre ', ) ',6- la (r0#ica proporciona una aproximacin de ',9 .ue se

acerca a la ra!" exacta de ',6948


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'

3' 3

34'' 3 4'

= & ex> x

? & ' ) & e'> ' & 4

= & ' xex> x & '

' & ex> x

ex& x

ln ex& ln x

x in e & in x

x & in x

ln* in $x7 & ln* in $in x%- por lo tanto no se puede despe+ar a x,


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METODO1 DE I@TERO/ACIB@,

interpolacin consiste en encontrar el *alor de la #uncin F$x%- de la cual slo se

conocen al(unos puntos- para un *alor de x .ue se encuentre entre dos *aloresconsecuti*os conocidos, En pocas palabras podriamos decir .ue:

/a interpolacin consiste en 2allar un dato dentro de un inter*alo en el .ueconocemos los *alores en los extremos,

/a interpolacin lineal es un caso particular de la Interpolacin (eneral de @eton,

Con el polinomio de interpolacin de @eton se lo(ra aproximar un *alor dela #uncin #$x% en un *alor desconocido de x, El caso particular- para .ue unainterpolacin sea lineal es en el .ue se utili"a un polinomio de interpolacin de

(rado 4,la interpolacin lineal consiste en 2allar una estimacin del *alor )- para un *alor xtal .ue x'xx4,

E+emplo,

I@TERO/ACIO@ /I@EA/,

/a #orma mas simple de interpolacin consiste en unir dos puntos con una l!nearecta,

Dic2a tcnica- es llamada interpolacin lineal,Formula:

f1 (x )f(x0)

xx0=

f(x1 )f(x0)x1x0

Reorden0ndose

f1 $x% $ x0 % f(x1)f(x0)

x1x0$ xx0 %

/a notacion f1 $x% desi(na .ue este es un polinomio de interpolacion de primer

(rado,


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/A@TEAMIE@TO DE/ RO/EMA:

Estime el lo(aritmo natural de 5 mediante interpolacin lineal,rimero- realice el calculo por interpolacin entre ln 4&' ) ln 6&4,97497,

Despus- repita el procedimiento- pero use un inter*alo menor de ln 4 a ln8$4,


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bo=f(x0 )

b1=f(x1 )f(x0)

x1x 0

b2=

f(x2 )f(x 1)x 2x1

f(x1)f(x 0)x1x 0

x 2x 0

E+emplo 4, Calcular la tabla de di#erencias di*ididas #initas con los si(uientes datos

?& 38- 35-


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35 3 x0 ?

(xx0)(x1x0) -3 x1

rimero *amos a calcular la densidad a 'C ) 6'H de concentracin utili"andolos *alores de la densidad conocidos


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0 1.59

f1(x)(xx1 )(x0x1 ) >3

x0 ?

(xx0)(x1x0)

-3 x1

f1 (60%)=(6070 )(4070 ) L$4,596%

(6040)(7040) L$4,97%

f1(60%)=(10)(30) L$4,596%

(20)(30) L$4,97% & ',85 4,'5

f1 (60%) &4,899 $densidad a 'C ) 6'H de concentracin%

INTERPOLACIN DE LA GRANGE


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/a temperatura del carbonato neutro de potasio en solucin acuosa *ar!a con latemperatura ) la concentracin de acuerdo con los si(uientes datos:

Formula de interpolacin de la(ran(e:

f1 (x )= xx 1

x 0x 1f(x 0 )+

xx 0

x 1x 0f(x1)

a% Calcular la densidad a 'C ) 5;H de concentracin

C"-,-#$-%

T,&8,#$*#$

0 C 40 C 60 C :0 C 100 C

4% 4,'


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@"A@AUAB A',"B$BC@,B D':B,EUA$2

1A@ EDRO OCNUT/A- OA?ACA A DE mar"o DE/

5'4

1EME1TRE7 I GRUO:

DOCE@TE

Mario ar(as /pe"

A/UM@O

PUA@ CE1AR RUIQ E1I@O

MATERIA

METODO1 @UMERICO1

AU@TE METODO1 DE I@TERO/ACIO@

CARRERA:

I@GE@IERA E@ 1I1TEMA1 COMUTACIO@A/E1


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@"A@AUAB A',"B$BC@,B D':B,EUA$2

1A@ EDRO OCNUT/A- OA?ACA A DE mar"o DE/

5'4

1EME1TRE7 I GRUO:

DOCE@TE

Mario ar(as /pe"

A/UM@O

PUA@ CE1AR RUIQ E1I@O

MATERIA

METODO1 @UMERICO1

CARETA DE EIDE@CIA1

CARRERA:

I@GE@IERA E@ 1I1TEMA1 COMUTACIO@A/E1


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F'ABDB D' @"A':B$2,@B",on -recuencia se encontrar) con que tiene que estimarvalores intermedios entre datos defnidos por puntos. 'lmtodo m)s comGn que se usa para este propsito es lainterpolacin polinomial. ecuerde que la -rmula generalpara un polinomio de nsimo grado es.f3x = a0? a1x ? a2x&? H H H ? anxn318.1

Dados n ? 1 puntos* ;a+ uno + slo un polinomio de gradoI nque pasa a travs de todos los puntos. :or eJemplo* ;a+ slouna l!nea recta 3es decir* un polinomio de primer grado queune dos puntos 3fgura 18.1a. De manera similar* Gnicamenteuna par)bola une un conJunto de tres puntos 3fgura 18.1b.

$a interpolacin polinomial consiste en determinar elpolinomio Gnico de nsimo grado que se aJuste a n ? 1puntos. 'ste polinomio* entonces* proporciona una -rmulapara calcular valores intermedios. 2unque ;a+ uno + slo unpolinomio de nsimo grado que se aJusta a n ? 1 puntos*e7iste una gran variedad de -ormas matem)ticas en las cualespuede e7presarse este polinomio. 'n este cap!tulodescribiremos dos alternativas que son mu+ adecuadas paraimplementarse en computadora# los polinomios de "eKton +de $agrange.18.1 @"A':B$2,@L" :B$@"BF@2$ D' "'MAB" '"D@>''",@2 D@N@D@D2

>@CU2 18.1'Jemplos de interpolacin polinomial#a de primer grado 3lineal que une dos puntos.b de segundo grado 3cuadr)tica o parablica que une tres puntos.c de tercer grado 3cGbicaOue une cuatro puntos.


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I De ;ec;o se puede probar que dados n ? 1 puntos* con abscisasdistintas entre s!* e7iste uno + slo un polinomio de grado a lo m)s n quepasa por estos puntos.

,omo se diJo antes* e7iste una gran variedad de -ormasalternativas para e7presar una @nterpolacin polinomial. 'l

polinomio de interpolacin de Newton en diferencias divididases una de las -ormas m)s populares + Gtiles. 2ntes depresentar la ecuacin general* estudiaremos las versiones deprimero + segundo grados por su sencilla interpretacinvisual.

18.1.1 @nterpolacin lineal$a -orma m)s simple de interpolacin consiste en unir dospuntos con una l!nea recta. Dic;a tcnica* llamadainterpolacin lineal* se ilustra de manera gr)fca en la fgura18.&. Utili(ando tri)ngulos semeJantes*

eorden)ndose se tiene

Oue es una frmula de interpolacin lineal. $a notacin f13xdesigna que ste es un polinomio de interpolacin de primergrado. Bbserve que adem)s de representar la pendiente de lal!nea que une los puntos* el trmino Pf 3X1 Q f3X0R3X1QX0 esuna apro7imacin en di-erencia dividida fnita a la primerderivada Pecuacin 34.1/R. 'n general*>@CU2 18.&'squema gr)fco de la interpolacin lineal. $as )reassombreadas indican los tri)ngulos semeJantes usados para

obtener la -rmula de la interpolacin lineal Pecuacin 318.&R.


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cuanto menor sea el intervalo entre los datos* meJor ser) laapro7imacin. 'sto se debe al ;ec;o de que* con-orme elintervalo disminu+e* una -uncin continua estar) meJorapro7imada por una l!nea recta. 'sta caracter!stica sedemuestra en el siguiente eJemplo.'S'F:$B 18.1 @nterpolacin lineal:lanteamiento del problema. 'stime el logaritmo natural de &mediante interpolacin lineal. :rimero* realice el c)lculo porinterpolacin entre ln1 =0 + ln6 = 1./%1/5%. Despus* repitael procedimiento* pero use un intervalo menor de ln1 a ln4

31.86&%4. Bbserve que el valor verdadero de ln& es0.6%14/&.olucin. Usamos la ecuacin 318.& + una interpolacin linealpara ln3& desdeX0 =1 ;asta 1 = 6 para obtener#

Oue representa un error# et = 48.T. ,on el intervalo menordesdex0 = 1 ;astax1 = 4 se obtiene

2s!* usando el intervalo m)s corto el error relativo porcentualse reduce a et= .T. 2mbas interpolaciones se muestranen la fgura 18.* Junto con la -uncin verdadera.>@CU2 18.


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Dos interpolaciones lineales para estimar ln &. Bbserve cmoel intervalo menor proporcin a una meJor estimacin.

18.1.& @nterpolacin cuadr)tica'n el eJemplo 18.1 el error resulta de nuestra apro7imacin a

una curva mediante una l!nea recta. 'n consecuencia* unaestrategia para meJorar la estimacin consiste en introduciralguna curvatura a la l!nea que une los puntos. i se tienentres puntos como datos* stos pueden aJustarse en unpolinomio de segundo grado 3tambin conocido comopolinomio cuadr)tico oparbola. Una -orma particularmenteconveniente para ello es

Bbserve que aunque la ecuacin 318. parece di-erir del

polinomio general Pecuacin 318.1R* las dos ecuaciones sonequivalentes. $o anterior se demuestra al multiplicar lostrminos de la ecuacin 318.#

B* agrupando trminos*

Donde

2s!* las ecuaciones 318.1 + 318. son -ormas alternativas*equivalentes del Gnico polinomio de segundo grado que unelos tres puntos. Un procedimiento simple puede usarse paradeterminar los valores de los coefcientes. :ara encontrar b0*en la ecuacin 318. se evalGa conx =x0 para obtener#B0= f3x0318.4


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$a ecuacin 318.4 se sustitu+e en la 318.* despus seevalGa enx =x1 para tener

:or Gltimo* las ecuaciones 318.4 + 318.5 se sustitu+en en la318.* despus se evalGa en x = x& + 3luego de algunasmanipulaciones algebraicas se resuelve para

Bbserve que* como en el caso de la interpolacin lineal* b1todav!a representa la pendiente de la l!nea que une los puntos

x0 + x1. 2s!* los primeros dos trminos de la ecuacin 318.

son equivalentes a la interpolacin lineal deXoaX1* como seespecifc antes en la ecuacin 318.&. 'l Gltimo trmino* b&3XQ0 3X Q X1* determina la curvatura de segundo grado en la-rmula.2ntes de ilustrar cmo utili(ar la ecuacin 318.* debemose7aminar la -orma del coefciente b&. 's mu+ similar a laapro7imacin en di-erencias divididas fnitas de la segundaderivada* que se present antes en la ecuacin 34.&4. 2s!* laecuacin 318. comien(a a mani-estar una estructurasemeJante a la e7pansin de la serie de Aa+lor. 'staobservacin ser) obJeto de una ma+or e7ploracin cuandorelacionemos los polinomios de interpolacin de "eKton conla serie de Aa+lor en la seccin 18.1.4. 2unque* primero*mostraremos un eJemplo que indique cmo se utili(a laecuacin 318. para interpolar entre tres puntos.

'S'F:$B 18.& @nterpolacin cuadr)tica:lanteamiento del problema. 2Juste un polinomio de segundogrado a los tres puntos

Del eJemplo 18.1#X0= 1 f3X0 = 01= 4 f31 = 1.86&%4

X2= 6 f3X2 = 1./%1/5%,on el polinomio evalGe ln&.olucin. 2plicando la ecuacin 318.4 se obtieneB0= 0 $a ecuacin 318.5 da


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>@CU2 18.4'l uso de la interpolacin cuadr)tica para estimar ln&. :ara

comparacin se presenta tambin la interpolacin lineal desde7 = 1 ;asta 4.

con la ecuacin 318.6 se obtiene

ustitu+endo estos valores en la ecuacin 318. se obtiene la

-rmula cuadr)tica

que se evalGa enx = & paraf&3& = 0.5658444que representa un error relativo de et = 18.4T. 2s!* lacurvatura determinada por la -rmula cuadr)tica 3fgura 18.4meJora la interpolacin compar)ndola con el resultadoobtenido antes al usar las l!neas rectas del eJemplo 18.1 + enla fgura 18..

18.1. >orma general de los polinomios de interpolacin de"eKton

'l an)lisis anterior puede generali(arse para aJustar unpolinomio de nsimo grado a n ? 1 datos. 'l polinomio de nsimo grado es#


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Fn3x = b0? b13x Qx0 ? H H H ? bn3x Qx03x Qx1H H H3x Qxn-1318./

,omo se ;i(o antes con las interpolaciones lineales +cuadr)ticas* los puntos asociados con datos se utili(an paraevaluar los coefcientes bo* b1*...* bn. :ara un polinomio de nsimo grado se requieren n ? 1 puntos# Px0* f3x0R* Px1* f3x1R*...*Pxn* f3xnR. Usamos estos datos + las siguientes ecuacionespara evaluar los coefcientes#

Donde las evaluaciones de la -uncin colocadas entreparntesis son di-erencias divididas fnitas. :or eJemplo* laprimera di-erencia dividida fnita en -orma general serepresenta como

$a seunda diferencia dividida !nita* que representa ladi-erencia de las dos primeras di-erencias divididas* see7presa en -orma general como

>@CU2 18.5


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epresentacin gr)fca de la naturale(a recursiva de lasdi-erencias divididas fnitas.'n -orma similar* la n-"sima diferencia dividida !nita es

'stas di-erencias sirven para evaluar los coefcientes en lasecuaciones 318.8 a 318.11* los cuales se sustituir)n en laecuacin 318./ para obtener el polinomio de interpolacin

que se conoce comopolinomio de interpolacin de Newton endiferencias divididas.Debe observarse que no se requiere que los datos utili(ados

en la ecuacin 318.15 estn igualmente espaciados o que losvalores de la abscisa estn en orden ascendente* como seilustra en el siguiente eJemplo. Aambin* advierta cmo lasecuaciones 318.1& a 318.14 son recursivas 3es decir* lasdi-erencias de orden superior se calculan tomando di-erenciasde orden in-erior 3fgura 18.5. Aal propiedad se aprovec;ar)cuando desarrollemos un programa computacional efcienteen la seccin 18.1.5 para implementar el mtodo.'S'F:$B 18. :olinomios de interpolacin de "eKton endi-erencias divididas :lanteamiento del problema. 'n eleJemplo 18.&* los datosx0 = 1*x1 = 4 +x& = 6 se utili(aronpara estimar ln & mediante una par)bola. 2;ora* agregandoun cuarto punto 3x = 5 f3x = 1.60%48R* estime ln& con unpolinomio de interpolacin de "eKton de tercer grado.olucin. Utili(ando la ecuacin 318./* con n = * el polinomiode tercer grado es

$as primeras di-erencias divididas del problema son Pecuacin318.1&R 1


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F#$%&' 1(.)%so de la interpolacin c*bica para estimar ln 2

.$a tercera di-erencia dividida es Pecuacin 318.14 con n = R

$os resultados de fPx1* x0R* fPx&+ x1+ x0R + fPx* x&* x1* x0Rrepresentan los coefcientes b1* b& + b de la ecuacin 318./*respectivamente. Sunto con b0 = f3x0 = 0.0* la ecuacin318./ es

la cual sirve para evaluar f3& = 0.6&8/686* que representaun error relativo# et = %.T. $a gr)fca del polinomio cGbico semuestra en la fgura 18.6


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18.1.4 'rrores de la interpolacin polinomial de "eKtonBbserve que la estructura de la ecuacin 318.15 es similar a lae7pansin de la serie deAa+lor en el sentido de que se van agregando trminos en -ormasecuencial* para mostrar el comportamiento de orden superior de la

-uncin. 'stos trminos son di-erencias divididas fnitas +* as!*representan apro7imaciones de las derivadas de orden superior. 'nconsecuencia* como ocurri con la serie de Aa+lor* si la -uncinverdadera es un polinomio de nsimo grado* entonces el polinomio deinterpolacin de nsimo grado basado en n ? 1 puntos dar) resultadose7actos.Aambin* como en el caso de la serie de Aa+lor* es posible obtener una-ormulacin para el error de truncamiento. De la ecuacin 34.6 recuerdeque el error de truncamiento en la serie de Aa+lor se e7presa en -ormageneral como

Donde x est) en alguna parte del intervalo de xi a xi?1. :ara unpolinomio de interpolacin de nsimo grado* una e7presin an)logapara el error es

Dondex est) en alguna parte del intervalo que contiene la incgnita +

los datos. :ara que esta -rmula sea Gtil* la -uncin en turno debe serconocida + di-erenciable. :or lo comGn ste no es el caso. :or -ortuna*;a+ una -ormulacin alternativa que no requiere del conocimiento previode la -uncin. Utili()ndose una di-erencia dividida fnita para apro7imarla 3n ? 1sima derivada*

Donde , Px* xn* xnQ1+. . .* x0R es la 3n ? 1sima di-erencia divididafnita. Debido a que la ecuacin contiene la incgnita f3x* no permiteobtener el error. in embargo* si se tiene un dato m)s* f 3xn?1* laecuacin 318.1/ puede usarse para estimar el error como sigue#&nV,Pxn?1*xn*xnQ1*. . .* 70R 3x Qx0 3x Qx1 H H H3x Qxn

'stimacin del error para el polinomio de "eKton


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:lanteamiento del problema. ,on la ecuacin estime el error en lainterpolacin:olinomial de segundo grado del eJemplo 18.&. Use el dato adicionalf3x =F 5 = 1.60%48 para obtener sus resultados.

olucin. ecuerde que en el eJemplo 18.& el polinomio de interpolacinde segundo grado proporcion una estimacin* f& 3& = 0.5658444* querepresenta un error de 0.6%14/& Q 0.5658444 = 0.1&/0&8. i no se;ubiera conocido el valor verdadero* como usualmente sucede* laecuacin 318.18* Junto con el valor adicional en x* pudo ;aberseutili(ado para estimar el error*&& =,Px*x&*x1*x0R 3x Qx0 3x Qx1 3x Qx&

&& = 0.00/8655&%3x Q 1 3x Q 4 3x Q 6 donde el valor de la di-erenciadividida fnita de tercer orden es como se calcul antes en el eJemplo18.. 'sta e7presin se evalGa enx = & para obtener

&& = 0.00/8655&% 3& Q 1 3& Q 4 3& Q 6 = 0.06&%&4& que es del mismoorden de magnitud que el error verdadero. ,on el eJemplo anterior + laecuacin 318.18* debe resultar claro que el error estimado para elpolinomio de nsimo grado es equivalente a la di-erencia entre laspredicciones de orden 3n ? 1 + de orden n. 's decir* &n = fn?13x Qfn3x 318.1% 'n otras palabras* el incremento que se agrega al caso deorden n para crear el caso de orden 3n ? 1 Pes decir* la ecuacin318.18R se interpreta como un estimado del error de orden n. 'sto sepercibe con claridad al reordenar la ecuacin 318.1%# fn?13x = fn3x ?&n$a valide( de tal procedimiento se re-uer(a por el ;ec;o de que la serie

es altamente convergente. 'n tal situacin* la prediccin del orden 3n ?1 deber!a ser muc;o m)s cercana al valor verdadero que la prediccinde orden n. 'n consecuencia* la ecuacin 318.1% concuerda con nuestradefnicin est)ndar de error* al representar la di-erencia entre la verdad+ una apro7imacin. "o obstante* observe que mientras todos los otroserrores estimados para los procedimientos iterativos presentados ;astaa;ora se encontraron como una prediccin presente menos una previa*la ecuacin 318.1% constitu+e una prediccin -utura menos unapresente. $o anterior signifca que para una serie que es deconvergencia r)pida* el error estimado de la ecuacin 318.1% podr!a sermenor que el error verdadero. 'sto representar!a una calidad mu+ poco

atractiva si el error estimado -uera a emplearse como un criterio determinacin. in embargo* como se e7pondr) en la siguiente seccin* lospolinomios de interpolacin de grado superior son mu+ sensibles aerrores en los datos 3es decir* est)n mal condicionados. ,uando seemplean para interpolacin* a menudo dan predicciones que divergen en-orma signifcativa del valor verdadero. i se trata de detectar errores* laecuacin 318.1% es m)s sensible a tal divergencia. De esta manera* es


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m)s valiosa con la clase de an)lisis de datos e7ploratorios para los queel polinomio de "eKton es el m)s adecuado.18.1.5 2lgoritmo computacional para el polinomio de interpolacin de"eKtonAres propiedades ;acen a los polinomios de interpolacin de "eKton

mu+ atractivos para aplicaciones en computadora#1. ,omo en la ecuacin 318./* es posible desarrollar de manerasecuencial versiones de grado superior con la adicin de un solotrmino a la ecuacin de grado in-erior.

'sto -acilita la evaluacin de algunas versiones de di-erente grado en elmismo programa. 'n especial tal capacidad es valiosa cuando el ordendel polinomio no se conoce a priori. 2l agregar nuevos trminos en-orma secuencial* podemos determinar cu)ndo se alcan(a un punto deregreso disminuido 3es decir* cuando la adicin de trminos de gradosuperior +a no meJora de manera signifcativa la estimacin* o en ciertassituaciones incluso la aleJa. $as ecuaciones para estimar el error* que se

anali(an en el punto * resultan Gtiles para visuali(ar un criterio obJetivopara identifcar este punto de trminos disminuidos.&. $as di-erencias divididas fnitas que constitu+en los coefcientes delpolinomio Pecuaciones 318.8 ;asta 318.11R se pueden calcularefcientemente. 's decir* como en la ecuacin 318.14 + la fgura 18.5*las di-erencias de orden in-erior sirven para calcular las di-erencias deorden ma+or. Utili(ando esta in-ormacin previamente determinada* loscoefcientes se calculan de manera efciente. 'l algoritmo en la fgura18./ inclu+e un esquema as!.. 'l error estimado Pecuacin 318.18R se incorpora con -acilidad en unalgoritmo computacional debido a la manera secuencial en la cual se

constru+e la prediccin. Aodas las caracter!sticas anteriores puedenaprovec;arse e incorporarse en un algoritmo general para implementarel polinomio de "eKton 3fgura 18./. Bbserve que el algoritmo consistede dos partes# la primera determina los coefcientes a partir de laecuacin 318./ la segunda establece las predicciones + sus errorescorrespondientes.'stimaciones del error para determinar el grado de interpolacinadecuado :lanteamiento del problema. Despus de incorporar el errorPecuacin 318.18R* utilice el algoritmo computacional que se muestra enla fgura 18./ + la in-ormacin siguiente para evaluar f3x = lnx enx =

X ,3x = lnx0 14 1.86&%446 1./%1/5%55 1.60%4/% 1.0%861&1.5 0.4054641&.5 0.%16&%0/


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.5 1.&5&/60

olucin. $os resultados de emplear el algoritmo de la fgura 18./ paraobtener una solucin se muestran en la fgura 18.8. 'l error estimado*Junto con el error verdadero 3bas)ndose en el ;ec;o de que ln & =

0.6%14/&* se ilustran en la fgura 18.%. Bbserve que el error estimado+ el error verdadero son similares + que su concordancia meJoracon-orme aumenta el grado. 2 partir de estos resultados se conclu+eque la versin de quinto grado da una buena estimacin + que lostrminos de grado superior no meJoran signifcativamente la prediccin.

"UF'B D' :U"ABW 8 30* + 30 =W 1*0 31* + 31 =W 4*1.86&%44 3&* + 3& =W 6*1./%1/5%5 3* + 3 =W 5*1.60%4/%

34* + 34 =W *1.0%861& 35* + 35 =W 1.5* 0.40546411 36* + 36 =W &.5* 0.%16&%0/ 3/* + 3/ =W .5* 1.&5&/60@"A':B$2,@B" '" = &C2DB >3 'B0 0.000000 0.46&0%81 0.46&0%8 0.10/46& 0.565844 0.06&%&4 0.6&8/6% 0.046%54 0.6/5/&& 0.0&1/%&

5 0.6%/514 Q0.006166 0.6%8%8 Q0.00045%/ 0.6%4%

>@CU2 18.8esultados de un programa* basado en el algoritmo de la f gura 18./*para evaluar ln &.'ste eJercicio tambin ilustra la importancia de la posicin + el orden delos puntos.:or eJemplo* ;asta la estimacin de tercer grado* la meJor!a es lentadebido a que los puntos que se agregaron 3en x = 4* 6 + 5 est)n

distantes + a un lado del punto de an)lisis enx= &. $a estimacin de cuarto grado muestra una meJor!a un poco ma+or*+a que el nuevo punto enx = est) m)s cerca de la incgnita. 2unque*la disminucin m)s dram)tica en el error corresponde a la inclusin deltrmino de quinto grado usando el dato enx = 1.5.Dic;o punto est) cerca de la incgnita + tambin se ;alla al ladoopuesto de la ma+or!a de los otros puntos. 'n consecuencia* el error sereduce a casi un orden de magnitud.


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$a importancia de la posicin + el orden de los datos tambin sedemuestra al usar los mismos datos para obtener una estimacin para ln&* pero considerando los puntos en un orden di-erente. $a fgura 18.%muestra los resultados en el caso de invertir el orden de los datosoriginales es decir*x0 = .5*x1 = &.5*x = 1.5* + as! sucesivamente.

,omo los puntos iniciales en este caso se ;allan m)s cercanos +espaciados a ambos lados de ln &* el error disminu+e muc;o m)sr)pidamente que en la situacin original. 'n el trmino de segundogrado* el error se reduJo a menos de et = &T. e podr!an emplear otrascombinaciones para obtener di-erentes velocidades de convergencia.

>@CU2 18.%'rrores relativos porcentuales para la prediccin de ln & como -uncindel orden del polinomio de interpolacin.

'l eJemplo anterior ilustra la importancia de la seleccin de los puntos.,omo es intuitivamente lgico* los puntos deber!an estar centradosalrededor* + tan cerca como sea posible* de las incgnitas. 'staobservacin tambin se sustenta por un an)lisis directo de la ecuacinpara estimar el error Pecuacin 318.1/R. i suponemos que la di-erenciadividida fnita no var!a muc;o a travs de los datos* el error esproporcional al producto# 3x Qx0 3x Qx1 HHH3x Qxn. Bbviamente* cuantom)s cercanos a x estn los puntos* menor ser) la magnitud de esteproducto.18.& :B$@"BF@B D' @"A':B$2,@L" D' $2C2"C''l polinomio de interpolacin de arane es simplemente unare-ormulacin del polinomio de "eKton que evita el c)lculo de lasdi-erencias divididas* + se representa de manera concisa como


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Donde designa el Xproducto deY. :or eJemplo* la versin lineal 3n =1 es

la versin de segundo grado es

$a ecuacin 318.&0 se obtiene de manera directa del polinomio de"eKton 3cuadro 18.1. in embargo* el ra(onamiento detr)s de la-ormulacin de $agrange se comprende directamente al darse cuenta deque cada trmino i3x ser) 1 enx = xi + 0 en todos los otros puntos3fgura 18.10. De esta -orma* cada producto i3x f3xi toma el valor de

F xi en el punto xi. 'n consecuencia* la sumatoria de todos losproductos en la ecuacin 318.&0 es el Gnico polinomio de nsimo gradoque pasa e7actamente a travs de todos los n ? 1 puntos* que se tienencomo datos.

'S'F:$B 18.6 :olinomios de interpolacin de $agrange


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:lanteamiento del problema. ,on un polinomio de interpolacin de$agrange de primero + segundo grado evalGe ln & bas)ndose en losdatos del eJemplo 18.= 1 f3x0 = 0X1= 4 f3x1 = 1.86&%4

X2= 6 f3x& = 1./%1/60olucin. 'l polinomio de primer grado Pecuacin 318.&&R se utili(a paraobtener la estimacin enx = &*

De manera similar* el polinomio de segundo grado se desarrolla as!#Pecuacin 318.&R

,omo se esperaba* ambos resultados concuerdan con los que seobtuvieron antes al usar el polinomio de interpolacin de "eKton.

,uadro 18.1 Bbtencin del polinomio de $agrange directamente a partirdel polinomio de interpolacin de "eKton'l polinomio de interpolacin de $agrange se obtiene de manera directaa partir de la -ormulacin del polinomio de "eKton. Earemos estoGnicamente en el caso del polinomio de primer grado Pecuacin 318.&R.:ara obtener la -orma de $agrange* re-ormulamos las di-erenciasdivididas. :or eJemplo* la primera di-erencia dividida*

e re-ormula como


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,onocida como la forma sim"trica. 2l sustituir la ecuacin 3Z18.1.& enla 318.& se obtiene

:or Gltimo* al agrupar trminos semeJantes + simplifcar se obtiene la-orma del polinomio de $agrange*

>@CU2 18.10Descripcin visual del ra(onamiento detr)s del polinomio de $agrange.'sta f gura muestra un caso de segundo grado. ,ada uno de los trestrminos en la ecuacin 318.& pasa a travs de uno de los puntos quese tienen como datos + es cero en los otros dos. $a suma de los trestrminos* por lo tanto* debe ser el Gnico polinomio de segundo gradof&3x que pasa e7actamente a travs de los tres puntos.'Jemplos de interpolacin polinomial


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interpolacin lineal la -orma m)s simple de interpolacin consiste enunir dos puntos con una l!nea recta

reordenando se tiene que es una -rmula de interpolacin lineal

grafca de la interpolacin lineal

eJemplo de un problema


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interpolacin cuadr)tica


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un problema


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@nterpolacin inversa

la -uncin es -37=1

x


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-37 1

1

=1* -37 1

2

=0.5 -37 1

3

=0. -37 1

4

=0.&5

-37 1

6 =0*166/ -37

1

7 =0.14&%

-37 1

0.1429 =/* -37 1

0.1667 =6 * -37 1

0.2 =5* -37 1

0.25 =4*

-37 1

0.3333 =* -37

1

0.5 =&*


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