Apuntes a. Tensorial[1]

Apndice A

Nociones bsicas sobre Clculo TensorialA.1. IntroduccinEl concepto de tensor tiene su origen en la evolucin de la geometra diferencial de Gauss, Riemann y Christoffel. La necesidad del clculo tensorial, conocido tambin como clculo diferencial absoluto, como rama sistemtica de la matemtica, se debe a Ricci y a su discpulo Levi-Civita, que publicaron en colaboracin el primer trabajo sobre esta materia: Mtodos del clculo diferencial absoluto y sus aplicaciones, en "Mathematische Annalen", vol.54 (1901). El objeto principal del clculo tensorial es la investigacin de las relaciones que permanecen invariantes cuando se cambia de un sistema de coordenadas a otro. Las leyes de la fsica no pueden depender del sistema de referencia que elija el fsico con nes descriptivos. Por eso, es estticamente deseable y muchas veces conveniente, utilizar el clculo tensorial como fundamento matemtico en que se puedan formular tales leyes. Einstein, en particular, lo consider un excelente instrumento para la presentacin de su teora general de la relatividad. El clculo tensorial alcanz gran importancia y es hoy da indispensable en sus aplicaciones en la mayora de las ramas de la fsica terica.

A.2. El convenio de sumacin de EinsteinUna suma cuyos sumandos se obtengan dando los valores 1, 2, . . . , n a ciertos subndices de su trmino general, se indica comnmente con el smbolo junto con la indicacin del intervalo de variacin y la forma del trmino general. Por ejemplo: a1 b1 + a 2 b2 + + a n bn = ai bii=1 n

a1 b j c1 + a 2 b j c2 + + a n b j cn = ai b j cii=1

n

En el clculo tensorial aparecen con mucha frecuencia sumas del tipo de los dos ejemplos anteriores en que la suma se verica respecto de dos subndices repetidos de su trmino general. En este caso es cmodo y abrevia mucho la escritura convenir que, para tales subndices, se suprimir el smbolo de la suma, estableciendo as el siguiente convenio: Cuando en una expresin monomia guren dos subndices repetidos, se entender que se trata de una suma en la que los subndices repetidos van sumados de 1 a n. 157

158

APNDICE A. NOCIONES BSICAS SOBRE CLCULO TENSORIAL

La letra n hace referencia a la dimensin del espacio y su valor resulta siempre claro del tema que se est tratando. Es conveniente ser cuidadoso porque cuando no se quiera expresar la suma habr que indicarlo explcitamente. Usando el convenio de Einstein los ejemplos anteriores se escribiran como:

i=1 n

ai bi = a i bi

n

i=1

ai b j ci = a i b j ci

A.3. Representacin de un vector en un sistema cartesianoEn primer lugar veamos cul es el sistema de referencia que vamos a emplear para representar a los vectores. Vamos a distinguir entre dos tipos de sistemas de referencia atendiendo a la orientacin relativa de sus vectores bsicos: Directo: se llama as al S.R. que tiene sus vectores bsicos orientados de tal forma que el producto mixto1 de los tres resulta ser 1: e1 (e2 e3 ) = 1 Dicho de otra manera, cuando un sacacorchos girando del primer vector al segundo por el menor ngulo avanza en la direccin y sentido del tercer vector. Este tipo de sistema tambin es llamado en ocasiones diestro o dextrgiro. Inverso: Se trata del caso opuesto al anterior. Ahora tenemos: e1 (e2 e3 ) = 1 o si un sacacorchos girando del primer vector al segundo por el menor ngulo avanza en la misma direccin pero sentido opuesto al del tercer vector. Este tipo de sistema tambin es conocido con el nombre de levgiro. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales (x, y, z) con el origen en el punto inicial del vector v. El sistema se orienta de tal forma que cumpla la condicin de sistema de referencia directo. El vector v queda representado por una terna ordenada de nmeros reales v = (v1 , v2 , v3 ) donde v1 , v2 y v3 son respectivamente las proyecciones del segmento rectilneo correspondiente a v, sobre los ejes x,y y z, como se puede observar en la gura . Una descripcin alternativa del vector v se obtiene introduciendo los vectores unitarios e 1 , e2 y e3 , a lo largo de los ejes x,y y z. Estos vectores unitarios se conocen como los vectores unidad cartesianos. Tambin suelen representarse por i, j y k. En funcin de ellos, el vector v queda representado por la combinacin lineal: v = v 1 e1 + v2 e2 + v3 e3 (A.1) donde v1 , v2 y v3 se conocen como las componentes cartesianas del vector v.1 Este

producto ser denido ms adelante en la seccin A.4 (Algunos productos de vectores)

A.4. ALGUNOS PRODUCTOS DE VECTORES

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Figura A.1: Componentes de un vector en un sistema de referencia cartesiano.

A.4. Algunos productos de vectoresEn esta seccin vamos a denir cuatro productos de vectores (escalar, vectorial, mixto y didico). Las deniciones atendern a dos tipos: geomtrica, cuando se exprese el producto en funcin del mdulo y la direccin del vector; y analtica, cuando se exprese el producto en funcin de las componentes cartesianas del vector.

A.4.1. Producto escalar o contraccinEl resultado del producto escalar de dos vectores es un escalar (nmero), de modo que con dicho producto se obtiene, en general, un tensor de orden inmediatamente inferior al de los factores, de ah que el producto escalar sea conocido tambin por el nombre de contraccin. El smbolo que representa al producto escalar es un punto centrado (). Denicin Geomtrica: u v = |u||v| cos (A.2)

donde es el ngulo que forman los dos vectores.

Grcamente, u v representa la proyeccin de u sobre v multiplicada por la norma de v.

Denicin Analtica. En virtud de que los vectores e 1 , e2 y e3 son ortogonales, se cumplen las siguientes relaciones: ei e j = i j (A.3)

donde i j se denomina smbolo de kronecker 2 y se dene por: i j = 1 si i = j 0 si i = j

Si expresamos los vectores u y v en funcin de sus componentes cartesianas -ver la ecuacin (A.1)- y tenemos en cuenta las relaciones anteriores, obtenemos que u v = ui v j (ei e j ) = ui v j i j2 Tambin

llamada matriz unidad de dimensin 3x3 (I) o tensor unidad de orden dos.

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APNDICE A. NOCIONES BSICAS SOBRE CLCULO TENSORIALUsando las dos ltimas ecuaciones podemos expresar el producto escalar como: u v = u i vi (A.4)

el producto escalar de u y v ser:

Si tenemos en cuenta que los vectores tambin pueden escribirse como matrices columna: u1 0 u1 0 (A.5) u = 0 e 1 + u2 e 2 + 0 e 3 = u2 u3 u3 0 0 v1 u v = ut v = (u1 u2 u3 ) v2 = ui vi v3

(A.6)

Propiedades del producto escalar Algunas propiedades del producto escalar son: uv = vu (u + v) w = (u w) + (v w) siendo , u u = u2 0 (u2 = 0 u = 0) u v = 0 u y v son ortogonales (si |u| y |v| = 0).

A.4.2. Producto vectorialEl resultado del producto vectorial de dos vectores es otro vector. Dicho producto se simboliza con un acento circunejo centrado () o, en ocasiones, tambin se emplea un aspa (). El producto vectorial, a diferencia del producto escalar, no es un producto de tipo interno porque para su denicin hace uso de un elemento externo: el smbolo de Levi-Civita 3 . Sin este elemento no sera posible una denicin analtica. Denicin Geomtrica. El producto vectorial de los vectores u y v es un vector de direccin perpendicular al plano formado por ambos, de sentido el de avance de un sacacorchos que gira del primer vector al segundo por el ngulo menor y cuyo mdulo viene dado por: |u v| = |u||v| sin , donde es el ngulo que forman los vectores u y v (ver gura ). Grcamente, |u v| representa el rea de un paralelogramo de lados u y v. Denicin Analtica. Para obtener la expresin del producto vectorial en funcin de las componentes debemos proceder de forma anloga a como lo hicimos con el producto escalar. Dado que los vectores e1 , e2 y e3 son ortogonales y que forman un triedro directo, se cumplen las siguientes relaciones:3 Se

(A.7)

denir ms adelante.


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Figura A.2: Vector resultante de hacer el producto vectorial de los vectores u y v.

donde la letra griega representa al llamado smbolo de Levi-Civita 4 , cuya denicin es: 1 si ijk es una permutacin par de 1,2,3. i jk = 1 si ijk es una permutacin impar de 1,2,3. 0 si dos subndices son iguales.

ei e j = i jk ek

(A.8)

Teniendo en cuenta la denicin geomtrica de producto vectorial y las relaciones anteriores, el vector resultante de hacer el producto vectorial de u sobre v viene dado segn sus componentes cartesianas por la ecuacin: u v = i jk u j vk ei (A.9) Existe una forma simblica de realizar el producto vectorial de dos vectores expresados en componentes cartesianas. Consiste en efectuar el desarrollo de un determinante un tanto peculiar, que como tal no tiene sentido, pero que al ser desarrollado reproduce elmente las operaciones propias del producto vectorial. Sean u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 y v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 , entonces: uv = e1 e2 e3 u1 u2 u3 v1 v2 v3 = (u2 v3 u3 v2 )e1 + (u3 v1 u1 v3 )e2 + (u1 v2 u2 v1 )e3

(A.10)

con lo que se llega nalmente a la relacin (A.9). Propiedades del producto vectorial El producto vectorial cumple las siguientes propiedades: u u = v u (propiedad anticonmutativa) u (v + w) = (u v) + (u w) u v = 0 u y v son paralelos (si |u| y |v| = 0.)4 Tambin

llamado tensor unitario de orden 3 completamente antisimtrico.

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Figura A.3: Representacin del paraleleppedo construido sobre los vectores u, v y w.

A.4.3. Producto mixtoEl producto mixto se dene como el producto escalar de u por el vector que se obtiene de multiplicar vectorialmente v y w. El resultado de hacer el producto mixto de tres vectores es un escalar. Se puede notar de tres maneras distintas: u (v w) [u v w] (u v w) Denicin geomtrica. En virtud de las deniciones geomtricas del producto escalar y del producto vectorial expresadas en las ecuaciones (A.2) y (A.7) respectivamente, obtenemos que: u (v w) = |u||v||w| cos sin (A.11)

donde es el ngulo formado por los vectores v y w; y es el ngulo que forma el vector u con la normal al plano formado por los vectores v y w (ver gura ). Grcamente u (v w) representa el volumen de un paraleleppedo de lados u,v y w. Denicin analtica. Teniendo en cuenta las deniciones de producto escalar y producto vectorial dadas por las ecuaciones (A.4) y (A.9), podemos expresar el producto mixto como sigue: u (v w) = (ui ei ) ( jkl vk wl e j ) = jkl ui vk wl (ei e j ) = jkl ui vk wl i j = = jkl u j vk wl Como todos los subndices que aparecen en la ltima expresin se contraen debido a la suma (convenio de Einstein), son simples subndices mudos, de manera que podemos cambiarles las letras. Teniendo en cuenta esto, el producto mixto queda como: u (v w) = i jk ui v j wk . (A.12)


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De forma anloga a como lo hicimos con el producto vectorial, podemos expresar el producto mixto de tres vectores u, v y w como el desarrollo del determinante u (v w) = u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 (A.13)

En virtud de esta manera de expresar el producto mixto de tres vectores como el determinante formado por las componentes cartesianas de dichos vectores, podemos generalizar y expresar el determinante de una matriz genrica A en funcin de los elementos de matriz: |A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = i jk a1i a2 j a3k . (A.14)

Pero esta no es ms que una de las posibles formas de expresar el determinante. Tambin se podra haber escrito: |A| = i jk a2i a3 j a1k = i jk a3i a1 j a2k = i jk a1i a3 j a2k = (A.15) Una expresin general que engloba a todas las posibles combinaciones es: |A| = lmn i jk ali am j ank (sin sumar sobre l,m y n.) (A.16)

Si hacemos la suma sobre l,m y n nos daremos cuenta de que estamos sumando seis veces el mismo trmino, de manera que la ecuacin general anterior se puede expresar usando el convenio de Einstein de la siguiente forma: 1 (A.17) |A| = i jk lmn ail a jm akn . 6 Propiedades del producto mixto El producto mixto tiene las siguientes propiedades, que se deducen a partir de las del producto escalar y vectorial. [u v w] = [v w u] = [w u v] = [v u w] = [u wv] = [wv u] u (v w) = 1 u, v y w son ortonormales y forman un triedro directo. u (v w) = 0 u, v y w son coplanarios (si |u|, |v| y |w| = 0).

A.4.4. Producto didico o tensorialSe dene el producto didico de los vectores u y v por su efecto al contraerse con otro vector w a travs de las relaciones: (u v) w = u(v w) w (u v) = (w u)v (A.18) (A.19)

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Al contraer el producto didico con un vector w resulta otro vector que tiene la direccin de u si se contrae por la derecha -ecuacin (A.18)- y de v si se contrae por la izquierda -ecuacin (A.19)-. (u v) w = u(v w) w (u v) = (w u)v (A.20) (A.21)

Teniendo en cuenta que u y v se pueden escribir en forma matricial, podemos expresar el producto didico como el producto de una matriz columna por una matriz la: u1 (A.22) u v = u vt = u2 (v1 v2 v3 ) = M u3 Siendo la matriz M de la forma M= u1 v1 u1 v2 u1 v3 u2 v1 u2 v2 u2 v3 u3 v1 u3 v2 u3 v3

que puede escribirse como

Esto puede expresarse como la suma de las componentes de los vectores u y v u v = u1 v1 (e1 e1 ) + u1 v2 (e1 e2 ) + + u3 v3 (e3 e3 ) (A.24)

0 0 0 1 0 0 M = u 1 v1 0 0 0 + + u 3 v3 0 0 0 0 0 1 0 0 0

(A.23)

A ei e j se les denomina diadas unitarias. El concepto de diada es una generalizacin del concepto de vector. Las componentes de la diada pueden representarse por los nueves coecientes de una matriz cuadrada 3 3. Una generalizacin de las diadas dar lugar a las poliadas, de 3 N componentes. Principales propiedades del producto didico Para se verica (u) v = u (v) = (u v) (A.25)

Esta relacin es una consecuencia directa de la denicin de producto didico, puesto que las direcciones de los vectores no cambian al multiplicarlos por un nmero real. El producto didico tiene la propiedad distributiva respecto de la suma, es decir, u (v + w) = u v + u w (u + v) w = u w + v w El producto didico no es conmutativo: uv = vu En efecto, u v = ui v j (ei e j ) = vk ul (ek el ) = v u (A.29) (A.28) (A.26) (A.27)

A.5. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES DE EJES CARTESIANOS

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Figura A.4: Dos sistemas de referencia cartesianos girados uno respecto al otro pero con un origen comn.

A.5. Transformaciones ortogonales de ejes cartesianosUna de las transformaciones lineales ms sencilla y til en la interpretacin de problemas fsicos es la ortogonal. Consiste en pasar de un sistema de coordenadas cartesianas a otro sin que haya distorsin o cambio de escala. Supongamos dos sistemas de referencia cartesianos, como se muestra en la gura donde uno de ellos est girado respecto del otro, compartiendo ambos el mismo origen. El sistema 1 (sin prima) es el formado por {O,e 1 ,e2 ,e3 }, en el que un vector cualquiera se expresa como combinacin lineal de los vectores de esta base como: v = v i ei (A.30)

mientras que el sistema 2 (con prima) es el formado por {O,e 1 ,e2 ,e3 }, en el que un vector cualquiera se expresa como combinacin lineal de estos vectores como: v = v je j (A.31)

Para poder determinar las coordenadas del sistema 1 a partir de las coordenadas del sistema 2, necesitamos conocer las componentes de los vectores bsicos de un sistema en funcin de la base del otro. Por ejemplo, el vector ei de la base 2 (con prima) referido a la base 1 (sin prima) se expresa como: (A.32) ei = i j e j donde i j son los cosenos directores. Usando la ecuacin (A.30) podemos expresar un vector genrico v como: v = v i ei pero haciendo uso de la ecuacin (A.31) podemos expresar el mismo vector haciendo referencia a otra base: v = v je j

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APNDICE A. NOCIONES BSICAS SOBRE CLCULO TENSORIALy como se trata del mismo vector, v, podemos igualar las dos expresiones anteriores: vi e i = v j e j Si ahora hacemos uso de la ecuacin (A.32) podemos escribir vi ei = v j jk ek (A.33)

Multiplicando escalarmente por e i a ambos lados, se obtiene vi = v j ji (A.34)

que nos da la relacin de las coordenadas de un vector genrico en un sistema con las correspondientes a otro sistema girado respecto a ste. La transformacin inversa se otiene multiplicando escalarmente por e j la expresin A.33, siendo el resultado v j = ji vi (A.35) Como ambas bases son ortonormales, se cumple que: ei e j = i j Sustituyendo la ecuacin (A.32) en la ecuacin (A.37) obtenemos i j = ei e j = (ik ek ) ( jl el ) = ik jl ek el = ik jl kl = ik jk de donde deducimos que ik jk = i j (A.38) ei e j = i j (A.36) (A.37)

Esas seis ecuaciones ponen de maniesto que de los nueve cosenos directores () i j , slo tres son independientes. Esta ecuacin puede expresarse tambin como ik (k j )t = i j (A.39)

que nos recuerda a la expresin en componentes del producto de dos matrices. El resultado, segn corresponde, ser una matriz de orden 3 3. La delta de Kronecker i j puede entenderse como la expresin en componentes de la matriz unidad de orden 3 3, en la que los elementos de la diagonal (i = j) valen 1 y el resto (i = j) vale 0. Por tanto, la ecuacin (A.39) se escribe en forma matricial como: t = I (A.40) Observando esta ltima ecuacin bajo la perspectiva de las propiedades matriciales, se hace evidente que la matriz t es la inversa de , por tanto se cumple que: t 1 En componentes 1 = ji ij (A.41) (A.42)

En denitiva, podemos concluir que la matriz es ortogonal.

A.6. INVARIANTESPor dicha ortogonalidad , podemos escribir la transformada inversa: ei = i j e j ei = 1 e j = ji e j ij

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(A.43) (A.44)

Segn la transformacin sufrida por una magnitud tras una rotacin, podemos introducir las siguientes deniciones: Una magnitud V cuyas componentes, tras una rotacin del sistema de coordenadas, se transforman de la forma vi = i j v j (A.45) es un tensor de rango uno. Una magnitud T cuyas componentes, tras una rotacin del sistema de coordenadas, se transforman de la forma Ti j = ik jl Tkl (A.46) es un tensor de rango dos. El tensor T puede expresarse en funcin de las diadas unitarias T = Ti j ei e j (A.47)

Por generalizacin, un tensor T de rango n es una magnitud que tiene 3 n componentes y que bajo una transformacin ortogonal sufre el siguiente cambio: Ti1i2...iN = i1 j1 i2 j2 iN jN T j1 j2... jN T podemos escribirlo en funcin de las poliadas: T = Ti1i2...iN ei1 ei2 eiN (A.49) (A.48)

Las diadas y poliadas unitarias constituyen la base de los tensores de rango dos y N respectivamente.

A.6. InvariantesLa mayor parte de las condiciones de simetra espacial recaen sobre las magnitudes que aparecen en las leyes fsicas, pues deben poder expresar toda la variedad de sistemas y de leyes que existen. En esta seccin nos centraremos en la invariancia frente a cambios de sistemas de referencia ortogonales de los tensores y de los productos escalar, vectorial y didico. Consideremos dos sistemas de referencia con el mismo origen pero girado uno respecto al otro. Vamos a realizar una transformacin ortogonal para poner de maniesto que los productos escalar, vectorial y didico son invariantes frente a cambios de sistemas de referencia. Vamos a denotar por u i y vi a las componentes de los vectores u y v en un sistema de referencia, y por u j y v j a las componentes en el otro sistema de referencia.

A.6.1. Invariancia del producto escalarVamos a demostrar que el producto escalar es invariante bajo cambios de coordenadas ortogonales. Sean u y v dos vectores en las dos bases dadas a continuacin u = u i ei = u j e j v = v i ei = v j e j (A.50) (A.51)

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el producto escalar de u por v ser: donde se han usado las relaciones u v = u j v j = ( jk uk )( jl vl ) = jk jl uk vl u j = jk uk v j = jl vl dado que jk jl = kl u v = u j v j = kl uk vl = uk vk (A.52) (A.53) (A.54) (A.55) (A.56)

Podemos escribir la expresin (A.52) de la forma: por lo que queda demostrada la independencia con respecto al sistema de referencia.

A.6.2. Invariancia del producto vectorialEl producto vectorial de los vectores u y v en las distintas bases se expresa a continuacin: u v = i jk u j vk ei ei = im em i jk = il jm kn lmn podemos escribir y si recordamos la denicin de la delta de Kronecker la ecuacin anterior quedar de la forma Queda as demostrada la invariancia del producto vectorial. La transformacin de i jk en las transformaciones ortogonales se comentar en la seccin de tensores istropos. u v = i jk u j vk ei = lm mh nl lmn uh vl em = lmn um vn el (A.62) u v = i jk u j vk ei = (il jm kn lmn )( jh uh )(kl vl )(im em ) (A.61) u v = i jk u j vk ei (A.57) (A.58) (A.59) (A.60)

teniendo en cuenta las relaciones (A.57) y (A.58) junto con las expresiones

A.6.3. Invariancia del producto didicoEl producto didico en dos sistemas de referencia ortogonales vendr dado por las expresiones u v = ui v j (ei e j ) u v = ui v j (ei e j ) (A.63) (A.64)

por tanto, si partimos de la expresin (A.64) y recordando las expresiones (A.53), (A.54) y (A.56) obtenemos la expresin: si usamos ahora la relacin (A.55) en la expresin anterior quedar demostrada la invariancia del producto didico: u v = ui v j (ei e j ) = km ln uk vl em en = uk vl ek el (A.66) u v = ui v j (ei e j ) = (ik uk )( jl vl )(im em ) ( jn en ) (A.65)

A.6. INVARIANTES

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A.6.4. Tensores istroposUn tensor es istropo cuando sus componentes no varan bajo una rotacin, es decir, es invariante frente a rotaciones. Tensores de orden cero. Los tensores istropos de orden cero son los escalares. Tensores de orden uno. No hay tensores istropos de orden uno. Tensores de orden dos. Los tensores istropos de orden dos son de la forma i j = i j , siendo una constante. La transformacin de i j en una rotacin de ejes ser: i j = ik jl kl = ik jk = i j (A.67)

Tensores de orden tres. Los tensores de orden tres son de la forma i jk = i jk , donde es una constante. Un ejemplo de tensor istropo de orden tres es el smbolo de Levi-Civita, i jk , que como ya hemos visto es usado en la denicin del producto vectorial. Basndonos en la invariancia del producto vectorial, podemos concluir armando que dicho smbolo tiene que ser forzosamente invariante. Veamos ahora una demostracin ms detallada. Queremos evidenciar que la forma de i jk es la misma que la de il jm kn lmn . La expresin que relaciona al tensor de Levi-Civita en dos sistemas de referencia distintos es: i jk = il jm kn lmn siendo il jm kn lmn el desarrollo del determinante de la matriz . Segn habamos denido anteriormente, la matriz cumple las propiedades siguientes: 0 si i = j. 0 si i = j = k. det = 1 para permutaciones pares de 1,2,3. 1 para permutaciones impares de 1,2,3. Por tanto, i jk ser 0 si hay subndices repetidos. i jk = 1 para permutaciones pares de 1,2,3. 1 para permutaciones impares de 1,2,3. (A.68)

que es precisamente la forma que tiene i jk . Por tanto, vemos que i jk tiene la misma forma que i jk , lo que demuestra la invariancia. Tensores de orden cuatro. Los tensores de orden cuatro son de la forma: i jkl = i j kl + ik jl + il jk (A.69)

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A.7. Producto interior de tensores (contraccin)Sean T y R dos tensores de orden dos R = R i j ei e j T = Ti j ei e j

se dene el producto interno o contraccin de T y R como T R = (Ti j ei e j )(Rkl ek el ) = Ti j ei (e j ek ) Rkl el = Con el producto interno lo que conseguimos es disminuir el orden total en dos unidades. Tambin podemos considerar la doble contraccin de T con R T : R = Ti j Ri j cuyo resultado es un escalar. Si contraemos un tensor de segundo orden consigo mismo obtenemos T : T = Tii (A.72) que es la traza del tensor T . Esta cantidad, como ya hemos comentado es un escalar verdadero y por tanto un invariante. Veamos la actuacin de un tensor de segundo orden sobre un vector: Sea v el vector resultante de la contraccin del tensor T sobre el vector u. v = T u = Ti j ei e j uk ek = Ti j uk (ei e j ) ek = La contraccin tambin podramos haberla hecho por la izquierda: = uk Ti j ki e j = ui Ti j e j = v j e j = Ti j uk ei (e j ek ) = Ti j uk ei jk = Ti j u j ei = vi ei (A.73) (A.71) = Ti j Rkl ei el k j = Ti j R jl ei el (A.70)

v = u T = uk Ti j ek (ei e j ) = uk Ti j (ek ei )e j =

(A.74)

A.8. Producto exterior de tensoresSean T y R dos tensores de orden dos R = R i j ei e j T = Ti j ei e j

Denimos S como el producto tensorial de T y R de este modo El rango de S viene dado por la suma de los rdenes de R y T , por tanto, en este caso S es un tensor de orden cuatro. La generalizacin a orden N es la siguiente: R = R j,N+1 j,N+2... j2N eN+1 eN+2 e2N T = Ti1i2...iN e1 e2 eN (A.76) (A.77) (A.78) S = T R = Ti j Rkl ei e j ek el = Si jkl ei e j ek el (A.75)

S = T R = Ti1...iN R j,N+1... j2N e1 eN eN+1 e2N

A.9. AUTOANLISIS DE TENSORES DE SEGUNDO ORDEN

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A.9. Autoanlisis de tensores de segundo ordenSean u y T un vector y un tensor de segundo orden respectivamente, T = Ti j ei e j u = u k ek Se denomina autoanlisis del tensor T al estudio de las soluciones de la ecuacin T u = u (A.80) (A.79)

donde u se denomina autovector y autovalor. Es decir, es la bsqueda de direcciones del espacio en las que T acta simplemente como un escalar. Para resolver el problema planteado es conveniente reescribir la ecuacin anterior pasando todos los trminos al primer miembro de la ecuacin: (T I) u = 0 (A.81)

La condicin necesaria y suciente para que este sistema homogneo tenga solucin distinta de la trivial (u = 0) es que el determinante de sus coecientes sea cero: det(T I) = 0 (A.82)

Si desarrollamos este determinante obtenemos un polinomio cbico denominado polinomio caracterstico. La ecuacin caracterstica tiene la forma I3 I2 + I1 2 3 = 0 (A.83)

De esta ecuacin extraeremos tres soluciones, (1) , (2) y (3) que podrn ser, en general, una real y las otras dos complejas conjugadas. A partir de estos autovalores podremos calcular las direcciones principales o autovectores u. Esto se entender mejor viendo el ejemplo del nal de la seccin Invariantes del tensor de segundo orden. En el caso real y simtrico los tres autovalores sern reales y los autovectores correspondientes a autovalores distintos sern ortogonales. Los autovectores los podemos elegir de forma que constituyan una base ortonormal, {v (1) , v(2) , v(3) }. Si se cumple v(1) (v(2) v(3) ) = 1 entonces {v(1) , v(2) , v(3) } forman una base ortonormal directa y son el sistema de ejes principales del tensor T . En el sistema de ejes principales el tensor es diagonal. Cuando nos reramos al tensor T en el sistema de ejes principales lo denotaremos por T . Lo que hemos conseguido es una nueva base donde el tensor es diagonal. Vamos a demostrarlo: Si se tiene T = Ti j ei e j (A.84) entonces la componente Ti j puede obtenerse como Ti j = ei T e j = ei (Tkl ek el ) e j = Tkl (ei ek ) (el e j ) = Tkl ik l j = Ti j Las componentes de T en la base de los ejes principales,e i * ortonormal, son: Ti j * = ei * T e j * (A.86)

(A.85)

172


Pero como e j * es el autovector correspondiente al autovalor ( j) , entonces: Ti j * = ei *( j) e j * = ( j) ei * e j * = ( j) i j En virtud de los ltimos resultados, podemos escribir T * = ( j) i j ei * e j * = (1) e1 * e1 * + (2) e2 * e2 * + (3) e3 * e3 * (A.88) (A.87)

en los ejes principales. Hemos demostrado de esta manera, que el tensor en los ejes principales lo podemos escribir como: Ti = ik jl Tkl = (i) i j j (1) 0 0 T = 0 (2) 0 0 0 (3) (A.89)

(A.90)

A.10. Invariantes del tensor de segundo ordenSea T un tensor de segundo orden, T = Ti j ei e j . En el espacio tridimensional, de todo tensor de segundo orden se deducen tres invariantes, que se conocen como invariantes cannicos: Invariante lineal. Este invariante coincide con el determinante de T . El determinante es un invariante, como ya hemos visto, ya que es un escalar verdadero. Por tanto el valor del determinante de T es el mismo en todos los sistemas de referencia. 1 I1 = det(T ) = i jk lmn Til T jm Tkn = (1) (2) (3) 6 (A.91)

Invariante cuadrtico. Mediante un argumento anlogo al anterior vemos que esta cantidad es un invariante. I2 = T T T T T11 T12 + 11 13 + 22 23 T32 T33 T31 T33 T21 T22 =

1 = (Tii T j j Ti j T ji ) = 2 = (1) (2) + (1) (3) + (2) (3)

(A.92)

Invariante cbico. Esta cantidad es un invariante ya que coincide con el valor de la traza de T , que es un escalar verdadero. I3 = tr(T ) = Tii = (1) + (2) + (3) (A.93)

Ejemplo: Sea el tensor Ai j , cuyas componentes son los elementos de la matriz 1 4 6 Ai j = 4 3 2 6 2 2

(A.94)

A.10. INVARIANTES DEL TENSOR DE SEGUNDO ORDEN

173

Queremos reducirlo a la forma diagonal por una transformacin ortogonal. La ecuacin caracterstica o secular es 1 4 6 4 3 2 = 3 + 63 + 162 = 0 (A.95) 6 2 2 cuyas raices son 1 = 3 2 = 9 3 = 6

Por tanto, la forma diagonal buscada es

La transformacin ortogonal que nos permite pasar de una base a otra se obtiene resolviendo los sistemas: Para 1 = 3: 4 4 + 6 = 0 4 2 = 0 6 2 + 5 = 0 = 2 = 2

3 0 0 Ai j = 0 9 0 0 0 6

(A.96)

cuya solucin en funcin de es

De donde se obtiene el autovector (ya normalizado): u1 = Para 2 = 9: 1 (1 , 2 , 2) 3

cuya solucin en funcin de es

8 4 + 6 = 0 4 12 2 = 0 6 2 7 = 0 = 2 = 2

De donde se obtiene el autovector (ya normalizado): u2 = Para 3 = 6: 1 (2 , 1 , 2) 3

7 4 + 6 = 0 4 + 3 2 = 0 6 2 + 8 = 0

174

APNDICE A. NOCIONES BSICAS SOBRE CLCULO TENSORIALcuya solucin en funcin de es

= 13 5 = 11 5 1 u3 = (13 , 5 , 11) 315

De donde se obtiene el autovector (ya normalizado):

A.11. Tensores en coordenadas curvilneasPodemos denir los tensores de modo ms general basndonos en una transformacin arbitraria. Para ello consideramos dos conjuntos de variables independientes, x i y xi . Entre estos dos conjuntos de variables denimos la siguiente transformacin: xi xi (x j ) (A.97)

Ahora bien, para que esta transformacin est denida correctamente es necesario que sea invertible. Es decir, debe ser posible escribir tanto la relacin (A.97) como: xi xi (x j ) (A.98)

Para que esto ocurra es necesario y suciente que el jacobiano de la transformacin sea diferente de cero en todos los puntos.Se llama jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Por su parte, la matriz jacobiana no era ms que la matriz que relacionaba unas variables con otras a travs de las derivadas parciales. Por tanto, la condicin necesaria y suciente para que la transformacin sea invertible es: xi =0 (A.99) J= x j De forma ms explcita podemos escribir la expresin (A.99) como:x1 x1 x2 x1 xn x1 x1 x2 x2 x2 xn x2

J=

. . .

. . .

.. .

x1 xn x2 xn xn xn

. . .

=0

Visto esto, cabe cuestionarse la manera de expresar de forma ms genrica los escalares, los vectores, los tensores, etc. En primer lugar construyamos la magnitud que vamos a usar como referencia para denir un vector: x dxi = i dx j (A.100) x j Cualesquiera tres magnitudes que en la transformacin dada por (A.97) se transforman como la cantidad dxi se dice que forman un vector contracovariante. Pues bien, a las componentes de este tipo

A.11. TENSORES EN COORDENADAS CURVILNEAS

175

de vectores se les colocan superndices. Por tanto, debemos introducir una nueva notacin. As pues, la transformacin general dada por (A.100) la escribimos ahora como: xi xi (x j ) Por consiguiente, la transformacin entre los vectores contravariantes se dene como: Ai = xi j A x j (A.102) (A.101)

No obstante, como es evidente, no todas las magnitudes de tres componentes se transforman de esta manera. Por ejemplo, el gradiente de un escalar presenta una transformacin distinta. Vemoslo: Suele denirse el gradiente de un escalar,A, como: Bi = A xi (A.103)

La ley de transformacin en un cambio de coordenadas ser: Bj = y, si cambiamos el orden, nos queda: Bi = x j A x j A = i j = i Bj xi x x x (A.105) A xi A = i j x x x j (A.104)

Pues bien, cualquier magnitud A que se transforma segn la relacin (A.105) es un vector covariante. En este caso, para nombrar las componentes de dicho vector se emplean subndices. Ahora bien, podemos pensar que los vectores contravariantes y covariantes estn relacionados ya que cualquier vector puede ser expresado tanto en componentes contravariantes como en componentes covariantes. El tensor que relaciona ambos "tipos"de componentes es el llamado tensor mtrico. El tensor mtrico no es ms que el conjunto de funciones que denen la mtrica del espacio, es decir, la distancia entre dos puntos del espacio. En el caso del espacio tridimensional se tendrn seis funciones independientes.Podemos hacernos las preguntas Cmo denimos la mtrica de un espacio cualquiera? Cmo medimos distancias en cualquier sistema de referencia? Si tenemos dos puntos innitamente prximos, la distancia entre ellos viene dada por la ecuacin: ds2 = gi j dxi dx j Y esta expresin recibe el nombre de primera forma fundamental, donde: gi j = gi j (xk ) es el tensor mtrico, el cual es simtrico. (A.107) (A.106)

Ejemplo: Veamos el tensor mtrico en el caso de las coordenadas cartesianas en el plano. ds2 = dx2 + dy2 donde: g11 = 1

176

APNDICE A. NOCIONES BSICAS SOBRE CLCULO TENSORIALg22 = 1 g12 = 0

y este tipo de mtrica se puede resumir en: gi j = i j (A.108)

Todas las mtricas cuyo tensor mtrico se hace cero cuando los subndices son distintos entre s reciben el nombre de mtricas ortogonales.

Ejemplo: Veamos las coordenadas polares en el plano. ds2 = dr2 + r2 d2 donde grr = 1 g = r2 gr = 0 La distancia entre dos puntos no viene dada por el teorema de Pitgoras. (A.109)

Volvamos al concepto de tensor mtrico. Siempre debemos tener presente que el tensor mtrico nos informa de cmo se mide en el espacio en el que se trabaje. Por otra parte recordemos que hemos introducido el tensor mtrico para encontrar la relacin existente entre los vectores covariantes y contravariantes. Veamos, pues, tal relacin: Ai = g i j A j (A.110)

Observando la expresin anterior se ve que cuando se contrae un tensor contravariante con un tensor mtrico, se obtiene un tensor covariante. Ntese que el tensor mtrico tiene subndices en lugar de superndices. Esto es debido a que es covariante. Volvamos a la primera forma fundamental. Segn lo que acabamos de ver: ds2 = gi j dxi dx j = dxi (gi j dx j ) = dxi dxi (A.111) Segn esta ltima ecuacin, la distancia entre dos puntos no vara; es decir, es un escalar verdadero. En general tenemos que: Si contraemos un vector covariante con un vector contracovariante, obtenemos un escalar verdadero. Si contraemos un vector covariante con otro vector covariante, no se obtiene un escalar. Si contraemos un vector contracovariante con otro vector contracovariante, no se tiene un escalar.

A.11. TENSORES EN COORDENADAS CURVILNEAS

177

Ahora bien, segn todo lo que hemos visto hasta ahora, la operacin inversa de (A.110) resulta ser: A j = g ji Ai (A.112)

Es evidente que gi j son las componentes contravariantes del tensor mtrico (de ah que se usen superndices en lugar de subndices).Por denicin: gi j = (gi j )1 Consecuentemente: gi j g jk = k i (A.113) (A.114)

Como vemos, la expresin anterior no es ms que una nueva denicin de la delta de Krnecker. Qu ocurre si estamos en coordenadas cartesianas? Como las "g"son la "", las componentes covariantes coinciden con las componentes contravariantes (es decir, son las mismas). Esto es lo que hace que empleemos siempre subndices para nombrar a las componentes de los vectores sin preocuparnos de si son contravariantes o covariantes. Llegados a este punto debemos preguntarnos por las transformaciones entre tensores. Cmo denimos un tensor de segundo orden dos veces covariante? Cmo lo denimos si es dos veces contravariante? Cmo lo denimos si es mixto: una vez contravariante y otra covariante? De acuerdo a la transformacin de coordenadas que hemos visto, se denen como sigue: Si es dos veces contravariante: T Si es dos veces covariante: Ti j = Si es mixto: covariante y contravariante: Ti =j ij

=

x i x i kl T xk xl xk xi Tkl x i x j

(A.115)

(A.116)

xk x j l T x i xl k

(A.117)

Ahora bien, cmo pasamos de contravariante a covariante, es decir, cmo se suben y se bajan ndices? Con el tensor mtrico. Por tanto: Ti j = gik g jl T kl Til = gik T kl Esto contiene el caso de las transformaciones de las coordenadas ortogonales: xi = i j x j y de aqu se saca que: i j = y de xi x j (A.120) (A.118) (A.119)

(A.121) (A.122)

x j = i j xi

178

APNDICE A. NOCIONES BSICAS SOBRE CLCULO TENSORIALx j xi

i j = entonces i j = y, por tanto

(A.123)

x j xi = x j xiij

(A.124) (A.125)

Ti j = ik jl Tkl = T

de aqu que no haya que hacer diferenciacin entre componentes covariantes y contravariantes en un sistema cartesiano: Se transforman de la misma manera! As pues, de aqu se deduce tambin el que no se usen unas veces superndices y otras subndices. No obstante, hay materias de la fsica en la que esto no se puede obviar. Es el caso de la relatividad, en la que s es importante diferenciar entre vectores covariantes y contravariantes, siempre que las coordenadas sean curvilneas.

A.12. Diferenciacin de tensores cartesianosSupongamos ahora que tenemos un campo tensorial representado por un tensor de segundo orden siendo las componentes del tensor funciones de las coordenadas. As pues, nuestro tensor resulta ser: Ai j (xk ). Pues bien, vamos a construir la siguiente magnitud: Ai j xk (A.126)

Vamos a ver la actuacin del operador nabla, , en coordenadas cartesianas sobre un tensor de segundo orden. La actuacin de nabla sobre un tensor sin contraer se denomina gradiente. La actuacin de nabla sobre un tensor contrayendo se denomina divergencia. Para referirnos al gradiente en varias dimensiones se usa el operador nabla: . Por su parte, el gradiente se puede representar tambin por o por . El que detrs de nabla no aparezca nada o aparezca el smbolo signica que "no se contrae". Veamos cmo se transforma la siguiente ecuacin en un cambio de coordenadas ortogonales: Bi jk = Podemos escribir Bi jk = (il jm Alm ) xn Alm = = il jm kn xn xn xk xk il jm kn Blmn = Ai j Ai j xk (A.127)

(A.128)

y esto no es ms que el gradiente. Si observamos la expresin anterior, vemos que el gradiente ha hecho que el tensor nos aumente en un grado; es decir, tenamos un tensor de segundo orden y al hacer el gradiente hemos obtenido un tensor de tercer orden. As pues, en general, al hacer el gradiente de un tensor de orden N se obtiene un tensor de orden N + 1. El resultado anterior no es correcto en el caso de tensores no cartesianos.

A.12. DIFERENCIACIN DE TENSORES CARTESIANOSAntes de continuar, consideremos la siguiente notacin: Ai j = A i j ,k xk

179

(A.129)

como vemos, cuando tengamos uno o ms subndices separados del resto de subndices por una coma, tendremos que derivar la expresin respecto a la componente que tenga esos subndices. En denitiva, una coma dentro de un subndice implica una derivada. Volvamos al operador nabla. El operador nabla 5 se dene como: = xi (A.130)

Cules son las operaciones que se pueden realizar con este operador sobre cualquier magnitud? Estas operaciones dependen del tipo de magnitud sobre la que acten. As pues, tenemos: El operador nabla actuando sobre un escalar. En este caso el operador no puede actuar ms que de una manera: como gradiente. Por tanto, si tenemos un escalar A, su gradiente vendr dado por A. Dicho gradiente es un vector: A = El operador nabla actuando sobre un vector. En este caso el operador nabla puede actuar sin contraer o contrayendo. Por tanto, si tenemos un vector B = Bi , nos podemos encontrar con: Gradiente de B B = Bi x j (A.132) A xi (A.131)

donde vemos que no se contrae sobre ningn ndice puesto que no hay ndices repetidos. Consecuentemente, el gradiente de un vector es un tensor de segundo orden. Divergencia de B B = La divergencia de un vector es un escalar. Rotacional de B B = i jk Bk x j (A.134) Bi xi (A.133)

donde vemos que para obtener un vector hemos tenido que introducir un tensor de tercer orden.

Ejemplo: Demostracin en coordenadas cartesianas de que se verica la siguiente identidad: ( f A) = ( f ) A + f ( A)5 Este

(A.135)

operador siempre en un vector, se le ponga o no la "echita"encima.

180


Escribamos el rotacional de f A en componentes teniendo en cuenta que B = ( f A), por tanto: Bi = i jk ( f Ak ), j = i jk ( f Ak , j + f , j Ak ) = f i jk Ak , j +i jk f , j Ak Esta ecuacin la podemos expresar vectorialmente: B = ( f A) = f ( A) + ( f ) A (A.137) (A.136)

Si comparamos (A.137) con (A.135) vemos que son idnticas salvo en el orden de los sumandos del segundo miembro. Como el orden de la suma (en este caso) no afecta al resultado, queda demostrada la identidad (A.135) que es lo que se nos peda.

Ejemplo: Prueba en coordenadas cartesianas de que es cierta la siguiente identidad: (A ) f = A f Expresemos el primer miembro de la igualdad en componentes: (A ) f = Ai xi f = Ai f = Af xi (A.139) (A.138)

Ejemplo: Demostracin en coordenadas cartesianas de que es cierta la siguiente identidad: (A B) = A( B) B( A) + (B )A (A )B (A.140)

Al igual que en los casos anteriores vamos a trabajar con componentes pero antes multiplicamos el rotacional del producto vectorial de los vectores A y B por p : p [ (A B)] = pqk [k ji A j Bi ],q = pqk k ji A j Bi ,q + pqk k ji A j ,q Bi Por otra parte, recordando la denicin de la delta de Krnecker, podemos escribir: p [ (A B)] = ( p j qi pi q j )A j Bi ,q +( p j qi pi q j )A j ,q Bi = A p Bi ,i Aq B p ,q +A p ,q Bq Aq ,q B p Y reescribiendo la expresin anterior en forma vectorial tenemos: (A B) = A( B) ( A)B + (B )A B(A ) (A.143) (A.141)

(A.142)

Observando la ecuacin anterior vemos que es igual a la ecuacin (A.140) salvo en el orden de los trminos. Dicho orden, en este caso, no afecta el resultado. As pues, queda demostrada la expresin (A.140).

Ejemplo: Prueba en coordenadas cartesianas de la veracidad de la expresin: ( A) = ( A) 2 A (A.144)

A.13. TEOREMA DE HAMILTON-CAYLEYVamos a seguir los mismos pasos que en el ejemplo anterior: p ( A) = i jk Ak , j por lo tanto: p [ ( A)] = pqr [r jk A j , j ],q = pqr r jk Ak , pk A p ,qq = ( p j qk pk q j )Ak , jq = = Ak , pk A p ,qq

181

(A.145)

(A.146)

y escribiendo la ecuacin (A.146) en forma vectorial queda: ( A) = ( A) 2 A que es la expresin que queramos demostrar. (A.147)

A.13. Teorema de Hamilton-CayleyToda matriz cuadrada satisface su ecuacin caracterstica. Su demostracin es complicada y tediosa, por tanto no la vamos a hacer. Sin embargo, vamos a ver qu signica. Para ello vamos a ver un caso particular. Supongamos que tenemos una matriz cuadrada cualquiera de orden N. Llamemos a dicha matriz A. Su polinomio caracterstico es de orden N y viene dado por: det(A xI) |A xI| Por tanto, su ecuacin caracterstica es: f (x) |A xI| = 0 (A.149) (A.148)

donde A es la matriz cuadrada dada, I es la matriz identidad y x es un nmero que permite que se satisfaga la ecuacin. El teorema de Hamilton-Cayley dice que si sustituimos el nmero x por la matriz cuadrada A, se sigue satisfaciendo la ecuacin caracterstica, esto es: f (A) = 0N donde 0N representa a la matriz cuadrada nula de orden N. Expresado en forma matricial: 0 0 0 I3 I I2 A + I1 A2 A3 = 0 0 0 0 0 0 Ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente matriz cuadrada 2 2: A= 1 3 4 5 (A.152) (A.150)

(A.151)

182


En primer lugar, calculemos su ecuacin caracterstica: |A xI| = 1x 3 4 5x = (1 x)(5 x) 12 = 0 (A.153)

La ecuacin caracterstica ser por tanto: x2 6x 7 = 0 (A.154)

Es evidente que hay varios valores de x que satisfacen esta ecuacin. Dichos valores se obtienen sin ms que resolver la ecuacin. Ahora bien, el teorema de Hamilton-Cayley dice que la matriz cuadrada A satisface dicha ecuacin, es decir, que se cumple: 1 3 4 5 Veamos si es cierto: 1 3 4 5 =2 2

6

1 3 4 5

7

1 0 0 1

=

0 0 0 0

(A.155)

6

1 3 4 5

7

1 0 0 1 7 0 0 7

= =0 (A.156)

13 18 24 37

6 18 24 30

As hemos comprobado el teorema para nuestro caso particular.

A.13.1. Corolario del teorema de Hamilton-CayleyCualquier potencia de una matriz cuadrada A (m m) se puede expresar como una combinacin lineal de las matrices I, A, . . . , Am1 siendo An la potencia n-sima de A, donde los coecientes de la combinacin son funcin de los invariantes de A. Para aclarar ideas, veamos un caso particular: Supongamos que A es una matriz 3 3 y que buscamos A 3 . Como A satisface la ecuacin caracterstica, ecuacin (A.151), podemos de ella despejar A 3 como A3 = I3 I I2 A + I1 A2 (A.157)

Efectivamente, hemos podido expresar la potencia A 3 en funcin de I, A y A2 . Pero, qu ocurre si nos piden A4 ? Podremos expresarla en funcin de I, A y A 2 o necesitaremos tambin expresarla en funcin de A3 ? Segn el corolario no ser necesario A 3 , ya que A4 = I3 A I2A2 + I1 A3 = I3 A I2 A2 + I1 I3 I I2 A + I1 A2 =2 (I1 I3 ) I + (I3 I1 I2 ) A + I1 I2 A2

(A.158)

Como podemos ver, efectivamente la mxima potencia es m 1; en nuestro caso 3 1 = 2. De este caso particular podemos deducir la expresin general: An = bm I + bm1 A + bm2 A2 + + b1 Am1 donde los bi son funciones de los invariantes de A. (A.159)

A.14. DESCOMPOSICIN ADITIVA DE TENSORES DE ORDEN 2

183

A.13.2. Funcin de una matrizPara denir la funcin de una matriz es necesario conocer el desarrollo en serie de potencias de Taylor de esa funcin para una variable "habitual". En dicho desarrollo se sustituye la variable "habitual"por la matriz. Para verlo ms claro, hagamos un ejemplo concreto: Supongamos que tenemos el seno de una matriz A cualquiera de dimensin m m, es decir: f (A) = sin (A) (A.160) La pregunta que se nos viene a la cabeza es qu signicado tiene esta expresin? Pues bien, lo que tenemos que hacer es remitirnos al desarrollo en serie de potencias de Taylor del seno. Es decir: sin x = x x3 x5 x7 + + 3! 5! 7! (A.161)

Una vez conocido el desarrollo oportuno, para denir el seno de la matriz basta con sustituir en el desarrollo de Taylor la x por la matriz correspondiente: sin A = A A3 A5 A7 + + 3! 5! 7! (A.162)

Una propiedad interesante es que, a pesar de que el desarrollo en serie de potencias de Taylor del seno de x tiene innitos trminos, el desarrollo del seno de la matriz A no tiene innitos trminos puesto que, en virtud del corolario del teorema de Hamilton-Cayley, podemos expresar cualquier potencia de A como combinacin lineal de matrices, siendo A m1 la matriz de mayor potencia si la matriz A es de dimensin m m. Para el caso m = 3, se tiene: sin A = c3 I + c2 A + c1 A2 (A.163) Los coecientes que acompaan a las potencias de la matriz en la combinacin lineal, aunque son un nmero nito, pueden estar formados por una suma innita de trminos; es decir c 1 , c2 y c3 (en nuestro caso) pueden ser una suma de innitos trminos, funciones de los invariantes de A.

A.14. Descomposicin aditiva de tensores de orden 2En esta seccin vamos a estudiar dos formas distintas de descomponer un tensor de segundo orden en dos sumandos con unas caractersticas determinadas. Por un lado lo descompondremos de manera tal que uno de los sumandos tenga como peculiaridad su isotropa. Mediante la segunda forma de descomposicin obtendremos un sumando perfectamente simtrico y otro antisimtrico.

A.14.1. Partes esfrica y desviadorSe denomina tensor esfrico a un tensor istropo, que puede descomponerse en dos partes,A = AE + AD , donde la parte esfrica hace referencia a la componente istropa, es decir: AE = 1 Tr(A) I 3 (A.164)

y la parte desviatoria o desviador se corresponde con la parte restante: 1 AD = A Tr(A) I 3 (A.165)

184


AE tiene una componente independiente, mientras que A D tiene, por tanto, ocho componentes independientes. La relacin que cumplen las componentes del desviador es que su traza es nula, es decir: Tr(AD ) = 0 (A.166) Esta propiedad se demuestra de forma trivial a partir de las propias deniciones: 1 Tr(AD ) = Tr(A) Tr(A) Tr(I) = Tr(A) Tr(A) = 0 3

A.14.2. Partes simtrica y antisimtricaComo vamos a mostrar a continuacin, cualquier tensor se puede descomponer en uno que sea simtrico y otro que sea antisimtrico: A = A S + AA (A.167) donde AS se reere a la parte simtrica, 1 AS = (A + At ) 2 que tiene seis componentes independientes, y A A se reere a la parte antisimtrica, 1 AS = (A At ) 2 (A.169) (A.168)

que tiene tres componentes independientes. Sea A un tensor, que expresado en sus componentes simtrica y antisimtrica tendr la forma: 1 1 1 1 1 1 A = A + A + At At = (A + At ) + (A At ) 2 2 2 2 2 2 donde el primero y el segundo sumando del ltimo trmino se corresponden, respectivamente, con un tensor simtrico y uno antisimtrico.

A.15. EJERCICIOS PROPUESTOS

185

A.15. Ejercicios propuestosEjercicio 1. Exprese en notacin de ndices las siguientes cantidades: A (B C) B(A C)

A (B C) B(A C) C(A B) y verique que A (B C) = B(A C) C(A B) Ejercicio 2. Escriba cada una de las expresiones siguientes teniendo en cuenta el convenio de sumacin de los ndices repetidos: d = dx1 + x2 dx2 + + xN dxN . x1 2 2 2 2 x1 + x2 + x3 + + xN .

ds2 = g11 (dx1 )2 + g22 (dx2 )2 + g33 (dx3 )2 . 3 3 g pq dx p dxq . p=1 q=1

Ejercicio 3. Escriba todos los trminos de cada una de las siguientes sumas indicadas: a jk xk A pq Aqr grs

Ejercicio 4. Halle el ngulo formado por los vectores A = (2, 2, 1) y B = (6, 3, 2). Ejercicio 5. Halle los ngulos que forma el vector A = (3, 6, 2) con los ejes coordenados. Ejercicio 6. Halle la proyeccin del vector A = (1, 2, 1) segn la direccin de B = (4, 4, 7). Ejercicio 7. Halle la ecuacin del plano perpendicular al vector A = (2, 3, 6) y que pasa por el extremo del vector B = (1, 5, 3). Ejercicio 8. Demuestre que

|A B|2 + |A B|2 = |A|2 |B|2

186


Ejercicio 9. Si A = (3, 1, 2), B = (2, 1, 1) y C = (1, 2, 2), halle (A B) C.

Ejercicio 10. Determine el vector unitario perpendicular al plano formado por A = (2, 6, 3) y B = (4, 3, 1). Ejercicio 11. Siendo A = a1 i + a2 j + a3 k y B = b1 i + b2 j + b3 k, demuestre que AB = i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3

Ejercicio 12. Demuestre que el valor absoluto de A (B C) es igual al volumen de un paraleleppedo de aristas A, B y C. Ejercicio 13. Calcule (2i 3 j) [(i + j k) (3i k)]. Ejercicio 14. Halle la ecuacin del plano formado por los puntos P1 (2, 1, 1), P2 (3, 2, 1) y P3 (1, 3, 2). Ejercicio 15. Siendo (x, y, z) = 3x2 y y3 z, halle (gradiente) en el punto (1, 2, 1). Ejercicio 16. Siendo A = x2 zi 2y3 z2 j + xy2 zk, halle A (divergencia) en el punto (1, 1, 1). Ejercicio 17. Siendo A = xz3 i 2x2 yz j + 2yz4 k halle A (rotacional) en el punto (1, 1, 1). Ejercicio 18. Demuestre que el producto exterior de dos vectores contravariantes A i y Bi , resulta un tensor de segundo orden contravariante. Ejercicio 19. Sean Ai j y Ai j las componentes de un tensor de segundo orden. Pruebe que = A i j Ai j es un escalar. Ejercicio 20. Sea Ak un tensor de tercer orden. Demuestre que la contraccin Ai es un tensor de primer orden contravariante.ij ij

A.15. EJERCICIOS PROPUESTOS

187

Demuestre que la contraccin de los ndices i y j produce A ii , el cual no es un tensor. Esto k muestra que, en general, el proceso de contraccin se aplica a ndices de distinto nivel. Ejercicio 21. Encuentre los autovalores y autovectores asociados a la matriz A: 1 1 2 A= 1 2 1 2 1 1 Muestre que los autovectores son ortogonales.

Ejercicio 22. Exprese en forma tensorial: la velocidad. la aceleracin de una partcula en movimiento. Ejercicio 23. Exprese la ley de Newton de la mecnica en forma matricial.

188


Bibliografa[1] Luis A. Santal: Vectores y tensores con sus aplicaciones, Editorial universitaria de Buenos Aires (1970). [2] Fred A. Hinchey: Vectores y Tensores, Editorial Limusa (1979). [3] Murray R. Spiegel: Teora y problemas de anlisis vectorial y una introduccin al anlisis tensorial, Editorial McGraw-Hill (1974). [4] J.H. Heinbockel: Introduction to tensor calculus and continuum mechanics. [5] Barry Spain: Clculo Tensorial, Editorial Dossat (1960). [6] Manuel Zamora: Termo I, Publicaciones de la Universidad de Sevilla (1998).

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Apuntes a. Tensorial[1]

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