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DEPARTAMENTO DE MATEMATICASCARRERA DE INGENIERIA CIVIL

ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL

EJERCICIOS PROPUESTOS

GQP

SEMESTRE II/2016

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SEMESTRE II/2016ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL

PRACTICA # 1VECTORES Y ESCALARES

PUNTO Y VECTOR :Un objeto físico , consideramos a un punto como el objeto físico más simple , tiene

propiedades : ubicación , masa , velocidad , temperatura , etc. La cantidad o magnitudde la propiedad que posee el objeto físico se mide en alguna unidad de�nida . Si dichamagnitud se puede representar solamente por un número , esa propiedad se dice que es unescalar ; y si dicha propiedad se representa por más de un número se denomina magnitudvectorial.

Dado el plano , cada punto de él se puede representar mediante un par de númerosreales ( gracias a un sistema de coordenadas ) . Un punto simplemente es una ubicación oposición en el plano ( no tiene módulo , dirección o sentido )

Un vector desplazamiento es una magnitud física que permite trasladar un punto (inicial ) a otro punto ( �nal ) ( actúa sobre un punto y lo transforma en otro punto ) .El módulo de un vector desplazamiento nos indica la distancia entre la posición �nal y laposición inicial de la partícula. La dirección de un vector es la recta de�nida por la posicióninicial y la �nal de la partícula; o cualquier recta paralela. El sentido de un vector indicaen cuál de las dos posibilidades de desplazarse sobre la recta , se realiza el desplazamiento.

Las nociones fundamentales de este capítulo se re�eren a movimientos de puntos enun espacio y a las distancias de�nidas por dichos movimientos.

EJERCICIOS

1. Determinar algebraicamente el vector desplazamiento A ( y hacer el grá�co respec-tivo ) que desplaza : a) el punto (3; 4) al punto (8;�2) . b) el punto (0; 4) al punto(0;�4) . c) el punto (x1; y1) al punto (x2; y2)

2. Un automovil recorre 4 kilómetros al norte y luego 6 kilómetros hacia el noreste. Representar estos vectores como �echas y halle el desplazamiento total : a) grá-�camente . b) algebraicamente .Halle los módulos de los vectores empleados en elproblema y explique el signi�cado de esos valores .

3. a)Los puntos (2; 6) , (11; 9) y (5;�3) son tres vértices de un cuadrado . Marcardichos puntos y mediante desplazamientos encontrar el cuarto vértice y el centrodel cuadrado .b) Mediante desplazamientos determinar los puntos que trisectan elsegmento de recta determinado por los puntos (3;�1) y (6; 2) . Realize el grá�corespectivo y controle sus resultados numéricos

4. Qué conjunto de puntos representa : a) la expresión (1; 0) + k(0; 1) + r(1; 1) donde(1; 0) es punto y 0 � k; r � 1 b) P + kA + rB donde P es un punto del plano y0 � k; r � 1 .

5. Dadas las 8 propiedades de las operaciones suma de vectores y multiplicación por unescalar o número real en R2 ( como también en Rn ); indicar en sus propias palabrasel signi�cado de dichas igualdades en términos de desplazamientos .

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(x1; x2) + (y1; y2) = (x1 + y1; x2 + y2) . k(x1; x2) = (kx1; kx2)

A+B = B +A

A+ (B + C) = (A+B) + C

( 0 es el desplazamiento nulo ) A+ 0 = 0 +A

Para cada vector A existe un vector W , tal que : A+W =W +A = 0

k(A+B) = kA+ kB

(k + r)A = kA+ rA

k(rA) = (kr)A

1A = A

6. Dados los vectores A = (4;�2) , B = (�3;�1) , C = (2; 4) , D = (�1; 5) ; construirgrá�camente los vectores :

a) 3A� 2B � (C �D) :b) 12C +23(A�B + 2D)

7. El baricentro de un triángulo es la intersección de las medianas y se conoce quese encuentra ( sobre cada mediana ) a distancia de 1

3 de un lado y23 del vértice

respectivo . Empleando suma y multiplicación por escalar de�nidas sobre vectores ,determinar el baricentro del triángulo de vértices (10; 0; 0) , (0; 18; 0) y (0; 0; 24)

8. Dado el cuadrilátero de vértices (2;�4; 0) , (8; 0; 0) , (5; 10; 0) y (�6; 2; 0) , comprobarque los vectores que unen los puntos medios de sus lados son dos a dos iguales oinversos aditivos.

9. El módulo de un vector A = (x; y) se calcula según

jAj =px2 + y2

Un vector unitario es un vector que tiene módulo 1

Por ejemplo V = (35 ;45) es un vector unitario . Para cualquier vector A , los vectores

� 1

jAjA son vectores unitarios con la misma dirección que el vector A , pero de

sentidos contrarios .

Los vectores unitarios (1; 0) y (0; 1) se acostumbra denotarlos por

i = (1; 0) ; j = (0; 1)

entonces el vector A = (x; y) se puede escribir como A = xi+ yj

Empleando vectores desplazamientos , determinar los puntos del plano que se en-cuentran sobre la recta determinada por los puntos (0; 0) y (3; 4) y a una distanciade 100 unidades

10. Sean A ; B ; C ; D ; E ; F los vértices de un exágono regular inscrito en unacircunferencia de radio 1 . Si un punto se desplaza sucesivamente según los vectores

desplazamientos!AB ,

!AC ,

!AD ,

!AE y

!AF ; determine a qué distancia se halla

su posición �nal respecto de su posición inicial .

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11. Demostrar la igualdad vectorial

�!OA+

��!OB +

��!OC =

��!OP +

��!OQ+

��!OR

siendo O un punto cualquiera interior al triángulo ABC y P , Q , R los puntosmedios de los lados AB , BC y CA respectivamente .

Es cierta la igualdad, si O es un punto exterior al triágulo dado ? . Justi�que surespuesta .

12. Determinar geométricamente todos los puntos del plano que corresponden a la ex-presión algebraica

(1; 0) + t(1;�1) ; �1 < t <1

13. Cuando se escribe el vector A = (3; 4) en la forma 3i+ 4j , se dice que está escrito

en la base fi; jg . Escribir el vector A en basen�!a ; �!b o, con �!a = i+ j , �!b = j

A = u!a + v

!b

El par de números (u; v) se denomina coordenadas del vector A en base�!a ;

!b

�Representar geométricamente el vector A tanto en la forma 3i + 4j , como en la

forma u!a + v

!b .

14. Sean r1, r2, ......, rn los vectores posición , respecto de un origen O, de las masapuntuales m1, m2;......., mn respectivamente . Demostrar que el vector posición delcentro de masa viene dado por

r =m1r1 +m2r2 + ::::::+mnrnm1 +m2 + :::::::+mn

independientemente del origen elegido. Es decir, si elige otro punto O� como origende coordenadas, la posición del centro de masa es siempre la misma.

15. Determinar el centro de masa de 4 masas puntuales ubicadas sobre un cuadrado delado 8 metros; donde las masas - recorriendo en sentido antihorario - son respectiva-mente 1 Kg: , 2 Kg: , 4 Kg: y 8 Kg: respectivamente .

16. Una partícula ubicada en el origen de coordenadas se desplaza hasta el punto (10; 5)siguiendo por una parte direcciones dadas por los vectores (2;�1) y (�1; 1) ; y porotra parte direcciones según los vectores (1; 3) y (0;�2). En cuál de los movimientosrecorre mayor distancia ?

17. Una partícula inicialmente ubicada en el punto (0; 0; 8) se desplaza hasta el punto(10; 20; 30) siguiendo las direcciones dadas por los vectores (2;�1; 1) , (0; 3; 4) y(�1; 1; 2) determinar la distancia total recorrida por la partícula

18. Repasar los Ejercicios Resueltos del texto base: 3, 4, 10, 12, 13, 16, 19, 21, 25.

19. Resolver los Ejercicios Propuestos: 36, 45, 50 , 51, 57.

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PRACTICA # 2CAMPOS , PRODUCTO ESCALAR , PRODUCTO VECTORIAL

1. Expresar el vector desplazamiento A = 6i� 8j como suma de dos vectores i) en lasdirecciones de a = �i+ j , b = 3i� j . ii) en las direcciones de a = �2i , b = i+ j. Realize los grá�cos correspondientes

2. Un campo escalar ( distribución de temperatura en el plano ) está dada por la función

T (x; y) = x� y

i) representar grá�camente los puntos del plano donde la temperatura T vale : T = 0, T = 1 , T = 2 , T = 3 , T = �1 , T = �2 , T = �3 . ii) En base a la resolucióndel inciso anterior , determinar en qué punto del cuadrado de vértices ( �4;�4) setiene la mayor temperatura . En qué punto del círculo

�(x; y) j x2 + y2 � 9

se tiene

la menor temperatura .

3. Lo mismo que el ejercicio anterior para el campo escalar ( distribución de temperaturaen el plano )

T (x; y) = xy

4. Determinar el módulo del vector proyección cuando A = (2; 2; 1) se proyecta sobreel plano que pasa por los puntos (4; 0; 0) , (0; 8; 0) y (0; 0; 12):

5. Determinar la relación entre la altura y la base de un rectángulo, si cuando seproyecta la base sobre una diagonal, el módulo de la proyección es la cuarta partede la longitud de la diagonal.

6. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F = 3i + 4j al desplazar una masapuntual desde el punto (0; 4) hasta (10;�8) : i) mediante la fórmula T = Fuerza endirección del desplazamiento x distancia desplazada ( no se emplea vectores ) .ii)Mediante la fórmula T = F � D ( producto escalar del vector fuerza dado por elvector desplazamiento ) .

7. Si F = 3i+4j y D = �6i+2j , cuál es el signi�cado ( en términos de trabajo ) delvalor F �D ( en particular del valor negativo y cero de dicho producto escalar ) ? .

8. Se denomina vector posición de un punto ( en el plano o en el espacio ) al vectordesplazamiento necesario para trasladar una partícula ubicada en el origen hastadicho punto .

a) Si P1 y P2 son los vectores posición de los puntos M y N ; cuál es el signi�cadoque se puede dar a la suma de los vectores posición P1 + P2 ? . Realize el grá�corespectivo . Ilustre su a�rmación con un ejemplo concreto tanto en el plano como enel espacio .

9. Un campo vectorial ( distribución de vectores fuerzas en el plano ) está dado por lafunción

F (x; y) = (y;�x) �o F (x; y) = yi� xj

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i) representar los vectores del campo en los puntos (1; 0) , (2; 0) , (1; 1) , (1; 2) , (0; 1), (0; 2) , (�1;�1) , (�1; 2) , (�1; 0) , (�2; 0) , (�1;�1) , (�1;�2) , (0;�1) , (0;�2), (1;�1) , (1;�2):ii) representar grá�camente los puntos donde las fuerzas correspondientes tienen lamisma dirección que el vector A = i+ j

iii) representar grá�camente los puntos donde las fuerzas correspondientes tienenmódulo 5 .

iv) si se ubicara una masa puntual de 1 kg en un punto del plano donde la fuerzaF tiene módulo 5; y la misma dirección y sentido que el vector A = i+ j: Describael movimiento inicial de dicha masa . ( las unidades de F en cada componente sonNewtons )

10. Lo mismo que el ejercicio anterior para el campo vectorial

F (x; y) = (�x;�y) �o F (x; y) = �xi� yj

11. Demostrar que en un campo vectorial de fuerzas constante , se desplaza una masapuntual alrededor de un polígono cerrado cualquiera , entonces el trabajo realizadoen dicho desplazamiento por las fuerzas del campo es cero .

12. Un campo vectorial de fuerzas central está de�nido en el plano. En cada punto P delplano, está de�nido un vector fuerza F , donde su dirección es la recta que pasa porel punto y el centro O; su sentido es el que va del punto al centro O y su móduloes igual al inverso de la distancia al cuadrado del punto P al centro.

O

P

F

a) Empleando el sistema de coordenadas cartesianas (y ubicando el centro O en elorigen de coordenadas), expresar vectorialmente dicho campo de fuerzas.

13. Una partícula ubicada en el punto (�10; 0) crea en cada punto (x; y) del plano, unafuerza de atracción de módulo 1, en dirección y sentido hacia el punto (�10; 0).Otra partícula ubicada en (10; 0) crea en cada punto (x; y) del plano, una fuerzade atracción de módulo 1; en dirección y sentido hacia el punto (10; 0):Bosquejar elcampo de fuerzas resultante a) sobre la recta x = 0 , b) sobre la recta y = 0

14. Calcular el trabajo realizado para desplazar una partícula a lo largo de la poligonal(�4; 0) , (�2; 2) , (0; 4) , (2; 2) y (4; 0) por el campo vectorial de fuerzas constantea) F (x; y) = i+ j . b) F (x; y) = 2j .

15. En el espacio se tiene que el campo ( vectorial ) de velocidades originado por losvectores velocidad de un líquido en movimiento , es constante (en todo instante ) ;y está dado por

V (x; y; z) = (0; 3; 0) = 3j

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calcular el caudal ( volumen de líquido que atraviesa un área por unidad de tiempo) que pasa por el área rectangular de vértices (0; 2; 0) , (3; 2; 0) , (0; 2; 5) y (3; 2; 5)

16. Lo mismo que el ejercicio anterior cuando V (x; y; z) = i + 2j + 2k : i) sin emplearvectores . ii) empleando vectores .

17. Para el campo vectorial de velocidades V (x; y; z) = i+ 2j + 2k y el paralelepípedode vértices (0; 0; 0) , (4; 0; 0) , (4; 4; 0) , (0; 4; 0) , (0; 0; 8) , (4; 8; 0) , (4; 4; 8) y (0; 4; 8)y el recinto ; determinar las partes de la super�cie de dicho recinto donde está : i)ingresando líquido . ii) saliendo líquido . iii) no ingresa , ni sale líquido .

18. Dados los vectores A = 3i+ 4j , B = i+ 2j + 2k ; determinar A�B y veri�car que

A ? A�B ; B ? A�B ; jA�Bj = jAj jBj sin �

y que jA�Bj representa el área del paralelogramo determinado por los vectores Ay B.

19. Determinar el área del paralelogramo generado por los vectores A = (6; 2; 0) y B =(2; 4; 0)

20. Repasar Ejercicios Resueltos 38, 40, 41, 43, 45 ; 47, 53 , 54

21. Si una masa puntual de masa m está unida a un punto �jo mediante una varillamuy delgada ( que puede girar alrededor de dicho punto ) en el plano . El punto �jotiene coordenadas (0; 0) , la varilla inicalmente está ubicada sobre el eje x positivo ytiene una longitud l = 6 ( metros ) . Si se aplica a dicha masa una fuerza F = i+ j, la masa puntual empieza a girar; calcule el momento de torsión de la fuerza F alinicio de la rotación : i) i) sin emplear producto vectorial . ii) empleando el productovectorial.

22. Resolver los Ejercicios Propuestos 66, 68, 71, 72, 73, 92, 95, 96, 97, 102; 104:

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PRACTICA # 3DIFERENCIACION VECTORIAL

CURVAS EN R3

1. Si dos partículas se mueven según las funciones r(t) = (t; t2; 1) y p(t) = (t; t; 1) ,determinar los instantes donde dichas partículas se encuentran . (realize los grá�coscorrespondientes )

2. Si una partícula se mueven según las r(t) = (cos t; sin t; 0) a) determinar los vectorestangentes en los puntos (1; 0; 0) , (0; 1; 0) , (�1; 0; 0) , (0;�1; 0) , (

p22 ;

p22 ; 0) , ( realize

los grá�cos correspondientes ) .b) mostrar que el ángulo entre dos vectores tangentescualesquiera es igual al ángulo formado por los vectores posición de los puntos dondese calculan los vectores tangentes .

3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva r(t) = (t2; t; 0) en el punto :i) (1; 1; 0) , ii) (4;�2; 0)

4. En qué punto se intersectan las rectas tangentes anteriores ?

5. Si r(t) = (t; t2; 0) da la posición de una partícula que se mueve en el plano , deter-minar la ecuación del plano osculador de la curva en el punto (2; 4; 0) . ( NOTA : elplano osculador pasa por el punto dado con vector normal que es perpendicular a

�r

y��r , calculados en dicho punto

6. Para la curva r(t) = (cos t; sin t; t) , determinar la ecuación del plano osculador de

la curva en el punto : a) (1; 0;�

2) , b) (0;�1; 3�

2)

7. La curvatura de una curva en un punto se calcula según la fórmula

{ =

����r x ��r �������r���3( mide la variación del ángulo de tangencia por unidad de longitud de arco , cuandodicha longitud tiende a cero . Cuanto mayor es la curvatura en un punto , mayorcurveamiento de la curva se da en dicho punto ) .

Empleando propiedades geométricas , mostrar que la curvatura de una circunferencia

es igual a � =1

R, siendo R el radio de la circunferencia .

8. Empleando el concepto de curvatura , determinar aproximadamente la curvatura dela grá�ca de y = x2 en el punto (0; 0) . Calcule la longitud de arco desde (0; 0) hasta(0;01; 0;012) y la variación �� del ángulo de tangencia entre dichos puntos .

9. Gra�car la curva r(t) = (t; t2; 0) y determinar su curvatura para cada t e indicar elcomportamiento de dicho valor a medida que t aumenta. Representar la grá�ca de�(t) en función de t

10. En el ejercicio anterior , determinar la ecuación del círculo osculador en el punto demayor curvatura .

9

11. Dada curva r(t) = (R cos t; R sin t; 0) y determinar su curvatura para cada t eindicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta .

12. Gra�car la curva r(t) = (t cos t; t sin t; 0) , t � 0 ( espiral ) y determinar su curvaturapara cada t; indicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta.Representar la grá�ca de �(t) en función de t

13. La torsión de una curva en un punto se calcula según la fórmula

� =

����r � ��r � ���

r�������r � ��

r���2

( mide la variación del ángulo de la binormal - perpendicular al planoosculador - porunidad de longitud de arco , cuando dicha longitud tiende a cero . Cuanto mayor esla torsión en un punto , se tiene mayor variación del plano osculador , plano quelocalmente contiene a la curva ; y por tanto mayor torcimiento de la curva ) .

14. Hallar a) vector tangente unitario T , b) normal principal N , c) binormal B, d)curvatura , e) torsión de la curva

x = t� t3

3; y = t2 ; z = t+

t3

3

15. Lo mismo que en el ejercicio anterior, para la curva r(t) = (t; t2; t3)

16. En los dos ejercicios anteriores, determinar las ecuaciones de los planos osculador ,normal y recti�cante en el punto (�3; 9; 12)

17. Veri�car que se cumple

!a =

dv

dt

!T +

v2

�

!N ; � =

1

�

para la curva r(t) = (t; t3; 0) en t = 1

18. En relación al ejercicio anterior, para qué clase de curvas se tiene a) componentetangencial nula ? . b) componente normal nula ? .

19. Repasar Ejercicios Resueltos 9 , 12 , 24 , 25 , 26:

20. Resolver los Ejercicios Propuestos 50, 52 (determinar en qué puntos se tiene lamáxima y mínima curvatura) , 58 , 66 , 67 , 70.

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PRACTICA # 4aGRADIENTE

1. Calcular la derivada direccional de f(x; y) = x2+y2 en el punto (1; 1) en la direccióni) v = (3; 4) , ii) v = (0; 2) , iii) v = (�3; 0) . En cuál de las direcciones es mayordicha derivada direccional ? .

2. Siendo � = x2 + y2 , hallar r� , jr�j . Explicar el signi�cado de los dos resultadosencontrados , sabiendo que �(x; y) representa la temperatura en el punto (x; y) .Comprobar el signi�cado de jr�j en el punto (3; 4)

3. Siendo � = 2xz4�x3y , hallar r� , jr�j . Explicar el signi�cado de los dos resultadosencontrados , sabiendo que �(x; y; z) representa la temperatura en el punto (x; y; z). Comprobar el signi�cado de jr�j en el punto (1; 1; 2)

4. Estudiar los ejercicios resueltos 8 , 9(página 62, 63)

5. Sea � la función que da la distancia desde un punto cualquiera (x; y; z) a otro punto

�jo (a; b; c) . Mostrar que r� es un vector unitario en la dirección y sentido de!AP .

6. Hallar r jrj3 , siendo r = (x2 + y2 + z2)12 . Explicar el signi�cado del resultado

encontrado y comprobarlo para el punto (1; 2; 2) .

7. Demostrar que rf(r) = f0(r)r r

8. Siendo r�(r) = 2r4r , hallar �(r) .

9. Si �(x; y) = 0 representa una curva plana , entonces r�(x0; y0) es un vector perpen-dicular a dicha curva en el punto (x0; y0) que le pertenece . Veri�car este resultadopara las siguientes curvas ( de�nidas implícitamente )

a) y � x = 0 b) y � x2 . c) xy � 9 = 0 .d) x2 � y2 = 25 :e) x216 +y2

4 = 1

10. Sea P un punto cualquiera de la elipse cuyoo focos son los puntos A y B. Mostrarque los segmentos AP y BP forman ángulos iguales con la recta tangente a la elipseen el punto P . Nota : La elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma dedistancias a los dos focos �jos A y B es constante . ( Ver ejercicio 14 , página 63 )

11. Si �(x; y; z) = 0 representa una super�cie en el espacio , entonces r�(x0; y0; z0) esun vector perpendicular a dicha super�cie en el punto (x0; y0; z0) que le pertenece. Los anterior quiere decir que es perpendicular a todos los vectores tangentes delas curvas ubicadas en dicha super�cie y que pasan por el punto P . veri�car esteresultado para la super�cie esférica x2 + y2 + z2 = 1 , P = (0; 1; 0) y la curva x = 0, y = cos t , z = sin t

12. Determinar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = x2 + y2 en el punto(1; 2; 5). Dicho plano tangente corta en algún otro punto a la super�cie ?

13. Para � = 2xz4 � x3y , hallar r� � _v , siendo _v un vector unitario . Tome (x; y; z) =(1; 2; 2) y v = (3; 4; 0) . Explique el signi�cado del valor encontrado . Compruebe (aproximadamente ) su a�rmación .

14. Resolver los Ejercicios Propuestos 62, 63, 64 , 65 (página 78 - 79)

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15. Para el � = 2xz4 � x3 determine la dirección v tal que la variación por unidad delongitud recorrida ( longitud muy pequeña ) a partir de (1; 2; 2) valga 2

16. Se sabe que el gradiente de un campo escalar � = �(x; y) ( distribución de temper-atura ) está dado por r� = (2x;�y) y que la temperatura en el punto (2; 4) vale 6. Hallar el valor del campo escalar ( o la temperatura ) en el punto (6;�2)

17. Sea � = �(x; y) ( distribución de temperatura ) está de�nido en una lámina rectan-gular . Mostrar que :

a) si en un punto interior de la lámina se tiene localmente máxima o mínima tem-peratura , entonces se tiene que cumplir que r� en dicho punto debe valer 0 = (0; 0)b) si en un punto de la frontera de la lámina se tiene localmente máxima temperatura, entonces r� debe formar un ángulo mayor o igual a 90� con la frontera ( en dichopunto ) de la lámina rectangular

18. Dado � = y � x2 (distribución de temperatura ) , determinar los puntos a mayortemperatura y/o menor temperatura ( localmente ) en a) la lámina rectangular devértices (4;�8) y (12;�8) .b) en el segmento parabólico y � x2 + 4 , y � 20c) en el circulo de centro (0; 4) y radio 4 .

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PRACTICA 4bDIVERGENCIA - ROTACIONAL

1. Dado el campo de velocidades de un líquido en el plano : i) bosquejar el campodibujando el vector velocidad en algunos puntos del plano . ii) calcular la divergenciadel campo de velocidades e indicar en su grá�co anterior dos curvas respectivamentedonde la divergencia sea constante .

a) V (x; y) = xi+ yj

b) V (x; y) = 3i

c) V (x; y) = yj

d) V (x; y) = rnr , para n = 3 , 2 , 1 , �1 . r =px2 + y2) , r =(x; y) :

2. En base al signi�cado de la divergencia , para cada uno de los casos del ejercicio 1;determinar los puntos del plano donde se tiene fuente , sumidero o ninguno de ellos.

3. Dado el campo de velocidades en el espacio V (x; y; z) = x2i+y2j+ z2k , determinarlos puntos del espacio donde se tiene fuente , sumidero o ninguno de ellos .

4. Dado el campo de velocidades en el espacio V (x; y; z) = xi + yj + zk , cuál es elsigni�cado físico del valor de su divergencia en cada uno de los puntos del espacio ?

5. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = 3k , calcular la cantidad de �uído queestá ingresando y la que está saliendo por unidad de tiempo en el paralelepípedodeterminado por los puntos (4; 0; 0) , (4; 6; 0) , (0; 6; 0) , (0; 0; 0) , (4; 0; 10) , (4; 6; 10), (0; 6; 10) , (0; 0; 10) .

6. Estudiar el ejercicio resuelto 21

7. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = 3zk , calcular la cantidad de �uído quese está creando en el interior del paralelepípedo del ejercicio anterior .

8. De�nir un campo de velocidades en el espacio donde el valor máximo ( mínimo ) dela divergencia se de en el punto (4; 4; 0)

9. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = xi + yj + zk , y dado el recinto cúbicocon centro en el origen y lado 2h (h t 0 ), calcular la cantidad de líquido que estásaliendo del recinto manos el que está ingresando por unidad de tiempo ( �ujo total) y comparar con el valor de la divergencia del campo en el origen .

10. Dado un campo escalar , su gradiente es un campo vectorial ; y de dicho campovectorial se puede obtener su divergencia . Así también : dado un campo vectorial sepuede obtener su divergencia que es un campo escalar ; y de dicho campo se puedeobtener su gradiente .

a) Calcular div(grad �(x; y; z) ) , siendo �(x; y; z) = x2 + y2 + z2

b) Calcular grad( div V) si V (x; y; z) = x2i+ y2j + z2k

11. Qué signi�cado se puede asignar al valor encontrado en el inciso b) del ejercicioanterior si V es un campo de velocidades ? .

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12. Dado el campo de fuerzas el plano : i) bosquejar el campo dibujando el vectorcorrespondiente en algunos puntos del plano . ii) calcular el rotacional del campo eindicar los puntos donde el rotacional es el vector nulo .

a) F (x; y) = xi+ yj

b) F (x; y) = �yi+ xjc) F (x; y) = yj

d) F (x; y) = rnr , para n = 2 , �1 . r =px2 + y2) , r =(x; y) :

13. En base al signi�cado del rotacional, para cada uno de los casos del ejercicio 1;determinar los puntos donde una partícula estará sometida a una rotación , señalarel sentido de la rotación .

14. Calcular la circulación del campo vectorial F (x; y) = �yi+ xj sobre el cuadrado devértices (�h;�h) ;siendo h un valor muy pequeño ( h t 0 ) : Como el campo esvariable , considere que es constante sobre cada lado del cuadrado con un valor igualal que toma en el punto medio de cada lado respectivamente . Calcule el límite delcociente de dicha circulación sobre el área del cuadrado cuando h t 0 y compare esevalor con el valor del rotacional en el centro del cuadrado .

15. Dado el campo vectorial F (x; y; z) = (xz3;�2x2yz; 2yz4), calcular el rotacional deF en el punto (1;�1; 1). Si se coloca una partícula plana circular en el punto indicado, cuál es el comportamiento de dicha partícula ? .

16. En relación al ejercicio anterior , cuál es el signi�cado de los vectores componentesdel rotacional encontrado ; es decir , de (rot(F ) � i)i , (rotF � j)j , (rotF � k)k :? .

17. Siendo �!v = �!! ��!r ; donde �!! es un vector constante , demostrar que �!! = 12rot(�!v ) . Explicar el signi�cado del resultado encontrado en un contexto físico : �!v es

el evctor velocidad tangencial , �!! es el vector velocidad angular , y �!r es elvector posición de la partícula respecto de un origen ubicado en la recta direccionalo dirección de �!! .

14

PRACTICA # 5INTEGRACION VECTORIAL Y TEOREMAS INTEGRALES

1. Dado el campo de fuerzas F (x; y) = (�y; x) , calcularHc F �dr ;a lo largo de la curva

que es el perímetro del cuadrado de vèrtices (0; 0) , (3; 0) , (3; 3) , (0; 3) ; en sentidoantihorario .Cuál es el signi�cado del valor encontrado ? .

2. Siendo F (x; y) = (2x+ y; 3y � x) , hallarRc F � dr , a lo largo de la línea quebrada

C del plano que une los puntos (0; 0) , (2; 0) y (2; 4) . Cuál es el signi�cado del valorencontrado ? .

3. Resolver los dos ejercicios anteriores realizando una aproximación a la integral delinea respectiva mediante una partición de la curva de integración en 12 y 6 pedazosrespectivamente .

4. Dado el campo vectorial F (x; y) = (�x;�y) calcular el trabajo realizado al moveruna partícula desde (1; 1) hasta (5; 5) a lo largo de la recta que los une : a) medianteuna integral , b) dividiendo el desplazameinto en cuatro partes y considerar que elcampo es aproximadamente constante en cada pedazo e igual al valor en el puntomedio del pedazo . Calcular el promedio de la componente tangencial del camposobre la curva . ( Promedio = integral curvilinea /L ; siendo L la longitud total delarco .

5. Dado el campo de velocidades V (x; y; z), calcular el �ujo o caudal por la làminatriangular de vértices (4; 0; 0) , (0; 4; 0) y (0; 0; 4) ; si a) F (x; y; z) = (x; 4; 4) , b)F (x; y; z) = (x; y; z)

6. Resolver el ejercicio anterior , siendo la lámina por donde para el líquido la super�ciecilíndrica de�nida por x2 + y2 = 4 , x � 0 , 0 � z � 8 .

7. Mediante una integral de volumen , calcular a) el volumen limitado superior e infe-riormente por la super�cie esférica x2 + y2 + z2 = 16 y lateralmente por el cilindrox2 + y2 = 1

8. La densidad ( variable ) en un punto cualquiera (x; y; z) del cubo de vèrtices (0; 0; 0), (2; 0; 0) , (2; 2; 0) , (0; 2; 0) , (0; 0; 2) , (2; 0; 2) , (2; 2; 2) , (0; 2; 2) está dada por�(x; y; z) = xy + z determinar la masa de dicho cubo .

9. Estudiar el ejercicio resuelto 36 de la página 131 del texto base . Comprobarlo parael campo de velocidades V (x; y; z) = x2i+ y2j + zk y el recinto cúbico de centro enel origen de coordenadas y lado h

10. Veri�car el Teorema de la divergencia para : a) V = 3k , recinto : super�cieesfèrica : x2 + y2 + z2 � 9. b) V = i + yj + zk , recinto : cubo de lado 2 ubicadoen el primer octante y con un vértices en (0; 0; 0)

11. Veri�car el teorema de la divergencia para V = xi + yj + z2k , y el recinto estálimitado por el cilindro y los planos : x2 + y2 � 4 , z � 8 , z � 0

12. a) Se conoce que la divergencia de un campo de velocidades es r � V (x; y; z) =2(x+ y + z). Determinar la cantidad de lìquido que està saliendo menos lo que estàentrando por unidad de tiempo ( �ujo total ) en el cubo de lado 2 ubicado en el

15

primer octante y con un vértices en (0; 0; 0). b) determinar , si existe , un campode velocidades cuya divergencia sea justamente 2(x + y + z) ; en tal caso el incisoanterior empleando el campo de velocidades ( Teorema de la Divergencia )

13. Comprobar el Teorema del Rotacional cuando F (x; y; z) = (x2; y2; z2) y S es elcuadrado de vértices (0; 0; 0), (1; 0; 0) , (1; 1; 0) , (0; 1; 0). Indicar el signi�cado físicode cada miembro de la igualdad encontrada

14. Comprobar el Teorema del Rotacional cuando F (x; y; z) = (2x� y;�yz2;�yz2) y Ses la super�cie o hemisferio norte de la super�cie esférica x2 + y2 + z2 = 1

15. Realizar el ejercicio 65 de la página 134 del texto base y comprobarlo cuandoF (x; y; z) = �yi + xj + 3k , y la super�cie es el cuadrado ubicado en el planoz = 0 , de centro el origen y de lado h .

16. Realizar el ejercicio 73 de la página 134 del texto base . Qué es lo que expresa�sicamente el Teorema de Gauss ?.

17. Estudiar el ejercicio resuelto 36 de la página 131del texto base.

16

PRACTICA # 6COORDENADAS CURVILINEAS

1. Para los siguientes sistemas de coordenadas , calcular

a) los vectores tangentes unitarios en los puntos indicados

b) los vectores normales unitarios en los puntos indicados

Coordenadas Cartesianas : (3; 4) , (�5; 0)

Coordenadas Polares : (4;�

3) , (2;

�

2)

Coordenadas Oblícuas : (3; 4) , (�5; 0) . Con ecuaciones de transformación

u = x ; v = x� y

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas : (2; 1) , (�2; 0) . Las ecuaciones de trans-formación ver en página 138 del texto base .

2. Considerando las bases B = f(1; 0); (0; 1)g y B = f(1; 1); (0;�2)g, determinar lasecuaciones de transformación

u = u(x; y) ; v = v(x; y)

que hacen que las bases dadas sean exactamente los vectores tangentes a las curvascoordenadas

3. Lo mismo que en el ejercicio anterior para las bases B = f(1; 0); (0; 1)g y B =f(�2; 1); (2; 4)g

4. Dado el sistema de coordenadas (u; v) cuyas ecuaciones de transformación a coorde-nadas cartesianas están dadas por

u = x� y ; v = 2y

dibujar las curvas coordenadas para u = 0 , �1 , �2 ,�3 ; v= 0 , �1 , �2 ,�3.Determinar los vectores tangentes y vectores normales a las curvas coordenadas enu = 1 , v = 2.

5. En relación al ejercicio anterior , determinar las componentes del vector (4; 8) re-specto de la base formada por los vectores tangentes y las componentes respecto dela base formada por los vectores normales o gradientes a las curvas coordenadas

6. Dado el campo vectorial F = xyi + 2yj , expresarlo en: a) coordenadas polares .

Comprobar su respuesta para el punto (�; �) = (2;�

2). b) coordenadas oblícuas del

ejercicio 1. Comprobar su respuesta para el punto (u; v) = (3; 4)

7. Para los siguientes sistemas , y en los puntos indicados , determinar :

a) ecuaciones de las curvas coordenadas

b) ecuaciones de las super�cies coordenadas

c) vectores tangentes unitarios y vectores normales unitarios

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Coordenadas Cartesianas (2; 4; 0) , (0; 0; 1)

Coordenadas Cilíndricas (1;�

4; 2) , (2;

�

2; 4)

Coordenadas Esfèricas (1;�

2;�

2) , (2; 0;

�

2)

Coordenadas Oblícuas (2; 4; 6) , con ecuaciones de transformación

u = x ; v = x+ y ; w = x+ y + z

8. Dado el campo de velocidades V = (x+y)i�yj , expresarlo en coordenadas cilíndricasparabólicas . Comprobar su respuesta para el punto (3;�1)cp.

9. Expresar el vector posición de un punto r = xi+ yj, dado en el sistema cartesiano ,en los diferentes sistemas del ejercicio 1.

10. Expresar el vector posición de un punto r = xi+yj+zk, dado en el sistema cartesiano; en los diferentes sistemas del ejercicio 4.

11. Mostrar qued

dte� = �e� ;

d

dte� = ��e�

ver ejercicio 5, página 142 del texto base .

12. Expresar la velocidad v y la aceleración a del movimiento de una partícula en coor-dendas : a) polares , b) oblícuas ( del ejercicio 1 ) , c) esféricas .

ver ejercicio 6 , página 143 del texto base .

13. Hallar el elemento de línea para los diferentes sistemas del ejercicio 1, e indicar losfactores de escala correspondientes .

14. Plantear la integral para calcular , en los diferentes sistemas del ejercicio 1, la longitudde arco de la curva :

a) r(t) = (3t; 4t) , 0 � t � 2 : b) r(t) = (R cos t; R sin t) , 0 � t � � : c) r(t) = (t; t2), 0 � t � 3

15. Plantear la integral para calcular el volumen de los recintos que se detallan , en elsistema : a) cartesiano , b) cilíndrico , c) esférico :

El recinto limitado por x2 + y2 = 4 , z = 0 , z = 8

El recinto limitado por x2 + y2 + z2 = 9 , z2 = x2 + y2

16. Determinar los elementos de super�cie de las super�cies : a) r(x; y) = xi+yj+0k (plano z = 0 ) . b) r(u; v) = ui + vj + (u2 + v2)k ( paraboloide z = x2 + y2) . c)r(u; v) = (3 cosu sin v; 3 sinu sin v; 3 cosu) ( super�cie esférica x2 + y2 + z2 = 9 ) .

17. Expresar el gradiente de �(x; y) = x2+ y2 en los diferentes sistemas de coordenadasdel ejercicio 1 .En particular comprobar la equivalencia de sus resultados para elpunto de coordenadas cartesianas (3; 4).

18. Expresar el gradiente de �(x; y; z) = x2 + y2 + z2 en los diferentes sistemas decoordenadas del ejercicio 4 .En particular comprobar la equivalencia de sus resultadospara el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1).

18

19. Expresar la divergencia del campo de velocidades v(x; y; z) = x2i+ y2j+ z2k en losdiferentes sistemas del ejercicio 4 . En particular comprobar la equivalencia de susresultados para el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1).

20. Expresar el rotacional del campo de fuerzas F (x; y; z) = �yi + x2j + z2k en losdiferentes sistemas del ejercicio 4 . En particular comprobar la equivalencia de susresultados para el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1).

21. Dado el campo vectorial F = xyi+ 2yj , expresarlo en coordenadas polares . Com-probar su respuesta para el punto (�; �) = (2;

�

2).

22. Dado el sistema de coordenadas (u; v) cuyas ecuaciones de transformación a coorde-nadas cartesianas están dadas por

u = x� y ; v = 2y

dibujar las curvas coordenadas para u = 0 , �1 , �2 ,�3 ; v= 0 , �1 , �2 ,�3.Determinar los vectores tangentes a las curvas coordenadas en u = 1 , v = 2.

23. Dado el campo de velocidades V = (x + y)i � yj , expresarlo en coordenadas u,v.Comprobar su respuesta para el punto (u; v) = (3;�1)COMPONENTES CO Y CONTRAVARIANTES

24. Aceptando que el vector posición , que en coordenadas cartesianas es r = xi + yj, es un Tensor Contravariente ; esto es , si las ecuaciones de transformación de unsistema X a otro sistema

___X están dadas como

_Ap=@xp

@xqAq

a partir del vector posición en coordenadas cartesianas determinar dicho vector encoordenadas :

a) Polares . b) En el sistema oblìcuo : x = u , y = u� vVeri�car grà�camente sus respuestas.

25. Aceptando que el vector velocidad , que en coordenadas cartesianas es r =dx

dti+dy

dtj

, es un Tensor Contravariente ; esto es , si las ecuaciones de transformación de unsistema X a otro sistema

___X están dadas como

_Ap=@xp

@xqAq

determinar dicho vector en coordenadas :

a) Polares . b) En el sistema oblìcuo : x = u , y = u� vc) Determinar , en los tres sistemas , el vector velocidad de la curva cuya posición -en cartesianas - está dada por

x = t2 ; y = 4t

Veri�car grà�camente sus respuestas.

19

26. Dado el campo de fuerzas del ejercicio 4, pàgina 142 del texto base ; resolver elejercicio considerando que dicho campo de fuerzas es un tensor contravariante .

27. Si consideramos un sistema de coordenadas u1 ; u2 , cuyas ecuaciones de transfor-mación a coordenadas cartesianas están dadas por : u1 = u1(x; y) , u2 = u2(x; y) ;los vectores perpendiculares a las curvas coordenadas o curvas de nivel u1(x; y) =c1 , u2(x; y) = c2 ; vectores que se determinan hallando ru1 y ru2; forman una basedenominada COVARIANTE . Por ejemplo :

En polares � =px2 + y2 = c1 y � = tan�1(

y

x) = c2 ( circunferencias y semirrectas

) son curvas de nivel ; y

r� =xp

x2 + y2i+

ypx2 + y2

j

r� =�y

x2 + y2i+

x

x2 + y2j

constituyen la base covariante del sistema . Si (x; y) = (1; 1) ;entonces la base co-varainte es :

r� = 1p2i+

1p2j ; r� = �1

2i+

1

2j

Si las ecuaciones de transformación - de un objeto físico , de un sistema X a otrosistema

___X están dadas como

_Ap =

@xq

@xpAq

dicho objeto se denomina Tensor covariante de orden 1 . En cada caso , los A sonlas coordenadas del objeto fìsico en la base covariante .

Se sabe que la gradiente de un campo escalar � es un tensor covariante ; encontrarla gradiente del campo escalar

� = �(x; y) = xy

en los sistemas

a) Polares . b) En el sistema oblìcuo : x = u , y = u� vVeri�que grà�camente sus respuestas.

28. Lo mismo que el ejercicio anterior , peor para el campo escalar : � = �(x; y; z) =x2 + y2 + z2 en los sistemas

a) Esfèricas . b) En el sistema oblícuo : u = x , v = y , w = x+ y + z

Realize una representación grá�ca de sus resultados .

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PRACTICA # 8CALCULO TENSORIAL

Esta última práctica se completará de acuerdo al avance programático , de manera quese pueda completar al menos una introducción al cálculo tensorial .

1. Dadas las bases B = fe1; e2; ::::; eng y B = fe1; e2; ::::; eng, donde se tiene las rela-ciones

x = xpep = xqeq

eq = Apqep ; ep = Aqpeq

se cumple quexp = Apqx

q ; xq = Aqpxp

las xp y las xq se denominan componentes contravariantes del vector x respecto delas bases B y B respectivamente . Veri�car dichas relaciones para

a) x = (8; 4) , B = f(1; 1); (0; 2)g y B = f(�1; 1); (1; 0)gb) x = (�4; 0) , B = f(1;�1); (0;�1)g y B = f(1; 2); (2;�1)g

2. Dados los vectoresx = xpep ; y = y

qeq

su producto escalar x � y está dado por

x � y = xpyqep � eqx � y = gpqx

pyq ; con gpq = ep � eq

determinar gpq para la baseB = f(1; 1); (0; 2)g y grs para la baseB = f(�1; 1); (1; 0)g ,en ambos casos realizar el producto escalar de los vectores x = (3; 4) y y = (1;�2)

3. Dado el vector x = xpep , se dice que los xp son las componentes contravariantes delvector x respecto de la base B. Por otro lado los valores

xq = x � eq

se denominan las componentes covariantes del vector x respecto de la base B.

Determinar las componentes contravariantes y covariantes del vector x = (3; 4) re-specto de la base B = f(1;�1); (2; 2)g

4. Las componentes contravariantes y covariantes de un vector x, se trasforman segúnlas ecuaciones

xp = Apqxq ; xq = A

qpxp

xp = Aqpxq ; xq = A

pqxp

Veri�car las anteriores ecuaciones de transformación para el vector x = (3; 4) respec-tos de las bases B = f(1; 0); (2; 2)g y B = f(�1; 1); (1; 1)g

5. Comprobar que las componentes covariantes de un vector x respecto de una baseB , son iguales a sus componentes respecto de los vectores normales a las curvascoordenadas de�nidas por las ecuaciones de transformación u = u(x; y) , v = v(x; y).Tome como caso concreto x = (4;�2) y la base B = f(�1; 1); (1; 1)g

21

6. Existen dos maneras de realizar transformación de componentes contravariantes ycovariantes : a) usando los coe�cientes Apq y A

qp de�nidas por los cambios de base .

b) usando las ecuaciones de transformación de coordenadas x1 = x1(x1; x2) , x2 =x2(x1; x2)

Veri�que las a�rmaciones anteriores para x = (2;�2) , siendo B = f(1; 0); (0; 1)g yB = f(�1; 1); (1; 1)gNota : en el análisis tensorial se emplea la segunda forma debido a que , por la formadel espacio estudiado , las base van cambiando de punto a punto ; y en este caso esmás simple manejar las ecuaciones de transformación .

7. Realizar la suma, diferencia, producto externo, producto interno de los vectores a)Ap y Bqs en un espacio de 2 dimensiones. b) Ap y Bq

Repasar los Ejercicios Resueltos

8. Ejer 1 (pag:175)

9. Ejer 3 (pag:176)

10. Ejer 7 (pag:177)

11. Ejer 9 (pag:179)

12. Ejer 28 (pag:186)

13. Ejer 30 (pag:187)

14. Ejer 35 (pag:189)

15. Ejer 41 (pag:191)

Ejercicios sobre símbolos de Christo¤elEjercicios sobre derivada covarianteEjercicios sobre gradiente, divergencia y rotacional