Control Estadstico de Procesos

Control Estadstico de Procesos

Introduccin a la Probabilidad

Cada vez que realizamos un clculo matemtico para resolver un problema, lo que estamos haciendo es aplicar un modelo matemtico a un fenmeno de la realidad.

Este fenmeno puede ser, por ejemplo, la cada de un objeto desde cierta altura, y en este caso utilizamos un modelo que es la Ley de Gravedad.

Qu es un modelo?.

Al enfrentar un problema de fsica, qumica, ingeniera o de algn otro tipo, estamos analizando e investigando una parte o aspecto de la realidad material que nos rodea. Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una representacin en la mente de cmo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemticas que permitan calcular los efectos de los mismos.

El modelo de fuerza gravitatoria o leyes de la gravedad permite estudiar la cada de un cuerpo en el vaco. Cuando aplicamos este modelo a la cada real de un cuerpo, estamos dejando de lado la influencia del aire, cuyo rozamiento en el cuerpo disminuye su velocidad, pero lo hacemos a sabiendas que este rozamiento es muy pequeo y por lo tanto no va a afectar demasiado nuestros clculos.

En ningn caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es slo una representacin de la realidad, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.

Los modelos matemticos que mencionamos hasta ahora, despus de efectuar los clculos nos dan un resultado numrico preciso, por ejemplo, que la velocidad de un automvil es de 75,5 Km/Hora.

Tambin podemos calcular la corriente elctrica que circula por un cable con la Ley de Ohm y obtenemos, por ejemplo, un resultado como 5,7 Amperes:

Este tipo de modelos matemticos se denominan Determinsticos. Hay fenmenos que necesitan otro tipo de modelos matemticos, que se denominan no determinsticos, probabilsticos o estocsticos.

Por ejemplo, supongamos que un agricultor necesita saber cuanta lluvia va a caer en los prximos meses, antes de decidir si le conviene sembrar o no esta temporada. El agricultor se inform en la oficina de meteorologa acerca de la presin baromtrica, la temperatura, velocidad del viento y otros datos meteorolgicos de la zona en que vive.

Sin embargo, no hay una ecuacin que con todos esos datos le permita calcular los milmetros de lluvia que van a caer en un mes en forma precisa.

De la misma manera, ningn operador puede calcular cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o bajar, an cuando tenga a su alcance todas las variables econmicas disponibles para el pas. Este tipo de fenmenos No admiten un modelo determinstico, sino un modelo probabilstico, que como resultado nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje. El resultado no es un valor determinado, sino la probabilidad de un valor.

Veamos algunos ejemplos de fenmenos o experimentos para los cuales es apropiado o conveniente utilizar un modelo probabilstico:

Experimento 1:Se lanza un dado y se anota el nmero que aparece en la cara superior.

Experimento 2:Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el nmero total de caras obtenidas.

Experimento 3:Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesin de caras y cecas obtenidas.

Experimento 4:Se fabrican artculos en una lnea de produccin y se cuenta el nmero de artculos defectuosos producidos en 24 horas.

En todos estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir con absoluta certeza. Hay varios resultados posibles cada vez que se realiza la experiencia.

Para cada experimento del tipo que estamos considerando, se define el Espacio Muestral como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento.

Experimento 1:Se lanza un dado y se anota el nmero que aparece en la cara superior:

INCLUDEPICTURE "http://www.calidad.com.ar/controe112.gif" \* MERGEFORMATINET Experimento 2:Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el nmero total de caras obtenidas:

INCLUDEPICTURE "http://www.calidad.com.ar/controe114.gif" \* MERGEFORMATINET Experimento 3:Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesin de caras (C) y cecas (X) obtenidas:

Experimento 4:Se fabrican artculos en una lnea de produccin y se cuenta el nmero de artculos defectuosos producidos en 24 horas.

donde N es el nmero mximo que pudo ser producido en 24 horas.

Un Suceso, respecto a un espacio muestral S asociado con determinado experimento, es un subconjunto de resultados del espacio muestral.

Entonces, el subconjunto formado por un solo elemento del espacio muestral es un suceso.

El conjunto formado por todos los elementos del espacio muestral tambin es un suceso:

Y tambin lo es el conjunto vaco.

Hemos visto que dado un experimento cualquiera, hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos los resultados que se pueden obtener de la experiencia. Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso. Ahora, cmo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es grande o pequea? Por ejemplo, si arrojamos un dado, cmo podemos calcular la probabilidad de que salga un 2 ?. Para esto necesitamos un nmero asociado con cada suceso, al cual se lo denomina probabilidad del suceso. Entonces, la probabilidad P de un suceso es un nmero entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra el suceso. Si la probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrir con toda certeza. Si la probabilidad es 0,5 significa que un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma probabilidad. Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es imposible que ocurra. Cmo podemos calcular la Probabilidad de un suceso?

La respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla y depende del experimento y de su espacio muestral asociado. Hay casos simples en los que el clculo es relativamente sencillo. En primer trmino, supondremos que se trata de un experimento cuyo espacio muestral es finito y tiene un nmero pequeo de resultados posibles. En segundo trmino, supondremos que todos los resultados que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Con estas dos hiptesis, la frmula para calcular la probabilidad es muy sencilla. Supongamos que se trata de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral S tiene N elementos (N resultados posibles). Deseamos calcular la probabilidad de un suceso H (Un subconjunto H del espacio muestral S) que tiene m elementos. De acuerdo a lo dicho previamente, el nmero N tiene que ser pequeo y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser la misma:

Entonces la probabilidad P de que ocurra el suceso H es:

Veamos algunos ejemplos. Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos a que salga un nmero igual o menor que 4. Sabemos que son igualmente posibles los nmeros: {1, 2, 3, 4, 5 y 6} (Espacio muestral con 6 elementos).

Pero los nmeros favorables a nuestra apuesta son: {1, 2, 3 y 4} (Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad de que ganemos es:

Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de 0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %). Si apostamos a un slo nmero, por ejemplo a que sale un as, la probabilidad de ganar sera:

Repitiendo, la probabilidad es un nmero entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra un suceso.

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Conceptos Estadsticos Fundamentales

Hasta ahora hemos visto el caso de fenmenos o experimentos cuyo espacio muestral asociado tiene un nmero pequeo de elementos. Esto nos sirvi para introducir la nocin de probabilidad.

Pero en muchos casos es necesario trabajar con experiencias o procesos que generan un nmero muy grande de datos o resultados numricos, es decir, espacios muestrales con un nmero infinito o muy grande de elementos. Cuando tenemos un conjunto muy grande de datos numricos para analizar decimos que tenemos un Universo o Poblacin de observaciones.

Cada dato numrico es un elemento de la poblacin o universo. Una Muestra es un subconjunto pequeo de observaciones extradas de un universo o poblacin:

La Estadstica trabaja con poblaciones de datos y con muestras extradas de las mismas. Los conceptos de poblacin y muestra a veces resultan ambiguos en su aplicacin prctica. Por ejemplo, supongamos que en una ciudad de 5000 habitantes se realiza un censo mdico en el cual se mide el peso, la altura y se relevan otros datos de todos los habitantes de la ciudad.

Alguien podra referirse al universo o poblacin censada teniendo in mente el conjunto de los habitantes de la ciudad. Pero cuando hablamos en trminos estadsticos, nos referimos a poblaciones o universos de datos.

Por ejemplo, el conjunto de todas las mediciones de altura (De los habitantes de la ciudad) es un conjunto de datos y por lo tanto constituye un universo o poblacin de datos desde el punto de vista estadstico. Otro universo o poblacin de datos son los pesos medidos (De los habitantes de la ciudad). Pero la poblacin de habitantes, es decir, las personas que habitan la ciudad no son la poblacin a la que nos estamos refiriendo desde el punto de vista estadstico.

Supongamos que en una empresa se fabrica un lote muy grande, digamos 10 toneladas de un producto qumico, y un tcnico debe controlar la calidad del mismo.

El tcnico toma una pequea porcin, por ejemplo, 100 gramos y dir que tom una muestra del producto para analizar en el laboratorio. Hasta el momento, la muestra no fue analizada y por lo tanto no tenemos ningn dato numrico.

Cuando el laboratorio efecta algn ensayo en la muestra y obtiene un resultado numrico, recin ah tenemos un dato que puede ser analizado desde el punto de vista estadstico.

Vamos a suponer hipotticamente que el tcnico contina sacando otras muestras del producto, hasta agotar el lote y cada una es ensayada en el laboratorio, el cual nos da los resultados. Como tenamos 10 ton. de producto y las muestras son aproximadamente de 100 gr., el tcnico seguramente extraer alrededor de 100000 muestras y el laboratorio nos entregar alrededor de 100000 resultados. Este conjunto de datos numricos es nuestro universo o poblacin de datos.

Si nosotros tomamos al azar 10 de esos resultados, podemos decir que tenemos una muestra de 10 elementos de ese universo o poblacin. No debemos confundir esta muestra (Desde el punto de vista estadstico) con la muestra de material que extrajo el tcnico para ser analizada en laboratorio.

Ahora bien, nuestro universo o poblacin de datos a veces no existe en la realidad, sino que es un concepto o abstraccin que utilizamos para referirnos al universo o poblacin que hipotticamente podra existir.

Veamos el ejemplo anterior. Supongamos que el tcnico toma solamente 5 muestras y las enva para analizar al laboratorio. El laboratorio nos enviar slo 5 resultados, y nosotros diremos que tenemos una muestra de datos extrada del universo o poblacin de datos total. Y estamos pensando en el universo o poblacin que tendramos si se hubieran extrado y analizado las 100000 muestras de material.

Muchas veces resulta difcil imaginarse cual es el universo del cual extrajimos los datos. Supongamos que tenemos una mquina que produce piezas de plstico en serie y un tcnico toma 5 piezas sucesivas y les mide la altura con un calibre. Tenemos, entonces, 5 resultados, es decir una muestra de 5 elementos. Cul es el universo al cual pertenece esa muestra de datos?.

Debemos imaginar lo siguiente: Si la mquina continuara trabajando en las mismas condiciones (Es decir, a la misma velocidad, con las mismas materias primas, a la misma temperatura, manejada por el mismo operario, etc.) ...y a cada pieza que produce se le mide la altura tendramos un conjunto muy grande de resultados numricos. Ese conjunto muy grande de resultados numricos que no existe, pero que podra obtenerse en esas condiciones es el universo o poblacin del cual extrajimos la muestra de 5 observaciones.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que el sindicato de la industria textil desea saber cual es el sueldo promedio que gana un operario en esa industria. Entonces, encarga una encuesta a una empresa especializada, que entrevista a 20 operarios de la industria textil y averigua sus salarios.

Estos datos son una muestra de 20 observaciones del universo o poblacin formado por los salarios de todos los operarios de la industria textil del pas. Aunque el encuestador no disponga de esos datos, sabemos que existen miles de operarios que ganan un salario determinado y por lo tanto podemos hablar de un universo o poblacin cuyos elementos son los salarios de los operarios de la industria textil en el pas. Adems, esa poblacin de datos es seguramente diferente de la poblacin de salarios de los operarios de la industria textil chilena o brasilea (Usando una misma moneda de referencia).

Qu representa una Poblacin de datos? El anlisis estadstico de una poblacin o universo de datos tiene como objetivo final descubrir las caractersticas y propiedades de aquello que gener los datos. Por ejemplo, se tiene una poblacin de escolares (Poblacin fsica, poblacin humana) y se les mide la altura. El conjunto de datos de altura constituye una poblacin o universo estadstico. El anlisis de estos datos de altura (Universo estadstico) sirve para caracterizar y estudiar a la poblacin de estudiantes (Que no es una Poblacin estadstica).

Supongamos que un instituto dedicado a estudios econmicos ha realizado una encuesta de ingresos en el pas. El universo de datos generados por la encuesta sirve a los fines de caracterizar a la poblacin fsica, a la poblacin real del pas, desde un punto de vista econmico.

Un ingeniero controla un proceso industrial, que genera a diario muchos lotes de un producto (Poblacin de lotes). Para cada lote se mide una caracterstica de calidad, obtenindose una gran cantidad de resultados numricos (Poblacin de datos).

El ingeniero realiza esta tarea no porque est interesado en jugar con nmeros, sino porque a travs de los datos numricos obtenidos se puede evaluar el comportamiento del proceso, que es lo que realmente le interesa.

Entonces, es importante destacar que detrs de un universo o poblacin de datos se encuentra una poblacin fsica subyacente, formada por elementos de la realidad que nos rodea, de la cual, a travs de algn tipo de medicin, se obtuvieron los datos numricos. Es esa poblacin fsica subyacente (Elementos de la realidad, seres humanos, lotes de material, etc.) la que deseamos estudiar y caracterizar por medio del anlisis estadstico de los datos obtenidos. La poblacin estadstica est representando, entonces, una poblacin fsica o natural formada por elementos de la realidad, con respecto a una caracterstica o propiedad de esa poblacin fsica.

Es muy importante, al utilizar mtodos estadsticos, no confundir la poblacin fsica, formada por elementos de la realidad que estamos estudiando, con la poblacin o universo de datos generados a partir de la primera. De aqu en adelante, cuando utilicemos los trminos poblacin o universo sin otro aditamento nos estaremos refiriendo a poblacin o universo de datos numricos (Tambin llamados observaciones o mediciones o valores).

La Distribucin de Frecuencias

Vimos que una Poblacin o Universo de datos es un conjunto muy grande de nmeros. Estos nmeros pueden estar en un gran listado o puede ser un conjunto hipottico, es decir, podemos imaginar los nmeros pero no los tenemos realmente. Una gran tabla de nmeros ordenados al azar prcticamente no nos muestra informacin acerca de la poblacin de datos. Suponiendo que disponemos de los datos del universo, cmo podemos clasificar y ordenar los nmeros para obtener ms informacin acerca de ese universo de datos?

Una forma sera escribir los nmeros desde el menor hasta el mayor y colocar encima de cada uno tantas cruces o cuadraditos como veces que figure repetido en la poblacin:

El nmero de veces que aparece repetido cada dato es la frecuencia de dicho valor. La representacin grfica que hemos visto se denomina Distribucin de Frecuencias de la poblacin.

La representacin grfica nos permite ver informacin que antes no apareca tan evidente. Por ejemplo, sin hacer ningn clculo nos damos cuenta donde est aproximadamente el promedio de la poblacin:

Tambin nos muestra cuales son los valores mximo y mnimo de la poblacin, es decir, el rango:

En el caso anterior, los datos de la poblacin son nmeros enteros. Cuando los nmeros no son enteros o cuando tenemos un nmero muy grande de datos, se divide el rango total en subintervalos y se cuenta el nmero de valores que cae dentro de cada subintervalo.

Vamos a suponer, ahora, que tenemos una cierta poblacin de N = 500 datos, por ejemplo el peso de varones adultos de 40 aos. Una manera de caracterizar esta poblacin es construir una distribucin de frecuencias o grfico de frecuencias. Para ello seguimos los pasos siguientes:

1) Tomamos nota del valor mximo y el valor mnimo de la serie de datos que estamos considerando.

2)Subdividimos el intervalo entre el mximo y el mnimo en algn nmero de intervalos (15 20) mas pequeos iguales entre s.

3) Contamos el nmero de datos que encontramos dentro de cada intervalo (Frecuencia). Por ejemplo, supongamos que en el intervalo i hay ni observaciones (S ni = N).

4)Para construir el grfico, colocamos en el eje de abcisas (Horizontal) los intervalos y levantamos en cada intervalo un rectngulo de altura proporcional al nmero ni de datos dentro del mismo.

Si hacemos el rea del rectngulo levantado sobre el intervalo i-simo igual a la frecuencia relativa ni/N, el rea total bajo el histograma ser igual a la unidad:

Obtenemos as una representacin grfica (Llamada tambin histograma) que nos muestra la distribucin de frecuencias de la poblacin:

Esta distribucin de frecuencias nos muestra las caractersticas de una poblacin, por ejemplo, si hay resultados que son mas frecuentes que otros. Nos muestra si los valores estn ubicados alrededor de un valor central, si estn muy dispersos o poco dispersos. Podemos observar que fraccin de todas las mediciones cae por ejemplo, entre 70 y 80 Kg. (Zona rayada en el grfico):

Si elegimos una persona del grupo y la pesamos, el resultado es un dato que pertenece a la poblacin de datos representada en el grfico. Decimos, entonces, que estamos extrayendo un dato de la poblacin de datos. Pero hay distintas maneras de elegir la persona, es decir, distintas maneras de realizar la extraccin del dato.

Si nos paramos frente al grupo y elegimos una persona, estaremos seleccionando al ms gordo, al ms flaco o al ms alto (y por lo tanto pesa ms que otros), de acuerdo a criterios subjetivos que no podemos evitar.

En cambio, si escribimos los nombres de todas las personas en una etiqueta, metemos todas las etiquetas en una caja y luego le pedimos a alguien que retire una etiqueta, la seleccin no estar influda por nuestra subjetividad. En este caso, decimos que la extraccin es aleatoria.

Una extraccin aleatoria es aquella en que cada miembro de la poblacin tiene la misma posibilidad de ser elegido. Supongamos que realizamos una extraccin aleatoria de la poblacin antedicha y obtenemos el valor y.

Entonces:

1) La probabilidad P(y70) de que y sea mayor que 70 Kg. es igual al rea del histograma a la derecha de 70 Kg.

3) La probabilidad P(y>70, y70, y 1. En general se exige Cp > 1.30 para mayor seguridad.

Este coeficiente tiene el inconveniente de que para poder aplicarlo el centro de gravedad del rango de especificaciones debe coincidir con la tendencia central de las mediciones del proceso. Cuando esto no ocurre se emplea el Cpk:

Donde:

En el grfico podemos observar que una buena parte del producto est por encima del Lmite Superior de Especificacin (LSE). An as resulta Cp > 1, indicando errneamente que el proceso tiene capacidad suficiente. En este caso se debe usar el segundo coeficiente que muestra claramente que el proceso no tiene capacidad suficiente (Cpk < 1), tal como se puede observar en el grfico.

El uso de un histograma para analizar la capacidad de un proceso tiene la ventaja de que se puede apreciar la forma de la distribucin, con lo cual se puede confirmar o rechazar la hiptesis de que la misma es normal. Pero el problema es que no se puede detectar la presencia de patrones no aleatorios, con lo cual no es posible confirmar o rechazar la hiptesis de que el proceso est bajo control estadstico. Si el proceso no est bajo control estadstico los resultados del anlisis de la capacidad de proceso no sern vlidos y pueden llevar a conclusiones equivocadas.

Otra manera de analizar la capacidad de un proceso es por medio de los grficos de control. La implementacin de grficos de control exige necesariamente colocar al proceso bajo control estadstico. En consecuencia, se puede utilizar la desviacin standard utilizada para calcular los Lmites de Control para calcular los coeficientes de capacidad de proceso Cp o Cpk. Si este es el caso, se debe hacer una aclaracin muy importante. Cuando se utilizan grficos X-R, en el grfico de X se representan los promedios de subgrupos, es decir, promedios muestrales. No se debe confundir la desviacin standard del proceso con la desviacin standard de los promedios muestrales. Si la desviacin standard del proceso es s y cada subgrupo tiene m mediciones, la desviacin standard entre subgrupos es:

Si se utiliza por error la desviacin standard entre subgrupos para calcular los coeficientes de capacidad del proceso, se obtendrn valores ms altos que los que corresponden a la verdadera capacidad del proceso.

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