APUNTES DE ESTADÍSTICA PARA … · Jorge Eduardo Mina Rizo Facultad de Contaduría Pública....

Jorge Eduardo Mina Rizo Facultad de Contaduría Pública. Campus IV

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ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA

ÍNDICE

Capítulo 1 Muestreo

1.1 Propósito

1.2 Introducción

1.3 Muestras y Poblaciones

1.4 Muestreo a partir de una población finita

1.5 Muestra y censo

1.6 Muestreo Aleatorio

1.6.1 Obtención de una muestra aleatoria

1.6.2 Tablas de números aleatorios

1.7 Otros métodos de muestreo

1.8 Probabilidad y muestreo probabilístico

1.9 Muestreo de Juicios

1.10 Muestreo probabilístico

1.10.1 Muestreo sistemático

1.10.2 Muestreo estratificado

1.10.3 Muestreo de acumulación.

Capítulo 2 DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

2.1 Objetivos del capítulo

2.2 Introducción

2.3 Esbozo del capítulo

2.4 Efecto de los parámetros de población sobre una distribución de muestreo

2.5 Efecto del tamaño de la muestra sobre una distribución de muestreo.

2.6 Distribuciones de medias muestrales

2.7 El teorema del límite central


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2.8 Distribución de proporciones muestrales

2.9 Distribuciones de muestreo del número de ocurrencias.

2.10 Muestreo a partir de una población finita.

Capítulo 3.- ESTIMACIÓN

3.1 Introducción

3.2 Estimaciones de Punto y de intervalo

3.2.1 Explicación de la estimación

3.3 Características de los buenos estimadores

3.3.1 Insesgadura

3.3.2 Consistencia

3.3.3 Eficiencia

3.3.4 Suficiencia

3.4 Estimación de la media de la población con varianza conocida.

3.5 Obtención de intervalos de confianza útiles para poblaciones

normalmente distribuidas

3.6 Componentes de un intervalo de confianza

3.7 Selección del coeficiente de confianza

3.8 Interpretación del intervalo de confianza

3.9 Precisión

3.10 Intervalos de confianza para medias de poblaciones no normalmente

distribuidas

3.11 Análisis computarizado.

ESTADÍSTICA PARA

ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA

Propósito: Aprender a diferenciar un

muestreo, un censo y viceversa.

Identificar los términos “muestra” y

“población”. Qué significa “muestreo

aleatorio simple”?. Aplicar los métodos

para obtener muestra aleatorias.

Descripción de tablas numéricas


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aleatorias. Identificar las diferencias entre

muestreo de probabilidad y muestreo de

juicio. Analizar y utilizar variantes del

muestreo aleatorio simple y manejar

ejemplos de cada tema.

INTRODUCCIÓN.

Al salir con una persona por primera vez

o ver un programa de televisión durante

unos minutos antes de tomar la decisión

de cambiar de canal, al ofrecer una

“probadita” de equis o zeta producto en

un supermercado, al probar la sopa para

ver si necesita de una pizca más de sal o

simplemente probar un pastel en casa para

saber si ya está frío, se realiza una

actividad que se le denomina Muestreo.

Cada uno de los ejemplos anteriores

conforman el muestreo estadístico,

aunque los métodos son formales y

precisos y generalmente incluyen una

proposición de probabilidad.

De hecho, la probabilidad y el muestreo

están estrechamente relacionados y juntos

constituyen la base de la teoría de la

inferencia.

En estos apuntes viajaremos por los

conceptos básicos que comprenden el

muestreo. Exploraremos las razones para

el muestreo y planes de muestreo

alternativos. Nos detendremos

particularmente en el muestreo aleatorio,

debido a su importancia en el análisis

estadístico..

Ningún plan de muestreo puede

garantizar que una muestra sea

exactamente igual a la población de la

que se ha tomado. Una muestra aleatoria

permite estimar la cantidad de error

posible (es decir, “cuan próxima” está la

muestra en términos de su

representatividad). Las muestras no

aleatorias carecen de esta característica.

MUESTRAS Y POBLACIONES

Un censo comprende el examen de todos

los elementos de un determinado grupo.

Una muestra comprende el análisis de una

pequeña parte de ellos. El objeto del

muestreo es establecer generalizaciones

con respecto a un grupo total de

elementos sin tener que examinarlos uno

por uno.


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La parte del grupo de elementos que se

examinan recibe el nombre de muestra y

el grupo total a partir del cual se

seleccionó la muestra se conoce como

población o universo. Los elementos que

forman una población pueden ser

personas, empresas, productos

manufacturados, inventarios, escuelas,

ciudades, calificaciones escolares, precios

o cualquier otra cosas que se pueda

medir, contar o jerarquizar.

Los términos “población” y “muestra”

están relacionados con un conjunto

específico de circunstancias. Es decir, en

un ejemplo, los alumnos de un salón de

clases se pueden considerar como una

población y de ésta se puede obtener una

muestra de estudiantes.

En el caso de otro problema, estos

mismos alumnos se pueden considerar

como una muestra de todos los

estudiantes de una escuela de ingeniería o

bien, como una muestra de la población

de estudiantes de esa universidad en

particular.

Como el fin del muestreo es generalizar

con respecto a la población fundamental,

es evidente que la población objetivo se

deba establecer de manera que se puedan

hacer generalizaciones significativas.

Las poblaciones de tamaño limitado se

conocen como poblaciones finitas, en

tanto que las que tienen tamaño ilimitado

se conocen como poblaciones infinitas.

Los alumnos de una clase determinada,

los productos de un supermercado, los

libros de una biblioteca y los automóviles

del Estado de Chiapas son ejemplos de

población finitas.

Por otro lado, las poblaciones infinitas

generalmente son de cierto tipo de

proceso que produce elementos o

resultados, como la tirada de monedas, en

la cual el número de resultados (caras o

cruces) que se pueden obtener es

ilimitado. Otros ejemplos de procesos de

poblaciones infinitas son la producción

futura de una máquina. La extracción de

canicas de una urna regresando cada

canica a su lugar antes de sacar otra, y el

nacimiento de insectos (o de cualquier

otra especie).

Desde un punto de vista práctico, la

consideración importante es, si separar

uno o un pequeño número de elementos

de la población, influirá de manera


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considerable en las probabilidades

relativas.

MUESTREO A PARTIR DE UNA

POBLACIÓN FINITA

El problema de regresar o no un elemento

muestreado a una población antes de

sacar otro de ésta, surge cuando se

muestrea de una población finita, ya que

la probabilidad de incluir elementos de

una población en una muestra dependerá

de si estamos muestreando con reposición

o sin reposición.

Si el tamaño de una muestra es pequeño

en relación con el de la población, el no

regresar los objetos muestreados a la

población tendrá un efecto insignificante

sobre las probabilidades de los elementos

restantes, y muestrear sin reposición no

causará serias dificultades.

Por otra parte, las muestras relativamente

grandes tienden a distorsionar las

probabilidades de los elementos restantes

cuando se muestrea sin reposición.

Una regla generalmente aceptada es

sustituir unidades si el tamaño de la

muestra excede del 5% del tamaño de la

población. El seleccionar una muestra

completa de inmediato equivale a

muestrear sin reposición.

Cuando se muestrea con reposición es

posible obtener el mismo resultado más

de una vez, en tanto que tomando la

muestra total de una vez, sería imposible

que eso sucediera.

Existen varias razones del por qué el

muestreo sin reposición se lleva a cabo en

la práctica real:

1.- Los efectos suelen ser insignificantes

y puede ser más conveniente hacerlo así.

2.- Si se realizan ensayos destructivos,

será imposible regresar los elementos

muestreados a la población.

3.- En el muestreo industrial será difícil

persuadir a los inspectores carentes de

adiestramiento en estadística de que

regresen los elementos muestreados a la

población, particularmente si éstos están

defectuosos.

4.- Cuando se regresa un objeto

muestreado a la población, existe una

posibilidad de que sea incluido en un


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ensayo subsecuente. Así, algunos

elementos pueden ser muestreados más de

una vez.

Si el procedimiento de muestreo

comprende u ensayo o una entrevista

costosos, es deseable evitar examinar un

objeto más de una vez.

El muestreo sin reposición es necesario o

deseable, cuando el tamaño de la muestra

es relativamente grande en comparación

con el tamaño de la población y el cálculo

de probabilidades importantes se funda en

la distribución hipergeométrica.

Los cálculos pueden ser bastante

complejos, por lo que únicamente se

mencionarán y en otros apuntes se

profundizará más en lo referente a la

distribución hipergeométrica.

MUESTRA Y CENSO

Una muestra generalmente comprende el

examen de una parte de los elementos de

una población, mientras que un censo

consiste en estudiar todos los elementos

de ésta.

Aunque el enfoque en la estadística

inductiva se apoya en las muestras, es

útil, sin embargo, considerar la alternativa

de muestreo.

Puede parecer más conveniente

inspeccionar de manera completa todos

los elementos de una población que

estudiar una muestra de éstos.

En la práctica, sucede lo contrario: es

mejor hacer un muestreo que efectuar un

censo. Esta última proposición se

considerará en términos de las situaciones

en las que el muestreo resulta útil.

1.- La población puede ser infinita, en

cuyo caso será imposible efectuar un

censo. Son procesos que nunca terminan.

Sería evidentemente imposible examinar

cada elemento de la población.

2.- Una muestra puede ser más oportuna

que un censo. Si se requiere rápidamente

de información acerca de una población,

el estudio de una completa – en particular

si hay muchos elementos, o si están muy

dispersos – puede consumir tanto tiempo

que no sería utilizable.


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En el tiempo que necesitaríamos para

examinar cada caja de un cargamento de

fresas frescas, a fruta se podría deteriorar

hasta el punto que no pudieran venderse.

Además si una población tiende a

cambiar con el tiempo, un censo completo

puede combinar realmente varias

poblaciones.

Encuestar personas de una gran

comunidad para descubrir el porcentaje

de individuos que contrajeron cierta

enfermedad contagiosa puede tardarse

tanto que, cuando se obtengan los

resultados y se tomen las medidas de

sanidad convenientes, el padecimiento

puede haberse extendido en tal grado que

sería necesario tomar otras disposiciones.

De hecho, los encuestadores pueden ser

un factor que contribuya a la propagación

de la enfermedad. Así, el estudio puede

indicar que localmente se dispone de la

suficiente vacuna para hacer frente a la

enfermedad pero, para ese momento, ésta

se encontrará fuera de control y requerirá

dosis masivas de la vacuna.

3.- Pueden intervenir ensayos

destructivos. Es decir, en el proceso de

examinar los objetos, éstos quedan

destruidos. Cosas como lámparas de

destello, fusibles, etc., generalmente se

destruyen durante el proceso de prueba.

Así un censo puede proporcionar una

imagen más exacta de una población

inexistente.

4.- El costo de efectuar un censo puede

ser excesivo, particularmente cuando

resulta caro examinar cada elemento y

son muchos los que forman la población.

El costo de efectuar un censo de la

población enorme y sólo se lleva a cabo

cada 10 años.

Otro ejemplo sería tratar de obtener un

censo de los peces de la población

piscícola de una laguna, o contar el

número total de peces en un lago. La

población es tan grande y cambiante y los

problemas de medición (como contar una

vez cuidadosamente cada pez, sin que

sufra daño alguno) son tan complejos, que

esto excluye claramente el censo.

5.- La exactitud puede verse afectada

cuando se hace un censo de una gran

población. El muestreo comprende menos

observaciones y, por tanto, menos

recopiladores de datos. Cuando hay

muchos de ellos existe una menor


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coordinación y control que si hay pocos,

por lo que aumenta la posibilidad de

cometer errores. Así, el muestreo

generalmente puede dar lugar a mayor

uniformidad en los métodos de

recopilación de datos y mayor

comparación entre los mismos, que un

censo.

6.- El tipo de información puede depender

de si se utiliza una muestra o un censo.

Los gastos de recopilación de datos están

sujetos a limitaciones presupuestales.

Asimismo, suele establecerse un límite de

tiempo. Si se utiliza un censo, las

consideraciones de tiempo y costo pueden

significar que esta operación debe

restringirse a medir una o unas cuantas

características por elemento.

Una muestra tomada con las mismas

restricciones de tiempo y dinero, podría

dar lugar a un estudio más profundo de un

pequeño número de objetos. Obsérvese

que si todos los elementos de una

población fueran idénticos, entonces una

muestra de uno solo proporcionaría toda

la información respecto a la población

total y muy poco se ganaría si se efectuara

un censo.

Aunque esta situación sería extrema, hay,

de hecho, muchos ejemplos en los que los

elementos de una población son muy

semejantes. En estos ejemplos, un censo

total contribuiría muy poco en

comparación con lo que lo haría una

muestra relativamente pequeña.

Existen ciertas situaciones en las que es

más ventajoso inspeccionar todos los

elementos de una población (es decir,

efectuar un censo):

1.- La población puede ser tan pequeña

que quizá sea un poco más costoso y

largo efectuar un censo que hacer una

muestra?????????. Si la población está

formada por un grupo de 20 estudiantes,

indudablemente lo mejor sería llevar a

cabo un censo????????.

2.- Si el tamaño de la muestra es

relativamente grande con respecto al

tamaño de la población, el esfuerzo

adicional requerido para hacer un censo

puede ser pequeño.

Por ejemplo si existe mucha variabilidad

entre los elementos de una población,

puede ser necesario considerar una


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muestra muy grande para obtener una que

sea representativa.

Si la población no es mucho más grande

que la muestra, un censo puede eliminar

la variabilidad del muestreo.

3.- Si se requiere una exactitud completa,

un censo es la única forma de alcanzarla.

Debido a la variabilidad del muestreo,

nunca se tendrá la seguridad de cuáles son

los verdaderos parámetros de la

población.

Un censo puede proporcionar esta

información, aunque los errores en la

recopilación de datos entre otros, quizás

afecten obviamente la exactitud de éste.

Un gerente bancario no tomaría una

muestra al azar del dinero en las cajas

para saber de cuánto efectivo dispone el

banco, sino que contaría todo el dinero

(efectuaría un censo) depositado en todas

ellas.

Esto hace que no se cometan errores y

fallas aritméticas al sumar las cantidades,

pero evita los problemas que se

presentarían si se tomara alguna caja

como representativa de todas las demás

4.- Ocasionalmente se dispone de la

información completa, por lo que no es

necesario muestrear.

MUESTREO ALEATORIO

Existen varios métodos para tomar una

muestra. Y quizá el más importante de

ellos es el “muestreo Aleatorio”. La

mayoría de las pruebas estadísticas que

consideraremos se basan en el muestreo

al azar.

Algunas veces de le conoce como

“muestreo aleatorio simple” para

diferenciarlo de otros tipos de muestreo

en que intervienen elementos del

muestreo al azar. En términos generales,

el muestreo aleatorio requiere que cada

“elemento” de una población tenga la

misma oportunidad de ser incluido en la

muestra.

Esto se puede interpretar de la siguiente

manera:

En el caso de poblaciones discretas, una

muestra aleatoria es aquella en la que

cada elemento de la población tiene la

misma oportunidad de ser incluido en la

muestra.


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En lo referente a poblaciones continuas,

una muestra aleatoria es aquella en que la

probabilidad de incluir cualquier intervalo

de valores en la muestra es igual al

porcentaje de la población que está

comprendida en dicho intervalo.

Una muestra aleatoria de una población

discreta sería entonces una muestra en la

que la probabilidad de obtener cualquiera

de los N elementos de la población en una

sola inspección es 1/N.

Esto también significa que grupos de

elementos tienen la misma oportunidad de

ser incluidos en la muestra que otros del

mismo tamaño. Por ejemplo, la

probabilidad de incluir dos elementos

cualesquier debe ser igual para todos los

grupos posibles de dos de ellos. Una

extensión de esto es que la probabilidad

de incluir un elemento que es miembro de

un subgrupo de la población en una

muestra aleatoria, es proporcional al

tamaño del subgrupo.

Los subgrupos grandes tendrán una

mayor probabilidad de contar con uno o

más elementos en una muestra que los

subgrupos pequeños, mientras que los de

igual tamaño tendrán probabilidades

iguales. Por tanto, el muestreo aleatorio

tiende a producir muestras

representativas.

Cabe observar que cuando se selecciona

una muestra al azar, el proceso de

selección es el que es aleatorio y no los

elementos de la muestra. Además, el

proceso no es de tanteo, el azar no debe

relacionarse con la casualidad, ya que esta

última no puede satisfacer necesariamente

una situación igual de probable.

OBTENCIÓN DE UNA MUESTRA

ALEATORIA.

Si una población objetivo es infinita,

como la producción futura de una

máquina, se puede considerar como un

proceso probabilístico. Anotando los

elementos en el orden en que ocurren, es

posible obtener una muestra que sea

representativa del proceso (es decir, una

muestra aleatoria).

En tanto que el proceso en consideración

se mantiene estable durante el periodo en

el que se hacen las observaciones. (de

manera que la probabilidad de cada

resultado posible permanece constante.),


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es posible considerar el proceso y la

muestra resultante como aleatorias. Así es

exactamente como se consideran las

tiradas sucesivas de una moneda normal y

las de dados no cargados.

Algunos ejemplos de procesos que

generalmente se consideran aleatorios son

los tiempos de llegada de autos a una

caseta de cobro, llamadas telefónicas que

se reciben en un enorme conmutador, los

clientes en las cajas de un supermercado,

los tiempo de servicio en casetas de

cobro, conmutadores telefónicos y cajas

registradoras y la producción de cualquier

proceso mecánico

Si la población objetiva es finita,

esencialmente hay dos formas de

seleccionar una muestra aleatoria simple.

Un método consiste en elaborar una lista,

o “marco de referencia” de cada uno de

los elementos de la población, y aplicar

después un método aleatorio a la lista,

para seleccionar los elementos que se

habrán de muestrear.

El segundo método se utiliza cuando los

objetos que forman la población no se

identifican claramente, lo que imposibilita

un listado. Por ejemplo, en el

procesamiento de alimentos, eliminación

de desperdicios y control de la

contaminación suele no haber una idea

clara acerca de los elementos que se

pueden muestrear.

Una alternativa sería muestrear

situaciones en lugar de objetos, como “4

cm arriba y 17 cm abajo”. Esto se puede

llevar a cabo imaginando que la

población está compuesta de cubos y

posteriormente muestreándolos.

Otra posibilidad sería emplear cierto tipo

de proceso de mezclado, semejante al de

canicas en una urna. Claramente existe el

peligro de que este proceso no sea

completo, por lo que al final una muestra

no puede ser representativa. De este modo

es importante observar cuidadosamente

cómo se seleccionan los elementos y si

éstos son igual de probables.

La posibilidad de obtener una muestra

aleatoria verdadera es mucho mayor

cuando se puede listar cada uno de los

elementos. Ejemplos de los que se pueden

listar son los empleados de una compañía,

los inventarios de una fábrica, los

vehículos registrados en un Estado, los

alumnos de tercer año, los periódicos


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disponibles en una biblioteca, los

miembros de una asociación, los registros

de la temperatura a las 6 de la mañana en

varias zonas del país, los anuncios

publicitarios, los cines de una ciudad, etc.

Cabe observar que una lista de los

elementos de una población generalmente

no se considera como un censo de ésta, ya

que sólo se indica un medio de

identificación de los elementos. Las

características de interés se deberán

obtener mediante el muestreo.

Así, una lista de periódicos no dice lo que

éstos contienen; una lista de los cines no

indica la cantidad de dinero recibido en

sus taquillas en la tercera semana de

Junio; una lista de alumnos de tercer año

no revela quienes de ellos tienen empleo

durante el verano; y una lista de

inventarios no establece los activos netos

de diversas compañías.

El único fin de la lista es el permitir

seleccionar elementos de una población

para su estudio subsecuente.

El proceso de selección consiste en

asignar números consecutivos a los

elementos listados y designar

aleatoriamente los números de aquellos

que serán incluidos en la muestra.

Conceptualmente, se pueden utilizar

cartas, dados o bolas numeradas para

generar números aleatorios que

correspondan a los números de nuestra

lista. Por ejemplo, si nuestra población

consta de 46 objetos, se pueden colocar

en una urna, bolas numeradas del 1 al 46

convenientemente mezcladas, y

seleccionar después una cada vez hasta

que el número de bolas seleccionadas

igualen el tamaño de muestra deseado.

Los números en éstas indicarán qué

elementos de la población serán incluidos

en la muestra.

En la práctica rara vez se utilizan tales

técnicas aleatorias, por múltiples razones.

Una razón es que cada idea deja algo que

desear; los métodos no son

completamente al azar. Las cartas, por

ejemplo, pueden pegarse, de manera que

al barajarse no se puede garantizar que

cada carta tiene una igual probabilidad de

ser sacada.

Las aristas de un par de dados pueden

estar gastadas, por lo que pueden influir

en el resultado a la hora de tirarlos.


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Además, siempre existe el peligro de que

en una urna con bolas, éstas no estén

perfectamente mezcladas. Sin embargo,

si se escoge una muestra grande, o si a

menudo surge la necesidad de seleccionar

muestras aleatorias de las listas, los

procedimientos en los que intervienen

naipes, dados o bolas numeradas tienden

a ser tediosos y tardados. Debido a estos

problemas y a que el muestreo aleatorio

es muy importante para la inferencia

estadística, se han elaborado tablas

especiales denominadas tablas de

números aleatorios, a fin de que sean

utilizadas en conjunción con algunas

formas de muestreo aleatorio.

TABLAS DE NÚMEROS

ALEATORIOS

Las tablas de números aleatorios

contienen los 10 dígitos 0, 1, 2,....., 7, 8,

9. Tales dígitos se pueden leer

individualmente o en grupos y en

cualquier orden, en columnas hacia abajo,

columnas hacia arriba, en fila,

diagonalmente, etc., y es posible

considerarlos como aleatorios.

Las tablas se caracterizan por dos cosas

que las hacen particularmente útiles para

el muestreo al azar. Una característica es

que los dígitos están ordenados de tal

manera que la probabilidad de que

aparezca cualquiera en un punto dado de

una secuencia es igual a la probabilidad

de que ocurra cualquier otro. La otra es

que las combinaciones de dígitos tienen la

misma probabilidad de ocurrir que las

otras combinaciones de un número igual

de dígitos.

Estas dos condiciones satisfacen los

requisitos necesarios para el muestreo

aleatorio, establecidos anteriormente. La

primera condición significa que en una

secuencia de números, la probabilidad de

que aparezca cualquier dígito en cualquier

punto de la secuencia es 1/10.

La segunda condición significa que todas

las combinaciones de dos dígitos son

igualmente probables, del mismo modo

que todas las combinaciones de tres

dígitos, y así sucesivamente.

Conceptualmente, las tablas de números

aleatorios se pudieron elaborar

numerando 10 bolas con los dígitos 0 –9

y sacándolas una por una de una urna,

anotando el resultado, regresándola a ésta,

sacando otra, etc., hasta que se haya


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anotado un considerable número de

dígitos.

Realmente, existen métodos más eficaces

para generar números aleatorios, en

muchos de los cuales se utilizan

calculadoras u otra clase de aparatos

electrónicos. Las tablas elaboradas

mediante estos métodos son verificadas

completamente para asegurarse de que en

realidad sean aleatorias. Sin embargo, el

interés no radica en elaborar estas tablas

sino en utilizarlas.

Para ilustrar el uso de una tabla de

números aleatorios, supóngase que una

gran tienda desea seleccionar una gran

muestra aleatoria de 5 clientes, de una

lista de 830 personas que gozan de crédito

en esa tienda. El propósito de la muestra

cereal de estimar la frecuencia de

compras, para comprobar por qué las

personas abren cuentas de crédito, para

determinar la cantidad vendida en

promedio, o para descubrir los problemas

que podría generar el sistema.

Los clientes se pueden listar en orden

alfabético o por la fecha en que abrieron

sus cuentas. En realidad esto no tienen

importancia. Se pueden asignar

consecutivamente los números 000 a 829

a la lista, de arriba hacia abajo. Como la

identificación del elemento es un número

de tres dígitos, será necesario tomar

números de tres cifras de una tabla de

números aleatorios, de manera que se

puede establecer una correspondencia

entre ellos y los números listados.

Cualquier secuencia de tres dígitos

tomada de una tabla de números

aleatorios servirá. Si se utiliza la tabla

“6.1”................. y se toman los primeros

tres dígitos de la última columna de la

tabla, en sentido descendente estos dígitos

será, 473, 828, 920, 923, 380, 272,.....

Cuando se llega a un número como 920,

simplemente se descarta, ya que la

población escogida sólo alcanza hasta el

número 829. Asimismo, no se tomará en

cuenta cualquier número seleccionado

que aparezca más de una mes. El proceso

continúa hasta que se hayan obtenido 15

números, los cuales corresponderán a 15

elementos de la población. Una vez que

se tienen los 15 números, es posible

consultar nuevamente la lista y

seleccionar los 15 para un estudio

ulterior. (0,00,000, etc.)


15

Para hacer una tabla de números

aleatorios:

1.- Hacer una lista de los elementos de la

población.

2.- Numerar consecutivamente los

elementos de la lista, empezando con el

cero (ejemplo: 0, 00, 000, etc.)

3.- Tome los números de una tabla de

números aleatorios, de manera que la

cantidad de dígitos de cada uno sea igual

a la del último elemento numerado de su

lista. De ese modo, si el último número

fue 18, 56 ó 72, se deberá tomar un dígito

de dos números.

4.- Omita cualquier dígito que no

corresponda con los números de la lista o

que repita cifras seleccionadas

anteriormente de la tabla. Continúe hasta

obtener el número de observaciones

deseado.

5.- Utilice dichos números aleatorios para

identificar los elementos de la lista que se

habrán de incluir en la muestra.

Si se cuenta con una lista exacta de los

elementos de la población, entonces es

relativamente sencillo seleccionar una

muestra aleatoria utilizando una tabla de

números aleatorios. De hecho, la lista no

necesariamente debe estar constituida

sólo por elementos.

Las situaciones o localizaciones de los

elementos pueden servir como una

posible alternativa. Así, a veces la

localización sobre una cuadrícula o un

mapa de secciones de una ciudad o de un

Estado, y el archivo de la oficina se puede

utilizar en lugar de los objetos en sí.

Existen ciertas situaciones en que puede

ser engañoso el uso de listas,

particularmente si son incompletas o

anticuadas. Cuando alguno de los

elementos de la población no se encuentra

en la lista, todos los que forman la

población no tienen la misma

probabilidad de ser incluidos en la

muestra ( los excluidos tienen cero

probabilidades de ser incluidos en la

muestra). Lo anterior, viola un requisito

del muestreo aleatorio.

En ocasiones no se puede disponer de una

lista y sería muy costoso y tardado hacer

una completa. Por ejemplo, no existe una

lista de cada mexicano o una lista de cada

fumador de cigarros que hay en

Tapachula o una lista de cada cliente de

un gran Centro Comercial en la Ciudad de

México. En ejemplos como éstos, se


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puede utilizar otros tipos de técnicas de

muestreo.

TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS

Se hace en excel (anexar)

Ejercicios de muestreo aleatorio:

1.- Los directivos del torneo de futbol

quieren poner aleatoriamente en pares 20

equipos para empezar el campeonato.

Describir cómo utilizar una tabla de

números aleatorios para determinar las

parejas para los juegos iniciales. ¿podría

utilizarse la tabla para subsecuentes

emparejamientos? ¿cómo?.

2.- Una lista contiene 8000 nombres y

direcciones, están numerados

consecutivamente empezando del número

1. Describir cómo utilizar una tabla de

números aleatorios para obtener una

muestra de 28 nombres.

a) ¿Cuántos dígitos por nombre debe

leer?

b) ¿Cómo decidir en dónde empezar?

c) ¿Qué efecto, de haberlo,

provocaría en el planteamiento el

hecho de que los nombres fueran

numerados sólo por pares?

(2,4,6,.....)?

3.- Una empresa desea conocer el sentir

público hacía cierto producto que vende.

En una sección de la ciudad hay 48

cuadras o manzanas de casas con 13 casas

cada una.

a) Formular un método de dos

etapas para muestrear

aleatoriamente, seleccionando

primero 10 cuadras y después una

casa de cada una de las 13.

b) Suponer que se utiliza un plan de

una etapa, (esto es, se seleccionan

directamente 13 casas)

1) ¿Qué problema surgiría al

selecciona las casas?

2) ¿Cómo cambiaría el uso de

la tabla de números

aleatorios?

4.- Los alumnos de una Universidad

tienen matrículas numeradas en forma

consecutiva del 301 al 2,375. Seleccionar

aleatoriamente un comité de orden y

limpieza formado por 15 alumnos.

Utilizar la tabla de números aleatorios


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para seleccionar los números de las

matrículas.

OTROS METODOS DE MUESTREO

Existen numerosos procedimientos de

muestreo, diferentes a los del muestreo

aleatorio simple, que resultan útiles al

reunir información de muestras. Algunos

de éstos se mencionarán a continuación

para ilustrar ciertas extensiones del

muestreo aleatorio al azar. Se advierte

que se requiere de una planificación

cuidadosa y de un conocimientos amplio

para emplear correctamente éstas técnicas

de muestreo , especialmente para

determinar qué elementos de una

población muestrear y decidir cómo

interpretar los resultados muestrales.

PROBABILIDAD Y MUESTREO

PROBABILÍSTICO

Los procedimientos de muestreo

probabilístico están diseñados de manera

que se conozca la probabilidad de todas

las combinaciones muestrales posibles.

Por lo anterior, se puede determinar la

cantidad de variabilidad del muestreo

aleatorio.

En estas condiciones el muestreo es

objetivo y se puede obtener rápidamente

una estimación de los errores de éste. El

muestreo al azar es un ejemplo del

muestreo probabilístico. El no

probabilístico se refiere a un muestreo

subjetivo o de juicios, en el que no se

puede establecer la variabilidad del

muestreo con exactitud.

Por consecuencia, no es posible estimar el

error de muestreo (es decir, la

variabilidad de la muestra. Lo importante

es que el muestreo probabilístico se debe

emplear siempre que sea posible. Sin

embargo, existen algunos ejemplos en los

que el muestreo no probabilístico

proporciona una cruda pero útil

alternativa para el muestreo de

probabilidad.

MUESTREO DE JUICIOS

Si el tamaño de la muestra es muy

pequeño, digamos cinco elementos, el

muestreo aleatorio puede producir

resultados que no sean representativos,

mientras que una persona que esté

familiarizada con la población puede ser

capaz de especificar qué elementos son

los más representativos de ésta.


18

Por ejemplo, una cadena de restaurantes

desea introducir una nueva técnica de

servicio, utilizando bandejas de servicio

especiales. Las consideraciones de costos

pueden indicar que sólo dos restaurantes

se utilizarán en el estudio.

Estos pueden diferir considerablemente

en términos del tamaño, localización,

clientela y rentabilidad. En lugar de hacer

pruebas para determinar cuál de los

restaurantes utilizar, resulta más prudente

basarse en el conocimiento de sus

administradores sobre las condiciones de

los restaurantes, para elegirlos.

De vez en cuando los elementos de la

muestra se agrupan convenientemente.

Las investigaciones médicas se deben

llevar a cabo con pacientes dispuestos o

quizá individuos que se presenten

voluntariamente al estudio. Ningún

grupo se puede considerar como una

muestra aleatoria del público en general y

sería peligroso intentar deducir

conclusiones con respecto a éste con base

en dicho estudio.

Sin embargo, los resultados pueden

proporcionar alguna idea que se puede

utiliza al llevar a cabo una muestra de

probabilidad para hacer válidos los

resultados básicos. Los peligros

inherentes en la investigación médica, así

como en otros tipos de investigación, a

menudo requieren que se limite la

investigación inicial a un pequeño grupo

de voluntarios.

Otros ejemplos semejantes pueden ser

pacientes con enfermedades mortales,

cadáveres, animales, etc. Finalmente, el

muestreo mediante juicio deberá ser muy

rápido y menos costoso que el muestreo

aleatorio ya que no es necesario elaborar

una lista de elementos de la población.

Será conveniente tener en mente que el

muestreo de juicio no permite una

afirmación objetiva del error de muestreo,

por lo que es necesario utilizar el

muestreo de probabilidad siempre que sea

posible.

MUESTREO PROBABILÍSTICO

Definiremos tres tipo de muestreo

probabilístico: El sistemático, es

estratificado y el de agrupación.


19

El muestreo sistemático es muy semejante

al muestreo aleatorio simple. Requiere del

uso de una lista de los elementos de la

población y por tanto, presenta los

mismos tipos de problemas que se

mencionaron anteriormente, en lo que

respecta a las listas del muestreo aleatorio

simple.

Si los elementos de la lista no están

dispuestos en un orden particular, el

muestreo sistemático puede dar lugar a un

muestreo aleatorio, muestreando cada

elemento k-ésimo de la lista, en el cual se

obtiene k, dividiendo el tamaño el tamaño

de la población entre el tamaño de la

muestra (esto es, k = N /n).

De este modo, si N es igual a 200 y n es

igual a 10, entonces K = 200/10 = 20.

Esto significa que se muestreará un

elemento de cada secuencia de 20. Se

puede consultar una tabla de números

aleatorios para determina dónde empezar

en el primer grupo, y posteriormente cada

uno de los elementos k-ésimo será

muestreado.

Por ejemplo, si la tabla de números

aleatorios indica 09, entonces se deberá

seleccionar el noveno elemento, después

el elemento 29º (esto es, 9 + 20), 49 (es

decir, 29 + 20), el 69º , etc. Es

conveniente asegurarse de que los

elementos de la lista no aparezcan en ésta

en forma agrupada o periódica. De este

modo, los nombres seleccionados

alfabéticamente pueden agruparse, dado

que diversos nombres étnicos empiezan

con ciertas letras o combinaciones de

ellas.

Por otra parte puede ser arriesgado

seleccionar casas para hacer una muestra,

cuando la lista se basa en el orden en que

están ubicadas en una calle, ya que un

número igual de éstas en cada manzana

puede significar que la casa de la esquina

o la que está a la mitad de la cuadra se

encontrará cada k-ésimo elemento.

Una casa de una esquina puede tener un

valor catastral muy alto, impuestos más

elevados, más ruido, etc., lo que quiere

decir que sus ocupantes podrían tener

mayor salario, estar más preocupados por

los impuestos, ser más duros de oído, etc.,

mientras que los que viven en casas del

interior pueden mostrar características un

poco diferentes.

El muestreo estratificado: comprende el

dividir la población en subgrupos


20

(estratos) de elementos semejantes y

muestrear después en cada subgrupo. El

razonamiento es que mediante el

ordenamiento de los elementos de la

población en subgrupos homogéneos, la

variabilidad es menor que la de la

población total, y por ello se necesitará un

tamaño de muestra más pequeño. Este

concepto se puede visualizar fácilmente al

considerar un caso extremo: supóngase

que los elementos de cada estrato son

idénticos. En ese evento, una sola

observación de cada subgrupo señalará

cómo es cada subgrupo.

De esta manera, cuanto más semejantes

sean los elementos en cada estrato, tanto

menor será el tamaño de la muestra

requerida.

El muestreo dentro de cada estrato

generalmente es al azar, pero a veces es

útil un censo para algunos de los

subgrupos. Ejemplo: en un estudio de

sistemas de inventario, no es difícil

descubrir que el 10% de los objetos que

se manejan en el almacén de una

compañía constituyen más de 60% del

valor del inventario, y que el otro 90%

comprende menos del 40% del valor de

éste.

Dado que son pocos los artículos que

pertenecen a la clase de valor alto, es

comprensible levantar un censo completo

de ellos, pero tomar solamente una

muestra aleatoria de los otros subgrupos

que presentan gran cantidad de artículos

de menor valor.

Otros ejemplos del uso del muestreo

estratificado pueden se el estudio de la

cantidad de tiempo que individuos de

diferentes categorías de ingreso dedican a

diversas actividades en sus ratos de ocio,

o quizá el porcentaje de dinero que gastan

en actividades recreativas, o el tipo de

vacaciones que prefieren, o la frecuencia

con las que las toman. Un estudio del

volumen de ventas y gastos de publicidad

puede también da lugar a un muestreo

estratificado si son muchas las compañías

que intervienen.

El muestreo de acumulación comprende

el ordenar los elementos de una población

en subgrupos heterogéneos que sean

representativos de la población total.

Idealmente, cada acumulación se puede

considerar como una minipoblación. De

hecho, si fuese perfecta y cada

acumulación exactamente igual a la otra


21

(y así la población principal), sería

necesario examinar solamente una

acumulación individual para saber cómo

es la población.

Sin embargo, esto rara vez ocurre en la

práctica, ya que las acumulaciones suelen

ser grupos de elementos estrechamente

relacionados entre sí, como unidades

familiares, manzanas de casas, ciudades,

etc. Con mucha frecuencia, tales

subgrupos son casi homogéneos y son

escogidos más por facilidades

administrativas y ahorro de costos que

por sus características heterogéneas.

Generalmente es poco práctico o

imposible ordenar los elementos en

subgrupos heterogéneos. En

consecuencia, se debe muestrear un

mayor número de acumulaciones para

superar esta limitación.

El muestreo de acumulación presenta dos

ventajas muy diferentes con respecto al

muestreo aleatorio. Una de ellas es que si

los elementos de una población están

ampliamente dispersos, una muestra

aleatoria puede comprender viajes y

costos considerables para llevarse a cabo

adecuadamente, mientras que los

elementos en cada acumulación están

muy cercanos entre sí.

Ejemplo: suponer que la población de

interés son los dueños de automóviles del

estado de México. Sin duda que una

muestra aleatoria simple incluiría

propietarios que estarían completamente

dispersos por todo el Estado. Sería muy

difícil coordinar y estandarizar la

recopilación de datos. Las acumulaciones

de Estados o ciudades, por otra parte,

presentan propietarios de automóviles en

un área concentrada y la recopilación de

datos sería muy costosa y la coordinación

mucho más sencilla. Además mediante

acumulaciones de todo el Estado,

seleccionadas al azar se podría obtener

una muestra que quizá fuera

representativa de la población.

El muestreo dentro de cada acumulación

podría comprender el muestreo aleatorio,

estratificado o de más acumulaciones, ya

que el número de propietarios, aún dentro

del Estado o ciudad, sería demasiado

grande como para intentar un censo.

Una adicional ventaja del muestreo de

acumulación es que no se requiere de una

lista de los elementos de la población.


22

Bastará con tener una lista de las

acumulaciones. De este modo, no se

podría obtener fácilmente una lista de

todos los propietarios de casas de México,

no así una lista por Estados o ciudades o

aún de pueblos. O bien, se podrían

realizar las acumulaciones por manzanas

o cuadras de cada ciudad.

En tanto que no se podría disponer de

listas de las casas de una ciudad, a

menudo se pueden identificar y

seleccionar mediante mapas las diferentes

manzanas de éstas. Así es posible visitar

las manzanas escogidas e identificar las

casas para el muestreo.

Frecuentemente, un método de muestreo

incorpora varios de estos procedimientos.

Ejemplo: los elementos de una población

pueden ser personas que viven en cierto

Estado el cual puede estar dividido en

municipios (acumulaciones), y es posible

realizar una selección aleatoria de ellos

para un estudio ulterior.

Los municipios seleccionados se pueden

dividir en áreas metropolitanas y rurales

(estatificadas). Las zonas metropolitanas

se pueden estratificar posteriormente en

zonas comerciales y residenciales o en

áreas interiores y suburbanas. Los

diferentes estratos se pueden seleccionar

al azar, dividirlos en acumulaciones o

estratificarlos aún más y después efectúa

un muestreo o un censo. Evidentemente,

el proceso se puede tornar muy

complicado.

RESUMEN

El objetivo del muestreo es poder hacer

inferencias con respecto a una población

después de inspeccionar solamente una

parte de ésta. Factores como el costo, el

tiempo, los ensayos destructivos y las

poblaciones infinitas hacen que se

prefiera más el muestreo que llevar a cabo

un estudio completo (censo) de la

población.

Se espera que una muestra sea

representativa de la población de la cual

ha sido tomada. El potencial para llevar a

cabo este fin es bueno cuando la muestra

es aleatoria. En el caso de poblaciones

discretas, el término “aleatorio” significa

que cada elemento de la población tienen

la misma probabilidad de ser incluido en

una muestra, para poblaciones continuas,

significa que la probabilidad de incluir

cualquier valor en un intervalo dado es


23

igual a la proporción de la población que

presenta valores en ese intervalo.

Las muestras al azar se pueden obtener

mediante a) un proceso de mezclado,

como el de barajar cartas, b) el uso de la

producción de cierto proceso mecánico, o

bien c) el empleo de una tabla de números

aleatorios para seleccionar elementos de

una lista.

En ciertas condiciones las variantes del

muestreo aleatorio simple, como el

muestreo sistemático (periódico),

estratificado (subgrupos homogéneos) y

de acumulación (subgrupos

convenientes), pueden ser más eficaces.

La principal ventaja del muestreo al azar

es que se puede determinar el grado de

variabilidad del muestreo, lo cual es

esencial para la inferencia estadística. El

muestreo no probabilístico carece de esta

característica, aunque a veces se le utiliza

por otros motivos.

TEMAS DE REPASO:

1.- En qué circunstancias es preferible un

muestreo a un censo completo?

2.- Cuando es preferible un censo a una

muestra?

3.- Definir “muestra aleatoria”

4.- Escribir los diferentes métodos para

obtener una muestra aleatoria.

Como se sabría qué métodos utilizar

en determinada situación?

5.- Qué es la tabla de números aleatorios?

Cómo se utiliza junto con el muestreo

al azar?

6.- Explicar brevemente las características

principales de cada uno de los

siguientes tipos de muestreo

a) Muestreo de acumulación

b) Muestreo estratificado

c) Muestreo sistemático

7.- Qué es el muestreo de juicio y en qué

tipo de circunstancias se debe utilizar?

8.- Que es el muestreo de la probabilidad,

y cuando se debe utilizar?

APUNTES DE ESTADÍSTICA PARA … · Jorge Eduardo Mina Rizo Facultad de Contaduría Pública....

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