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UNIVERSIDAD DE SONORA

División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas

Estadística Aplicada a las Licenciaturas:

Administración, Contaduría e Informática

Administrativa.

Fascículo III:

Cálculo de Probabilidades y Variables Aleatorias

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno

Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa, Economía, Negocio y Comercio

Internacionales y Finanzas. Tema III de Probabilidad

Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Marzo de 2012

Departamento de Matemáticas Universidad de Sonora 1

Tema III

Cálculo de probabilidades y variables aleatorias

3.1. Introducción

La teoría de probabilidad es la base de la inferencia estadística y un instrumento esencial en el análisis de la

variabilidad. En este capítulo se tocan los conceptos y principios básicos de la teoría. Para introducirnos a los

aspectos técnicos de la misma, empezamos mencionando los conceptos de espacio de muestra, resultado y

evento, los resultados matemáticos de la teoría de probabilidad, los principios matemáticos básicos que sustentan

los cálculos más complejos y la importante idea de independencia estadística. Finalizamos describiendo algunas

técnicas que se pueden utilizar para combinar los principios matemáticos básicos en la solución de problemas

más complicados.

3.2. Experimentos aleatorios. Espacio de muestra.

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc.,

sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si lanzamos

un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia

aleatoria.

Definición 3.2.1. Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin

que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes,

número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de

muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.

Definición 3.2.2. Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

Definición 3.2.3. Espacio de muestra es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un

experimento aleatorio, el cual lo designaremos por E.

Ejemplo 3. 1. Se observa a los clientes que llegan a un centro comercial y se verifica si éstos han realizado una

compra o no. En este caso,

El experimento aleatorio es: “observación de un cliente elegido al azar”.

El suceso aleatorio es: “realización de una compra”

El espacio de muestra es: E = {Si realiza la compra, No realiza la compra} = {S, N}





Ejercicio 3.1. Se observa un semáforo y se anota la luz que despide. Defina el experimento aleatorio, los sucesos

aleatorios y el espacio de muestra del experimento.

Ejercicio 3.2. Se observa el tiempo que impera en un día determinado. Defina el experimento aleatorio, los

sucesos aleatorios y el espacio de muestra del experimento.

Para introducirnos en el tema y visualizar los conceptos más fácilmente, vamos a considerar experiencias

aleatorias sencillas que se dan en la vida diaria y también usaremos ejemplos ilustrativos tal como lanzar dados o

monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas, etc.

Ejemplo 3.2. A una reunión llegan Carmina (C), Mercedes (M), Sergio (S), y Luis (L). Se eligen dos personas al

azar sin importar el orden. El espacio de muestra de este experimento es:

E = {(C, M), (C, S), (C, L), (M, S), (M, L), (S, L)}

Ejemplo 3.3. En relación al sexo de las personas del Ejemplo 1 que llegan a la reunión, el espacio de muestra es:

E = {Femenino, Masculino} = {F, M}

Ejercicio 3.3. Describe el espacio de muestra asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Selección aleatoria de tres personas del grupo siguiente: María, Carlos, Carolina, Julia, José y Ricardo

b) Seleccionar dos personas aleatoriamente en el ejercicio anterior que sean hombre y mujer.

c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

3.3. Sucesos. Operaciones con sucesos.

El espacio de muestra del estado civil de las personas es:

E = {Soltero, Casado, Viudo, Divorciado, Concubinato}

Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:

C = {Casado, Concubinato}; S = {Soltero, Divorciado}; V = {Viudo}.

Todos estos subconjuntos del espacio de muestra E, los llamamos sucesos. Así, C, S y V son sucesos del

experimento: “Estado civil de las persona”.





Similarmente, el espacio de muestra asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos

obtenidos es:

E = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

Algunos subconjuntos de E son:

{Obtener múltiplo de 5}; M = {5,10,15}

{Obtener número primo}; P = {2,3,5,7,11,13,17}

{Obtener número mayor o igual que 12}; D = {12,13,14,15,16,17,18}

Los subconjuntos M, P y D son sucesos del experimento: “lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los

puntos”.

Definición 3.3.1 Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio de

muestra E. A los elementos de E se le llaman sucesos individuales o sucesos elementales.

Es importante hacer notar que también son sucesos, el vacío llamado suceso imposible denotado por Ø y el

propio espacio de muestra E, denominado suceso seguro. Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia

aleatoria lo llamaremos S. Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.

Ejemplo 3.4. Los sucesos elementales de E en el caso del experimento de “estado civil de las personas” son:

{Soltero}, {Casado}, {Viudo}, {Divorciado}, {Concubinato}.

Ejemplo 3.5. Consideremos los siguientes sucesos {1,2}, {2, 4, 6}, {3, 5}. {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} son los

sucesos individuales o elementales del experimento.

Ejemplo 3.6. En el experimento “estado civil de las personas” existen 25 = 32 sucesos diferentes.

Ejemplo 3.7. En el experimento “sexo de una persona” hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø, {Mujer}, {Hombre},

{Mujer, Hombre}. Es decir,

E = {Ø, {M}, {H}, {M, H}}

Ejercicio 3.4. Escriba todos los sucesos del experimento “Actitud del cliente” considerando como espacio de

muestra E = {Escepticismo, Aceptación,   Indiferencia, Objeción} ¿Cuántos hay?

Ejercicio 3.5. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso “el hijo mayor es

mujer”, y B el suceso “los dos hijos pequeños son varones”. ¿Cuáles son los elementos de A y B?





3.3.1. Operaciones con sucesos.

Definición 3.3.2. Dados dos sucesos, A y B, definimos la Unión de A y B indicada por BA como el suceso

formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. Gráficamente tenemos

Ejemplo 3.8. En un centro comercial colocan en promoción 315 pantalones cortos para hombre y los 220

pantalones cortos para mujer. Si A = {pantalones cortos en promoción para hombre} y Si B = {pantalones cortos

en promoción para mujer} entonces el suceso BA = {pantalones cortos en promoción de hombre o de

mujer}; el nuevo suceso BA tendrá 315 + 220 = 535 pantalones cortos en promoción.

Definición 3.3.3. Dados dos sucesos, A y B, definimos la Intersección de A y B denotada por BA como el

suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Gráficamente se tiene

Ejemplo 3.9. Una empresa ha clasificado a sus empleados en dos grupos: 1) trabajadores que tienen más de 10

años de antigüedad en la empresa, 2) empleados que ganan más de 3 salarios mínimos al mes.

Si A = {Los empleados con más de 10 años de antigüedad en la empresa} y B = {Los trabajadores que ganan

más de 3 salarios mínimos al mes} entonces, BA = {trabajadores con más de 10 años de antigüedad en la

empresa y que ganan más de tres salarios mínimos por mes}

Definición 3.3.4. Dados dos sucesos, A y B, definimos la Diferencia de A y B indicada por BA como el

suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Gráficamente se tiene:

Ejemplo 3.10. En el ejemplo anterior, BA = {trabajadores con más de 10 años de antigüedad en la empresa y

que ganan tres o menos salarios mínimos por mes}, y AB = {trabajadores que ganan más de tres salarios

mínimos al mes y con 10 o menos años de labor en la empresa}.

Ejemplo 3.11. De acuerdo a una investigación realizada en esta ciudad acerca de mujeres mayores de 20 años,

se ha comprobado que entre otras cosas, el 75% están casadas, de éstas el 38 % trabaja fuera del hogar. De las

solteras, el 74 % trabajan fuera del hogar: a. Calcula el porcentaje de mujeres mayores de 20 años que trabaja fuera del hogar.





b. Si se selecciona al azar una mujer mayor de 20 años, ¿cuál es la probabilidad que sea soltera y se

dedique al hogar?

Usamos las operaciones con sucesos para resolver este tipo de problemas.

Primero, definimos el espacio de muestra y cada uno de los sucesos dados en el contexto del problema:

E = {Mujeres mayores de 20 años de esta ciudad}

C = {Mujeres casadas}

T = {Mujeres que trabajan fuera del hogar}

Segundo, escribimos la información del problema usando simbología matemática.

P(C) = 0.75; P(C∩T) = (0.75)*(0.38) = 0.285 debido a que el 38% del 75% es el 28.5%.

P(Cc∩T) = (0.25)(0.74) = 0.185, puesto que el 25% de las mujeres no están casadas y de éstas, el 74% trabaja

fuera del hogar.

Preguntas: Calcular: a) (T) b)

Tercero, Aplicamos las fórmulas de lógica de conjuntos como sigue:

Respuesta a)

Por lo tanto, el 47% de las mujeres trabaja fuera del hogar.

Respuesta b) c c pero,

c c

c c .

Es decir, sólo el 6.5% de las mujeres es soltera y trabaja dentro del hogar.

Ejercicio. 3.6. En una colonia de esta ciudad, un 40% de la población realiza sus compras en la tienda Ley más

cercana, 25% de la población realiza compras en la tienda Walmart más próxima y el 15 % realiza sus compras

en ambas tiendas. Se selecciona al azar a una persona,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no compre en ninguna de las dos tiendas mencionadas?

c

c c

E





A B

b. Si realiza sus compras en la tienda Ley más cercana ¿cuál es la probabilidad de que no compre en la

tienda Walmart más próxima?

Definición 3.3.5. Dados un suceso, A , se define el Suceso contrario o complemento de A indicado por cA ,

como AEAc . Gráficamente se observa:

Ejemplo 3.12. En relación a los conjuntos dados en el ejercicio anterior, cA = {trabajadores con 10 o menos

años de antigüedad en la empresa y cB = { empleados que ganan tres o menos salarios mínimos por mes}

Definición 3.3.6. Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es

decir, cuando BA (A y B son disjuntos o ajenos). Gráficamente se tiene

Se dice que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es

uno de los sucesos elementales de dicho suceso.

Ejemplo 3.13. En relación al ejercicio de los pantalones puestos en promoción, BA ya que en la

promoción no se colocaron pantalones unisex.

Ejemplo 3.14. Si al realizar una venta a un cliente se registra la forma de pago realizado por este, y se ha

verificado, entre otros, los sucesos {M}, {M, V, C} o E, donde M = efectivo, V = vales de despensa y C = tarjeta

de crédito,

De manera análoga, decimos que:

a) El suceso BA se verifica cuando se experimenta uno de los dos o ambos sucesos.

b) El suceso BA se cumple cuando se verifican simultáneamente A y B.

c) El sucesocA , contrario de A, se verifica cuando no se experimenta A.

d) Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.

Ejemplo 3.15. En el experimento E = "observar a un cliente", consideramos los sucesos:





A = {El cliente realizó una compra}

B = {El cliente es hombre}

C = {El monto de la compra del cliente es mayor que

$500}

D = {el cliente es mujer}

F = {el cliente tiene crédito en la empresa}

G = {el cliente ha presentado morosidad en sus

pagos}.

A y Dc son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.

C está contenido en A. Luego AC = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (compra mayor de

$500) ocurre el suceso A, puesto que el cliente ha realizado una compra.

B y D son incompatibles, ya que DB y complementarios, al cumplirse EDB .

BA {el cliente es hombre o realizó una compra o ambas cosas}.

GA {El cliente realizó una compra y ha presentado morosidad en sus pagos}

cDCDC {Clientes hombres cuyo monto de la compra es mayor que $500}

BDB ya que B y D son incompatibles puesto que DB .

Ejemplo 3.16. En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

A = par númeroun Sacar .

B = {1, 2, 3, 5} = 5 ó 3 2, 1,un obtener ".

C = {4, 6} = {obtener un 4 ó un 6".

D = {2, 4, 6} = {Obtener un 2, 4 ó 6}.

F = {1,3} = {obtener un 1 ó un 3}.

G = {obtener un múltiplo de 3}.

A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.

C está contenido en A. Luego AC = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre

el suceso A, puesto que se obtiene un número par.

B y C son incompatibles, ya que CB y complementarios, al cumplirse ECB .

BA par númeroun sacar {1, 2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E.

GA {2, 4, 6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos par númeroun sacar y

tresde múltiploun obtener es 6un sacar .

DBDB {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = Aimpar númeroun obtener

C y F son incompatibles puesto que FC .

Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las siguientes propiedades:

Propiedad Unión Intersección

1. Conmutativa ABBA ABBA

2. Asociativa ABACBA )()( CBACBA )()(

3. Idempotente AAA AAA





4. Simplificación AABA )( AABA )(

5. Distributiva )()()( CABACBA )()()( CABACBA

6. Elemento neutro AA A

7. Absorción EEA AEA

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole. En el

álgebra Booleana se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan:

1) El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:

cccBABA

2) El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

cccBABA

Ejercicio.3.7. Realizamos un experimento que consiste en entrevistar a una persona seleccionada aleatoriamente

sobre la calidad en el transporte urbano de Hermosillo. Consideremos los sucesos siguientes: S = {la persona es

mujer} y O = {La persona opina que el transporte urbano es deficiente}, B = {La persona opina que el transporte

urbano es eficiente}.

a) Calcula los eventos i) SO ; ii) OS ; iii) SO ; iv) BS c ; v) BO y vi) BO

b) Los eventos O y B ¿son compatibles o incompatibles?

c) Define los eventos opuestos a S, O y B

Ejercicio 3.8. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste

en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A ={

salir un número primo} y B = { salir un número cuadrado}. Responda a las siguientes cuestiones:

a. Calcula los sucesos BABA y

b. Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?

c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

3.4. Definición de Probabilidad. Propiedades.

Definición 3.4.1. La Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al

suceso a medida que crece el número de veces que se realiza el experimento.





Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente

entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el

experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida

por Jakob Bernoulli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de

realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se

mantiene estable.

La frecuencia relativa del suceso A denotada por )( Ar

f se obtiene mediante la fórmula:

oexperiment el realiza se que vecesde número

aparece que vecesde número)(

AA

rf

Ejemplo 3.17. Se realiza un experimento en una empresa donde hay 720 trabajadores. El experimento

consiste en seleccionar aleatoriamente a un trabajador y preguntarle su sexo. Se sabe que en la empresa hay

230 mujeres y 490 hombres. Si definimos el evento M = {La persona seleccionada es mujer} entonces,

3194444.0)(720

230M

rf

3.4.1.1. Propiedades de la frecuencia relativa.

1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A.

2. fr ( BA ) = fr (A) + fr (B) si BA .

3. fr (E) = 1 fr(Ø) = 0.

Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además

siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.

Definición 3.4.2. Definición axiomática. Sea E el espacio de muestra de cierto experimento aleatorio. La

Probabilidad de cada suceso es un número que verifica:

4. Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0.

5. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus

probabilidades.

)()()( BPAPBAPBA

6. La probabilidad total es 1. P(E) = 1.

Esta definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia

relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

Definición 3.4.3. Definición de Laplace. En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio de muestra

E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de

resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del

experimento.





Si :entonces y 2121 ,)()()(,,, kk xPxPxPxxxE

posibles casos de número

suceso al favorables casos de número)(

AAP

Ejemplo.3.18. El jefe del Departamento de Policía, asignará una patrulla para que realice rondines durante la

noche en 5 colonias del sector poniente de Hermosillo. Las 5 colonias son elegidas aleatoriamente cada día.

Suponga que el poniente de Hermosillo lo componen 35 colonias entre las que se encuentra la colonia Nuevo

Sahuaro. Si definimos el evento A = {Asignación de una patrulla para que realice rondines en la colonia Nuevo

Sahuaro el día de hoy} entonces, podemos calcular la probabilidad de que en la colonia mencionada, se realice

un rondín el día de hoy, como sigue:

Número de casos favorables en donde sale elegida la colonia Nuevo Sahuaro:

Número de casos posibles =

P(A) =

Ejemplo 3.19. Un lote de artículos contiene 13 artículos no defectuosos, 3 con defectos secundarios y 4 con

defectos considerables. Se toma al azar un artículo. Determine la probabilidad que el artículo:

a) no tenga defectos.

b) no tenga defectos considerables.

Del mismo lote se extraen 2 artículos al azar. Determine la probabilidad que:

c) ambos sean no defectuosos, si se extrae uno después del otro

d) ambos tengan defectos considerables

Respuestas: Para resolver a) y b), aplicamos la definición de Laplace como sigue:

a) P(No tenga defectos) =

b) P(No tenga defectos considerables) =

Para los casos c) y d) aplicamos la definición de Laplace y el hecho de que la extracción es consecutiva.

c) Realizamos la primera extracción: P(No tenga defectos) =

Realizamos la segunda extracción: P(No tenga defectos) =

Ahora, calculamos la probabilidad de que ambos eventos se lleven a cabo de la manera siguiente:

P(El primero no tenga defectos y el segundo no tenga defectos) .

d) Realizamos la primera extracción: P(Tenga defectos considerables) =





Realizamos la segunda extracción: P(Tenga defectos considerables) =

Ahora, calculamos la probabilidad de que ambos eventos se lleven a cabo de la manera siguiente:

P(El primero tenga defectos considerables y el segundo tenga defectos considerables)

.

Ejemplo 3.20. Consideremos el experimento {lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado }.

El espacio de muestra es E = {1, X, 2}. Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:

1. P(Ø) = 0

2. P({1}) = 1/3 P({X}) = 1/3 P({2}) = 1/3

3. P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3

4. P({1,X,2}) = P(E) = 1.

3.4.1.2. Propiedades.

1. P( A ) = 1 - P( A )

2. P( Ø ) = 0

3. Si A B entonces P( B ) = P( A ) + P( BA )

4. Si A B entonces P( A ) P( B )

5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:

P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )

6. P(AB) = P( A ) + P( B ) - P( BA )

7. Si el espacio de muestra E es finito y un suceso es A = {x1 , x2 , ... , xK} , entonces:

P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )

Ejercicio 3.9. Se escogen al azar 5 artículos eléctricos entre un total de 20, de las cuales 8 son defectuosos.

Calcule la probabilidad que:

a) ninguna sea defectuosa

b) una exactamente sea defectuosa

c) por los menos una sea defectuosa.

Ejercicio 3.10. En una empresa hay 10 profesionistas: 3 administradores, 5 ingenieros y 2 contadores. Se eligen

3 profesionistas al azar:

a) Hallar la probabilidad de que los tres tengan profesión distinta.

b) Hallar la probabilidad de que los tres tengan la misma profesión.

Ejercicio 3.11. Dos personas piensan acudir a un buen restaurant de la localidad, sabiendo que sólo hay 10

restaurantes en la localidad considerados como buenos, calcula la probabilidad de que las dos personas no

piensen asistir al mismo restaurant.

Ejercicio 3.12. El departamento de caballeros de un centro comercial tiene 2 empleados hombres y 3 mujeres, y

el departamento de zapatería del mismo centro comercial tiene 4 hombres y 3 mujeres.





a) Si se elige al azar uno de los dos departamentos y se selecciona un empleado al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que se trate de un hombre?

b) Si se elige al azar uno de los dos departamentos y se selecciona dos empleado al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que se trate dos mujeres?

Ejercicio 3.13. En una empresa hay 24 trabajadores, de los cuales 14 de los empleados son hermosillenses. De

entre los hermosillenses, 7 son hombres, mientras que de los foráneos, sólo 2 son hombres.

a) ¿Qué porcentaje de empleados foráneos son mujeres?

b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la empresa sea mujer.

c) Fernando trabaja en dicha empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hermosillense?

Ejercicio 3.14. En el ayuntamiento de Hermosillo hay cinco regidores del partido PRI, cuatro del PAN y uno del

PRD, si se eligen al azar y sucesivamente 3 regidores,

a) ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean del partido PRI?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los regidores pertenezcan a partidos distintos?

Ejercicio 3.15. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno,

determina las probabilidades siguientes:

a. Que las dos cifras sean iguales.

b. Que su suma sea 11.

c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13.

Ejercicio 3.16. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a. La suma de los números aparecidos sea menor que 8.

b. La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.

3.5. Probabilidad condicional.

En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad será en función del

conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Por ejemplo, si disponemos de una urna

que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir

para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda

extracción es la misma que en la primera.

Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola

número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.

Definición 3.5.1. Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A,

indicada por P(B/A), a la probabilidad de B tomando a A como espacio de muestra, es decir, la probabilidad de

que ocurra B dado que ha sucedido A.

)A(P

)AB(P)A/B(P

De esta igualdad se deduce que:

P( BA ) = P( B/A ) P( A )

La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:





P( AB C ) = P( A ) P( B/A ) P( C/A B )

O bien por la fórmula equivalente

P( AB C ) = P( A/ (B C) ) P( B/C ) P( C/A )

Estas dos fórmulas admiten una generalización para un número cualquiera de sucesos.

Ejemplo 3.22. Una compañía de artículos de belleza coloca un anuncio de una nueva crema para la cara en una

televisora local. La compañía cree que el anuncio será visto por un 36% de los televidentes y que el 3% de los

clientes que vean el anuncio comprarán la crema anunciada. . Calcule la probabilidad de que el televidente vea el

anuncio y compre la crema.

Respuesta: Definimos primero los eventos:

E= {Clientes que compran crema para la cara}; C ={clientes que compran la crema anunciada};

V = {Televidentes que ven el anuncio}

Los datos que ofrece el enunciado del problema son:

;

Es decir, la posibilidad de que un cliente vea el anuncio y compre la crema es de un 1.08%.

Ejemplo.3.23 Consideremos el experimento de {lanzar un dado al aire}. Calculemos, por ejemplo, la

probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar:

Definimos los sucesos A = {sacar 3} y B = {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido

un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.

Ejercicio 3.16. Se sortea un viaje a China entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De

ellos,

65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

b) Si del afortunado se sabe ya que es casado, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?





Ejercicio 3.17. En una empresa, el 40% de los empleados gana tres o más salarios mínimos al mes y el 50% de

los mismos tiene 10 o más años de antigüedad. Además, la probabilidad de ganar tres o más salarios mínimos al

mes teniendo diez o más años de antigüedad en la empresa, es 0.8.

a) Probar que la mitad de los empleados de la empresa ganan menos de tres salarios mínimos y tienen menos de

10 años de antigüedad en la empresa.

b) Calcula el porcentaje de empleados que ganan 3 o más salarios mínimos y tienen diez años o más de

antigüedad en la empresa.

Ejercicio 3.18. Se lanzan dos dados:

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?

b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un

tres?

3.6. Sucesos dependientes e independientes.

El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B,

pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del

otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí.

Definición 3.6.1. Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no

modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )

Definición 3.6.2. Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos

modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A )

Como consecuencia inmediata de la definición se tiene:

1. Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:

P( A B ) = P( A ) · P( B )

2. Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:

a) P( A B ) = P( A ) · P( B )

b) P( A C ) = P( A ) · P( C )

c) P( B C ) = P( B ) · P( C )

d) P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )

Ejercicio 319. El 6% de los coches de una fábrica tienen defecto en el motor, el 8% tienen defecto en la

carrocería, y el 2% tienen ambos defectos.

a) ¿Son independientes los sucesos “tener defecto en el motor” y “tener defecto en la carrocería”?.

b) Calcula la probabilidad de que un coche tenga al menos un defecto.

c) Calcula la probabilidad de que un coche no tenga ningún defecto.





Ejercicio.3.20. En la fabricación de un cierto artículo, se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una

probabilidad 0.09 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0.045. Se supone la independencia entre

ambos tipos de defectos. ¿Cuál es la probabilidad que:

a. Un artículo no tenga ambos tipos de defectos?

b. Un articulo sea defectuoso?

Ejercicio 3.21. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P (B)=

0.6; P( )=0.58.

a. ¿Son independientes A y B?

b. Si M A, ¿cuál es el valor de P( / )?

3.7. Tablas de contingencia y diagramas de árbol.

En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y

práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol. Las tablas de

contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el

otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos

construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.

3.7.1 Conversión de una tabla en diagrama de árbol.

Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos. En el

caso de los sucesos A, A , B y B , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla,

adopta la forma adjunta.

Suceso A A TOTAL

B P( A B ) P( A B ) P( B )

B P( A B ) P( A B ) P( B )

TOTAL P( A ) P( A ) 1

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y A se les ha

asociado los sucesos B y B .





Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes,

deducidas de las relaciones análogas a:

)(

)()/(

AP

ABPABP

Ejercicio 3.22. Un tubo de vacío puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidad: P1 = 0.25 P2

= 0.5 P3 = 0.25. Las probabilidades de que el tubo funcione correctamente durante un período de tiempo

específico son: 0.1, 0.2 y 0.4. Respectivamente para los 3 fabricantes. Calcula la probabilidad de que el tubo

elegido al azar funcione correctamente.

Ejercicio3.23. En un establecimiento se venden lámparas incandescentes producidas en dos fábricas distintas. La

fábrica 1 suministra el 70% del total del inventario del establecimiento, y la fábrica 2 suministra el 30% del total.

En promedio, 83 lámparas de cada 100 provenientes de la fábrica 1, son no defectuosas y 63 lámparas de cada

100 lámparas provenientes de la fábrica 2. Calcular la probabilidad de comprar una lámpara no defectuosa.

Ejercicio 3.24. Supóngase que entre seis pernos, dos son más cortos que una longitud específica. Si se

toma dos pernos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los 2 más cortos sean los elegidos?

Ejercicio 3.25. Una caja contiene 4 tubos defectuosos y 6 no defectuosos. Se sacan 2 a la vez. Se prueba

uno de ellos, y se encuentra que es no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que es el segundo

también sea no defectuoso?

3.7.2. Conversión de un diagrama en tabla de contingencia.

De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente

utilizando la expresión

P( BA ) = P( B/A ) · P( A ),

para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

Ejercicio 3.26. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas

eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3

con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa.

a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde.

b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

Ejercicio 3.27. Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro

fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y

"otros", se obtiene la siguiente relación de datos: El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de

automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos;

el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos.

a. Haga una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no

fraudulentos.

b. Calcule qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y

cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla.

c. Determine la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la

probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?





3.8. Probabilidad total.

Definición 3.8.1. Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj = Ø para .ji

2. La unión de todos ellos es el suceso seguro,

3.8.1. Teorema de la probabilidad total.

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de

cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la

probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

)/()()/()()/()()( 2211 nn ABPAPABPAPABPAPBP

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B es igual a la suma de multiplicar cada una de las

probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos Ai por la probabilidad de cada suceso

Ai.

Este teorema nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas.

Ejemplo. 3.23. A una empresa ferretera llegaron tres embarques con focos, provenientes de tres proveedores

diferentes. Se realiza una selección aleatoria de focos de cada uno de los embarques. La primera selección

contiene 10 focos del primer embarque, de las cuales hay cuatro defectuosos. En la segunda selección contiene

seis focos del segundo embarque, estando uno de ellos defectuoso. En la tercera selección, contiene tres focos

defectuosos de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar un foco al azar de cualquiera de las

muestras, el foco esté defectuoso?

Resolución. Existen tres muestras efectuadas que nombraremos por A, B y C, cada una de ellas tiene una

probabilidad de

de ser seleccionada. Por otro lado, en la primera selección hay una probabilidad de

de que al

seleccionar un foco éste esté defectuoso; en la segunda selección hay una probabilidad de

de que al seleccionar

un foco éste esté defectuoso y en la tercera selección hay una probabilidad de

de que al seleccionar un foco éste

esté defectuoso. Por lo tanto,





Ejercicio 3.28. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el

60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio

de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%,

respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Ejercicio 3.29. Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y

F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%,

respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%.

Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente

envasado?

Ejercicio 3.30. Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una

bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se

introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola

blanca y otra negra?

Ejercicio 3.31. Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene

2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1

negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es

la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?

3.9. Teorema de Bayes.

En el año 1763, dos años después de la muerte del Rev. Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en

la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han

podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. [Debido a que

fue desarrollado inicialmente por Bayes en un intento por probar la existencia de Dios]

El teorema de Bayes se desprende de la definición de la probabilidad condicional vista en la sección 3.5 y el

hecho de que

y

lo que implica que y por

otro lado, igualando los miembros izquierda se ambas relaciones se tiene que

Esto que implica que

a este resultado se le llama el

teorema de Bayes para dos eventos.

Generalizando este concepto para varios eventos se tiene el siguiente teorema.

Definición 3.9.1. Teorema de Bayes Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad

de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades

condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión

)/()()/()()/()(

)/()()/(

2211 nn

iii

ABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como

con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas

una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.





Ejemplo 3.24. En una etapa de la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentes

robots. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa (D), varía para cada uno de los tres, así como la

proporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla.

Robot Defectuosos Artículos

procesados

A 0.002 18 %

B 0.005 42 %

C 0.001 40 %

a) ¿Cuál es la proporción global de defectos producida por las tres máquinas?

b) Si tomo un artículo al azar y resulta con defectos en la soldadura, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido

soldado por el robot C?

Resolución.

a) La primera pregunta nos va a llevar a lo que se conoce con el nombre de fórmula de la probabilidad total.

Queremos conocer la proporción global de defectos de los tres robots. Después de reflexionar un momento se ve

que si todas las soldaduras las pusiera el robot C, habría pocos defectos, serían 0.001 o 0.1%. En cambio, si todas

las pone el B, ¡sería un desastre!, tendríamos cinco veces más: 0.005 o 0.5%. De modo que en nuestra respuesta

debemos tener en cuenta las diferentes proporciones de lo maquinado en cada robot. Nuestra idea es empezar por

descomponer el evento ``defectuoso'' en ``viene del robot A y es defectuoso'' o ``viene del robot B y es

defectuoso'' o ``viene del robot C y es defectuoso''. En símbolos se tiene que:

ó también

Antes de ponerle números y resolver nuestro problema fijémonos en la fórmula obtenida.

Hay tres eventos A, B y C que son ajenos y cubren todo el espacio de muestra, conocemos las probabilidades de

cada uno de ellos. Además, conocemos las probabilidades condicionales de otro evento dado cada uno de ellos.

Como se mencionó en la sección 3.8.1, la fórmula de arriba se llama fórmula de la probabilidad total. Llenando

con nuestros números, tenemos que

Este resultado indica que casi 3 piezas por cada mil serán defectuosas. Es bueno comparar este resultado con los

porcentajes de soldaduras defectuosas de cada robot por separado. Podemos ver que el resultado se encuentra

entre todas ellas y se encuentra relativamente cerca de los porcentajes de los robots más utilizados (el B y el C).

Esto es muy razonable.

b) La segunda pregunta es, a la vez más simple y más complicada. Nos va a llevar a lo que se conoce con el

nombre de teorema de Bayes. La probabilidad que buscamos es una probabilidad condicionada pero al revés de

las que tenemos . Es decir, buscamos , para calcularla usamos la definición de probabilidad

condiciona vista en la sección 3.5. Esto es,

)D(P

)DC(P)D/C(P





El numerador (lo de arriba) lo calculamos con y el denominador lo calculamos con

la fórmula de probabilidad total juntando las dos

tenemos la fórmula de Bayes:

Aplicándola a nuestro caso tenemos,

Este resultado

implica que hay casi un 14% de posibilidades de que la pieza defectuosa provenga del robot C.

En consecuencia se tiene que si tomamos una pieza al azar, la probabilidad de que haya sido soldada por el robot

C es alta, 40%. Pero, como ese robot produce sólo 1 de cada mil soldaduras defectuosas, al saber que la pieza

seleccionada es defectuosa, la probabilidad de que provenga del robot C disminuye a solamente 14%. Esto

quiere decir que, en este caso el saber que la soldadura es defectuosa, nos provee con una gran cantidad de

información.

Si en forma similar analizáramos, usando de nuevo la fórmula de Bayes las probabilidades de los robots A y B,

tendríamos que y . Nota que la suma de las tres probabilidades suman 1.

Estos resultados comparados con las probabilidades de cada máquina sin saber que la pieza es defectuosa vemos

un gran incremento en la probabilidad de B. Si, por el contrario la pieza no hubiese tenido defectos de

soldadura, el mismo teorema de Bayes nos daría (realiza tú los cálculos y verifica que no me haya equivocado)

;

y Nota una vez más que todas las probabilidades

suman 1.

Las probabilidades no son idénticas a las probabilidades no condicionales, pero la diferencia es muy pequeña.

Para apreciar mejor el cambio, pongamos en una sola tabla las probabilidades iniciales y las condicionales

obtenidas bajo el conocimiento de la soldadura de la pieza.

Robot

A 0.18 0.1259 0.1802

B 0.42 0.7343 0.4191

C 0.40 0.1399 0.4007

Finalmente, es tan grande el éxito de los tres robots en el soldado correcto que el saber que la pieza no tiene

defectos, prácticamente no altera las probabilidades de producción en uno u otro. Por el contrario, el robot C es

tan bueno, comparado con el B que, al saber que la pieza es defectuosa, las probabilidades cambian

dramáticamente. En este ejemplo el cálculo de probabilidades condicionales nos cuantifica algo que el sentido

común nos dice de otra forma. Note que la fórmula de Bayes nos sirvió para pasar de las probabilidades no

condicionales a las condicionales.

Ejercicio 3.32. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas

producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida

por la máquina B.





c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Ejercicio 3.33. Hay tres bolsas que tienen, cada una dos monedas. Las de la primera son de oro, las de la

segunda son de plata y las de la tercera son una de plata y otra de oro. Se escoge una bolsa al azar y de ella una

moneda también al azar. Si la moneda es de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la otra moneda en la bolsa sea

de oro también?

Ejercicio 3.34. Suponga que asistes un domingo al programa de Chabelo en los que después de haber mostrado

tus habilidades para diversión de la audiencia, te ofrecen que escojas una de 3 cajas, una de ellas esconde un

vale por un gran regalo (una TV, dinero en efectivo, etc.), las otras 2 no contienen nada. Tras tú elegir una,

Chabelo abre una de las cajas que rechazaste, revelando que no contenía nada (esto siempre lo podrás hacer,

elijas la caja que elijas) y te da la oportunidad de quedarte con la que escogiste inicialmente, o bien, cambiar a la

otra que queda aún sin abrir. ¿Qué debes hacer? Ten en cuenta que después de conocer el contenido de una de las

cajas que no elegiste inicialmente, ya sabes algo más que al principio. Sugerencia: no es lo mismo quedarse con

la caja elegida que cambiarla, uno de los 2 cajas es más ventajosa que la otra.

Ejercicio 3.35. Tenemos tres empresas: A con 3 sucursales locales y 5 foráneas, B con 2 sucursales locales y 1

foránea y C con 2 sucursales locales y 3 foráneas. Escogemos una empresa al azar y seleccionamos una sucursal.

Si la sucursal elegida ha sido foránea, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la empresa A?

Ejercicio 3.36. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de

la ciudad; Colonial, Buganvilias o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los

cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente. a)

Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio? b) Si se

selecciona a un visitante al azar y se encuentra que éste no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la

probabilidad de que se haya hospedado en el hotel Colonial?, c) Si el visitante seleccionado se quejó del servicio

prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el hotel Fiesta Inn?

Ejercicio práctico donde se aplica parte de la teoría de probabilidad.

Basándote en este ejercicio resuelto, podrás calcular probabilidades adicionales a las obtenidas en el

levantamiento de tu encuesta. Recuerda que debes de obtener información adicional como la de este ejercicio,

con las preguntas claves (al menos 2 de ellas), que responden a la pregunta realizada en la sección 3 del

planteamiento del problema de tu proyecto y con los objetivos del mismo. La información que obtengas debes

añadirla a una nueva sección de tu proyecto que se titulará Cálculo de probabilidades e inferencias que será

colocada antes de la conclusión.

1. Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniéndose

lo siguientes resultados:

Encuestado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Respuesta A B A,B A B N A A A,B N A,B N B A A,B A N N N B

Podemos analizar la información obtenida en el levantamiento de la encuesta como sigue:

a) Definimos primero es espacio de muestra y los eventos:

E = {Personas entrevistadas}, A = {Personas entrevistadas que consumen el producto A},

B = {Personas entrevistadas que consumen el producto B}

b) Usamos la simbología de la teoría de conjuntos y de la probabilidad clásica para señalar los resultados

obtenidos en forma de frecuencias relativas. Esto es,





;

;

= 0.20 y

.

c) Obtenemos las probabilidades adicionales (nueva información), usando fórmulas de la teoría de

conjuntos y los resultados obtenidos tales como: la probabilidad de que un encuestado

1) No prefiera el producto A que se indica por .

2) No prefiera el producto B indicado por .

3) Sólo prefiera el producto A que se simboliza por ,

4) Sólo prefiera el producto B que se indica por

5) prefiera al menos uno de los dos productos que se denota por

6) prefiera sólo uno de los dos productos.

De la manera siguiente: Para resolver 1) se tiene que:

Es decir, hay un 50% de posibilidades que un encuestado no prefiera el producto A.

Para resolver 2) tenemos que:

Esto es, hay un 60% de posibilidades que un encuestado no prefiera el producto B.

Para resolver 3) se tiene que:

,

Esto significa que existe un 30% de posibilidades de que un encuestado prefiera únicamente el producto B.


y

Esto quiere decir que existe un 20% de posibilidades de que un encuestado prefiera únicamente el producto A.

Para resolver 5) se tiene que:

.

Es decir, existe un 70% de posibilidades de que un encuestado prefiera alguno de los dos productos.






Es decir, se tiene un 50% de posibilidades de que un encuestado prefiera sólo uno de los dos productos.

Aun podemos obtener más información la tal como:

a) La probabilidad de que un entrevistado prefiera el producto B dado que ya prefirió el producto A.

b) La probabilidad de que un entrevistado prefiera el producto A dado que ya prefirió el producto B.

c) La probabilidad de que un entrevistado prefiera el producto B dado que no prefirió el producto A.

d) La probabilidad de que un entrevistado prefiera el producto A dado que no prefirió el producto B.

e) La probabilidad de que un entrevistado no prefiera el producto A dado que no prefirió el producto B.

f) La probabilidad de que un entrevistado no prefiera el producto B dado que no prefirió el producto A.

la cual podemos calcular mediante la información dada por el problema, y la información obtenida en cálculos

anteriores.

Para resolver b) se tiene que

.

Es decir, hay un 50% de posibilidades que un encuestado prefiera el producto A dado que ya prefirió el producto

B.

Para resolver c) se tiene que

.

Esto significa que hay un 40% de posibilidades que un encuestado prefiera el producto B dado que ya prefirió el

producto A.

Para resolver d) se tiene que

.

Esto es, hay un 60% de posibilidades que un encuestado prefiera el producto B dado que no prefirió el producto

A.

Para resolver e) tenemos que

.

Esto significa que existe un 60% de posibilidades de que un encuestado no prefiera el producto B dado que no

prefirió el producto A.

Por último, para resolver f) se tiene que





.

Esto quiere decir que hay un 50% de posibilidades de que un encuestado no prefiera el producto A dado que no

prefirió el producto B.

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