Apuntes de Probabilidad y Estadistica (2)

Profesor: ING. EDUARDO CORONA CERECERO.

Tema: PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS.

Programa Educativo: INGENIERO CIVIL

Semestre: TERCERO Grupo: B

EQUIPO INTEGRANTES:

LUIS ALFREDO LEAL CRUZ. FRANCELY RIVERA MALDONADO.

Chilpancingo Gro. A 11 de Diciembre del 2012

2

FILIBERTO ÁNGEL DIEGO PALACIOS.

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

EXPERIMENTO: Todo proceso de observación. EXPERIMENTOS ALEATORIOS: Es aquel en el cual antes de

llevar a cabo el experimento no se conoce con certeza cuales son los posibles resultados que pueden obtenerse.

EXPERIMENTOS DETERMINISTICOS: Es aquel en el cual antes de llevar a cabo el experimento ya se conoce con certeza cuales son los resultados.

EVENTOS: Es la manera en cómo se puede representarse la ocurrencia de un experimento, es decir son los resultados de un experimento.

TIPOS DE EVENTOS

EVENTO SIMPLE: Es cada uno de los posibles resultados que pueden obtenerse al llevar a cabo un experimento. A los eventos simples los representamos mediante palabras, letras minúsculas o números.

Ejemplos:

Águila o Sol

a= águila

s= sol

a, s

1= águila.

2= sol.

1, 2

3

EVENTOS MULTIPLES: Son aquellos que están formados por uno o varios eventos simples. Se representan únicamente y exclusivamente por letras mayúsculas.

EVENTOS IMPOSIBLES: Si al realizar un experimento de diferentes formas y condiciones y no existe la posibilidad de la ocurrencia de un evento simple A, entonces decimos que el evento que ocurre es el evento imposible.

ESPACIO DE EVENTOS: Es el conjunto o agrupación de todos los resultados que son posibles obtener al llevar a cabo un experimento. Al espacio de eventos lo representamos únicamente y exclusivamente por la letra mayúscula S.

PROBLEMA

Sea el experimento de lanzar una moneda determine:

a) El espacio de eventos del experimento.b) El evento múltiple cae sol.c) El evento múltiple cae águila.

a)

S = {x| x = lanzar una moneda}

S = {águila, sol}

Águila = a Sol = c

S = {a, c}

b)

4

A = {x| x = sol}

A = {sol}

A = {c}

c)

B = {x| x = águila}

B = {águila}

B = {a}

EXISTENCIA Y PERTENENCIA: Si al realizar un experimento se obtiene como resultado a un evento simple a, si este pertenece o existe dentro de un evento múltiple A, entonces representamos la existencia o pertenencia mediante el símbolo∈.

∈

a∈ A

a∈B

a∉C

VERIFICACION DE UN EVENTO: Si al realizar un experimento se obtiene como resultado a un evento simple b, en el cual existe o pertenece a un evento múltiple A, entonces decimos que el evento múltiple A, se verifica o que ha ocurrido.

b∈ A

CONTENIDO O INCLUSION: Si todos y cada uno de los eventos simples que integran o constituyen a un evento múltiple A, están contenidos o incluidos en un evento múltiple B, entonces decimos que el evento múltiple A, esta contenido o incluido en B y se representa con un símbolo:⊂.

⊂

EJEMPLO: Sea el experimento de lanzar un dado si a cada cara del dado, le asociamos un número entero positivo del 1 al 6, determine:

5

a) El espacio de eventos.b) El evento múltiple A, el cual está constituido por números pares.c) Cae un número impar.d) Cae un número mayor que 3 pero menor que S.e) Cae un número mayor que 1.f) Cae un número mayor de 1 pero menor que 2.

RESPUESTAS

a) S={ X|X=lanzarundado }S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) A={ X|X=numeros pares }A= {2, 4, 6}

c) B={ X|X=numeros impares }B= {1, 3, 5}

d) C={ X|X=3< X<5 }C= {4}

e) D={ X|X=X>1 }D= {2, 3, 4, 5, 6}

f) E={{ X|X=1<X<2}E= { }

IGUALDAD: Si todos y cada uno de los eventos simples que pertenecen al evento múltiple A, están contenidos en el evento múltiple B, y si todos y cada uno de los eventos simples que pertenecen a B, están contenidos o incluidos en el evento múltiple A, entonces decimos que A y B son iguales.

A, B

A ⊂B

B⊂ A → A=B

COMPLEMENTO DE UN EVENTO MULTIPLE: El complemento del evento múltiple A es otro evento múltiple que está constituido o integrado por todos aquellos eventos simples que existen en el espacio

6

de eventos del experimento pero que no existen en el evento múltiple A del cual se quiere obtener el complemento.

Se representa mediante un símbolo:

A'={X∨X∈S , X∉ A }

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Dos o más eventos múltiples son mutuamente exclusivos cuando no tienen ningún evento simple en común, sino no ocupar ningún evento.

El complemento de A y el evento múltiple A siempre son mutuamente exclusivos.

A y A’ son mutuamente exclusivos.

OPERACIONES CON EVENTOS MULTIPLES: Se les llama operaciones con eventos múltiples a todos los arreglos que pueden efectuarse con ellos dando como resultado un nuevo evento múltiple. En probabilidad las principales operaciones son la operación unión y la operación intersección.

OPERACIÓN UNION: La operación unión de dos o más eventos múltiples da como resultado un nuevo evento múltiple el cual está constituido por todos los eventos simples que integran a cada uno de los eventos múltiples sin que se repita ninguno de ellos, aun cuando pertenezcan a ambos.

La operación unión se representa mediante el símbolo∪, el cual significa la operación unión entre eventos múltiples, o bien la expresión

A∪B= {X|X∈ A y /o X∈B }

Al unir el evento múltiple A con su complemento A’ siempre será el espacio de eventos.

A∪ A'=S

OPERACIÓN INTERSECCIÓN: La intersección de dos o más eventos múltiples es un evento múltiple que está integrado única y exclusivamente por aquellos eventos simples que pertenecen a ambos. La operación intersección se representa por el símbolo ∩ el cual indica la intersección entre evento múltiples.

A∩ B= { X|X∈ A y X∈B }

7

A= \{1, 3, 5 }

B= \{2, 3 }

A ∩ B= \{3 }

DIAGRAMAS DE VENN: Es una forma de representar gráficamente las operaciones con eventos múltiples, para ello se utiliza un rectángulo el cual representa el espacio de eventos, en cuya superficie se trazan los eventos múltiples representados mediante círculos en c cuyo interior se representa los eventos simples. Se acostumbra en la mayoría de los casos indicar la operación mediante (rayado).

A A, B

Si A y B son mutuamente Exclusivos.

B

Si A y B no son mutuamente

exclusivos

TECNICAS DE CONTEO: Son aquellas que nos permiten determinar con relativa facilidad y rapidez cuanto son y cuáles son, o bien cuanto son los eventos simples que pueden obtenerse al llevar a cabo un experimento.

MÉTODOS DE LAS SELECCIONES SUCESIVAS: Este método permite determinar cuáles son y cuanto son los eventos simples que pueden obtenerse al llevar a cabo un experimento. El método consiste en que una vez comprendido el experimento se selecciona el primer evento simple y de manera sucesiva se selecciona a los demás eventos hasta obtener el último de ellos.

PROBLEMA

Sea el experimento de colocar 3 libros en un librero.

a, b, c a, c, b

AA

B

B

BA

8

b, a, cS= b, c, a c, a, b c, b, a

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO: Es un método analítico mediante el cual solamente podemos determinar cuánto son los eventos simples que pueden obtenerse al llevar a cabo un experimento.

(Librero) ( a, b, c)

Parte fija Parte variable

No. De posiciones Posibilidades

n1 n2 N3

3 2 1

No. de posibilidades= n1 x n2 x n3 x……..x nk

No. de Posibilidades = 3 x 2 x 1 = 6

PROBLEMA:

Hasta el día de hoy cuantos números telefónicos de casa habitación la compañía Telmex ha proporcionado a la ciudad de Chilpancingo.

Parte fija Parte variable

Teléfonos Posibilidades

No. De posiciones Números

9

N1

N2 N3 N4 N5 N6 N7

2 4 6 10 10 10 10

No. de posibilidades= n1 x n2 x n3 x……..x nk

No. de posibilidades= (2) (4) (6) (10) (10) (10) (10)

No. de posibilidades= 480 000 números telefónicos

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Es un modelo grafico que permite determinar cuánto son y cuáles son los eventos simples que pueden obtenerse al llevar a cabo un experimento. El diagrama de árbol está constituido por ramas y ramificaciones las ramas nos representan las posibilidades y las ramificaciones las posiciones. El método consiste en partir de un punto denominado inicio, tronco u origen del cual parte la primera ramificación y el número de ramas que la constituye será igual al número de posibilidades que se tenga, de cada rama de la primera ramificación partirá la segunda ramificación la cual estará constituida por el numero de posibilidades correspondientes de cada rama siempre partirá una ramificación y el numero de ramificaciones que formara al árbol será definido de acuerdo a la naturaleza del experimento.

Ejemplo

Se requiere colocar 3 libros a, b y c

n1 n2 n3

3 2 1

No. De posibilidades .n1*n2*n3…..*nk =3*2*1=6

10

a b c

c b

b a c

s= c a = 6 eventos simples

c a b

b a

EJEMPLO:

Se quieren colocar 4 libros: a, b, c y d.

11

FACTOR DE UN NÚMERO

Se define como el producto de los números enteros positivos desde n hasta 1 y se representa de la siguiente forma:

N!

1!= 1

2!= 2 x 1= 2

3!= 3 x 2 x 1= 6

4!= 4 x 3 x 2 x 1= 24

5!= 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120

Suma de factoriales. (No existe directamente)

2! +3! =5!

2 + 6 =120

Correctamente

.

a

bc d

d c

cb d

d b

db c

c b

b

ac d

d c

ca d

d a

da c

c a

c

ab d

d b

ba d

d a

da d

b a

d

ab c

c b

ba c

c a

ca b

b a

= 24 eventos simplesS =

12

4! +3! =24 +6 =30

Resta de factoriales.

5! -2! =3!

120-2=6

180≠6

Correctamente.

5!-2!=120-2=118

Multiplicación de factoriales.

2! 3! =6!

(2)(6)=720

12≠720

Correctamente.

2!3!=2*6=12

División de factoriales.

7 !3!

=7∗9∗5∗4∗3!3!

=7∗6∗5∗4=840 O’

4 !6 !8 !5 !

= 4 !6 !(8∗7∗6∗5∗4 ! )(5 !)

= 6 !(8∗7∗6∗5 )(5 !)

=6∗5 !

(8∗7∗6∗5 )(5!)= 6 !

8∗7∗6∗5= 1

280 0’

4 !6 !8 !5 !

=6 ! 4 !¿¿

¿ 18∗7∗5

= 1280

13

Diferentes casos de permutaciones

Caso 1) Permutaciones de n elementos diferentes tomando n elementos a la vez sin repetición.

N= 4 elementos

N= 4

N0 de posibilidades= n1xn2xn3xn4 = 4x3x2x1 = 4!

Sustiyendo 1 en 2

No. De posibilidades = n! 3

No. De posibilidades= P(n, n) 4

Sustituyendo 3 en 4

P(n, n) = n!

Caso 2) Permutaciones de n elementos diferentes tomando n elementos a la vez con repetición.

n1

n2

n3 … … nn

N n N … … nNo. De posibilidades = nxnxn…xn = n n

Caso 3) Permutaciones de n elementos diferentes tomando r elementos a la vez sin repetición.

n r

n=6 r=4

n n

2

1 n

N 1 N 2 N 3 N 4

4 3 2 1

14

n1 n2 n3 n4

6 5 4 3

No. De posibilidades =n1× n2× n3× n4=6×5× 4× 3=360

No.de posibilidades= n(n-1) (n-2)(n-r+1)

n=5 r=3

No de posibilidades =n1×n2×n3=5× 4× 3=60

No.de posibilidades = n(n-1)(n-r+1)

No.de posibilidades = n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

No. de posibilidades = n(n-1)(n-2)….(n-r+1)

n! =n(n-1)(n-2)…..(n-r+1)…..8n-r+1)(n-r)! 1

No. de posibilidades = n(n-1)(n-2)……(n-r+1) (n−r )!n−r

No. de posibilidades¿n (n−1 ) (n−1 )… ( n−r+1 ) (n−r )!

(n−r )!

No. de posibilidades =n

(n−r )!

No. de posibilidades = p(n-r)

P(n ,r) = n !

(n−r )!

Caso 4) Permutaciones de n elementos diferentes tomando r elementos a la vez con repetición.

N1 N2 N3

5 4 3

N1 N2 ……

……

Nr

N N n n n

15

No. de posibilidades: nr

Caso 5) Permutaciones de n elementos donde no todos son diferentes.

p= n!n1 !n2! ….nk

n= 5 DADDY

n1=3

n2=1

n3=1 p= 5!3 !1! 1!

=5× 4×3 !3 !×1×1

= 4×51

=20

Problema 1

El Segundo semestre de ingeniería civil realizara el nombramiento de su comité directivo el cual estará integrado por un presidente, un secretario, un tesorero y un vocal, si el grupo está integrado por 40 alumnos y todos son igual mete elegibles .¿de cuantas maneras diferentes puede ser nombrado el comité directivo?

n=40 r = 4

n1 n2 n3 n4

40 39 38 37

No. de posibilidades = 40×39× 38× 37=2,193,360

16

Aplicando la fórmula del caso 3 de permutaciones

P(n,r) =n !

(n−r )!

P (40,4)¿40 !

(40−4 )!=40 !

36 !=40×39×38× 37× 36

36 !=40× 39×38×37=2193,360

Problema 2

Un comerciante tiene espacio para colocar 8 equipos de cómputo de cuantas maneras puede colocar a:

a) 8 equipos de computob) 5 equipos de computoc) 10 equipos de computo

a) P (8,8)=8! = 8×7× 6×5× 4×3× 2×1=40320

b) p(8,5) =8!

(8−5 )!=8 !

3 !=10×9× 8×76×× 5× 4× 3 !

3 !=8×7× 6×5× 4=6720

c) p(10,8)=10× 9×8×7× 6×5× 4×3× 2!

2 !=10× 9×8×7× 65×× 4× 3=1814,400

COMBINACIONES

n n r r n r ((n,r)

fp((n,r)=p(n,r)

17

n r4 4 No. de permutaciones No. de combinaciones

a,b,c,d 4!=24 1

3 p(n,r)=n !

(n−r )!

P (4,b)=4 !1 !

4 ×3×2×=2 abc

abc =4 bdc acd

2 p(4.2)=4 !2 !

=4× 3=12 ab ac ad

bc bd cd =6

1 p(4,1) =4 !3 !

=4=4 a b c d =4

n=4 r=4 2 n=4 r=2 8f.p((n,r)=p(n,r) f.p((n,r)=p(n,r) f.p(1) =24 f.p(6)=12

f.p=241

=24=4 ! f.p=126

=2=2 !

f.p=4! 3 f.p=2! 8sust. 2 en 3 sust. 8 en 9f.p=r! f.p=r!

n=4 4 r=3 5 n=4 10 r=1 11 f.p=((n,r)=p(n,r) f.p((n,r)=p(n,r)

18

f.p(4)=24 f.p(4)=4

f.p=244

=6=3 ! f.p=44=1=1 !

f.p=3! 6 f.p=1! 12sust 5 en 6 sust .11 en 12f.p=r! f.p=r!

F.P=r!

((n,r) =p (n , r )

f . p

((n,r) =p (n ,r )

r ! A

P(n,r)=n !

(n−r ) B

Sust. B en B

((n,r) =

n!(n , r ) !

r !3

= n !(n ,r )!r !

((n,r)=n!

(n , r )!r !

PRINCIPIO FUNDAMENTAL ADITIVO

Si dos operaciones son mutuamente exclusivas y la primera de ellas se puede realizar de m maneras diferentes y la segunda de n maneras diferentes entonces el total de maneras diferentes en que puede efectuarse o llevarse a cabo la operación será igual a la sumatoria de m + n

Problema

¿De cuantas maneras diferentes puede ser seleccionado un comité de 3 personas a partir de 4 parejas de casados si:

a) Todos son igualmente elegiblesb) El comité debe estar integrado por 2 mujeres y un hombre.

19

a) n=8 r=3

c((8,3) =8 !

(8−3 )13 != 8 !

5 !3 !=8×7×6× 5!

5!3 !=8× 7×6

3×2×1=336

6=56

b) caso 1n=4 r=2

c(4,2) =4 !

(4−2)=4× 3×2

2!2 !=4× 3

2×1=12

2

Caso 2n =4 r=1

c(4,1)=4 !

(4−1 ) !1!= 4 !

3 !1 !=4× 3!

3 !1!=4

1=4

Por el principio fundamental aditivo

6× 40=24

BINOMIO DE NEWTON

(a+b¿¿n= c (n,r)

n= exponente al que esta elevado el binomio

r= es el exponente del elemento “a” o “b”

(a+b¿n= no an+

n1 an−1b+

n2 an−2b2+……+

nr an−r br.+…

+ nn bn

Ejemplo

(a+b¿3= 30 a3+

31 a3−1b+

32 a3−2b2+

33 a3−3b3

(a+b¿3=3 !

(3−0 )!0 !a3+ 3 !

(3−1 )!1 !a2b+ 3 !

(3−2 ) !2!ab2+ 3 !

(3−3 )13 !b3

20

(a+b¿3=3 !

3! 0!a3+ 3 !

(3−1 )!1 !a2 b+ 3 !

1!2 !ab2+ 3 !

0 !3!b3

(a+b¿3=a2+ 3×2 !2!1 !

a2 b+ 3× 2!1 !2 !

ab2+ 3!0 !3 !

b3

(a+b¿3=a3+3 a2b+3ab2+b3

FORMULA DEL R-ESIMO TÉRMINO

nr−1 an−(r−1) br−1

n= valor numérico del exponente al que esta elevado el binomio

r= valor numérico de la posición del término que se desea conocer

Ejemplo

Anotar el 3er termino de¿

n

r−1 an−(r−1)br−1

n=3 r=3

n3−1

(2×¿3−(3−1) ¿ 32 (2×¿3−2¿ =

3 !(3−2 ) !2 !

(2× )¿

3×2 !1!× 2!

(2×)(9 y4)

3 (18× y4 ¿

54× y4

TRIANGULO DE PASCAL

21

(a+b¿0 1

(a+b¿1 1 1

(a+b¿2 1 2 1

(a+b¿3 1 3 3 1

(a+b¿4 1 4 6 4 1

(a+b¿5 1 5 10 10 5 1

SEGUNDO CAPITULO

PROBABILIDAD

La probabilidad es una medida de la certidumbre que se le asocia a la ocurrencia u observación de un resultado determinado al llevar a cabo el experimento correspondiente.

Teoría de probabilidades.

Es una rama de las matemáticas aplicadas que trata lo concerniente a la asignación y manejo de probabilidades.

22

Axiomas de la teoría de probabilidades.

1. La probabilidad de ocurrencia de un evento múltiple A, es un número representado por P(A) que se le asocia o se le asigna a dicho evento y cuyo valor queda comprendido en el intervalo de 0 a 1.

0≤ P( A)≤ 12. Sí S es el espacio de eventos de un experimento entonces la

probabilidad de S es 1.P (S )=1

3. Sí Ay B son dos eventos mutuamente exclusivos o excluyentes entonces la probabilidad de la unión de ambos es igual a la suma de sus probabilidades.

P ( A∪B )=P ( A )+P(B)

Métodos para la asignación de probabilidades.

1. Probabilidad clásica.

S= {exito+ fracaso }= {N } A={evento a probabilizar } A={númerode eventos simples }=N A

P ( A )=N A

NN A<N ó N A=N

Ejemplo:

Sea el experimento de lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara que queda hacia arriba. Si a cada cara del dado le asociamos un número entero positivo del 1 a 6. Determine la probabilidad de que este sea:

a) Parb) Mayor de 3c) Impard) Menor o igual a 3e) Mayor a 6

Solución:

S={xx=lanzarundado}S= {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }= {6 eventossimples }N=6

a) A= {x/x = par}A= {2, 4,6} = {3 eventos múltiples}NA= 3

23

P ( A )=N A

N=3

6=0.5=1

2

b) B={x/x =impar}B= {1, 3, 5}= {3 eventos simples}NB= 3

P (B )=N B

N=3

6=0.5=1

2

c) C= {x/x >3}C= {4, 5, 6} = {3 eventos simples}NC= 3

P (C )=NC

N=3

6=0.5=1

2

d) D= {x/x ≤ 3}D= {1, 2, 3} = {3 eventos simples}ND= 3

P ( D )=ND

N=3

6=0.5=1

2

e) E= {x/x >3}E= { } = {0 eventos simples}NE= 0

P ( E )=N E

N=0

6=0

2. Probabilidad frecuencial.

Es aquella que para determinar la probabilidad se realiza a partir de llevar a cabo el experimento.

N →∞P ( A )=N A

NS= {N }N=númerode veces que serepite unexperimento

Ejemplo:

24

BlancasAzulesRojo

S={b , r , b , b , b , r ,r , r , a , a ,b , b , r , r ,a ,b ,a ,r , b , a }

S={N }

¿ R={x / x=bolaroja }={7eventossimples }

P ( R )=NR

N

P ( R )= 720

¿C={x / x=bolablanca }={8bolasblancas}

P (C )=NC

N

P (C )= 820

=25

¿ B={x /x=bolaazul }={5eventossimples }

P (B )=N B

N

P (B )= 520

=14

PROBABILIDAD SUBJETIVA.

Es la que se asigna por la experiencia o el estado de ánimo de la persona que lo designa, no tiene valor numérico confiable.

Modelo probabilístico

Es la forma que pueden tomar un conjunto de datos obtenidos de muestreos de datos con comportamiento que se supone aleatorio.

25

EJEMPLO:

Sea el experimento de lanzar 3 monedas simultáneas. Determine la probabilidad de obtener:

a) Cero carasb) Una carac) Dos carasd) Tres carase) Cuatro caras

Solución:

PROBABILIDAD CLÁSICA.

S={x/x = 3 monedas}

S= {n1 n2 n3

2 2 2

= n1 x n2 x n3 = 2 x 2 x 2= 8 eventos simples}

N= 8

a) A={x/x cae cero caras}

A={n1 n2 n3

1 1 1

= n1 x n2 x n3 = 1 x 1 x 1= 1 evento simple}

NA= 1

P ( A )=N A

N=1

8

b) B={x/x cae una cara} aac

B={3 !

2!1 !=3 x2 !

2 ! x1=3

1= 3 eventos simples}

NB= 3

P (B )=N B

N=3

8

26

c) C={x/x caen dos caras} cca

C={3 !

1!2 !=3 x2 !

1 x2 !=3

1= 3 eventos simples}

NC= 3

P (C )=NC

N=3

8

d) D={x/x caen tres caras} ccc

D={3 !

0 !3!= 3 !

1 x3 !=3

1= 1 evento simple}

ND= 1

P ( D )=ND

N=1

8

e) D={x/x caen cuatro caras} ccccD={ }= 0 eventos simplesND= 0

P ( D )=ND

N=0

8=0

4/8

3/8

2/8

1/8

Probabilida

27

PROBABILIDAD FRECUENCIAL.

S= {x/x = 3 monedas}

S= {N} N= {12}

S= {cca,ccc,caa,cca,cca,aca,aaa,cca,cca,cca,cca,aac}

a) A= {x/x= cero caras}= {un evento simple}

P (A)= 1

12

b) A= {x/x= 1 cara}= {tres eventos simples}

P (A)= 3

12

c) A= {x/x= 2 caras}= {siete eventos simples}

P (A)= 712

d) A= {x/x= 3 caras}= {1 evento simple}

P (A)= 1

12

TEOREMAS

4/8

3/8

2/8

1/8

0 1 2 3 4

N° de cara

28

Teorema 1.

Sí A es un evento múltiple del espacio de eventos del experimento entonces la probabilidad de su complemento será igual a:

P ( A ' )=1−P ( A )

A C S→ A ' C S

A y A’ son entre si mutuamente exclusivos

Por el axioma 3 se obtiene:

P ( A∪A ' )=P ( A )+P ( A´ )

P ( A ' )=P ( A∪ A' )−P ( A )----------------------1

A∪ A'=S→P ( A∪ A ' )=P(S)-------------2

Sustituyendo →P ( A ' )=P (S )−P( A)------3

Por axioma 2.

P (S )=1---------------------------------------------4

Sustituyendo 4 en 3

P ( A ' )=1−P( A)

Teorema 2:

Sí A y B son dos eventos no exclusivos la probabilidad de la unión de ambos es igual, a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de ocurrencia de ambos.

P ( A∪B )=P ( A )+P (B )−P( A ∩ B)

( A∪B )=( A ∩ B' )∪ ( A ∩B )∪ ( B ∩ A' )

Analizando los eventos ( A∩ B' ),( A ∩ B ),( B ∩ A ' ) observamos que son entre si

mutuamente exclusivo.

Por axioma 3.

P ( A∪B )=P ( A ∩B ' )+P ( A ∩ B )+P(B ∩ A ')

29

Agrupando términos se tiene

P ( A∪B )=[ P ( A ∩B ' )+P (A ∩B)]+P(B ∩ A' )------1

Por axioma 3

P ( A )=P ( A∩ B' )+P ( A∩ B )-----2

Sustituyendo ecuación 2 en 1

P ( A∪B )=P ( A )+P(B∩ A ')

Sumando y restando P ( A ∩B )

P ( A∪B )=P ( A )+P ( B ∩ A' )+P ( A ∩ B )−P ( A ∩ B )

Agrupando términos

P ( A∪B )=P ( A )+[P ( A ' ∩ B )+P ( A ∩ B )]−P ( A ∩ B )-------3

( A' ∩ B )∪ ( A ∩ B )=B

Por axioma 3

P (B )=P ( A ' ∩ B )+P ( A ∩ B )-------4


P ( A∪B )=P ( A )+P (B )−P( A ∩ B)

EJEMPLO:

Sea el experimento de lanzar 2 dados si a cada cara del dado le asociamos un número entero positivo del 1 al 6 determine la probabilidad de que por lo menos.

30

a) Uno de ellos muestre 1 número mayor de 3b) Uno de ellos muestre un 5c) Uno de ellos muestre un par

S=¿ (x /y) / Lanzar dos dados)

S=¿ (x /y) / x=1,2,3,4,5,6 ; y=1,2,3,4,5,6)

S=¿

S=¿ n1 × n2= 6 × 6 =36 eventos simples

N=36

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)S=¿ (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

a) Uno de ellos muestre 1 número mayor de 3

a) = (x/y)/x>3)

n1 n26 6

31

b) = (x/y)/y>3)

c) = (x/y)/(x e y)>3)

A= (nx) (ny)= 3×6 =18

A= 18 eventos simples

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) A= (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P (A)=NAN

NA=18 N=36

P (A)=1836

=12

B= (nx) (ny)= 6×3 =18

B= 18 eventos simples

(1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 4) (2, 5) (2, 6) B= (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

n1 n26 3

32

P (B) =NBN

NB=18 N=36

P (B) =1836

=12

C= (nx) (ny)= 3×3 =9

C= 9 eventos simples

C=¿ (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

P (C) =NCN

NC=9 N=36

P (C) =9

36=1

4

Analizando a los eventos A ∩ B observamos entre si son no exclusivos. Por teorema 2 se tiene:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (A) = 12 , P (B) =

12 , P (C) =

14

P (A ∪ B) = 12 +

12 -

14

n1 n23 3

33

P (A ∪ B) = 34

a) Uno de ellos muestre un 5

d)= (x/y)/x=5)

e)= (x/y)/y=5)

f)= (x/y)/(x e y =5)

D=

(nx) (ny)= 1 ×6 =6

D = 6 evento simples

D=¿ (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

P (D) =NDN

ND=6 N=36

P (D) =6

36=1

6

n1 n21 6

34

E=

(nx) (ny)= 6 ×1 =6

E= 6 evento simples

(1, 5) (2, 5) (3, 5) E=¿ (4, 5) (5, 5) (6, 5)

P (E) =NEN

NE=6 N=36

P (E) =6

36=1

6

F=

(nx) (ny)= 1 ×1 =1

F= 1 evento simple

n1 n26 1

n1 n21 1

35

F = (5, 5)

P (F) =NFN

NF=1 N=36

P (F) =1

36


P (D ∪ E) = P (D) + P (E) - P (A ∩ B)

P (D) = 6

36 , P (E) =

636

, P (F) = 1

36

P (D ∪ E) = 6

36 +

636

- 1

36

P (D ∪ E) = 1136

c) Uno de ellos muestre un par

g)= (x/y)/x= núm. par

h)= (x/y)/y= núm. par)

i)= (x/y)/(x e y) muestre un núm. par)

G=

(nx) (ny)= 3 ×6 =18n1 n23 6

36

G= 18 eventos simples

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

G=¿ (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P (G) =NGN

NG=18 N=36

P (G) =1836

=12

H= (nx) (ny)= 6×3 =18

H= 18 eventos simples

(1,2) (1,4) (1,6) (2,2) (2,4) (2,6) (3,2) (3,4) (3,6)H=¿ (4,2) (4,4) (4,6) (5,2) (5,4) (5,6) (6,2) (6,4) (6,6)

P (H) =NHN

NH=18 N=36

n1 n26 3

37

P (H) =1836

=12

I= (nx) (ny)= 3×3 =9

(2,2) (2,4) (2,6) I= (4,2) (4,4) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6)

P (I) =¿N NI=9 N=36

P (I) =9

36=1

4


P (G ∪ H) = P (G) + P (H) - P (A ∩ B)

P (G) = 12 , P (H) =

12 , P (I) =

14

P (G ∪ H) = 12 +

12 -

14

P (G ∪ H) = 34

EJEMPLO:

n1

n2

3 3

38

La probabilidad de que una retroexcavadora no funcione en su primer día de trabajo es 1/2 y la probabilidad de que no funcione en su segundo día de trabajo es 1/3.

¿Cuál es la probabilidad de que no funcione por lo menos uno de sus dos primeros días, si la probabilidad de que no funcione ambas es 1/6?

1/6

P(A)= 1/2

P(B)=1/3

P(AΠB)=1/6

P(AUB)=1/2 + 1/3 – 1/6 = 4/6 = 2/3

Primero

S={(x.y)/x=falla, trabaja, y = falla trabaja}

S={ = n1x n2 = 2 x 2 = 4 eventos simples}

F= falla t=trabaja

Día 1

1/2

Día 1

1/2

n1 n2

2 2

39

S={(F,t) (t,t) (t,F) (F,F)

A={(x,y)/x=falla el primer dia} = {(F,t)(t,F)} = {2 eventos simples}

P(A)= 2/4 = ½

En un patio de maquinas propiedad del ingeniero, está integrado por 15 retroexcavadoras de las cuales 7 están descompuestas, si el ingeniero para llevar acabo el avance de obra diario requiere 3 retroexcavadoras.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de ellas este descompuesta?

b) Si de las 15 retroexcavadoras 5 tienen descompuesto el cargador y 4 tiene ponchadas las llantas, el resto funciona perfectamente bien. ¿Cuál es la probabilidad de que al ordenar la salida de 8 equipos al azar 3 tengan ponchadas las llantas, 2 descompuesto el cargador y el resto funcione

c)

A={x/x= una este descompuesta}

B={x/x=dos están descompuestas}

C={x/x=tres están descompuestas}

S={x/x= seleccionan 3 retroexcavadoras}

S={∁315= 15 !

(15−3 )!3 !=15 X 14 X 13 X 12 !

21!3 X 2 X 1=455 eventos }

A={15 retro→8 funcionan

7nofuncionan→

2 funcionan1nofubciona

=∁28 ∁1

7 }

40

A={ 8 !(8−2 )! 2!

x7 !

(7−1 )!1 !=8 x7 x6 !

6 !2 x1x

7 x 6!6! 1

=28 x7=196eventossimples }

P(A)=N A

N

N=455

NA=196

P(A)=196455

=2865

B={15 retro→8 funcionan

7nofuncionan→


=∁18∁2

7 }

B={ 8 !(8−1 )!1 !

x7 !

(7−2 )!2 !=8 x7 !

7 !1x

7 x6 X 5 !5 !2 X 1

=8 x 21=168eventossimples }

P(B)=N B

N

N=455

NB=168

P(B)=168455

=2465

C={15 retro →8 funcionan

7nofuncionan→


=∁ 08∁ 3

7}

B={ 8!(8−0 ) !0 !

x7 !

(7−3 ) !3 != 8!

8 !1x

7 x6 X 5 X 4 !4 !3 X 2 X 1

=1 x35=35eventossimples }

P(C)=N C

N

N=455

NC=35

P(B)=35

455= 1

13

41

Como A, B y C son mutuamente exclusivos por axioma 3 se tiene:

P ( A∪B∪C )=P ( A )+P (B )+P (C )=2865

+ 2465

+ 113

P ( A∪B∪C )=28+24+565

=5765

b)15 retro→

4 llqntas ponchadas5 cargadordescompuesto

6 funcionanbien→8equipos →

3 llqntas ponchadas2cargador descompuesto

3 funcionanbien

S= {x/x=seleccionar 8 equipos}

S={∁ 815= 15 !

(15−8 ) !8 !=15 x14 x 13x 12x 11 x10 x 9x 8 !

7 x 6 x5 x 4 x3 x 2x 1x 8!=6435eventos

A={x/x=elegir 8 equipos(3 llantas ponchadas, 2 cargador descompuesto, 3 funcionan bien)}

A={∁ 34 ∁2

5 ∁36 }

A=

{ 4 !(4−3 )!3 !

x5 !

(5−2 ) !2 !x

6 !(6−3 ) !3 !

=4 x 3 !1 !3!

x5 x 4 x3 !3 !2x 1

x6 x5 x 4 x 3!

3 !2x 1=4 x 10 x20=800eventos simples }

P(A)=N A

N

N=6435

NA=800

42

P(A)=800

6435= 160

1287

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional es aquella que se obtiene a partir de la ocurrencia de un evento.

P (A/M)

P (A/M) = NA ∩ MNM

P (A/M) =

NA ∩ MN

NMN

=

P (A ∩ M )P(M )

43

P (A/M) = P (A ∩ M )

P(M )

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Nos permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de la ocurrencia de más de un evento.

M= (A1∩M) ∪ (A2 ∩ M)∪ ... ….∪(Ai ∩ M)

Son mutuamente exclusivas; por axioma 3

P (M) = P (A1∩M) + P (A2 ∩ M) + …. + P (Ai ∩ M) 1

P (M/M) = P (A 1∩ M )

P A 1 P ( A 1∩ M ) = P (M/ A1) P (A1)

. . . .

. . . .

P (M/Aj) = P (A i∩ M )

(P A i) P ( A i∩ M ) =P (M/A2) P (Ai)


P(M)= P(M/A1) P(A1) + P(M/A2) P(A2)+….+ P(M/Ai) P(Ai)

P (M) = ∑i=1

n

P( MAi )P(Ai)

TEOREMA DE BAYES

P (M/Aj) = P (A i∩ M )

P( A i)1

P(A i / M )= P (A i∩ M )

P(M )2

44

P(A i ∩ M )= P (M/Aj) P(Ai) 3

P(A i ∩ M )= P(A i / M )P(M) 4

Igualdades 3 y 4

P(A i / M )= P (M /Aj )P(Ai)

P(M ) T.B

P (M) = ∑i=1

n

P( MAi )P(Ai)

P(A i / M ))=P(M / Aj)P ¿¿

Ejemplo:

Una empresa constructora a obtenido el contrato de la construcción de un puente de concreto armado, debido al volumen del concreto que utilizara a contratado a dos empresas de concreto premezclado 1 y 2 la empresa A1 le surtirá el 80% del concreto dándole una garantía del mismo del 95% es decir el 95%del concreto cumple la carga de fatiga la empresa A2 sumistrará el resto del concreto garantizándole una calidad del 80%.

45

a) Determine la probabilidad que tendrá el puente es decir.; que cumplan la norma.Si al estar colando el puente se toma una muestra de concreto y se determina que cumple la norma ¿Cuál es la probabilidad que determina de que este concreto haya sido suministrado por la empresa A1.

EMPRESAS CANTIDAD CANTIDAD DEL CONCRETOCOMPLETA LA NORMA

NO CUMPLE LA NORMA

A1 80% 95% 5%A2 20% 80% 20%

C= X/Z= Cantidad del puente

P(C)= P(C/A1) P (A1) + P(C/A2) (A2) P

P(C/A1)=0.95P (A1)=0.80P(C/A2)= 0.80P (A2) =0.20P(C) = (0.95)(0.80) +(0.80)(0.20)P(C) = 0.95

P (A1/C) =P ( C

A 1 )P( A 1)

P(C )

P (A1/C) =(0.95 )(0.80)

O .92

P (A1/C) = 0.8260

INDEPENCIA DE EVENTOS

46

Dos o más eventos son independientes entre sí cuando la probabilidad de uno de ellos no afecta o modifica la probabilidad del otro o de los otros eventos.

P( AM )=P ¿¿…..1

P( MA )= P( A ∩ M )

P( A) ………2

P( AM )=P( A)…………3

P( MA )=P( M )………..4

SUSTIYENDO LA EC. 3 EN EC. 1

P ( A )= P(A ∩ M )P (M )

P ( A ) P (M )=P (A ∩ M )……..A

SUSTITUYENDO LA EC 3 EN 1

P(A)P( A ∩ M )

P(M )P ( A ) P ¿)=P(A∩ M ¿SUSTITUYENDO 4 EN 2

P(M)=PA (∩ M )P (A )

P(M) P (A)=P(A∩ M ¿P(A)P(M)=P(A∩¿P(A1)P(A2)……p(A1)=P(1∩ A 2∩…….∩ Ai ¿

47

PROBLEMA

Se tiene una caja de 20 fusibles de los cuales 5 son defectuosos y se elige al azar 2 de ellos y se retira a la caja de forma sucesiva y sin reemplazo determine la probabilidad de que cuantos fusibles son defectuosos.

S= x/x=extraer dos fusibles 20

S= 20f = 2 =20!

(20−12 ) !2 !

S= 20 !

(8 !)2! ¿¿=

20× 19×1818 !2!

=190

S= 190 eventos simples

A= x/x=extraer dos fusibles defectuosos 15 funcionan 0 funcionan 15 5A= 20 f 5 no funcionan 2 no funcionan = 0 2

A={15 !

(15−0 )!0 ! ×

5 !(5−2 )12 !

A= 10 eventos simples

P(A)=NAN

= 10190

P(A)=10

190 P(A)=

119

Apuntes de Probabilidad y Estadistica (2)

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