Arancibia - Matemática Electiva

7/18/2019 Arancibia - Matemtica Electiva

1/488

MATEMATICA

MateriaEjercicios

y

Problemas

Luis H. Arancibia Morales

1


2/488

2

MATEMATICAMateria

Ejerciciosy

Problemas

Luis H. Arancibia MoralesRegistrado como propiedad intelectual el da19 de Abril de 2010 bajo el numero 190510


3/488

3

AgradecimientosA mis padres Luis y Lucila, quienes con mucho esfuerzo hicieron posible que pudiera tener

el privilegio de una carrera universitaria.

A mi amada esposa Belinda por su comprension y aliento constantes.

A mis hijos Brisy y Rafael de quienes obtuve mucho de lo que los jovenes necesitan paratener motivos de estudiar.

A todos mis alumnos y colegas, de quienes aproveche todas y cada una de sus interrogantespara idear una respuesta plausible y a los futuros estudiantes que aportaran para que este trabajo,con su estudio, genere nuevas interrogantes para poder agregar o suprimir captulos.

Luis Humberto Arancibia MoralesProfesor de Estado en Matematica

Ttulo conferido por la Universidad de Chile

Docente en:Instituto NacionalColegio San Ignacio

Universidad de Santiago


4/488


5/488

Indice general

Captulo 1. Aritmetica 91. Sistemas Antiguos 92. Operaciones Aritmeticas 123. Problemas de planteo 174. Numeros y Algoritmos enIN 214.1. Aprendiendo a Contar 225. Sistemas de numeracion paraIN 256. Ejercicios y problemas 297. Algoritmos 30

Captulo 2. Los Enteros 391. La definicion de los Enteros 392. Representaciones Graficas 413. ejercicios 474. Ejercicios y Problemas verbalizados 485. Biografia 49

Captulo 3. Fracciones de Enteros 511. Problemas 56

Captulo 4. Numeros Racionales 590.1. Biografia 75

Captulo 5. Los Reales 771. I: Numeros irracionales 772. Introduccion a IR 813. Antecedentes Historicos 833.1. Construcciones 874. Ejercicios y Problemas 92

Captulo 6. Razones y Proporciones 951. Definiciones y ejemplos 95

2. Ejercicios 101

Captulo 7. IRcomo campo 1131. Algebra enIR 1131.1. Productos y cocientes algebraicos 1142. Fracciones Algebraicas 1323. Potencias de base real y exponente Entero 1364. Ecuaciones 152

Captulo 8. IRcomo Campo Ordenado 1651. Orden enIR 165

5


6/488

6 Indice general

2. Desigualdades e Inecuaciones 1673. Valor Absoluto y Distancia enIR 1714. Sistemas de Primer grado 1725. Problemas 183

Captulo 9. Logica y Conjuntos 187

1. biografias 1932. Ejercicios de Logica 199

Captulo 10. Relaciones y Funciones 2031. Preliminares 2032. Relaciones 2063. Funciones 2164. Funciones Particulares 2214.1. Funcion Lineal y Lineal Afn 2215. Funcion Cuadratica y Ecuacion de segundo grado 2286. Raices Cuadradas y nada mas 242

7. Exponencial y Logaritmos 2477.1. Exponencial 2477.2. Logaritmos 2518. Ecuaciones logaritmicas 254

Captulo 11. Geometra 2591. Nociones Basicas 2592. Construcciones elementales 2652.1. Las herramientas 2653. El teorema de Pitagoras 2804. Isometras 2894.1. Traslacion Paralela 290

4.2. Simetra Axial 2914.3. Simetra Central o Simetra Puntual 2934.4. Gua de Transformaciones Isometricas 297

Captulo 12. Lineas Proporcionales 3011. Mas de Geometra de Proporciones 3102. ejercicio 315

Captulo 13. Trigonometra 3210.1. Razones en sumas y ponderaciones de angulos 3290.2. Seleccion de Problemas 331

1. test trigonometra 336Captulo 14. Numeros Complejos 343

0.1. Materia 3430.2. Ejercicios 3480.3. Ejercicios y Problemas 352

Captulo 15. Sucesiones y Series 3571. sucesion aritmetica 3602. Sucesion Geometrica 362

Captulo 16. Teora Coordinatoria 371


7/488

Indice general 7

1. Contando de modo adecuado 3712. Binomio Newton 385

Captulo 17. Probabilidad y Combinatoria 387

Captulo 18. Estadstica 401

Captulo 19. Construcciones geometricas 421

Captulo 20. Mas de Geometra de Proporciones 4331. logaritmos 4392. Combinatoria y Probabilidades 4403. Sistemas y Problemas de Primer Grado 442

Captulo 21. Geometra analtica 4471. Sus orgenes 447

Apendice A. Anexos 4551. No esta todo dicho 455

1.1. biografia 456

Apendice B. Topicos Avanzados 4571. Inducccion Matematica 457

Apendice C. Ejercicios y Problemas en General 4591. Test miscelaneo 4592. Problemas comunes de Desarrollo 4793. Problemas de desafo, para desarrollar 487

Apendice. Bibliografa 489


8/488

8 Indice general

IntroduccionEl objetivo principal de este trabajo es poner en manos de estudiantes de Ensenanza Media

y sus profesores recursos muy escasos en cuanto a cantidad y calidad de problemas. Se haceentrega tambien de una buena cantidad de elementos teoricos, se entregan indicaciones paradesarrollar demostraciones y verificar que los resultados obtenidos so los correctos, por el mo-

mento no he pensado en confeccionar un solucionario.

Este libro no es un texto de estudio, va mucho mas alla y pretende ser mucho mas que unlibro de consultas.

Esta matizado con antecedentes historicos, curiosidades, mini biografas, juegos y desfos.

La sugerencia es que los estudiantes de Septimo u Octavo Basico no trabajen solos con estelibro, que sean apoyados por algun adulto o estudiante de curso superior, Tercer o Cuarto AnoMedio.

Cada tema tratado es enfocado de modo que pueda ser complementado con todos los demas,la matematica es una sola, sus separaciones son por lo general de caracter didactico. El primercaptulo se refiere a la aritmetica, la justificacion de la operatoria, los sistemas de numeracion,la construccion de los algoritmos comunes, aquellos que nos hemos visto obligados a digerir sincuestionamiento alguno. Se termina el captulo con la construccion de algortimos mas sofistica-dos, y que ademas se ocupan o se ocuparon en otras latitudes o que nos permiten desarrollar demodo mas mecanico algunos calculos que sin ellos nos resultarian muy tediosos. En todo estecapitulo se trabaja el conjunto de los numeros naturales.


9/488

Captulo 1

Aritmetica

1. Sistemas Antiguos

A1 Algunas formas antiguas de registrar los numerosAqu hay algunos modos antiguos de registrar los primero diez numeros, al parecer la mas

compleja de todas es la forma romana

9


10/488

10 1. ARITMETICA

El primer uso de los numeros fue para contar, se supone que se comenzo agrupando, algunosde modos bastante complejos, como los romanos. Otros se hicieron muy pocos problemas, porejemplo en una tribu africana solo existen1, 2, 3 y muchos, cualquier cantidad que supere a treses muchos.

Los sistemas que nos interesan se denominan sistemas de valor posicional y usaremos lossmbolos usuales, es decir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9y sin perjuicio de usar otros smbolos segun se necesite

Se dice que en los sistemas primitivos no exista el 0 (cero), sin embargo nuestro sistemaMaya si lo considero y ademas contaba con 20 smbolos. Mas adelante podremos trabajar estesistema, veremos la economa para representar grandes cantidades.

La idea central es agrupar en conjuntos de cantidades iguales. Estamos usando terminosmatematicos en lenguaje vernaculo, es decir, fuera de su significado. Nos resulta muy dficilabstraernos de nuestro lenguaje castellano o mejor dicho espanol.

Actividad aritmetica en el Antiguo EgiptoPresumiblemente para contabilizar

impuestos y tributos.

Si la base es 2, entonces los smbolos son 0 y 1 y se agrupan de dos en dos.

Consideremos los siguientes ejemplos en base 2 o binario:

A

#A= 0

A

#A= 1

A

#A= 10

A

#A= 11

A

#A= 100

A

#A= 101

A

#A= 110

A

#A= 111

A

#A= 1000


11/488

1. SISTEMAS ANTIGUOS 11

Otro sistema de conteo, usado hasta hacemuy poco tiempo en algunas tribus africanas.

Determine el cardinal de los siguientes conjuntos, en la base pedida:(es decir agrupando deacuerdo a la base, si la base es 5, los smbolos son 0, 1, 2 , 3 y 4; y los primeros numeros son0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100,101, etc.)

base(2)

base(3)

base(5)

base(7)

Trate de generar algun metodo, de modo que pueda contar todos y cada uno de loselementos una y solo una vez. Use cualquier recurso.

Los sicologos indican que la mayor cantidad de elementos del que se puede dar su numerosin contar es 8, y todos los ejercicios tienen mas de ese numero


12/488


13/488

2. OPERACIONES ARITMETICAS 13

Desarrollar una adicion contando, es muy facil, sin embargo con numeros grandes se trans-forma en un proceso interminable y mas aun si tuviesemos que considerar varios sumandos, loque es muy comun. Queda como desafo el generar un algoritmo de adicion o suma, es decirconstruir las reglas, similares a las que ya conoces en el sistema decimal, pero en general, esdecir, independiente de la base del sistema de numeracion.

Antes de continuar haga el siguiente ejercicio: con los numeros anterioresn y mconsiderem+ n, como ya lo sospecha, las sumas deben ser iguales, pero la operacion es distinta a laanterior. Explique en sus palabras esta diferencia.

La multiplicacion, al igual que la adicion es una operacion binaria e intuitivamente significareproducir una cantidad un cierto numero de veces y despues contar el resultante total.

Vamos a usar nuevamente la base binaria y los numeros serann = 101y m = 11, Se piden m

101

101

101

(n m) = (101 11) = 1111

Observe ahora lo que ocurre al considerarm n

11

11

11

11

11

(m n) = (11 101) = 1111

Nuevamente los resultados son iguales, sin que como operaciones sean iguales.Esta propiedad de las operaciones se llamaConmutatividad

Como para la adicion, se pide generar o construir un algoritmo (formula operativa, como encomputacion).

Despues de la serie de ejercicios y problemas hay una unidad sobre algoritmos en general.


14/488

14 1. ARITMETICA

Pitagoras de Samos es considerado comouno de los sabios de Grecia, para la mayorade nosotros es conocido por su teorema refer-ente a los triangulos rectangulos. La terna 3, 4y 5 era conocida por los egipcios, sin embargocomo caso particular. La gracia de Pitagoras eshaber demostrado que cada vez que se tiene untriangulo rectangulo, la relacion es verdadera.Su enunciado es como sigue: Si a y b son loscatetos, entonces la suma de las areas de los

cuadrados construdos con esas medidas por

lado es igual al area del cuadrado constru do

con la medida de la hipotenusa por lado. Elenunciado no es algebraico, pues los griegosfueron en ese tiempo geometras.

Pitagoras explicandoa uno de sus discpulos.

Desarrolle las siguientes operaciones en la base indicada

base(6)23432433103001

+322444243301 base(6)

4534215543

+2354235514

base(6)

43255342014

+3445542301

+25435401542

base(6)

44555234500245

+25554442254

+5443332402

+43255300234

base(6)43255342014

25435401542

base(6)4455523450

334554452

base(6) 33455043 2543 base(6) 4452350 34542

base(6) 43405043 : 1543 base(6) 40513540 : 345

base(5) 43404043 1432 base(5) 40413440 : 342


15/488

2. OPERACIONES ARITMETICAS 15

La representacion muestra a la Aritmeticacomo la musa inspiradora de dos jovenes estu-diosos, uno hace calculos con el abaco y el otroregistra lo obtenido, la imagen es una litografade la edad media

En las tres representaciones se usa elabaco, algo as como las modernas calculado-ras, con sus reglas, capacidad y limitacionesdadas.

Ejercicios en Base 9 Nueve

1.Considere la base de numeracion (Nueve)

a) Anote los primeros50(9)numeros naturales (Agrupelos en Novenas).

b) Construya la tabla de adicion y la tabla de multiplicacion

+ 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8


16/488

16 1. ARITMETICA

c) Desarrolle la operatoria pedida:

4657821+ 4367865

35787821738470821

+ 56887867

8332414568742

57135713

+ 5555444

33322244488877788

777888666

12345678

+ 87654321

4657821

4327811135821

84708103001

8764210101123

8887788

245

26 6524475

236 647842

3578

23368 6 6524371 36 5647842 4508


17/488

3. PROBLEMAS DE PLANTEO 17

3. Problemas de planteo

A3

1. Si a la fecha de nacimiento de una persona se le agrega su edad, que se obtiene?

2. Si al precio de venta de un artculo se le sustrae la ganancia, que nos resulta?

3. Si a una suma ya realizada se le adiciona la suma de las mismas cantidades, que ob-tendremos?

4. Que numero resulta si adicionamos el sustraendo con la diferencia?

5. Si al minuendo le quitamos la diferencia, que nos queda?

6. Que se obtiene al sumar el minuendo, el sustraendo y la diferencia?7. Que nos queda si de la suma de dos numeros restamos la diferencia?

8. La suma de dos numeros es 48 y su diferencia, 24. Cual es el numero menor?

9. La suma de dos numeros es 196 y el duplo de su diferencia, 140, cuales son dichosnumeros?

10. Que resulta si se resta la suma de dos numeros del doble del mayor?

11. La suma de dos numeros es 300 y el duplo del mayor, 480. Cuales son esos numeros?

12. Si de la suma de dos numeros se resta el duplo del numero menor, que resultado ob-tendremos?

13. La suma de dos numeros es 105 y el duplo del menor, 40. Cual es la diferencia entreellos?

14. Diga cuando un producto es:a) igual al multiplicando

b) mayor que el multiplicandoc) menor que el multiplicando

15. Que ocurre en un producto cuando se duplica, o triplica uno de sus factores?

16. Que ocurre en un producto de dos factores cuando cada uno de ellos se duplica?y si son tres factores y cada uno se triplica, que ocurre con el producto?

17. La suma de cuatro numeros es 12. Que resultado obtendremos si cada sumando semultiplica por 5?


18/488

18 1. ARITMETICA

18. La diferencia de dos numeros es 12. Cual sera la diferencia si cada termino se multi-plica por 4?

19. Escriba de modo equivalente, a lo menos de dos formas distinas:9 1548

21

20. Si a ambos factores de un producto se les agrega un mismo numero, por ejemplo 3.Que cambio sufre el producto?

21. Sin multiplicar directamente, de el resultado de:a) 999.999.999.998 1.000.000.000.002b) 2.495 2.495

22. Como se determina el divisor en una division exacta al conocer el dividendo y el co-ciente?

23. Conocidos el dividendo, el divisor y el cociente de una division, como se obtiene elresto?

24. Dgase que alteracion sufre el cociente de una division exacta si:a) se aumenta el dividendob) se duplica el dividendoc) se triplica el dividendod) al dividendo se le suma el divisore) al dividendo se le suma el triple del divisorf) se duplica el divisorg) el divisor se reduce a la mitad

25. Que cambio experimenta el cociente de una division si:a) se suman el dividendo con el divisor y se divide por el mismo divisor?b) al dividendo se le resta el divisor y se divide por el mismo divisor?

26. Conocidas la suma y el cociente de dos numeros, como se obtiene el numero menor?

27. Conocidas la diferencia de dos numeros y su cociente, como se halla el numero menor?

28. Que residuos o restos diferentes se pueden obtener al dividir un numero por 9?

29. Se considera la quinta parte del dividendo y el quntuplo del divisor. Que alteracionsufre el cociente?

30. En que caso, agregando una cantidad al dividendo, no se altera el cociente, aunque siel resto?

31. En una division inexacta, cual es la menor cantidad que se puede restar al dividendopara que el cociente resulte exacto?


19/488

3. PROBLEMAS DE PLANTEO 19

32. ? Como multiplicar una suma indicada por un numero?

33. Cuando se multiplica por 9 uno de los sumandos de una adicion, que cambio experi-menta la suma?

34. La suma de dosnumeros es 1.058,25 y su diferencia, 403,75. Cuales son esosnumeros?

35. Dos amigos han de repartirse 58 vales de modo que uno de ellos tenga 6 vales mas queel otro. Cuantos corresponden a cada uno?

36. Lo que costo $7.480, se vendio posteriormente en $8.145. Cuanto se gano?

37. Rafael Victoriano Nacio en 1.876, nacio de nuevo el ano 1.916 (conocio al Senor Jesus)y vivio 98 anos. Cuantos anos sirvio a la causa del evangelio?, que ano fue llamadoa la presencia del Senor (fallecio)?

38. Un padre tena 25 anos cuando nacio su hijo. Cual sera la edad de este cuando el padrecumpla 59 anos de edad?

39. La suma de dos numeros es 5.312 y el duplo de su diferencia 1.914, entonces losnumeros son:

40. La diferencia entre dos sumas de dinero es $875. Si la mayor es $3.419. Cual es lasuma menor?

41. La diferencia de dos numeros es 3.569, y el duplo del menor es 14.628, cual es elnumero mayor?

42. La suma de dos numeros es 5.890, y el duplo del numero menor es 4.600. Cual es ladiferencia entre ambos numeros?

43. Dos jinetes corren en sus respectivos caballos uno a 15 kilometros por hora y el otro a17 kilometros por hora, hace ya 12 horas que estan corriendo (relevan caballos cada 3horas). Si salieron desde un mismo punto a la misma hora, que distancia los separa si:a) van en la misma direccion ?b) van en direcciones opuestas?

44. El producto de dos numeros es 720; si se agregan 6 unidades al multiplicando, elproducto sera entonces 816. Cuales son los factores de ese producto?

45. Al multiplicar un numero por 34 el valor primitivo se ha acrecentado en 4.059 unidades,cual es el numero?

46. Un estudiante debe multiplicar un numero por 50, se olvido de anotar el cero a laderecha del resultado, llegando a presentar un numero que se diferencia en 116.010unidades del correcto. Cual es ese numero?


20/488

20 1. ARITMETICA

47. En un libro de contabilidad se descubre la siguiente situacion 9 = 167. Restablecer la operacion

48. El cociente de una division es 413; el divisor 437 y el resto 243, cual es el dividendo?

49. Un tornillo micrometrico debe dar 25 vueltas para entrar 3 decimas de milmetro.Cuantas vueltas tendra que dar para entrar4 12 milmetros?

50. Cuantos das necesitara un pintor para pintar 840 ventanas, si trabaja 8 horas diarias ypinta tres ventanas cada 2 horas?

51. La suma de dos numeros es 75 y su cociente exacto, 4. Cuales son esos numeros?

52. La diferencia de dos numeros es 75 y su cociente exacto, 4. Cuales son son esosnumeros?

53. Al dividir un numero por otro se ha hallado 27 por cociente y 12 por resto; si se agregan31 unidades al dividendo, entonces el cociente exacto es 28. Cuales son el dividendo yel divisor?

Hay aqu dos inventos de matematicos, son maquinas para volar y el personaje estaconsiderado como el primero en disenar una aeronave que se sostuvo en el aire, es Arquitas deTarento


21/488

4. NUMEROS Y ALGORITMOS EN IN 21

4. Numeros y Algoritmos enIN

A4

Es necesario que desarrolle todos y cada uno de los algoritmos propuestos, estos

corresponden a lo que la reforma de la comunidad Europea exige en Matematicas, includa

la espanola.1

Esta figura apareceen el libro Matematicasde la coleccion cientfica

de LIFE

1Esta seleccion fue extrada de una serie de libros espa noles, no todos decirculaci on en Chile


22/488

22 1. ARITMETICA

4.1. Aprendiendo a Contar.

1. Se tiene un cuadrado cuadriculado de5 5, como muestra la figura

Determine el numero de rectangulos distintos que se pueden observar. Asegureseque no hay repeticion de alguno de ellos, puede asignar nombres o numeros o letras,como lo desee.

2. Considere ahora un triangulo equilatero de lado 9, el cual esta triangulado en triangulosequilateros de lado 1. Cuantos triangulos equilateros distintos puede determinar, sin

repetir.

3. Con las letras de la palabra PALABRA se construyen anagramas, cuantos resultan?

4. Dado el conjuntoA={a, b, c, d, e, f, h }, cuantos subconjuntos tiene?5. Cuantas diagonales tiene un polgono de n lados? Construir una formula.6. Forma todos los numeros de tres cifras pares y distinas entre si. Cuantos de ellos son

mayores que 500?7. En el colegio se hace un campeonato de baloncesto con 10 equipos. Cada equipo debe

jugar con todos y cada uno de los demas. Cuantos partidos se deben programar?8. Obten el numero de rectangulos que se puede formar en cada una de las siguientes

figuras:

Una vez realizados todos los recuentos anteriores. Determine un procedimientogeneral para cuando se tengannlineas horizontales dentro del rectangulo.


23/488

4. NUMEROS Y ALGORITMOS EN IN 23

9. A una fiesta familiar acuden 7 personas. Cada uno de los asistentes saluda a los demascon un abrazo, cuantos abrazos se han dado en total?

Si en una fiesta se contabilizaron 210 abrazos, cuantas personas asistieron?10. Los zanganos (abejas Macho) nacen de huevos sin fecundar y, por lo tanto tienen madre,

pero no tienen padre; las abejas hembra nacen de huevos fecundados por lo que tienenpadre y madre.Partiendo de una abeja macho y contando hasta la duodecima generacion, cuantos

ascendientes habra tenido?, cuantos de ellos eran machos?Si hubiese sido hembra, cuantos seran sus ascendientes hasta la duodecima gen-

eracion?, cuantos de ellos eran hembras?11. Cada uno de los rectangulos dados puede ser una bandera y existen tantos colores como

franjas tenga el rectangulo, dos banderas seran diferentes si a lo menos dos franjas queocupan la misma posicion tienen colores distintos

Cuantas banderas distintas hay en cada caso?12. Determinar el numero de rectangulos que hay en cada una de las figuras siguientes

Si haynlineas horizontales ymlineas verticales, cuantos seran los rectangulos?


24/488

24 1. ARITMETICA

13. La ciudad ideal es aquella que tiene todas sus calles perpendiculares y todas sus man-zanas tienen las mismas dimensiones. En la ciudad representada se pide encontrar todoslos caminos posibles para ir desde AhastaB, siempre que sean los mas cortos.

A

B


25/488

5. SISTEMAS DE NUMERACION PARA IN 25

5. Sistemas de numeracion paraIN

A5 Aqu algo de la utilidad de los sistemas de conteo

1. En una cierta cultura ya desaparecida, se descubrio que los registros siguientes son

numeros:a) b) c)

y que = 0, = 1, = 2, = 3, = 4y el sistema es de valor posicionalcomo el nuestro. Cuales son esos numeros en nuestro sistema?

a) De nuestros numeros, cuales terminan en?

b) Que forma tienen en el sistema antiguo los numeros que son multiplos de 3?

c) Como reconocer un numero par en el sistema antiguo?

2. Los romanos utilizaron un sistema muy complejo de numeracion, el cual aun se utiliza,solo que de manera decorativa, sin embargo se pide que te pongas en la piel de unromano de esos tiempos y desarrolles una suma y una multiplicaciona) M MCDXLV II + M MDCCLXXIXb) MCDXLIX CMXLIII

Un numero romano como X, al aparecer as Xvale 100 y si aparece asXvale1.000

Decorativamente la notacionXse usa para anotar el siglo diez

Feria Prehispana, mesoamericana, en evidente proceso de compra y venta, en la cuallos numeros juegan un papel importante


26/488

26 1. ARITMETICA

Este es el sistema maya de numeracion, su base es nuestro veinte, considera desdeel cero hasta el diecinueve

Para anotar un numero mayor, se usa el valor posicional, donde el smbolo de mayorpeso se anota arriba, por ejemplo:

a= 9 20 + 14 = 194

b= 1 202 + 5 20 = 1 400 + 5 20 = 500

c= 7 203 + 12 202 + 0 20 + 19 = 60819

A modo de ejercicio, obten los valores en Maya dea+b +c,a b,a+b c,c (a +b)y las operaciones que quieras realizar

3. Nuestros modernos computadores usan para representar numeros los sistemas Binario,Octal y Exadecimal entre otros, sin embargo no lo hacen directamente, pues la informa-cion numerica la codifican, inclusive para detectar errores de transmision.


27/488

5. SISTEMAS DE NUMERACION PARA IN 27

Los siguientes numeros estan anotados en bases 2, 4, 8 y/o 16. Con ellos desarrollalo pedido:

a) 111100112 + 111000111012=

b) 11101011012 11100011012=

c) 11100111011110112anotarlo en bases 4 y 8, sin pasar por la nuestra, la decimal

d) 33321100334anotarlo en base 8 y 16, sin pasar por la decimal

e) 775340678 : 567418determine el cociente y el resto sin pasar a la base decimal

f) Constuir un algoritmo para sumar en cualquiera sea la base de numeracion

Las representaciones correspondena Karl Friedrich Gauss,conocido como el principede las matematicas. Entreotros importantes aportes,desarrollo el principio decongruencia aritmeticay ademas fue el primeroen dar explicaciones concretasdel numero complejo.

Se representa aqu unaanecdota de sus das deescuela, cuando sorprendioa su profesor al entregaren un tiempo muy breve,el resultado correctode una suma de cien numeros


28/488

28 1. ARITMETICA

4. Los griegos fueron grandes geometras, tanto as que incluso para los numeros buscaronrepresentaciones de tipo geometrico:a) Numeros Triangulares

1 =T1

3 =T2

6 =T3

10 =T4

DetermineT5, T6, T7, T8, TnQue relacion existe entre Tn y Tn+1?, es decir entre un numero triangular y el

siguiente.Que se espera al sumarTny Tn+1?Sera la suma de dos numeros triangulares un numero triangular?

b) Numeros Cuadrados

1 =C1

4 =C2

9 =C3

Descubre como encontrarC4, C5, C6, CnQue relacion existe entre Cn y Cn+1?, es decir, entre un numero cuadrado y elsiguienteExiste alguna relacion demostrable entre la suma de dos numeros triangularesconsecutivos y un numero cuadrado?Es el conjunto de los numeros cuadrados cerrado para la suma?

5. Investiga sobre otras configuraciones empleadas por los griegos u otras culturas, porejemplo el sistema aditvo de los egipcios y el sistema multiplicativo de los chinos


29/488

6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 296. Ejercicios y problemas

A6

a) Un extraterrestre llega a la tierra y busca informacion sobre el modo de escritura delos numeros. Comprueba que su forma de representar los numeros es muy similaral sistema utilizado en la tierra, la unica diferencia estriba en que el extraterrestresolamente emplea tres signospara el 0;para el 1 ypara el 2:

1) Como escribe el extraterrestre los numeros

5, 20, 25, 30 y 145?2) Que numeros son los que el extraterrestre escribe as:

, ,

3) Haz las siguientes operaciones como las hara el extraterrestre:

+ = =

= : =b) El numero 12323 esta escrito en base 4, como se escribe en la base 8, sin pasar por

la base decimal?

En la base 8 haz la resta 24321-33441) En que base 76+67=132?2) En que base35 4 = 152?3) En el sistema de base 5, que numero es mas grande,2

22

o22

2

?Guardan cierta relacion con las bases numericas los siguientes problemaspresentados en olimpadas y campeonatos de matematica

c) Una piedra de 40 Kg. se quiebra en cuatro partes, de modo que en una balanza dedos platos permite pesar desde 1 hasta 40 Kg. (pesos enteros, no fraccionarios)

d) Se tienen 80 monedas de oro de igual forma y medidas, sin embargo una y solo unaes mas liviana que las otras. Se pide descubrirla con 4 pesadas a lo mas con unabalanza de dos platos.

e) La situacion siguiente es una multiplicacion encriptada, es decir, cada letra repre-senta un digito, se pide descubrirlos, sabiendo que corresponden a la base 8 y lamultiplicacion esta desarrollada tambien en base 8

LOTIRAV I

T TL

IO

L E O


30/488

30 1. ARITMETICA

7. Algoritmos

A7

1. Responde, de forma razonada, a las cuestiones siguientes sobre el algoritmo de la sumade numeros naturales:

Por que los sumandos se alinean a la derecha?

Por que la suma se hace por columnas?

Por quellevamoscifras de la suma de una columna a la de la izquierda?

Se puede sumar empezando por la izquierda?

Que resultados matematicos, que propiedades, se utilizan en el algoritmo de lasuma?

Que significa sumar en este algoritmo?

2. Responde, de forma razonada, a las cuestiones siguientes sobre el algoritmo de la restade numeros naturales:

Por que el minuendo se coloca en la linea superior?

Por que la resta se hace por columnas?

Por que a veces sumamos una unidad a una cifra del sustraendo?

Como se realizara la resta empezando por la izquierda?

Que resultados matematicos se utilizan en el algoritmo de la resta?

Que significa restar en este algoritmo?

3. Responde, de forma razonada, a las cuestiones siguientes sobre el algoritmo de la mul-tiplicacion de numeros naturales:

Por que se puede colocar cualquiera de los dos factores en la linea superior?

Por que se multiplica una cifra del multiplicador por todas las del multiplicando?


31/488


32/488

32 1. ARITMETICA

Otros algoritmos

1. Enrejado de Karaji

2 7 3

8

06

21

16

56

6201

8 7 6 4

9

Karaji fue un matematico persa, considerado el sucesor de Al-Khwarizmi, vivio en-tre fines del siglo X y principios del XI

Explica como funciona y por que es correcto este algoritmo

Dona aritmeticaensenando a los

jovenes principes.

Representacion enun tapiz del sigloXV IEn dicho perodo seconsideraba un gran

privilegio saber MatematicaCuanto ha cambiado hasta hoy

dicha opinion?


33/488

7. ALGORITMOS 33

2. Campesino ruso

69 5134 102 17 204

8

408

4 816 2 1632 1 3264

3519

Algunos numeros no se consideran. Como se debe hacer?Este metodo o algoritmo esta basado en el sistema de numeracion binario.Multiplica por el mismo algoritmo 28 119

3. Suma. Rara?

+ 5 2 5

9 6 71 0 1

4 8 2

1 4 9 2

Utilizando el mismo algoritmo, desarrolla las siguientes sumas:423+659349+1245

4675+2346+89755Supongamos que se ha desarrollado una suma bastante larga, de la cual tenemos

registrado solo lo siguiente:

+x x x...

... ...

x x x

5 4 1

6 2 3

8 7 6

Cual es el valor de esa suma?.Sera importante considerar las lineas oblicuas?


34/488

34 1. ARITMETICA

Responde razonadamente a las siguientes preguntas:Por que se empieza a sumar por la derecha?, se podra empezar por la izquierda?Sera un algoritmo conmutativo?, como saber que el resultado sera correcto, antesde sumar?Se podran suprimir las lineas oblicuas? Que informacion contienen?Hay reservas?, si las hay, como se ocupan?Que propiedades se utilizan en el funcionamiento de este algoritmo?

No se pueden usarcalculadoras en los

colegios?No es una pregunta

nueva.Aqu se muestra una

maquina usada en losalbores deXIX

inclua su manualde instrucciones, que por cierto,

es un algoritmo


35/488

7. ALGORITMOS 35

4. Desafos

Escribe un algoritmo para sumar numeros romanos, de modo que un companerotuyo o amigo lo pueda desarrollar solo leyendo.

Genera un algoritmo para la resta, que tenga como base el algoritmo de la suma rara.

Justifica el algoritmo de la resta en basercomplemento ar 1

Idea un algoritmo que te permita desarrollar, usando la calculadora obligatoria-mente, las siguientes operaciones

a) 12456478598981 345 + 23 357 457 890 123 987 + 234 400 563 249 000 358

b) 456 367 570 004 379 40098 375 003 999 841 897

c) 45345445688963003983 345876903

d) Obten el cociente y el resto de la division56435370980367 4456753

Hay veces que no se precisa de tanta exactitud en los resultados, basta con unaaproximacion, y estas se trabajan con los sistemas llamados notacion cientfica y no-

tacion de ingeniera y tambien los redondeos y truncados, con los cuales se aproxima.Estan basados en la base decimal preferentemente.

Anota los resultados anteriores con ambas notaciones

Algunas aplicaciones con numeros muy grandes pueden ser

a) Cuantos segundos tienes de vida hasta este momento?

b) Cuantos globulos rojos hay en tu torrente sanguineo, segun el recuento de un exa-men de sangre?

c) Cuantos latidos produce tu corazon en un ano?

d) Una persona consume 2 litros de agua diariamente, si esta agua la transporta en cajasde201010 centmetros cubicos. Cuantas cajas habra consumido en 70 anos?, sicon cada caja cubre una superficie de1020centmetros cuadrados, que superficiehabra cubierto en esos 70 anos?


36/488

36 1. ARITMETICA

e) Un pariente rico le ha prometido a un sobrino regalarle un peso hoy, dos pesosmanana, cuatro pesos pasado manana, cada da el doble de pesos que el da anterior.Si un dolar vale $500, podra algun da darle un millon de dolares como mnimo, sial momento de hacerle la promesa, el nino cumpla 5 anos?

Se cuenta que el matematico E. Kummer, gran algebrista aleman, era muy malopara los calculos aritmeticos, tanto asi, que en una oportunidad necesito obtener elresultado de 79, delante de sus alumnos empezo, ... 79..., es ... 79, esoes. Un alumno le soplo 61 profesor, Kummer anoto 61 en la pizarra y otro alumnointerrumpio. Senor7 9es 69. Con toda naturalidad Kummer dijo, no pueden serlos dos, o es uno o es el otro.

No ha nacidoaun el giganteque domine alos numeros

enteros.Que se esperapara los demas

conjuntosnumericos?


37/488

7. ALGORITMOS 37

DePablo Neruda

Oda a los numerosQue sed

de saber cuanto!Que hambre

de sabercuantas estrellas tiene el cielo!Nos pasamos

la infanciacontando piedras, plantas,

dedos, arenas, dientes,la juventud contando

petalos, cabelleras.Contamos

los colores, los anos,la vida y los besos,

en el campolos bueyes, en el marlas olas. Los navos

se hicieron cifras que se fecundaban.Los numeros paran.

Las ciudades eran miles, millones,el trigo centenares

de unidades que adentrotenan otros numeros pequenos,

mas pequenos que un grano.El tiempo se hizo numero.

La luz fue numerada.


38/488


39/488

Captulo 2

Los Enteros

1. La definicion de los Enteros

Z1

Un numero entero, o tambien llamado numero relativo nace de la necesidad de registrar elpasado, tanto como el debito.

Posteriormente se formaliza su concepcion como par ordenado de numeros naturales, esteproceso no es para nada artificial, aun cuando lo parece.

Se define as: Z = {(a, b) IN IN/a= 0 b= 0} ,

recordemos que no es la primera vez que vamos a trabajar con estos conceptos, su introduc-cion intuitiva se debe haber realizado en anos anteriores e incluso hay ya un cierto dominio dela operatoria, por lo tanto habra mucho supuesto. Espero que tengas a bien perdonar que no seaautosuficiente todo este trabajo, sin embargo, al continuar trabajando iran apareciendo justifica-ciones para lo que aqu se afirme.

Sean (a, b) y (c, d) dos elementos de IN IN, si estos numeros no son un entero en elsentido anterior, la definicion y ocurre quea+d = b +c, entonces diremos que corresponden

a un mismo numero entero.

(a, b) (c, d) a +d= b+c , significara para nosotros valen igual o equivalentes

Que significa tener -5?, que es lo que estamos esperando, segun sabemos de anosanteriores.

Es el resultado de restar 5 a 0, resultado que por cierto no es numero natural. Segun la defini-cion debe ser(0,5), verifiquemos que es cierto Tomemos la resta 1 6, que por regularidadde los numeros esperamos sea igual que 0 5, y segun, tendremos(1,6) (0, 5) ya que1 + 5 = 0 + 6. El numero entero es(0, 5) y no(1, 6).

Un numero entero puede ser positivo, cero o negativo. Sera positivo si su forma es (a,0),cero si es(0, 0) y negativo si es de la forma(0, a), dondea= 0.

39


40/488

40 2. LOS ENTEROS

Para operar con numeros enteros consideraremos las siguientes definiciones o reglas:

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(a, b) (c, d) = (a c +b d, a d+b c)Ambas parecen muy artificiales, en especial la multiplicacion. Pero si avanzas un poco, a la

unidad de algebra, veras que no hay artificialidad alguna, es todo de lo mas natural.Veamos la regla de los signos, esa que aprendemos de memoria, como algo que debe ser por

que s:

(a,0) (b,0) = (a b+ 0 0, a 0 + 0 b) = (a b,0)(a,0) (0, b) = (a 0 + 0 b, a b + 0 0) = (0, a b)(0, a) (b,0) = (0 b +a 0,0 0 +a b) = (0, a b)(0, a) (0, b) = (0 0 +a b,0 b+a 0) = (a b,0)

Haremos un poco pesada la notacion, considerando que(a,0)es +ay que(0, a)es a, y

con esto:

+a + b=+ a ba + b=a b+a b =a ba b =+ a b

quedan resumidos los cuatro casos anteriores, tu puedes verificar si esto se cumple paratodos los casos.

Esta es unaaplicacion efectiva

de los numeros enterosLas alturas sobreel nivel del mar

el cero y las depresionesbajo ese mismo nivel


41/488

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS 41

2. Representaciones Graficas

Z2

Vamos a considerar de algun modo como se pueden representar los numeros enterospartiendo deIN

IN

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

12

12

13

13

14

14

15

15

16

16

IN

IN

IN IN

Si bien la representacion es correcta, no es adecuada para representar los enteros segun laconvencion tomada mucho antes que cualquiera de nosotros hubiese nacidoLa secuencia de puntos verdes corresponde al cero, la de puntos azules al 2 positivo y la depuntos rojos al 5o 5 negativo.

Sigiramosel rayo ejeverticalen 90, de modo de dejarla como la continuacion contrariadel rayohorizontal, los puntos azules son los positivos y los rojos los negativos, siendo el puntoverde el cero. La convencion los muestra exactamente en el sentido contrario, una simetr adelo que aqu tenemos.

Veremos a continuacion otra representacion, tan valida como la anterior, pero mas adecuadaa la convencion.


42/488

42 2. LOS ENTEROS

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

12

12

13

13

14

14

15

15

16

16

IN

IN

IN IN

Ahora todos los puntos del rayo vertical tienen coordenadas de la forma (0, n), de acuerdo ala convencion del producto cartesiano, al girarlo en90, quedan a la izquierada del punto(0, 0),el verde, y los azules, de la forma(n,0)y se ubican a la derecha del punto verde.

A los numeros en rojo se les antepone el signo , que solo significa

opuesto de

En esta representacion, nos resulta lo siguiente

|0

|1

|1

|2

|2

|3

|3

|4

|4

Utilizando esta representacion, se generan algunos algoritmos operatorios, los que han per-mitido construir algunos elementos complementarios para paliar las deficiencias que algunaspersonas pudiesen tener en matematica.


43/488


44/488

44 2. LOS ENTEROS

Ahora si de restar se trata, entonces invertimos la segunda linea y operamos como en el casode la suma.

Consideremos por ejemplo4 6en la representacion.Ubicamos el cero de la segunda frente al cuatro de la primera, el resultado estara frente al 6

de la segunda en la primera y ese es 2

|0

|1

|1

|2

|2

|3

|3

|4

|4

|5

|5

|6

|6

|7

|7

|0

|1

|1

|2

|2

|3

|3

|4

|4

|5

|5

|6

|6

|7

|7

Si consideramos ahora6 (7), nos ubicamos con el cero de la segunda en frente del6de la primera y despues frente al7de la segunda, esta el resultado de la operacion en laprimera.

|0

|1

|1

|2

|2

|3

|3

|4

|4

|5

|5

|6

|6

|7

|7

|0

|1

|1

|2

|2

|3

|3

|4

|4

|5

|5

|6

|6

|7

|7

Como por naturaleza, siempre buscamos hacer todo mas facil y rapido, es valido preguntarsi para multiplicar y dividir hay algo parecido.

La respuesta es positiva, sin embargo no es posible darla en estos momentos, habra queesperar hasta estudiar los exponentes o logaritmos.

Cualquier artefacto que mostremos ahora sera construdo sin justificacion.

Es importante e interesante en Z el proceso de division: en el cual, el resto de dividir debeser siempre positivo.

Por ejemplo

42 8 = 6(48)

6Recuerde que para poder restar, es necesario que el

minuendo sea mayor que el sustraendo y aqu es claro que 48en menor que 42.Si la division es exacta, entonces no hay problemas, ya que da resto cero.

Otro elemento muy importante es el que tiene que ver con los divisores de un numero y masaun, con el maximo comun divisor.Por el momento nos contentarmos con obtener los divisores de cada numero, descomponiendoen producto de factores primos. El metodo no es el mejor, pero es valido.


45/488

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS 45

El Maximo Comun Divisor entre 120 y 48 es:

120 = 12 10 = 3 4 2 5 = 23 3 5

48 = 16 3 = 24

3Es el mas grande23 3 = 24.

En general si Los numeros sona y b, entoncesM CD(a, b)es el producto de todos los di-visores comunes, una vez cada uno y con el menor exponente.

Por ejemplo consideremosp= a5b3c4d y q= a2b5ce3, entonces MCD(p, q) =a2b3c

Otro concepto importante es el del mnimo comun multiplo, el cual corresponde al produc-to de los divisores de ambos numeros, considerando al de mayor exponente en caso que hayarepetidos.

Del caso anteriorp = a5 b3 c4 dyq= a2 b5 c e3, el mcm(p, q) =a5 b5 c4 d e3

Si elM CD(a, b) = 1, entonces los numerosaybson coprimos o primos relativos

1. Demostrar que si n y n+1son dos enteros consecutivos, entonces MCD(n, n+1) = 1

2. Demostrar que2n 1y2n + 1, cuandon Z, son primos relativos.

3. Demostrar que todo numero primo mayor que 3 aumentado o disminuido en 1 es unmultiplo de 6

4. Elmcm(a, b) = 54y elM CD(a, b) = 3, si a > b, determinea

Referente a este tema, se considera la siguiente notacion a |b, la cual significaadivide ab

Para negar esta relacion basta con tachar la barra vertical, as: a| b

Determine la validez de cada una de las siguientes afirmaciones:

1. a|(b+c)=a |b a|c2. a|b b|a= a= b

3. a|2b =a |b4. a|b c|b=(ac)|b

5. a|(a+b) =a |b

6. a|a2

7. a|bc=a |b a|c8. a

2|b2 =a |b9. a|b2 =a2 |b2

10. a2|b3 =a |b


46/488

46 2. LOS ENTEROS

Tenemos tambien el concepto de congruencia numerica, el que se define as:

a bmod(r) r |(ab), tambien se puede decir del siguiente modoaes congruente conbmodulor, si y solo si, al dividiraporry bporr, ambos dejan el mismo resto.

Pruebe lo siguiente:

1. Sia

es un numero entero impar, entoncesa

2

1mod

(8)

2. Siaes un numero entero impar, entoncesa4 1mod(16)

3. Siaes un numero entero impar, entoncesa2n 1mod(2n+2)n IN

Las reglas de DivisibilidadUn numeroNen la base decimal, como ya lo hemos visto, se anota:

N=an 10n +an1 10n1 + +a2 101 +a1 10 +a0losaison dgitos de la base decimal.

Para saber si son o no divisibles por un cierto numero naturala, considerando las propiedades anteriores,

solo basta observar los restos de dividir cada una de las potencias de Diez por el numeroa

Para la divisibilidad por 2, la unica que interesa es la unidad, ya que1 10deja resto 1.

10, 102 = 100, 103 = 1000, 10n, n 1el resto de la division por 2 es 0 (cero).

Por lo cual se dice que un numero es divisible por 2, si la ultima cifra, la unidad es 0, 2, 4, 6 u 8.y se dice que el numero es par.


47/488

3. EJERCICIOS 47

3. ejercicios

Z3

Estos ejercicios deben ser desarrollados razonadamente, trata de no hacerlos sin pensar

1) 4 +2 +8 +3 + 5 =2) 7 +3 +9 +6 + 10 + 20 +5 =3) 8 + 7 +3 +12 + 1 + 9 =4) 6 +3 + 5 +9 +1 2 + 4 +13 =5) 4 +32 +8 + 35 + 5 +17 + 14 =6) 4 2 =7) 7 8 =8) 12 12 =9) 4 14 =

10) 4 +9 8 3 +5 + 12 =11) 9 7 12 +7 +18 + 23 +5 =12) {4 + [5 3 + 8] (3 + 5)} =13) 3 {4 + (2 +8 [3 + 5] + 12) 6} =14) 10 {2 + 8[+9 +15] (7 4)} =15) {5 + [5 + 7] [3 7] + 11} + 12 =16) 4 {15 [5 17] [3 + 73] +17} 21 =17) 5 9 + 3 =18) 5 (9 + 3) =19) 41 + 12 5 3 =20) 25 5 5 =21) 1 2 3 =22) 1 2 3 =23) 5

2

=24) (5)2 =25) 43 =26) (4)3 =27) (4 + 3) 1 + (8 6) (5 + 2) (4 1) (3 1) =28) (5 + 1) 2 3 4 + (1 + 5) 3 =29) {[4 (3 1) + (7 + 5) (3 + 7)] 2 + (2 5) 3} + 1 =30) (6 + 3 5) (2 2) =31) [104 2] (2 1) =32) (2)2 + (3 + 1)2 2 + (7 + 3) (1 1)2 (2)3 =33) (6 3) 1 + (2)4 (2)3 + (5 2) (4 3) + [(2)2]3 =34) (5 1 + 2) 2

3

(1)2

(1)3

+ (6 + 3)2

(2 1) =35)

327 =36) 4

625 =

37) 3 (x 2) +4 2 = 2 x (6 + 4) 1, entoncesxvale:38) 5 x 2 (x+ 4) + (4 + 3) 2 =x+ 4 2 3 + x, entoncesxvale:39) [x + 2 4] (2 + 6) [3 2 3] = 3 x [2 1 4], entoncesxvale:40) [4 + 2 3 1 4] + 5 x= [4 3 1] 6 + 4x, entoncesxvale:


48/488

48 2. LOS ENTEROS

4. Ejercicios y Problemas verbalizados

1) Un numero se representa por x, como se representa otro que es superior en a y otroque es inferior enb?

2) Se ha distribudo una suma entre tres personas; a la segunda se le ha dado$amas que

a la primera y$bmenos que a la tercera. Si la suma esc, cuanto correspondio a cadauna de ellas?

3) De un juego de naipes de 52 cartas se saca una primera vezxnaipes y tres mas; una se-gunda vez se saca el doble de la primera vez mas cuatro naipes. Cuantos naipes debenquedar?

4) x, y y zson dgitos de la base decimal, exprese un numero usando los tres dgitos ytambien su invertido.

5) Un regimiento se forma para un desfile, si hacen filas de cinco soldados, sobra uno, si

hacen filas de seis soldados, tambien sobra uno y si hacen filas de siete soldados vuelvea sobrar uno, cual es el numero mnimo de soldados de ese regimiento?

6) En la ultima semana he ganado $260.000, incluyendo el pago por horas extraordinarias.El sueldo asciende a $180.000 mas que lo recibido por las horas extraordinarias. Cuales el salario sin horas extraordinarias?

7) Un esquiador calculo que si hace diez kilometros por hora, llegara a su destino una ho-ra despues del medio da; si la velocidad es de quince kilometros por hora, pued llegaruna hora antes que el medio da. a que velocidad debe correr para llegar exactamenteal medio da?

8) Dos obreros, uno viejo y otro joven, viven en un mismo apartamento ytrabajan en lamisma fabrica. El joven emplea 20 minutos en ir de la casa a la fabrica y el viejo 30minutos en el mismo trayecto. En cuantos minutos el joven alcanzara al viejo si estesale 5 minutos antes?

9) El valor entero de 25 4es

10) Que numero entero hay que sumar a 12 para obtener 12

11) Entre Paula y Jorge tienen en total 32 estampillas. Si Jorge tuviera 4 estampillas m as,

su parte sera el doble de la parte de Paula. Cuantas estampillas menos que Jorge tienePaula?

12) Tres enteros consecutivos suman 452, entonces el menor entero es:

13) Rafael tiene tres veces la edad que tiene Daniela. Hace 4 anos las edades de ambossumaban 20 anos. Que edad tiene Daniela ahora?


49/488

5. BIOGRAFIA 49

5. Biografia

Leopold Kronecker (1823-1891)

El buen Dios creo los n umeros enteros, todos los demas son creacion del hombre.

Todos los resultados de la m as profunda investigacion matematica deben en definitiva ser

expresables en la forma simple de propiedades de los numeros enteros.

Leopold Kronecker

La vida a Leopold le fue facil desde el da de su nacimiento. Hijo de judos ricos. Su primeraeducacion la recibio de un profesor particular y severamente vigilada por su padre. La segundafase de su educacion, en la escuela preparatoria se vio notablemente influda por el co-rectorWerner, un hombre con tendencias filosoficas y teologicas muy fuertes. Kronecker se conta-gio de un liberalismo de teologa cristiana, para la cual tuvo un entusiasmo que duro toda suvida. Con su cautela habitual no abrazo la fe cristiana hasta practicamente hallarse en el lecho

de muerte, y entonces se permitio convertirse desde el judasmo al cristianismo evangelico, a laedad de 68 anos.

Fue muy habil para los negocios, sin embargo se dedico a la matematica, en 1845 abordo lateora de la divisibilidad en el difcil y bello campo de los numeros algebraicos. Este estudiosurge del problema gaussiano de dividir una circunferencia en arcos congruentes. Por este estu-dio obtuvo su ttulo de doctor en filosofa a los 22 anos.


50/488

50 2. LOS ENTEROS

No dudo que tan pronto como se conozca lo que he escrito sobre los movimientos de la

tierra se levantar a gran polvareda.

En sus meditaciones propuso en carta escrita al Papa Paulo III ... ,o si mas bien sera su-ficiente seguir el ejemplo de los pitagoricos y de algunos otros, que no por escrito, sino

oralmente, solan transmitir los misterios de su filosofa unicamente a amigos proximos,

como testifica Lysis en su carta a Hiparco.

En mi opinion, ellos lo hicieron as no por un deseo de no comunicar la doctrina, como al-

gunos creen, sino con el proposito de que cosas elevadas, y descubiertas con mucho trabajo

por grandes hombres, no cayera en el desprecio de quienes son perezosos para dedicarsecon empeno a las letras, a no ser lucrativas, ... , por la estupidez de su ingenio se movieran

entre los filosofos como los zanganos entre las abejas.


51/488

Captulo 3

Fracciones de Enteros

F1 Que es una fraccion?Antiguamente se le llamabaquebrado, se refiere a una parte de otra que se asume es

un entero. Ahora diremos que corresponde a una expresion de la formaa

b, dondea y b

seran numeros enteros ybno puede ser cero.ase llama numeradorybse llama denom-inador, el denominador es tambien llamada unidad de referencia o unidad de cuenta.

1. Formalmenteuna fraccion es un par ordenado(a, b)de numeros enteros en ZZ que

verifica lo siguiente:i) (a, b) = (c, d) a d= b cii) (a, b) + (c, d) = (a d+b c, b d)iii) (a, b) (c, d) = (a c, b d)

Si lo formal te causa problemas, no te preocupes aun, hay suficiente tiempo para esto

Pasemos a ver como se ha hecho siempre:

i) a

b =

c

d a d= b c

Aqu lo que se tiene en realidad es que a

b

=a db d

c

d

= c bd b

, y si los de-

nominadores son iguales, los numeradores deben ser iguales, se trata de tener undenominador comun.

ii) a

b+

c

d=

a d+b cb d , lo que aqu se hace es considerar el denominador comun,

como el el caso anterior.

iii) a

b c

d=

a cb d

2.La primera propiedad, la que hemos anotado como igualdad, corresponde a una relacionde equivalencia. Por lo cual debe leerse que la fraccciona partido porb

es equivalente a la fraccioncpartido pord

Ilustremos graficamente estas situaciones, es conveniente que las entiendas pro-fundamente, te van a permitir continuar con toda propiedad en los temas que siguen,ademas de permitirte el resolver problemas.

51


52/488

52 3. FRACCIONES DE ENTEROS

es un enteroy si consideramos

las siguientes divisiones

cada barra es un cuarto de entero

Por lo tanto1 =44

Si ahora hacemos la siguiente division:

entonces 1 =2

2=

12

12=

24

24

Las diferentes unidades con las cuales se ha expresado el entero son:un medio, uncuarto, un doceavo, un veinticuatroavo, se puede considerar la unidad que mas conven-ga, sin embargo lo mejor es tomar la mas grande.

De las aqu tratadas, la mayor es 1, la unidad de IN, le sigue un medio

1

2

, mien-

tras mas grande es el denominador, mas pequena es la unidad de referencia.

3. La adicionconsiste en agregar a continuacion de una cantidad dada y contar el total,para desarrollar esto con fracciones, se debe tener expresadas ambas fracciones en unaunidad comun.

3

4+

5

7=

3 74 7+

5 47 4=

21

28+

20

28=

21 + 20

28 =

41

28

Graficamente es as:

es un entero lo azul3

4 lo rosado

5

7

3

4=

21

28

5

7=

20

28

En cada rectangulo hay 28 rectangulitos, azules hay 21 y rosados hay 20, al sumar-los hay 41. Damos entonces por resultado 41 veintiochoavos.


53/488

3. FRACCIONES DE ENTEROS 53

4. La multiplicacionconsiste en reproducir una cierta cantidad tantas veces como indiqueel multiplicando y contar lo que resulte

Por ejemplo3

54

7 =

3 45 7 =

12

35, la operacion ha pedido Dados

3

5, obtenga las

cuatro septimas partes de ellos

Graficamente se hace as:

Necesitamos los cuatro septimos de tres quintos, dividimos lo azul en siete partesiguales y tomamos cuatro.

Los rectangulitos de la region rosada son lo pedido y corresponden a doce de trein-taicinco partes iguales en las cuales fue dividido el entero.

Todo lo anterior lo vienes desarrollando desde hace bastante tiempo, ahora lo quese pretende es que llegues al dominio del concepto, de modo que puedas resolver prob-lemas, los cuales son en su mayora teoricos, tratando forzadamente que se asemejen acasos reales y concretos, es decir, problemas didacticos.

F2 Algunos ejemplos

a) Un nino gasto las dos terceras partes del dinero que su padre le dio. Si aun le quedan$500 cuanto dinero le dio su padre?


54/488


La respuesta es as: Como ha gastado las dos terceras partes, le queda una terceraparte y son precisamente los $500, por lo cual, su padre le dio tres veces la terceraparte, es decir,3 500= 1.500.Por lo tanto su padre le dio $ 1.500.

b) Un poste telefonico tiene la tercera parte de su longitud bajo tierra, la tercera partede la que sobresale esta pintada de blanco y la tercera parte del nuevo resto estapintado azul y los ultimos 120 centmetros estan pintados de dorado. Cuanto mideese poste?La respuesta que se dara es una que dio un estudiante de Octavo Ano como tu:

Si 120 lo dividimos por 2 y el resultado lo multiplicamos por 3, tendremos el ultimoresto y esto corresponde a 180 centmetros.Esos 180 centmetros corresponden a los dos tercios de lo que sobresale, por lotanto, 180 lo dividimos por 2 y el resultado lo multiplicamos por 3, teniendo 270centmetros la parte que sobresale.

Si 270 lo dividimos por 2 (270

2 = 135) y el resultado lo multiplicamos por 3(3135 = 405), es decir, la longitud de ese poste es de 405 centmetros. Cuatrometros y cinco centmetros.

Otro modo de resolver es el siguiente:Como hay una tercera parte bajo tierra, las dos terceras partes estan sobre ella.De esas dos terceras partes, una tercera parte esta pintada blanca, es decir, dos nove-nas partes son blancas.

Quedan por pintar1

1

3+

2

9

= 1 5

9=

4

9.

de esos4

9

, la tercera parte esta pintada de azul, es decir, 4

27

y el resto son

827

que corresponden a 120 centmetros

Por lo cual hacemos que 8

27 poste= 120y esto nos da que el poste mide = 2715 =

405centmetros, como se esperaba.

Es muy importante que tambien generes tus propios metodos para resolver proble-mas, si tienes dudas sobre la validez general, consulta con tu profesor.


55/488

3. FRACCIONES DE ENTEROS 55

c) Con una llave de agua se llena una pileta en 3 horas y con otra se llena en 5 horas.Comenzando con la pileta vaca, cuanto se demorara en llenarla con ambas llaves?Si la primera la llena en tres horas, en una hora llena la tercera parte y la segunda enuna hora llena una quinta parte.

Ambas juntas, en una hora llenaran1

3+

1

5=

8

15,

por lo tanto la llenaran en 158

horas, una hora y siete octavos, es decir, con

siete minutos y medio mas tendremos dos horas

Recuerda que para trabajar estos problemas con toda propiedad, debes manejar loaritmetico con fluidez y seguridad, es decir, manejar algunos algoritmos operatorios,como saber las tablas de multiplicar

d) Un grupo de segadores debe segar dos parcelas, una tiene la mitad para segar que laotra. Durante toda la manana de un da (4 horas), trabajan todos en la parcela masgrande, en la tarde (4 horas) de ese mismo dia, se dividen en dos grupos iguales yterminan con la parcela grande, sin embargo de la menor queda un pequeno sec-

tor por segar, el cual es terminado al da siguiente (8 horas) por un unico segador.Cuantos son los segadores, si todos son igualmente competentes?

La solucion esperada para tu preparacion, lo que sabes hasta ahora, es la siguiente:Si consideramos la mitad de los segadores, tendremos que en cuatro horas hacenun tercio de la parcela grande, ya que en la manana trabajan las dos mitades y enla tarde una mitad de ellos. La parcela pequena es la mitad de la parcela grande,

entonces 1

2 1

3 =

1

6,1

6 es lo que queda para ser trabajado en 8 horas, en un da,

todos los trabajadores hacen4

3de todo el trabajo en 8 horas, por lo tanto si cada uno

hace

1

6 del trabajo, el numero de trabajadores es

4

31

6 =

4

36

1 =

4

6

3 1 = 8, sonpor lo tanto 8 los segadores.

En la solucion de este problema se aplico division de fracciones y no ha sido definidaaqu, sin embargo ella lo ha sido en anos anteriores y se ensenan a partir de QuintoAno Basico. No es valido el dicho famoso de ciertos estudiantes que afirman, contodas sus letras Materia evaluada materia olvidada, es decir, si ya d la prueba,ahora me olvido.


56/488


1. Problemas

F3 Problemas para ejercitar1) Una pieza de tela de 58,60 metros se ha dividido en dos trozos, que difieren entre si,

de 16,40 metros. Determnese el precio de cada trozo, si el metro de tela vale $1.850

2) Los dos tercios de un campo estan plantados de trigo, los dos novenos con par-ronales y el resto con papas. La parte con parronales tiene 8,54 hectareas mas quela plantada con papas. Cual es la medida, en hectares, de ese campo?

3) Un padre y su hijo tienen edades que suman 45 anos; la edad del hijo es la cuartaparte de la edad del padre. Que edad tiene cada uno?

4) Cual es el numero que al multiplicarlo por tres quintos disminuye en 12 unidades?

5) Cual es el numero que si se le suman 6 unidades aumenta un doceavo de su valor?

6) Por que numero se multiplica la fraccion tres quintos cuando se le suman cincounidades a cada uno de sus terminos?

7) En lugar de escribir351

3, un estudiante escribio53

1

3. Por que numero ha multipli-

cado351

3?

8) El cociente de dos numeros es3

7; su maximo comun divisor es 5. Cuales son esos

dos numeros?

9) El cociente de dos numeros es27

31y el maximo comun divisor, 54. Cual es el mni-

mo comun multiplo?

10) Que mismo numero debe adicionarse a ambos terminos de la fraccion 2

11para que

equivalga a1

2?

11) La suma de dos fracciones es8

9y su diferencia,

1

36; determine ambas fracciones.

12) La suma de dos fracciones es1

1

5 y su cociente1

4

7 ; diga cuales son esas fracciones.

13) La diferencia entre dos fracciones es 1

7y su cociente, 1

4

9. Cuales son esas frac-

ciones?

14) Un trabajador hara un trabajo en 2 das mientras que otro empleara 4. Si trabajanjuntos, cuanto tiempo necesitarian para hacer ese trabajo?

15) Un contratista dispone de tres cuadrillas de obreros para el adoquinado de una calle.El primer grupo tardara 60 das en hacer el trabajo; el segundo ,40, y el tercero, 32.


57/488

1. PROBLEMAS 57

Si emplea los3

4del primer grupo, los

2

3de segundo y todos los del tercero, cuantos

das durara toda la obra?

16) Una llave llena una pileta en 4 horas y un desague lo vacia en 5 horas. Si estandovaca se habren ambos, en cuanto tiempo se llena?

17) Tres trabajadores iguales en competencia deban hacer un trabajo en 12 das; comouno de ellos se enferma y no puede concurrir, los otros dos trabajan una hora masdiariamente y logran terminar el trabajo en 16 das. Cuantas horas diarias pensabantrabajar todos?

18) Dos operarios se comprometieron a hacer un trabajo en 12 das. Despues de trabajarjuntos 4 das, el mas habil se accidenta y el otro termina el trabajo en el da 18.Segun esto, cuantos das habra empleado cada trabajador separadamente?

19) Una bola loca cae al suelo y se eleva a las dos terceras partes da la altura de la cual

cayo. Despues de haber botado tres veces se ha elevado 2 metros de altura. Desdeque altura cayo al principio?

20) Un tonel contiene 100 litros de vino. Un dependiente saca 12 litros y los reemplazacon agua, pasado un tiempo otro dependiente saca 10 litros del supuesto vino y losreemplaza con agua y por tercera vez otro dependiente saca 15 litros y vuelve a hac-er lo mismo que los anteriores, reemplazando por agua lo extraido. Que fraccciondel vino queda en la mezcla?

21) Entre dos personas han juntado $100.000. La mitad de lo que aporto la primeraequivale a un tercio de lo que aporto la segunda. Cuanto aporto cada una?

22) Dos personas trabajan juntas, la primera de ellas gana diariamente un tercio masque la segunda. Pasado cierto tiempo, la primera que ha trabajado 5 das mas quela segunda, ha recibido $100.000, mientras que la otra solo ha recibido $60.000.Cuanto ganaba cada uno diariamente?

23) Se desea retejar el techo de un invernadero, el cual tiene forma rect angular de di-mensiones 6,8 metros de largo por 3,96 metros de ancho. Para ello se utilizan tejasde cristal de dimensiones 34 centmetros por 22 centmetros; pero como las tejasdeben montarse traslapando, se pierden en conjunto los tres octavos del area de ca-da teja. El coste de las tejas y la instalacion asciende a $91.520. Si la instalacion

tiene un coste igual a los dos novenos del precio de compra, cual es el costo de unateja?

24) Se han medido dos salones de clases, en ambos, la medida dada es de 100 m2, sinembargo el primero fue medido con un metro que tiene 2 centmetros de exceso yel otro con uno que tiene 2 centmetros de defecto. Que area tiene cada salon?


58/488


25) La leche entera contiene, aproximadamente, 4

25de su peso en nata. Cuanta nata se

otiene de87

16kilogramos de leche?

Espero que

nunca puedas sentirtecomo pollo en corral

ajeno, cuandodos matematicos se divierta

Que te parece?


59/488

Captulo 4

Numeros Racionales

ConjuntoQ de los Numeros Racionales.

Numero fraccionario: es todo numero que se puede expresar de la forma a

bdonde a y b son

numeros enteros yb = 0.

En la fraccion: a

b ;a y b se denominan terminos, llamados numerador y denominador, re-

spectivamente.

Fracciones equivalentes(iguales en valor).

Definicion: sia

by

c

dson dos fracciones, entonces: El conjunto de las fracciones equivalentes

a una fraccion dada se llama numero racional. Estas se reconocen pues, las fracciones equiva-

lentes cona

bson de la forma

a cb c , dondec = 0.

El conjunto de los numeros racionales se designa por la letra Q, escrito por

compresion corresponde a: Q=

a

b|a Z, b Z b = 0 MCD(a, b) = 1

Q=

ab|a Z, b Z+, M C D(a, b) = 1

Amplificacion y simplificacion de numeros racionales.

Amplificacion: consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mis-mo numero entero, lograndose una fraccion equivalente a la original en unidades menores.

Ej.3

5=

6

10=

9

15= =3

5

(mientras mayor es el denominador, menores son las unidades fraccionarias)

Simplificacion: consiste en dividir tanto el numerador como el denominador de una frac-cion por algun divisor comun que posean, lograndose una fraccion equivalente a la original enunidades mayores.

Ej. 9

144=

3

48=

1

16

59


60/488

60 4. NUMEROS RACIONALES

Una fraccion es irreduciblecuando el numerador y el denominadorno pueden dividirse a la vez por un mismo numero dando resto nulo,

es decir MCD(a, b)=1(una fraccion irreducible es un numero racional).

Orden en los numeros racionales. Dados dos numeros racionales siempre uno es mayorque el otro, o bien son iguales. (Ley de tricotoma) es decir:

Lo aqu indicado es valido cuando los racionales son positivos ambos

i) a

b cd a d > b c

Si los numeros no son positivos, es mejor restarlos y comparar la diferencia con cero

a

b b, entonces procedemos as

a b= cr esr = 0? si, entoncesa= b cyM CD(a, b) =b

no, entonces b r= c1r1 Esr1 = 0? si, entoncesa= c r c1

yM CD(a, b) =rno, entoncesr

r1 = c2

r2etc,...

Sera muy interesante que pudiesen construir un algoritmo computacional que loejecute, en un computador o en una calculadora cientfica.

Pitagoras se dio cuenta con la diagonal de un cuadrado y su lado, usando regla y compas,su trabajo no puede haber sido solo practico, sino que teorico en toda su extension, de no haber-lo sido, habra concludo que sera as: el lado del cuadrado est a contenido 1,14 veces en la


84/488

84 5. LOS REALES

diagonal, de haber tenido los numeros decimales que hoy tenemos.

Por fortuna hoy contamos con bastantes mas recursos que esos brillantes genios de laantiguedad, algunos de ellos los veremos ahora, otros se veran mas adelante, incluso algunossolo en la universidad.

No solo descubrieron este numero, sino que tambien otros como y el numero de oro onumero aurico, este ultimo tal vez no de modo consciente, pero con el construyeron la estrellade cinco puntas.

Y ahora manos a la obra:

2 =x, en expresion decimal, que es x?

xes un numero positivo tal que al elevarlo al cuadrado da por resultado 2.

Pero este numeroxno es entero, ya que:

1 = 12


85/488

3. ANTECEDENTES HISTORICOS 85

se pide

b, y sabemos quea 0, entoncesa > 0y la

solucion es tambien positiva, mas adelante consideraremos otras situaciones con mayor detalley rigor matematico.

Su nombre de soltera era Sonja Corvin-Kroukowsky, nacio en Moscu, Rusia, el 15 defebrero de 1850 y murio en Estocolmo, Suecia,el 10 de febrero de 1890, seis anos antes de lamuerte de Weierstrass, su maestro.Su nombre, por el cual se conoce es Sofa(Sonja) Kowalewski. Comenzo sus estudios enmatematica a la edad de 15 anos, al llegar alos 18 anos haba hechos tan rapidos progresos

que poda llegar a estudios superiores por sugran preparacion. Por proceder de una familiade la aristocracia se le envio a estudiar al ex-tranjero, especificamente en la Universidad deHeilderberg.

Ademas de gran matematica fue una brillanteescritora. Siendo muchacha dudo entre las dosopciones, por un trabajo literario fue cataloga-da entre los mejores escritores rusos. Esa unicanovela fue traducida a muchos idiomas.Su maestro fue Weierstrass, uno de los grandesen la matematica, ademas un empedernidopero no fanatico solteron. Sonja fue uno delos escasos alumnos que hubo en la Universi-dad por motivos de la guerra franco-prusiana.Cuando ingreso a la universidad contaba con

19 anos y una belleza deslumbrante, segun di-cen, pues siempre mantuvo cubierto su rostrocon un gran sombrero.En las navidades de 1888 Sonja recibio el pre-mio Bordin de la Academia Francesa de Cien-cias, por su memoria: Sobre la rotaci on de uncuerpo solido alrededor de un punto fijo.


86/488

86 5. LOS REALES

Ejercicios resueltos1. Cual(es) de los siguientes numeros es (son) racional(es)?

I. 3,14159.....II 1 +

3

III3, 21A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

2. En la figura 1 el valor de xes:

A)2

2B)

13

C) 4D)

6

E)

10

2

1

1

2

x

3. El valor de la expresion32 + 31 + 30 + 31 + 32 es:A)13 2

3B) 1C) 3D) 1

3

E)13 49

4. El valor de la expresion

3n

3n1

3n1 3n+1 es:A)3n

B) 3C)31

D)3n+1

E)30

5. El numero decimal correspondiente a la fraccion 9

17 , aproximado hasta las centesimas

es:A) 0,52B) 0,53

C) 0,529D) 0,50E) 0,519

6. No es irracional el numero:A)

3 B)

9 C)2

2

D)

15 E)

15


87/488


Respuestas1. C), la opcion I es irracional puesto que representa un desarrollo decimal infinito no

periodico; la opcion II es irracional puesto que la suma de un entero con un irracionales irracional.

2. E), aplicando Pitagoras sucesivas veces se tiene:22 + 12 = 5

luego 52

+ 12

= 6, entonces por ultimox2 = 22 +

62

. Lo cual implica quex=

10.

3. E),1

9+

1

3+ 1 + 3 + 9 = 13

4

9

4. C), aplicado las propiedades se tiene 3n 3n13n1 3n+1 =

3n

3n+1 = 31 =

1

35. B),0, 529 = 0, 536. B),

9 = 3, numero entero

Ejercicios1. Por el metodo de agotamiento obtenga con 4 decimales las races de

3

824

2. Una calculadora entrega las races con 10 cifras decimales, obtenga dos cifras mas para5193935

3. Por biparticion obtenga una aproximacion con 3 decimales de:3

43

75

4

3.1. Construcciones. Algunos de estos numeros algebraicos son constructibles ge-ometricamente, su construccion se basa principalmente en el Teorema de Pitagoras.

El enunciado original de este teorema es como sigue (por supuesto que originalmenteesta en griego): En todo tri angulo rect angulo, el area del cuadrado de lado la hipotenusa deltriangulo es igual a la suma de las areas de los cuadrados de lados iguales a los catetos del

mismo triangulo.

Por ejemplo para construir

7, sabemos que

7 =

4 + 3 =

22 +

32

, entonces

lo que necesitamos es considerar un triangulo rectangulo de catetos 2 y

3

Ahora tenemos el problema que no conocemos o no tenemos ubicado

3y encontramos

que

3 =

2 + 1 =

22

+ 12; para lo cual debemos considerar un triangulo de catetos

2

y 1 y ocurre que tampoco tenemos

2

2 =

1 + 1 =

12 + 12, lo que contamos le ocurrio a Pitagoras. Un triangulo

rectangulo isosceles de cateto 1.


88/488

88 5. LOS REALES

Segun sabemos por aritmetica elemental, laraz cuadradaexacta o entera por defecto de unnumero Nes el mayor numero a, cuyo cuadrado esta contenido en N. La diferencia entre Ny a2

se llama resto. Si este resto s nulo, es decir, si el cuadrado de a coincide conN, la raz es exacta.

Segun esta definicion, un parvulo puede obtener races cuadradas del modo siguiente:

Sea Nun numero al cual hay que extraerla raz cuadrada, asumamos que lo podemosrepresentar con botones y los disponemos for-mando el mayor cuadrado posible, el numerode filas o de columnas sera la parte entera de laraz buscada, los botones restantes formaran elresto.

Y si el numero es mas grande, como lo podemos hacer?

Supongamos que necesitamos obtener la raz de 727. Por el sistema que usamos, el decimal,la unidad cuadrada mas grande que es contenida en 727 es cien que es102.

Cada cuadrado tiene cien puntos y cada una de las dos barras diez puntos

En la figura se muestra el mayor cuadra-

do en potencias de diez, Recuerde que el ladodel cuadrado mide 20 y que2020 = 400,

de considerar un cuadrado mas por lado, sera30 30 = 900, lo que supera a los 727 dados.La decena de la raz ya esta calculada, fal-

ta entonces la unidad, entonces alrededor delcuadrado hay que agregar hileras de puntos,digamos que agregaremos x punto por lado,ntonces tendremos220x+ xx, es decir,40x+x2 327y x es la unidad de la raz encuestion.Si consideramos parax el valor 7 y calculam-os: 407 = 280 y 77 = 49 y 280+49 = 329,por lo tanto, la unidad debe ser 6.(40 6 + 6 6) = (240 + 36) = 276y el restoes327 276 = 51

Trata de reconstruir el algoritmo algebraico que se ocupa para obtener races cuadradas. Sino puedes ahora, insiste hasta llegar al cuadrado de binomio. Sera gratificante hacerlo.


89/488


Haz la construccion de lo anterior en esta pagina, usa la linea que se dibuja aqu:

0 1

1

2 3

Construye usando regla y compas, junto al teorema de Pitagoras para obtener grafi-camente las siguientes races

1.

5

2. 12

3.

24

Ahora consideraremos una propiedad muy importante de los numeros reales, se lellama propiedad arquimediana, no la enunciaremos con todo el rigor, pero si de modo que seacomprensible.

1. Dado un n umero realx positivo cualesquiera, entonces existe un n umero naturalntal quen < x < n+ 1, es decir, un numero real positivo esta entre dos numeros natu-rales consecutivos.

2. Dado un n umero realxpositivo, existen dos n umeros naturales

m y n tales que m

n < x b

c > d

a +c > b+d

y si ademas a, b, c, d R+, entoncesa c > b d


90/488


91/488


Propiedades algebraicas de los numeros reales

i)La suma y el producto de numeros reales es un numero real, es decir, si a y bson numeros reales, entoncesa +bya bson tambien numeros realesii)Tres o mas numeros reales se pueden adicionar o multiplicar, siempre que se

asocien de dos en dos, del modo uno lo desee, es decir,a, b, c IR, entonces

a +b+c= (a +b) +c= a + (b+c)y

a b c= (a b) c= a (b c)iii) Existen en los reales un neutro para la adicion y un neutro para la multipli-

cacion, lo que se formaliza asa IR , entoncesa + 0 = 0 +a= a y

a 1 = 1 a= aiv)Existe inverso aditivo (opuesto) para todo numero real, tal que al sumar dosopuestos, se obtiene el neutro. Formalmentea+ (a) = (a) +a = 0. Dondea yason opuestos uno del otro.

Si el numero es distinto de 0, entonces tiene inverso multiplicativo (recproco). For-malmente se tienea a1 =a1 a= 1. Dondeaya1 son reciprocos entre si.Neutros e Inversos son propiedades muy importantes.

v)La multiplicacion se distribuye sobre la adicion. En lengua romanceel produc-to entre un n umero y la suma de otros dos es igual a la suma de los productos parciales

entre ese numero y cada uno de los otros dos.

Formalmentea (b +c) =a b+a cEsta es tambien una propiedad muy importante, mas adelante veras cuan relevante essaberla bien

vi)La adicion y la multiplicacion son conmutativas en los reales, es decir,a +b= b +aya b= b a

Con todo esto procederemos a trabajar algunas situaciones, las cuales te permitiranir avanzando en el camino del conocimiento, es importante que seas capaz de resolver muchosejercicios en poco tiempo, es decir, desarrollar destreza, pero es tambien importante que resuel-vas problemas, es decir, desarrollar habilidad y competencia.

Si tienes interes en saber mas de la matematica, su desarrollo y de sus precursores, debesademas leer sobre su historia. La coleccion LIFE tiene una buena recopilacion del desarrollo delas ideas matematicas.


92/488

92 5. LOS REALES

La cuantificacion pormedio de la medida fue la pricipal

herramienta para larenovacion de las ciencias

naturales.Llevarlas a las ciencias

sociales, nos planteadelicados problemas.

La medida de un fenomenono es el fenomeno.

El CI de una persona noes su inteligencia, soloes una medida de ella.

La representacion esdel sigloXV I

muestra la obsesionde la medida.

4. Ejercicios y Problemas

Se debe asumir que x representa a un numero real cualesquiera, sin embargo en los ejerciciospropuestos se solicita que asuma solo el valor dado.

Valor numerico

1. 3x3 + 2x2 + 3x + 1 = parax= 2

2. x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = parax= 1

3. 2x5 x4 + 3x3 2x2 +x 1 = parax = 2

4. 5x3 5x2 + 5x 525 = parax= 5

5. 5b 2bc+c= parab = 1, c= 26. 2a2 + 3b3 4c4 = paraa=4, b=3, c= 2

7. (ab)2 + (bc)3 c2 = paraa=1, b= 3, c= 2

8. 2ac + 2ab+cb= paraa= 12

, b= 34

, c= 1

9. (x+y) : (x y) (x 1)(y+ 1) = parax =23 , y=14


93/488

4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 93

10. 2a2 6ab + 36a3b3 + 8a4b= paraa= 12

, b=1

3

11. a

3+ b2 +

c2

9 ab+ ac

32bc

3 = paraa= 2, b= 3, c=1

12. x2 y2x +y

+x3 y

x y +x y

y = parax=1

2, y = 2

3

13. a3 b3a2 +ab+b2

+3a 2b

b 2c +1

a 3

7ac= paraa=

1

2, b=3, c= 2

14. a +b paraa=

3, b=

27

15. a2 +b2 paraa= 3

2, b=

27

16. a2 b2 paraa= 35

, b=

7

17. x2 3x+ 1 parax= 29

18. x3 + 5x2 16 parax= 5

2

7

19. 1

a+ b paraa=

3, b=

243

20. 1

x+

1

y parax =

3, y=

27

21. 1a +

b

paraa=

2, b=

3


94/488

94 5. LOS REALES

Carl Gustav Jacob Jacobi nacio en Post-dam, Prusia, Alemania, el 10 de diciembre de1804, siendo el segundo hijo de un prosperobanquero. El primer maestro de Carl fue unode sus tos maternos, quien le enseno lenguas ymatematicas, preparandolo para que ingresaseal Instituto de Postdam, en 1816 a la edad de12 anos. Desde ese tiempo mostro una mente

universal, segun declaro el Rector del Institutoen 1821, cuando Carl egresaba para ingresar ala Universidad de de Berlin.

Jacobi fue un gran algorista, cosa que apren-dio leyendo las obras de Euler y Lagrangetodo un autodidacta. Entre Euler y Jacobi se

disputan por mas de un siglo la capacidad yel ingenio para desarrollar problemas y crearalgoritmos maravillosos, el unico rival aparcemuy posteriormente y es Srinivasa Ramanujan.Hasta los 36 anos, no tiene problemaseconomicos, despues de esa edad, su familiapaterna ha perdido todo y el sueldo comoprofesor e investigador no le permiten manten-er a su familia. Recibe apoyo de un principe demodo que no abandone la matematica, la cualda prestigio al reino.

Jacobi parece haber sido el primer matematicoque en una Universidad condujo a los estudi-antes a la investigacion, haciendoles conocerlos ultimos descubrimientos y dejando a los

jovenes que vislumbraran la elaboracion de losnuevos temas que se presentaban anteellos. Crea que si un individuo se sumerge enagua helada, aprende a nadar o se ahoga.Desconfio de aquellos estudiantes que espera-ban conocerlo todo para decidirse a investigarcon la fraseVuestro padre no se habra casa-

do ni vos estaras aqu ahora si el hubiera in-sistido en conocer a todas las mujeres del

mundo antes de casarse con una.


95/488

Captulo 6

Razones y Proporciones

1. Definiciones y ejemplos

Definicion Razon: Cociente entre dos cantidades; a : b como razon debe leersea es ab, yla razon es el cociente; generalmente se anota como fraccion.

No importa la naturaleza de las cantidades representadas por los numeros.Ejemplo : en un canasto, las peras son a las manzanas como 3 es a 5 .

Definicion ProporcionEs la igualdad entre dos razones.

Su notacion rigurosa esa: b :: c : dy se leeaes a bcomoces a d; aquaydson extremos,b y c medios. Y la proporcion se verifica, si y solo si, el producto de los extremos es igual alproducto de los medios, es decir,(a: b :: c : d) (a d= c d)

Una notacion abusiva, aunque mas comoda esa

b =

c

da d= b c, el inconveniente es

que se confunde con la igualdad de fracciones.

Con esto podemos formular una cantidad de teoremas, que esperamos no pregunten por sunombre sino que su aplicacion.

Solo por su masividad, usaremos la notacion abusiva, es decira

b =

c

d ad= bc

Teoremas

Hipotesis General:a

b =

c

d

1.

a

c =

b

d permuta los medios

2. d

b =

c

apermuta los extremos

3. c

d=

a

bsimetra

4. b

a=

d

c recproca

95


96/488

96 6. RAZONES Y PROPORCIONES

5. a+b

b =

c +d

d componer antecedentes

6. a

a+b=

c

c +dcomponer consecuentes

7. ab = a +cb +d = cd suma de antecedentes y consecuentes

Las combinaciones son muchas, solo que deben ser demostradas

podramos considerar la siguiente situaciona

b =

c

d =

e

f como hipotesis , entonces sera la

tesis.a

b =

a +c +e

b +d+f

Como ejemplo demostraremos el caso 5) Hipotesis:

a

b =

c

dSumemos 1 a ambos miembros

a

b =

c

d

+1a

b+ 1 =

c

d+ 1

a+b

b =

c +d

d , lo cual es la tesis

la 6) puede ser primero 5) y despues 4) sobre ella

Hay otras especificaciones, como en la proporcion

a

b =

b

d, donde se denomina proporcion continua ybrecibe el nombre de media proporcional.a

odreciben el nombre de tercera proporcional

En la proporciona

b = c

d

cualquiera de los terminos se llama cuarta proporcional.

Por lo general, los problemas que involucran proporcionalidad se dan entre conjuntos, auncuando esta teora es muy anterior a la de conjuntos.


97/488

1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 97

SeanA={a1, a2, a3, ......an} yB ={b1, b2, b3,.....,bn} dos conjuntos,sus elementos se relacionan segun sus ndices, es decir,

(a1, b1);(a2, b2);(a3, b3);............;(an, bn).

Se dice que A y B son directamente proporcionales, si y solo si:a1b1

=a2b2

=a3b3

=......=anbn

=k;

dondekes la constante de proporcionalidad.

De aqua1=k b1,a2 = k b2,a3 = k b3, ........,an= k an.Su grafica es una recta de la formay =

1

kx

Se dice que A y B son inversamente proporcionales, si y solo si :

a11

b1

= a2

1

b2

= a3

1

b3

=.....= an

1

bn

=K, por propiedades aritmeticas y/o

algebraicas , tambien se anotaa1 b1 =a2 b2= a3 b3= ....= an bn=K

De aqu se tiene que :a1 = K

b1,a2 =

K

b2,a3 =

K

b3, ........ ,an =

K

bn, y su grafica es una

curva (un brazo de una hiperbola)

Graficas de: una proporcion directa una proporcion inversa

La proporcionalidad es la mas prolfica de las ideas Matematicas, estudia lavariacion y el cambio. Sus aplicaciones son muchas. Es altamente constructivo el razonamientoaritmetico involucrado, sin embargo, deberemos sacrificar todo esto para poder responder a la

evaluacion que se hara al final del proceso, la que contempla muy poco de cada tema.

Cuando nos enfrentamos a un problema, como saber que se trata de proporciones?

1ero Si no dice explcitamente que se trata de proporciones Como reconocerla?

Lamentablemente la respuesta es sentido comun 2en algunos casos sera facil, por ejemplosi h

Arancibia - Matemática Electiva

Documents

Transcript of Arancibia - Matemática Electiva