TEORÍA DE NÚMEROS

Enfoque Problem-solving

Gerard Romo Garrido

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Versión de este documento: 19/02/2020

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Índice

1 Principios. →El principio de buena ordenación. El principio de inducción. Principio del casillero.

2 Divisibilidad. →El algoritmo de la división.

3 Máximo común divisor. →Números coprimos. El Teorema de Bezout. El algoritmo de Euclides.

4 Divisibilidad con identidades algebraicas. →

5 Números primos. →Lema de Euclides. El Teorema fundamental de la aritmética (TFA).

6 Equivalencia modular. →Congruencias.

7 Introducción a las ecuaciones diofánticas. →

8 Ecuaciones diofánticas lineales. →

9 Congruencias lineales y sistemas de congruencias lineales. →Congruencias lineales. Inversos modulares. El Teorema chino del residuo.

10 El pequeño teorema de Fermat. →

11 La función Phi de Euler. →Teorema de Euler.

12 Orden de un entero. →

13 Números factoriales. →La función suelo. Números factoriales. La fórmula de Polignac.

14 Números combinatorios. Binomio de Newton. →

Soluciones. →

Fuentes. →

Apéndice. →El "problem-solving", tal y como yo lo entiendo.Las competiciones AMC, un excelente sendero hacia las IMO detrás de un mar de siglas.

1 Principios.

Teoría.

Principio de la buena ordenación.Todo conjunto S de números enteros no negativos contiene un elemento mínimo, es decir, existe un elemento tal que para todo .

Teorema. Propiedad arquimediana de los números naturales.Si a y b son números enteros positivos, entonces existe un entero positivo tal que .

Demostración.Supongamos que no es cierto, es decir, que existen dos números tales que para todo .Consideremos el conjunto Está claro que es un subconjunto de números enteros positivos, pues , y por tanto le podemos aplicar el Principio de la buena ordenación, es decir, contendrá un elemento mínimo , para cierto .Pero, por hipótesis, también pertenecerá a S, luego:

, pues , luego no puede ser el mínimo, llegando a contradicción.Así pues, la propiedad arquimediana de los números naturales debe ser cierta, pues su negación nos lleva a contradicción.

Principio de Inducción.Sea S un conjunto de números enteros positivos cumpliendo las dos condiciones siguientes:a) pertenece a S.b) Si , entonces

Entonces S es el conjunto de todos los enteros positivos:

Demostración.Sea , y supongamos que , es decir, que no está vacío, o lo que es lo mismo, que no se cumple el Principio de Inducción.Aplicando el Principio de la buena ordenación, contendrá elemento mínimo, llamémosle .Puesto que , pues por hipótesis, , está claro que , luego .El número tampoco pertenecerá a S, pues si , contradiciendo la hipótesis. Pero , llegando a contradicción, pues habíamos supuesto que a era mínimo.

El principio de inducción es una herramienta muy poderosa para demostrar fórmulas que nos serán muy útiles para solucionar una enorme variedad de problemas.

Ejemplo 1.

para todo

Demostración.Sea S el conjunto de números enteros positivos para los que la fórmula anterior es cierta.Está claro que 1 pertenece a S, pues

Supongamos que la fórmula anterior se cumple para un cierto valor , y veamos que, entonces, se cumplirá también para :

, tomando , luego la fórmula también es válida para .

Así pues, , es decir, la fórmula es válida para todos los enteros positivos.

Ejercicios.1. Demuestra por inducción las fórmulas siguientes (para todo ) :

a)

b)

c)

d)

e)

f) (“Serie Geométrica”)

Principio del casillero.La idea que subyace en este principio es muy sencilla: Si tenemos tres automóviles y solo dos garajes, necesariamente en uno de los garajes habrá más de un automóvil. El enunciado general es el siguiente:

Si debemos distribuir objetos en celdas o casillas, entonces al menos una de ellas contiene más de un objeto.

Este principio se conoce también como Principio del palomar o Principio de Dirichlet (Dirichlet, P.G. Lejeune 1805-1859).

Ejemplo 1.¿Cuántas personas hay que reunir para asegurar que hay al menos dos que tengan nombres con la misma inicial?

Solución.Aquí el conjunto de casillas son las 27 letras del abecedario. Por lo tanto, si tenemos 28 personas y las colocamos en las casillas, seguro que habrá al menos dos ocupando una misma casilla, es decir, tendrán nombres con la misma inicial. Si solo hubiera 27 podría darse el caso de que todas tuvieran nombres con iniciales diferentes.

Ejemplo 2.¿Cuántas personas hay que reunir para asegurar que hay al menos seis que tengan nombres con la misma inicial?

Solución.Si tenemos personas, podría darse el caso de que hubieran 5 personas en cada una de las 27 letras (“casillas”). Luego llamando a una más, es decir, con 136 personas, garantizamos que al menos en una de las casillas hay un mínimo 6 personas, es decir, que hay al menos 6 personas con la misma inicial.

Ejemplo 3.Demostrar que en un grupo de siete personas hay como mínimo 4 con el mismo sexo.

Solución.En este caso tenemos 2 “casillas”: “varón” y “mujer”, y si colocamos 6 personas, podría darse el caso de tener tres y tres. Pero si añadimos la séptima, seguro que al menos en una de las dos hay 4 personas.

1.1 F

Sea A un conjunto de veinte enteros tomados de la progresión aritmética.

Demostrar que existen en A dos enteros diferentes cuya suma es 104.

PUTNAM 1978

1.2 F

Demuestra que, en todo conjunto de siete números positivos distintos no superiores a 126, se encuentran dos elementos tales que .

1.3 F

Demostrar que en todo subconjunto de 55 elementos de siempre podemos encontrar dos elementos que cuya diferencia sea 10.

Problemas.

La "Teoría de números" o "aritmética" estudia las propiedades de los números enteros. Los conceptos teóricos de esta rama de las matemáticas pueden ser complicados, muy complicados y terriblemente complicados. Sin embargo, muchos problemas se resuelven con solo utilizar el sentido común, toda una serie de estrategias y conceptos que, de tan obvios que son, los libros de teoría no dedican tiempo a explicarlos.

En este primer apartado se incluyen problemas cuya resolución no necesita ningún concepto teórico previo, sólo el sentido común, la pura lógica, y algunas formulitas de la matemática elemental. Sin embargo, no hay que despreciarlos. Es fundamental que el estudiante dedique a cada problema tanto tiempo como sea necesario, y si no llega a resolverlo, estudie detenidamente la solución que se presenta al final del libro.

Dedicar tiempo a pensar un problema y estudiar detenidamente la solución es la base del aprendizaje "problem-solving".

Bases de numeración.Diremos que n se escribe como en base si

con , ,

Por ejemplo, en base 7 es el número , y se escribe .

1.4 MF

¿Cuál de los siguientes enteros se puede expresar como la suma de 100 enteros positivos consecutivos?

(A) 1,627,384,950 (B) 2,345,678,910 (C) 3,579,111,300 (D) 4,692,581,470 (E) 5,815,937,260

ASHME 1997 #20

1.5 M

Consideremos el entero

Calcula la suma de todas las cifras de N.

AIME I 2019 #1

1.6 M

Para cada entero positivo , sea la cifra de las unidades de . Determina

el residuo cuando se divide entre 1000.

AIME I 2017 #3

1.7 MF

Sea , , , y para cada , define recursivamente como el residuo cuando se divide entre 11. Determina .

AIME II 2018 #2

1.8 F

Multiplicamos todos los números pares del 2 al 98 inclusive, excepto aquellos acabados en 0. ¿Cuál será la cifra de las unidades del resultado?

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

AMC10 1999 Sample #14

2 Divisibilidad.

Armados únicamente con los conceptos más básicos de la divisibilidad, los que se aprenden a los doce años, ya podemos enfrentarnos a problemas muy interesantes, incluso de nivel AIME.

Teoría.

Algoritmo de la división. Para todo y , existen y únicos, llamados respectivamente cociente y residuo de la división, tales que

Ejemplo. Aplicando el Algoritmo de la división, demuestra que todo cuadrado es siempre de la forma o .

Aplicando el Algoritmo de la división, todo número n será de la forma .

Veamos su cuadrado, caso por caso:

Sea cual sea el caso, siempre es de la forma o .

Divisibilidad.Dados dos números enteros , diremos que a divide a b, o que b es divisible entre a, y escribiremos , cuando exista un tercer número entero c tal que , es decir, cuando al realizar la división entera entre el residuo sea cero.

Propiedades de la divisibilidad.a) para todo entero (propiedad reflexiva)b) y (propiedad transitiva)c) para cualquier par de enteros d) . En particular, .e) y f) Si a y b son positivos, g) Si y . En particular,

Criterios de divisibilidad.Entre 2: Cuando acaba en cero o cifra par.Entre 3: Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.Entre 5: Cuando acaba en 0 o en 5.Entre 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras pares y la suma de sus cifras impares sea 0 o múltiplo de 11.

Problemas.

2.1 MF

El número de dígitos de (cuando está escrito en la base 10 usual) es

(A) 31 (B) 30 (C) 29 (D) 28 (E) 27

AHSME 1984 #9

2.2 F

Demuestra que el cuadrado de un número impar es siempre de la forma

OPOS BALEARES 2018

2.3 F

El perímetro de un triángulo equilátero excede el perímetro de un cuadrado en 1989 cm. La longitud de cada lado del triángulo excede la longitud de cada lado del cuadrado en d cm. El cuadrado tiene perímetro mayor que 0. ¿Cuántos posibles enteros positivos no son válidos para d?

(A) 0 (B) 9 (C) 221 (D) 663 (E) infinitos

ASHME 40 #17

2.4 F

¿Cuántos números en base 10, satisfacen todas las tres condiciones siguientes?

(i) (ii) N es múltiplo de 5(iii)

(A) 10 (B) 18 (C) 24 (D) 36 (E) 48

AHSME 1995 #12

2.5 F

La profesora Walter corrige un examen de matemáticas de sus cinco alumnos. Entra en orden aleatorio las puntuaciones en una hoja de cálculo, que va recalculando la media de la clase después de cada puntuación (sobre el número de alumnos ya introducidos, no sobre el total de 5). La profesora se da cuenta de que, después de cada puntuación, la media es siempre un entero. Las puntuaciones (presentadas en orden ascendente) son 71, 76, 80, 82 y 91. ¿Cuál fue la última puntuación que introdujo la profesora Walter?

(A) 71 (B) 76 (C) 80 (D) 82 (E) 91

AMC12 2000 #9

2.6 F

Determina los valores enteros de x para los cuales la expresión es el cuadrado de un entero.

2.7 M

Determina la suma de todos los números enteros positivos tal que el número (escrito en base b) es un cuadrado perfecto y el número (también escrito en

base b) es un cubo perfecto.

AIME II 2018 #3

2.8 F

Determina la suma de todos los enteros positivos tales que es un entero.

AIME II 2017 #6

2.9 F

Demuestra que ningún número de la forma

es un cuadrado perfecto.

Indicación: Todo número de la forma se puede escribir como.

2.10 MF

¿Para cuantos enteros n entre 1 y 100 el polinomio factoriza en el producto de dos factores lineales con coeficientes enteros?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 9 (E) 10

ASHME 1989 #8

2.11 F

Sea S el número de pares ordenados de enteros con y tales que el polinomio pueda ser factorizado como producto de dos (no necesariamente distintos) factores lineales con coeficientes enteros. Determina el residuo cuando S se divide entre 1000.

AIME I 2018 #1

2.12 F

Una sucesión pucelana es una sucesión crecientes de dieciséis números impares positivos consecutivos, cuya suma es un cubo perfecto. ¿Cuántas sucesiones pucelanas tienen solamente números de tres cifras?

OME Fase Nacional 2010 #1

2.13 M

a) Demuestra que el producto de dos números consecutivos es par.b) Demuestra que el producto de tres números consecutivos es divisible entre 6.c) Demuestra que es divisible entre 30.

2.14 F

Determina la suma de todos los números primos entre 1 y 100 tal que sean simultáneamente 1 mayor que un múltiplo de 4 y 1 menor que un múltiplo de 5

ASHME 1999 #4

2.15 MF

¿Cuántos enteros positivos b existen con la propiedad de que sea un entero positivo?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

AMC12 2000 #7

2.16 F

Aplicando el Algoritmo de la división, demuestra que:a) El cuadrado de todo entero es siempre de la forma o .b) Un número de la forma nunca puede ser el cuadrado de un entero.

2.17 F

Sean los divisores del entero positivo n.Encuentra todos los números n tales que .

México, 2008

2.18 F

¿Para cuántos enteros N entre 1 y 1990 la fracción impropia no es irreducible?

ASHME 1990 #19

3 Máximo común divisor.

Teoría.

Máximo común divisor. Números coprimos. Mínimo común múltiplo.Definimos el máximo común divisor de dos números positivos como el mayor divisor positivo común de ambos, y escribiremos . La unidad siempre es divisor común, por lo que siempre existe el máximo común divisor, y . Diremos que dos números son coprimos cuando su único divisor común es el 1, es decir, cuando .

Definimos el mínimo común múltiplo de dos números positivos como el menor múltiplo común de ambos, y escribiremos . Está claro que el producto es múltiplo común de ambos, luego el mcm está bien definido.

Algunas propiedades del mcd y del mcm.a) y .b) .c) , y .d) , y .e) y .f) .

Interpretación geométrica del máximo común divisor.El máximo común divisor de a y b indica el número de puntos con coordenadas enteras en el segmento que une los puntos y , sin contar el inicial .Por ejemplo, , y por tanto el segmento que une los puntos y pasa por tres puntos con coordenadas enteras, aparte del propio :

3.1 F

Diremos que un punto del plano es “punto entero” cuando sus coordenadas sean enteras. ¿Cuántos de estos puntos de este tipo hay (incluyendo ambos extremos) en el segmento que cuyos extremos son y ?

ASHME 1989 #16

Lema. divide a cualquier combinación lineal de y .

Demostración. Sea una combinación lineal de y .

Teorema de Bezout (TDB).Dados dos números enteros no ambos cero, el máximo común divisor de se caracteriza por ser el elemento mínimo del conjunto no vacío

Luego existe, es único y siempre se puede escribir como combinación lineal de y :Existen enteros tales que

Demostración.Consideremos el conjunto anterior .Es un conjunto no vacío pues al menos pertenece a (estamos en todo momento suponiendo que no son ambos cero).

Por el Principio de buena ordenación, tendrá un mínimo, al que llamaremos .Vamos a demostrar que .Supongamos que para ciertos enteros .Por el Algoritmo de la división, existirán enteros tales que con .Si , entonces

, y por tanto, pertenece al conjunto A, tomando . Pero , lo cual contradice la hipótesis de d como elemento mínimo. Luego y por tanto , es decir, d divide al número a.Con el mismo razonamiento se demuestra que d divide al número b, y por tanto d es común divisor de a y b. Veamos que es el máximo común divisor.Sea otro común divisor de a y b, entonces, aplicando el lema anterior,

.

Corolario.Si son números enteros y es cualquier número entero positivo,

Demostración.Sean y . Luego .Por el TDB, Es decir, es combinación lineal de , y por tanto es un múltiplo de , luego . Y, puesto que anteriormente hemos demostrado que , llegamos a .

Corolario.Existe una combinación lineal

Demostración. Es el TDB.

3.2 M

Demuestra que la fracción es irreducible para todo número natural n.IMO 1959

3.3 M

Los números de la sucesión son de la forma ,

Para cada n , sea . Determina .AIME 1985

Teorema.

Si entonces .

Demostración.

. Sea y supongamos que .

Lo cual es imposible suponiendo . Luego .

Teorema.Si son tres números enteros, con , .

Demostración.Por el TDB, para ciertos enteros . Luego , y puesto que trivialmente y por hipótesis , se deduce .

El algoritmo de Euclides.El algoritmo de Euclides es un método efectivo para calcular el máximo común divisor de dos números y que se basa en el algoritmo de la división y el siguiente principio:

Si , entonces

Suponiendo , podemos dividir entre para expresar , con y así

Este mismo proceso repetiremos una y otra vez, con números más y más pequeños, hasta que el máximo común divisor se haga evidente.

Ejemplo 1.Calcula mediante el Algoritmo de Euclides.

Solución.

Así pues,

Ejemplo 2.Calcula mediante el Algoritmo de Euclides.

Solución.

Y de la misma manera: Luego

4 Divisibilidad con identidades algebraicas.

Teoría.

Las dos identidades algebraicas siguientes son la clave para resolver muchos problemas de Teoría de Números.

Proposición.a)

y por tanto siempre dividirá a Por ejemplo, sin necesidad de ningún cálculo, es divisible entre 666.

b) Si n es impar,

y por tanto, si n es impar, siempre dividirá a

Demostración.a) Basta con desarrollar el producto de la derecha:

b) Si n es impar, , y basta aplicar el apartado a.

Problemas.

4.1 F

Determina todos los números primos de la forma , para enteros .

4.2 M

Demostrar que es divisible entre 1897 para todo natural .

EOTVOS 1899

4.3 M

Demuestra que con es primo si y solo si .

4.4 M

Determina todos los enteros para los cuales es un número primo.4.5 F

Demuestra que, para todo , divide a .

4.6 F

Demostrar que 1001 divide

4.7 M

Demuestra que 7 divide al número

4.8 F

Si al cuadrado de un número de dos dígitos se le resta el cuadrado del número formado invirtiendo el orden de sus dígitos, entonces el resultado no siempre será divisible por:

(A) 9 (B) El producto de los dígitos. (C) La suma de los dígitos.(D) La diferencia de los dígitos. (E) 11

ASHME 1957 #24

5 Números primos.

Teoría.

Números primos.Todo número es divisible por sí mismo y por la unidad. Diremos que un número natural es primo cuando solo sea divisible por sí mismo y por la unidad. Por ejemplo, son primos los números 5, 13, 59 o 397. Llamamos compuestos a los números que no son primos. El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.

Algunas propiedades de los números primos.a) Si p es primo y , entonces .b) Si p y q son primos, entonces .c) Todos los primos son impares excepto el 2.d) El 2 y el 3 son los únicos primos cuya diferencia es 1.e) Si p es primo y , entonces .

Ejemplo.Demuestra que si es primo, entonces .

Por el algoritmo de la división, todo número se puede representar como , o .Si es primo, la única opción aceptable es , pues las otras son divisibles entre 2.Luego

Está claro que o bien es par o bien es par, luego .

Ejemplo.Determina la suma de todos los números primos entre 1 y 100 que son simultáneamente 1 más que un múltiplo de 4 y 1 menos que un múltiplo de 5.

AHSME 1999 #3

Solución.

Con ya tenemos un conjunto de candidatos suficientemente pequeño como para proceder a testearlos, uno por uno:

no es primo no es aceptable. sí es aceptable. no es aceptable.

no es primo no es aceptable.

no es primo. no es aceptable. sí es aceptable.

no es primo.

Luego la suma es 29+89=118.

Lema de Euclides.Si es primo y entonces o .

Demostración. Sea un número primo. Si entonces y por el TDB existirán enteros tales que , y por tanto .Pero , y claramente , luego

Corolario.a) es par si y solo si es parb) es impar si y solo si es impar.

Demostración.a)

Basta aplicar el Lema de Euclides con .

b) impar.

Por el apartado a, si es par entonces es par, luego si es impar, necesariamente debe ser par.

Corolario. Hay infinitos números primos.

Demostración. Entre otras muchas demostraciones de este resultado, la de Euclides es un ejemplo de elegancia:Supongamos, por el contrario, que existe una cantidad finita de números primos. Sean estos

Consideremos el número . No puede ser primo, pues , luego existirá al menos un k tal que , pero también se cumple trivialmente , y por tanto

, lo cual es imposible. Así pues, no es posible que exista un número finito de primos.

Teorema fundamental de la aritmética (TFA).Todo entero positivo se descompone de forma única como producto de potencias de números primos (el orden es irrelevante).

La expresión anterior se denomina descomposición canónica de .

Por ejemplo: , , ,

Este teorema es la clave para resolver muchísimos problemas de aritmética, pues reduce el problema a un recuento de casos.

Proposición.Dado un número en descomposición canónica ,

a) Todo divisor de n es de la forma , con .b) El número de divisores de n es .

Demostración.a) Todo número de la forma , con es un divisor de n, y son todos diferentes por el TFA.b) Basta aplicar el principio fundamental del conteo.

Problemas.

5.1 F

Existen enteros positivos A, B y C, sin factores comunes mayores que 1, tales que

Determina .

ASHME 1995 #24

5.2 M

Demostrar que existe un único número natural tal que es un cuadrado perfecto.

5.3 F

Si 1998 se escribe como producto de dos enteros positivos cuya diferencia es lo más pequeña posible, entonces la diferencia es:

(A) 8 (B) 15 (C) 17 (D) 47 (E) 93

AHSME 1998 #6

5.4 M

Determina los tres números naturales consecutivos más pequeños cuya suma es un cuadrado perfecto y un cubo perfecto de números naturales.

5.5 M

Halla todas las sucesiones finitas de n números naturales consecutivos , con , tales que

OME Fase Nacional 2009 #1

5.6 MF

En el año 2001, los Estados Unidos acogieron las Olimpiadas Matemáticas. Sean enteros positivos tales que . ¿Cuál será el valor más grande

posible de la suma ?

(A) 23 (B) 55 (C) 99 (D) 111 (E) 671

AMC12 2000 #1

5.7 F

Existen enteros positivos , sin factores comunes mayores que 1, tales que .

¿Cuál es el valor de ?

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10

AHSME 1995 #24

5.8 M

¿Cuántos conjuntos de tres elementos de enteros positivos verifican ?

(A) 32 (B) 36 (C) 40 (D) 43 (E) 45

AHSME 1995 #29

5.9 F

Existe un número primo p tal que es el cubo de un entero positivo. Determina p.

AIME I 2015 #3

5.10 F

Cuando los números 702, 787 y 855 son divididos entre el entero positivo m, el resto es siempre el mismo entero positivo r. Cuando los números 412, 722 y 815 son divididos entre el entero positivo n, el resto es siempre el mismo entero positivo . Determina

.

AIME I 2017 #2

5.11 M

Determina el número de polinomios de segundo grado con coeficientes enteros y ceros enteros tales que .

AIME II 2010 #10

5.12 M

Determina todos los primos para los cuales la ecuación tiene soluciones enteras.

ASHME 1987 #23

5.13 M

Demostrar que en cualquier conjunto de números entre 1 y siempre podemos encontrar dos elementos tales que el menor divide al mayor.

6 Equivalencia modular.

El lenguaje de las congruencias nos permite abordar con éxito problemas aparentemente muy difíciles. Las congruencias es un lenguaje, una técnica, y por tanto solo se aprende practicando, jugando con ella durante mucho tiempo.

Teoría.

Definición de congruencias.Diremos que , y diremos que "a es congruente con b módulo n" cuando sucede alguna de estas condiciones equivalentes:

a) b) para cierto entero .c) a y b dejan el mismo residuo cuando son divididos entre n.

Por ejemplo: , pues , , pues En particular:

Ejemplo.Determina tal que .

Solución.Vamos probando, uno por uno:

La solución es

Propiedades de las congruencias.Sea fijo, y enteros arbitrarios. Entonces se cumple:a) (Propiedad reflexiva).b) Si , entonces (Propiedad simétrica).c) Si y entonces (Propiedad transitiva).d) Si y , entonces y .e) Si , entonces y .f) Si , entonces para cualquier entero positivo .

Qué funciona y qué no funciona con congruencias.Las propiedades anteriores nos permiten trabajar con congruencias prácticamente igual a como trabajamos con números, pero no todo lo que hacíamos con números funciona ahora con congruencias:

a) Cancelación de términos: No funciona en general la cancelación de términos, el "tachar" de toda la vida. Por ejemplo: , pero

, pero Aunque existe una Regla de cancelación:

Si , entonces

b) Principio del producto nulo:No existe tampoco el principio del producto nulo.Por ejemplo: , pero y

Pero sí se verifica cuando el módulo es un número primo:Si p es primo,

Modificaciones en el módulo.

a) Si , entonces .

b) Si y c) y .

Demostración.

a)

b) c)

Trabajar con congruencias es una técnica muy potente para resolver problemas de Teoría de Números, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1. Demostrar que 41 divide

Solución.En primer lugar vemos que Luego Pero, por otro lado, Luego Finalmente, , tal y como queríamos ver.

Ejemplo 2. Determina el residuo al dividir entre 12.

Solución.Observamos que , luego, para todo ,

luego

Luego nuestro problema se reduce a encontrar el residuo al dividir entre 12, que es 9.

Un método efectivo para calcular ab (mod n): “Método de las potencias de dos”Calculamos las potencias sucesivamente y en orden ascendiente. Después descomponemos nuestra potencia como producto de las anteriores. Como tantas cosas en Teoría de Números y en general en matemáticas, lo mejor es observar un ejemplo práctico:

Ejemplo.Calcular .

Solución.

Y ahora, puesto que ,

Podemos encontrar otros ejemplos de aplicación de este método en las soluciones de los problemas #6.13 , #11.1 y #6.15.

Problemas.

6.1 MF

Si denota el producto de todos los números del 1 al n, ¿Cuál es el residuo de

al dividirlo entre 9?

6.2 MF

Encuentra un ejemplo que demuestre que no implica .

6.3 F

Determina los residuos cuando y son divididos entre 7.

6.4 F

Utilizando la teoría de congruencias, demuestra que y .

6.5 F

Determina el último dígito de .

6.6 MF

Demuestra que para todo , el número es divisible entre 133.

6.7 MF

La cifra de las unidades de es:

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

AHSME 1961 #28

6.8 F

El dígito de las unidades de es:

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

AHSME 1983 #14

6.9 F

Demuestra que para

6.10 MF

Demuestra que si n es impar, entonces

6.11 F

Determina el número de enteros , , tales que es divisible entre 6.

6.12 F

Demuestra que siempre es divisible entre 7, para todo entero positivo n.

6.13 M Sea . Determina el residuo cuando se divide entre 49.

AIME 6.13 #6

6.14 F

Determina el residuo al dividir entre 1000.

AIME I 2010 #2

6.15 F

Consideremos el esquema triangular de números a lo largo de los lados y con números interiores obtenidos sumando los dos números superiores de la fila anterior. Las filas 1 a 6 se muestran en el siguiente esquema:

Sea la suma de los números de la fila n. ¿Cuál es el residuo cuando dividimos entre 100?

AHSME 1995 #27

6.16 M

Sea . ¿Cuál es el dígito de las unidades de ?

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

AMC12A 2008 #15, AMC 10A 2008 #24

7 Introducción a las ecuaciones diofánticas.

Definición. Ecuación diofántica.

Una ecuación diofántica es aquella en la que únicamente son aceptables soluciones enteras. En general, no existen métodos "mecánicos" para resolver ecuaciones diofánticas, y precisamente esto las hace muy interesantes para el planteamiento de problemas.

Antes de empezar a trabajar con los métodos para resolver ecuaciones diofánticas lineales, vamos a presentar una lista de problemas de ecuaciones diofánticas sin armadura teórica previa, con solo aplicar el sentido común y los conceptos básicos del álgebra y la divisibilidad. De esta manera, cogeremos práctica y nos familiarizaremos con este tipo de problemas.

7.1 M

El número de pares de enteros con tales que es:

(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4 (E) 7

ASHME 1984 #28

7.2 M

El número n se escribe en base 14 como , se escribe en base 15 como y se escribe en base 6 como , con . Determina el número n en base 10.

AIME I 2018 #2

7.3 F

Determina justificadamente todos los pares de números enteros que verifican la ecuación .

OME Fase Nacional 2009 #4

7.4 F

El número de triples de números enteros positivos que satisfacen el sistema

es(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

AHSME 1984 #20

7.5 F

Determina el número de 7-tuplas de números positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:

AIME II 2019 #3

7.6 M

Determina si son enteros que satisfacen .

AIME 1987 #5

7.7 M

Resuelve la siguiente ecuación diofántica

ASHME 1993 #19

7.8 F

Encuentra todos los primos p y q que satisfacen la ecuación

Rusia, 2001

7.9 M

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, con enteros.

ASHME 1997 #28

7.10 F

Resuelve la ecuación con solución entera

ASHME 1985 #21

7.11 M

Determina todas las tercias de enteros positivos tales que .

México, 2010

7.12 D

Determina todas las soluciones enteras de la ecuación

8 Ecuaciones diofánticas lineales.

Ecuaciones diofánticas lineales.Son las que tienen la forma , con enteros, y no ambos cero.

Por ejemplo, la ecuación tiene infinitas soluciones:

En general, cualquier valor

Sin embargo, la ecuación no tiene solución: Para cualquier , la parte izquierda de la ecuación será par, mientras que la parte derecha es un impar.

Teorema fundamental de las ecuaciones diofánticas lineales.Una ecuación diofántica lineal tendrá solución si y solo si .

Si es una solución particular de esta ecuación, entonces todas las soluciones son de la forma

, para cualquier entero.

Ejemplo. Resuelve la ecuación diofántica

Solución., y , luego esta ecuación tiene solución.

Probando números vemos que , luego es una solución particular de la ecuación.Por el Teorema anterior, las soluciones de esta ecuación son todas las parejas de la forma

, , con

o equivalentemente, tomando , , , con .

8.1 F

Resuelve la ecuación diofántica

8.2 F

Un cliente compra una docena de piezas de fruta, manzanas y naranjas, por 1.32€. Si una manzana cuesta 3 céntimos más que una naranja, y se compraron más manzanas que naranjas, cuantas piezas de cada fueron compradas?

Fuente: Elementary Number Theory (David M.Burton, 6E) pág.35

Resolución de ecuaciones diofánticas lineales mediante el Algoritmo de Euclides.

El Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor de dos números mediante sucesivas divisiones nos permite resolver ecuaciones diofánticas lineales. Lo veremos con varios ejemplos:

Ejemplo 1.Resuelve la ecuación diofántica

Solución.Aplicamos el algoritmo de Euclides:

, y claramente , luego existe solución.

Deshaciendo los pasos del algoritmo de Euclides:

Luego es una solución de la ecuación diofántica del enunciado.

El conjunto de soluciones de la ecuación serán las parejas de la forma:

8.3 F

Resuelve la ecuación diofántica mediante el algoritmo de Euclides.

8.4 FResuelve la ecuación diofántica

Problemas.

8.5 F

Resuelve la ecuación diofántica

8.6 F

Las medidas (en grados) de los ángulos interiores de un hexágono convexo forman una sucesión aritmética de enteros positivos. Sea la medida del mayor de los ángulos interiores de este hexágono. El mayor valor posible de es

(A) 165º (B) 167º (C) 170º (D) 175º (E) 179º

AHSME 1991 #12

8.7 F

Determina un número que, cuando se divide entre 10, deja un residuo de 9, cuando se divide entre 9 deja un residuo de 8, entre 8 el residuo es 7, y así sucesivamente, hasta que, finalmente, cuando se divide entre 2, deja un residuo de 1.

ASHME 1951 #37

9 Congruencias lineales y sistemas de congruencias lineales.

Teoría.

Congruencia lineal.Llamamos congruencia lineal a toda ecuación de la forma Diremos que el entero satisface la congruencia lineal cuando

O equivalentemente:

Es decir, buscamos soluciones de la ecuación lineal diofántica

Teorema. La congruencia lineal tiene solución si y solo si , donde

, en cuyo caso existen d soluciones diferentes (aquí se entiende diferentes como mutuamente incongruentes), todas ellas de la forma

Donde es una solución particular de la ecuación.

Ejemplo.Resuelve la congruencia

Solución. , y , luego la ecuación anterior tiene seis soluciones.

Por tanteo, vemos que 4 es una solución de la ecuación.Luego las soluciones serán:

, efectivamente: , efectivamente: , efectivamente: , efectivamente: , efectivamente:

Las soluciones son:

9.1 F

Resuelve la congruencia

9.2 F

Resuelve la congruencia lineal

Inversos modulares.Diremos que a y b son inversos módulo n si , o equivalentemente, diremos que b es el inverso de a módulo n.La congruencia lineal tiene solución si y solo si , es decir, cuando

, así pues, existirá el inverso multiplicativo de a si y solo si , y será único modulo n.

Ejemplos.El inverso de 3 módulo 4 es 3 porque . El inverso de 3 módulo 5 es 2 porque .

9.3 F

Determina el inverso de 9 módulo 82.

Sistemas de congruencias lineales (caso particular).

Queremos resolver ahora un sistema de congruencias lineales:

En donde vamos a suponer que los módulos son todos coprimos entre ellos.Evidentemente, el sistema tendrá solución cuando cada ecuación la tenga individualmente, y por tanto

, donde para todo

Resolución de sistemas de congruencias lineales mediante el método interactivo.

Ejemplo.Resuelve el sistema

Solución.(Más adelante, mediante el Teorema chino del residuo, se verá que la solución existe y es única mod 60, pues )

Luego:

Finalmente: . En efecto:

, ,

Teorema chino del residuo.Sean enteros positivos tales que si . Entonces el sistema de congruencias lineales

Tiene una única solución (módulo el entero ).

Y se obtiene siguiendo los siguientes pasos:Paso 1: Sea ,Paso 2: Sean .Paso 3: Resolver las congruencias lineales:

, , ... ,

Paso 4: es la única solución del sistema.

Ejemplo: El problema de Sun-Tsu.El Teorema chino del residuo debe su nombre en honor al siguiente problema del siglo I DC: Determina un número cuyos residuos son 2, 3 y 2 al dividirlo entre 3, 5 y 7, respectivamente.

Nota: Este mismo problema aparece en las Introductio Arithmeticae del matemático griego Nicómano de Gerasa, alrededor del 100 DC.

Solución.Se trata de resolver el sistema de congruencias lineales

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3: Las congruencias lineales , y

tienen soluciones , y .

Paso 4: será solución del sistema módulo 105, y

Y por tanto 23 es la única solución del sistema (módulo 105). En efecto:

Ejemplo.Resolver el sistema de congruencias

Solución. Claramente y por tanto el sistema tiene solución.Paso 1:

Paso 2: , .

Paso 3: Resolvemos las ecuaciones y Puesto que , y , tenemos que , son soluciones.

Paso 4: La solución es (mod 36) , es decir, 34.

Efectivamente, , y ,

Sistemas de congruencias lineales (caso general).

Se pueden resolver sistemas de congruencias incluso cuando sus módulos no son necesariamente coprimos. El criterio es similar al de las ecuaciones diofánticas lineales.

Teorema. Dado el sistema

Si no es divisor de , el sistema no tiene solución. En caso contrario, existe una única solución mod

Observamos que el Teorema chino del residuo sería un caso particular de este teorema cuando , pues entonces garantizamos que el sistema tenga solución, y .

Ejemplo.Resolver el sistema

Solución.Puesto que , y , existirá una única solución. La vamos a obtener con el método interactivo.

Esta última congruencia se puede simplificar: 6 divide a 12 y a 6, y además , luego podemos simplificarla:

Donde hemos tenido en cuenta que

Efectivamente, , y

Como calcular congruencias cuando el módulo no es primo.

Ejemplo.Calcular .

Solución.Puesto que 26 no es primo, no podemos aplicar directamente el PTF. Puesto que

, vamos a calcular por separado y , y después aplicaremos el Teorema Chino del Residuo para determinar el resultado del enunciado.

Está claro que y por tanto .

, luego , y por tanto podemos aplicar el PTF:.

Por otro lado, , luego:

De todo lo anterior tenemos:

Y aplicamos el Teorema Chino del Residuo:

No hace falta resolver la congruencia pues .Resolvemos la congruencia ,Luego

Observación. Para calcular potencias elevadas con módulos no primos disponemos de dos técnicas: El “método de las potencias de dos” y el método que acabamos de ver: descomponer el módulo y aplicar el Teorema Chino del Residuo. Es importante dominar estas dos técnicas, pues son la clave para resolver muchísimos problemas de Aritmética. Se propone resolver el siguiente problema mediante las dos técnicas anteriores:

9.4 F

Determina los dos últimos dígitos de .

HMMT 2009

Congruencias lineales que se resuelven mediante sistemas de congruencias lineales.

El siguiente resultado nos puede ser útil para resolver congruencias lineales:

En efecto:

Existe un recíproco:

Ejemplo.Resolver la congruencia lineal .

Solución.Puesto que , la ecuación anterior es equivalente a resolver el sistema de congruencias

o equivalentemente:

equivale a decir que , luego sustituyendo en la segunda ecuación y multiplicando por 3 ambos lados:

Sustituyendo en la tercera ecuación:

Efectivamente,

Congruencias no lineales.

Ejemplo.Resuelve la ecuación

Solución.Puesto que , y , podemos descomponer la ecuación anterior en el sistema no lineal

tiene 4 soluciones: o (mod 16) tiene 2 soluciones: (mod 9)

Luego tenemos ocho alternativas:i) y ii) y iii) y iv) y v) y vi) y vii) y viii) y

Podemos ir resolviendo cada caso mediante el Teorema chino del residuo.Independientemente del caso, , luego todos los ocho sistemas tienen solución.Además: , ,

i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii)

Problemas.

9.5 F

Calcula los tres últimos dígitos de

Senior Hanoi Open MO 2006

10 El pequeño Teorema de Fermat.

Teorema. Pequeño Teorema de Fermat (PTF).Si es primo,

a) para cualquier entero .b) Si , entonces

Nota: El recíproco no es cierto: para cierto entero n primo. Esto se estudiará detenidamente en una observación más adelante.

Demostración.a) Aunque en el próximo tema veremos que este teorema es un caso particular de aplicación de la función Phi de Euler, vamos a presentar aquí una demostración directa.

Caso 1: Si . y está claro que entonces .

Caso 2: Si . Vamos a demostrarlo por inducción en :Si , y está claro que entonces .Supongamos cierto , queremos ver que entonces es cierto para .Aplicando el binomio de Newton:

Pero para todo (por la definición de al ser p primo, estará en el

numerador, pero no en el denominador) , y por tanto .Finalmente, aplicando la hipótesis de inducción: ,tal y como queríamos ver.

Caso 3: Si . Si , entonces

Si , entonces es impar, y por tanto: En donde hemos aplicado el “Caso 1” pues es positivo.

b) Aplicando el apartado anterior, .Aplicando el Lema de Euclides, puesto que, por hipótesis, , deducimos que

, o equivalentemente,

El PTF se puede aplicar al cálculo de congruencias con potencias de números, como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.Demostrar que .

Solución.Aplicamos el PTF para garantizar que , luego:

Por otro lado , y por tanto:

Donde hemos aplicado que

Ejemplo 2.Calcular

Solución.Puesto que podemos aplicar el PTF para garantizar que .Puesto que

El PTF se puede utilizar también para testear si un número es primo o no. Si encontramos un entero tal que , entonces seguro que n no es primo (pues en caso contrario contradeciría el PFT). Veamos esto en el siguiente ejemplo:

Ejemplo.Demostrar que 117 no es primo.

Solución.Tomamos . Sabemos que , y que , luego:

)117(mod2)117(mod222222 2151651675167117

Pero Con lo que, finalmente llegamos a , y por tanto 117 debe ser un número compuesto (de hecho: ).

Proposición. Descomposición de módulos.Si y son primos diferentes tales que y , entonces:

por el Corolario al PTF, y por hipótesis, luego:Luego , es decir:

Con un razonamiento similar llegamos a , y por tanto:, o equivalentemente:

Ejemplo.Demostrar que .

Solución.Aquí , y por otra parte, , luego , y por tanto:

Por otro lado, , y por tanto:

Y aplicando la proposición anterior: , y cancelando un factor 2 llegamos al resultado deseado:

Observación. Los números pseudoprimos y el recíproco del PTF.El PTF dice que primo , y acabamos de ver que y sin embargo no es primo, es decir un contraejemplo para el recíproco del PTF.

Este dato es curioso porque es el primer compuesto tal que , es decir, sirve como contraejemplo del recíproco del PTF, es decir:

primo para

Esta es la razón por la que los matemáticos chinos antiguos creyeron, equivocadamente, que caracterizaba los números primos.

Los números tales que , es decir se denominan pseudoprimos. Hay infinitos pseudoprimos y los más pequeños son 341, 561, 645 y 1105.

Aplicación del PTF a la resolución de congruencias no lineales.

Ejemplo 1.Determina una solución de la congruencia

Solución.Puesto que, aplicando el PTF,

Luego hemos reducido nuestro problema a resolver la congruencia

Probando valores , , ,... llegamos a , y por tanto:

Ejemplo 2. Determina una solución de la congruencia .

Solución.Aplicando el PTF, sabemos que para todo .Luego , luego hemos reducido nuestro problema a resolver la congruencia .Vamos probando valores , , ,... hasta llegar a

Luego una solución es

Nota: Existe otra solución: Para encontrar estas soluciones se puede hacer el siguiente planteamiento:

, y por tanto, la ecuación es equivalente a ,

y ahora:

y finalmente:

Problemas.

10.1 F

Aplicando el PTF, determina:a) b) c)

10.2 F

Dividimos el número entre 13. ¿Cuál es el residuo?

AHSME 1972 #31

10.3 F

Utilizando el PTF, demuestra que divide a

10.4 F

Demuestra que si , entonces

10.5 F

Sea , , . Determina el residuo cuando se divide entre 7.

10.6 F

Demuestra que, si , entonces .

10.7 F

Determina

10.8 D

En los años 60, tres matemáticos americanos demostraron que una de las conjeturas de Euler era falsa al encontrar un entero positivo n tal que

Determina n.

AIME 1989 #9

Nota: Se presentan dos soluciones, pero ninguna de las dos es completa: Son argumentos que justifican que un cierto n es el mejor candidato posible.

10.9 F

Determina los números primos p para los cuales es múltiplo de p

11 La función Phi de Euler.

Definición. La función Phi de Euler.Dado un número natural , indica el número de números naturales menores que n y coprimos con n.

Por ejemplo, porque el número de naturales coprimos con 30 son 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. De la misma manera vemos que

Observamos que porque , sin embargo, si , .Observamos p es primo si y solo si .

Con Mathematica:

Cálculo explícito de la función Phi de Euler.Si la descomposición en factores primos de es , entonces:

Ejemplo 1.Calcular

Solución.

Ejemplo 2. Calcular

Solución.

Propiedad de la función Phi de Euler.Fijemos un número n y un divisor suyo: Por ejemplo, y .Estudiemos el conjunto . En la siguiente tabla vemos que

1 12 23 34 25 5 1 6 67 18 29 310 10 2 11 112 613 114 215 15 316 217 118 619 120 10 4 21 322 223 124 625 5 5 26 227 328 229 130 30 6

Consideremos ahora y . El conjunto de números menores que 6 y coprimos con 6 es , luego .Vemos que existe una biyección perfecta entre y los coprimos de 6, y por tanto

Por otro lado, todo número pertenece a algún con , y por tanto:

Existe también una biyección y por tanto llegamos a la siguiente propiedad:

Teorema de Euler. si

Nota histórica. La primera demostración del PTF , si , fue dada por Euler en 1736. El propio Euler presentó en 1760 este teorema, que es una generalización del PTF porque si n es primo entonces , y .

Observación: La condición es necesaria, pues si , ya vimos en el capítulo 8 que la congruencia no tiene solución, y por tanto no puede existir ningún k tal que , pues en ese caso sería solución de la congruencia .

Ejemplo.Tomando y , y En efecto,

El Teorema de Euler indica que si , la secuencia

siempre alcanza el 1 (y por lo tanto se vuelve periódica), y lo alcanza en . Naturalmente, no es necesariamente el primer número para el cual . El menor exponente para

el cual se denomina orden de a (módulo n) y se estudiará en el apartado siguiente.

El Teorema de Euler y el PTF nos permiten reducir potencias muy grandes módulo n.

Ejemplo.Determina los dos últimos dígitos de la expresión decimal de .

Solución.Está claro que este problema implica estudiar , y aquí nos puede ayudar el Teorema de Euler:

, y puesto que , podemos aplicar

el Teorema de Euler: Luego .

Por lo tanto, el número acaba en "21".

Problemas.

11.1 F

¿Para cuántos enteros , cumpliendo , existe un entero , cumpliendo , tal que es un divisor de ?

11.2 M

Determina los ocho últimos dígitos de la expansión binaria de .

11.3 D

Determina los tres últimos dígitos de

Nota: se define recursivamente:

PuMAC (Princeton University Mathematics Competition)

11.4 D

Definimos . Determina los dos últimos dígitos de

PuMAC 2008

Nota: se define recursivamente: .

Indicación:Si , entonces y podemos reducir el cálculo a determinar

12 Orden de un entero.

Definición. Orden de un entero.Si a es cualquier número entero y n es un número entero , , definimos el orden de a módulo n, , como el entero positivo más pequeño tal que

Ejemplos:.

pues , , , .pues , .

Con Mathematica:

Observaciones:No todos los números tienen un definido un orden. Por ejemplo, si , entonces

para todo .

La siguiente proposición nos indica cuando un entero tendrá un orden asociado.

Proposición.Si , entonces existe un tal que .

Demostración. Consideremos el conjunto . Consta de números y solo existen

residuos , luego por el Principio de las Casillas, dos de estas potencias deben ser iguales módulo n. Es decir, existirán tales que .Ahora, , y por tanto:

Puesto que , podemos cancelar el factor , con lo que llegamos a, tal y como queríamos ver.

Corolario.Dado un entero , tendrá orden módulo n si y solo si .

Demostración. Si , por la proposición anterior existirá un tal que , luego por el Principio de la buena ordenación, existirá un mínimo cumpliendo tal condición, es decir, el número tendrá un orden asociado.

Supongamos ahora que existe un entero positivo m tal que . Entonces existirá un entero s tal que

Esta última expresión es una combinación lineal de y , luego

Teorema.Si , entonces, para cualquier entero t, .

Ejemplo.Determina todos los enteros positivos tales que sea divisible entre 7.

IMO 1964Solución:

Puesto que , podemos aplicar el Teorema anterior:

Luego, finalmente, , es decir, para todos los múltiplos de 3.

Corolario 1.Dados primo y entero con , entonces

Demostración. Puesto que p es primo y , podemos aplicar el PTF para garantizar que , y aplicar ahora el Teorema anterior.

Ejemplo.Determinar .

Solución.Puesto que , aplicar el corolario anterior para asegurar que .

no puede ser pues . tampoco puede ser:

y , luego

Luego solo nos queda .

Propiedad de la secuencia de potencias de un número.Dados a y n cumpliendo , sea .En la secuencia

no hay números repetidos (módulo n), pues si con , entonces podemos cancelar términos pues , y deducir que , con contradiciendo la definición de orden.

En general:

En efecto, por el Algoritmo de la división, con , pero entonces:

. Si se contradeciría la definición de como índice de a, por lo tanto y j es un múltiplo del orden.

En particular, podemos aplicar este hecho a la función Phi de Euler:

Ejemplo de aplicación.Determinar

Solución.

, , , , , luego solo puede ser .

Problema modelo.Determina el menor factor primo impar de

AIME I 2019 #14

Solución.Buscamos el menor número primo tal que

Entonces, elevando al cuadrado ambos lados,

Pero

Sin embargo, y no -1, como queríamos, luego deducimos que .

Puesto que , será un múltiplo de 16.

Puesto que por hipótesis es primo,

Y por tanto . Los dos primeros primos que cumplen son 17 y 97.Sin embargo, , pero , luego la solución es 97.

Fuente de esta solución: artofproblemsolving.com

13 Números factoriales.

Teoría.

Función suelo, o parte entera. Definimos la parte entera de un número real , y la denotaremos por , como el mayor entero n menor o igual que . Por ejemplo, , ,

El tema PA/7 está dedicado íntegramente a esta función. Se recomienda practicar con ella realizando algunos de los problemas que allí se presentan

13.1 M

Calcula la suma

All Russian MO 2000

La fórmula de Polignac.Antes de presentar la fórmula de Polignac, propondremos un par de ejemplos para entender por qué aparecen los elementos que la constituyen.

Problema. ¿Cuál será el exponente del factor 5 en la factorización en números primos de ?

Solución.

De todos los factores de la derecha, uno de cada cinco es múltiplo de 5, luego habrán 1005 50 201

201 múltiplos de 5, que contribuirán en una unidad al exponente de 5.

De los 201 anteriores, uno de cada cinco será múltiplo de 25, luego habrán201 51 40

40 múltiplos de 25, que contribuirán con una unidad más al exponente de 5.

De los 40 anteriores, uno de cada cinco será múltiplo de , luego habrán40 50 8

8 múltiplos de , que contribuirán con una unidad más al exponente de 5.

De los 8 anteriores, uno de cada cinco será múltiplo de , luego habrá8 53 1

un único múltiplo de , que contribuirá con una unidad más al exponente de 5.

Está claro que no existirán múltiplos de

Luego el exponente de 5 será

Estos mismos cálculos los podríamos haber realizado con cualquier número primo y con cualquier factorial. Para expresarlos en una única fórmula con el lenguaje algebraico observamos lo siguiente:

, , ,

Luego la suma anterior se puede expresar mediante la función “parte entera”, justificando al denominada fórmula de Polignac:

La mayor potencia de un número primo que divide a viene dado por

Segundo ejemplo.¿Cuál será el exponente del factor 2 en la factorización en números primos de ?

Solución.En uno de cada dos factores es par, luego

1005 21 502

hay 502 números pares, de los cuales, uno de cada dos será múltiplo de :502 20 251

De estos 251, la mitad serán múltiplos de :251 21 125

De estos 125, la mitad serán múltiplos de :125 21 62

De estos 62, la mitad serán múltiplos de :62 20 31

De estos 31, la mitad serán múltiplos de :31 21 15

De estos 15, la mitad serán múltiplos de :15 21 7

De estos 7, la mitad serán múltiplos de :7 21 3

De estos 3, la mitad serán múltiplos de :

3 21 1

Y ya no hay múltiplos de

El exponente de 2 en la factorización será 502+251+125+62+31+15+7+3+1=997

Problema ejemplo.Determina el mayor n tal que divide a

AHSME 1977

Solución.Puesto que , el número n quedará determinado por el número de parejas que podemos hacer en la descomposición factorial de , es decir, el mínimo entre a y c donde es la descomposición factorial de

Acabamos de ver que y , luego el resultado será .

O, escrito en la forma de la fórmula de Polignac:

El exponente de 2 será

El exponente de 5 será

Ejemplo 1.¿Cuántos ceros hay a la derecha de la expresión decimal de ?

Solución.El número de ceros vendrá dado por el número de veces que 10 divide a . Puesto que hay más factores de 2 que de 5 en , el número de ceros vendrá dado la mayor potencia de 5 en , y aquí aplicamos la fórmula de Polignac:

, , , y si .

Por lo tanto, .

Problemas.

13.2 M

Demostrar que 7 no divide a .

13.3 F

¿Cuál es el mayor factor primo de dos dígitos del entero ?

AIME 1983 #8

14 Números combinatorios. Binomio de Newton.

Proposición.

a) Si p es primo, p divide para todo .

b) Si p es primo, .

Demostración.

a)

Está claro que , luego

Puesto que , es imposible que , luego

b)

Y puesto que , tenemos

Aplicando el apartado anterior, para todo , luego .

Números de Catalan.

Definición. Número de Catalan de orden n.Definimos el número de Catalan de orden n como

Los primeros diez números de Catalan son 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796.

Proposición.Todos los números de Catalan son enteros.

Demostración.

Vamos a aplicar la identidad

Puesto que y son coprimos, y la parte de la derecha de la identidad anterior es un

entero, está claro que divide a .

Soluciones

1.1Los elementos de A son de la forma , con , y

, luego nuestro problema se reduce a un conjunto A de 20 elementos entre 1 y 25 en el que debemos encontrar al menos una pareja cuya suma sea 26.Consideremos los siguientes 13 conjuntos, que serán nuestras “casillas”:

, , , , … , , ,

Cada elemento de A irá a parar a una de estas casillas, y puesto que hay 20 números y solo 13 casillas, aplicando el “Principio del casillero”, obligatoriamente dos elementos de A irán a parar a la misma casilla. Dicho de otra manera, existirán dos números de A cuya suma sea 26.

1.2Consideremos los conjuntos siguientes:

, , , , ,

Los siete números del enunciado deberán ir a alguno de estos seis conjuntos, y por el Principio del Casillero, al menos existirán dos elementos en el mismo conjunto. Los conjuntos están ya diseñados de forma que la distancia máxima sea

.

1.3Observamos que en un conjunto de 10 elementos, por ejemplo en

Solo pueden haber un máximo de cinco elementos separados. Si añadimos un sexto, estará tocando, por la derecha o por la izquierda, a otro.

Consideremos los siguientes 10 conjuntos:

, , … , ,

Al repartir los 55 elementos en estos 10 conjuntos, al menos habrá uno con 6 elementos o más, y no podrán estar separados entre ellos, luego existirán dos elementos juntos, es decir, cuya diferencia será 10.

1.4Supongamos que

Sabemos que

Luego , luego será un número que acabe en "50", y el único candidato aceptable es (A).

1.5

Las cifras de este número suman

1.6Vamos a ir observando la pauta

Las sucesivas siguen de la siguiente manera:36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153,171,190,210,231,253,276,300,325,351,378,406,435,465,496,528,561,595,630,666,703,741,780,820,861,903...Vemos que los primeros .y vemos que, a partir de la posición sigue una pauta repetitiva de 20 números:

0, 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1que suman 70.

Entre y hay 20 bloques completos y 19 elementos "sueltos" finales:

Los 19 primeros elementos de la pauta anterior suman 69, luego

. El residuo de entre 1000 es 69.

1.7Vamos calculando pacientemente la sucesión:

Vemos que los tres últimos elementos coinciden con los primeros, por lo que podemos asegurar que los elementos se van repitiendo en grupos de diez.

1.8, luego la multiplicación de cuatro números, acabados en 2, 4, 6 y 8 acabará en 4.

La multiplicación de números acabados en 4 va alternando: Acabados en 6 y acabados en 4: luego acabará en 6.

la podemos entender como la multiplicación de diez grupos, cada uno de ellos acabado en 4, luego el resultado será el mismo que , es decir, 6.

2.1

Un número que tiene 28 cifras decimales.

2.2Si n es impar, para cierto entero, luego

Ahora bien, el producto de dos números consecutivos es siempre par, pues o bien es par o bien es par, y por tanto es múltiplo de 8, tal y como queríamos ver.

2.3Sea la longitud del lado del cuadrado.Entonces es la longitud del lado del triángulo equilátero y

Puesto que suponemos , se tiene que cumplir y esto solo pasa si . Luego existen 663 casos (contando ) que no son válidos para d.

2.4La condición (i) equivale a La condición (ii) equivale a La condición (iii) equivale a Luego el número posible de enteros es

2.5Una vez introducida la cuarta puntuación, el resultado tiene que ser múltiplo de 4.El 80 es solución al problema. En efecto, , que es múltiplo de 4.Cualquier otra posibilidad no es aceptable:

, , ,

Ninguno de estos números es múltiplo de 4.

2.6Tenemos que resolver la ecuación con enteros.

Luego debe ser un cuadrado:

Por otro lado, , luego la posibilidad queda descartada, y la única posibilidad es

Resolvemos el sistema anterior:

Así pues, las soluciones son:

En todo caso, 2.7Primera versión.

es un cubo perfecto, es decir, para cierto entero m.

Puesto que hay menos cubos perfectos que cuadrados perfectos, listamos todos los cubos:

Puesto que es siempre impar, podemos eliminar de la lista todos los cubos pares, y quedarnos solo con

es un cuadrado perfecto, es decir, para cierto entero n.

Luego nos podemos quedar solo con aquellos cubos divisibles entre 9:

Ya solo nos queda comprobar si estos candidatos se adaptan a nuestras condiciones:, luego la base 10 es aceptable.

Luego el resultado es .

Segunda versión. es un cuadrado perfecto, luego .

El valor de k está limitado superiormente:

Sustituyendo en la segunda ecuación:

y vemos que es divisor de , y por tanto 3 es divisor de .También vemos que es impar:

Y que está acotado superiormente:

y , luego

Los cubos que cumplen las condiciones anteriores son dos: , y como en la versión anterior, solo nos queda comprobar que, efectivamente, satisfacen las condiciones del enunciado.

Fuente de estas versiones: www.artofproblemsolving.com

2.8 es un cuadrado perfecto

para cierto

es un cuadrado perfecto

Las dos posibilidades son:a)

b)

Comprobamos estas cuatro soluciones:

Finalmente, nos piden la suma de las soluciones positivas: .

2.9Seguimos la indicación propuesta.Todo número n acabado en "08" es múltiplo de 4. En efecto, se podrá escribir como

Luego todo número de la forma se puede escribir como para cierto natural.

Supongamos que para cierto Está claro que es impar, luego será impar, y por tanto , para cierto .

Luego

Lo cual es contradictorio, pues es par, y es impar, llegando a contradicción.

2.10Sabemos que `

Puesto que el término independiente es negativo, a o b deben ser negativos. Por lo tanto, buscamos positivos tales que:

Los números entre 1 y 100 que se pueden escribir como el producto de un número y el siguiente son los siguientes nueve:

2.11Nos basaremos en la igualdad

La segunda condición implica que tienen el mismo signo, pero entonces la primera condición implica que los dos no pueden ser negativos, luego serán positivos o cero.

Si , el polinomio es factorizable siempre, luego hay cien casos: .

Supongamos que

Al no encontrar más restricción, procedemos a contar casos.

Para cada valor de , las parejas no ordenadas , , tales que (no importa el orden pues y dan lugar a la misma ecuación pues la ecuación es simétrica en n, m)

Por ejemplo:

Vemos que van por parejas, y que la suma de todos los elementos será

Y sumando los 100 casos cuando dan un total de 2600 casos. Finalmente,

2.12Primera versión.Las secuencias a tratar son de la forma

La suma será

Buscamos valores de de forma que sea un cubo perfecto.

es un cubo perfecto es un cubo perfecto

Luego los valores de buscados son los de la forma

Ahora solo queda acotar el rango de valores, pues nos imponen

Y por tanto

, luego , y hay tres secuencias.

Segunda versión. La solución oficial de este problema es mucho más expeditiva.Queremos determinar secuencias con n impar y cuya suma sea un cubo perfecto.La suma es será un cubo perfecto si y solo si es un cubo perfecto.Luego buscamos valores impares y tales que sea un cubo perfecto (y además es par).Los cubos pares entre 232 y 1968 son 512, 1000 y 1728, que se corresponden con los valores de n: 241, 485 y 849. Luego hay exactamente tres secuencias válidas.

Fuente de la segunda versión: Solución oficial de la OME.

2.13a) Los números pares e impares van alternados, luego en la secuencia al menos uno de los factores es par.b) De la misma manera, para una sucesión de tres números consecutivos, al menos uno de ellos ha de ser múltiplo de tres. Y también se puede aplicar el apartado a, luego la sucesión será múltiplo de .c) , luego podemos aplicar los apartados anteriores para garantizar que es divisible entre 6. Veamos que también es divisible entre 5. Por el Teorema de la división, el número n se puede escribir como , .Si y sería un factor de .Si y sería un factor deSi y sería un factor de .Si y sería un factor de

.Si y sería un factor de

.Así pues, .Y puesto que también son divisores 2 y 3, lo será su producto:

2.14Los múltiplos de 5 acaban todos en 0 o en 5, luego si es uno menor, acabará en 4 o en 9.Los múltiplos de 4 son todos pares, luego si sumamos uno, serán impares, y por tanto no pueden acabar en 4. Por lo tanto, solo nos queda buscar entre los primos acabados en 9 que sean de la forma .Solo hay dos: y .Y su suma es .

2.15. Las posibilidades son las cuatro siguientes:

2.16a) Aplicando el algoritmo de la división, todo entero siempre será de la forma

, tomando y por tanto

b) Es una aplicación directa del apartado anterior, pues absurdo.

absurdo.

2.17En primer lugar, vemos que , pues si entonces n es impar y el resto de divisores también son números impares, pero entonces también son impares, y es la suma de dos impares, luego par, llegando a contradicción.

Así pues, , y

En segundo lugar, , pues si que no es aceptable.

En tercer lugar, vemos que tiene que ser 4, pues , y como , necesariamente .

Y, finalmente, , y efectivamente, los divisores de 68 son:, y

2.18En primer lugar dividimos numerador entre denominador:

N2 +7 N+4-4N +7 N-4

23

Luego

Y por tanto nuestro problema se reduce a determinar las fracciones no irreducibles,

cuando 23 y tengan algún divisor común. Puesto que 23 es primo, esto solo pasará cuando sea múltiplo de 23.

La solución es 86.

3.1Serán los mismos puntos que en el extremo entre y y ya sabemos que son en total: .Concretamente:

3.2El problema equivale a demostrar que , y esto, por el TDB, es una consecuencia directa de encontrar una combinación lineal de ambas expresiones igual a 1:

3.3,

Luego Y también y por tanto .Así pues, . Y este valor se alcanza en algún n. Por ejemplo, para ,

y por tanto .

4.1Puesto que , y teniendo en cuenta que ,

primo implica que . El único primo de esta forma es el 7.

4.2

Aplicando la proposición anterior: divide a

divide a Y por tanto 7 divide a N.

Por otro lado,

divide a divide a

Y por tanto 271 divide a N.

Finalmente, puesto que , tendremos que dividirá a N.

4.3Primera versión.Está claro que para , que es primo.

Y si cada factor es mayor que 1, luego no puede ser primo.

Segunda versión.Está claro que para , que es primo.Aplicamos la identidad algebraica .En nuestro caso:

Puesto que , debemos suponer que

4.4Si , que es primo. Supongamos que .Está claro que si es par no será primo:

es un múltiplo de 16.

Supongamos que es impar.

Esta última igualdad está bien construida pues estamos suponiendo que n es par, luego es

entero.

Está claro que .(Faltaría demostrar que si ).

4.5Aplicamos el Binomio de Newton:

Luego ,

4.6 Teniendo en cuenta que 1993 es impar, basta agrupar por parejas:

…Por lo tanto, 1001 dividirá al total.

4.7De la igualdad deducimos que si n es impar, . En nuestro caso impar, luego:Luego , y , y por tanto7 dividirá a la suma de todos, tal y como queríamos ver.

4.8Supongamos que , es decir, . Entonces

Que es un número divisible entre 9, entre 11, entre la suma de los dígitos y entre la diferencia de los dígitos, luego la respuesta es (B).

5.1Aplicamos las propiedades básicas de los logaritmos.

Y ahora aplicamos el TFA:

Por hipótesis, Y por tanto: , , y , y finalmente: .

5.2.

Luego, aplicando el TFA, y , con .Pero entonces, restando las dos igualdades anteriores:

Y , de nuevo por el TFA, , y Con lo que llegamos , es decir, .

5.3

Tenemos y y es fácil ir comprobando, una a una, que cualquier otra combinación posible da como resultado una diferencia mayor. Por ejemplo:

y

5.4Buscamos el menor número tal que sea un cuadrado y sea un cubo perfecto, es decir:

, para cierto ciertos . Así pues, la descomposición factorial de y :

También . Así pues, la descomposición factorial de y :

Y, puesto que ,

Y por tanto . El número es el exponente más pequeño que sea múltiplo de 2 y de 3, luego, el candidato mínimo que cumpla las condiciones anteriores será cuando tomemos solamente el factor 3 y con su exponente más pequeño:

.Así pues, los números buscados son 242, 243 y 244.

5.5Primera versión.Queremos determinar números y tales que

Es decir:

Estudiemos todas las posibilidades:

Las soluciones marcadas con quedan descartadas por no cumplir las condiciones del enunciado, luego las soluciones del problema son cuatro:

Segunda versión.En primer lugar, acotamos los posibles valores de n:

La ecuación tiene soluciones , luego .

Si n es impar, , o , pues cualquier otro divisor impar de 2009 es mayor que , y se obtienen las sucesiones con 283, 28 y 16.

Si n es par, entonces es un divisor de 2009, y por tanto y , porque cualquier otra combinación daría un .

Fuente de la segunda versión: Solución oficial.

5.6, luego el mayor valor posible aparecerá multiplicando los dos

factores más grandes: Luego será tomando

5.7En primer lugar, aplicamos las propiedades fundamentales de los logaritmos:

En el último paso hemos aplicado el TFA, es decir, la unicidad de la factorización de todo entero.

Está claro que y , luego para que A y B sean coprimos es necesario que , y por tanto , y

5.8Por el TFA, puesto que , cinco números primos, el número de formas de escribir como producto de tres números será el número de formas que tenemos de repartir los números en tres grupos, sin repeticiones y sin importar el orden.

Puesto que uno de los tres elementos puede ser 1 (como mucho uno de ellos, pues suponemos que son distintos), también debemos considerar el caso que uno de los tres grupos esté vacío, por ejemplo , , .

Organizamos los casos en función del número de elementos de cada grupo:

i) (3,1,1) posibilidades.

ii) (0,1,4) posibilidades.

iii) (0,2,3) posibilidades.

iv) (1,2,2) 5 posibilidades para el primer grupo, y el número de posibilidades de repartir 4

elementos en dos grupos: posibilidades.

Luego, en total, hay posibilidades.

5.9Primera versión.

luego De todas las posibilidades que podemos plantear, si es entonces

será múltiplo de 2, lo cual es absurdo pues es impar (el producto de dos números consecutivos es par, y si le sumamos 1 será impar).

Veamos la opción , que es primo, y

Segunda versión.De se deduce que tiene que ser impar. Luego

es impar, luego en su factorización no puede tener ninguna potencia de 2.La única opción válida es que , y por tanto .

Tercera versión.(Utilizando congruencias, que se estudiarán en el Tema XX)De se deduce que , y por tanto , luego

Y, puesto que p es primo,

5.10

De donde deducimos que , y por tanto:

De donde deducimos que , y por tanto:

Y, finalmente,

5.11El polinomio se podrá expresar de la forma , con enteros.Sabemos que

Primera parte: son positivos.Nuestro problema se reduce a contar el número de combinaciones posibles de 4 elementos agrupados en tres cajas , teniendo en cuenta que alguna (pero no las tres a la vez) puede estar vacía (es decir, conteniendo el factor 1). Las cajas b y c son indistinguibles.a) 1 casob) : 4 casos.

c) : casos

d) : casos

e) : 4 casos.

f) :

g) : 1 casoh) : 4 casos.

i) : casos/2 =3

Total: 1+4+6+6+4+12+1+4+3 = 41 casos.

Segunda parte: con signo.Dos de estos números pueden ser negativos, no los tres, luego el signo multiplica por cuatro las posibilidades:

por ejemplo:

Excepto en el caso a) que solo tiene tres:

luego el total es polinomios diferentes.

5.12

Las soluciones serán enteras si y solo si es entero, es decir, si es un cuadrado perfecto.

Si es un cuadrado perfecto entonces .

Comprobemos estos posibles valores: no es un cuadrado. no es un cuadrado.

es un cuadrado, y las soluciones de la ecuación son 111 y -148.

5.13Observamos que todo número natural se puede escribir de forma única de la forma

, con impar y .Observamos también que si el número impar b es el mismo, digamos y ,Entonces

y en todo caso uno divide al otro.

Entre 1 y hay n números impares, por lo tanto, si asignamos a cada número de nuestro conjunto su valor impar asociado , al haber elementos en nuestro conjunto, aplicando el Principio del casillero, al menos dos elementos tendrán asociados el mismo impar, y por tanto, como hemos visto al principio, uno será divisor del otro.

6.1Si , está claro que los factores 3 y 6 están dentro de , luego .

Por lo tanto, solo nos tenemos que ocupar de Así pues, Y por tanto el residuo al dividirlo entre 9 es 0.

6.2Por ejemplo: , pero sin embargo,

6.3

, luego el residuo es 4.

, luego el residuo es 6.

6.4

6.5

Luego , luego acaba en 3

6.6

6.7Está claro que acaba en 9, luego:

Por otro lado, está claro también que

Por lo tanto,

Luego acaba en 7.

Nota: Este problema también se puede resolver sin congruencias, observando en qué dígito van acabando las potencias de :

Y para exponentes mayores entramos en un bucle.

6.8Primera versión.Estudiamos el dígito de las unidades de :

Vemos que se va repitiendo en grupos de 4: , y puesto que , acabará como , es decir en 3.

El mismo análisis hacemos para estudiar el dígito de las unidades de :

Vemos que se va repitiendo en grupos de 4: , y puesto que , acabará como , es decir en 9.

Finalmente, estudiemos el dígito de las unidades de :

Vemos que se va repitiendo en grupos de 4: , y puesto que , acabará como , es decir en 7.

El producto de un número acabado en 3, un número acabado en 9 y un número acabado en 7 es un número acabado en 9.

Segunda versión.Vamos a aprovechar el hecho de que toda potencia de un número acabado en 1 acaba siempre en 1. En nuestro caso, cualquier potencia de acaba en 1, y cualquier potencia de

acaba en 1. Luego:

Que claramente acabará en 9.

Fuente de esta versión: The Contest Problem Book V 198S-1988, pág. 62

6.9Para : Para :

Para :

Observación: Sin embargo, para cambia la pauta:

6.10Si n es impar, entonces , y por tanto

o es par, luego es par, y por tanto es un múltiplo de 8. Luego .

6.11

La tabla de congruencias módulo 6 es suficientemente pequeña para enunciar todas las combinaciones posibles:

, y por tanto: Y cumpliendo la condición , tenemos:

En total, posibilidades.

6.12Primera versión.Vemos el comportamiento de para los primeros valores de n:Antes de nada, observamos que

Y, a partir de este valor, se van repitiendo la pauta:

Y siempre llegamos al mismo resultado: .

Segunda versión.Partimos de la igualdad , luego , y por tanto:

6.13Primera versión.Vamos a calcular directamente, mediante el método de las potencias de dos:

Finalmente,

Segunda versión.Aplicando el Binomio de Newton:

Aplicado a nuestro caso, y teniendo en cuenta que es impar, y por tanto ,

Y por tanto:

En particular, para Luego solo nos queda calcular este último residuo:

Fuente de la segunda versión: The Contest Problem Book V 1983-1988 (George Berzsenyi, 1997).

Tercera versión.Aplicando el Teorema de Euler (que se introducirá en el Tema 11)

, y si .

En nuestro caso , y por tanto:

Fuente de esta versión: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1983_AIME_Problems/Problem_6

6.14

Y observamos que si es múltiplo de 1000, y por tanto , luego

Y por tanto:

Y, finalmente,

6.15Calculamos directamente los primeros valores de :

, , , , ,

Analizando cómo se obtiene llegamos a la conclusión de que

Que es el típico comportamiento de una función exponencial. Mirando los primeros valores vemos que un buen candidato puede ser .Lo vamos a demostrar por inducción:Para es cierto.Suponiendo que , entonces

.Luego es cierto para todo n.

, y queremos determinar .Calculamos con el “Método de las potencias de 2”:

Luego

Finalmente: , y el residuo pedido es 74.

6.16Queremos determinar . Estudiemos los residuos :

En general: genera un ciclo , y en particular, para todo múltiplo de 4, .

En particular, en nuestro caso:

k es un múltiplo de 4, y por tanto .También vemos que 2008 es múltiplo de 4, luego .Por otro lado, Y por tanto Finalmente, , y el dígito de las unidades es 6.

Fuente de la solución: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2008_AMC_12A_Problems/Problem_15

7.1Está claro que .

De aquí deducimos que debe ser entero, luego tiene que ser un cuadrado perfecto.

es un cuadrado perfecto es un cuadrado perfecto.

Para cada valor obtenemos un valor , y un valor

La condición se convierte en

Luego son 3 los posibles valores aceptables. Aunque no es necesario para la resolución del problema, las soluciones son:

A partir de este valor se contradice la hipótesis :

7.2Las condiciones del enunciado se corresponden con el siguiente sistema de ecuaciones diofánticas:

cumpliendo, además: , ,

Simplificamos la tercera ecuación:

y la sustituimos en las otras dos ecuaciones:

Multiplicamos la segunda ecuación por 7 y le restamos la primera:

Luego

Puesto que , la única posibilidad es que , y por tanto , y

7.3

Supongamos en primer lugar, que a y b no son primos entre sí. Entonces es un divisor de , y por tanto la única posibilidad es que . Luego:

7 es divisor de x, y puesto que es también divisor de a, será también divisor de y. Luego:

La única posibilidad es absurdo.

Luego a y b son primos entre sí.

. Luego , es positivo, par y es un cuadrado perfecto.

Veamos todas las posibilidades:a)

no es un cuadrado.

b)

, sí es un cuadrado.

En este caso: En efecto,

c)

no es un cuadrado.

Luego las soluciones son , .

Fuente de esta solución: Solución oficial de la OME.

7.4Puesto que los únicos factores de 23 son 23 y 1, tenemos:

Supongamos que . Entonces el sistema queda:

Las soluciones son: y . Efectivamente, las comprobamos:

El caso no se puede dar puesto que y son positivos, y por tanto y

Sin tener en cuenta este hecho, y intentando resolver el sistema, hubiéramos llegado a soluciones negativas, y por tanto no válidas:

El número de soluciones es 2.

7.5

La clave está en la segunda ecuación: que es un número primo, luego solo puede ocurrir uno de los tres casos siguientes:a)

Pero entonces , lo cual es imposible.b)

Pero entonces , lo cual es imposible.c)

Tenemos el sistema

La primera ecuación permite los siguientes valores de : , ocho casos diferentes.

La segunda ecuación permite los siguientes valores de :, doce casos diferentes.

Luego el total de casos es .

7.6Primera versión.Vamos a resolver la ecuación diofántica Sean y . La ecuación anterior es equivalente a

Sea . Puesto que a y b son cuadrados, serán positivos, y también lo será c.

De todas las soluciones posibles (tomando combinaciones de ), la única que genera como soluciones dos cuadrados es:

Y por tanto .

Segunda versión. La ecuación original se puede escribir como .Observamos que, puesto que y es un entero y es positivo, debe ser también positivo. Luego , y por tanto

. El único cuadrado perfecto de esta última lista es 49, luego , y por tanto .

Fuente de la segunda versión: The Contest Problem Book V (George Berzsenyi)

7.7

Completando cuadrados:

Hay cuatro posibilidades:

7.8Realizamos la sustitución La ecuación se ha transformado en

Forzosamente uno de los tres factores deben ser 2.

Y en efecto,

Las otras opciones no son aceptables: no es primo.

no es primo.

La única solución es .

7.91. Caso 1.1 Si , la ecuación queda

, y completando cuadrados:, y 79 es primo, luego:

no cumplen las hipótesis.

1.2 Si , la ecuación queda , y completando cuadrados:

no cumple

Luego no hay solución posible con .

2. Caso :El sistema queda de la siguiente forma: 2.1 Supongamos que . Entonces Completamos cuadrados:

Las soluciones que aparecen son: ,

, ,

2.2 Supongamos que . Entonces

Completando cuadrados:

Las soluciones que aparecen son: , ,

,

En total 12 soluciones posibles.

7.10

(1) Las dos soluciones son aceptables.

(2) La solución no es aceptable pues entonces el exponente no es par.

(3) luego es aceptable.

Luego la ecuación tiene cuatro soluciones:

7.11Primera versión.En primer lugar, vemos que al menos uno de estos tres números tiene que ser 1. Supongamos, por el contrario, que . Entonces podemos escribir

con . Pero entonces:

Lo cual es imposible pues

Así pues, podemos suponer que, por ejemplo, . Entonces la ecuación queda de la forma:

Y los casos posibles son:

Así pues, la única solución es la terna y todas sus permutaciones, pues las incógnitas de la ecuación del enunciado son perfectamente intercambiables.

Segunda versión.

Veamos los casos posibles:

, y esta solución no es aceptable, pues no es entera., y esta solución no es aceptable, pues no es entera.

Y un último caso: , que ya se consideró en la primera versión.

Tercera versión.Supongamos que los tres son iguales. Entonces la ecuación queda de la forma

, y entonces:

pero , por lo tanto los tres números son son iguales. Los ordenamos: , y al no ser iguales, .Ahora volvemos a la ecuación del enunciado:

Solo hay dos posibilidades:

.Pero esta solución no es aceptable pues no se satisface la ecuación original:

La única solución es y todas sus permutaciones.

Fuente de las versiones 2 y 3: “Teoría de Números. Entrenamiento de Hidalgo para la Olimpiada Mexicana de Matemáticas” pág. 23.

7.12Si , la ecuación no tiene solución por el TFA.Si , la ecuación tiene solución .Supongamos que .

y puesto que , Pero n es par Así pues, Para que sea una potencia de 2 es necesario que ambos factores sean una potencia de dos:

con Pero entonces, sumando las dos igualdades llegamos a Si , entonces , pero está claro que . Así pues, la menor potencia tiene que ser 2, es decir, La ecuación queda .Así pues, las dos únicas soluciones son y .

Fuente de la solución: “Teoría de números: Divisibilidad y Congruencias (Entrenamiento de Hidalgo para la Olimpiada Mexicana de Matemáticas)”, pág. 25

8.1Sabemos que existirá solución pues .

Claramente una solución de esta última ecuación es , luego será una solución particular de la ecuación del enunciado.En general, las soluciones serán de la forma , con

8.2Sean y la cantidad de manzanas y naranjas compradas, respectivamente.Sean y el precio de cada manzana y de cada naranja, respectivamente, en céntimos.

Tenemos las siguientes condiciones:

Luego

Esta última ecuación diofántica tiene solución pues , y .

Una solución particular de esta ecuación es , pero no satisface la condición . El resto de soluciones son de la forma

Las soluciones posibles son 4 naranjas a 9 céntimos, (con 8 manzanas a 12 céntimos) o 12 manzanas a 11 céntimos (y sin ninguna naranja)

8.3Aplicamos el algoritmo de Euclides:

, y , luego la ecuación tiene solución.

Deshacemos los pasos del algoritmo de Euclides:

Y multiplicando ambos lados por 3 obtenemos la solución deseada:

El conjunto general de soluciones serán todas las parejas de la forma:

8.4Calculamos el mediante el algoritmo de Euclides:

, y , luego la ecuación tiene solución.

Deshaciendo los pasos del algoritmo de Euclides:

Multiplicando por 123 tenemos luego una solución concreta es , y el conjunto de soluciones es

8.5,

8.6La sucesión será de la forma para un cierto ángulo inicial a, y sabemos que los ángulos internos de un hexágono suman , así pues:

Esta última ecuación diofántica tendrá solución pues .Una solución es , , con lo que el conjunto de soluciones será de la forma:

, con

Tenemos, además, la restricción , luego

El valor máximo se toma con .

8.7Primera versión.Sea n dicho número.

Esta ecuación diofántica tiene por solución , o equivalentemente,

Añadimos una condición más:

Esta ecuación diofántica tiene por solución:

Añadimos una condición más:

Esta ecuación diofántica tiene por solución:

Con este resultado ya podemos buscar candidatos, y vemos que con ya cumple todas las condiciones del enunciado.

Segunda versión.Sea n el número buscado. Este número se puede escribir como

Pero entonces:

, es decir:

De nuevo, comprobamos que, con , cumple todas las condiciones exigidas.

9.1, y , luego la ecuación anterior tendrá 3 soluciones diferentes.

Encontramos la primera solución por tanteo: , pues .

Luego el resto de soluciones serán:

, efectivamente:

, efectivamente:

9.2, luego la congruencia lineal anterior tendrá una única solución módulo 10.

Aunque no sea la más elegante, una manera de resolverla es ir probando números del 1 al 9:, , ,

, , ,, , .

Luego la solución es .

9.3Observamos que , luego . El inverso de 9 módulo 82 es .

9.4 Primera versión: Mediante el método de las potencias de dos.Vamos calculando :

Observamos que para todo .

Por otro lado,

Segunda versión: Mediante el Teorema Chino del Residuo.

Nos queda el siguiente sistema de congruencias que resolveremos mediante el Teorema Chino del Residuo:

Y por tanto: , tal como queríamos ver.

9.5Primera versión.

Vemos la pauta:

En hay 1996 sumandos: 998 pares y 998 impares, luego, tabajando módulo 1000, tenemos:

Haciendo esta última multiplicación (no hace falta hacerla entera) vemos que acaba en 500.

Segunda versión.Ante todo vemos que

Por un lado calculamos el sumatorio módulo 125:Si , luego el sumatorio es cero.

Por otro lado, calculamos el sumatorio módulo 8:

Observamos que Luego si es par, y si k es impar, luego

Ahora aplicamos el Teorema Chino del Residuo:

10.1a) Aplicando PTF, b) 4 , c) 9

10.2

Aplicando el PTF, , luego

El residuo es 3.

10.3Por el PTF, .

, luego

Finalmente:

10.4El número a no puede ser múltiplo de 5, pues en ese caso . Luego podemos aplicar el PTF para garantizar que , y por tanto:

De la misma manera, a no puede ser múltiplo de 7, y de nuevo aplicamos el PTF para garantizar que , y por tanto:

Luego:

pues ya que

10.5Sabemos que para todo k (se demuestra fácilmente por inducción sobre k)Observamos que la secuencia parece dar siempre residuo 4 módulo 7:

Veamos que, en general, si . En efecto:Por el PTF, luego

Luego para todo n, en particular, para .

10.6Queremos ver

Aplicamos tres veces el PTF:

Y ahora:

10.7Vemos que y por tanto podemos aplicar el PTF:

En donde hemos aplicado que

Finalmente,

10.8Primera versión.Aplicando el PTF a nuestro caso:

Por otro lado:

Por el PTF, , luego

Está claro que

El primer número que cumple y es 144, y el siguiente es 176.

Enseguida (????) vemos que 176 es ya demasiado grande, por lo tanto la solución debe ser .

Segunda versión.

Pero por otro lado, , y por tanto:

Así pues, , y por lo tanto el número n buscado acaba en 4.

Observamos que son números muy próximos a múltiplos de 27:

Como antes, sabemos que , y sabemos que acaba en 4, luego los candidatos son 134, 144, 154, 164…

Está claro que nos vamos a quedar cortos.

Probando (y utilizado mucho, pero mucho cálculo !!!!) con :

, que se aproxima bastante a 4393.

Puesto que estamos trabajando con potencias quintas, que crecen de forma muy rápida, está claro que el siguiente candidato ya no será muy próximo al valor buscado, por lo que podemos asegurar que es la solución del problema.

Nota: El enunciado lleva implícito que este número existe. Ninguna de las dos soluciones demuestra que , son buenos argumentos que justifican que es un buen candidato para este resultado.

Fuente de esta solución: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1989_AIME_Problems/Problem_9

10.9

Pero, aplicando el PTF, sabemos que para todo , luego

De los cuatro candidatos posibles, los tres primeros son satisfactorios:

(en donde seguimos aplicando PTF : )Pero el cuarto primo no es satisfactorio: Luego las soluciones son tres: .

11.1

Si , , y por lo tanto, trivialmente para .Si , , y por lo tanto, trivialmente para todo , luego no se cumple la condición del enunciado.Supongamos que .Aplicando el Teorema de Euler, sabemos que si , es decir, si es impar, entonces

, y por tanto basta tomar , que sabemos cumplirá .

Si , es decir, si es par, no existirá ningún j tal que , pues entonces:

Y por tanto sería solución para la congruencia , pero ya vimos en en el Tema 9 que no tiene solución.Tomando , es imposible, pues .Luego se cumple para todos los impares, es decir, para 500 números.

11.2Estudiar los ocho últimos dígitos de la expansión binaria de es equivalente a determinar (en binario)

,

Puesto que , podemos aplicar el Teorema de Euler para garantizar que .

Por otro lado,

Calcularemos con el “método de las potencias de dos”:

Por lo anterior:

Y la expresión binaria de 217 es "11011001"

11.3Queremos determinar , donde n se ha definido recursivamente:

Por un lado, .

Por otro lado,

, luego, aplicando el Teorema de Euler, para cualquier

número , con , se cumple .

Observamos que

es múltiplo de 4, pues seguro que ,

Y por tanto para cierto k, luego

Finalmente aplicamos el Teorema Chino del Residuo:

Así pues, la solución al problema es "008".

Fuente de la solución: Olympiad Number Theory Through Challenging Problems (Justin Stevens, 3E) pág.49

11.4Queremos calcular , donde se ha definido recursivamente: .

Los calcularemos por separado.

Primera parte: para todo k par, y puesto que

es par, está claro que .

Segunda parte:

es claramente impar, luego

, y por tanto:

, pues Resolvemos el sistema mediante el Teorema Chino del Residuo:

Tercera parte:

Y por tanto

Resolvemos el sistema mediante el Teorema Chino del Residuo:

Cuarta parte:

, luego:

Vamos a calcular esta última potencia por el "método de las potencias de dos":

Así pues, .Como antes, aplicamos el Teorema Chino del Residuo para determinar

Y finalmente,

Fuente de la solución: Olympiad Number Theory Through Challenging Problems (Justin Stevens, 3E) pág.50

13.1 Calculando a mano los primeros términos de esta suma observamos su pauta:

Si es par, es múltiple de 3.En efecto: si n es par.

Por lo tanto:

Y también vemos que si es par, , luego

es decir, van por parejas: un valor y su doble.

Añadimos el sumando correspondiente a 1001 para tener 501 parejas completas:

Aplicamos la fórmula de la serie geométrica:

Finalmente:

A este resultado le debemos restar el último valor que hemos contado de más:

Por lo tanto, el resultado es

Nota:

13.2La potencia más alta de 7 que divide a viene dada por:

, , , y si

Luego

La potencia de 7 más alta que divide a viene dada por:

, , y si

Luego

Finalmente, teniendo en cuenta que

la potencia más alta de 7 que dividirá será , luego 7 no es un divisor.

13.3

En el denominador aparecen todos los primos menores de 100 al menos una vez, luego necesitamos el número primo menor que 100 que aparezca al menos dos veces en el

numerador, es decir, de forma que

El mayor número primo menor que 66 es 61, y , y , y solo uno de estos dos factores 61 se anulará con el 61 del denominador.La solución es 61.

Fuentes.

# Título Página1.1 Elementary Number Theory Notes (David A. Santos, 2004) 231.2 Elementary Number Theory Notes (David A. Santos, 2004) 231.3 Elementary Number Theory Notes (David A. Santos, 2004) 242.5 Problem-Solving and Selected Topics in Number (Theory Michael Th.Rassias) 2422.8 Elementary Number Theory, Revised Printing (David M.Burton, 1980) 232.17 Problem-Solving and Selected Topics in Number Theory (Michael Th. Rassias) 1533.2 Elementary Number Theory Notes (David A. Santos, January 2004) 665.2 Problem-Solving and Selected Topics in Number (Theory Michael Th.Rassias) 2445.13 Teoría de Números. Entrenamiento de Hidalgo para la OMM. 246.1 Elementary Number Theory, Revised Printing (David M.Burton, 1980) 756.2 Elementary Number Theory, Revised Printing (David M.Burton, 1980) 766.3 Elementary Number Theory, Revised Printing (David M.Burton, 1980) 766.4 Number Theory: Concepts and problems (Andreescu, Dospinescu, Mushkarov, 2017) 66.5 Number Theory: Concepts and problems (Andreescu, Dospinescu, Mushkarov, 2017) 66.8 Elementary Number Theory, Revised Printing (David M.Burton, 1980) 1009.2 Olympiad Number Theory Through Challenging Problems (Justin Stevens, 3E) 487.11 Teoría de Números. Entrenamiento de Hidalgo para la OMM. 237.12 Teoría de Números. Entrenamiento de Hidalgo para la OMM. 2510.5 Elementary Number Theory Notes (David A. Santos, 2004) 14211.1 Olympiad Number Theory Through Challenging Problems (Justin Stevens, 3E) 4611.3 Olympiad Number Theory Through Challenging Problems (Justin Stevens, 3E) 4911.4 Olympiad Number Theory Through Challenging Problems (Justin Stevens, 3E) 4911.2 Problem-Solving Strategies With 223 Figures (Arthur Engel, 1998) 13413.1 Olympiad Number Theory Through Challenging Problems (Justin Stevens, 3E) 46

Apéndice

El "problem-solving", tal y como yo lo entiendo.

La resolución de poblemas, el llamado "problem-solving" es la experiencia más apasionante de las matemáticas. Los "ejercicios", tan repetitivos propios de los libros de texto, pasan ahora a ser "problemas", y cada problema es una aventura única, es un enemigo desconocido al que el estudiante es llamado a enfrentarse con valentía. La resolución de problemas no es muy importante ni poco importante, es lo único importante en matemáticas. Pero el problem-solving no es para pusilánimes. Dejemos algunas cosas claras:

1. El problem-solving requiere tiempo: Cada problema exige tiempo para pensarlo, tiempo para resolverlo, y en la mayoría de las veces, tiempo, mucho tiempo para estudiar detenidamente la solución propuesta cuando hemos fracasado en su resolución. Solo así se aprende, día tras día, semana tras semana, año tras año. Solo después de muchos fracasos llegan los primeros éxitos.Todos los problemas de los libros de "Toomates Cool·lección" se ofrecen siempre con las soluciones totalmente desarrolladas, pero no mires nunca la solución, no te rindas, hasta haber dedicado al problema todo el tiempo necesario... y un poco más.

2. La frustración es inevitable, pero la impotencia que uno siente al fracasar intentando resolver problemas demasiado difíciles puede llegar a quemar al estudiante de matemáticas, por ello es fundamental seleccionar problemas de dificultad adecuada.

Todos los problemas de los libros de "Toomates Cool·lección" se presentan siempre indicando su dificultad: MF: Muy fácil, F: Fácil, M: Dificultad media, D: Difícil, MD: Muy difícil.

Aunque hay que dejar claro que el grado de dificultad de un problema es algo muy subjetivo: Aquello que alguien puede considerar difícil puede ser muy fácil para otro.

3. Todo juego exige unas reglas, reglas que deben estar claras. Es muy frustrante (aunque muy enriquecedor) enfrentarse durante horas a un problema para finalmente descubrir que se están utilizando técnicas o conceptos que uno desconoce. La sensación de haber perdido el tiempo miserablemente puede ser muy desoladora. Las técnicas y conceptos teóricos que se utilizan en la resolución de los problemas deben estar claros.

Los libros de problemas de "Toomates Cool·lección" se acompañan con los "libros de teoría" en donde se recopilan de una forma ordenada todos los contenidos teóricos utilizados en las resolución de los problemas.

4. La resolución de problemas supone en el estudiante un nivel importante de iniciativa y autonomía. Los libros de "Toomates Cool·lección" son un recurso más que el estudiante tiene a su disposición en su biblioteca personal, biblioteca que deberá enriquecer con la adquisición de infinidad de otros recursos encontrados en Internet, y muchos libros, gratuitos y comprados, digitales y en papel.

5. El problem-solving requiere la máxima concentración. Cuando nos enfrentamos a un problema, ¡el cerebro encendido y el móvil apagado!

Las competiciones AMC, un excelente sendero hacia las IMO detrás de un mar de siglas.

AMC "American Mathematics Competitions"Es el programa de competiciones matemáticas organizado por la MAA (Mathematical Association of America) para la selección del equipo que representará a USA en la IMO. Organiza el sistema de pruebas selectivas AMC10/12, AIME y USAMO.

El sistema escolar USA consta de 12 cursos ("grades") divididos en 3 niveles, que corresponden a las siguientes edades: Elementary school (Preschool: 4-5, Kindergarten: 5-6, 1st Grade: 6-7, 2nd Grade: 7-8, 3rd Grade: 8-9, 4th Grade: 9-10, 5th Grade: 10-11), Middle school (6th Grade: 11-12, 7th Grade: 12-13, 8th Grade: 13-14), High school (9th Grade "Freshman":14-15, 10th Grade "Sophomore": 15-16, 11th Grade "Junior": 16-17, 12th Grade "Senior": 17-18)

AHSME "American High School Mathematics Examination" (1949-2000)Es la antigua competición matemática para los grados 9 a 12. A partir del año 2000 desaparece al bifurcarse en AMC10 (Grado 10) y AMC12 (Grado 12).Consta de 30 preguntas "tipo test" con 5 posibles respuestas, para resolver en 90 minutos.Los estudiantes que alcanzan los 100 puntos o más de los 150 posibles obtienen el "AHSME Honor Roll", y son invitados a participar en la AIME (American Invitational Mathematics Examination). Se suelen clasificar unos 4000 estudiantes anualmente.Para alcanzar estos 100 puntos, los estudiantes deben contestar correctamente aproximadamente la mitad de las 30 preguntas y dejar en blanco el resto, pues las respuestas equivocadas conllevan severas penalizaciones.Las calculadoras se permiten a partir de 1994, aunque no son necesarias.

AMC8 "American Mathematics Competition Grade 8"Prueba de 25 preguntas "tipo test" en 40 minutos, para estudiantes de Grado 8 (13-14 años, el 2º ESO en España).Cubre (aunque no está limitado a ellos) los temas propios del currículum de la "Middle School": Combinatoria, probabilidad, estimación, razonamiento de proporcionalidad, geometría elemental incluyendo teorema de Pitágoras, visión espacial, aplicaciones en la vida cotidiana, lectura e interpretación de gráficos y tablas.Además, en las últimas preguntas pueden aparecer funciones y ecuaciones lineales y cuadráticas, geometria cartesiana y algunos elementos de álgebra básica.

AMC10/12 "American Mathematics Competition Grades 10 & 12"Prueba de 25 preguntas "tipo test" en 75 minutos.La AMC10 está pensada para estudiantes hasta el grado 10 (el 4º de ESO en España), y 17.5 años de edad como máximo, y cubre el currículum hasta dicho grado.La AMC12 está pensada para estudiantes hasta el grado 12 (el 2º de Bachillerato en España), y cubre todo el currículum de la "high school", incluyendo trigonometría, álgebra avanzada, geometría avanzada, pero excluyendo el calculus.

Existen dos versiones de dichas pruebas: A y B, con la misma estructura y el mismo nivel de dificultad. Las preguntas son diferentes porque se presentan en fechas diferentes. Los estudiantes se pueden presentar a ambas pruebas.

AIME "American Invitational Mathematics Examination"Prueba de 15 preguntas en 3 horas. Las respuestas son siempre números positivos de tres dígitos. Son convocados los mejores estudiantes en AMC10 y/o AMC12. Su primera edición fue en el año 1983.

USAMO y USAJMO "USA Mathematical Olympiad y USA Junior Mathematical Olympiad"Prueba de 6 preguntas en dos días, 9 horas de duración. A la USAMO son convocados los mejores estudiantes en AMC12 y AIME (alrededor del 5% superior). A la USAJMO son convocados los mejores estudiantes en AMC10 y AIME (alrededor del 2.5% superior). Solo pueden presentarse estudiantes americanos y estudiantes en escuelas americanas o en Canadá.Los 6 estudiantes con mejores puntuaciones en el combinado AMC10/12, AIME y USAMO forman el equipo que representa a USA en la Annual International Mathematical Olympiad (IMO)

IMO "International Mathematical Olympiad"Es una competición anual para estudiantes preuniversitarios y es la más antigua de las Olimpiadas Internacionales de Ciencias.1 La primera IMO se celebró en Rumania en 1959. Desde entonces se ha celebrado cada año. Cerca de cien países de todo el mundo envían equipos de un máximo de seis estudiantes junto con un líder de equipo, un tutor - o colíder - y observadores. La competición consta de dos cuestionarios con tres problemas cada uno. Cada pregunta da una puntuación máxima de 7 puntos, con una puntuación máxima total de 42 puntos. La prueba se desarrolla en dos días, en cada uno de los cuales el concursante dispone de cuatro horas y media para resolver tres problemas. Estos se escogen entre varias áreas de la matemática vista en secundaria, los cuales pueden clasificarse grosso modo en geometría, teoría de números, álgebra y combinatoria. No se requieren conocimientos de matemáticas superiores y de las soluciones se espera que sean cortas y elegantes. Encontrarlas requiere, sin embargo, ingenio excepcional y habilidad matemática.

Otras siglas de interés:

MOP "Mathematical Olympiad Summer Program"Programa de entrenamiento para el equipo IMO de los Estados Unidos.