[C-3] Parcial Nº2 2015-2
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7/24/2019 [C-3] Parcial Nº2 2015-2
http://slidepdf.com/reader/full/c-3-parcial-no2-2015-2 1/2
Universidad de Talca . C´ alculo III. Plan com´ un (2015-2) Prueba N o 2
Apellido paterno: Apellido materno: Nombre:
Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Total Nota
Instrucciones: • NO HAY CONSULTAS. Las respuestas sin desarrollo o sin justificaci on, no dan puntaje.
• Conteste en forma ordenada, una pregunta por hoja y justifique adecuadamente cada respuesta.
• Debe realizar su prueba en su respectiva seccion, de lo contrario sera calificado con nota mınima.
• Queda prohibido el uso de calculadoras, formulario y celulares.
Nota = 1+Puntos
10. Duracion = 60 minutos
1) [20 ptos.] Calcular el volumen del solido acotado por las curvas z = 0, z = x2 + y2, e interiora x2 + y2 = 16 y exterior a x2 + y2 = 9
2) [20 ptos.] Sea I =
1/2
0
y−y
(x2 + y2) dxdy +
1
1/2
2−3y
−y
(x2 + y2) dxdy
Calcular la integral usando cambio de variable
u = x + y v = x − y
3) [20 ptos.] Expresar sin calcular el volumen limitado por
x2 + y2 + z 2 = 4
yx2 + y2 + (z −
√ 2)2 = 2
usando coordenadas:
a) Cilındricas
b) Esfericas
7/24/2019 [C-3] Parcial Nº2 2015-2
http://slidepdf.com/reader/full/c-3-parcial-no2-2015-2 2/2
Pauta
1) V = 4
π/2
0
4
3
r2r d r d θ
10 pts
= 4
π/2
0
r4
4
4
3
dθ =
π/2
0
(256− 81) dθ
5 pts
= 175π
2 5 pts
2) Grafico de la region R y R∗
5 pts
x = −y ⇒ u = 0, x = y ⇒ v = 0x =
u + v
2 , y =
u− v
2 , x = 2− 3y ⇒ v = 2u− 2
J = 1 1 11 −1
= −1
2
5 pts
Por lo que la nueva integral queda:
I = 1
0
0
2u−2
12
(u2 + v2)−1
2
dv du
5 pts
= 524
5 pts
3) a) Cilındricas
2π
0
√ 20
√ 4−r2
√ 2−
√ 2−r2
r dz dr dθ 8 pts
b) Esfericas
2π
0
π/4
0
2
0
ρ2 sin φd r d φd θ +
2π
0
π/2
π/4
2√
2 cosφ
0
ρ2 sin φd r d φd θ 6+6 pts