SEGUNDO SEMESTRE

Definición:

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de

x de una función continua pasa de un tipo de concavidad

a otro. La curva "atraviesa" la tangente.

Cuando la segunda derivada de la función f en el punto

de inflexión es cero, o no existe.

Gráfico de y = x3 con un

punto de inflexión en el

punto (0,0).

Criterio de la segunda derivada Se calcula f´(x) y la f´´(x)

Se determinan todos los puntos críticos de f en que f´(x) = 0

Se calcula la f´´(c) para cada uno de estos puntos críticos c.

Si f´´ (c) < 0 entonces f tiene un máximo relativo en c

Si f´´(c) > 0 entonces f tiene un mínimo relativo en c

Si f´´ (c) = 0, el criterio falla; es decir, no es concluyente.

Determinar los extremos relativos de la función: f (x)= x3 – 3x2 – 24x + 32

Mediante el criterio de la segunda derivada. Se tiene: que f´(x)= 3x2 – 6x – 24 3(x+2)(x – 4 )

De modo que f ´(x)= 0 significa que x= - 2 y x= 4, son los puntos críticos de f :

f´ (x) = 6x – 6 = 6(x-1) Dado que (-2)= 6(– 2 – 1 )= –18 < 0 El criterio de la segunda derivada indica que f(- 2 ) = 60 es un

máximo relativo de f . Además, (4)= 6(4 – 1)= 18 > 0

Indica que (4)= - 48 es un mínimo relativo de f.

COMPARACIÓN DE LOS CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Hay que hacer notar que ambos criterios se utilizan para clasificar los puntos críticos de 𝑓.

El criterio de la segunda derivada solo se aplica cuando 𝑓´´ existe.

No permite obtener conclusiones cuando 𝑓´´ es igual a cero en un punto crítico de 𝑓.

La segunda derivada 𝑓´´ de una función f para determinar las propiedades de la grafica de 𝑓.

La primera derivada 𝑓´ índica los intervalos donde 𝑓 es creciente y donde es decreciente.

La segunda derivada 𝑓´´ indica donde 𝑓 es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo

Signos de 𝑓´ y 𝑓´´ Propiedades de la grafica de 𝑓

Forma general de la grafica de 𝑓

𝑓´ (x)> 0 f aumenta

𝑓´´(x)> 0 f cóncava hacia arriba

𝑓´ (x)> 0 f aumenta

𝑓´´ (x)< 0 f cóncava hacia abajo

𝑓´ (x)< 0 f disminuye

𝑓´´ (x)> 0 f cóncava hacia arriba

𝑓´ (x)< 0 f disminuye

𝑓´´(x)< 0 f cóncava hacia abajo