CALCULO MECANICO DE VANOS DESNIVELADOS UNMSM.pdf
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CALCULO MECANICO DE VANOS DESNIVELADOS
En la mayoría de los casos, las líneas de transmisión recorren por terrenos ondulados
o accidentados; por tanto, los vanos que forman parte de estas líneas, son también
desnivelados y en ocasiones de gran longitud.
A continuación se expone el cálculo mecánico de estos vanos partiendo de la
ecuación de la catenaria:
…(1)
VANO VIRTUAL
FIG. 1
La longitud L del arco comprendido entre los puntos I y D, en función de la abscisa XI delpunto I y de la distancia horizontal entre I y D es:
∫
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…(2) De otro lado, el desnivel entre los puntos I y D es:
En vista que:
I Dxa x
Entonces:
…(3) La Tensión en un punto cualquiera de la curva de abscisa x, es:
…(4)
Sumando y restando miembro a miembro las ecuaciones 2 y 3 para relacionar la longitud yel desnivel, se tiene:
[ ] [ ] [ ] [ ]
Teniendo en cuenta las relaciones hiperbólicas siguientes:
[ ]
[ ]
Y sustituyendo estos valores en las expresiones correspondientes a L+h y L-h, se obtiene:
…(5)
…(6)
Multiplicando miembro a miembro las igualdades 5 y 6, se obtiene:
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De otro lado:
22h Lh Lh L , y
2
2
22
c
a
c
a
c
a
c
a
eeee
Por tanto:
Por tanto
…(7)
donde:
= Longitud del conductor en un vano sin desniveles = Desnivel
Geométricamente, se puede representar de la siguiente forma:
Las fórmulas aproximadas, considerando la curva de la parábola son:
DETERMINACION DE XI Y XD
Conocida la tensión To y el parámetro C, la posición de la catenaria queda determinadacalculando la abscisa XI del punto I. Entonces, a partir de la ecuación 3, se tiene:
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Desarrollando el primer término del segundo miembro, se tiene: …(8)
De donde:
…(9)
Haciendo:
La ecuación 9 se convierte en:
…(10)
Para resolver la ecuación, se hace:
…(11)
Aplicando las propiedades de la trigonometría a las funciones hiperbólicas, se tiene:
√ √
Sustituyendo valores y haciendo operaciones:
√
√ √
Dividiendo los términos de la ecuación 10 por 22
A B , se tiene:
√ √ √
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Esta última ecuación es equivalente a:
√ …(12)
El primer miembro de la ecuación 12 es el desarrollo de la expresión:
; Por lo tanto:
√
Sustituyendo estos valores en la ecuación 12, se tiene:
…(13)
Despejando :
Según la ecuación 11:
Sustituyendo este valor de en la ecuación precedente, se tiene:
De donde:
Despejando :
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…(14)
Por tanto: D I
x a x
En consecuencia, las tensiones en los puntos de apoyo serán:
En el extremo izquierdo: …(15)
En el extremo derecho: …(16)
DETERMINACION DE LAS FLECHAS
El cálculo de la abscisa (figura 1) del apoyo izquierdo determinará si el punto más bajo dela catenaria será real o virtual, ya que podrá ocupar cualquier de las tres posicionessiguientes respecto a los apoyos del vano:
ABSCISA DELAPOYO
INFERIOR FIGURA POSICION DEL PUNTOMAS BAJO POSICION DELPUNTO MAS BAJO
Negativa 2 Entre apoyo I y D Real
Nula 3 Coincidente con apoyoinferior
Real
Positiva 4 Fuera del vano ID Virtual
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VANO VIRTUAL VANO VIRTUAL
FIG. 2 FIG. 3
FIG. 4
La flecha se define como la distancia máxima vertical entre la recta que une los puntos deapoyo del vano y el conductor. En la figura 5, la flecha es la distancia Mm.El cálculo de la flecha se hace aplicando la expresión siguiente:
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En un vano nivelado se tiene:
…(17)
VANO VIRTUAL
FIG. 5
Con la denominación utilizada en las figuras 2; 3; 4 y 5, se convierte en:
…(18)
Siendo a’, el vano virtual de longitud igual al doble de la distancia horizontal entre el apoyoderecho y el punto más bajo de la catenaria.
Como
oT
C w
, la ecuación 18 se podrá escribir de la siguiente forma:
…………………………….. (19) Para calcular la flecha Mm (fig. 5): a ’=2 Por tanto la ecuación, (19) se convierte en:
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Es decir:
……… (19A)
Las coordenadas del punto m se determinan a partir de la figura 5:
=+ ……………………… (20)
= - …………… (21)
Luego, la abscisa valdrá
…(22)
Y la ordenada será:
…(23)
Las ordenadas de los puntos D el de la figura 5 serán:
Por tanto, la ordenada del punto M de la recta ID será:
…(24)
Desarrollando la suma incluida entre corchetes, se tiene que:
[ ] Es decir:
…(25)
Y teniendo en cuenta las ecuaciones 20 y 21, se tiene:
[ ]
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Es decir:
…(26)
La flecha de la figura 5 será, entonces:
…(27)
La fórmula aproximada tomando en cuenta la curva de la parábola es la siguiente:
() ANGULOS DE SALIDA DEL CONDUCTOR CON RESPECTO A LA HORIZONTAL
De acuerdo con la figura 1, se tiene:
; luego
…(28)
De manera similar:
…(29)
DETERMINACION DE LA SAETA (figura 1)
Si , el valor de la saeta está determinada por: pero como , ;es decir,
…(30)
Si …(31)
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