Cálculo tensorial e elementos de geometriadiferencial para relatividade.

Túlio Levi-Civita

René Decartes

Imagine um sistema de coordenadas cartesiano.

Vamos representar um vetor V neste sistema.

Agora, imagine um sistema de coordenadas não ortogonal.

Neste novo sistema de coordenadas vamos descrever o mesmo vetor V.

Num sistema de coordenadas não ortogonal é possivel descrever umvetor V por dois modos.

Por produto escalar com a base.Ou por projeção do vetor V na base.

Descrever o vetor V por produto escalar com a base não ortogonalé simbólicamente representado pela expressão:

ii eVa

Vamos descrever o vetor V por projeção paralela! i

ieaV

Obs: índices repetidos serão somados.

ieV

A forma por não depende nunca da escolha do sistema dereferência escolhido pois V e o versor ei são formas simbólicas.

é a forma covariante.ii eVa

iieaNa forma por projeção paralela os valores de ai

na expressão dependem do versor ei .

é a forma contravariante.iieaV

Descrever as leis da física na forma covariante significa emfazê-la independer do referencial escolhido que é a essência do primeiropostulado da relatividade restrita.

ii eVa

A forma contravariante se presta para algebrizar as quantidades físicas em estudo entretanto covariante ou contravariante são formas equivalentes de se representar um vetor num sistema de coordenadas não ortogonal genérico, p. ex.:

Vamos realizar o produto escalar do vetor , i.é. na formacontravariante por ele mesmo.

iieaV

jji

i a)ee(aVV

)ee(g jiji,

jij,i aagVV

e aproveitamos fazendo

Se o vetor V for uma quantidade infinitésima na forma ds:

Reescrevemos o produto escalar:

jij,i dxdxgds 2

Obs: índices repetidos serão somados.

Esta é a forma mais geral de se representar a distânciaentre dois pontos.

Contravariante

Covariante e contravariante

Coordenadas covariantes.

Ortogonal covariante econtravariante