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MATEMATICAS 1

INDICE1RA UNIDAD CLASIFICACION DE LOS NUMEROS

1.1 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS1.2 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES1.3 DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS1.4 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES1.5 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS REALES1.6 OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS1.7 REPRESENTACION POLAR DE LOS COMPLEJOS

2DA UNIDAD FUNCIONES

2.1 DEFINICION DE FUNCIONES2.2 REPRESENTACION DE FUNCIONES2.3 CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES: POR SU NATURALEZA Y SUS PROPIEDADES2.4 OPERACIONES CON FUNCIONES Y COMPOSICION DE FUNCIONES2.5 TRASLACION DE FUNCIONES

3RA UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD

3.1 DEFINICION DE LÍMITE3.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES3.3 LIMITES LATERALES3.4 ASINTOTAS (VERTICLES, HORIZONTALES U OBLICUAS)3.5 LIMITES ESPECIALES3.6 DEFINICION DE CONTINUIDAD3.7 PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD

4TA UNIDAD DERIVADAS

4.1 DEFINICION DE DERIVADA4.2 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA4.3 DERIVADAS POR DEFINICION Y POR FORMULARIO4.4 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES IMPLICITAS4.5 DERIVADAS SUCESIVAS4.6 DERIVADAS PARCIALES

1RA UNIDAD CLASIFICACION DE LOS NUMEROS

1.1 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES

1.2 PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES

TIPOS DE NUMEROS

Los números naturales son: 1, 2, 3,...., 10, 11,...., 102, 103,..... Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.

Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ..., -11, - 10,......, -2, -1, 0, 1, 2,...., 10, 11,..... Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Z.

Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:

Fracciones propias: Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3)

Fracciones impropias: Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2)

Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal

Números decimales exactos: Número finito de decimales: 1,234

Números decimales periódicos puros: Número infinito de decimales tales que la parte decimal se repite: 1,234234234..... = 1, 234

Números decimales periódicos mixtos: Número infinito de decimales tales que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 4

Los números racionales incluyen los números enteros y los fraccionarios. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q.

Los números irracionales son aquellos que no son racionales: , 2 , 1’01001.... (Números decimales no periódicos).

1.3 DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS

Desigualdades de primer grado con una incógnitaLas desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales.Es decir, se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad.Como veremos en los ejemplos, es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante, pues cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de menor que cambia a menor que y viceversa.

EJEMPLO

Comenzaremos con las de primer grado con una incógnita.1) 3x – 5 ≥ 5x + 15Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 53x ≥ 5x + 20Restamos 5x en ambos lados3x – 5x ≥ 5x + 20 – 5x-2x ≥ 20Multiplicamos ambos lados por -1/2 *-1/2(-2x) ≤ -1/2(20)x ≤ -10* La dirección de la desigualdad cambia al multiplicar por un número negativo.El resultado es el intervalo (-∞ , -10]

Desigualdades de segundo grado con una incógnitaLas desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales.De acuerdo a las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si la resolveremos por fórmula general, por factorización, ó despejando.Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por números negativos en la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raíz cuadrada. Este efecto lo explicaremos en los ejemplos.El resultado lo representaremos en notación de intervalos y con representación sobre la recta numérica.

EJEMPLO

Desigualdades de cuadráticas con una incógnita.3) x2 > 3x + 4Primero expresamos la desigualdad como una ecuación y resolvemos.x2 = 3x + 4

Restamos (3x + 4) a los dos lados para que uno de los lados quede con valor cero.x2 – (3x + 4) = 3x + 4 – (3x + 4)x2 – 3x – 4 = 0Como obtuvimos un trinomio cuadrado, lo podemos resolver por fórmula general o por factorización. En este caso utilizaremos la factorización.(x + 1)(x – 4) = 0Separamos cada uno de los factores y los solucionamosPrimer factorx + 1 = 0x1 = -1Segundo factorx – 4 = 0x2 = 4Evaluamos un elemento de cada intervalo para identificar cuales hacen verdadera a la desigualdadDel intervalo (-∞, -1) evaluaremos el -2(-2)2 > 3(-2) + 44 > -2 VERDADERODel intervalo (-1, 4) evaluaremos el 002 > 3(0) + 40 > 4 FALSODel intervalo (4, ∞) evaluaremos el 552 > 3(5) + 425 > 19 VERDADEROLa solución de la desigualdad es entonces: (-&infin , -1) U (4 , ∞)

1.4 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica. El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo.Para cualquier número, si: Entonces | x | = x y siX ‹ 0 entonces | x | = -xLas propiedades fundamentales del valor absoluto son:No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.| x | = 0 x = 0Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.| xy| = | x | | y |Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.| x + y| = | x | + | y |En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.| - x | = x

1.5 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS REALES

DefiniciónNúmero real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALESNúmero Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos.

)Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el

cero. .

Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma , donde m y n son enteros .

Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.

Representación geométricaSe pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real. Definición de igualdad y sus propiedadesEl signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando ambas son los nombres o descripciones del mismo objeto.

Significa que a y b son dos nombres del mismo objeto. Naturalmente , significa a no es igual a b. Si dos expresiones algebraicas con una o más variables se unen mediante el signo igual, la forma así obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica.

PROPIEDADES DE LA IGUALDADSi a, b y c son nombres de objetos, tenemos:

Propiedad reflexiva:

Propiedad simétrica: Si , entonces:

Propiedad transitiva: Si y , entonces:

Principio de sustitución: Si , cualquiera de las dos puede reemplazar a la otra en una proposición, sin alterar la verdad o falsedad de dicha proposición.

1.6 OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

Suma y diferencia de números complejosLa suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i (5 + 2 i) + (− 8 + 3 i) − (4 − 2i) =

(5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i−7 + 7i

Multiplicación de números complejosEl producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i (5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

10 − 15i + 4i − 6 i210 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejosEl cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

cociente

división

1.7 REPRESENTACION POLAR DE LOS COMPLEJOS

Un número complejo queda perfectamente determinado si conocemos su módulo r y su argumento θ r = |z|, θ = arg z

La representación en forma polar del número complejo es z = (r) θ.

Ejemplo

Forma polar. Determina la forma polar de los siguientesNúmeros complejosz1 =1+ i, z2 = i, z3 = −0.234 + 1.231iExpresa el argumento en radianes.• Para z1 =1+ i, obtenemosr1 = √2, θ1 = arctan 1 = π/4 rad,Por lo tantoz1 =³√2´π/4 rad.• Para z2 = i esr2 = 1, θ2 = π/2 rad,Por lo tantoz2 = (1) π/2 rad.• Finalmente, para z3 = −0.234 + 1.231i obtenemosr3 = 1.2530, θ1 = arctan1.231−0.234 + π = 1. 7586 rad,Por lo tantoz1 = (1.2530)1. 7586 rad.

2DA UNIDAD FUNCIONES

2.1 DEFINICION DE FUNCION

En 1755 Leonard Euler definió a la función de la siguiente manera "Si algunas cantidades dependen de otras cantidades de tal manera que si las ultimas cambian las primeras también cambian, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las ultimas”. Esta definición de Euler nos quiso decir que una función es la relación que existe entre dos conjuntos cualesquiera, donde uno es totalmente dependiente del otro.

En una función donde tenemos un dominio que son todos los valores que puede tomar la variable independiente determinado por "x”, y un rango o recorrido que son los valores que toma la variable dependiente determinado por "y" formando de esta manera la gráfica o imagen de la función. Las funciones tienen notación que nos indica de manera directa a la variable independiente "x" y la variable dependiente como una letra manuscrita (por lo general se utiliza f) y con la variable independiente entre paréntesis quedando de la siguiente manera f(x) . Al querer evaluar la función , sustituiremos la variable independiente "x" por un valor que pertenezca al dominio "a" el cual lo indicaremos dentro de los paréntesis f(a), y la variable independiente tendrá ese valor en cada lugar donde aparezca "x" en la expresión original.

2.2 REPRESENTACION DE FUNCIONES

2.3 CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES: POR SU NATURALEZA Y SUS PROPIEDADES

FUNCION POLINOMIAL

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).Formalmente, es una función:

donde es un polinomio definido para todo número real ; es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales, de la forma:1

FUNCION RACIONAL

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios.

Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales. En estas páginas sobre funciones racionales vamos a considerar solamente funciones racionales cuyo denominador es un polinomio de grado mayor que 0.Las funciones racionales pueden tener características que las diferencian de las funciones polinómicas y que vamos a revisar en estas páginas:- Singularidades: En algunos casos, algunos valores de x son problemáticos. Esto es debido a que las funciones racionales hay un denominador que puede ser 0 y no podemos dividir entre 0. Esos valores de x que hacen 0 el denominador juegan un papel especial. Como no podemos calcular el valor de la función en esos valores decimos que la función no está definida para esos valores de x.También decimos que esos puntos no pertenecen al dominio de la función. El dominio de una función racional está determinado por las restricciones impuestas por el denominador: dividir entre 0 es imposible.El dominio es el conjunto de los números reales para los que la función está definida. En el caso de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales que no son ceros del denominador. Por lo tanto, para determinar el dominio de una función racional tenemos que encontrar los ceros reales del denominador.A estos puntos se les llama singularidades y es interesante ver cómo se comporta la función cerca de esos puntos.- Puntos de corte con el eje de abscisas: Se trata de encontrar los valores de x que hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abscisas. Son los valores de x para los que f(x)=0.- Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su dominio puede no ser todos los números reales).

- Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x positivo o negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta (horizontal u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota horizontal u oblicua (según los casos). En todos los casos el comportamiento de una función racional "en el infinito" está determinado por una función polinómica.

FUNCION RAIZ

La función raíz cuadrada se encuentra vinculada a la Teoría lineal de las olas, esta teoría indica que la raíz cuadrada del producto de la profundidad del agua por aceleración de la gravedad es la celeridad o velocidad de la onda que se acerca a la costa en aguas poco profundas.

Esta misma fórmula se utiliza para determinar la velocidad de los tsunamis y permite conocer el tiempo que demorará en azotar a una costa en particular.El estudio de las condiciones del oleaje reviste gran importancia por su aplicación en las plataformas marinas, petroleras, los rompeolas entre otros.Actualmente, investigadores de los equipos multidisciplinarios donde intervienen especialistas en matemáticas, continúan perfeccionando esta relación para los distintos tipos de ondas que se pueden encontrar, para lograr mayor precisión en los análisis que realizan.

FUNCION INVERSA

Sea f una función con dominio Xf y contra dominio Yf . Si existe una función g con dominio Xg y contradominio Yg tal que: i. f(g(x)) = x para toda x ∈ Xg ii. g(f(x)) = x para toda x ∈ Xf entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra. f −1 denota la función inversa de f .EJEMPLOFunción inversa de la función:y = 2 x + 7Por definición de función inversa, para cada x le corresponde un y y viceversa.La función «directa» es: y = 2 x + 1.La función inversa «deshace» la transformación, es decir, le damos y y ésta nos devuelve xEn otras palabras, la variable dependiente de la función «directa» viene siendo la variable independiente de la función inversaY la variable dependiente de la función «directa» juega el papel de la variable independienteen la función inversa.Así que vamos a despejar x en términos de y.y = 2 x + 7y − 7 = 2 x y – 7/ 2 = xEsta expresión puede verse como una función: nosotros le damos el valor de y y ésta nosDevuelve el valor de x.Ahora cambiamos las variables para que se trate de la función inversa:

f −1 (x) = x – 7/ 2Con esto hemos terminado.

FUNCION IMPLICITA

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

EJEMPLO

El término se puede considerar que son dos funciones, y por lo que se derivará como un producto:

El término se deriva como:

El término se deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

El término se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando:

Factorizando respecto a ( ) los valores son:

Finalmente despejando se obtiene la derivada de la función implícita:

FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE

· Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ).Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).· Una función es decreciente en un intervalo [a, b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) yf(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e). · Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) yf(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

FUNCION PARES E IMPARES

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar.

Ejemplo

La función y(x)=x es impar ya que:

f(-x) = -x

pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

Ejemplo

Otra función impar es y = 1/x

Cuando f(x) = -f(-x)

2.4 OPERACIONES CON FUNCIONES Y COMPOSICION DE FUNCIONES

Suma de funcionesSean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funcionesDel mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Producto de funcionesSean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

Cociente de funcionesDadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Producto de un número por una funciónDado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

2.5 TRASLACION DE FUNCIONES

Se puede referir a lo que sigue de f(x) la translación horizontal es: f(x+c) o f(x-c)y la translación vertical es:f(x)+c donde c es una constante

TRASLACION:

Es sumar o restar una c a la función o sea f(x) una función para trasladar la función hacemos f(x+c) o f(x-c) con c igual a una constante

3RA UNIDAD LÍMITES Y CONTUINIDAD

3.1 DEFINICION DE LÍMITE

Es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

3.2 PROPIEDADES DE LÍMITE

3.3 LIMITES LATERALES

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

x ® a- significa que x tiende a “a” tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

x ® a+ significa que x tiende a “a” tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

3.4 ASINTOTAS (VERTICLES, HORIZONTALES U OBLICUAS)

Se le llama asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente.

O que ambas presentan un comportamiento asintótico. Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintótico.

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).

Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.

En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.

Se distinguen tres tipos:

Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = constante.

Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = constante.

Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.

3.5 LIMITES ESPECIALES

Los limites especiales son: lim x-->0 senx/x=1

La razón es que cuando el Angulo x es muy pequeño el seno tiende a ser igual a ese ángulo seria como la división de 2 números muy pequeños pero a medida que más pequeños sean, tienden a ser iguales

lim x-->0 (1-cosx)/x =0

A medida que el ángulo es muy pequeño el coseno tiende a ser igual a 1 sería la división de 0 sobre un número muy pequeño.

3.6 DEFINICION DE CONTINUIDAD

Diremos que una función f es continua en un punto x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1- EXISTE F(a)2- Lim x→a =8 f(x)3- F(a)= lim f(x) x→a

3.7 PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD

Si b es un número real y f, g son continuas en x = c, entonces:

1) bf es continua en c (múltiplo escalar)

2) f ± g es continua en x = c (suma o diferencia)

3) fg es continua en x = c (producto)

4) f/ges continua en x = c si g(c) ≠ 0 (cociente)

4TA UNIDAD DERIVADAS

4.1 DEFINICION DE DREIVADA

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división representada por la

relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto ,

por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.

4.2 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

4.3 DERIVADAS POR DEFINICION Y POR FORMULARIO

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como , también se puede expresar así:

Derivada del logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

4.4 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES IMPLICITAS

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas implícitas EJEMPLO:

4.5 DERIVADAS SUCESIVAS

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y así sucesivamente.Ejemplo

Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:

4.6 DERIVADAS PARCIALES

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable. Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

Si , las primeras derivadas parciales de respecto de x e y son las

funciones definidas como

Siempre que el límite existe.EJEMPLODemostrar que z_{xy} = z_{yx} siendo f(x,y) = x^2-2xy+3y^2f_x = 2x-2y f_{xy} = -2 f_{y} = -2x+6y f_{yx} = -2 f_{xy} = f_{yx} Son iguales.