Capítulo 4 - Deformación (Mecánica)

Deformación en mecánica continua es la transformación de un cuerpo de una configuración de referencia a una configuración corriente. Una configuración es un set que contiene las posiciones de todas las partículas del cuerpo. Contrary a la definición común de deformación, que implica distorsión o cambio de forma, la definición de la mecánica continua incluye movimientos de cuerpo rígido donde cambios de forma no ocurren (nota 4, p. 48).

La causa de una deformación no está pertinente a la definición del término. Sin embargo, se puede suponer que la deformación es causada por cargas externas, fuerzas de cuerpo (como la gravedad o fuerzas electromagnéticas), o cambios de temperatura dentro del cuerpo.

Strain es una descripción de deformación en términos de desplazamiento relativo de partículas en el cuerpo.

Se puede hacer elecciones equivalentes diferentes para la expresión de un campo de strain depending on whether it is defined in the initial or in the ultima ubicación and on whether the metric tensor or its dual is considered.

En un cuerpo continuo, un campo de deformación resulta de un campo de tensión inducido por fuerzas aplicadas o es debido a cambios en el campo de temperatura dentro del cuerpo. La relación entre tensiones y tensiones inducidas es expresada por ecuaciones constitutivas, por ejemplo, la ley de Hooke para materiales elásticos lineales. Deformaciones que son recuperadas después del campo de tensión ha sido quitado se llaman deformaciones elásticas. En este caso, el continuo recupera su configuración original completamente. De otro lado, deformaciones irreversibles se quedan mismo después tensiones ha sido quitado. Un tipo de deformación irreversible es deformación plástica, que ocurre en cuerpos materiales después de las tensiones ha conseguido un cierto valor de umbral conocido como el limite elástico o tensión de yield, y son el resultado de slip, o mecanismos de dislocación al nivel atómico. Otro tipo de deformación irreversible es deformación viscosa, que es la parte irreversible de la deformación visco elástica.

En el caso de deformaciones elásticas, la función de response conectando tensión a la tensión deformante es el tensor de compliance del material.

StrainUna strain es una medida normalizada de deformación que representa el desplazamiento entre partículas en el cuerpo relativo a la longitud de referencia.

Una deformación general de un cuerpo se puede expresar en la

forma: donde X es la posición de referencia de puntos de material en el cuerpo. Una tal medida no distingue entre movimientos de cuerpo rígido (translaciones y rotaciones) y cambios de forma (y tamaño) del cuerpo. Una deformación tiene unidades de longitud.

Podríamos, por ejemplo, define strain como:

Por lo tanto, strains son sin dimensiones y normalmente se expresan como una fracción decimal, un porcentaje o en parts-per notación. Strains meden cuanto una deformación dada es distinta localmente de una deformación de cuerpo rígido.

Un strain es, en general, una cantidad tensor. Llegamos a comprender strains bien por observar que un strain dado puede ser descompuesto en componentes normales y de corte. La cantidad de stretch o compresión a la longitud de un elemento material lineal o fibras es el strain normal, y la cantidad de distorsión asociado con the sliding of plane layers over each other es el strain de corte, dentro de un deforming body. Este podría ser aplicado por elongación, shortening, o cambios de volumen o distorsión angular.

El estado de strain a un punto de material de un cuerpo continuo es definido como la totalidad de todos los cambios en la longitud de material lineal o fibras, el strain normal, que pasa a través ese punto y también la totalidad de todos los cambios en el ángulo entre pares de líneas al principio perpendicular una a otra, el strain de corte, radiating de este punto. Sin embargo, es suficiente saber los componentes normales y de corte de strain en un set de tres direcciones mutualmente perpendicular.

Si hay un aumento de longitud de la línea de material, el strain normal se llama strain de tracción, de lo contrario, si hay una reducción o compresión en la longitud de la línea de material, se llama compressive strain.

Medidas de Strain

Depending on la cantidad de strain, o deformación local, el análisis de deformación está subdividido en tres teorías de deformación:

• Teoría de strain finita (también llamado teoría de strain grande, teoría de deformación grande), trata de deformaciones en cual ambos rotaciones y strains son arbitrariamente grande. En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del continuo son significantemente diferentes y se tiene que hacer una distinción clara entre ellos. Comúnmente, este es el caso con elastómeros, materiales que deforman plásticamente y otros fluidos y tissue suave biológico.

• Teoría de strain infinitesimal (también llamado teoría de strain pequeño, teoría de deformación pequeño, teoría de desplazamiento pequeño, o teoría de gradiente de desplazamiento pequeña) donde strains y rotaciones son ambos pequeños. En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del cuerpo se pueden suponer idénticos. La teoría de strain infinitesimal es usada en el análisis de deformaciones de materiales que muestran comportamiento elástico, como materiales encontrados en aplicaciones de ingeniería mecánica y civil, por ejemplo, concretos y acero.

• Teoría de desplazamiento grande o teoría de rotación grande, que supone strains pequeños pero rotaciones grandes y desplazamientos.

En cada una de estas teorías el strain es definido diferentemente. El strain de engineering es la definición más común aplicada a materiales usado en ingeniería mecánica y estructural, cuales se somete a deformaciones muy pequeños. De otro lado, para algunos materiales, por ejemplo, elastómeros y polímeros, se somete a deformaciones grandes, la definición engineering de strain no es aplicable, por ejemplo engineering strains típicas más grande que 1%, así otras definiciones de strain más complejas se necesita, como stretch, logarithmic strain, strain de Green, y strain de Almansi.

Engineering strainEl strain de Cauchy o strain de engineering se expresa como la proporción de deformación total a la dimensión inicial del cuerpo

material en cual las fuerzas se aplican. El e de engineering normal strain o engineering extensional strain o nominal strain de un elemento material lineal o fiber axially loaded se expresa como el cambio de longitud ΔL por unidad de la longitud original L del elemento lineal o fibras. El strain normal es positivo si las fibras materiales están estiradas o negativas si están comprimidos. Así, tenemos:

donde e es el engineering normal strain, L es la longitud original de

la fibra y ℓ es la última longitud de la fibra.

El engineering shear strain se define como el cambio del ángulo entre dos elementos materiales lineales al principio perpendicular a un a otro en la configuración no deformada o inicial.

Stretch ratioLa proporción de stretch o proporción de extensión es una medida del extensional o normal strain de un elemento diferencial lineal, que se puede definir o a la configuración no deformada o a la configuración deformada. Se define como la proporción entre la última longitud ℓ y la longitud inicial L de la material lineal.

La proporción de extensión se relaciona al strain de engineering por:

Esta ecuación implica que el strain normal es cero, para que no haya deformación cuando el stretch está igual a la unidad.

La proporción de extensión es usada en el análisis de materiales que muestran deformaciones grandes, como elastómeros, que pueden tolerar proporciones de stretch de 3 o 4 antes de fallar. De otro lado, materiales de ingeniería tradicionales, como el concreto o acero, fallar a proporciones de stretch mucho más bajos.

Strain Verdadero

El strain logarítmico ε, también llamado strain natural, strain verdadero o strain de Hencky. Teniendo en cuenta un strain incremental (Ludwik)

el strain logarítmico se obtiene por integrar este strain incremental:

donde e es el strain de engineering. El strain logarítmico da la medida correcta del último strain cuando deformación ocurre en un serie de incrementos, tomando en cuenta la influencia strain path.

Strain de Green El strain de Green es definido como:

Strain de AlmansiEl strain de Euler-Almansi es definido como:

Strain Normal

Deformación geométrico de dos dimensiones de un elemento de material infinitesimal

Como con las tensiones, strains también se pueden clasificar como 'strain normal' y 'strain de corte' (es decir, actuando perpendicular a la cara o a lo largo de la cara de un elemento, respectivamente). Para un material isotrópico que obedece la ley de Hooke, una tensión normal causará un strain normal. Strains normales producen dilaciones.

Consider a two-dimensional infinitesimal rectangular material element with dimensions , which after deformation, takes the form of a rhombus. From the geometry of the adjacent figure we have

and

For very small displacement gradients the squares of the derivatives are negligible and we have

The normal strain in the -direction of the rectangular element is defined by

Similarly, the normal strain in the -direction, and -direction, becomes

Shear strain

Shear strainSI symbol: γ or ϵSI unit: 1, or radianDerivations from other quantities: γ = τ / G

The engineering shear strain is defined as (γxy) is the change in angle between lines and . Therefore,

From the geometry of the figure, we have

For small displacement gradients we have

For small rotations, i.e. and are we have . Therefore,

thus

By interchanging and and and , it can be shown thatSimilarly, for the - and - planes, we have

The tensorial shear strain components of the infinitesimal strain tensor can then be expressed using the engineering strain definition, , as

Tensor MétricoUn campo de strain asociado con un desplazamiento es definido, a cualquier punto, por el cambia de longitud de los vectores tangentes que representan las velocidades de curvas arbitrariamente parametrizada que pasan a través de ese punto.

Un resultado geométrico básico, debido a Fréchet, von Neumann y Jordan, declara que, si las longitudes de los vectores tangentes cumplen los axiomas de un norm y la ley del paralelogramo, entonces la longitud de un vector es la square root del valor de la forma cuadrática asociado, por la fórmula de polarización, con un definite bilinear map positivo llamado el tensor métrico.

Descripción de la deformaciónDeformación es el cambio en las propiedades métricas de un cuerpo continuo, que significa que una curva drawn en la ubicación de cuerpo inicial cambia su longitud cuando desplazado a una curva en la ubicación última. Si ninguna de las curvas cambia sus longitudes, es dicho que un desplazamiento de cuerpo rígido ocurrió.

Es conveniente identificar una configuración de referencia o estado geométrico inicial del cuerpo continuo de que todas las configuraciones posteriores se refieren. La configuración de referencia no necesita ser una que el cuerpo de verdad ocupará. Muchas veces, la configuración a t = 0 es considerado la configuración de referencia, κ0(B). La configuración al tiempo corriente es la configuración corriente.

Para análisis de deformación, la configuración de referencia es identificada como configuración no deformada y la configuración corriente como configuración deformada. También, el tiempo no está considerado mientras analizar deformación, así la secuencia de configuraciones entre las configuraciones no deformadas y deformadas no son de interés.

Los componentes Xi del vector de posición X de una partícula en la configuración de referencia, con respecto al sistema de coordinadas de referencia, se llaman el material o coordinadas de referencia. De

otro lado, los componentes Xi del vector de posición X de una partícula en la configuración deformado, con respecto al sistema de coordinadas dereferencia espacial, se llaman las coordinadas espaciales.

Hay dos métodos para analizar la deformación de un continuo. Una descripción es hecho en términos del material o coordinadas referenciales, llamado descripción material o descripción Lagrangian. Una segunda descripción de deformación es hecho en términos de las

coordinadas espaciales llamado la descripción espacial o descripción Eulerian.

Hay continuidad durante la deformación de un cuerpo continuo en el sentido que:

• Los puntos de material que forman una curva cerrado a cualquier

instante siempre formarán una curva cerrado a cualquier tiempo posterior.• Los puntos de material que forman un superficie cerrado a

cualquier instante siempre formarán un superficie cerrado a cualquier tiempo posterior y la materia dentro del superficie cerrado

siempre se quedará dentro.

Deformación AffineUna deformación se llama una deformación affine, si se define por una transformación affine. Una tal transformación es compuesta de una transformación lineal (como rotación, de corte, extensión y compresión) y una translación de cuerpo rígido. Deformaciones affines también se llaman deformaciones homogéneas.

Por lo tanto una deformación affine tiene la forma:

donde x es la posición de un punto en la configuración deformado, X es la posición en una configuración de referencia, t es un parámetro como tiempo, F es el transformer lineal y c es la translación. En forma de matriz, donde los componentes están con respecto a un base orthonormal,

Capítulo 10 - Bending

Bending of an I-beam

In engineering mechanics, bending (also known as flexure) characterizes the behavior of a slender structural element subjected to an external load applied perpendicularly to a longitudinal axis of the element. The structural element is assumed to be such that at least one of its dimensions is a small fraction, typically 1/10 or less, of the other two. When the length is considerably longer than the width and the thickness, the element is called a beam. A closet rod sagging under the weight of clothes on clothes hangers is an example of a beam experiencing bending. On the other hand, a shell is a structure of any geometric form where the length and the width are of the same order of magnitude but the thickness of the structure (known as the 'wall') is considerably smaller. A large diameter, but thinwalled, short tube supported at its ends and loaded laterally is an example of a shell experiencing bending.

In the absence of a qualifier, the term bending is ambiguous because bending can occur locally in all objects. To make the usage of the term more precise, engineers refer to the bending of rods, the bending of beams, the bending of plates, the bending of shells and so on.

Quasistatic bending of beamsA beam deforms and stresses develop inside it when a transverse load is applied on it. In the quasistatic case, the amount of bending deflection and the stresses that develop are assumed not to change over time. In a horizontal beam supported at the ends and loaded downwards in the middle, the material at the over-side of the beam is compressed while the material at the underside is stretched. There are two forms of internal stresses caused by lateral loads:

• Shear stress parallel to the lateral loading plus complementary

shear stress on planes perpendicular to the load direction;• Direct compressive stress in the upper region of the beam,

and direct tensile stress in the lower region of the beam.

These last two forces form a couple or moment as they are equal in magnitude and opposite in direction. This bending moment resists the

sagging deformation characteristic of a beam experiencing bending. The stress distribution in a beam can be predicted quite accurately even when some simplifying assumptions are used.

Euler-Bernoulli bending theory

Element of a bent beam: the fibers form concentric arcs, the top fibers are compressed and bottom fibers stretched.

Bending moments in a beam

In the Euler-Bernoulli theory of slender beams, a major assumption is that 'plane sections remain plane'. In other words, any deformation due to shear across the section is not accounted for (no shear deformation). Also, this linear distribution is only applicable if the maximum stress is less than the yield stress of the material. For stresses that exceed yield, refer to article plastic bending. At yield, the maximum stress experienced in thesection (at the furthest points from the neutral axis of the beam) is defined as the flexural strength.

The Euler-Bernoulli equation for the quasistatic bending of slender, isotropic, homogeneous beams of constant cross-section under an applied transverse load q(x) is

EQUATIONSwhere E is the Young's modulus, I is the area moment of inertia of the cross-section, and w(x) is the deflection of the neutral axis of the beam.After a solution for the displacement of the beam has been obtained, the bending moment (M) and shear force (Q) in the beam can be calculated using the relations

EQUATIONSSimple beam bending is often analyzed with the Euler-Bernoulli beam equation. The conditions for using simple bending theory are:

1. The beam is subject to pure bending. This means that the shear

force is zero, and that no torsional or axial loads are present.2. The material is isotropic and homogeneous.3. The material obeys Hooke's law (it is linearly elastic and will

not deform plastically).4. The beam is initially straight with a cross section that is

constant throughout the beam length.5. The beam has an axis of symmetry in the plane of bending.6. The proportions of the beam are such that it would fail by

bending rather than by crushing, wrinkling or sideways buckling.7. Cross-sections of the beam remain plane during bending.

Deflection of a beam deflected symmetrically and principle of superposition

Compressive and tensile forces develop in the direction of the beam axis under bending loads. These forces induce stresses on the beam. The maximum compressive stress is found at the uppermost edge of the beam while the maximum tensile stress is located at the lower edge of the beam. Since the stresses between these two opposing maxima vary linearly, there therefore exists a point on the linear path between them where there is nobending stress. The locus of these points is the neutral axis. Because of this area with no stress and the adjacent areas with low stress, using uniform cross section beams in bending is not a particularly efficient means of supporting a load as it does not use the full capacity of the beam until it is on the brink of collapse. Wide-flange beams (Ibeams) and truss girders effectively address this inefficiency as they minimize the amount of material in this under-stressed region.

The classic formula for determining the bending stress in a beam under simple bending is:

EQUATIONS

where• σ is the bending stress• M - the moment about the neutral axis• y - the perpendicular distance to the neutral axis• Ix - the second moment of area about the neutral axis x

Extensions of Euler-Bernoulli beam bending theoryPlastic bending

My The equation σ = --

Iz is valid only when the stress at the extreme fiber (i.e.

the portion of the beam farthest from the neutral axis) is below the yield stress of the material from which it is constructed. At higher loadings the stress distribution becomes non-linear, and ductile materials will eventually enter a plastic hinge state where the magnitude of the stress is equal to the yield stress everywhere in the beam, with a discontinuity at theneutral axis where the stress changes from tensile to compressive. This plastic hinge state is typically used as a limit state in the design of steel structures.

Complex or asymmetrical bendingThe equation above is only valid if the cross-section is symmetrical. For homogeneous beams with asymmetrical sections, the axial stress in the beam is given by where y, z are the coordinates of a point on the cross section at which the stress is to be determined as shown to the right, My and Mz are the bending moments about the y and z centroid axes, Iy and Iz are the second moments of area (distinct from moments of inertia)about the y and z axes, and Iyz is the product of moments of area. Using this equation it is possible to calculate the bending stress at any point on the beam cross section regardless of moment orientation or cross-sectional shape. Note that My, Mz, Iy, Iz, Iyz do not change from one point to another on the cross section.