1

Capítulo 6

FLEXION COMPUESTA

En general, si existe flexión biaxial y compresión sobre un elemento estructural,entonces:

mymxcmáx ffff

x

y

xm

ym

z

P

Donde:

máxf = Tensión máx de compresión

cf Tensión de compresión producida por la carga P

mxf Tensión de compresión por flexión según el eje x

myf Tensión de compresión por flexión según el eje y

Luego:

máx

my

máx

mx

máx

c

f

f

f

f

f

f = 1

Para el diseño, máxf no puede ser superior a la tensión admisible para cada caso,luego:

2

(1)my

my

mx

mx

c

c

F

f

F

f

F

f ≤ 1 Válida cuando

c

c

F

f≤ 0,15

Cuandoc

c

F

f> 0,15 , los esfuerzos de flexión adicionales producidos por la curvatura de la

columna *P pueden contribuir en forma importante a los esfuerzoscombinados, por lo tanto, es necesario considerar esta situaciónmediante un "factor de amplificación "A" de " mxf " y " myf ".

Factor de amplificación "A"

Si existe carga lateral "Q", la elástica puede representarse por medio delas siguientes series armónicas deducidas por S. Timoshenko.

a) Carga transversal Q únicamente:

..............

22

2

1244

3

xsen

Csen

xsen

Csen

EI

Qyo

b) Carga transversal (Q) y compresión (P)

..............

22

22

1

1

12224

3

xsen

Csen

a

xsen

Csen

aEI

Qy

donde:2

2

EI

Pa

Timoshenko demostró que el error es pequeño si se desprecian los términossuperiores al 1º. Esto permite establecer la siguiente relación:

ay

y

o

1

1

Pero: 02

22

2

2

2

222

2

22

2

2

2

F

f

E

f

E

f

rE

f

rE

f

ArE

P

EI

Pa ccccc

Donde : Fo = Tensión crítica de Pandeo

3Luego: 0

0

*1

1y

F

fy

c

Luego, para los efectos de diseño se utiliza el siguiente factor de amplificación " A ":

mc

C

F

fA

0

1

1

Entonces , para los ejes " x " e " y " , tenemos :

mx

x

cx C

F

fA

0

1

1

my

y

c

y C

F

fA

0

1

1

Donde:

mC = Factor de corrección a la amplificación normal, que se utiliza paracompensar las variaciones en la distribución del momento flexionante a lolargo del miembro.

0,4 ≤ mC ≤ 1 y;

2

2

0)( xx

xK

EF

y2

2

0)( yy

yK

EF

(Esfuerzo de pandeo de Euler según los ejes x e y

respectivamente)

Por lo tanto, sic

c

F

f> 0,15 , entonces la ecuación (1) es:

(2)my

myy

mx

mxx

c

c

F

fA

F

fA

F

f

≤ 1 Válida para el tramo

y

(3)my

my

mx

mx

f

c

F

f

F

f

F

f

6,0≤ 1

4

Que es válida para el apoyo arriostrado y para :c

c

F

f 0,15

Valores de Cm:

a) Para elementos comprimidos en marcos con desplazamiento lateral; con y sincarga transversal entre sus apoyos:

Cm = 0,85

VC VCS

S

Ejemplos :

1 2

b) Para elementos comprimidos en marcos sin desplazamiento lateral y no afectosa carga transversal entre sus apoyos en el plano de flexión

4,04,06,02

1 M

MCm

Donde : │M1│ < │M2│ , ambos momentos en valor absoluto.

2

1

M

M > 0 si existe doble curvatura.

VC

Ejemplo :

En todo caso: Cm ≥ 0,4

c) Para elementos comprimidos en marcos sin desplazamiento lateral y afectos acarga transversal entre sus apoyos en el plano de flexión:

5

VC

Ejemplo :

0

1F

fC c

m

Donde, el valor de para los casos que se indican , son los siguientes:

P

P

P P P P P

P P P P P

S SS

1 2 3 4 5 6

CASOS :

CARGA EQUIVALENTE DE COMPRESION AXIAL

Tanto la selección preliminar como la revisión final de una viga-columna, se puedeagilizar haciendo una conversión a una carga axial equivalente, de la siguiente manera:

Si generalizamos la ecuación (3), tenemos:

my

mymy

mx

mxmx

c

c

F

f

F

f

F

f ≤ 1 /* A · Fc

6

cmy

mymyc

mx

mxmxc AF

F

fAF

F

ffA *** ≤ cAF

Pero: cAF sería la carga permisible si la columna estuviera cargada axialmente.Entonces se puede pensar que la suma de los tres términos de la izquierdade la desigualdad anterior como una carga axial equivalente eqP yutilizarse para entregar en una tabla de selección de columnas. Esto sefacilita escribiendo las ecuaciones anteriores en términos de xm y ym .

Sea:x

xmx W

mAAf y

y

ymy W

mAAf

Además , sea :

xx W

Aa y

yy W

Aa

Entonces: xxmx mafA

yymy mafA

Reemplazando estas expresiones en la desigualdad anterior tenemos :

my

cmyyy

mx

cmxxxeq F

Fma

F

FmapP

Luego, para el diseño, podemos seleccionar un perfil que soporte una cargade compresión según la siguiente expresión aproximada:

yyxxeq mamapP

Si existe pandeo local, entonces:

efxWAQ

xa

y

efyW

AQya

7Coeficientes xa Coeficientes ya

Perfil Rango de altura xa Rango de altura yacm 1/m cm 1/m

IP 50 50IN 50 a 20 8,0 50-20 31,7HN 50 a 20 50 a 20IC 30 a 15 15,2 30 a 8 103

12,5 a 8 26,9

□C 30 a 15 16,3 30 a 15 23,412,5 a 8 31,3 12,5 a 8 32,0

ICA 30 a 17,5 12,4 30 a 17,5 47,315 a 8 26,8 15 a 8 74,7

□CA 30 a 17,5 12,4 30 a 17,5 20,615 a 8 26,8 15 a 8 34,7

□ 25 a 15 21,3 25 a 15 17,710 a 5 51,9 10 a 5 47,7

C 30 a 5 1,33CA 30 a 8 0,729S 25 a 20 0,13

15 a 8 0,29520 a 10 0,963

L 8 a 5 2,244 a 2 4,95

LA 20 a 10 0,8298 a 5 1,74

8Los perfiles con un eje de simetría o simetría puntual, afectas a compresión axial y aflexión en el plano de simetría (mx = 0 y my ≠ 0), se dimensionarán de modo de cumplircon los siguientes requisitos:

a) Pandeo por flexión según eje y – y:

Si:FyPp

> 0,15

y

c ox x

x

yo

FyP = Carga de pandeo por flexión según el eje y

Entonces :

FyP

ym

FyP

yPp

emyCp

100

01

1 →Válida para el “Tramo”

FyPe

ym

FyP

máxP

FyP

p

100→Válida para el “Apoyo”

Si:FyPp

≤ 0,15 → FyPe

ym

FyP

p

1001

9

Para el diseño preliminar usar la siguiente fórmula aproximada:

FyPeyap

1

Donde:

e = Excentricidad de aplicación de la carga, respecto al baricentro de la sección transversal.

Para e > 0 →

efyW

QAya

en que

efyW

está referido a la fibra

extrema en compresión.

Para e < 0 →

efyW

QAya

en que

efyW

está referido a la fibra

extrema en tracción.

10EJEMPLO N°1

1) El pilar 1- 2 del edificio de estructura metálica indicado en la Fig. Nº 1, está expuestoa las siguientes solicitaciones, debido a los estados de carga que se indican acontinuación:

150 150

150150

3,75

1500

7503,75

2,5

1000

5002,5

10

15,3

4000

5200

10

15,3

6

12,2

3100

420012,2

6

( I ) ( II ) ( III ) ( IV )CORTE

TRANSVERSAL LONGITUDINAL LONGITUDINALTRANSVERSALCORTE CORTECORTE

PESO PROPIO+

SOBRECARGAS

SISMO SISMOPESO PROPIO+

SOBRECARGAS

UNIDADES: Ton y Ton - cm

6 m

6 m

6 m1

2

1

2

CORTE LONGITUDINALCORTE TRANSVERSAL

FIGURA Nº1

x

z

y

z

11Se pide diseñar el pilar 1- 2 usando un perfil HN en acero A 42- 27 ES.Considerar un coeficiente de longitud efectiva Kx = Ky = 1,8

Solución:1. Sección más solicitada

yyxxeq mamapP

Para el perfil HN probar con : xa = 8 (1/m)

ya = 31,7 (1/m)

Sea: xm = vector momento flextor, según el eje longitudinal

ym = vector momento flextor, según el eje transversal

6 m

6 m

6 m1

2

1

2

CORTE LONGITUDINALCORTE TRANSVERSAL

x

z

y

z

ALTERNATIVA B

ALTERNATIVA Amm xy

mxmy

Luego, el estado de cargas, según el sistema de ejes coordenadas indicado en lafigura anterior ,tiene la siguiente nomenclatura :

12

150 150

150150

3,75

1500

750

3,75

2,5

1000

5002,5

10

15,3

4000

5200

10

15,3

6

12,2

3100

420012,2

6

( I ) ( II ) ( III ) ( IV )CORTE

TRANSVERSAL LONGITUDINAL LONGITUDINALTRANSVERSALCORTE CORTECORTE

PESO PROPIO+

SOBRECARGAS

SISMO SISMOPESO PROPIO+

SOBRECARGAS

m = m =x y

m =x m =x

m =x

m =y

m = y

m = y

Cálculo del P equivalente

Tipo Combinaciónde

Cargas

Extremo

Peso propio + sobrecarga

Peso propio + sobrecarga+ sismo transversal

Peso propio + sobrecarga+ sismo longitudinal

1

2

3

SuperiorInferior

Superior

InferiorSuperior

Inferior

POSICION DEL PERFIL

m xym mx

ym

COMBINACION

( I + II )

( I + III ) 0,75 + II

( II + IV ) 0,75 + I

587369767636

1212

1294

15081575

706428

839

637

Alternativa A Alternativa B

13Conclusión:

- Posición más conveniente para el perfil, Alternativa B.- Sección más solicitada: la parte inferior de la columna, con combinación de carga

tipo (3)

O sea:

150 150

150150

3,751500

7503,75

2,5

1000

500

2,5

( I ) ( II )

+ 0,75 * +

6

12,2

3100

4200

12,2

6

( IV )CORTE CORTE CORTE

TRANSVERSAL LONGITUDINALLONGITUDINALPESO PROPIO

+SOBRECARGAS

PESO PROPIO+

SOBRECARGASSISMO

mx

ym

mx

ym

ymym

=

= ==

=

=

O sea :

14

3,75

1500

7503,75

117

117117

117

11

3075

352511

mm x

y

m

m

m y

m y

x

x =

=

=

=

Luego: eqP = 117 + 7,5 · 8 + 35,25 · 31,7 = 1294 Ton

27997,2*6,0

1294

6,0cm

F

PA

f

eq

Perfil de prueba: HN x 50 x 462 →

cmW

Aa

xx

1055,0

10600

588

cmW

Aa

yy

1141,0

4170

588

tonPeq 655141,03525055.0750117 →

3,4047,26,0

655

6,0

f

eq

F

PA 2cm

15Probaremos con un perfil HN 50 x 336

Características del perfil:

cmt

cme

cmB

cmH

cmA

8,1

5,3

50

50

427 2

cmr

cmr

cmr

cmW

cmr

cmW

t

a

y

y

x

x

5,3

0,15

1,13

2920

7,21

8060

3

3

Verificación de la resistencia del perfil.

a) Tensiones de Trabajo:

2274,0

427

117

cm

ton

A

Pf c

2093,0

8060

750

cm

ton

W

mf

x

xmx

2207,1

2920

3525

cm

ton

W

mf

y

ymy

b) Tensiones admisibles

I .- Flexión:

1) Tipo de sección

14,75,3

2

50

2

e

B

e

b

ala

<fF

6,13 = < 8,3

9,238,1

5,32502

t

eH

t

h

alma

<fF

109 = 66,3

→Sección plástica

2) Longitud máxima para que no exista P.L.T.

mF

B

fa 14,6

7,2

502,202,20

16

mF

r

f

tt 76,17

7,2

5,313701370

Luego, no existe PLT →

278,166,0

cm

tonFF fmx

203,275,0

cm

tonFF fmy

Ecuación de interacción para la flexión compuesta, considerando que la solicitaciónque domina el diseño se encuentra en el extremo inferior con “ P ” nulo.

16,0

my

my

mx

mx

f

c

F

f

F

f

F

f

1816,003,2

207,1

78,1

093,0

7,26,0

274,0 Perfil O.K.

Si las solitaciones que controlan el diseño se encuentran en el tramo de la columna,entonces habría que continuar el cálculo de acuerdo al siguiente detalle:

Fórmula de interacción:

1my

myy

mx

mxx

c

c

F

fA

F

fA

F

f

Luego:

II. Compresión

1) Pandeo general por flexión:

4,821,13

6008,1

y

yyy r

K

9,1232 2

f

e F

EC

17

ey C →

2

2

118,12

11

1

cm

tonF

CFSF f

e

yFcy

Donde, si Q = 1 →

88,18

1

8

3

3

53

e

y

e

y

CCFS

Luego, por tratarse de un perfil HN (con dos ejes de simetría) → TcyF y FT

cyF son

mayores que FcyF . Entonces:

2118,1

cm

tonFF F

cyc

Luego: 15,0245,0118,1

274,0

c

c

F

f→

c) Cálculo de las constantes Ax ^ Ay

mx

x

cx C

F

fA

0

1

1

my

y

cy C

F

fA

0

1

1

Donde: 85,0mxC y 85,0myC por tratarse de un elemento comprimido en marcoscon desplazamiento lateral, con y sin carga transversal entre sus apoyos.

Además :

8,497,21

6008,1

x

xxx r

K →

22

2

0 36,8cm

tonEF

xx

4,821,13

6008,1

y

yyy r

K →

22

2

0 05,3cm

tonEF

yy

O sea: 879,085,0

36,8

274,01

1

1

1

0

mx

x

cx C

F

fA

18934,085,0

05,3

274,01

1

1

1

0

my

y

cy C

F

fA

d) Ecuación de interacción Ec.I. (flexo- compresión):

Ec.I. 847,0025,2

207,1934,0

782,1

093,0879,0

118,1

274,0

my

myy

mx

mxx

c

c

F

fA

F

fA

F

f

Ec I. = 0,847 < 1 → O.K.

e) Interacción de flexión y corte:

1. Sentido x

2185,0

4,77

75,03,1575,3

cm

ton

A

Vf

alma

xVx

2554,0

8060

75,07505200

cm

ton

W

mf

x

xmx

Luego, debe cumplirse que: 825,0375,0 v

v

f

mx

F

f

F

f

En nuestro caso →

825,0269,07,2*4,0

185,0375,0

7,2

554,0 → Perfil O.K.

19Ejemplo N°2

1) El pilar 1- 2 del edificio de estructura metálica indicado en la Fig. Nº 1, estáexpuesto a las siguientes solicitaciones, debido a los estados de carga que se indicana continuación:

122 122

122122

5,12

1720

8405,12

3,34

950

7203,34

15

16,9

3100

5350

15

16,9

10

15,06

2910

462015,06

10( I ) ( II ) ( III ) ( IV )

CORTETRANSVERSAL LONGITUDINAL LONGITUDINALTRANSVERSAL

CORTE CORTECORTE

PESO PROPIO+

SOBRECARGASSISMO SISMOPESO PROPIO

+SOBRECARGAS

m = m =x y

m =x m =x

m =x

m =y

m = y

m = y

UNIDADES: Ton y Ton - cm

20

1

2

1

2

CORTE LONGITUDINALCORTE TRANSVERSAL

FIGURA Nº1

x

z

y

z

5 m

5 m

5 m

Se pide diseñar el pilar 1- 2 usando un perfil HN en acero A 42-27 ES. Considerar uncoeficiente de longitud efectiva Kx = 1,45 y Ky =1,2

Solución:

1. Sección más solicitada

yyxxeq mamapP

Para el perfil HN probar con : xa = 8 (1/m)

ya = 31,7 (1/m)

Sea: xm = vector momento flextor, según el eje longitudinal

ym = vector momento flextor, según el eje transversal

5 m

5 m

5 m 1

2

1

2

CORTE

LONGITUDINAL

CORTE TRANSVERSAL

xzy

z

ALTERNATIVA B

ALTERNATIVA Amymx

mymx

21Cálculo del Pequivalente

Tipo Combinaciónde

CargasExtremo

pp + sc

pp + sc + sismo tr.

pp + sc + sismo long

1

2

3

SuperiorInferiorSuperior

InferiorSuperiorInferior

POSICION DEL PERFIL

mx my mxmy

COMBINACION

( I + II )

(I + III)*0,75+II

(II + IV)*0,75+I

74344613251632

876686

693702

561417

11541436

Alternativa A Alternativa B

a) Tipo de carga 1:

Alternativa A

Extremo superior

)(561100

1)9507,3117208(122 tonPeq

Extremo inferior

)(417100

1)7207,318408(122 tonPeq

Alternativa B

Extremo superior

)(743100

1)950817207,31(122 tonPeq

Extremo inferior

)(446100

1)72088407,31(122 tonPeq

22a) Tipo de carga 2:

Alternativa A

Extremo superior

)(693100

19507,31

100

75,0)31001720(875,0)15122( tonPeq

Extremo inferior

)(702100

17207,31

100

75,0)5350840(875,0)15122( tonPeq

Alternativa B

Extremo superior

)(1325100

19508

100

75,0)31001720(7,3175,0)15122( tonPeq

Extremo inferior

)(1632100

17208

100

75,0)5350840(7,3175,0)15122( tonPeq

a) Tipo de carga 3:

Alternativa A

Extremo superior

)(1154100

117208

100

75,0)2910950(7,3175,0)10122( tonPeq

Extremo inferior

)(1436100

18408

100

75,0)4620720(7,3175,0)10122( tonPeq

23Alternativa B

Extremo superior

)(876100

117207,31

100

75,0)2910950(875,0)10122( tonPeq

Extremo inferior

)(686100

18407,31

100

75,0)4620720(875,0)10122( tonPeq

Conclusión: Posición más conveniente para el perfil, Alternativa A. La Sección mássolicitada es la parte inferior de la columna, con combinación de carga tipo (3).

122 122

122122

5,121720

8405,12

3,34

950

7203,34

( I ) ( II )

+ 0,75 * +

10

15,06

2910

4620

15,06

10

( IV )CORTE CORTE CORTE

TRANSVERSAL LONGITUDINALLONGITUDINALPESO PROPIO+

SOBRECARGASPESO PROPIO+

SOBRECARGASSISMO

mx

ym

mx

ym

ymym

=

= ==

=

=

24Cargas de diseño:

5,12

1720

8405,12

99

9999

99

13,8

2895

400513,8

mm x y

m

m

my

m y

x

x =

=

=

=

Luego: eqP = 99 + 8,4 · 8 + 40,05 · 31,7 = 1436 Ton

28867,26,0

1436

6,0cm

F

PA

f

eq

Perfil de prueba: HN x 50 x 462 →

cmW

Aa

xx

1055,0

10600

588

cmW

Aa

yy

1141,0

4170

588

tonPeq 710141,04005055.084099

24387,26,0

710

6,0cm

F

PA

f

eq

25Probaremos con un perfil HN 50 x 380

Características del perfil:

cmt

cme

cmB

cmH

cmA

0,2

0,4

50

50

484 2

cmr

cmr

cmr

cmW

cmr

cmW

t

a

y

y

x

x

0,4

2,15

1,13

3330

5,21

8980

3

3

Verificación de la resistencia del perfil.

a) Tensiones de Trabajo:

2

205,0484

99

cm

ton

A

Pfc

2

094,08980

840

cm

ton

W

mf

x

xmx

2

203,13330

4005

cm

ton

W

mf

y

ymy

b) Tensiones admisibles

I .- Flexión:

1) Tipo de sección

25,60,4

2

50

2

e

B

e

b

ala

<fF

6,13 = 8,3

3,66109

0,210,2

0,42502

falma Ft

eH

t

h

→Sección plástica

262) Longitud máxima para que no exista P.L.T.

mF

B

fa 0,514,6

7,2

502,202,20

mF

r

f

tt 53,20

7,2

0,413701370

Luego, no existe PLT →

278,166,0

cm

tonFF fmx

203,275,0

cm

tonFF fmy

Ecuación de interacción para la flexión compuesta, considerando que la solicitaciónque domina el diseño se encuentra en el extremo inferior con “ P ” nulo.

16,0

my

my

mx

mx

f

c

F

f

F

f

F

f

1772,003,2

203,1

78,1

094,0

7,26,0

205,0 Perfil O.K.

Si las solitaciones que controlan el diseño se encuentran en el tramo de la columna,entonces habría que continuar el cálculo de acuerdo al siguiente detalle:

Fórmula de interacción:

1my

myy

mx

mxx

c

c

F

fA

F

fA

F

f

Luego:

II. Compresión

1) Pandeo general por flexión:

8,451,13

5002,1

y

yyy r

K 7,33

5,21

50045,1

x

xxx r

K

→ y controla el diseño.

27

9,1232 2

f

e F

EC

→

ey C →

2

2

398,12

11

1

cm

tonF

CFSF f

e

yFcy

Donde, si Q = 1 →

81,18

1

8

3

3

53

e

y

e

y

CCFS

Luego, por tratarse de un perfil HN (con dos ejes de simetría) → TcyF y FT

cyF son

mayores que FcyF . Entonces:

2

398,1cm

tonFF F

cyc

Luego: 15,0147,0398,1

205,0

c

c

F

f→ No es necesario calcular xA y

yA (coeficientes de amplificación por efecto del P )

d) Ecuación de interacción Ec.I. (flexo- compresión):

Ec.I. 772,003,2

203,1

78,1

094,0

7,26,0

205,0

6,0

my

my

mx

mx

c

c

F

f

F

f

F

f

Ec I. = 0,772 < 1 → O.K.

e) Interacción de flexión y corte:

1. Sentido x

2

197,0)4250(2

75,09,1612,5

cm

ton

A

Vf

alma

xVx

2517,0

8980

75,08405350

cm

ton

W

mf

x

xmx

Luego, debe cumplirse que:

28

825,0375,0 v

v

f

mx

F

f

F

f

En nuestro caso →

825,0260,07,24,0

197,0375,0

7,2

517,0

→ Perfil O.K.