Capitulo 01-02-2015-1(2)

Mecánica de Materiales 2015-1

Capítulo 1 y 2

Tema:

Esfuerzo y Deformación

2

Sumario

Introducción

Equilibrio de un cuerpo deformable

Esfuerzo

Esfuerzo axial y cortante promedio

Esfuerzo permisible y diseño

Deformación

Deformación unitaria

UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS ROMÁN ARCINIEGA

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Introducción

¿Qué es la mecánica de materiales?

Es la rama de la mecánica aplicada que estudia elcomportamiento de los cuerpos sólidos sometidos acargas externas.

El objetivo principal de esta disciplina es la dedeterminar los esfuerzos y deformaciones en lasestructuras y en sus componentes bajo la acción decargas.


4

Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886)

Historia

Claude-Louis Navier (1785-1836)

Siméon Denis Poisson (1781-1840)


5

Gabriel Lamé (1795-1870)

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)


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Equilibrio de un Cuerpo

Cargas externas

un cuerpo puede estar sometido a diversos tipos de cargas externas que se pueden clasificar como fuerzas de superficie y fuerzas de cuerpo.


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Fuerzas de superficie

Son fuerzas causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro.

Estas fuerzas pueden idealizarse como una fuerza concentrada, como una carga linealmente distribuida o como una carga por unidad de superficie.

Fuerzas de cuerpo

Esta fuerza se desarrolla cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro sin contacto físico directo entre los cuerpos. Ejemplos: gravitación, fuerza electromagnética, etc.


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Reacciones en los soportes

Las fuerzas de superficie que se desarrollan en los soportes o puntos de contacto entre cuerpos se llaman reacciones.

Recordar que: si el soporte impide la traslación en una dirección dada, entonces debe desarrollarse una fuerza en el miembro en esa dirección. Igualmente, si se impide la rotación, debe ejercerse un momento sobre el cuerpo.


9

Conexiones en miembros bidimensionales


10

Ecuaciones de equilibrio

El equilibrio de un cuerpo requiere el balance de fuerzas para impedir que el cuerpo se traslade y un balance de momentos para impedir que el cuerpo gire.

0

F 0

M 0

0

0

zyx

zyx

MMM

FFF

Expandiendo en 3D:


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Cargas internas resultantes

Para obtener las cargas internas que actúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario usar el método de las secciones. Esto requiere hacer un corte a través de la región donde van a determinarse las cargas internas.


12

Cargas internas resultantes en 3D y 2D


13

Problema


14

Problema


15

Esfuerzos

Se considera que el material es continuo, es decir,consiste en una distribución uniforme de materia queno contiene huecos (en vez de estar compuesto por unnúmero finito de moléculas o átomos).


16

Esfuerzo

Es el cociente de un diferencial de fuerza sobre el diferencial de área. Describe la intensidad de fuerza interna sobre un plano específico que pasa por un punto.

El material se considera también cohesivo, es decir, todas sus partes están unidas entre sí.


17

Esfuerzo normal

La intensidad de fuerza interna que actúa en forma normal a A se define como el esfuerzo normal, (sigma). Como FZ es normal al área, entonces:

0limz z

zA

dF F

dA A

Unidades; 1 N/m2 = 1 Pa


18

Esfuerzo cortante

La intensidad de fuerza interna tangencial actuando sobre un plano que pasa por un punto se denomina esfuerzo cortante y se denota por la letra griega .

0

0

lim

lim

xzx

A

y

zyA

F

A

F

A


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Estado general de esfuerzos

Se caracteriza por tres componentes actuando en cada una de las caras del elemento. Son nueve componentes independientes en total.

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

σ

Tensor de esfuerzos


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Estado Uniaxial Esfuerzos

( ) (́ ) 0

´

A A

Las dos componentes del esfuerzo normal sobre el elemento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A esto se le llama esfuerzo uniaxial.

Aplicamos la ecuación de equilibrio de fuerzas:

0zF


21

Esfuerzo Promedio

Supuestos

El material es homogéneo, es decir, tiene las mismas propiedades en todos los puntos del cuerpo.

El material es isotrópico, es decir, tiene las mismas propiedades en todas las direcciones.


22

Esfuerzo normal promedio

z

A

avg

avg

dF dA

P A

P

A

Esfuerzo promedio normal en cualquier punto de la sección transversal

Equilibrio en z:

:avg


23

Problema

Determine el esfuerzo promedio de compresión actuante en los puntos A y B.

Considere:

3490st lb pie


24

Esfuerzo cortante promedio

avg

V

A

Esfuerzo cortante promedio

en cualquier punto de la sección transversal

avg :


25

Propiedad complementaria del cortante (cortante puro)

´ ´zy zy zyz yz


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Esfuerzo Permisible y Diseño

Esfuerzo permisible

Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisible que limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miembro pueda soportar plenamente.

Factor de seguridad (F.S.): es la relación entre el esfuerzo de falla y el esfuerzo permisible.

falla

perm

F.S.


27

Diseño

Para miembros sujetos a fuerza normal o cortante:

perm

PA

perm

PA


28

Esfuerzos cortantes en pasadores o pernos

A

F

A

Pave

Cortante simple Cortante doble

A

F

A

P

2ave


29

Problema

Determine el espesor requerido del miembro BC y el diámetro de los pines A y B si el esfuerzo permisible normal de BC es y el cortante permisible

perm 29ksi

perm 10ksi


30

Deformación

Al aplicar fuerzas al cuerpo, éste tiende a cambiar de forma y tamaño. A estos cambios se les llama deformación.


31

Deformación normal unitaria

Se define como el cambio de longitud de una fibra por unidad de longitud.

Deformación unitaria

avg

s s

s

limB A

s s

s


32

En elementos prismáticos

Se define como la relación entre la elongación y la longitud inicial. Es decir:

L

En forma diferencial:

d

dx


33

Deformación cortante unitaria

Se define como el cambio de ángulo entre dos segmentos de línea inicialmente perpendiculares entre sí.

lim2

ntB AC A


34

Componentes cartesianas

Note que las deformaciones normales causan un cambio de volumen mientras que las cortantes un cambio de forma.


35

Deformaciones unitarias pequeñas

Sólo se permiten deformaciones pequeñas (casi infinitesimal). Las deformaciones unitarias son muy pequeñas en comparación con la unidad. Entonces:

Ɛ << 1

Este supuesto tiene una amplia aceptación en ingeniería y es llamado análisis de pequeñas deformaciones.


36

ProblemaLa viga rígida ABC es soportada por un pasador en A ylos cables BD y CE. Si la fuerza distribuida causa que elnodo C se desplace 10mm hacia abajo, determine losesfuerzos normales desarrollados en los cables BD y CE.


37

Problema


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