CAPTULO 4

1

1. Introduccin

2. Correspondencia entre el plano S y el plano Z.

3. Anlisis de estabilidad de Jury

4. Anlisis de respuesta transitoria y en estadoestacionario.

5. Diseo basado en el lugar geomtrico de la races.

6. Diseo basado en el mtodo de respuesta enfrecuencia

2

3 Desde los aos 50 han quedado bien establecidos losmtodos de diseo para los sistemas de control entiempo continuo basados en las tcnicas detransformadas convencionales (generalmente tiles parael diseo de sistemas de control industrial).

En el pasado muchos sistemas digitales de controlindustrial fueron diseados con xitos basados en losmtodos de transformadas convencionales. Por ello lafamiliaridad de las tcnicas del lugar geomtrico de lasraces y de respuesta en frecuencia as como el diseo decontroladores analgicos son las bases del diseo entiempo discreto.

4 En vista de que las variables complejas del plano z y sestn relacionadas mediante la localizacin delos polos en el plano z estn relacionada con lalocalizacin en el plano s.

Dado que la variable compleja s est formada de unaparte real y una parte imaginaria , tenemos:

Dado que es negativo en el semiplano izquierdo delplano s, el semiplano izquierdo del plano s correspondea:

5a) Regin para un tiempo de asentamiento en el plano s.b) Regin para un tiempo de asentamiento en el plano z.

Ambos para

6Anlisis de estabilidad de un sistema de lazo cerrado

Si consideramos la funcin de transferencia de pulso en lazocerrado:

La estabilidad del sistema que define la ecuacin anterior,as como las de otros tipos de sistemas de control en tiempoDiscreto, puede determinarse por la localizacin de lospolos en lazo cerrado en el plano z o por las races de laecuacin caracterstica.

71. Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerradoo las races de la ecuacin caracterstica debenpresentarse en el plano z dentro de un crculo unitario.

2. Si un polo simple se presenta en z = 1 entonces elsistema se convierte en crticamente estable. Tambin elsistema se convierte en crticamente estable si un solopar de polos complejos conjugados se presentan en elcrculo unitario en el plano z. Cualquier polo mltiple enlazo cerrado sobre el crculo unitario hace al sistemainestable.

3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidadabsoluta y por lo tanto pueden quedar localizados encualquier parte del plano z.

8 Considere el sistema de control de lazo cerrado queaparece en la figura:

Determine la estabilidad del sistema cuando k = 1.

9 Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury a unaecuacin caracterstica dada P(z) = 0, construimos unatabla cuyos elementos se basan en los coeficientes deP(z). Si suponemos que la ecuacin caracterstica P(z) esun polinomio en z, como sigue:

Donde

La tabla de Jury se construye como sigue:

10

11

Un sistema con la ecuacin caracterstica P(z) = 0 dadopor la siguiente ecuacin:

Donde , es estable, si todas las condiciones siguientesse satisfacen:

12

Examine la estabilidad de la ecuacin caractersticasiguiente:

13

Considere el sistema de control con realimentacinunitaria en tiempo discreto (con periodo de muestreo T =1 seg.) cuya funcin de transferencia pulso en lazoabierto est dada por:

Determine el rango de valores de la ganancia K, para que secumpla la estabilidad mediante la prueba de estabilidad deJury.

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Este mtodo requiere la de la transformacin del plano za otro plano complejo, el plano w. La cantidad de clculorequerido es mucho mayor que en el criterio deestabilidad de Jury.

La transformacin bilineal definida por:

Misma que al ser resuelta en funcin de w, da

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El crculo unitario del plano z corresponde con elsemiplano izquierdo del plano w. Esto puede verse comosigue:

El interior del crculo unitario del plano z es

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En el anlisis de estabilidad, utilizando la transformacinbilineal junto con el criterio de estabilidad de Routh,primero pondremos (w+1)/(w-1) en lugar de z en laecuacin caracterstica

Entonces, si simplificamos las fracciones multiplicandoambos miembros de esta ltima ecuacin por ,obtenemos

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Igual que en el caso de los sistemas de control en tiempocontinuo, la respuesta transitoria de un sistema decontrol digital puede caracterizarse no solo por el factorde amortiguamiento relativo y la frecuencia naturalamortiguada.

1. Tiempo de retardo ( ): Tiempo requerido para que larespuesta llegue a la mitad del valor final la primera vez.

2. Tiempo de levantamiento ( ): Tiempo que requiere larespuesta para pasar del 10% al 90%, de 5 % a 95% o de0% al 100% de su valor final, segn la situacin. Parasistemas subamortiguados se usa de 0% al 100% y parasistemas sobreamortiguados y sistemas con atraso detransporte se usa de 10% a 90%.

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3. Tiempo pico ( ): Tiempo requerido para que la respuestallegue a la primera cresta de sobrepaso.

4. Sobrepaso Mximo ( ): Valor mximo de la curva derespuesta medido a partir de la unidad.

5. Tiempo de asentamiento ( ): Tiempo requerido para queuna curva de respuesta llegue y se quede dentro de unrango alrededor del valor final de un tamaoespecificado, en funcin de un porcentaje absoluto devalor final, por lo general 2%.

19

21 n

sX

X

n

n 21n n

T j T T j

T j T

z e e

z e

= ==

z

X

X

( )( )

senatan

1 cos

T

T

ee

=

e-T

2

2

1

4 para 2%

4.6 para 1%

1.8 aprox. Franklin y otros

1

sobrepaso

sn

sn

rn

p

n

p

t

t

t

t

M e

Tiempo de asentamiento:

Tiempo de levantamiento:

Tiempo pico:

Sobrepaso:

20

21 n

sX

X

n

n 21n n

T j T T j

T j T

z e e

z e

= ==

z

X

X

( )( )

senatan

1 cos

T

T

ee

=

e-T

s

r

p

p

n

n

n

M e

Intervalo de establecimiento:

Intervalo de subida:

Intervalo de pico:

Sobrepaso:

21

Las condiciones ideales de un sistema de regulacin sonque el valor de la seal de salida sea el deseado y que lasperturbaciones influyan lo mnimo sobre el sistema.

Si el sistema es estable el error en rgimen permanente sepuede calcular a partir del teorema del valor final:

22

Ante secuencias de entradas normalizadas se tienen lassiguientes expresiones:

1. Entrada escaln (Error de posicin)

23

2. Entrada rampa (Error de velocidad)

24

3. Entrada parablica (Error de aceleracin)

25

Se define como tipo de un sistema el nmero de polos enz = 1 que tienen funcin de transferencia en bucleabierto de ese sistema:

Sistema Entradaescaln EntradaRampa Entradaparablica

Tipo0

Tipo1 0

Tipo2 0 0

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|Periodo de muestreo mximo. Ejem: para sistemas sobreamortiguados ypara sistemas subamortiguados|Error de estado estacionario mnimo:|Constante de error de velocidad mnima

Si consideramos el sistema de control entiempo continuo cuya funcin de transferenciaEn lazo abierto G(s)/H(s) est dada por:

16 r

T t

0sse =2

11 n

T

Si N = 0 es tipo 0, si N = 1 es tipo 1 y si N = 2 es tipo 2

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|El nmero criterios seleccionados estarelacionado con los parmetros delcontrolador a seleccionar. Ejem: Si elcontrolador es proporcional solo podemoselegir un criterio (Ejem. el tiempo deasentamiento) debido a que solo podemosmanipular la constante proporcional y enalgunos casos el periodo de muestreo.

28

|Si seleccionamos un punto en el plano s,necesitamos un controlador con al menos dosparmetros a elegir (Ejem. PD, PI, PID o Redde Adelanto-Retraso).

|Si el controlador seleccionado tiene msparmetros de los necesarios se puedencancelar polos y ceros que afectennegativamente el comportamiento delsistema (usualmente los ms cercanos alcrculo unidad, pero dentro de este).

29

El algoritmo del regulador PD es:

Siendo la funcin de transferencia:

si

30

El algoritmo del regulador PI es:

Siendo la funcin de transferencia utilizando laaproximacin del operador derivada:

si

31

Aplica para sistemas estables con respuesta en s

Tangente al puntode inflexion

32

Ganacias propuestas para controladores P, PD o PID analgicos.

( )0

1 id

i

M t K e e edt

= + + &

33

Se desconecta los terminos Integral y derivativo y se lleva al sistema al punto de estabilidad crtica.

Oscilaciones sostenidas a una constante crtica Ku

34

Los parmetros obtenidos por alguno de los otrosmtodos se discretizan con un tiempo de muestreo Tspara una salida u(n) as:

CAPTULO 4Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34