Capítulo 5

Integrales en C

En este capítulo estudiaremos la clase de integral compleja más usual, que es la integralde línea. Más que usarla directamente en aplicaciones, lo que nosotros vamos a hacer es usarlacomo herramienta teórica para demostrar importantes hechos sobre las funciones de variablecompleja.

5.1. Integrales en el campo complejo

Comenzaremos definiendo la integral de una función de variable real pero imagen complejade la manera obvia (que es, integrando su parte real e imaginaria) para luego definir las integralesde línea. Teniendo en cuenta que este capítulo contiene muchos resultados teóricos que no sonsencillos para interpretar intuitivamente, trataremos de pasarlo de la forma más clara y concisa,ejemplificando en cada caso para que se entienda qué estamos haciendo.

Definición 5.1 Si γ (t) = x (t) + iy (t) es un camino continuo por tramos definido en [a, b] ,pondremos ∫ b

aγ (t) dt =

∫ b

ax (t) dt+ i

∫ b

ay (t) dt,

es decir que∫ ba γ (t) dt es un número complejo con

Re

(∫ b

aγ (t) dt

)=

∫ b

ax (t) dt y Im

(∫ b

aγ (t) dt

)=

∫ b

ay (t) dt.

Proposición 5.2 Si γ (t) , β (t) son caminos continuos por tramos en [a, b] , z0 es un númerocomplejo y c es tal que a < c < b, entonces

141

142 Integrales en C

1.∫ ba γ (t) dt =

∫ ca γ (t) dt+

∫ bc γ (t) dt.

2.∫ ba (z0γ (t) + β (t)) dt = z0

∫ ba γ (t) dt+

∫ ba β (t) dt.

3.∫ ba γ (t) dt = −

∫ ab γ (t) dt.

4. Si Γ (t) es suave por tramos en (c, d) ⊆ [a, b] y Γ′(t) = γ (t) ∀ t ∈ (c, d) (salvo posiblementeen los valores donde Γ no es derivable), entonces

∫ dc γ (t) dt = Γ (d)− Γ (c) .

Demostración. Ejercicio, descomponer en parte real e imaginaria, como dice la definición. Parael último punto, notar que bajo esas hipótesis vale (una generalización del) teorema fundamentaldel cálculo.

Ejemplo 5.3 Queremos calcular∫ π

0 eitdt. Como sabemos que ddt

(eit

i

)= eit, la cuarta propiedad

anterior nos dice que ∫ π

0eitdt =

(eiπ

i

)−(ei0

i

)=−2

i= 2i.

Nota importante 5.4 La mayoría de los resultados (e incluso algunas definiciones) de es-ta sección se enunciarán para caminos (curvas) continuos por tramos o [resp., suaves portramos], pero se demostrará solo el caso continuo [resp., suave]. La demostración del caso gen-eral surge invariablemente de dividir el intervalo de parmetrización en subintervalos donde elcamino (curva) es efectivamente continuo [resp. suave].

Proposición 5.5 Si γ : [a, b]→ C es continua por tramos, entonces∣∣∣∣∫ b

aγ (t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|γ (t)| dt.

Demostración. Escribimos el número complejo∫ ba γ (t) dt en coordenadas polares:∫ b

aγ (t) dt = r0e

iθ0 ,

donde r0 =∣∣∣∫ ba γ (t) dt

∣∣∣. Entonces tenemos que demostrar que r0 ≤∫ ba |γ (t)| dt. Pero

r0 = e−iθ0

∫ b

aγ (t) dt =

∫ b

ae−iθ0γ (t) dt;

tomando parte real y usando la definición queda

r0 = Re (r0) = Re

(∫ b

ae−iθ0γ (t) dt

) def.↓=

∫ b

aRe(e−iθ0γ (t)

)dt

Análsis I↓≤

∫ b

a

∣∣∣e−iθ0γ (t)∣∣∣ dt =

=

∫ b

a|γ (t)| dt,

listo.

Integrales en C 143

A continuación daremos la definición de integral de una función de variable compleja, quede alguna manera puede sorprender: a diferencia de lo hecho cuando definimos derivada (quecopiamos directamente lo hecho en Análisis I), acá la definición es más parecida a las integralesde línea usadas en Análisis II.

Definición 5.6 Si γ : [a, b] → C ⊆ C es un camino suave por tramos, y f (z) es continua enC, (es decir que f (γ (t)) es continua por tramos), entonces se pone∫

γf (z) dz =

∫ b

af (γ (t)) γ′(t)dt,

que es la integral de línea de f sobre γ (tiene muchos nombres: integral de camino de f sobre γ,integral de f a lo largo de C, integral de f sobre C, etc.).

Ejemplo 5.7 Si γ (t) = eit, t ∈ [0, 2π] , entonces C es el círculo unitario centrado en 0 recorridoen sentido antihorario y para calcular

∫γ

1zdz hacemos∫

γ

1

zdz =

∫ 2π

0

1

eitieitdt = 2πi.

Una notación que se usa mucho en matemática aplicada, y que es la que seguiremos nosotros,es la siguiente: si γ : [a, b] → C ⊆ C es un camino suave por tramos que parametriza la curvaC, y f (z) es continua en C, se pone∫

γf (z) dz =

∫Cf (z) dz,

es decir, se piensa la integral sobre la imagen y no sobre el camino. Esto trae el problema deque la misma curva C puede tener más de una parametrización, y en tal caso la notación∫

Cf (z) dz

podría significar muchos valores distintos (de hecho, la dirección en que recorremos la curvaes fundamental). Como para nosotros una curva C es la imagen de un camino γ, cada ves quetrabajemos con una curva se entenderá que tenemos una parametrización dada, que nos indicará,por ejemplo, los puntos inicial y final de C, y el sentido en el que se recorre (la orientación). Lasintegrales de línea son, en cierta medida, independientes de la parametrización que usemos: siγ : [a, b]→ C es un camino suave por tramos que parametriza C y τ : [c, d]→ [a, b] es biyeccióncreciente con derivada continua, entonces la función β (t) = γ (τ (t)) parametriza C en [c, d],mantiene la orientación (punto inicial y final), y se puede ver fácilmente que∫

γf (z) dz =

∫βf (z) dz,

es decir, este tipo de cambio de parametrización no afecta el valor de la integral. Por otrolado, si τ : [c, d] → [a, b] es biyección decreciente con derivada continua, entonces la función

144 Integrales en C

β (t) = γ (τ (t)) parametriza C en [c, d], invierte la orientación (invierte punto inicial y final), yse puede ver fácilmente que ∫

γf (z) dz = −

∫βf (z) dz,

es decir, este tipo de cambio de parametrización que invierte la orientación sólo cambia el signode la integral. Por lo expuesto al comienzo de este capítulo, no profundizaremos más sobre estacuestión.

Ejemplo 5.8 Si C es el segmento de recta que va desde z0 hasta z1 y queremos calcular∫C dz,

entonces parametrizamos C por medio de γ (t) = z0 + t (z1 − z0) , t ∈ [0, 1] , y∫Cdz =

∫ 1

0(z1 − z0) dt = (z1 − z0) .

Proposición 5.9 Si f (z) , g (z) son funciones continuas y C, C1 y C2 son curvas suaves portramos, entonces

1.∫C (z0f (z) + g (z)) dz = z0

∫C f (z) dz +

∫C g (z) dz.

2. Si −C es la curva C recorrida en sentido inverso, entonces∫−C f (z) dz = −

∫C f (z) dz.

3. Si C = C1⊕C2, es decir si la curva C consiste en recorrer primero la curva C1 y luego lacurva C2, entonces

∫C f (z) dz =

∫C1f (z) dz +

∫C2f (z) dz.

4. Si |f (z)| ≤M ∀ z ∈ C, entonces∣∣∫C f (z) dz

∣∣ ≤M` (C) , donde ` (C) = largo de la curvaC.(1)

Demostración. Las tres primeras son inmediatas de las definiciones y propiedades anterioresy quedan como ejercicio. Para la cuarta, tomamos una parametrización γ : [a, b] → C de C,entonces ∣∣∣∣∫

Cf (z) dz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

af (γ (t)) γ′(t)dt

∣∣∣∣ ,teniendo en cuenta que esta es una integral del tipo de la Proposición anterior, resulta∣∣∣∣∫

Cf (z) dz

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

∣∣f (γ (t)) γ′(t)∣∣ dt ≤M ∫ b

a

∣∣γ′(t)∣∣ dt = M` (C) .

Definición 5.10 Si f : D → C es una función de variable compleja, entonces diremos que F (z)es una primitiva de f en D si ocurre que F es derivable en D y F ′(z) = f (z) para todo z ∈ D.

1Si C está parametrizada por el camino suave por trozos γ : [a, b]→ C, entonces ` (C) =∫ ba|γ′(t)| dt

Integrales en C 145

Teorema 5.11 Si f (z) es una función continua en un abierto D y tiene una primitiva F (z)en D (o sea si F ′(z) = f (z) ∀ z ∈ D), entonces para todo camino suave por tramos γ : [a, b]→ Dse tiene que ∫

γf (z) dz = F (γ (b))− F (γ (a)) ,

es decir, la integral no depende del camino γ sino de los puntos inicial y final γ (a) y γ (b) . Enparticular si C es una curva cerrada se tiene que

∫C f (z) dz = 0.

Demostración. Hemos visto ya que

d

dt(F ◦ γ) (t) = F ′ (γ (t)) γ′(t) = f (γ (t)) γ′(t),

y entonces ∫γf (z) dz =

∫ b

af (γ (t)) γ′(t)dt = F (γ (b))− F (γ (a)) .

Corolario 5.12 No existe una rama del logaritmo en C−{0}.

Demostración. De existir, tendríamos que∫|w|=1

1

zdz = 0.

5.2. El campo de Poyla

En esta sección veremos brevemente la relación entre las integrales de línea compleja y susprimas, las integrales de línea de campos vectoriales. El vinculo se realiza a través del siguientecampo vectorial:

Definición 5.13 Si f : Dab ⊆ C → C es una función y f = u + iv (partes real e imaginaria,respectivamente), se define el Campo de Poyla de f por

~Ff = (u,−v) .

En rigor dicho campo no es más que f , pero se ha puesto particular énfasis en la notaciónvectorial (típica del Cálculo de Varias Variables) por la estrecha relación que existe entre estecampo, las integrales vectoriales, y las integrales complejas.

Teniendo en cuenta que rot(~Ff

)= −vx − uy y que div

(~Ff

)= ux − vy, resulta de manera

inmediata el siguiente resultado:

146 Integrales en C

Proposición 5.14 Si f : Dab ⊆ C→C es una función, f = u+ iv, y ~Ff es su campo de Poyla,

entonces f es analítica en D si y solo si el campo de Poyla es diferenciable, y rot(~Ff

)=

div(~Ff

)= 0. Es decir, si las funciones coordenadas son diferenciables, la función es analítica

si y solo si su campo de Poyla es irrotacional e incompresible.

Demostración. Es exactamente el Teorema 3.16 con una notación diferente.

El resultado anterior, aunque simple, deja de manifiesto la profunda conexión existente entreambas teorías, hecho fundamental si se tiene en cuenta la importancia de los campos irrota-cionales e incompresibles en diferentes áreas (teóricas y aplicadas). A continuación veremos elrol que juega este campo en la teoría de integrales. Para ello necesitamos una serie de resultadosy notaciones propias del Cálculo Vectorial, que enunciaremos brevemente

1. γ : [a, b] → C ⊆ R2 es un camino suave por tramos que parametriza la curva C, γ (t) =(x (t) , y (t)) (ver la Definición 4.2 y la Observación que le sigue); es regular si su derivada nose anula (donde existe). Cada curva admite dos orientaciones, y γ (a+ b− t) parametrizaC (en el mismo intervalo) con la orientación opuesta. ~F : Dab ⊆ R2 → R2 es un campovectorial, ~F = (P,Q) , y f : Dab ⊆ R2 → R es un campo escalar. Mantendremos estanotación para los siguientes puntos.

2. El rotor de ~F es rot(~F)

=(∂Q∂x −

∂P∂y

), y la divergencia de ~F es div

(~F)

=(∂P∂x + ∂Q

∂y

).

El gradiente es 5f =(∂f∂x ,

∂f∂y

)(en todos los casos asumimos que existen las derivadas

necesarias).

3. Si γ es regular, γ′ (t) es un vector tangente a C en γ (t) (cuando no es nulo). En tal caso,~T = γ′

‖γ′‖ = 1‖γ′‖ (x′, y′) es el vector tangente unitario, y ~n = −i~T = 1

‖γ′‖ (y′,−x′) es elnormal unitario exterior a C.

4. Si γ : [a, b] → C ⊆ R2 parametriza la curva C, entonces∫C fds =

∫ ba f (γ (t)) ‖γ′ (t)‖ dt

es la integral de línea del campo escalar f a lo largo de γ. En circunstancias razonables,no depende de la parametrización (ni siquiera de la orientación). También suele denotarse∫γ fds.

5. Si γ : [a, b]→ C ⊆ R2 parametriza la curva C, entonces∫C~F · d~r =

∫ ba~F (γ (t)) · γ′ (t) dt =∫ b

a [P (x (t) , y (t))x′ (t) +Q (x (t) , y (t)) y′ (t)] dt es la integral de línea del campo vectorial~F . Otras notaciones son:

∫γ~F · d~r,

∮C Pdx + Qdy,

∮γ Pdx + Qdy, etc. En circunstancias

muy generales no depende de la parametrización más que por la orientación que ésta le daa la curva. El cambio en la orientación de la parametrización se refleja únicamente en elcambio del signo del resultado de la integral. En cualquier caso, la orientación debe estarclaramente explicitada.

6.∫C~F ·d~r =

∫C

(~F · ~T

)ds. Esto da una relación entre integral de campo vectorial e integral

de campo escalar.

Integrales en C 147

7. Si C es cerrada, entonces∫c

(~F · ~T

)ds mide la circulación a lo largo de C,

∫c

(~F · ~n

)ds

el flujo saliente a través de C, y se denota∫c

(~F · ~T

)ds = Circ

(~F ,C

)y∫c

(~F · ~n

)ds =

Flux(~F ,C

).

8. Si C es una curva suave por tramos y cerrada simple, recorrida en sentido antihorario, y~F un campo con derivadas parciales continuas sobre C y su interior D, entonces valen lossiguientes:

Teorema de Green: ∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dA=

∮CPdx+Qdy

o bien ∫∫Drot(~F)dA =

∮C

~F · d~r =

∫C

(~F · ~T

)ds = Circ

(~F ,C

)Teorema de la divergencia:∫∫

D

(∂P

∂x+∂Q

∂y

)dA=

∮CPdy −Qdx

o bien ∫∫D

div(~F)dA =

∮C

(~F · ~n

)ds = Flux

(~F ,C

)Notar que el teorema de la divergencia, es meramente aplicar el teorema de Green al campo(−Q,P ).

Nota importante 5.15 Cuando pedimos que una función f sea “derivable en C y su interior”significa que existe un conjunto abierto que incluye a C y su interior donde la función f esderivable (lo mismo aplica para continua, Ck, o cualquiera de esas propiedades que se definenpuntualmente cuando la función esta definida en un entorno del punto. Esto aplica a los puntosanteriores y a todos los resultados del resto del apunte.

Si γ : [a, b]→ C ⊆ C es un camino suave por tramos que parametriza C, y f (z) es continuaen C, entonces poniendo f = u + iv (parte real e imaginaria) y γ (t) = x (t) + iy (t) resulta(suprimiendo algunas variables para facilitar la lectura)∫

Cf (z) dz =

∫ b

af (γ (t)) γ′ (t) dt =

∫ b

a(u (γ) + iv (γ))

(x′ + iy′

)dt

=

∫ b

a

(u (γ)x′ − v (γ) y′

)dt+ i

∫ b

a

(u (γ) y′ + iv (γ)x′

)dt

=

∫C

(udx− vdy) + i

∫C

(udy + vdx) (5.1)

Esta representación resulta de por si útil, y para recordarla se puede utilizar la siguienteregla nemotécnica ∫

Cf (z) dz =

∫C

(u+ iv) (dx+ idy) .

148 Integrales en C

Cuando traducimos la representación anterior utilizando el campo de Poyla, resulta∫Cf (z) dz =

∫C

(~Ff · ~T

)ds+ i

∫C

(~Ff · ~n

)ds,

De nuevo, esto muestra la estrecha relación entre las integrales de línea complejas y las vectori-ales. Si la curva C es cerrada, resulta∫

Cf (z) dz = Circ

(~F ,C

)+ iF lux

(~F ,C

). (5.2)

Esto tendrá gran relevancia en las secciones siguientes. Muchos resultados que dependen deintegración compleja tienen su contraparte vectorial, expresada a través del campo de Poyla.Nosotros trataremos de elegir uno y otro, según cual parezca más conveniente en cada caso.

5.3. Teoremas de Cauchy

En esta sección veremos un montón de resultados, que en el fondo son todos equivalentes.Todas las curvas que aparecen se suponen suaves por tramos, salvo especificación contraria.

Teorema 5.16 (de Cauchy) Si D es unabierto simplemente conexo en C, f (z) esanalítica en D y C es una curva cerrada sim-ple contenida en D, entonces∫

Cf (z) dz = 0.

D

C

Demostración. Supongamos, a los fines de allanar la demostración, que f ′ es continua (lademostración sin esta hipótesis adicional es muy complicada y no vale la pena meterse en eso).

Llamemos ~Ff al campo de Poyla de f ; como f es analítica en D resulta rot(~Ff

)= div

(~Ff

)= 0

(proposición 5.14). La demostración se termina aplicando (5.2) y los Teoremas de Green y de ladivergencia a C y Int(C).

Otra forma de enunciar el teorema de Cauchy (absolutamente equivalente) es la siguiente:

Si C es una curva cerrada simple y f es analítica sobre C y su interior, entonces∫Cf (z) dz = 0.

Nota 5.17 El teorema anterior vale si C no es simple: si C se corta a sí misma un número finitode veces entonces para verlo basta con partir C en suma de curvas cerradas simples (ejercicio),

Integrales en C 149

si C se corta a sí misma un número infinito de veces, es más difícil verlo.

C

D

C1

C2

C3

Corolario 5.18 Si R es una región cuya frontera ∂R consta de dos curvas cerradas simples(∂R)1 y (∂R)2, la segunda en el interior de la primera y recorridas en sentido inverso, y f (z)es una función analítica en un abierto D que contiene a R ∪ ∂R, entonces∫

(∂R)1

f (z) dz = −∫

(∂R)2

f (z) dz.

Como consecuencia, ∫∂Rf (z) dz = 0.

Demostración. Podríamos apelar (como en la demostración de Cauchy) a un resultado equiv-alente para campos vectoriales, pero procederemos de forma constructiva. Dividamos a R comosugiere el dibujo, y llamemos C1 y C2 a las fronteras de cada pedazo de R:

DT1

T2

T3

T4

S1

S2

S3S4

R

de modo que C1 = T1 ⊕ T2 ⊕ T3 ⊕ T4 y C2 = S1 ⊕ S2 ⊕ S3 ⊕ S4 con las orientaciones dibujadas.Cauchy dice que ∫

C1

f (z) dz =

∫C2

f (z) dz = 0,

y entonces

0 =

∫T1

f (z) dz +

∫T2

f (z) dz +

∫T3

f (z) dz +

∫T4

f (z) dz +

+

∫S1

f (z) dz +

∫S2

f (z) dz +

∫S3

f (z) dz +

∫S4

f (z) dz,

pero teniendo en cuenta que∫T2

f (z) dz +

∫S4

f (z) dz =

∫T4

f (z) dz +

∫S2

f (z) dz = 0,

150 Integrales en C

resulta que

0 =

∫T1

f (z) dz +

∫T3

f (z) dz +

∫S1

f (z) dz +

∫S3

f (z) dz,

o sea

0 =

∫∂Rf (z) dz.

Otra forma equivalente de enunciar el teorema anterior es la siguiente:

Si C1 y C2 son curvas cerradas simples, con C2 contenida en el interior de C1

y f es analítica sobre C1, C2 y la región delimitada por ellas ( Int (C1) ∩Ext (C2)),entonces ∫

C1

f (z) dz =

∫C2

f (z) dz,

donde ambas curvas tienen la misma orientación.

A la orientación que le hemos dado a ∂R se llama orientación positiva. Notar que en elcorolario anterior, D no necesita ser simplemente conexo, o sea que por ejemplo se aplica aD = C−{0} , R = {z : 1 < |z| < 2} , y f (z) = 1/z. Además el corolario anterior se puedegeneralizar para regiones “con muchos huecos”, o sea regiones cuya frontera es una curva cerradasimple C y curvas cerradas simples C1, ..., Cn en el interior de C, que no se cortan entre ellas ysus interiores tienen intersección vacía.

CC1

C2

C3

Cn

Si le damos a C, C1, ..., Cn la orientación que sugiere el dibujo (orientación positiva), entoncesel teorema dice ∫

Cf (z) dz +

n∑j=1

∫Cj

f (z) dz = 0.

Corolario 5.19 (principio de deformación de la trayectoria) Si C1 y C2 son dos curvascerradas simples recorridas en el mismo sentido, y f (z) es una función analítica en un abiertoD que contiene a C1, C2 y la región (Int (C1) ∪ Int (C2)) − (Int (C1) ∩ Int (C2)) (ver dibujo),entonces ∫

C1

f (z) dz =

∫C2

f (z) dz.

Integrales en C 151

Demostración.

C1

C2

C1

C2

Si las curvas no se cortan entonces este resultado es como el corolario 5.18 si una esta en elinterior de la otra, o las integrales son cero si no se cortan, por el teorema de Cauchy. Paracurvas que se cortan una cantidad finita de veces, la región en cuestión es la que determinanlas dos curvas, y la demostración es igual que el corolario anterior, usando la nota siguiente alTeorema de Cauchy.

El nombre del Corolario anterior viene de lo siguiente: la hipótesis se puede interpretar comoque podemos “desformar”continuamente la curva C1 hasta transformarla en C2 sin salirme dela región donde f es analítica.

Ejemplo 5.20 1. Si C es la frontera del anillo {z : 1 ≤ |z| ≤ 2} orientada positivamente,entonces

∫C

1zdz = 0 pues f (z) = 1/z es analítica en C−{0}.

2. Sea C es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario y z0 es un punto enel interior de C, queremos calcular

∫C (z − z0)m dz, con m un entero. Llamemos γ (t) =

eit+z0, con t ∈ [0, 2π] (o sea γ parametriza un círculo de radio 1 centrado en z0), entoncesusando el principio de deformación de la trayectoria, tenemos que

∫C

(z − z0)m dz =

∫γ

(z − z0)m dz

def.↓=

∫ 2π

0

(eit + z0 − z0

)mieitdt =

∫ 2π

0i(eit)m+1

dt =

=

∫ 2π

0ieit(m+1)dt =

2πi si m = −1

1m+1e

it(m+1)∣∣∣2π0

= 0 si m 6= −1.

z0

Otro concepto estrechamente relacionado con el teorema de Cauchy es la noción de integralindependiente del camino:

Definición 5.21 Si f : Dab ⊆ C → C es una función continua, decimos que f tiene integralindependiente del camino en D si cualquier integral de línea de f sobre una curva en D no

152 Integrales en C

depende de la parametrización de esta sino de los extremos de la misma. Más explícitamente, siC1 y C2 son dos curvas en D con igual comienzo y fin, entonces∫

C1

f (z) dz =

∫C2

f (z) dz

Esta definición es absolutamente equivalente a pedir que∫Cf (z) dz = 0

para toda curva cerrada simple C en D, según dice el próximo Corolario:

Corolario 5.22 (Independencia del Camino) Si D es un abierto simplemente conexo, f (z)es analítica en D, entonces f tiene integral independiente del camino en D.

Demostración. Tomemos C1, C2 son dos curvas incluidas en D que van desde z0 hasta z1. SiC1 y C2 no se cortan, entonces la curva C1⊕−C2 es cerrada simple, por lo que Cauchy dice que∫

C1⊕−C2

f (z) dz = 0,

de donde se deduce, usando las propiedades vistas, que∫C1f (z) dz =

∫C2f (z) dz. Si C1 y C2 se

cortan, usar la nota que sigue al teorema de Cauchy.

D

C1

C2z0

z1

Otra forma de enunciar el teorema anterior es la siguiente:

Si para toda curva cerrada simple C en D, f es analítica sobre C y su interior,entonces f tiene integral independiente del camino en D.

Nota(ción) 5.23 En las condiciones del corolario anterior, se suele denotar∫ z1z0f (z) dz a la

integral de f sobre cualquier camino suave por tramos que va desde z0 hasta z1. Notar que fuerade este contexto específico, la expresión

∫ z1z0f (z) dz no tiene ningún sentido en variable compleja.

5.4. Primitivas

Ya definimos lo que es una primitiva de una función compleja, ahora veremos una forma deencontrar primitivas de funciones dadas.

Integrales en C 153

Teorema 5.24 (de existencia de primitivas) Sea f (z) una función continua en un abier-to D, z0 ∈ D, y supongamos que f tiene integral independiente del camino en D. Entonces lafunción

F (z) =

∫ z

z0

f (w) dw

es analítica en D y satisface F ′(z) = f (z) ∀ z ∈ D.

Demostración. Hacemos la demostración solo para el caso D conexo (pero se puede ver quevale sin pedir esta hipótesis). Tomamos un z ∈ D fijo, quiero ver que F ′(z) = f(z), o sea que

lım∆z→0

F (z + ∆z)− F (z)

∆z= f (z) ,

que es lo mismo que ver que

lım∆z→0

∣∣∣∣F (z + ∆z)− F (z)

∆z− f (z)

∣∣∣∣ = 0,

y para poder ver que este límite vale cero vamos a escribir F (z+∆z)−F (z)∆z y f (z) de otra manera.

Tomo r > 0 tal que el disco {w : |w − z| < r} este incluido en D.

D

z z+¢z0

Entonces para todo ∆z con 0 < |∆z| < r es

F (z + ∆z)− F (z)

∆z=

1

∆z

(∫ z+∆z

z0

f (w) dw −∫ z

z0

f (w) dw

)=

1

∆z

(∫ z

z0

f (w) dw +

∫ z+∆z

zf (w) dw −

∫ z

z0

f (w) dw

)=

1

∆z

∫ z+∆z

zf (w) dw.

Por otro lado, como∫ z+∆zz dw = ∆z (lo vimos en el Ejemplo 5.8,) notar que puedo calcular

dicha integral por cualquier camino que va de z a z + ∆z), entonces

f (z) = f (z)

(1

∆z

∫ z+∆z

zdw

)=

1

∆z

∫ z+∆z

zf (z) dw

(recordar que z está fijo). Entonces

F (z + ∆z)− F (z)

∆z− f (z) =

1

∆z

∫ z+∆z

zf (w) dw − 1

∆z

∫ z+∆z

zf (z) dw

=1

∆z

∫ z+∆z

z(f (w)− f (z)) dw,

154 Integrales en C

y como el largo del segmento que va de z a z + ∆z es |∆z| y la última integral la puedo hacersobre cualquier camino, resulta∣∣∣∣F (z + ∆z)− F (z)

∆z− f (z)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

∆z

∫ z+∆z

z(f (w)− f (z)) dw

∣∣∣∣ ≤ 1

|∆z|M (∆z) |∆z| = M (∆z) ,

donde

M (∆z) = max {|f (z)− f (w)| con w en el segmento que va de z a z + ∆z} .

Ahora, esta claro que M (∆z) −→∆z→0

0 pues f es continua (si ∆z → 0 y w está en el segmento

que va de z a z + ∆z entonces necesariamente f (w)→ f (z)), es decir que

lım∆z→0

∣∣∣∣F (z + ∆z)− F (z)

∆z− f (z)

∣∣∣∣ = 0,

listo.

Como corolario de este teorema podemos mejorar la versión que tenemos del teorema paraencontrar armónicas conjugadas:

Corolario 5.25 Si u (x, y) es una función armónica (real) definida en un abierto simplementeconexo D, y z0 ∈ D, entonces la integral de línea (de Análisis II)

v (z) =

∫ z

z0

uxdy − uydx

es independiente del camino, y define una función armónica conjugada de u en D.

Demostración. Llamemos g (z) = ux (z)− iuy (z) , entonces g está definida en D y es analíticaen D, pues si ponemos g = U + iV queda U = ux, V = −uy, y entonces U y V tienen derivadasparciales continuas (pues u es armónica) y

Ux = uxx, Vy = −uyy = uxx (pues u es armónica), y

Uy = uyx, Vx = −uxy = −uyx.

Además, el corolario 5.22 nos dice que f tiene integral independiente del camino en D, por lotanto, podemos encontrar una primitiva G de g integrando como en el teorema anterior. Si Czes cualquier camino que va desde z0 hasta z, y usando la representación (5.1) queda

G (z) =

∫Cz

g (w) dw =

∫Cz

Udx− V dy + i

∫Cz

Udy + V dx =

=

∫Cz

uxdx+ uydy + i

∫Cz

uxdy − uydx =

∫Cz

∇u · d~r + iv (z) =

u (z)− u (z0) + iv (z) .

Como G es una función analítica (es derivable y su derivada es g) entonces G (z) − u (z0) esanalítica en D, y su parte imaginaria es v (z).

Sintetizamos en el siguiente teorema algunos resultados equivalentes probados en las seccionesanteriores:

Integrales en C 155

Teorema 5.26 Si f : Dab ⊆ C→ C es una función continua, entonces son equivalentes:

1. Existe F tal que F ′ = f en D.

2.∫C f (z) dz = 0 para toda curva cerrada simple en D.

3. f tiene integral independiente del camino en D.

Cualquiera de ellas implica que f es analítica en D, y recíprocamente, si f es analítica enD y D es simplemente conexo, entonces todas son verdaderas.

Demostración. Hicimos (1)⇒ (2)⇒ (3)⇒ (1), que (1)⇒ f analítica es por que las funcionesanalíticas tienen infinitas derivadas (en la próxima sección), y la recíproca para D simplementeconexo es el Teorema de Cauchy.

Sin la hipótesis de simplemente conexo la recíproca enunciada es falso: pensar en la funciónf (z) = 1/z en C− {0}. La implicación (2)⇒ f analítica se llama Teorema de Morera.

5.5. Fórmula integral de Cauchy

En esta sección veremos otro importante resultado teórico y sus consecuencias.

Teorema 5.27 (fórmula integral de Cauchy) Si f (z) es analítica en un abierto simple-mente conexo D, C es una curva cerrada simple en D y z0 es un punto en el interior de C,entonces

f (z0) =1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)dz,

donde C se recorre en sentido antihorario.

Otra forma equivalente de enunciar este teorema es:

Si C es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario, y f es unafunción analítica sobre C y su interior, entonces para todo z0 en el interior de C setiene que

f (z0) =1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)dz.

Demostración. Como f (z) = f (z0) + f (z)− f (z0) , tenemos que

1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)dz =

1

2πi

∫C

f (z0)

(z − z0)dz +

1

2πi

∫C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz

=f (z0)

2πi

∫C

1

(z − z0)dz +

1

2πi

∫C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz,

y como∫C

1(z−z0)dz = 2πi (ver Ejemplo 1), el teorema quedará demostrado si probamos que∫

C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz = 0.

156 Integrales en C

Tomemos r0 lo suficientemente pequeño como para que el entorno {z : |z − z0| < r0} este incluidoen el interior de C (existe pues Jordan dice que el interior de C es abierto), entonces si Cr es uncírculo de radio r centrado en z0 con r < r0, un corolario del teorema de Cauchy nos dice que∫

C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz =

∫Cr

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz, (5.3)

donde Cr se recorre en sentido antihorario (esto es porquef(z)−f(z0)

(z−z0) es analítico en D − {z0} ,que es un abierto que contiene la región cuya frontera es C ∪ Cr).

C

D

Cz0

rCr

LlamemosM (r) = max

z∈Cr|f (z)− f (z0)|

(o sea M (r) es el máximo valor que toma la función |f (z)− f (z0)| cuando z se mueve por Cr),entonces ∣∣∣∣f (z)− f (z0)

(z − z0)

∣∣∣∣ ≤ M (r)

r∀ z ∈ Cr.

Combinado esto con (5.3), y usando las propiedades de acotación y que ` (Cr) = 2πr, queda∣∣∣∣∫C

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz

∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸número fijo

=

∣∣∣∣∫Cr

f (z)− f (z0)

(z − z0)dz

∣∣∣∣ ≤ M (r)

r2πr = 2πM (r)︸ ︷︷ ︸

depende de r

,

es decir, el número que queremos probar es cero, es más chico que M (r) cualquiera sea r < r0.Por último, notar que haciendo r → 0 puedo hacer M (r) tan próximo a 0 como quiera, pues fes analítica en (un entorno de) z0 y por lo tanto continua en z0.

Una de las consecuencias importante de la fórmula integral de Cauchy es el siguiente teorema:

Teorema 5.28 Si f es analítica en un abierto D entonces tiene derivadas de todos los órdenesen D, es decir, f (n) (z) existe y es analítica en D para todo n ∈ N. Además,

f (n) (z0) =n!

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)n+1dz ∀ z0 ∈ D y ∀n ∈ N,

donde C es cualquier curva cerrada simple en D que contenga z0 en su interior, y tal que f seaanalítica en todo el interior de C.

Integrales en C 157

Este teorema es muy importante porque dice que si uno tiene una función f : D → Cderivable (con D abierto en C), entonces la puedo derivar tantas veces como quiera, lo cual esbastante distinto a lo que pasaba en R.Idea de la demostración. Hay que aplicar inducción en n. Para n = 1, tomamos C como enel enunciado, y entonces aplicando la fórmula integral de Cauchy se llega a

f (z0 + ∆z)− f (z0)

∆z=

1

∆z

(1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0 −∆z)dz − 1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)dz

)=

1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0 −∆z) (z − z0)dz,

de donde resulta

f (z0 + ∆z)− f (z0)

∆z− 1

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)2dz =1

2πi

∫C

f (z) ∆z

(z − z0 −∆z) (z − z0)2dz −→∆z→00;

para ver esto (que tiende a 0) se procede como en la demostración anterior. El caso general sesigue por inducción, planteando

f (n+1) (z0) = lım∆z→0

1

∆z

(n!

2πi

∫C

f (z)

(z − z0 −∆z)n+1dz −n!

2πi

∫C

f (z)

(z − z0)n+1dz

),

en donde estoy asumiendo que la fórmula vale para n.

Corolario 5.29 Si f (z) es analítica en un abierto D que incluye la bola {z : |z − z0| ≤ r} , y|f (z)| ≤M ∀ z ∈ {z : |z − z0| = r} , entonces∣∣∣f (n) (z0)

∣∣∣ ≤ n!M

rn.

Demostración. Si Cr = {z : |z − z0| = r} , usando el teorema anterior y acotación, y puestoque |z − z0| = r si z ∈ Cr, tenemos que∣∣∣f (n) (z0)

∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ n!

2πi

∫Cr

f (z)

(z − z0)n+1dz

∣∣∣∣ ≤ n!

2π

M

rn+1` (Cr) =

n!

2π

M

rn+12πr.

Corolario 5.30 (del corolario, teorema de Liuville) Si f (z) es analítica en todo C y |f |es acotada, entonces f es constante.

Demostración. Sabemos que hay un número positivoM tal que |f (z)| ≤M ∀ z ∈ C. Tomemosz0 ∈ C, entonces como {z : |z − z0| ≤ r} ⊆ C ∀ r > 0, el corolario anterior dice que∣∣f ′ (z0)

∣∣ ≤ M

r∀ r > 0,

y por lo tanto f ′ (z0) = 0, como esto vale ∀ z0 ∈ C, tenemos que f es constante.Seguimos con un clásico de esta sección, que no falta en prácticamente ningún libro del tema:

Corolario 5.31 (Teorema Fundamental del Álgebra) Supongamos que p (z) es un poli-nomio. Si p (z) no es constante, entonces tiene raíces en C.

158 Integrales en C

Demostración. Supongamos que p (z) no tiene raíces en C, entonces la función f (z) = 1p(z) es

analítica en C. Además,

lımz→∞

p (z) =∞, y entonces lımz→∞

f (z) = 0.

Eso implica que f es acotada en C (pues por ser continua lo es en toda bola cerrada), y entoncesdebería ser constante en C, con lo que resultaría p (z) constante en C, lo cual es absurdo.

Ejemplo 5.32 1. Queremos acotar∫C

sin(z)z dz, donde C es el círculo {z : |z| = 2} . Como

la cota depende del largo de C y no de la dirección en que C se recorre, no hace faltaespecificar la orientación de C. Ahora, sin (z) = 1

2i

(eiz − e−iz

), entonces

|sin (z)| ≤ 1

2

(∣∣eiz∣∣+∣∣e−iz∣∣) ,

y si z = x+ iy, queda∣∣eiz∣∣ =

∣∣eix−y∣∣ = e−y, y análogamente∣∣e−iz∣∣ = ey, o sea

|sin (z)| ≤ 1

2

(ey + e−y

)= cosh (y) .

Si z ∈ C entonces y ∈ [−2, 2] , tenemos que

|sin (z)||z| ≤ cosh (2)

2∀ z ∈ C,

por lo tanto ∣∣∣∣∫C

sin (z)

zdz

∣∣∣∣ ≤ cosh (2)

22π2 = 2π cosh (2) .

2. Queremos calcular∫ iπ

0 ezdz. Notar que esa expresión tiene sentido pues ez es analíticaen todo el plano complejo, y por lo tanto la integral no depende del camino sino de losextremos. Puesto que (ez)′ = ez, resulta∫ iπ

0ezdz = eiπ − e0 = −2.

3. Para calcular∫C

zz2+2

dz, donde C es el círculo {z : |z| = 1} recorrido en sentido antiho-rario, no hay que hacer ninguna cuenta: puesto que la función

f (z) =z

z2 + 2

es analítica en D = {z : |z| < 2} , que es un abierto simplemente conexo que contiene C,Cauchy dice que tal integral vale 0.

4. Para calcular∫C

cos(z)z dz, donde C es el círculo {z : |z| = 1} recorrido en sentido antiho-

rario, se puede usar la fórmula integral de Cauchy: tomando f (z) = cos (z) y revisando elteorema, concluimos que

cos (0) =1

2πi

∫C

cos (z)

zdz, o sea

∫C

cos (z)

zdz = 2πi.

Integrales en C 159

5.6. Módulo Máximo

Otra importante consecuencia de la fórmula integral de Cauchy es que nos permite ver queuna función analítica no puede tener máximo, en módulo, en ningún abierto. Para ver esto,comenzamos con un lema:

Lema 5.33 Si f (z) es una función analítica en el entorno B = {z : |z − z0| < ε} , y |f (z0)| ≥|f (z)| para todo z ∈ B, entonces f es constante en B.

Demostración. Tomemos w ∈ B y llamemos ρ = |w − z0| y Cρ al círculo {z : |z − z0| = ρ}recorrido en sentido antihorario (notar que Cρ ⊆ B). Parametrizamos Cρ por medio de γ (t) =z0 + ρeit, con t ∈ [0, 2π] ,

B

w

½ "z0

entonces usando la fórmula integral de Cauchy y la definición de integral, tenemos que

f (z0) =1

2πi

∫Cρ

f (z)

z − z0dz =

1

2πi

∫ 2π

0

f(z0 + ρeit

)z0 + ρeit − z0

iρeitdt =1

2π

∫ 2π

0f(z0 + ρeit

)dt,

y entonces

|f (z0)| =∣∣∣∣ 1

2π

∫ 2π

0f(z0 + ρeit

)dt

∣∣∣∣ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

∣∣f (z0 + ρeit)∣∣ dt ≤ 1

2π

∫ 2π

0|f (z0)| dt = |f (z0)| ,

donde hemos usado propiedades de las integrales de funciones complejas de variable real en laprimer desigualdad y que |f (z0)| ≥ |f (z)| para todo z ∈ Cρ en la segunda. Esta última cadenade desigualdades nos permite deducir que

1

2π

∫ 2π

0

∣∣f (z0 + ρeit)∣∣ dt =

1

2π

∫ 2π

0|f (z0)| dt,

y entonces1

2π

∫ 2π

0

(|f (z0)| −

∣∣f (z0 + ρeit)∣∣) dt = 0.

Pero el integrando de esa integral es una función continua (de t) y positiva, por lo tanto debeser

|f (z0)| −∣∣f (z0 + ρeit

)∣∣ = 0 ∀ t ∈ [0, 2π] ,

en particular, |f (w)| = |f (z0)| . Como este razonamiento vale para cualquier w de B, concluimosque

|f (w)| = |f (z0)| ∀ w ∈ B,

160 Integrales en C

es decir que f tiene módulo constante en B, y por lo tanto debe ser constante en B según ciertoteorema que vimos.

Con este lema, podemos demostrar el teorema principal de esta sección:

Teorema 5.34 (del Módulo Máximo) Si f (z) es una función analítica en un abierto conexoD, entonces |f (z)| no puede alcanzar un valor máximo en D, salvo que f sea constante en D.Dicho de otra forma, si f no es constante en D entonces no existe en D ningún punto z0 quesatisfaga |f (z)| ≤ |f (z0)| ∀ z ∈ D.

Demostración. Supongamos que existe z0 ∈ D tal que |f (z)| ≤ |f (z0)| ∀ z ∈ D. Voy amostrar que en tal caso f es constante en D. Tomo w ∈ D cualquiera, y como D es conexoexiste una poligonal C que une z0 con w. Llamemos d a la mínima distancia entre C y ∂D (otomamos d cualquier número positivo si D = C, d es siempre positivo pero no vamos a demostrareso acá, lo vamos a aceptar). Formemos ahora una sucesión finita de números z1, z2, ..., zn en C,de forma tal que zn = w y

|zj − zj−1| < d ∀ j = 1, 2, ..., n,

y construyamos entornos B0, ..., Bn, donde Bj = {z : |z − zj | < d} .

D

z2z3

zn

z4

z0z1

B0B1

B2Bn

Notar que cada Bj ⊆ D, y de esta forma el centro de la bola Bj pertenece también a la bolaBj−1.

La demostración termina aplicando el lema anterior a cada bola: como |f (z0)| ≥ |f (z)| ∀ z ∈B0 el lema anterior nos dice que f es constante en dicha bola, en particular f (z1) = f (z0) . Peroentonces |f (z1)| ≥ |f (z)| ∀ z ∈ D, en particular |f (z1)| ≥ |f (z)| ∀ z ∈ B1, y de nuevo ellema anterior nos dice que f debe ser constante en B1, en particular f (z2) = f (z0) . Repitiendoeste razonamiento n-veces concluimos que f (zn) = f (z0) , o sea f (w) = f (z0) . Como esto valepara todo w de D, listo.

Si una función es analítica en el interior de un conjunto conexo, cerrado y acotado R, ycontinua en todo R, entonces la función real y continua |f (z)| debe alcanzar un máximo en R(Análisis II, función continua sobre compacto), es decir, debe existir z0 en R tal que

|f (z)| ≤ |f (z0)| ∀ z ∈ R.

Si f es constante, tendremos que |f (z)| = |f (z0)| ∀ z ∈ R, pero si f no es constante, el teoremaanterior nos dice que

|f (z)| < |f (z0)| ∀ z perteneciente al interior de R,

es decir que vale el siguiente:

Integrales en C 161

Corolario 5.35 Si f es una función continua en un conjunto conexo, cerrado y acotado R, yanalítica en el interior R, entonces el máximo de |f (z)| se alcanza siempre en un punto de lafrontera de R y nunca en un punto del interior.

Para terminar, un teorema muy útil que se llama principio del máximo para funcionesarmónicas, que es el que permite asegurar la unicidad de solución en los problemas de tipoDirichlet(2):

Teorema 5.36 Si u (x, y) es una función armónica en un abierto conexo D de C, entonces uno puede alcanzar un valor máximo en D, salvo que sea constante en D.

Demostración. Primero supongamos D es una bola. En tal caso, sabemos que existe unaarmónica conjugada de u, que llamamos v. Así, la función g (z) = u (x, y) + iv (x, y) en analíticaen D, y por lo tanto también lo es

f (z) = eg(z).

Pero |f (z)| = eu(z), por lo tanto si u (z0) es máximo en D tendremos que |f (z0)| es máximo enD, y por lo tanto f es constante en D, según el teorema anterior. Entonces eu(z) es constanteen D, lo que nos dice que u (z) es constante en D.

Para el caso general, se procede como en la demostración del Teorema del Módulo Máximo.

Junto con el teorema anterior, tenemos el respectivo corolario:

Corolario 5.37 Si u (x, y) es una función real continua en un conjunto conexo, cerrado y aco-tado R, y armónica en el interior R, entonces el máximo de u (x, y) se alcanza siempre en unpunto de la frontera de R y nunca en un punto del interior.

2Con problema tipo Dirichlet nos referimos al siguiente: dado un abierto D de C, y una función real f definidaen ∂D, hay que encontrar una función armónica T en D, continua en D ∪ ∂D y con T (z) = f (z) ∀ z ∈ D.

162 Integrales en C