Casos de Estudio Con Métodos Numéricos Aplicados

7/21/2019 Casos de Estudio Con Métodos Numéricos Aplicados

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Casos de estudio con métodosnuméricos aplicados

Alumno: Oscar Daniel Rivas BurciagaMatricula: 257399Materia: Métodos NuméricosDocente: Blas Eduardo Magallanes Ramre!



ÍndiceIntegración para determinar la cantidad total de calor .........................................................1

Antecedentes................................................................................................... 1

Desarrollo.........................................................................................................2

Ejemplo............................................................................................................ 2

Bibliografía.......................................................................................................3

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras..............................................3

Antecedentes................................................................................................... 3

Desarrollo.........................................................................................................

Ejemplo............................................................................................................ !

Bibliografía......................................................................................................."

Raíz media cuadrática de la corriente mediante integración numérica....................................#

Antecedentes................................................................................................... #

Desarrollo.........................................................................................................#

Ejemplo............................................................................................................ #

Bibliografía.......................................................................................................$

Integración numérica para calcular el trabajo...................................................................$

Antecedentes................................................................................................... $

Desarrollo.........................................................................................................%

Ejemplo.......................................................................................................... 1&Bibliografía.....................................................................................................11

Integración para determinar la cantidad total de calor

Antecedentes

En ingeniera "umica # en $ioingeniera se em%lean c&lculos de la cantidad de calor en'orma rutinaria( as como en muc)os otros cam%os de la ingeniera* Esta a%licaci+n o'receun e,em%lo sim%le( %ero -til( de tales c&lculos* .a determinaci+n de la cantidad de calorre"uerido %ara elevar la tem%eratura de un material es un %ro$lema con el "ue a menudonos en'rentamos* .a caracterstica necesaria %ara llevar a ca$o este c&lculo es la ca%acidadcalor'ica c* Este %ar&metro re%resenta la cantidad de calor re"uerida %ara elevar una unidadde tem%eratura en una unidad de masa*

Desarrollo

1



/i c es constante en el intervalo de tem%eraturas "ue se e0aminan( el calor re"uerido 1 encaloras4 se calcula mediante

1 mc 16 2*84

Donde c est& en calg ;<4( m masa g4 # 16 cam$io de tem%eratura ;<4* =ore,em%lo(la cantidad de calor necesaria %ara elevar la tem%eratura de 2> gramos de aguadesde 5 )asta 8>;< es igual a:

1 2>848> ? 54 8>> cal

Donde la ca%acidad calor'ica del agua es a%ro0imadamente 8 calg ;<4* Este c&lculo esadecuado cuando 16es %e"ue@o* /in em$argo( %ara grandes cam$ios de tem %eratura( laca%acidad calor'ica no es constante #( de )ec)o( vara en 'unci+n de la tem%eratura* =ore,em%lo( la ca%acidad calor'ica de un material %odra aumentar con la tem%eratura deacuerdo con una relaci+n tal como:

Ejemplo

En este caso se %ide %or e,em%lo calcular el calor necesario %ara elevar la tem%eratura de8>>> gramos de este material desde ?8>> )asta 2>>;<*

.a ecuaci+n o'rece una manera %ara calcular el valor %romedio c64:

"ue se sustitu#e en la ecuaci+n 2*84 %ara dar:

donde 16 62? 68* A)ora como( en el caso actual( c64 es una 'unci+n cuadr&tica( 1%uede determinarse de manera analtica* .a ecuaci+n 2*24 se sustitu#e en la ecuaci+n #

des%ués se integra %ara dar un valor e0acto( 1 2 732 cal* =ara esto( es necesariogenerar una ta$la de valores de c %ara distintos valores de 6:

2



Estos %untos se utili!an ,unto con una regla de /im%son 83 con seis segmentoscalcul&ndose una estimaci+n de la integral de 2 732( este resultado se sustitu#e en laecuaci+n %ara o$tener un valor de 1 2 732 cal( el cual concuerda e0actamente con lasoluci+n analtica* .os resultados "ue se o$tuvieron con la regla del tra%ecio se muestran enla ta$la:

Bibliografía

/teven <* <)a%ara( Ra#mond =* <anale* 2>>* Métodos Numéricos %ara ngenieros*

<a%tulo 2*8* Cuinta Edici+n* McraFill* %&g* G2FG*

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras

Antecedentes

En la 'igura se muestra la secci+n transversal de un $ote de vela de carreras* .as 'uer!as delviento '4( e,ercidas %or %ie de m&stil de las velas( varan en 'unci+n de la distancia so$re lacu$ierta del $ote !4* <alcule la 'uer!a de tensi+n 6 en el ca$le de so%orte i!"uierdo delm&stil( su%oniendo "ue el ca$le de so%orte derec)o est& totalmente 'lo,o # "ue el m&stil se

une a la cu$ierta de modo "ue transmite 'uer!as )ori!ontales o verticales( %ero nomomentos* /u%onga "ue el m&stil %ermanece vertical*

3



Desarrollo

=ara resolver este %ro$lema( se re"uiere "ue la 'uer!a distri$uida ' se convierta en una

'uer!a total e"uivalente H # "ue se calcule su locali!aci+n d so$re la cu$ierta 'igura 2*24*

Este c&lculo se com%lica %or el )ec)o de "ue la 'uer!a e,ercida %or %ie de m&stil vara con

la distancia so$re la cu$ierta* .a 'uer!a total e,ercida so$re el m&stil se e0%resa como la

integral de una 'unci+n continua:

Esto se lleva a ca$o al calcular '!4 %ara di'erentes valores de !



Ejemplo

"ue %ro%orciona datos %ara la regla de /im%son 83 o %ara la regla del tra%ecio*

.a 'uer!a e'ectiva de la siguiente 'igura se %uede calcular usando las siguientes integrales:

'

!



<onocidos H # d mediante los métodos numéricos( a)ora se em%lea un diagrama de cuer%oli$re %ara desarrollar ecuaciones de $alance de 'uer!a # de momento* El diagrama decuer%o li$re se muestra en la 'igura 2*2* /umando 'uer!as en las direcciones vertical #)ori!ontal( # tomando momentos res%ecto al %unto > se o$tiene:

donde 6 la tensi+n en el ca$le # # I las reacciones desconocidas so$re el m&stil

transmitidas %or la cu$ierta* 6anto la direcci+n como la magnitud de # I sondesconocidas* De la -ltima ecuaci+n se des%e,a directamente I( %uesto "ue se conocen H #d:

=or lo tanto( a %artir de la ecuaci+n:

# de la ecuaci+n:

A)ora al conocer estas 'uer!as nos %ermite continuar con otros as%ectos del dise@oestructural del $ote( tales como los ca$les # el sistema de so%orte del m&stil en la cu$ierta*

Bibliografía

/teven <* <)a%ara( Ra#mond =* <anale* 2>>* Métodos Numéricos %ara ngenieros*<a%tulo 2*2* Cuinta Edici+n* McraFill* %&g* GFG7*

Raíz media cuadrática de la corriente mediante integración numérica

Antecedentes

El valor %romedio de una corriente eléctrica oscilante en un %eriodo %uede ser cero* =ore,em%lo( su%onga "ue la corriente se descri$e %or una senoide sim%le: it4 sen 2%64(

"



donde 6 es el %eriodo* El valor %romedio de esta 'unci+n se determina mediante la siguienteecuaci+n:

Desarrollo

A %esar del )ec)o de "ue el resultado total es cero( dic)a corriente es ca%a! de reali!artra$a,o # generar calor* =or consiguiente( los ingenieros eléctricos a menudo caracteri!anesa corriente %or:

donde it4 la corriente instant&nea* <alcule la RM< o ra! media cuadr&tica %ara lacorriente "ue tiene la 'orma de onda mostrada en la 'igura:

Ejemplo

En la ta$la 2* se %resentan las estimaciones de la integral %ara varias a%licaciones de la

regla del tra%ecio # de la regla de /im%son 83

#



.a determinaci+n de la ra! media cuadr&tica %ara la corriente im%lica la evaluaci+n dela integral con 6 8

.a estimaci+n de la integral( 85*828( se sustitu#e en la ecuaci+n 2*824 %aracalcular RM< 3*925G9>

Bibliografía

/teven <* <)a%ara( Ra#mond =* <anale* 2>>* Métodos Numéricos %ara ngenieros*<a%tulo 2*3* Cuinta Edici+n* McraFill* %&g* G7FG9*

Integración numérica para calcular el trabajo

Antecedentes

En ingeniera muc)os %ro$lemas im%lican el c&lculo del tra$a,o* .a '+rmula general es: 6ra$a,o 'uer!a Jdistancia

<uando se le %resent+ este conce%to en sus cursos de 'sica en el nivel medio su%erior( se lemostraron algunas a%licaciones sim%les mediante el uso de 'uer!as "ue %ermanecanconstantes durante todo el des%la!amiento* =or e,em%lo( si una 'uer!a de 8> l$ se usa$a%ara ,alar un $lo"ue a través de una distancia de 85 't( el tra$a,o "ue se o$tiene con esta

'+rmula es 85> l$ 't* Aun"ue ese sim%le c&lculo es -til %ara %resentar el conce%to( lasoluci+n de %ro$lemas reales %or lo com-n es m&s com%licada* =or e,em%lo( su%onga "ue la'uer!a vara durante el %roceso del c&lculo* En tales casos( la ecuaci+n %ara el tra$a,o a)orase e0%resa como:

$



donde K tra$a,o l$ 't4( 0> # 0n las %osiciones inicial # 'inal( res%ectivamente( # H04 esuna 'uer!a "ue vara con la %osici+n* /i H04 es '&cil de integrar( la ecuaci+n se %uederesolver en 'orma analtica* No o$stante( en la soluci+n de un %ro$lema real( "ui!& la 'uer!ano se e0%rese de esa manera* De )ec)o( cuando se anali!an los datos o$tenidos demediciones( la 'uer!a %odra estar dis%oni$le s+lo en 'orma ta$ular* En tales casos( la

integraci+n numérica es la -nica o%ci+n via$le %ara la evaluaci+n*/e o$tiene ma#or com%le,idad si el &ngulo entre la 'uer!a # la direcci+n del movimientotam$ién vara en 'unci+n de la %osici+n 'igura 2*54* .a ecuaci+n del tra$a,o llega adi'icultarse a-n m&s al tomar en cuenta este e'ecto( entonces:

Desarrollo

De nuevo( si H04 # "04 son 'unciones sencillas( la ecuaci+n 2*854 se %odra resolver demanera analtica* /in em$argo( como se re%resenta en la 'igura 2*5( es m&s com-n "ue larelaci+n 'uncional sea com%licada* En tal situaci+n( los métodos numéricos o'recen la -nicaalternativa %ara determinar la integral*

%



Datos %ara la 'uer!a H04 # el &ngulo "04 como 'unci+n de la %osici+n 0*

/u%onga "ue usted de$e reali!ar el c&lculo %ara la situaci+n "ue se muestra en la 'igura2*5* Aun"ue la 'igura indica los valores continuos de H04 # "04( considere "ue( de$ido alas restricciones e0%erimentales( usted cuenta s+lo con mediciones discretas a intervalos de0 5 't

Ejemplo.os resultados del an&lisis se resumen en la ta$la 2*7* /e calcul+ un error relativo%orcentual e con re'erencia al valor verdadero de la integral( 829*52( cu#a estimaci+n sereali!+ con $ase en los valores tomados de la 'igura anterior a intervalos de 8 't*.os resultados son interesantes( %uesto "ue la ma#or e0actitud se o$tiene en una a%licaci+nde la regla del tra%ecio con dos segmentos* .as estimaciones m&s re'inadas "ue utili!anm&s segmentos( as como las reglas de /im%son( dan resultados menos e0actos*.a ra!+n de este resultado( il+gico en a%ariencia( es %or"ue el es%aciamiento de los %untosno es el adecuado %ara ca%tar las variaciones de las 'uer!as # de los &ngulos( lo cual esevidente en la ta$la( donde gra'icamos la curva continua del %roducto de H04 %or cosL"04* O$serve c+mo el uso de siete %untos %ara caracteri!ar la variaci+n continua de la

'unci+n omite dos %icos en 0 2*5 # 82*5 't* .a omisi+n de estos dos %untos e'ectivamentelimita la e0actitud de la estimaci+n de la integraci+n numérica dada en la ta$la siguiente* El)ec)o de "ue la regla del tra%ecio con dos segmentos dé el resultado m&s e0acto se de$e ala %osici+n casual de los %untos usados en este %ro$lema es%ec'ico*

.a conclusi+n a %artir de la ta$la de integraci+n numérica es "ue de$en reali!arse unn-mero adecuado de mediciones %ara calcular las integrales con e0actitud* En el %resentecaso si se tuvieran los datos en H2*54 cos L"2*54 *35>> # H82*54 cos L"82*54 88*3>>( %odramos los datos en H2*54 cos L"2*54 *35>> # H82*54 cos L"82*54 88*3>>( %odramos determinar una estimaci+n de la integral utili!ando el algoritmo %ara

1&



datos irregularmente es%aciados * .a siguiente gra'ica ilustra la segmentaci+n irregular eneste caso* /i se inclu#en dos %untos adicionales se o$tiene una me,or estimaci+n de laintegral: 82*9 e 2*>24* As( la inclusi+n de datos adicionales incor%orara los %icos "ueantes no se tomaron en cuenta #( en consecuencia( se tendran me,ores resultados*

Bibliografía

/teven <* <)a%ara( Ra#mond =* <anale* 2>>* Métodos Numéricos %ara ngenieros*

<a%tulo 2*3* Cuinta Edici+n* McraFill* %&g* G9F93*

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