CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEOUso en clculos1.Suma y Sustraccin:El nmero de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la suma o la diferencia es determinada por el nmero con menos cifras significativas a la derecha del punto decimal de cualquiera de los nmeros originales.6.2456 + 6.2 = 12.4456 redondeado a 12.4nota: 3 cifras significativas en la respuesta2.Multiplicacin y Divisin:El nmero de cifras significativas en el producto final o en el cociente es determinado por el nmero original que tenga las cifras significativas ms pequeo.2.51 x 2.30 = 5.773 redondeada a 5.772.4 x 0.000673 = 0.0016152 redondeado a 0.0016Redondeando1. Aumente en uno al dgito que sigue a la ltima cifra significativa si el primer dgito es menor que 5.Redondear 1.61562 a 2 cifras significativasRESP: 1.62. Si el primer dgito a truncar es mayor que cinco, incrementar el dgito precedente en 1.Redondear 1.61562 a 5 cifras significativasRESP: 1.61563. Si el primer dgito a truncar es cinco y hay dgitos diferentes de cero despus del cinco, incrementa el dgito precedente en 1.Redondear 1.61562 a 3 cifras significativasRESP: 1.62Redondear 1.62500003 a 3 cifras significativasRESP: 1.634. Si el primer dgito a truncar es cinco y hay nicamente ceros despus del cinco, redondee al nmero par.Redondear 1.655000 a 3 cifras significativasResp: 1.66Libro de texto: Fsica Conceptos y aplicaciones. Paul E. Tippens. Editorial McGraw-Hill, 6ta edicin, 2001.

Cifras significativas.Concepto: Las cifras significativas de un nmero son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna informacin. Toda medicin experimental es inexacta y tambin algunos clculos ,por ello se debe expresar con sus cifras significativas. Un sencillo ejemplo medimos una mesa con una regla milimetrada y obtenemos como resultado :Longitud (L) = 85,2 cmNo es esta la nica manera de expresar el resultado, pues tambin puede ser:L = 0,852 mL = 8,52 dmL = 852 mmetc

Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dgitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definicin pues tienen un significado real y aportan informacin. As, un resultado comoL = 0,8520 mno tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilsimas de metro.Por ello el llamado convenio de cifras significativas asume quecuando un nmero se expresa con sus cifras significativas, la ltima cifra es siempre incierta.

Asumiendo que cualquier problema de fsica o qumica de un libro de texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos nmeros con sus cifras significativas correspondientes. Reglas para establecer las cifras significativas de un nmero dado.Regla 1.En nmeros que no contienen ceros, todos los dgitos son significativos.Por ejemplo:

5.694 cuatro cifras significativas 5.694

Regla 2.Todos los ceros entre dgitos significativos son significativos.Por ejemplo:2,054 cuatro cifras significativas 2,054

506 tres cifras significativas 506

Regla 3.Los ceros a la izquierda del primer dgito que no es cero sirven solamente para fijar la posicin del punto decimal y no son significativos.Por ejemplo:0,054 dos cifras significativas 0,054

0,0002604 cuatro cifras significativas 0,0002604

Regla 4.En un nmero con dgitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.Por ejemplo:0,0540 tres cifras significativas 0,0540

30,00 cuatro cifras significativas 30,00

Regla 5.Si un nmero no tiene punto decimal y termina con uno o ms ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el nmero de cifras significativas, se requiere informacin adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el nmero en notacin cientfica, no obstante, tambinse suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos.Por ejemplo:1200 dos cifras significativas 1200

1200, cuatro cifras significativas 1200,

Regla 6.Los nmeros exactos tienen un nmero infinito de cifras significativas. Los nmeros exactos son aquellos que se obtienen por definicin o que resultan de contar un nmero pequeo de elementos. Ejemplos:-Al contar el nmero de tomos en una molcula de agua obtenemos un nmero exacto: 3.-Al contar las caras de un dado obtenemos un nmero exacto: 6.-Por definicin el nmero de metros que hay en un kilmetro es un nmero exacto: 1000.-Por definicin el nmero de grados que hay en una circunferencia es un nmero exacto: 360

Cifras significativas en clculos numricos. Cuando se realizan clculos aritmticos con dos o ms nmeros se debe tener cuidado a la hora de expresar el resultado ya que es necesario conocer el nmero de dgitos significativos del mismo. Teniendo en cuenta que los nmeros con los que operamos son los mejores valores de las cantidades que se hayan medido,no es admisible que se gane o que se pierda incertidumbre mientras que se realizan operaciones aritmticascon dichos nmeros. Se pueden establecer algunas sencillas reglas cuya aplicacin intenta cumplir con esta condicin aunque no siempre se consigue. Analizaremos tres situaciones: realizacin de sumas y diferencias; productos y cocientes; logaritmos y antilogaritmos.Cifras significativas en sumas y diferenciasRegla 7.En una suma o una resta el nmero de dgitos del resultado viene marcado por la posicin del menor dgito comn de todos los nmeros que se suman o se restan. Por tanto, en una adicin o una sustraccin el nmero de cifras significativas de los nmeros que se suman o se restan no es el criterio para establecer el nmero de cifras significativas del resultado. Por ejemplo: (a) 4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,64 11,6 (b) 34,6 + 17,8 + 15 = 67,4 67 (c) 34,6 + 17,8 + 15,7 68,1 En los ejemplos(a)y(c)el menor dgito comn a los sumandos es la dcima (primer decimal), por tanto el resultado debe venir expresado hasta dicho decimal. En el ejemplo(b)el menor dgito comn a los tres sumandos es la unidad, por tanto el resultado debe venir expresado hasta la unidad. Analicemos con ms profundidad las consecuencias de la aplicacin de la regla 7. De partida, se suele asumir que es incierto en una unidad el ltimo dgito de cada nmero que interviene en una operacin. As, la mayor de las incertidumbres en los ejemplos(a)y(c)es 0,1. En el ejemplo(b)la mayor de las incertidumbres en los sumandos es 1. Son esas tambin las incertidumbres en los resultados? En principio es comn asumir dichas incertidumbres pero es sencillo comprobar que esto no siempre es cierto como veremos a continuacin. Segn la teora de propagacin de errores la incertidumbre del resultado de una combinacin lineal como la siguiente

es

dondea,b, son las incertidumbres absolutas dea, b, Para poder aplicar esta expresin las medidasa, b,...,deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores las incertidumbres seran:(a)(b)(c) Luego, al aplicar el convenio de cifras significativas la tendencia sera asumir que la incertidumbre del resultado en el caso(c)es de 0,1 cuando en realidad es del doble.Cifras significativas en productos y cocientesRegla 8.En un producto o una divisin el resultado debe redondearse de manera que contenga el mismo nmero de dgitos significativos que el nmero de origen que posea menor nmero de dgitos significativos. Por tanto, a diferencia de la suma o la resta, en la multiplicacin o la divisin el nmero de dgitos significativos de las cantidades que intervienen en la operacin s es el criterio a la hora de determinar el nmero de dgitos significativos del resultado. Por ejemplo:(a)(b)(c) En los tres ejemplos expuestos el menor nmero de cifras significativas de los diferentes factores que intervienen en las operaciones es dos: se trata concretamente del nmero 24 en los ejemplos(a)y(b)y del nmero 0,25 en el ejemplo(c). Por tanto los resultados se deben redondear a dos cifras significativas. Analicemos de nuevo con mayor profundidad las consecuencias de la aplicacin en este caso de la regla 8. Si, segn el convenio de cifras significativas, asumimos que es incierto en una unidad el ltimo dgito de cada nmero que interviene en cada operacin, las incertidumbres absolutas y relativas son las que aparecen en la tabla n 1. Tabla 1.NmeroIncertidumbreIncertidumbre relativa

(a)2411/24

4,520,011/452

100,00,11/10000

(b)2411/24

4,020,011/402

100,00,11/10000

(c)3,141590,00001-

0,250,011/25

2,3520,0011/2352

En el caso(c)3,14159 representa al nmero , que se puede tomar con un nmero de decimales suficiente para que no sea precisamente este nmero el que determine las decisiones a tomar respecto a las operaciones en las que interviene.Segn la teora de propagacin de errores la incertidumbre del resultado de una expresin como la siguiente:

es

dondex, y, son las incertidumbres absolutas dex, y, Adems,x, y, , son las incertidumbres relativas en tanto por uno dex, y, Al igual que ocurra en el caso de la suma o diferencia, para poder aplicar esta expresin las medidasx, y, deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores, teniendo en cuenta los datos de la tabla n 1, las incertidumbres de los resultados seran: (a) q = 1,0848 00417599 = 0,0453 0,04 (b) q = 0,9648 0,0417755 = 0,0403 0,04 (c) q = 0,4618 0.08 = 0,0369 0,04Es decir, en los tres ejemplos la incertidumbre en el resultado est en el dgito correspondiente a la centsima, aunque en ningn caso el valor de dicha incertidumbre sea la unidad. Segn estos resultados los ejemplos(b)y(c)s estn bien redondeados a dos cifras significativas, pero el ejemplo(a)no lo est ya que debera redondearse a tres cifras significativas (1,08 en lugar de 1,1).

Redondeo de nmeros La aplicacin prctica de las reglas anteriores ha requerido del redondeo[1]de nmeros para ofrecer el resultado con el nmero de cifras significativas estipulado. Es decir, en el proceso de redondeo se eliminan los dgitos no significativos de un nmero, pero siguiendounas reglas que se deben aplicar al primero de los dgitos que se desea eliminar.Regla 11.Si el primer dgito que se va a eliminar es inferior a 5, dicho dgito y los que le siguen se eliminan y el nmero que queda se deja como est. Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a 4 cifras significativas:1,4142136 1,4142136 1,414 2,4494897... 2,4494897... 2,449Regla 12.Si el primer dgito que se va a eliminar es superior a 5, o si es 5 seguido de dgitos diferentes de cero, dicho dgito y todos los que le siguen se eliminan y se aumenta en una unidad el nmero que quede. Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a cuatro cifras significativas: = 3,1415927 3,1415927 3,1422,6457513... 2,6457513... 2,646Regla 13.Si el primer dgito que se va a eliminar es 5 y todos los dgitos que le siguen son ceros, dicho dgito se elimina y el nmero que se va a conservar se deja como est si es par o aumenta en una unidad si es impar. Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a cuatro cifras significativas: 61,555 61,555 61,56 2,0925 2,0925 2,092Esta ltima regla elimina la tendencia a redondear siempre en un sentido determinado el punto medio que hay entre dos extremos. Es importante destacar aqu que cuando se establece la funcin de redondeo en una calculadora normalmente sta no aplica la regla 13, es decir, si un nmero cumple la condicin dada en dicha regla, la calculadora aumentar en una unidad el ltimo dgito del nmero que quede de eliminar las cifras no significativas (es decir, la calculadora aplica en este caso la regla 12).

http://www.escritoscientificos.es/trab21a40/cifrassignificativas/00cifras.htm

xactitud, Precisin y Redondeo.Asociados al tema de medicin con variables numricas, hay conceptos que es conveniente distinguir y controlar, en primer lugar se vern dos de los ms importantes: exactitud y precisin.EXACTITUD Y PRECISIN.La exactitud de una medicin hace referencia a su cercana al valor que pretende medir.La precisin est asociada al nmero de cifras decimales utilizadas para expresar lo medido.Un instrumento inexacto nos entrega resultados sesgados, "desplazados"; uno impreciso, resultados "ambiguos", "difusos".As, por ejemplo, una pesa es exacta si nos entrega el peso correcto, sin agregarle ni quitarle. Asimismo, es ms precisa en la medida que el aparato usado es capaz de detectar diferencias de peso ms pequeas.La exactitud y precisin exigibles a una medicin, dependern de los objetivos del estudio que la utiliza.La precisin de un resultado estadstico debe estar de acuerdo con la precisin de los datos originales y con las exigencias propias del proyecto que los usa.Es fcil cometer el error de responder usando ms decimales que los contenidos en las mediciones iniciales, aumentando artificialmente la precisin por la propia capacidad de clculo de los computadores.Por otra parte, es de suma importancia cuidar que, durante el proceso de clculo intermedio, no se pierda precisin innecesariamente. Es importante mantener el mximo posible de decimales, pues esto ayuda a controlar la aparicin y propagacin de errores numricos que invaliden los resultados.Estos son errores de precisin y exactitud ajenos al proceso de medicin inicial y son introducidos tpicamente por los mtodos numricos usados y por la aritmtica del computador que tiene una precisin finita para representar interiormente a los nmeros.El ltimo tema mencionado en el prrafo anterior, es un tema complejo que no se discutir mayormente, pero es importante mencionarlo y mostrar un ejemplo ilustrativo para entender su alcance.Ejemplo.Nota. Este ejemplo debe usarse una vez que los alumnos hayan aprendido a calcular por su cuenta la desviacin estndar.Suponga que se usa una calculadora bsica que permite hacer clculos estadsticos. Es comn que las calculadoras ms simples sean susceptibles de cometer errores de redondeo que llegan a producir errores en los resultados finales.El caso que se presenta corresponde a un clculo muy comn al trabajar con datos estadsticos: clculo de la 'desviacin estndar'.Como caso particular sese los nmeros 987967529, 987967530 y 987967531.Al calcular correctamente la desviacin estndar muestral de estos tres datos se obtiene el valor 1.Sin embargo,es posible que una calculadora simple entregue el valor 0 como resultado.Esto puede ocurrir porque el algoritmo usado eleva al cuadrado los datos originales y el valor obtenido sobrepasa la precisin que la calculadora puede mantener internamente. Esto hace que el proceso de clculo interno elimine las cifras menos significativas, donde justamente, se encuentran las diferencias entre los nmeros usados.En resumen, mantener la precisin y la exactitud apropiadas en un proceso de clculo, requiere de cuidados por parte del usuario.Afortunadamente, este problema est habitualmente resuelto en los buenos programas computacionales que se usan en estadstica y no debera preocupar ms all de la razonable verificacin de resultados mediante clculos paralelos. De preferencia con otros programas.El ejemplo anterior tiene por objeto comprobar empricamente, por aquellos usuarios que recin se aventuran en clculos hechos con mquinas que prcticamente actan como cajas negras, quetodo procedimiento debe ser controlado con un sentido crtico. No porque un clculo sea hecho con una mquina con grandes capacidades va a liberar al usuario de usar su propio criterio para verificar los resultados.REDONDEO.La representacin decimal se usa en la prctica con un nmero reducido de dgitos.El procedimiento para determinar este nmero se denomina redondeo.Existen variadas formas de efectuar un redondeo. Aqu se presentar una de las ms simples y conocidas.Una vez decidida la cantidad de cifras significativas que se usar, el ltimo dgito se obtiene mediante el siguiente procedimiento:Se observa el dgito a la derecha del que se quiere redondear. Si es menor que 5, el dgito a redondear se mantiene igual; si es igual o mayor que 5, el redondeo se hace aumentando el dgito en una unidad.Como ejemplo, supngase que se quiere redondear el nmero 5.38734 a dos decimales. Se observa entonces que el tercer decimal es 7 (mayor que 5), por lo tanto el nmero redondeado a dos decimales es 5,39. La cifra 9 se obtuvo sumando una unidad al 8 presente en el segundo decimal del nmero original.El redondeo produce un error debido a la prdida de decimales significativos, por lo que su uso debe hacerse con precaucin para no introducir errores desmesurados en los resultados finales.De todas maneras y como una medida prctica, cuando se haga una secuencia de operaciones aritmticas,se recomienda no redondear nmeros en clculos intermedios, sino slo al momento de entregar la respuestahttp://www.ucv.cl/web/estadistica/cb_exactitud.htmDefinicin de exactitud y precisin.Exactitud y precisin son trminos que muchas veces son confundidos como similares; incluso en algunos diccionarios son tomados como sinnimos. En la qumica estos trminos toman significados distintos, alejndolos de ser sinnimos.Podramos definirlos de la siguiente manera:Exactitud:Se refiere a cun cerca del valor real se encuentra el valor medido. En trminos estadsticos, la exactitud est relacionada con elsesgo (desviacin, inclinacin)de una estimacin. Cuanto menor es el sesgo ms exacta es una estimacin.Precisin:Se refiere a la dispersin del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersin mayor la precisin. Una medida comn de la variabilidad es ladesviacin estndarde las mediciones y la precisin se puede estimar como una funcin de ella.Aunque son bastantes parecidas sus definiciones difieren en el hecho de que una tiene que ver con la cercana al valor real y la otra se refiere a dar el mismo resultado en distintas mediciones; todo esto nos lleva a deducir que se puede ser exacto mas no preciso y viceversa. Esto puede ser mejor comprendido con los siguientes ejemplos:

http://exactitudyprecision.blogspot.com/2011/06/exactitud-y-precision-quimica.html