Cinematica de Un Punto Material - VAC 2015

CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL

M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA

CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2015

CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL

CINEMATICA:

0. INTRODUCCION:

Es considerada como parte de la Dinámica y se ocupa de estudiar el

movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo producen,

también se puede considerar como la Geometría del movimiento.

La cinemática describe como varia la velocidad y aceleración de un

cuerpo con el tiempo y con sus cambios de posición.

El movimiento de una partícula es entendido como “el cambio de

posición de la partícula a medida que transcurre el tiempo”, el cual

debe estar referido a un sistema de referencia, el cual permitirá

definir su posición en cualquier instante.

MOVIMIENTO:

MOVIMIENTO:

x

y

z

0

S

Po

P

x

y

z

0

S

Po

P

x

y

z

0

P

r

x

y

z

0

P

r

x

y

z

0

P(x,y,z)

x

z

y

x

y

z

0

P(x,y,z)

x

z

y

1º Por medio de una Ecuación Horaria: 2º Por medio de un Vector Posición:

3º Por medio de sus Coordenadas Rectangulares:

S = f (t) )(tfr

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION

r

a. Posición ( ) y desplazamiento ( )

Fig. Trayectoria que sigue una partícula

La partícula, en cierto instante, se hallará

en la posición P, definida por:

kzjyixrP

rd

PQ rrrd

La diferencia de posición de la partícula en dos

instantes recibe el nombre de desplazamiento

de dicha partícula, la cual se halla en P en el

instante “t” y en Q en el instante “t + Δt”, el

desplazamiento viene dado por:

1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION

v

b. velocidad ( ) y aceleración ( )

La velocidad de una partícula es, por

definición, la variación de posición por unidad

de tiempo:

PP

P rdt

rdv

a

La aceleración de una partícula es, por

definición, la variación por unidad de tiempo de

la velocidad.

kvjvivv zyxP

kzjyixvP

La dirección de la velocidad es la tangente a la

trayectoria y sentido el del desplazamiento.

El modulo de la velocidad recibe el nombre de

celeridad.

PP

P vdt

vda

kajaiaa zyxP

kzjyixvP

a. Posición y desplazamiento

2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL

b. Velocidad media ( ):v

Dt

P(x,t)

P’(x+Dx , t+Dt)

Dx

x

t

X

tO

q

of

of

tt

xx

t

xv

D

D tang

x

tq

D

D

Matemáticamente: Gráficamente:


c. Velocidad instantànea ( ):v

D t

P

P’

Dx

x

t

X

tO

q

P’’

P’’’

Matemáticamente:

ó

x x v dto

t

t

o

. )(tvv ;


t

xvv

tm

t D

D

DD 00limlim

dt

dxv

Tenemos:

d. Aceleraciòn media : a

av

t

v v

t t

f o

f o

D

D

e. Aceleraciòn instantànea : a

dt

dv

t

vaa

tt

D

D

DD 00limlim

v v a dto

t

t

o

. a a t ( );


Tenemos:

2.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU):

x

O

v

t

x = x o + v( t - t o )

x o

t o

v = constante

v

O

v

t

Ejemplo 01.-

2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones

2.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA):

x

0 t

x v t ato

1

2

2

to = 0

v

0 t

v = vo + a t

vo

to = 0

a = constante

a

0 t

Ejemplo 02.-


Ejemplo 03.- En la figura, se muestra las coordenadas de un insecto

que camina horizontalmente (en una dimensión, sobre el eje x).

Según dicha información, a) graficar su velocidad y aceleración en

función del tiempo; b) hacer un estudio del movimiento.

2.3. MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO (MRV):


A

v

Dr

X

0 Y

X

Z

A/

s

Ds

r /

r

t

t/

kzjyixtrr

)(

Posición:

kzjyixtrr

''')(''

Velocidad Media mv

Velocidad:

t

rvm

D

D

ó vx

ti

y

tj

z

tk

D

D

D

D

D

D

Velocidad Instantánea v

t

rvv

tm

t D

D

DD

00limlim

rdt

rdv

kzjyixkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

Dr

v /

v //

v ///

A

A’

A’’

A’’’v

T

3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL

3.1. Coordenadas Rectangulares:

P

Q

z

0

x

y

Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

DPa

Qa

curva

FIGURA.- Variación de la velocidad a lo largo de la trayectoria en

el movimiento curvilíneo

P

Q

z

0

x

y

Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

DPa

Qa

curva

P

Q

z

0

x

y

Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

DPa

Qa

curva

FIGURA.- Variación de la velocidad a lo largo de la trayectoria en

el movimiento curvilíneo

ma

Aceleración Media

Aceleración:

t

vam

D

D

kt

vj

t

vi

t

va zyx

m

D

D

D

D

D

D

Aceleración Instantánea a

t

vaa

tm

t D

D

DD

00limlim

rdt

vda

kzjyixkdt

dvj

dt

dvi

dt

dv

dt

vda zyx

3.1. Coordenadas Rectangulares:


3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones

Ejemplo 04.- Una partícula se mueve en el plano OXY; un observador

colocado en O sabe que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2. a) Determinar la forma

explícita de la trayectoria, b) La expresión del vector de posición,

velocidad y aceleración, c) Las condiciones iniciales del movimiento, d)

Los valores del vector de posición y velocidad para t = 2 s. e) Distancia

de la partícula al observador en t = 2 s, f) El vector desplazamiento y el

vector velocidad media entre t = 2 s y t = 5 s.


3.2. Aceleración en Coordenadas Intrinsecas: Tangencial y Normal:

NT aaa

dt

udvu

dt

dv

dt

uvd

dt

vda T

TT

NT uv

udt

dva

2

dt

dvaT

2vaN

22

NT aaa

Módulos:

2/3

2

2

2

1

dx

yd

dx

dy

rr

r

3

Radio de Curvatura:

ó

PO

z

0

x

y

TaP

Na

a

S

o

Tangente

Normal

curv

a


Ejemplo Nº 05.- Se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad de 10

m/s en el campo gravitatorio. Determinar/hallar el radio de curvatura de su

trayectoria a los 2 segundos después de ser lanzado dicho objeto.

3.2. Aceleración en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones


Ejemplo Nº 06.- Una caja se desliza por un conducto que tiene forma de

hipérbola. Cuando la caja llega al punto x = 5 m, lleva una celeridad de 5 m/s

que disminuye a razón de 0,5 m/s2. Determine la aceleración y el radio de

curvatura en dicha posición.



Ejemplo Nº 07.- Una partícula se mueve en el plano xy y sus coordenadas

están dadas por , . Encuentre: a) la ecuación

de la trayectoria en la que se mueve la partícula su desplazamiento y

graficarlo, b) para cuando 0,75 segundos, la posición, velocidad, la

aceleración y el radio de curvatura. (Suponga que las distancias se miden en

metros, el tiempo en segundos, y que la cantidad angular 3t está expresada

en radianes).



ttx 3cos4 tsenty 32

Ejemplo Nº 08.- Un tobogán viaja por una curva que puede ser

aproximadamente la parábola y = 0,01x2. Determine la magnitud de su

aceleración cuando llega al punto A, donde su rapidez es vA = 10 m/s y

está incrementándose a razón de ./3 2smvA



3.3. Coordenadas Polares:

0 x

y

q

ru

Eje Radial

(+)

curva

x

y

Eje Transversal

(+)

qu

P q

r

-x

-y

0 x

y

q

ru

Eje Radial

(+)

curva

x

y

Eje Transversal

(+)

qu

P q

r

-x

-y

jseniur

qq cos

jisenu

)(cos)( qqq

dt

udru

dt

drur

dt

d

dt

rdv r

rr

q

qu

dt

dru

dt

drv r

qq ururv r

qqururdt

d

dt

vda r

qqqq urrurra r

22

Aceleración:

Velocidad:

Vectores unitarios:

Posición:

rurr


Ejemplo Nº 08.- El tubo doblado que lleva agua, de sección transversal

uniforme, gira alrededor del eje vertical AB con velocidad angular

constante . Si la velocidad del agu en la porción AB del tubo

es 400 mm/s (constante), determine la magnitud de la velocidad y

aceleración de una partícula de agua inmediatamente antes que salga del

tubo en C.

3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones


min/140revq

Ejemplo Nº 09.- El movimiento curvilíneo plano de una partícula está

definido en coordenadas polares por y

donde r esta dado en cm, θ está en radianes y t en segundo. En el

instante en que t = 2 s; determinar las magnitudes de la velocidad,

aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria.

ttr 5833.0 3 23.0 tq



Ejemplo Nº 10.- La rotación de la barra OA se define por ,

donde t se expresa en segundos. El collarín B se desliza a lo largo de la

barra de manera tal que su distancia desde O es . Para

t = 1 s, determine: a) su velocidad, b) su aceleración total y c) su

aceleración relativa a la barra.



radtt 2342

1 q

mttr 32 9,025,1

Ejemplo Nº 11.- La barra ranurada se encuentra fija en O y, como

resultado de la velocidad angular constante , conduce a la

partícula P por una breve distancia sobre la guía espiral r = 0,4q (m),

donde q se expresa en radianes. Determine la velocidad y aceleración de

la partícula en el instante en que abandona la ranura en la barra, es decir,

r = 0,5 m.

srad /3q



Ejemplo Nº 12.- El perno P se desliza en las ranuras del brazo giratorio

OA y de la barra circular fija BC. Si OA gira con velocidad angular

constante encuentre la velocidad de P cuando .



srad /2q º60q

.

0

x

y

q

Ru

Trayectoria

qu

P

r

z

Y

X

Z

R

Zu

0

x

y

q

Ru

Trayectoria

qu

P

r

z

Y

X

Z

R

Zu

ZR uZuRr

jseniuR

)()(cos qq

ZR uZuRdt

d

dt

rdv

ZR uZuRuRv

qq

ZR uZuRuRdt

d

dt

vda

qq

ZR uZuRRuRRa

qqqq 22

Velocidad:

Aceleracón:

Posición:

Donde:

3.4. Coordenadas Cilíndricas:


Ejemplo Nº 10.- La rampa de un aparcamiento tiene forma de hélice :

que baja 6 m en cada revolución completa.

Para un automóvil que baja por dicha rampa con velocidad constante,

se pide:

a. Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 0º

b. Determinar su velocidad y su aceleración cuando θ = 90º

c. Demostrar que velocidad y aceleración son perpendiculares cuando

θ = 90º

msenr qq 315)(

srad /3,0q

3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:


3.4. Coordenadas Cilíndricas.- Aplicaciones:


P

Z

0

X

Y

q

A

qu

ru

u

r

P

Z

0

X

Y

q

A

qu

ru

u

r

kjsensenisenur

)(cos)()cos( qq

ksenjseniu

)()(cos)cos(cos qqq

jisenu

)(cos)( qqq

Vectores unitarios:

rurr

q

q

usenr

ur

urv r

q

qqq

q

q

usenrrsenr

usenrrr

usenrrra r

cos22

cos2 2

222

Posición:

Velocidad:

Aceleración:

3.5. Coordenadas Esféricas:


3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones:

Ejemplo Nº 11.- La grúa gira en torno al eje CD a la razón constante de 3

rad/min. Al mismo tiempo, el aguilón AB de 20 cm de largo va descendiendo

a la razón constante de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleración del

punto B cuando ϕ = 30º.


Ejemplo Nº 12.- El radar, esta siguiendo a un avión en pleno vuelo. En el instante

representado, la posición de éste viene dada por R=19500 m, θ=110º y Φ=60º.

Comparando ésta con posiciones anteriores se estiman las derivadas:

Para este instante, determinar:

a. La velocidad y aceleración del avión en coordenadas esféricas (R,Φ,θ).

b. La velocidad y aceleración del avión en coordenadas rectangulares tales que

el eje z corresponda al eje Φ = 0º y el eje x corresponda al eje Φ = 90º y θ = 0º

c. Determinar los módulos de la velocidad y aceleración del avión.

smR /5,85 2/5,4 smR sradx /100,9 3q 26 /100,20 sradx q

26 /100,80 sradx sradx /105,2 3

3.5. Coordenadas Esféricas.- Aplicaciones:


Vectores unitarios:

rurr

Posición:

Velocidad:

Aceleración:

3.5. Coordenadas Esféricas:


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