MEDIDAS DE DISPERSIONMEDIDAS DE DISPERSION

Son estadígrafos que permiten medir la Son estadígrafos que permiten medir la dispersión o desviación de los datos con dispersión o desviación de los datos con respecto del valor centralrespecto del valor centralLos estadígrafos de dispersión más Los estadígrafos de dispersión más importantes son:importantes son:

1.- RANGO:1.- RANGO:

Método de cálculo:Método de cálculo:Para el cálculo del Rango se distinguen Para el cálculo del Rango se distinguen dos casos:dos casos:

A.- Rango para datos no agrupados:A.- Rango para datos no agrupados:Viene a ser la diferencia entre el Viene a ser la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.dato mayor y el dato menor.Se expresa mediante la siguiente Se expresa mediante la siguiente fórmula:fórmula:

R = Xmax - XminR = Xmax - Xmin

en donde:en donde:

R = RangoR = RangoXmax = Dato mayorXmax = Dato mayorXmin = Dato mínimoXmin = Dato mínimo

Ejemplo:Ejemplo:

El tiempo en minutos que utilizan El tiempo en minutos que utilizan 5 niños de igual edad para 5 niños de igual edad para desarrollar una misma tarea fue desarrollar una misma tarea fue la siguiente: 15, 11, 14, 17 y 12.la siguiente: 15, 11, 14, 17 y 12.

El rango será:El rango será:

R = 17 - 11 = 6R = 17 - 11 = 6

R = 6 minutosR = 6 minutos

B.- Rango para datos agrupados:B.- Rango para datos agrupados:

El rango viene a ser la diferencia entre El rango viene a ser la diferencia entre el límite superior de la última clase y el límite superior de la última clase y el límite inferior de la primera clase, el límite inferior de la primera clase, así:así:Los datos agrupados con intervalos Los datos agrupados con intervalos abiertos en los extremos, no tienen abiertos en los extremos, no tienen rango.rango.

Ejemplo:Ejemplo:

EDAD fi 0 - 2 5 3 - 5 12 6 - 8 20 9 - 11 10

El rango será

R = Lsup - Linf

R = 11 - 0 = 11 años

El rango es un estadígrafo de cálculo fácil, pero de uso limitado, por estar fuertemente influenciado por los valores de los datos extremos

2.- DESVIACION STANDARD2.- DESVIACION STANDARD

Nos muestra la dispersión de los valores Nos muestra la dispersión de los valores individuales alrededor de la media de una individuales alrededor de la media de una distribución de frecuencias es usada distribución de frecuencias es usada especialmente en el caso de las especialmente en el caso de las distribuciones normales.distribuciones normales.

Método de cálculo:Método de cálculo:

Para el cálculo de la desviación standard Para el cálculo de la desviación standard se distinguen dos casos:se distinguen dos casos:

A.- Desviación Standard para datos no A.- Desviación Standard para datos no agrupados:agrupados: Viene a ser la raíz cuadrada del Viene a ser la raíz cuadrada del promedio de la suma de las promedio de la suma de las desviaciones de las observaciones desviaciones de las observaciones alrededor de la media.alrededor de la media.Se expresa mediante la siguiente Se expresa mediante la siguiente fórmula:fórmula: _ _

∑∑ (Xi - X ) (Xi - X )22

σσ = = ----------------- ----------------- N N

En donde:En donde:

σσ = Desviación Standard = Desviación Standard _ _∑∑ (Xi - X ) (Xi - X )22 = Suma de los Cuadrados = Suma de los Cuadrados

de las diferencias de las diferencias

NN = Número de elementos= Número de elementos

Ejemplo:Ejemplo:

Se tiene los pesos de 8 pacientes de la sala Se tiene los pesos de 8 pacientes de la sala de traumatología de una clínica local, con de traumatología de una clínica local, con esta información, se pide averiguar el grado esta información, se pide averiguar el grado de dispersión en promedio con respecto a de dispersión en promedio con respecto a la media aritmética.la media aritmética.

PACIENTE PESO 1 60,8 2 53,5 3 48,2 4 44,8 5 66,2 6 68,0 7 50,0 8 54,5

Para calcular la desviación standard seguimos los siguientes pasos:

a.- Se halla la media aritmética

_ 60,8 + 53,5 + 48,2 + 44,8 + 66,2 + 68,0 + 50,0 + 54,5X=-----------------------------------------------------------------------

8

_ 446X = -------- = 55,8 8

b.- Cada dato se resta de la media b.- Cada dato se resta de la media aritmética, elevando al cuadrado dichas aritmética, elevando al cuadrado dichas diferencias, luego sumamos los resultados, diferencias, luego sumamos los resultados, tal como se aprecia en el siguiente cuadro:tal como se aprecia en el siguiente cuadro:

PESO

_ X

_ ( Xi - X )

_ ∑ (Xi - X )2

60,8 55,8 5,0 25,0 53,5 55,8 -2,3 5,3 48,2 55,8 -7,6 57,8 44,8 55,8 -11,0 121,0 66,2 55,8 10,4 108,2 68,0 55,8 12,2 148,8 50,0 55,8 -5,8 33,6 54,5 55,8 -1,3 1,7

∑ 501,4

c.- Se aplica la fórmula: _ ∑ (Xi - X )2

σ = ------------------ N

501,4σ = --------- = 7,9

8

El peso de los pacientes se dispersa en promedio, 7,9 Kgs.

B.- Desviación Standard: datos agrupados:B.- Desviación Standard: datos agrupados:

Cuando los datos están agrupados en Cuando los datos están agrupados en clases formando tablas de distribución de clases formando tablas de distribución de frecuencias el promedio puede ser frecuencias el promedio puede ser calculado a través de dos métodos: el calculado a través de dos métodos: el directo y el abreviado.directo y el abreviado.

a.- Método directo:a.- Método directo:

La desviación standard es la raíz cuadrada La desviación standard es la raíz cuadrada del promedio de la suma de las del promedio de la suma de las desviaciones de cada punto medio con desviaciones de cada punto medio con respecto a su media aritmética, respecto a su media aritmética, multiplicado por la frecuencia respectiva.multiplicado por la frecuencia respectiva.

Para su cálculo utilizamos la siguiente Para su cálculo utilizamos la siguiente fórmulafórmula

__ ∑∑ fi (Pm - X ) fi (Pm - X )22

σσ = = ------------------------------ ------------------------------ N N

En donde:En donde:

σσ = Desviación Standard = Desviación Standard _ _(Pm - X )(Pm - X )22 = Cuadrado de las diferencias = Cuadrado de las diferencias fi fi = Frecuencias = Frecuencias N N = Número de elementos = Número de elementos

Ejemplo:Ejemplo:Se tiene la siguiente distribución de Se tiene la siguiente distribución de pacientes de acuerdo al número de pacientes de acuerdo al número de pulsaciones por minuto en reposo:pulsaciones por minuto en reposo:

PULSACIONES POR MINUTO

fi Pm

40 - 49 3 44,5 50 - 59 22 54,5 60 - 69 52 64,5 70 - 79 86 74,5 80 - 89 65 84,5 90 - 99 30 94,5

100 - 109 12 104,5

Para calcular la desviación standard por el Para calcular la desviación standard por el método directo seguimos los siguientes método directo seguimos los siguientes pasos:pasos:

a.- Se halla la media aritméticaa.- Se halla la media aritméticaPULSACIONES POR

MINUTO fi Pm fi . Pm

40 - 49 3 44,5 133,5 50 - 59 22 54,5 1 199,0 60 - 69 52 64,5 3 354,0 70 - 79 86 74,5 6 407,0 80 - 89 65 84,5 5 492,5 90 - 99 30 94,5 2 835,0

100 - 109 12 104,5 1 254,0 ∑ 270 ∑ 20 675,0

_ _ ∑∑ ( pm . fi ) ( pm . fi )X = ---------------------X = ---------------------

N N

_ 20 675_ 20 675X = --------------X = --------------

270 270

__ X = 76,5X = 76,5

b.- Restamos de cada marca de clase la b.- Restamos de cada marca de clase la media; los valores obtenidos los media; los valores obtenidos los elevamos al cuadrado, luego, los elevamos al cuadrado, luego, los resultados se multiplican por las resultados se multiplican por las frecuencias de clase; tal como se indica frecuencias de clase; tal como se indica en el siguiente cuadro:en el siguiente cuadro:

PULSACIONES POR MINUTO

fi Pm fi . Pm _ (Pm - X)

_ (Pm- X)2

_ fi (Pm-X)2

40 - 49 3 44,5 133,5 - 32 1024 3 072 50 - 59 22 54,5 1 199,0 - 22 484 10 648 60 - 69 52 64,5 3 354,0 - 12 144 7 488 70 - 79 86 74,5 6 407,0 - 2 4 344 80 - 89 65 84,5 5 492,5 8 64 4 160 90 - 99 30 94,5 2 835,0 18 324 9 720

100 - 109 12 104,5 1 254,0 28 784 9 408 ∑270 ∑ 20 675 ∑ 44 840

c.- Se aplica la fórmula:c.- Se aplica la fórmula: _ _

∑∑ fi (Pm - X )2 fi (Pm - X )2σσ = = -------------------------- --------------------------

N N 44 840 _____ 44 840 _____ σσ = = ------------- = ------------- = √√ 166 166

270 270

σσ = 12,9 pulsaciones = 12,9 pulsaciones

b.- Método abreviado:b.- Método abreviado:

En este método se reemplazan los En este método se reemplazan los puntos medios por las desviaciones.puntos medios por las desviaciones.Para su cálculo utilizamos la siguiente Para su cálculo utilizamos la siguiente fórmulafórmula ∑∑ ( fi . d ( fi . d22 ) ) ∑∑ fi . d fi . d 22

σσ = ---------------- - ------------ ( I )= ---------------- - ------------ ( I ) N N N N

En donde:En donde:

d = Desviacionesd = Desviaciones

Ejemplo:Ejemplo:Con la misma información del ejemplo Con la misma información del ejemplo anterior.anterior.

PULSACIONES POR MINUTO

fi Pm

40 - 49 3 44,5 50 - 59 22 54,5 60 - 69 52 64,5 70 - 79 86 74,5 80 - 89 65 84,5 a) - 99 30 94,5

100 - 109 12 104,5

Para calcular la desviación standard por el método abreviado seguimos los siguientes pasos:

a.- Se asignan las desviaciones

PULSACIONES POR MINUTO

fi d

40 - 49 3 - 3 50 - 59 22 - 2 60 - 69 52 - 1 70 - 79 86 0 80 - 89 65 1 a) - 99 30 2

100 - 109 12 3 ∑ 270

PULSACIONES POR MINUTO

fi d fi . d d2 fi . d2

40 - 49 3 -3 -9 9 27 50 - 59 22 -2 -44 4 88 60 - 69 52 -1 -52 1 52 70 - 79 86 0 0 0 0 80 - 89 65 1 65 1 65 a) - 99 30 2 60 4 120

100 - 109 12 3 36 9 108 ∑ 270 ∑ 56 ∑ 460

b.- Multiplicamos las frecuencias por las desviaciones, luego elevamos al cuadrado los valores de las desviaciones y finalmente estos cuadrados de las desviaciones, los multiplicamos por las frecuencias; tal como se indica en el siguiente cuadro:

c.- Se aplica la fórmula:c.- Se aplica la fórmula:

∑∑ ( fi . d ( fi . d2 2 ) ) ∑∑ fi . d fi . d 22

σσ = --------------- - ----------- ( I ) = --------------- - ----------- ( I ) N N N N

460 56 460 56 22

σσ = ------------ - --------- ( I ) = ------------ - --------- ( I )270270 270 270

σσ = = 1,70 - 0,042 1,70 - 0,042 x 10 x 10

σσ == 10 1,658 10 1,658

σσ == 10 x 1,2810 x 1,28

σσ == 12,8 pulsaciones12,8 pulsaciones