UNIVERSIDAD SALVADOREÑA “ALBERTO MASFERRER”

ESTADISTICA II

ING. ROY DONALDO SILVA

Variables aleatorias

UNIVERSIDAD SALVADOREÑA “ALBERTO MASFERRER”

ESTADISTICA IIING. ROY DONALDO SILVA

1. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD Probabilidad de un suceso.

Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento. Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultadoExperimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles. Evento: conjunto de uno o más resultados de un experimento.

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables

En un experimento Consta de : - Suceso elemental: cada uno de los

resultados posibles.- Espacio muestral (E): conjunto formado

por los sucesos elementales.

El concepto de probabilidad no es único, pues se puede considerar desde distintos puntos de vista:

• Definición clásica o a priori ( laplaciano)

• Definición frecuentista o a posteriori(Enfoque Empírico)

• El punto de vista subjetivo

Características de una Probabilidad de un suceso: Una probabilidad es una función que asigna a cada suceso A, un nº (su probabilidad, P(A)), de manera que:

1.- 0 ≤ P(A) ≤ 12.- P (E) = 1 3.- Si A y B son incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)4.- Si A y B tiene elementos en común : entonces P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B)

Enfoque de Laplace : El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra

posiblescasosnfavorablescasosn

AP º

º)(

Ejemplo 1 : Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. Cual es la probabilidad de sacar una piedra roja en un intento? :

Ejemplo 2 : Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un policía de transito; hace un reten en esa misma esquina un dia cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad?

Ejemplo 3. Extraemos una carta de una baraja española. Calcula:a) La probabilidad de que sea un rey o un as.b) La probabilidad de que sea un rey o una copa.c) La probabilidad de que sea un rey y una copa.

Nota solo cuando se dice española se entenderá que : La baraja española consiste en un mazo de 48 naipes o “cartas” que se “barajan”,Tradicionalmente se divide en cuatro familias, también llamadas palos, cada uno numerado del 1 al 12, que son: oros, copas, espadas y bastos (este orden coincide con el código para “pintar las cartas”). Las figuras corresponden a los números 10 "sota", 11 "caballo" y 12 "rey

4. En la USAM en una salón de clases de la materia de estadística hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre? 5. Usted es invitado a una reunión en donde hay 28 hombres y 32 mujeres. Se sabe que han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, se sabe que comieron pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

- En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, cual es la probabilidad de que sea rubio o rubia ?

-. Se lanza al aire tres veces una moneda, Cual es la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga corona? , cual es la probabilidad de que se obtenga corona las tres veces

Ejercicios Varios

Se lanza un dado y se obtiene 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que, sumado con 2, sea inferior a 6? Ana lanza un dado no cargado. ¿Cuál es la probabilidad de que ella obtenga un número menor que 3?

Variables aleatorias.

Se llama variable aleatoria (v.a) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral ( E) de un experimento, un número real. También se puede decir de una manera formal que :

“Una variable aleatoria : es una función que asocia un numero real con cada elemento del espacio muestral”

• La clasificación más importante divide a las v. a. en dos grupos, según el número de resultados que pueden tomar.• V.a. discretas toma un número finito de valores (o un número infinito pero numerable).

• V.a. Continuas toma sus valores en un intervalo de valores, por tanto, el número de valores es infinito.

Tipos de variables aleatorias

Propiedades de f(x) discretas

• Si f (x) es la función de masa de probabilidad de X, entonces se verifica que

Estas dos propiedades son equivalentes a los axiomas 1 y 2 de la definición de probabilidad los cuales dicen :1 La probabilidad está siempre entre 0 y 1 2 La probabilidad del espacio muestral siempre es : 1

1 )( .2

1 )( 0 1.

que cumple se .....,i

xi,de valoresposibles los todos

ixixfixf

xPara

CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA

• Media o valor esperado de x. Para determinar la media de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

Desviación estándar. Para determinar la desviación estándar de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

𝜇=𝐸(𝑋 )=∑ 𝑋 𝑖∗𝑃 (𝑋𝑖)

σ=√∑ (𝑥𝑖−𝜇)2𝑃 (𝑥𝑖)

VARIANZA :

Propiedades de la Esperanza• Si X e Y son variables aleatorias, del mismo espacio muestral, y k un

número real • 1) E(X +k)=E(X)+k • 2) E(kX) = k E(X) • 3) E(X +Y)= E(X)+E(Y) (la esperanza de la suma es la suma de

las esperanzas)Varianza • Propiedades. Si X es una variable aleatoria y k un número real • 1) Var(X + k) = Var(X)• 2) Var(kX) = k2Var(X)

Ejemplo : Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X, como el número de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener corona( cruz), a) Defina si es una distribucion de probabilidad, b) Encuentre la esperanza matemática o media

aritméticac) Encuentre la desviación típica

Solución : Encontramos el numero de caras según los lanzamientos con un diagrama de árbol

Lanzamiento de 2 monedas

cara

cara

corona

Corona

Cara

corona

Ejemplos de aplicaciónLanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 dólares si sale una cara recibimos 1 dólares y si no sale ninguna cara pagamos 5 dólares .¿Cuál es la ganancia media del juego? Que puede definir del juego sabiendo que : Cuando en un juego la ganancia esperada es 0 se llama juego justo. Si μ > 0 es un juego con ventaja ; si μ < 0 es un juego en desventaja.

Solución: Hallamos la función de probabilidad de la ganancia X en dólares

Solución : Encontramos el numero de caras según los lanzamientos con un diagrama de árbol

Lanzamiento de 2 monedas

cara

cara

corona

Corona

Cara

corona

CC

CX

XC

XX

3

1

1

-5

Ejemplo de propiedades

En un casino de san salvador un jugador de dardos tiene probabilidad de 0.2 de obtener 5 puntos al lanzar el dardo, una probabilidad de 0.25 de obtener un 10, 0.15 de obtener 50 puntos y 0.4 de obtener 20 puntos. Si consideramos la variable aleatoria puntuación ¿Cuál es su esperanza? Cual es la desviación típica

Solución :

• La variable aleatoria X toma los valores 5, 10, 20, 50 con probabilidades respectivas 0.2, 0.25, 0.4, 0.15, se trata de una v.a. discreta.

E[X]= 5·0.2 + 10·0.25 + 20·0.4 + 50·0.15 = 1 + 2.5 + 8 + 7.5 = 19puntos

EJEMPLO DE APLICACION

Sea el experimento de verificar el rendimiento académico de 3 estudiantes de Estadística , hallar la función de cuantía o probabilidad del número de desaprobados en n un examen de Estadistica de los tres alumnos, encuentre la media aritmética y la desviación típica:Para solucionar el ejercicio :

Primero : Defina la variable que va a utilizar , en este caso será la variable x = el numero de desaprobados Segundo : cual es el espacio Muestra de la variable

X = 0 , 1, 2 , 3 ESTUDIANTES DESAPROBADOS

SOLUCION DEL EJEMPLO: 

Sea el experimento de verificar el rendimiento académico de 3 estudiantes de Métodos probabilísticas , hallar la función de cuantía o probabilidad del número de desaprobados en Estadística.

Los valores que toma la variable aleatoria X, que cuenta el número de desaprobados en este experimento será: X : 0, 1, 2, 3 cuyas probabilidades son: f (x) = P(X= x) , f(3) = P(X=3) = 1/8; f(2) = P(X=2) = 3/8 ; f(1) = P( X=1) = 3/8 f(0 ) = P( X = 0) = 1/8 , donde la suma de todas las probabilidades deben dar 1 

La distribución quedaría de la siguiente manera :

X 0 1 2 3

f(x) 8

1

8

3

8

38

1

En un cierto ocasión de san salvador Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de dólares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de dólares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

Ejercicios para resolver

Función de Distribución

Definición Es la aplicación o funcion F(x ) que asigna a cada valor x, de la variable aleatoria discreta X la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que xi, es decir:

𝐹 (𝑋 𝐼 )=𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥𝑖)Ejemplo : La función de probabilidad de la variable aleatoria X vienedada por la tabla. Encuentre la función acumulada, dibuje la función de probabilidad y la Distribucion acumulada

 

  DISTRIBUCION ACUMULATIVA F(x).

La distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta f(x) está dada por F(x). donde F(x) = P  EJEMPLO :  Hallar la función de distribución acumulativa F(x) del ejemplo anterior:  0 si x < 0 

si  

F(x) = si 1 ≤ x < 2 

si  

1 si 

xt

tfx x

 

81

84

87 3x2

3x

1x0

EJERCICIOSSegún estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto

nuevo MAZDA distribuido por la empresa GEVESA, de un cierto modelo, sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban tres automóviles de esta marca y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar.

Haciendo uso de un diagrama de árbol, usando las literales siguientes, se obtiene el espacio muestra S como se muestra a continuación;

N = no sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de usoS = sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso

SOLUCIONx = variable que nos define el número de autos que no sufre de algún desperfecto en el motor durante los primeros 12 meses de usox = 0, 1, 2 o 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso ( revisar el resultado:::: )

p(x=0)= p(SSS)=(0.02)(0.02)(0.02)= 0.000008

p(x=1) =p(NSS, SNS, SSN)

=(0.98)(0.02)(0.02)+(0.02)(0.98)(0.02)+(0.02)(0.02)(0.98)

=0.001176

p(x=2 = p(NNS,NSN,SNN)=

(0.98)(0.98)(0.02)+(0.98)(0.02)(0.98)+(0.02)(0.98)(0.98)==0.057624 p (NNN) = (0.98)(0.98)(0.98) =0.941192

CALCULANDO LA ESPERANZA :

u =E(x) = (0)(0.000008)+(1)(0.001176)+(2)(0.057624)+(3)(0.941192)==0.0+0.001176+0.115248+2.823576=2.94= 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso

La interpretación de la media o valor esperado es; se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso

Ejercicio de aplicación : En la ensambladora sertesa, ubicada carretera a santa Ana ha detectado en una línea de producción de resortes que 1 de cada 10 resortes fabricados es defectuoso; se toman de esa línea tres resortes uno tras otro, a) obtenga la distribución de probabilidad del experimento, b) encuentre el número esperado de resortes defectuosos en esa muestra y su desviación estándar

Ejercicio de aplicaciónSuponga que “X “ representa las veces que

las personas aciertan al blanco en una feria la cual es una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

a) Representar gráficamente la función de distribución.

b) Encuentre la Media aritmética y la varianza

c) Calcular las siguientes probabilidades:• p (X < 4.5)• p (X ≥ 3)• p (3 ≤ X < 4.5)

Xi P(xi)

0 0.1

1 0.2

2 0.1

3 0.4

4 0.1

5 0.1

Las distribuciones discretas mas comunes son :Distribución binomial La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones:

1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.2) Las pruebas son estadísticamente independientes,

La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:Media = μ = n pVarianza = σ2 = n p q

Distribución hipergeométrica

Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que cumple las siguientes condiciones:1) Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N objetos.2) K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como fracasos. X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K, si K < n.las pruebas no son independientes entre sí.

Distribución de poisson

Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo. El experimento que la genera debe cumplir las siguientes condiciones: El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del anterior.

La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él.

Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar Sí o NO. Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contestan al azar, hallar :a) Probabilidad de obtener cinco acierto s.b) Probabilidad de obtener algún acierto.c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos.

La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de ingeniero es 0,3.Hallar la probabilidad de que un grupo de siete estudiantes matriculados en primer año finalice la carrera :a) Ninguno de los siete finalice la carrera,b) Finalicen todos.c) Almenos dos acaben la carrera.d) Hallar la media y la desviación típica del número de alumnos que acaban la carrera.

Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho,1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo,(a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?(b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?(c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados.(a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.(b) La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio(c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio

DISTRIBUCIONES CONJUNTASVARIABLES DISCRETAS• El conjunto de ternas (x, y, f(x, y)) es una distribución de probabilidad conjunta

de las VA discretas X e Y si satisface las condiciones:• f( x , y) ≥ 0 para todo (x, y)

• F(X=x, Y=y)= f (x , y)

Dadas dos VA discretas X e Y, se denomina función de distribución conjunta F(x,y) a la función:

x y

yxf 1),(

xx yy

ji

i j

yxyxfyYxXfyxF 2),).....(,(),(),(

DISTRIBUCIONES MARGINALES

Sean X, Y dos VA discretas con distribución de probabilidad conjunta F(x,y). Las distribuciones marginales de X e Y vienen dadas por:

y

X yxfxg ),()( x

Y yxfyh ),()(

ESPERANZA O MEDIA DE DISTRIBUCIONES CONJUNTA y MARGINAL

),((),(),(),( yxfyxgYXgEYX

00 0

)(),()(xx y

x xxgyxfxXE

00 0

)(),()(xx y

y yyhyxfyYE

covarianza

),( )-)(y-(x) -(Y )( y yxfXE yxXY

),( yxXY YXE

La covarianza de dos variables aleatorias X y Y con medias μx μy, respectivamente, esta dada por :

Distribución condicional de la distribucion conjunta

Sean X y Y dos variables aleatorias, discretas , la distribución condicional de la variable aleatoria Y, dado que X =x es

0)(,)(

),()/( xg

xgyxf

xyf

De manera similar , la distribución condicional de la variable aleatoria X, dado Y =y es :

0)(,)(

),()/( yh

yhyxf

yxf

Ejemplo clásico : Se seleccionan al azar dos repuestos para una computadora de un lote

de repuestos que contiene: 3 repuestos para memoria, 2 repuesto para discos duros y 3 repuestos para la fuente de alimentación. Si X es el numero de repuestos para memorias y Y es el numero de repuestos para discos duros que se seleccionan, encuentre :

a) La función de probabilidad conjunta f (x , y)

b) P[ (X, Y) ε A ], donde A es la región { (x ,y)[ x + y ≤ 1 ]}

c) Encuentre las distribuciones marginales de g(x) sola y h(y) sola

d) Encuentre la esperanza de g(x,y) = xy de la distribucion encontrada f(x,y)

e) Encuentre la convarianza de X y Y siguiendo el ejemplo anterior.

Ejercicio de evaluado

• Un jugador apuesta a un número del 1 al 6. Se tiran tres dados. Si el número apostado aparece k veces, k = 1, 2, 3, entonces el jugador gana k unidades; si dicho número no aparece ninguna vez, el jugador pierde una unidad. ¿Se trata de un juego justo para el apostador?

Solución

• Sea X: número de veces que al lanzar los dados el número apostado aparece. X es una binomial con parámetros n=3 y p=1/6.

• X puede tomar 4 valores 0, 1,2 y 3. Entonces

P(X 0) 3

0

1

6

05

6

3

125

216, P(X 1)

3

1

1

6

15

6

2

75

216

P(X 2) 3

2

1

6

25

6

1

15

216, P(X 3)

3

3

1

6

35

6

0

1

216.

Solución (y 2)

• Definimos la v.a. Y: ganancia del juego. Para saber si el juego es gusto, calculamos su esperanza:

• Recuerda que E(Y)=yip(X=xi)

• El juego no es justo, en media, el jugador pierde en cada partida 17/216

.2161

*321615

*221675

*1216125

*1)( YE