Universidad Privada del Norte

Ingeniera de Civil

Curso: Fsica II

Docente: Lic. Jorge Daniel Torres Alvarez

ELASTICIDAD

INTRODUCCION

En nuestros estudios de mecnica hemos asumido que los cuerpos son indeformables.

En esta unidad trataremos sobre los cambios de forma producidos en un cuerpo cuando esta bajo la accin de una

fuerza.

Para un anlisis de estos cambios de forma producidos en un cuerpo cuando estn sometido a una fuerza, se estudiara la

elasticidad, plasticidad esfuerzo y deformacin unitaria,

mdulos de elasticidad y energa elstica.

I. SOLIDOS

1. Nocin:

Se llaman as a los objetos que se distinguen de

tener forma y volumen definidos o constantes.

Los solidos presentan como caracterstica

fundamental conservar su forma y su volumen..

2. Clases:

Podemos clasificar a los solidos en cristalinos y

amorfos:

A. Solidos Cristalinos:

En estos solidos, los tomos u otras partculas que lo conforman se colocan en

forma regular (obedecen un orden) y

peridica.

Una de las caractersticas es su propiedad, la anisotropa, segn la cual, posee

diferentes propiedades en diferentes

direcciones.

Por ultimo, diremos que los cuerpos cristalinos presentan simetra exterior.

B. Solidos Amorfos:

Son sustancias que no posen estructura cristalina, aunque a diferencia de los

lquidos tienen elasticidad de forma.

La caracterstica de estas sustancias amorfas consiste en que de un punto

determinado de fusin.

Son cuerpos istropos, segn la cual, tienen las mismas propiedades en todas

las direcciones.

3. Propiedades Mecnicas:

Elasticidad

Plasticidad

Resistencia

Tenacidad

Dureza

Fragilidad

Maleabilidad

4. Elasticidad:

Se llama as a la propiedad que tienen los cuerpos, de recuperar su forma y dimensiones originales cuando la

fuerza aplicada cesa de actuar..

La elasticidad depende de la naturaleza del material, de la magnitud de la fuerza y de la historia previa del

material.

Si el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo elstico (deformacin

transitoria), como los que se muestran en las Fig.1, Fig. 2

y Fig.3, respectivamente.

Figura 1. Deformacin por

Estiramiento

Figura 2. Deformacin

por aplastamiento

Figura 3. Deformacin

por torsin

5. Plasticidad:

Es la capacidad del material de permitir grandes deformaciones residuales sin romperse.

Esta propiedad tiene una importancia decisiva en las operaciones tecnolgicas como el estampado, el

estirado, el trefilado y el doblado.

Si el cuerpo deformado no recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plstico

(deformacin permanente), como la que se muestra en

las Fig.4.

Figura 4. Deformacin Permanente y rotura

Los cuerpos plsticos pueden romperse si la fuerza deformadora sigue actuando sobre ste.

Las deformaciones se deben a las variaciones de las posiciones relativas de tomos y molculas del cuerpo.

6. Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo: ).

Es la relacin entre la fuerza deformadora y el rea de la

superficie sobre la cual acta.

Esfuerzo = Fuerza

rea

= F A

(1)

Unidades: N/m2, din/cm2 , Kgf/m2 , Lbf/pie2

7. Deformacin (Tensor de Deformacin: ).

La deformacin es un nmero sin unidades

Deformacin = = Variacin de la dimensin Dimensin inicial

Es la medida del grado de deformacin que sufre una

determinada dimensin del cuerpo cuando es sometida a

un esfuerzo.

A. Tipos de deformacin:

Deformacin longitudinal = Variacin de la longitud

Longitud inicial

Ejemplo 1. Un cable deformado por estiramiento como el

mostrado en la Fig.5 y la Fig.6

Do

Lo

D L

F

F

Figura 6. Vista

ampliada del

estiramiento del

cable

Cable estirado

por tensin

Figura 5

F = Tensin = T

F = m g

L = = L L0

L0

L

L0 (2)

a. Deformacin longitudinal

Deformacin transversal = Variacin del dimetro

Dimetro inicial

Razn de Poisson. Es la relacin entre la deformacin

transversal y la deformacin longitudinal. La deformacin

transversal es la deformacin de una magnitud lineal medida en

un plano perpendicular a la direccin de la fuerza aplicada.

Razn de Poisson = Deformacin transversal

Deformacin longitudinal

T = = D D0

D0

D

D0 (3)

= - = - D / D0

L / L0

D Lo

L D0 (4)

Para una varilla cilndrica de dimetro D y longitud L, la razn de

Poisson es:

b. Deformacin Transversal

c. Deformacin por torsin o corte

Deformacin por Torsin o

Corte Tangente del ngulo de

torsin de la deformacin =

Esta deformacin se presenta al torcer o doblar un

cuerpo.

c = Tan (5)

Ejemplo 2. La torsin del

cardan en la transmisin

de un vehculo de trac-

cin posterior como el de

la Fig.7.

Angulo de Torsin del

Cardan

Torque

Figura 7.

Deformacin Volumtrica = Variacin del volumen

Volumen inicial

Ejemplo 3. Los cuerpos sumergidos en un lquido, como

el submarino de la Fig.8, sufren deformacin

volumtrica debi-do al esfuerzo que ejerce la presin del

lquido en todas direcciones.

V = = V V0

V0

V

V0 (6)

Submarino

Figura 8

Agua

F = PA

d. Deformacin Volumtrica

8. Mdulo de Elasticidad

El mdulo de elasticidad se define como la razn del

esfuerzo y la correspondiente deformacin.

El mdulo de elasticidad es una constante caracterstica

del material del cual esta hecho un cuerpo.

Mdulo de Elasticidad = = Esfuerzo

Deformacin

(7)

La relacin lineal entre esfuerzo y deformacin se

denomina Ley de Hook y es vlida dentro del lmite

elstico. Fig.9

Lmite

elstico

Lmite de

ruptura

Esf

uer

zo

Deformacin

Figura 9

9. Diagrama Esfuerzo - Deformacin

A. Tipos de mdulos de elasticidad:

a. Mdulo de Young (E)

Este mdulo mide la resistencia de un slido a un

cambio de longitud, como en la varilla mostrada en

la Fig. 10.

Unidades: N/m2, din/cm2, Kgf/m2, Lbf/pie2

Mdulo de Young = Esfuerzo longitudinal

Deformacin longitudinal

F/A

L/Lo E =

F Lo

L A E = (8)

D

Do

A

L

Lo

F

F

Figura 10

Este mdulo mide la resistencia que presentan los

planos (o capas) de un slido a ser desplazados

unos con respecto a otros por accin de una

fuerza tangencial que acta sobre la superficie del

cuerpo.

Mdulo de corte = G = Esfuerzo por corte

Deformacin por corte

b. Mdulo de Corte, torsin o Cizalladura (G)

Ejemplo 4.

h

A F

x

-F

Figura 11

Si mediante la fuerza F, que acta

tangencialmente a la superficie de rea A,

deformamos el bloque de la Fig.11 se tiene que:

Segn la Ec.(5) y la Fig.11, la deformacin por

corte es:

c = rad.

Por lo tanto, el mdulo de corte se define como:

G = F / A

(9)

Entonces:

Si el ngulo de deformacin es pequeo: Tan

rad.

Mide la resistencia que presentan los slidos o

lquidos a cambiar de forma cuando son sometidos

a un cambio de presin.

Mdulo Volumtrico = Esfuerzo volumtrico

Deformacin Volumtrica

c. Mdulo Volumtrico (B)

En la Fig.12 se ilustra la deformacin volumtrica de un paraleleppedo.

Deformacin Volumtrica = V

Vo

Esfuerzo volumtrico= Variacin de presin = P = F

A

Mdulo Volumtrico = B = - P

V / Vo

F

F F

F

F

A

Figura 12

Como B siempre debe ser (+), se incluye el signo (-)

en la expresin anterior para cancelar el signo (-) que

puede surgir en P o en V.

El esfuerzo volumtrico est dado por la variacin

de la presin que acta sobre el cuerpo.

B = - Vo ( ) P

V (10)

Las unidades del mdulo volumtrico son iguales a

las del mdulo de Young.

Unidades: N/m2, din/cm2, Kgf/m2, Lbf/pie2

La unidades del mdulo de compresibilidad son

el inverso de la unidades del mdulo volumtrico

Unidades: m2 / N, cm2 / din, m2 / kgf, pie2 / lbf

K = = - ( ) V

P

1

B

1

Vo (11)

Este mdulo se define como el inverso del mdulo

volumtrico

c. Mdulo de Compresibilidad (K)

10. Relaciones entre Mdulos de Elasticidad

En cuerpos Isotrpicos (igual propiedad en todas

direcciones) y Homogneos (igual densidad) los tres

mdulos de elasticidad se relacionan mediante la

expresin:

E = 3 B ( 1 2 ) = 2 G ( 1 + ) (12)

E = 9 B G

3 B + G (13)

= + 1

3 G

1

9 B

1

E (14)

11. Energa Elstica

Cuando una barra es sometida a una fuerza F de

traccin, esta se alarga una distancia L y el

trabajo realizado por esta fuerza, se transforma en

energa elstica almacenada en la barra, figura 13.

Tomando diferencial de la deformacin, debido a la

fuerza F, usando el modulo de Young e integrando

se obtiene la siguiente expresin:

U = E Vo

2

2 (14)

U = K L 2

2 (15)

Figura 13