Capítulo 2 Estadística descriptiva 23 Estadística descriptiva.
Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis
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Clases 1Conceptos, Estadística
Descriptiva, Pruebas de Hipótesis
Curso de Metodología de la InvestigaciónProfesor Manuel Lobos González
Año 2011
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Tema 1: Conceptos
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LA BASE Y PUNTO DE PARTIDA DEL CIENTIFICO ES UNA REALIDAD DETERMINADA, QUE MEDIANTE LA INVESTIGACION LE PERMITE LLEGAR A
LA CIENCIA
REALIDAD
INVESTIGACION
CIENCIA
METODO CIENTIFICO
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VER EN LA
REALIDAD
LO QUE OTROS
NO HAN VISTO
PRINCIPIO DE LA INVESTIGACIÓN
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REALIDADREALIDAD
CUERPOCUERPO DE CONOCIMIENTOS DE CONOCIMIENTOS
EL PROCESO DE INVESTIGACIÓN (Erika Himmel)EL PROCESO DE INVESTIGACIÓN (Erika Himmel)
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REALIDADREALIDAD
HECHOSHECHOS FENÓMENOSFENÓMENOS DATOSDATOS
EXPERIENCIAEXPERIENCIA
CUERPO DE CONOCIMIENTOSCUERPO DE CONOCIMIENTOSTEORÍASTEORÍAS
MODELOSMODELOS
ANÁLISISANÁLISISDE DATOSDE DATOS
FASE IIIFASE III FASE IVFASE IV
CIÓNCIÓNEVALUA-EVALUA- COMUNICACIÓNCOMUNICACIÓNPROBLEMAPROBLEMA HIPÓTESISHIPÓTESIS
FASEFASE VV
FASEFASE IIII
DISEÑODISEÑO
FASEFASE II
INFERENCIAINFERENCIA
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Plantear hipótesis
Obtenerconclusiones
Recoger datosy analizarlos
Diseñar experimento
Método científico y estadística
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Definición de Estadística
Es un conjunto de teorías y métodos que han sido desarrollados para tratar la recopilación, organización, presentación, análisis, interpretación y descripciones de datos muestrales con el fin de extraer conclusiones útiles de ellos.
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Tema 2: Estadígrafos Básicos
Adaptado de Curso de Bioestadística
Universidad de Málaga
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Un brevísimo resumen sobre estadísticos
• Centralización o Tendencia central o promedios– Indican valores con respecto a los que los datos
parecen agruparse.• Media, mediana y moda
• Posición– Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos
con la misma cantidad de individuos.• Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles, quintiles...
• Forma– Asimetría– Apuntamiento o curtosis
• Dispersión o Variabilidad– Indican la mayor o menor concentración de los
datos con respecto a las medidas de centralización.• Desviación típica, coeficiente de variación, rango,
varianza
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La media como punto de equilibrio
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La media aritmética[=promedio(rango)]
La media aritmética de una variable se define como la suma ponderada de los valores de la variable por sus frecuencias relativas y lo denotaremos por
y se calcula mediante las expresiones, según el caso:M
n
i
iin
i
iin
i
i
n
nc
n
nx
n
xM
111
xi representa el valor de la variable; ci representa la marca de clase.
Para TDNA TF TI
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La mediana[=mediana(rango)]
La mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es o el valor central o la media de los dos valores centrales.
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La moda[=moda(rango)]
La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que más se repite, es la única medida de centralización que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realización de ningún cálculo.
Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber dos o más valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta máxima. En cuyo caso tendremos una distribución bimodal o polimodal según el caso.
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La moda
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Estadígrafos de Posición• Se define el cuantil de orden como un valor de la variable por debajo del cual
se encuentra una frecuencia acumulada
• Casos particulares son los percentiles, cuartiles, deciles, quintiles,...
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Los cuantiles son generalizaciones de la mediana. Los cuartiles dividen a los datos en cuatro partes iguales,los deciles en diez, los quintiles en cinco, los percentiles en cien.
Cuantil de orden α[=percentil(rango;k)]
k
rnC
X
kr
5,314
342
43
X
Q
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• Cuartiles (Q): Dividen a la muestra en 4 grupos con frecuencias similares.– Primer cuartil = Percentil 25 = Cuantil 0,25– Segundo cuartil = Percentil 50 = Cuantil 0,50 = mediana– Tercer cuartil = Percentil 75 = Cuantil 0,75
• Quintiles (K): Dividen a la muestra en 5 grupos con frecuencias similares.– Primer quintil = Percentil 20 = Cuantil 0,20– Segundo quintil = Percentil 40 = Cuantil 0,40– Tercer quintil = Percentil 60 = Cuantil 0,60– Cuarto quintil = Percentil 80 = Cuantil 0,80
• Deciles (D): Dividen a la muestra en 10 grupos con frecuencias similares.– Tercer decil = Percentil 30 = Cuantil 0,30– Quinto decil = Percentil 50 = Cuantil 0,50 = mediana– Séptimo decil = Percentil 70 = Cuantil 0,70
• Percentiles (P) : Dividen a la muestra en 100 grupos con frecuencias similares.– La mediana es el percentil 50– El percentil de orden 15 deja por debajo al 15% de las observaciones. Por encima queda
el 85%
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Medidas de variabilidadRango, Rango Intercuartílico, Desviación Media, Varianza,
Desviación Estándar y Coeficiente de Variación
Algunos datos han sido adaptados de
Pedro Juan Rodríguez Esquerdo
Departamento de Matemáticas
UPR Río Piedras
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Estadígrafos deVariabilidad o dispersión
• Los estudiantes de Metodología de la Investigación obtienen diferentes calificaciones en la asignatura (variabilidad). ¿A qué puede deberse?
– Diferencias individuales en el conocimiento de la materia.
• ¿Podría haber otras razones (fuentes de variabilidad)?
• Por ejemplo supongamos que todos los alumnos poseen el mismo nivel de conocimiento. ¿Las notas serían las mismas en todos? Seguramente No.
– Dormir poco el día de la prueba, el café estaba con somnífero...• Diferencias individuales en la habilidad para hacer un examen.
– El examen no es una medida perfecta del conocimiento.• Variabilidad por error de medida.
– En alguna pregunta difícil, se duda entre varias opciones, y al azar se elige la mala
• Variabilidad por azar, aleatoriedad.
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Miden el grado de dispersión (variabilidad) de losdatos, independientemente de su causa.
• Amplitud o Rango [=max(rango)-min(rango)]
• La diferencia entre las observaciones extremas.– 2,1,4,3,8,4. El rango es 8-1=7– Es muy sensible a los valores extremos.
• Rango intercuartílico• [=CUARTIL(rango;3)-CUARTIL(rango;1)]
– Es la distancia entre el primer y tercer cuartil.• Rango intercuartílico = Q3 – Q1 = P75 - P25 = C0.75 – C0,25
– Parecida al rango, pero eliminando las observaciones más extremas inferiores y superiores.
– No es tan sensible a valores extremos.
Medidas de dispersión
25% 25%25%25%
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Muestra de edades de cinco niños
• En una muestra de cinco niños se observa que éstos tienen las siguientes edades:
• 1, 1, 4, 8 y 9 .• En promedio tienen 4.6 años.• ¿Cuánta variabilidad hay en las edades de
los niños?• ¿A qué distancia quedan las edades
observadas de la media muestral 4.6 años?
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Diferencias de valores observados a la media muestral
Distribucion de cinco observaciones
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 More
Edades observadas
Fre
cu
en
cia
Media muestral-3.6
-3.6
4.4
3.4-.6
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Otra medida: Varianza
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 More
Area observada
Fre
cu
en
cia
4.4x4.4
3.6x3.6
3.6x3.6
3.4x3.4
.6x.6
Media Muestral
![Page 26: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/26.jpg)
Varianza [=var(rango)]
• -3.6 + -3.6 + -.6 + 3.4 + 4.4 = 0• 3.6(3.6) + 3.6(3.6) + .6(.6) + 3.4(3.4) +
4.4(4.4) = 57.2• área promedio = 57.2 / 4 = 14.3• En general:
n
ii xx
ns
1
22 )(1
1
n
i
i
n
xxs
1
22
1
)(
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Grados de libertad
• ¿Por qué calculamos la varianza dividiendo por n - 1, en lugar de dividir por n?
• Como la suma de las desviaciones es 0, la última desviación es una combinación lineal de las n - 1 desviaciones restantes.
• Por lo tanto, no estamos calculando el promedio de n números independientes (los desvíos). Solo n -1 de las desviaciones al cuadrado pueden variar libremente y por ello, promediamos la suma de los desvíos al cuadrado dividiendo por n -1.
• Al numero n -1 se lo denomina grados de libertad de la varianza o de la desviación típica.
![Page 28: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/28.jpg)
Desviación estándar [=desvest(rango)]
2ss Así s = 3.78
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Desviación estándar
S2=14.3 años2
SS=3.78 años
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Tema 3: Introducción a Pruebas de
Hipótesis
![Page 31: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/31.jpg)
• Las pruebas de hipótesis hacen inferencias respecto a los parámetros de la población, como la media.
• Las pruebas paramétricas utilizan la estadística paramétrica de muestras que provinieron de la población que se está probando.
• Para formular estas pruebas, se hacen suposiciones restrictivas sobre las poblaciones de las que se extraen las muestras, por ejemplo, que las muestras son grandes o que provienen de poblaciones normalmente distribuidas. Pero las poblaciones no siempre son normales.
Contrastes Paramétricos
![Page 32: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/32.jpg)
• Pero las poblaciones no siempre son normales.• Se han desarrollado técnicas útiles que no hacen
suposiciones restrictivas respecto a la forma de las distribuciones de las poblaciones. Éstas se conocen como pruebas sin distribución, o pruebas no paramétricas.
Contrastes No Paramétricos
![Page 33: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/33.jpg)
Elementos que conforman un Contraste Hipótesis
• DESDE LA HIPÓTESIS DE TRABAJO
1. RELACIÓN MATEMÁTICA
2. SE RELACIONA CON HIPÓTESIS ESTADÍSTICA _______________
3. SE ESPERA ENTONCES _____________ LA HIPÓTESIS NULA
4. LA REGIÓN DE RECHAZO ES______________ (VER HIPÓTESIS ALTERNA)
5. LA PROBABILIDAD ESPERADA ES ENTONCES (VER 3)
6. DECISIÓN SOBRE LA HIPÓTESIS NULA A PARTIR DE EVIDENCIA (SE ACEPTA O RECHAZA)
7. DECISIÓN SOBRE HIPÓTESIS DE TRABAJO (SI 3=6 SE SUSTENTA….. O NO SE SUSTENTA)
![Page 34: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/34.jpg)
datos de la muestra
Se calcula una medidade discrepanciaValor calculado
¿se rechaza Ho?
NOSIH1
Se extraen conclusiones
Se definen:
medida de discrepancia con una distribución de probabilidad conocida
Regla de decisión(nivel de
significación )
Valor crítico o tabulado
Se comparan los valores calculado con tabulado
HIPÓTESIS DETRABAJO
HIPÓTESISESTADÍSTICAS
![Page 35: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/35.jpg)
se Hipótesis detrabajo
1
formulan
6se
calculaReglas
decisionales
7
Prueba designificación
se decide
8
se infiere
2Hipótesis
estadísticas
se estima
3 se selecciona
El o los parámetros
4 se determina
matemático Un modelo estadístico
DIAGRAMA DE LAS ETAPAS EN LA CONTRASTACION DE LA HIPOTESIS ESTADISTICA Y SU RELACION CON LAS HIPOTESIS DE TRABAJO. (Erika Himmel)
La magnitud de los errores
se formulan
5
![Page 36: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/36.jpg)
Identificación de hipótesis• Hipótesis nula Ho
– La que contrastamos
– Los datos pueden refutarla
– No debería ser rechazada sin una buena razón.
• Hipótesis Alternativa H1
– Niega a H0
– Los datos pueden mostrar evidencia a favor
– No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.
, , , ,
![Page 37: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/37.jpg)
Región crítica y nivel de significaciónRegión crítica• Valores ‘improbables’ si...• Es conocida antes de realizar el
experimento: resultados experimentales que refutarían H0
Nivel de significación: • Número pequeño: 1% , 5%• Fijado de antemano por el investigador• Es la probabilidad de rechazar H0
cuando es cierta
=5%
Reg. Crit.
=2.5%
Reg. Crit.
=2.5%
No rechazo H0
![Page 38: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/38.jpg)
Contrastes: unilateral y bilateralLa posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa
Unilateral Unilateral
Bilateral
![Page 39: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/39.jpg)
Contrastes: unilateral y bilateralUn ejemplo para la prueba t para una :0.05 y gl:20
Unilateral Unilateral
Bilateral
tc: 2.086
tc: 2.086
tc: 1.725
tc: 1.725
![Page 40: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/40.jpg)
La distribución normal
![Page 41: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/41.jpg)
La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la acompaña tienen las siguientes características:La curva normal tiene forma de campana y una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se ubican en el centro. La mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.Es simétrica en torno a su promedio. Si se corta Ia curva normal de manera vertical por el valor central, las dos mitades serán como imágenes en un espejo.La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central.Es asintótica, Ia curva se acerca cada vez más al eje de X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de Ia curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.
![Page 42: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/42.jpg)
Psicología Biología Educación Astronomía Economía Ciencias sociales y
administrativas
La distribución normal se usa en:
![Page 43: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/43.jpg)
Un esfuerzo para interpretar y comparar el desempeño de un individuo en dos o más variables es difícil cuando las distribuciones de los datos tienen medias y desviaciones estándar diferentes. Este problema se puede evitar transformando los datos de modo que todas las variables tengan medias idénticas y las mismas desviaciones estándar, es decir, "estandarizando" los parámetros de las distribuciones (transformando valores brutos en valores estándar).
PUNTUACIONES ESTÁNDAR
![Page 44: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/44.jpg)
Las distribuciones de puntuaciones estándar tienen valores para la media y la desviación estándar que son fijos, conocidos y nunca varían. Como los parámetros son siempre los mismos, las interpretaciones y comparaciones entre puntuaciones estándar se hacen más fácilmente.
PUNTUACIONES ESTÁNDAR
![Page 45: Clases 1 Conceptos, Estadística Descriptiva, Pruebas de Hipótesis](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022081417/56812e3b550346895d93b123/html5/thumbnails/45.jpg)
La puntuación estándar más elemental y útil es la z. Cuando las observaciones se expresan en unidades de desviaciones estándar de la media son calificaciones z. La distribución de calificaciones z tiene parámetros fijos:
= 0 y = 0 y = 1. = 1.
PUNTUACIONES ESTÁNDAR: PUNTAJE Z
Se define una variable
x
Z x
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PUNTUACIONES ESTÁNDAR: PUNTAJE Z
Si Diego obtiene una nota de 6,2 significa poco, a menos que conozca la media del grupo y la desviación estándar. Una calificación z, sin embargo, puede interpretarse fácilmente en relación con toda la distribución, ya que sus parámetros siempre se conocen y nunca varían.
Si sabemos que la calificación z de Diego es 1.5, sabemos que calificó 1.5 desviaciones estándar arriba de la media, y que, en consecuencia, su calificación es completamente alta en relación con los otros de la distribución.
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EJEMPLO DE COMPARACIÓN PUNTAJE Z
Paula obtiene las siguientes notas en las distintas asignaturas:
MATEMATICA : 5.8LENGUAJE : 6.1CIENCIAS : 5.6
En términos absolutos, Paula obtiene mejor nota en Lenguaje, luego en Matemática y finalmente en Ciencias.
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Lenguaje6.1
Ciencias5.6
Matemática5.8
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¿Qué sucede si además de conocer la nota, sabemos cómo se comportó todo el curso de Paula en esas asignaturas?
MATEMATICA : 5.8 y el curso tuvo una media de 5.7 y una desviación estándar de 0.5
LENGUAJE : 6.1 y el curso tuvo una media de 6.2 y una desviación estándar de 0.7
CIENCIAS : 5.6 y el curso tuvo una media de 5.0 y una desviación estándar de 1.1
EJEMPLO DE COMPARACIÓN PUNTAJE Z
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EJEMPLO DE COMPARACIÓN PUNTAJE Z
Ahora podemos comparar las notas en términos de puntuaciones estándar Z, asumiendo que las medias = 0 y las desviaciones estándar = 1, utilizando la fórmula:
MATEMÁTICA : x= 5.8 ; media= 5.7 y ds= 0.5
LENGUAJE : x= 6.1 ; media= 6.2 y ds= 0.7
CIENCIAS : x= 5.6 ; media= 5.0 y ds= 1.1
Puntaje Z5.8= 0.2
Puntaje Z6.1= -0.14
Puntaje Z5.6= 0.54
x
Z x
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EJEMPLO DE COMPARACIÓN PUNTAJE Z
Paula obtiene los siguientes puntajes Z en las distintas asignaturas:
MATEMATICA : 0.20LENGUAJE : -0.14CIENCIAS : 0.54
En términos de comparación de los puntajes Z, Paula obtiene mejor puntaje en Ciencias, luego en Matemática y finalmente en Lenguaje.
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Lenguaje-0.14
Ciencias0.54
Matemática0.20
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Las puntuación estándar más comúnmente utilizada para informar el desempeño en exámenes es la calificación de valor estándar T, que tiene una media de 50 y una desviación estándar de 10.
PUNTUACIONES ESTÁNDAR: PUNTAJE T
Se define una variable
T= 50+10z
Para convertir calificaciones z a calificaciones T, la ecuación es la siguiente:
x
T x1050
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EJEMPLO DE COMPARACIÓN PUNTAJE T
Tres estudiantes obtienen los siguientes puntajes en una prueba de habilidad matemática, de un total de 100 puntos:
Mónica : 82Carmen : 53Cristina : 65
En términos absolutos, Mónica tiene el puntaje más alto y las tres se encuentran sobre los 50 puntos.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Carmen53
Cristina65
Mónica82
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¿Qué sucede si además de conocer el puntaje de cada una, sabemos cómo se comportó todo el curso en esa prueba?
Media del curso = 60 puntosDesviación estándar del curso = 12 puntos
EJEMPLO DE COMPARACIÓN PUNTAJE Z
Ahora podemos comparar los puntajes de estas tres estudiantes en términos de puntuaciones estándar T, asumiendo que las medias = 50 y las desviaciones estándar = 10, utilizando la fórmula:
x
T x1050
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EJEMPLO DE COMPARACIÓN PUNTAJE T
Mónica : x= 82 ; media= 60 y ds= 12
Carmen : x= 53 ; media= 60 y ds= 12
Cristina : x= 65 ; media= 60 y ds= 12
33.6812
60821050
82
T
16.4412
60531050
53
T
16.5412
60651050
65
T
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EJEMPLO DE COMPARACIÓN PUNTAJE Z
Ahora, las tres puntuaciones quedan expresadas en puntajes estándar T:
Mónica : 68.33Carmen : 44.16Cristina : 54.16
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Carmen44.16
Cristina54.16
Mónica68.33
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Curva normal, Percentiles y Valores Estándar
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¿¿Cómo calcular probabilidades asociadas a Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal específica?una curva normal específica?
Dado que tanto como pueden asumir infinitos valores, lo que hace impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la distribución normal reducida o tipificada
Se define una variable zxx = xx - -
Es una traslación y un cambio de escala de la variable original
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-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3
zz
Una regla empírica indica que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre :
1 68 % 2 95 % 3 99 %
68%
99%
95%
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Ahora podemos calcular eI valor z dada:
Ia media de Ia población, ,
la desviación estándar de ésta, ,
y una xx seleccionada.
Y establecer el área bajo la curva con la tabla apropiada o un software como Excel.