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UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRIÓN

“Facultad de Ciencias de la Educación”

“Escuela de Formación Profesional de Educación Primaria”

ESTUDIANTE:

LEONARDO CHUCO, Liz Gabriela

DOCENTE:

FELIX AQUINO, Carlos Diosdado

M es de...

2

DEDICATORIA

Este trabajo está dirigido a todas las personas que intervienen

en mi vida y hacen que día a día mi futuro sea mejor: a los

maestros por su ardo enseñanza y su sabiduría que nos

comparten sin ningún compromiso, a mis padres por su gran

apoyo y ejemplo que nos brindan para salir adelante y mis

amigos que me acompañan en mi arduo camino.

3

INDICE

Pág.

I. RAZONAMIENTO NUMÉRICO……………… 5

II. RAZONAMIENTO LÓGICO……………………. 10

III. RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO………….. 25

IV. RAZONAMIENTO ESTRATÉGICO………….. 34

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INTRODUCCIÓN

He venido elaborando estos ejercicios de geodesia, juegos de geometría

numéricos con el fin de que cada estudiante desarrolle sus habilidades

mentales entre otros. El objetivo de estas, es contribuir el desarrollo de

aptitudes razonamiento de nuestros niños y jóvenes quienes son

forjadores del futuro del país.

Estos ejercicios ya que en la publicación y organización pretende formar

estudiantes con la visión de formar talentos con la aptitud y actitud de

alcanzar satisfactoriamente él nivel de razonamiento sin ninguna

dificultad.

De esta manera reforzar también las manualidades en diversos juego que

implica muchas habilidades, desarrollando así diferentes habilidades que

en el nivel primario y segundario requieren de mucha ayuda.

Estamos seguros que este material motivara a muchos estudiantes a

participar en las matemáticas futuras, consolidando sus conocimientos

adquiridos mediante sus prácticas.

Hacemos llegar a nuestro más grato saludo a todos aquellos que bregan

día a día hacia el camino paulatino de una educación más justa científica

y humana.

5

6

I. RAZONAMIENTO NÚMERICO

Habilidad para entender, estructurar, organizar y

resolver un problema utilizando un método o fórmula

matemática. Implica determinar operaciones

apropiadas y realizar los correspondientes cálculos

para resolver problemas matemáticos. Se refiere a la

habilidad para computar con rapidez, pensar en

términos matemáticos y aprender matemáticas.

Incluye problemas verbales, cómputos y series

numéricas.

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1.1. EJERCICIOS A) Soy mayor que 200 y menor que 250.tengo el 4 en las

unidades, soy el resultado de la suma de 120 y 114.

a) 128

b) 234

c) 145

d) 954

B) Se tiene 81 bolas de igual tamaño, si una de ellas pesa

menos que las otras y el resto de ellas pesan igual

¿Cuántas pesadas como mínimo se tendrá que realizar en

una balanza de dos platillos para localizar la bola que pesa

menos?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

C) si con tres colillas se puede canjear un cigarro ¿Cuántos

cigarros como máximo se podrá fumar si compro 10

cigarros? a) 11 b) 12 c) 15 d) 14 e) 16

8

1.2. SOLUCIÓN:

A) Solución

Sumamos

Respuesta: B

B) Solución

1er platillo 2do platillo Sobra

Respuesta: para determinar la bola menos pesada, se debe

realizar 4 pesadas como mínimo(c).

120 +

114

234

27 27

9 9

3 3

1 1

27

9

3

1

1° PESADA

2° PESADA

3° PESADA

4° PESADA

9

C) Solución

N° VECES FUMO CANJE QUEDAN

COLILLAS

1° 10 10/3=3 1

2° 3 (3+1)/3=1 1

3° 1 (1+1)/3=0 2

Subtotal 14

Luego de fumar 14 cigarros, me sobran 2 colillas,

entonces, pido un cigarro, lo fumo y con su colilla junto

3 colillas.

El cigarro que debo es pagado con las dos colillas que

sobro y una colilla que tendré del último cigarro pedido.

En total fumo: 14 + 1= 15

10

11

II. RAZONAMIENTO LÓGICA

La lógica, por su parte, es la ciencia dedicada a la exposición de las formas, los métodos y los principios del conocimiento científico. Algo lógico, en este sentido, es aquello que respeta estas reglas y cuyas consecuencias resultan justificadas, válidas o naturales.

Un razonamiento lógico, en definitiva, es un proceso mental que implica la aplicación de la lógica. A partir de esta clase de razonamiento, se puede partir de una o de varias premisas para arribar a una conclusión que puede determinarse como verdadera, falsa o posible.

El razonamiento lógico se puede iniciar a partir de una observación (es decir, una experiencia) o de una hipótesis. El proceso mental de análisis puede desarrollarse de distintas maneras y convertirse en un razonamiento inductivo, un razonamiento deductivo, etc. Según la clase de razonamiento empleada, la conclusión tendrá mayor o menor posibilidad de resultar válida.

La conclusión encuentra su base en las premisas iniciales: el razonamiento lógico es el camino que vincula ambas partes. El resultado del razonamiento tendrá un cierto grado de probabilidad en cuanto a su veracidad, siempre que los razonamientos lógicos sean válidos.

2.1. EJERCICIOS A) En la comunidad de ÑAGAZU vive varias

Antonela Isaac ManuelAntonela Isaac Manuel

Cuando una persona razona, desarrolla

un razonamiento. Razonar es la

actividad mental que permite lograr la

estructuración y la organización de las

ideas para llegar a una conclusión.

12

personas entre ellos, Carmen es hermana de Rino y Joaquin es hermano de

Carmen, pero Rino y Joaquín no tiene ninguna afinidad familiar.

Luego

A) El papá de Rino es hermano con la mamá de Joaquín.

B) La mamá de Joaquín es tía de Carmen.

C) El papá de Carmen es tío de Joaquín.

D) La mamá de Joaquín es esposa del papá de Rino.

E) La mamá de Rino es esposa del tío de Rosa.

¿Cuál de las alternativas es cierta?

B) En la escuela de la institución Educativa “PEDRO RUIZ GALLO “ del grado de

1° “A” de primaria, los chicos se sientan en los pupitres numerados del 1 al 5 y

las chicas se sientan frente a ellos en los numerados del 6 al 10.

1. La chica sentada junto a la chica frente al nº1 es Nicole.

2. Nicole se sienta tres pupitres más allá que Grace.

3. Janet está frente a Cesar.

4. Eddy se sienta frente a la chica sentada junto a Janet.

5. Si Cesar no está en el centro, Alan sí.

6. David está junto a Billy.

7. Billy se siete tres pupitres más allá de Cesar.

8. Si Nicole no está en el centro, Flor sí.

9. Janet está tres pupitres más allá de Jany.

10. David se sienta frente a Grace.

11. La chica que se sienta junto a la que está frente a Alan es Jany.

12. Cesar no se sienta en el pupitre nº5.

13. Jany no se sienta en el pupitre nº10

¿Quién está sentado a la derecha y contiguo a Flor?

A) Cesar.

B) Jany.

C) Billy.

D) Janet.

E) Eddie

CHICOS

CHICAS

6

2 3 5 4 1

7 8 9 10

13

C) Carlos, Jair y Juan se encuentran charlando sentados alrededor de una mesa

circular. Jair no está a la derecha de Juan.

¿Quién está a la derecha de Carlos?

1) Jair

2) Juan

3) No se sabe.

4) Ay B

5) N.A

2.2. SOLUCION

A) Solución

Veamos una a una las alternativas.

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a) En la opción (A), si sucediera este caso, sería contradictorio con la condición que se da

de que tanto Rino y Joaquín no tienen ninguna afinidad familiar, porque serían

primos hermanos.

b) En la opción (B), tampoco cumple porque Joaquín y Carmen, según la condición son

hermanos.

c) En la opción (C), al igual que la opción (B), la condición hermanos descarta cualquier

otro vínculo entre sus papá de Carmen y Joaquín.

d) La opción (D), se acercaría más ya que si vemos en la gráfico, bien puede la mamá de Joaquín ser esposa del papá de Rino sin que exista ninguna afinidad familiar entre sus estos.

e) Y la opción (E) queda descartada ya que no se especifica quien es Rosa.

Respuesta: Por lo tanto la que más se adecua es la opción D.

B) Solución a. Por dato (1), si Nicole es la chica que está al costado del que está enfrente del

número 1 entonces Nicole ocupa el número 9.

b. Por el dato (2), Grace ocuparía el pupitre número 6, por estar a tres pupitres

de Nicole.

c. En el dato (5), nos dice que Alan está en el centro por lo tanto ocupa el pupitre

número 3.

d. En el dato (8), flor se encuentra en el pupitre número 8 ya que es el centro.

e. En el dato (10), David está en el pupitre número 5.

f. En el dato (11), Si sabemos que la chica frente a Alan es Flor pero que a su

izquierda está Nicole entonces en el otro costado tiene que estar Jany que

ocuparía el pupitre número 7

g. Entonces volviendo al dato (3) Si el único lugar disponible de entre los

pupitres de las mujeres es el 10 por lo tanto. este pupitre le corresponde a

Janet. y Cesar se encuentra al frente es decir en el pupitre 1.

h. El dato (4) nos da el número de pupitre de Eddy que sería el número 2, ya que

dice que está frente a la chica que está al costa de Janet, esta chica es Nicole

que ocupa el pupitre número 9.

i. Y por último en el dato (6) el único pupitre disponible para Billy sería el

número 4 y coincide con estar junto a David.

Entonces la conformación quedaría así.

EDDY CESAR ALAN BILLY CHICOS

DAVID

2 3 5 4 1

Mamá

Joaquín

Papá

Carmen

Mamá

Rino

Papá

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Respuesta: La que está sentada a ala derecha de flor es Jany (B)

C) Solución.

Por el dato del problema, dice que Jair no está a la derecha de Juan por lo

tanto tiene que estar a la izquierda de este y el gráfico quedaría de la siguiente

manera.

La respuesta: sería la alternativa 1) Jair

III. CUADROS MÁGICOS

Un cuadrado mágico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las

JANET NICOLE FLOR JANY GRACE CHICAS

6 7 8 9 10

Juan

Jair

Carlos

16

casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Los cuadrados mágicos actualmente no tienen ninguna

aplicación técnica conocida que se beneficien de estas

características, por lo que sigue recluido al divertimento,

curiosidad y al pensamiento matemático. Aparte de esto, en las

llamadas ciencias ocultas y más concretamente en

la magia tienen un lugar destacado.

¿Cuáles son los números que se deben acomodar en un cuadrado mágico?

Si el cuadrado es de 3 x 3, entonces tendrá 9 casillas y los números que se acomodan en él son todos los números del 1 al 9 Si el cuadrado es de 4 x 4, entonces tendrá 16 casillas y los números que se acomodan en él son del 1 al 16

En general, si el cuadrado es de n x n, entonces tendrá n cuadrada casillas y los números que acomodaremos en él serán del 1 a n².

Propiedades de los cuadrados mágicos

El orden de un cuadrado mágico es el número de renglones o el número de columnas que tiene. Así un cuadrado de 3 x 3 se dice que es de orden 3.

Al sumar los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquiera de las dos diagonales el resultado es el mismo, a este número se le llama constante mágica.

Hay muchas maneras de encontrar la constante mágica:

a) Si se conoce el cuadrado mágico basta sumar cualquier renglón o columna o diagonal.

b) Si el cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los números que se colocarán en el cuadrado y dividir el resultado entre el orden de éste. Por ejemplo: en un cuadrado mágico de orden 3 los números que se colocarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

c) Otra manera de calcular la constante mágica de un cuadrado mágico es acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizar

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en su orden natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumar los números de cualquiera de las diagonales; el resultado será la constante mágica de ese cuadrado.

d) En general la fórmula para encontrar la constante mágica de un cuadrado mágico de orden n es:

n ( n² + 1 ) ___________

2

n³ + n ___________

2

Esto quiere decir que:

En un cuadrado mágico de 3 x 3 debemos acomodar todos los números del 1 al 9 de manera que la constante mágica sea 15. En un cuadrado mágico de 4 x 4 debemos acomodar todos los números del 1 al 16 de manera que la constante mágica sea 34. En un cuadrado mágico de 5 x 5 debemos acomodar todos los números del 1 al 25 de manera que la constante mágica sea 65.

3.1. EJERCICIOS

A) La suma es 15

4 9 3 5

18

B) La suma es 15

6

8

2 9 4 C) La suma es 15

6

3

7

4

2

3.2. SOLUCION A) Suma 15

4 9 2

3 5 7

8 1 6

B) Suma 15

6 1 8

7 5 3

2 9 4 C) Suma 15

IV. SODOKUS

El Sudoku es un pasatiempo que hace furor en Reino Unido, es famoso

desde hace años en Japón y que está basado en una idea de un

matemático francés. En Estados Unidos se le conoce como Number

Place.

8 1 6

3 5 7

4 9 2

19

Hay que rellenar todas las casillas con números del 1 al 9 sin que se repita

el mismo número.

En la misma fila.

En la misma columna.

En la misma celda de tres por tres casillas (las que están marcadas

con un trazo más grueso).

CONSEJOS

Trata de encontrar los obvios primero.

Celebra concursos con tus amigos o compañeros de trabajo. Haz

copias de un rompecabezas y trata de ver quién termina más

rápido. Hacer esto una vez al día o a la semana te ayudará a

aumentar tu velocidad considerablemente.

Copia el rompecabezas a una grilla mucho más grande que las del

periódico, usando un marcador. Ahora resuelve el rompecabezas

usando las casillas más grandes para anotar claramente en lápiz

todos los números posibles.

Primero revisa por casilla, luego por fila y luego por columna.

Comprueba dos veces, pon un número una vez.

Otro buen lugar para practicar tus habilidades de Sudoku es en un

libro. Hay muchos libros con rompecabezas Sudokus en ellos.

Algunos incluso tienen instrucciones paso a paso para mejorar aún

más.

Si te bloqueas, para y tómate un descanso de un par de horas. Toma

una siesta, haz otras cosas, juega un juego, etc.

Utiliza las páginas web de abajo para ayudarte. Son muy útiles,

pero trata de mantenerte lejos de los programas que los completan

automáticamente. ¿Dónde está la diversión si la computadora lo

hace por ti?

ADVERTENCIAS

Se considera hacer trampa si adivinas dónde puede estar un

número. Todos los Sudokus verdaderos se pueden resolver sólo con

lógica (por ejemplo, si hay dos números posibles que pueden ir en

un lugar y sólo eliges uno y esperas acertar, eso es hacer trampa.)

Antes de mirar las soluciones, trata de resolverlos. ¿Dónde está la

diversión si otro lo resuelve por ti?

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Trata de ver al rompecabezas de ambas maneras; en lugar de

trabajar de arriba hacia abajo todo el tiempo, prueba de derecha a

izquierda. ¡Recuerda, siempre es buena idea mirar a ambos lados al

cruzar la calle!

Por cada celda que llenes, asegúrate de comprobar dos y hasta tres

veces tu lógica; un solo error puede desarmar todo el

rompecabezas. Por ejemplo, si estás casi seguro de que un tres

puede ir en una casilla, comprueba tres veces por qué piensas eso.

Si hay incluso una posibilidad remota de que un tres vaya en otra

casilla, no escribas un número. Muchas personas han casi

terminado un rompecabezas sólo para darse cuenta que han puesto

un número en el lugar equivocado.

COSAS QUE NECESITARÁS

Tiempo

10-20 minutos para los fáciles a moderados luego de ganar cierta

experiencia.

30-45 para los moderados a difíciles.

1-3 horas para Samuráis (a menos que seas muy habilidoso).

Más de 3 horas para Samuráis Asesinos.

Lápices

Borradores

Paciencia

Habilidad lógica

4.1. EJERCICIOS

A)

6

1 4

5

8 3 5 6

21

2

1

8

4

7

6

6

3

7

9

1

4

5

2

7 2

6 9

4

5

8

7

B)

5 6 4 8

3

9

2 8 6 1

7 6 3

9 1 2

5 2 9 7

1 8 2

4 2 1

7 6 5

7

2

4 4

8 5 7 1

22

C)

4.2. SOLUCION

A) Solución

9

4 5

8

1

2 5 4

2

7

5 1 4

6

9

3 2

8

4 5 7 3

9

7

3

1

La estrategia está en la

paciencia para desarrollar

los cuadros mágicos.

23

B) Solución

C) Solución

9 6 3 1 7 4 2 5 8

1 7 8 3 2 5 6 4 9

2 5 4 6 8 9 7 3 1

8 2 1 4 3 7 5 9 6

4 9 6 8 5 2 3 1 7

7 3 5 9 6 1 8 2 4

5 8 9 7 1 3 4 6 2

3 1 7 2 4 6 9 8 5

6 4 2 5 9 8 1 7 3

1 5 6 9 4 2 7 8 3

3 8 4 6 7 1 9 5 2

7 9 2 5 3 8 6 4 1

2 7 1 8 6 4 5 3 9

9 3 8 1 5 7 2 6 4

6 4 5 3 2 9 8 1 7

5 1 9 7 8 3 4 2 6

4 6 3 2 9 5 1 7 8

8 2 7 4 1 6 3 9 5

24

7 5 1 6 3 2 9 4 8

4 9 8 5 7 1 6 3 2

2 3 6 9 8 4 5 1 7

6 8 7 1 9 3 2 5 4

3 2 9 8 4 5 1 7 6

5 1 4 7 2 6 8 9 3

9 4 3 2 1 8 7 6 5

1 6 2 4 5 7 3 8 9

8 7 5 3 6 9 4 2 1

25

V. PROBLEMAS DE GEODESIA

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El término Geodesia, del griego (tierra) y (dividir) fue usado inicialmente por Aristóteles (384-322 a. C.) y puede significar, tanto divisiones geográficas de la tierra, como también el acto de dividir la tierra, por ejemplo, entre propietarios. La Geodesia es, al mismo tiempo, una rama de las Geociencias y una Ingeniería. Trata del levantamiento y de la representación de la forma y de la superficie de la Tierra, global y parcial, con sus formas naturales y artificiales. La Geodesia también es usada en matemáticas para la medición y el cálculo sobre superficies curvas. Se usan métodos semejantes a aquellos usados en la superficie curva de la Tierra.

5.1. EJERCICIOS

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a) Una patrulla de dos soldados, de maniobras por la jungla, se encuentra de pronto con un gran río. En la otra orilla hay dos jóvenes con una pequeña canoa que sólo puede transportar a un soldado o a los dos jóvenes (con más peso se hundiría).

¿Cómo conseguirán cruzar el río?

b) LA MOSCA Y LA ARAÑA

Problema: En un cuarto de 30 pies de longitud, 12 de ancho y 12 de altura hay una araña en el centro de una de las paredes menores, a un pie del cielo raso, y también hay una mosca en el medio de la pared opuesta, a un pie del piso.

La araña pretende alcanzar la mosca. Si se pone en marcha en línea recta descendiendo por la pared, luego en línea recta a lo largo del piso y ascendiendo luego, también en línea recta, por la otra pared, o bien siguiendo una ruta análoga pasando por el cielo raso, la distancia a recorrer es de 42 pies.

c) MANERAS DE ANUDARSE LOS CORDONES DE LOS ZAPATOS

Problema: Existen múltiples maneras de anudarse los cordones de los zapatos. Entre estas podemos diferenciar 3: la manera europea, la

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manera americana y la manera en que los suelen anudar en las zapaterías.

¿Sabrías decir cuál de éstas requiere los cordones más largos, y cuál necesita menos? ¿Te atreverías a conjeturar cuál es, de entre todas las maneras posibles de anudarse los cordones, la que necesita los cordones menos largos?

VI. JUEGOS GEOMÉTRICO NUMÉRICO Habilidad para entender, estructurar, organizar y resolver un problema utilizando un método o fórmula matemática. Implica determinar operaciones apropiadas y realizar los correspondientes cálculos para resolver problemas matemáticos. Se refiere a la habilidad para computar con rapidez, pensar en términos matemáticos y aprender matemáticas. Incluye problemas verbales, cómputos y series numéricas.

6.1. EJERCICIOS

a) Tira al número. Material:

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1. Trozo de papel grande. 2. Rotulador. 3. Una bolsa pequeña llena de tierra o sal. 4. Dos cubos pequeños. Desarrollo del taller: ♦ Dibujar en el papel una rejilla y escribimos los números desde el 0 hasta el que queramos. ♦ Los más pequeños tiran la bolsa a un número concreto. ♦ Para los más mayores podemos proponer que lancen los dos cubos y realicen la suma de los números donde hayan caído.

b) Completemos los cuadros siguientes el primer niño que lo resuelve será el ganador.

c) Hallamos la suma de cada uno de ellos y aplicamos las reglas de <,> o =. El primer grupo que termina será el ganador.

VII. JUEGOS TOPOLÓGICOS

Vamos a ver que hay una serie de elementos y relaciones geométricas que no varían ante determinados cambios

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(estiramientos y giros), y que precisamente por esa invariancia son más asequibles al conocimiento del niño. Si hacemos un dibujo en una membrana de caucho (o en la superficie de un globo), y la estiramos y giramos libremente, habrá cosas que cambien – la forma del dibujo, la longitud de una línea – y cosas que no – si un punto está dentro de una figura, si una línea es continua –. Éstas segundas son las primeras que adquiere el niño y son las que se conocen como relaciones y conceptos topológicos.

7.1. EJERCICIOS a) Tres en raya: juego de dos jugadores que consiste en

colocar las tres fichas de un jugador continúas en la misma recta. Hay diferentes tableros para este juego, pero el más conocido es el de la figura.

b) Triminó: juego evolucionado del dominó, y que como su propio nombre indica se juega con fichas de tres partes y las mismas reglas del dominó. El aumento de esta variable didáctica (de tener dos partes a tener tres partes) multiplica las posibilidades didácticas de este juego.

c) Rellenar de color: actividad para un jugador que consiste en rellenar las distintas partes de un dibujo (recintos cerrados) con colores que se corresponden con

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una clave gráfica o numérica. El 1 con el rojo, el 2 con el azul, y así sucesivamente. Figuras 1 y 2.

VIII. PROBLEMAS CON PALITOS DE FÓSFOROS

En cierta ocasión los alumnos de la Universidad de Princeton EE.UU. preguntaron al famoso científico Albert Einstein, sobre que invento moderno consideraba importante. El autor de la teoría de la relatividad respondió sin vacilar “los fósforos”. Veremos que tenía mucha razón. Cuando el hombre descubrió el fuego rápidamente se dio cuenta que podía emplearlo para cocinar, para combatir el frió y para iluminar las cavernas donde vivía. Fue un paso importante hacia la civilización. Al principio aprendió a producir fuego golpeando dos trozos de piedra (pedernal) o frotando pedazos de madera seca. Estos métodos muy primitivos todavía son utilizados en regiones alejadas de la civilización, en Australia y las tribus del desierto de Kalahari en Sudáfrica. Como el fuego se apaga rápidamente si no hay material combustible, los antiguos griegos y romanos conservan el fuego instalado braseros públicos en diversos sitios de la ciudad donde todos podían encender sus antorchas o braserillos para llevar fuego a sus hogares. Lo engorroso era mantener el fuego encendido el fuego sagrado del día y de la noche para lo cual era precisó una vigilancia constante. Su cuidado quedo a cargo de los sacerdotes y sacerdotisas. Cuando el fuego se apagaba era presagio de grandes calamidades, entonces los encargados de su cuidado eran condenados a muerte. Fue en la edad media cuando apareció un eslabón un pedazo de hierro que se friccionaba contra un pedernal para hacer saltar chispas a un material seco como la yesca y con el soplo ardía en llamas. Este procedimiento fue el único usado en los países cultos durante siete siglos por lo menos, hasta que en 1669, un alquimista de Hamburgo llamado Brand, descubrió un cuerpo simple extraído de la orina, que inflamaba a la acción del aire y al que dio el nombre de “fósforo”, que significa “portador de luz”. Un siglo más tarde en 1769, el químico Scheele extrajo fósforos de los huesos y otras sustancias orgánicas. Tardo un tiempo en saberse como utilizar el fósforo para usos industriales y domésticos En 1808 se usaban unas cajuelas impregnadas en un extremo con azufre, azúcar, clorato de potasio que para inflamarlas había que sumergirlas en un pomito de vidrio que contenía acido sulfúrico, lo cual resultaba complicado y peligroso. En 1816 el químico Derosne fue el primero que dicen que preparo fósforos mixtos que se encendían por fricción directa. En 1822 aparecieron unos tubitos de cristal

32

llamados “prometeos”, llenos de ácido sulfúrico con una mezcla inflamable preparada con azufre y alumbre. Al romper el tubo por la mitad se producía una llama instantánea, mas tampoco era de uso práctico. Por fin allá en 1830se invento las cerillas o los palitos de fosfóricos semejantes a los que hoy usamos. El invento se atribuye al alemán Roener, otros dicen que fue el Húngaro Jonas Ironyi. De este último dicen que cuando fue alumno de la escuela politécnica de Viena, observo que frotando un compuesto de peróxido de plomo y azufre se producía una reacción de calor, entonces descubrió que añadiendo a este mixto una mínima de fósforo se producía una llama. Para realizar su invento se encerró en su casa sin salir en muchos días y al fin apareció ante sus amigos con muestras de fósforo que había inventado, el cual con un leve froté en la pared encendía. Los alemanes sostienen que el verdadero inventor del fósforo fue Federico Kammerer, en 1832. estos fósforos tenían una cabeza de fósforo blanco ( de donde les viene el nombre), clorato de potasio y goma. Se encendían al hacer pasar la cerilla entre dos papeles de lija. El paso final fue el de sustituir el antimonio por fósforo, naciendo así los congreves. Finalmente los fósforos de seguridad fabricados a base de fósforo amorfo, aparecieron en Suecia en 1852.

8.1. EJERCICIOS

33

a) Con doce fósforos puede construirse la figura de una cruz (véase la figura), cuya área equivalga a la suma de las superficies de cinco cuadrados hechos también de fósforos. Cambie usted la disposición de los fósforos de tal modo que el contorno de la figura obtenida abarque sólo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados.

b) CON 8 FOSFOROS Con ocho fósforos pueden construirse numerosas figuras de contorno cerrado. Algunas pueden verse en la figura; su superficie es, naturalmente, distinta. Se plantea cómo construir con 8 fósforos la figura de superficie máxima.

c) MAS PALITOS DE FOSFORO Hemos construido una casa utilizando palitos de fósforo. Cambiar en ella la posición de dos palitos de fósforo de tal forma que la casa aparezca del otro costado.

34

35

IX. JUEGOS DE ESTRATEGIAS

1. DE HOLA RAFFAELA EN TVE

Los números del 1 al 15 están escritos en tres filas como se muestra más adelante. El juego, que es para competir dos jugadores entre sí, consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. El que se lleve el último pierde. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12

13 14 15

SOLUCION:

La estrategia ganadora es: Coger primero un número de cualquiera de las filas. Así se consigue dejar al contrario para que elija: 6-5-3, 7-4-3 ó 7-5-2. Después, cuando volvamos a coger hay que dejar al contrario los siguientes números en cada fila: 1-1-1 ó 2-2-0 ó 3-3-0 ó 4-4-0 ó 5-5-0 ó 3-2-1 ó 5-4-1 ó 6-4-2.

2. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA.

Los números del 1 al 16 están escritos en cuatro filas como se muestra más adelante. El juego, que es para competir dos jugadores entre sí, consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. El que se lleve el último gana. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12

13 14 15

16

3. LLEGAR A 50.

Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5, y los suman a los números elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 50 es el ganador. Veamos una partida:

¡Gana el segundo jugador! Después de jugar algunas partidas, ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?

Primer jugador 3 4 1 5 4 5 1

Segundo jugador 5 4 3 5 4 1 5

Suma total 3 8 12 16 17 20 25 30 34 38 43 44 45 50

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4. UNA MOSCA ANTOJADIZA.

Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?

SOLUCION: Son muchas 25 monedas. Vamos a probar con menos, por ejemplo, con 2x2=4 monedas. Así:

O O O O

Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil. Probemos con 3x3=9 monedas. Así:

O O O O O O O O O

Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro, también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene imposible. Así, en el caso de 3x3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas:

(-1,1) (0,1) (1,1) (-1,0) (0,0) (1,0) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)! En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares. Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería:

Impar Par Impar Par ... Si terminase en impar, habría más vértices impares que pares. Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.

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5. LA MESA Y LAS MONEDAS.

Tenemos una mesa cuadrada, rectangular, redonda, etc. y monedas iguales en abundancia. Dos jugadores empiezan a colocar alternadamente, sobre la mesa, monedas una a una; esto es, el primer jugador coloca una moneda; acto seguido coloca otra moneda el 2º jugador; de nuevo el primero, y así sucesivamente. Pierde el que se vea forzado a colocar una moneda que sobresalga de la mesa. Y no vale solaparlas.

La solución general es que pierde el jugador que tenga que hacer su movimiento a partir de una posición simétrica, ya que el adversario podrá siempre restablecer la simétrica sin perder.

¿Qué estrategia ha de seguir el primer jugador para estar seguro de ganar?

X. PROBLEMAS DE ESTRATEGIAS 1. En un grupo de nueve monedas, ocho pesan lo mismo y la novena es más

pesada. Asuma que las monedas son idénticas en apariencia. Usando una

balanza de platillos, ¿cuál es el menor número de “pesadas” necesarias para

identificar la moneda de más peso?

Estrategia: Usar Razonamiento Indirecto

En Matemáticas, ocasionalmente hay problemas que no son fácilmente

solubles mediante el razonamiento directo. En tales casos, el razonamiento

indirecto puede ser la mejor forma de resolver el problema. Una forma

simple de abordar el razonamiento indirecto es el considerar una habitación

vacía con solo dos entradas, digamos A y B. Si desea usar el razonamiento

directo para probar que alguien entró a la habitación a través de A, debería

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vigilar esa entrada. Sin embargo, también podría usted probar que alguien

entró por la puerta A, viendo la puerta B. Si una persona se introdujo a la

habitación y no lo hizo a través de B, la persona tuvo que hacerlo a través de la

entrada A. En matemáticas, para probar que una condición, digamos “C” es

verdad, uno asume que la negación de C, es decir “no C” es verdadera y

muestra que las consecuencias derivadas de ello son imposibles.

2. Los números enteros del 1 al 9 pueden ser acomodados en una matriz

cuadrada de 3 X 3, tal que la suma de todos los números en cada uno de los

reglones, columnas y diagonales es 15. Muestre que el 1 no puede estar en

alguna de las esquinas.

Estrategia: Usar las Propiedades de los Números

Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil en la

solución de problemas. Por ejemplo, si se conoce que la suma de dos números

pares es par y que un número impar al cuadrado es impar puede hacer más

simple la verificación de algunos cálculos. La solución del problema que se

plantea a continuación podrá parecer imposible a quien intente resolverlo

ingenuamente, usando por ejemplo, una estrategia de ensayo y error. Por otro

lado, la solución es inmediata para quien entiende el concepto de divisibilidad

de números.

3. El administrador de una cadena de comida rápida lanzó un concurso para

promover las ventas. Con cada compra a cada cliente se le daba una tarjeta con

un número entero menor que 100 escritos en ella. Un premio de 1000 pesos se

le daría a cualquier persona que presentara tarjetas cuyos números sumaran

100. Enseguida se muestran varias cartas típicas. ¿Puede usted encontrar una

combinación ganadora?. ¿Puede usted sugerir cómo estructurar el concurso de tal modo que pueda haber a lo

más 1000 ganadores en el país?

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Estrategia 11: Resolver un Problema Equivalente

La interpretación o punto de vista propio de un problema puede algunas

veces cambiar un problema aparentemente difícil en uno que es fácilmente

soluble. Una manera de resolver el siguiente problema es a través de trazar

un dibujo o, tal vez, por medio de encontrar algunos cubos realmente

representativos o tratando con varias combinaciones. Por otro lado, una

aproximación es ver si el problema puede reformularse en una forma

equivalente, digamos como, usando números. Entonces, si el problema

equivalente puede ser resuelto, la solución puede ser interpretada para

guiaron para alcanzar una respuesta al problema original.

4. Un niño tiene un conjunto de 10 cubos. Las longitudes de sus lados son de 1

cm, 2 cm, 3 cm ..., 10 cm. Usando todos los cubos, ¿puede el niño construir

dos torres de la misma altura colocando un cubo sobre otro? ¿Por qué si o por

qué no?

Estrategia: Trabajar hacia atrás

Normalmente, cuando usted empieza a resolver un problema,

probablemente lo haga comenzando por el “principio” del problema y

procediendo “hacia delante” hasta que llega a una respuesta al haber

aplicado las estrategias apropiadas. Sin embargo, hay ocasiones, en las que

en lugar de empezar por lo que establece el problema en un principio, es más

conveniente empezar en lo que se establece al final del problema y trabajar

hacia atrás. El problema que se enuncia enseguida puede ser resuelto

mediante esta estrategia muy fácilmente.

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5. Un vendedor ambulante tenía una canasta de manzanas. Sintiéndose generoso

un día, regaló la mitad de sus manzanas más una, al primer desconocido que

encontró, la mitad de las manzanas que le quedaron más una se las dio al

siguiente desconocido que encontró, y la mitad de las que le quedaban más

una se las dio al tercer desconocido que encontró. Si el vendedor tenía

finalmente una para él, ¿con cuántas manzanas empezó?

Estrategia 13: Usar casos

Muchos problemas pueden ser resueltos más fácilmente si se parte el problema en

varios casos. Por ejemplo, considere la siguiente proposición: El cuadrado de

cualquier número entero un múltiplo de 4 o un múltiplo de cuatro más uno. Para

probar esto, necesitamos solamente considerados casos: n es par, o n es impar. Si

n es par, entonces n = 2x y n2

= 4x2, el cual es un múltiplo de 4. Si n es impar,

entonces n = 2x + 1 y n2

= 4x2

+ 4x +1, el cual es un múltiplo de 4 más uno. El

siguiente problema puede ser resuelto fácilmente si se consideran varios casos

para a, b y c.

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