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Comportamiento de pilotes cargados lateralmente en un medio que endurece por deformación Naren David González Parra Universidad Nacional de Colombia Facultad de ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola Bogotá, Colombia 2021
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Comportamiento de pilotes cargados lateralmente en un medio que
endurece por deformación
Naren David González Parra
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola
Bogotá, Colombia
2021
Comportamiento de pilotes cargados lateralmente en un medio que
endurece por deformación
Naren David González Parra
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Ingeniería - Geotecnia
Director (a):
I.C. MSc. Félix Hernández Rodríguez
Línea de Investigación:
Modelación y análisis en Geotecnia
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola
Bogotá, Colombia
2021
Agradecimientos
Agradezco al ingeniero Félix Hernández Rodríguez por su acompañamiento y disposición
permanente en la elaboración del presente documento, su dedicación como docente
durante la maestría y comentarios realizados sobre el documento de trabajo de grado,
han sido fundamentales para la finalización de este. Adicionalmente agradezco al
ingeniero German Tapia quien puso a mi disposición el Programa MIDAS GTS NX para
la elaboración de las modelaciones.
Resumen y Abstract V
Resumen
Este documento describe el comportamiento de un pilote cargado lateralmente en un medio que endurece por deformación, lo cual se evalúa a través del Modelo Constitutivo Hardening Soil y la implementación de un método numérico robusto como el de los elementos finitos incrementales. La evaluación del comportamiento se realiza en un pilote corto y un pilote largo, los cuales se predimensionan a partir de un análisis de capacidad portante.
En los análisis se detalla la naturaleza de las deformaciones y de los esfuerzos en la interfaz suelo-pilote, la delimitación de las zonas de plastificación del suelo, así como las fuerzas cortantes y momentos flectores del pilote generados por la aplicación incremental de una carga lateral en el cabezal del pilote. El comportamiento para ambas longitudes de pilote se compara para un suelo con endurecimiento por deformación y un suelo Elástico, Perfectamente Plástico.
Como producto final se obtiene la variación de los módulos de reacción de cimentación con la profundidad, como una función de la magnitud de la carga aplicada. Lo anterior con el objetivo de evaluar este tipo de estructuras con métodos de interacción simplificados, que no impliquen el desarrollo de modelos numéricos robustos como los elementos finitos, ni un alto costo computacional.
Palabras clave: Modelación numérica, Pilotes a carga lateral, Modelo de endurecimiento
por deformación, Modulo de reacción horizontal de cimentación.
VI Comportamiento De Pilotes Cargados Lateralmente En Un Medio Que Endurece Por Deformación
Abstract
This document presents the behavior of a laterally loaded pile inside strain hardening
material, evaluated through the Hardening Soil Constitutive Model and execution of a
strong numerical method such as incremental finite elements. The evaluation for behavior
is conducted on a short and long pile, pre-dimensioned by a bearing capacity analysis.
The analyzes detail the nature at strains and stresses on the soil-pile interface,
delimitation of the soil plastic zones, as it the shear forces and bending moments on the
pile generated by the incremental application of a lateral loading on the pile head. The
behavior for both pile lengths is compared for a strain-hardened soil and an elastic,
perfectly plastic soil.
The final product is the variation of foundation reaction modulus with depth, as a function
of the magnitude of the applied load. The above with the aim of evaluating this type of
structures with simplified interaction methods, which do not imply the development of
robust numerical models such as finite elements, nor a high computational cost.
Keywords: Numerical Method, Laterally Loaded Pile, Hardening Soil Model, Foundation
Reaction Modulus
Contenido VII
Contenido
Pág.
1. Comportamiento de Pilotes a carga lateral ........................................................... 17 1.1 Respuesta mecánica de pilotes cargados lateralmente ..................................... 17 1.2 Análisis de Capacidad Portante .......................................................................... 19
1.2.1 Mecanismo de resistencia de pilotes cargados lateralmente .......................... 19 1.2.2 Carga lateral última de pilotes en suelo cohesivo ........................................... 20 Cabezal libre ................................................................................................... 20 Cabezal restringido ......................................................................................... 23
1.2.3 Carga lateral última de pilotes en suelo friccional ........................................... 25 Cabezal libre ................................................................................................... 26 Cabezal restringido ......................................................................................... 27
2. Modelo Constitutivo de Endurecimiento por Deformación (HS) ......................... 30 2.1 Modelo constitutivo ............................................................................................. 31 2.2 Rigidez en la carga ............................................................................................. 33 2.3 Rigidez en descarga-recarga .............................................................................. 33 2.4 Elasto-Plasticidad ............................................................................................... 34
2.4.1 Criterio de Cedencia ....................................................................................... 34 2.4.2 Criterio de Endurecimiento .............................................................................. 36 2.4.3 Regla de Flujo ................................................................................................. 38
2.5 Parámetros de modelo HS ................................................................................. 39
3. Interacción Suelo-Estructura .................................................................................. 41 3.1 Dimensionamiento de Pilotes ............................................................................. 41 3.2 Método de los elementos finitos (FEM) .............................................................. 42 3.3 Programa ............................................................................................................ 48 3.4 Propiedades del suelo ........................................................................................ 49 3.5 Formulación del modelo de elementos finitos .................................................... 50
3.5.1 Geometría ....................................................................................................... 51 3.5.2 Materiales y Propiedades ................................................................................ 52 3.5.3 Control de Enmallado ...................................................................................... 53 3.5.4 Enmallado de elementos ................................................................................. 53 3.5.5 Condiciones de Frontera ................................................................................. 56 3.5.6 Fuerzas de Cuerpo ......................................................................................... 56 3.5.7 Carga Lateral .................................................................................................. 57 3.5.8 Fases Constructivas ........................................................................................ 58 3.5.9 Criterios de convergencia y tolerancias .......................................................... 59
3.6 Procesamiento de Resultados ............................................................................ 60 3.6.1 Cumplimiento del Criterio de Falla .................................................................. 60 3.6.2 Fuerzas Cortantes y Momentos flectores ....................................................... 63
VIII Comportamiento De Pilotes Cargados Lateralmente En Un Medio Que Endurece Por Deformación
3.6.3 Reacción por unidad de longitud y Módulos de Reacción ............................... 66
3.7 Validación de la Metodología ............................................................................. 68
4. Resultados Modelación Numérica. ......................................................................... 73 4.1 Desplazamientos ................................................................................................ 73
4.1.1 Pilote Corto ...................................................................................................... 73 4.1.2 Pilote Largo ...................................................................................................... 77
4.2 Esfuerzos ............................................................................................................ 80 4.2.1 Pilote Corto ...................................................................................................... 80 4.2.2 Pilote Largo ...................................................................................................... 85
4.3 Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores .......................................................... 91 4.3.1 Pilote Corto ...................................................................................................... 91 4.3.2 Pilote Largo ...................................................................................................... 93
4.4 Módulos de Reacción ......................................................................................... 94 4.4.1 Pilote Corto ...................................................................................................... 94 4.4.2 Pilote Largo ...................................................................................................... 98
5. Conclusiones .......................................................................................................... 101
6. Anexos ..................................................................................................................... 103
7. Bibliografía .............................................................................................................. 104
Contenido IX
Lista de figuras Pág.
Figura 1-1: Equilibrio de fuerzas a lo largo de un pilote sometido a Momento flector (M), Fuerza Cortante (Qh) y Carga Axial (Qv). ........................................................................... 18 Figura 1-2: Comportamiento de pilotes cargados lateralmente con idealización de resortes de Winkler. .......................................................................................................... 19 Figura 1-3: Resistencia lateral movilizada para un pilote rígido cargado lateralmente. ... 20 Figura 1-4: Diagrama de deflexión (a), resistencia lateral del suelo (b), fuerza cortante (c) y momento flector (d) de un pilote corto con cabezal libre en suelo cohesivo .................. 21 Figura 1-5: Esfuerzos normales en la sección transversal de pilote. ............................... 22 Figura 1-6: Diagrama de deflexión, resistencia del suelo, fuerza cortante y momento flector de un pilote con cabezal restringido en suelo cohesivo. a) Pilote corto y b) Pilote Intermedio. ........................................................................................................................ 24 Figura 1-7: Diagrama de deflexión (a), resistencia del suelo (b), fuerza cortante (c) y momento flector (d) de un pilote corto con cabezal libre en suelo friccional. .................... 26 Figura 1-8: Diagrama de deflexión (a), resistencia del suelo (b), fuerza cortante (c) y momento flector (d) de un pilote corto con cabezal restringido en suelo friccional. .......... 28 Figura 2-1: Ejemplos de curvas esfuerzo-deformación para diferentes comportamientos. .......................................................................................................................................... 30 Figura 2-2: Respuesta típica esfuerzo-deformación para ensayo triaxial CT-CA en material dúctil con una OCR baja. .................................................................................... 31 Figura 2-3: Aproximación hiperbólica de la curva esfuerzo-deformación para ensayo triaxial CT-CA drenado en material dúctil con una OCR baja. .......................................... 32 Figura 2-4: Relación hiperbólica esfuerzo-deformación. .................................................. 35 Figura 2-5: Evolución de superficies de cedencia de modelo HS en espacio p-q para un ensayo triaxial CT-CA. ...................................................................................................... 38 Figura 3-1: Ejemplo de elemento finito tipo hexaédrico de 8 nodos. ............................... 43 Figura 3-2: Equilibrio de esfuerzos en un elemento diferencial. ...................................... 44 Figura 3-3: Diagrama de flujo utilizado para el desarrollo del modelo numérico en elementos finitos para un pilote cargado lateralmente. ..................................................... 50 Figura 3-4: Zona de influencia del modelo. ...................................................................... 51 Figura 3-5: Ejemplo para la creación de materiales y propiedades en Midas GTS NX. .. 52 Figura 3-6: Control de malla mediante tangente hiperbólica. (Midas GTS NX, Manual 2019). ................................................................................................................................ 53 Figura 3-7: (a) Malla de elementos tetraédricos y (b) malla de elementos hexaédricos. . 54
X Comportamiento De Pilotes Cargados Lateralmente En Un Medio Que Endurece Por Deformación
Figura 3-8: Esfuerzos 𝜎𝑍𝑍 en (a) malla de elementos tetraédricos y (b) malla de elementos hexaédricos. .................................................................................................... 55 Figura 3-9: Condiciones de frontera aplicadas en los modelos MC y HS. ....................... 56 Figura 3-10: Fuerzas de cuerpo aplicadas en los modelos MC y HS. ............................. 57 Figura 3-11: Presión lateral aplicada en el cabezal de los pilotes. .................................. 57 Figura 3-12: Solución Incremental acumulada y convergencia de análisis de elementos finitos no lineales. ............................................................................................................. 59 Figura 3-13: Variación del factor de seguridad en las inmediaciones del pilote (Mohr-Coulomb). ......................................................................................................................... 61 Figura 3-14: Cumplimiento del criterio de falla del suelo en un elemento adelante del pilote – Caso Activo. ......................................................................................................... 62 Figura 3-15: Cumplimiento del criterio de falla del suelo en un elemento al respaldo del pilote – Caso Pasivo. ........................................................................................................ 63 Figura 3-16: Esfuerzos cortantes 𝜏𝑧𝑦 sobre un elemento típico de pilote 3D. ................. 64 Figura 3-17: Sumatoria de fuerzas cortantes 𝜏𝑧𝑦 sobre una sección transversal de la malla del pilote 3D. ........................................................................................................... 65 Figura 3-18: Esfuerzos normales 𝜎𝑍 sobre un elemento típico de pilote 3D. .................. 66 Figura 3-19: Procedimiento para la estimación de fuerzas por unidad de longitud y módulos de reacción a partir de un análisis FEM. ............................................................ 66 Figura 3-20: Identificación de nodos perimetrales de la zona de interfaz suelo-pilote para los cuales se interpolan los esfuerzos normales 𝜎𝑌. ........................................................ 67 Figura 3-21: Vista 3D del modelo de validación. ............................................................. 68 Figura 3-22: Malla 3D del pilote con conexión a elemento 1D de control. ....................... 70 Figura 3-23: Enmallado para modelo de verificación. ...................................................... 70 Figura 3-24: Curva de Carga-Desplazamiento en el cabezal del pilote en modelo de validación. ......................................................................................................................... 71 Figura 3-25: Distribución del momento flector a lo largo del pilote en modelo de validación. ......................................................................................................................... 72 Figura 4-1: Desplazamientos laterales en pilote corto – Modelo MC. ............................. 74 Figura 4-2: Desplazamientos laterales en pilote corto – Modelo HS. .............................. 74 Figura 4-3: Desplazamientos laterales en pilote corto. .................................................... 75 Figura 4-4: Relación carga-desplazamiento en el cabezal para pilote corto. .................. 76 Figura 4-5: Desplazamientos laterales en pilote largo – Modelo MC. ............................. 77 Figura 4-6: Desplazamientos laterales en pilote largo – Modelo HS. .............................. 77 Figura 4-7: Desplazamientos laterales en pilote largo. .................................................... 78 Figura 4-8: Relación carga-desplazamiento en el cabezal para pilote largo. .................. 79 Figura 4-9: Esfuerzos 𝜎𝑌𝑌 en pilote corto – Modelo MC. ................................................ 80 Figura 4-10: Esfuerzos 𝜎𝑌𝑌 en pilote corto – Modelo HS. ............................................... 80 Figura 4-11: Trayectorias de esfuerzos en plano p’-q para pilote corto – Modelo MC. ... 81 Figura 4-12: Trayectorias de esfuerzos en plano p’-q para pilote corto – Modelo HS. .... 82 Figura 4-13: Fuerza por unidad de longitud al frente en pilote corto. .............................. 83 Figura 4-14: Fuerza por unidad de longitud al respaldo en pilote corto. .......................... 83 Figura 4-15: Fuerza neta por unidad de longitud en pilote corto. .................................... 84
Contenido XI
Figura 4-16: Fuerza neta por unidad de longitud en pilote corto respecto a la falla (Broms). ............................................................................................................................ 85 Figura 4-17: Esfuerzos 𝜎𝑌𝑌 en pilote largo – Modelo MC. .............................................. 86 Figura 4-18: Esfuerzos 𝜎𝑌𝑌 en pilote largo – Modelo HS. ............................................... 86 Figura 4-19: Trayectorias de esfuerzos en plano p’-q al frente y al respaldo para pilote largo – Modelo MC. ........................................................................................................... 87 Figura 4-20: Trayectorias de esfuerzos en plano p’-q al frente y al respaldo para pilote largo – Modelo HS. ........................................................................................................... 88 Figura 4-21: Fuerza por unidad de longitud al frente de pilote largo. .............................. 89 Figura 4-22: Fuerza por unidad de longitud al respaldo de pilote largo. .......................... 89 Figura 4-23: Fuerza neta por unidad de longitud en pilote largo. .................................... 90 Figura 4-24: Fuerza Neta por unidad de longitud en pilote largo respecto a la falla (Broms). ............................................................................................................................ 91 Figura 4-25: Diagramas de fuerza cortante pilote corto. .................................................. 92 Figura 4-26: Diagrama de momento flector pilote corto. .................................................. 92 Figura 4-27: Diagrama de fuerza cortante pilote largo. .................................................... 93 Figura 4-28: Diagrama de momento flector pilote largo. .................................................. 94 Figura 4-29: Módulos de reacción horizontal pilote corto en el último incremento de carga aplicado (56%). ................................................................................................................. 95 Figura 4-30: Variación de los Módulos de reacción horizontal de cimentación en un pilote corto para diferentes cargas aplicadas en el cabezal. ...................................................... 96 Figura 4-31: Curvas de transferencia de carga - pilote corto en modelo HS. .................. 97 Figura 4-32: Módulos de reacción horizontal pilote largo en el último incremento de carga aplicado (81%). ................................................................................................................. 98 Figura 4-33: Variación de los Módulos de reacción horizontal de cimentación en un pilote largo para diferentes cargas aplicadas en el cabezal. ...................................................... 99 Figura 4-34: Curvas de transferencia de carga pilote largo en modelo HS. .................. 100
Contenido XII
Lista de tablas Pág.
Tabla 2-1: Parámetros utilizados en el modelo HS. ......................................................... 39 Tabla 3-1: Resultados del predimensionamiento de un pilote corto. ................................ 42 Tabla 3-2: Parámetros utilizados en el modelo HS. ......................................................... 49 Tabla 3-3: Parámetros utilizados para el pilote en el modelo de validación ..................... 69 Tabla 3-4: Parámetros utilizados para el suelo en el modelo de validación. .................... 69 Tabla 4-1: Porcentaje de carga aplicada en el cabezal hasta el último incremento posible. .......................................................................................................................................... 73
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Introducción Los pilotes y las cimentaciones profundas con grupos de pilotes han estado en uso desde tiempos prehistóricos, se encuentran menciones donde los habitantes neolíticos de Suiza instalaban postes de madera en los fondos blandos de lagos poco profundos de hace 12.000 años (Sowers 1951). En Venezuela, los indígenas vivían en chozas soportados por pilas a las orillas del Lago Maracaibo (Prakash y Sharma 1990). Actualmente las cimentaciones profundas se utilizan con el propósito de transmitir una carga que no puede ser adecuadamente soportada por una cimentación superficial hacia una profundidad donde la capa de soporte adecuada se encuentra disponible. Además de las cargas axiales, los pilotes pueden soportar cargas laterales y momentos, que pueden actuar en conjunto, las cargas laterales son asociadas generalmente a cargas desbalanceadas, viento, oleaje y sismo. La acción conjunta de cargas laterales, fuerzas axiales y momentos pueden ocurrir en diferentes tipos de estructuras, la respuesta integrada del suelo-pilote también depende de las condiciones de frontera que se encuentren presentes en cada caso particular, esto se refiere especialmente a la condición de fijación del cabezal del pilote. En general, la condición de restricción en la cabeza del pilote separa el comportamiento carga-desplazamiento en dos: Cabezal libre y Cabezal restringido, en la primera se permite la rotación y desplazamiento del cabezal, mientras que, en la segunda, se permite el desplazamiento, pero se restringe la rotación. El tipo de comportamiento del cabezal es función de la rigidez relativa entre el pilote y el dado o loza de cimentación y el tipo de conexiones especificadas en el sistema estructural. El diseño de pilotes sometidos a carga lateral debe responder a dos requisitos principales: un requisito de seguridad, que impide la falla del sistema suelo-pilote, y un requisito de funcionalidad que restringe las deformaciones hasta un límite aceptable; esto es, una carga lateral obtenida al dividir la fuerza lateral última por un factor de seguridad adecuado (Capacidad portante) y una carga lateral correspondiente a un desplazamiento lateral admisible. Para el estudio de la falla del suelo ante la carga lateral impuesta por los pilotes, se debe partir de la evaluación de los empujes críticos que se desarrollan a lo largo de ese tipo de estructuras, empujes que se evalúan mediante modelos tridimensionales de falla. Los métodos disponibles para la evaluación de la capacidad lateral parten de alguna suposición sobre el valor de esos empujes a lo largo de pilotes cortos; es decir, de pilotes que inducen la falla del suelo en toda su longitud. Entre esos métodos vale la pena
14 Introducción
destacar los de Brinch Hansen (1961) y Broms (1964), ambos basados en la teoría de presión de tierras y aplicables para suelos cohesivos y friccionantes. En el caso de la teoría de Hansen se requiere de pruebas de ensayo y error con el objetivo de localizar el punto de rotación del pilote, mientras que Broms asume simplificaciones en la distribución de la resistencia última del suelo a lo largo del pilote; a diferencia del método propuesto por Hansen, la metodología de Broms no es aplicable para suelos estratificados, pero permite el predimensionamiento de pilotes largos empleando diferentes condiciones de frontera en el cabezal del pilote. Como estos métodos para el estudio de la capacidad lateral obligan al cumplimiento del equilibrio de fuerzas, permiten evaluar la variación de la fuerza cortante y del momento flector en el pilote, como función de los empujes y de las dimensiones del pilote. Por ese motivo, igualar el momento máximo con el momento de fluencia del pilote, dados unos factores de seguridad adecuados para las cargas, permite hacer una labor de predimensionamiento de los pilotes antes de entrar a calcular los desplazamientos mediante metodologías de interacción suelo estructura. Los métodos de interacción suelo estructura se pueden clasificar en dos grandes grupos. El primero de ellos reemplaza el suelo por un conjunto de resortes de Winkler alineados a lo largo del pilote. La rigidez de esos resortes se puede evaluar mediante procesos de interacción como los propuestos por el profesor Zeevaert (1982) para disminuir las limitaciones provenientes de la falta de continuidad del suelo y el carácter lineal de las relaciones carga-desplazamiento al usar resortes individuales. Por otro lado, Poulos & Davis (1980) proponen un enfoque elástico en el cual el suelo es modelado como un medio continuo elástico y se asume la compatibilidad de desplazamientos a lo largo del pilote. Del equilibrio entre las cargas y las reacciones del suelo sobre el pilote, se puede obtener la variación de la rigidez de los resortes con la profundidad, no obstante, debido a la cantidad de incógnitas del análisis, para determinar apropiadamente los desplazamientos y sus resortes correspondientes, se requiere de algunas simplificaciones para encontrar una solución. El segundo grupo de métodos de interacción se basa en procedimientos de cálculo numérico robustos, particularmente el de los elementos finitos (FEM, por sus siglas en ingles), en el que el sistema suelo-pilote se puede simular con mucha precisión, incluyendo mejores modelos constitutivos. El principal problema de este método cuando se usa para grupos de pilotes radica en el cambio abrupto de las dimensiones de la malla al pasar de los pilotes al suelo, ese cambio produce muchas imprecisiones y errores. Si se piensa, además, que los modelos tienen que ser tridimensionales, el problema, obviamente, se agudiza. En la práctica es recurrente el diseño de pilotes a carga lateral haciendo uso de métodos tradicionales como el método de Broms, el cual como se ha indicado anteriormente realiza simplificaciones en la distribución de esfuerzos, además de no ser aplicable a medios estratificados, por lo cual su uso debería verse altamente limitado. El método de
Introducción 15
Broms hoy en día es utilizado casi para cualquier fase de ingeniería, y sus limitaciones pueden pasarse por alto debido a la falta de entendimiento del comportamiento de los pilotes sometidos a carga lateral. De manera similar, los métodos de interacción suelo-estructura como el uso de los resortes de Winkler, son bien conocidos en la ingeniería geotécnica, sin embargo, debido a que es un proceso iterativo, no es usado en todas las fases de ingeniería, y en aquellos proyectos en donde se evalúa la interacción suelo-pilote, los resultados del análisis suelen simplificarse, pasando de una variación en profundidad del módulo de reacción de la subrasante, a un único valor del módulo, el cual suele ser el principal dato de entrada para el diseño estructural, por lo cual, el diseño de pilotes no siempre considera los valores máximos de esfuerzos cortantes, momentos flectores, ubicación de los mismos ni la interacción suelo-pilote. Considerando las limitaciones expuestas, en cuanto a que los métodos de módulos de reacción no consideran la naturaleza continúa de los suelos y que, el enfoque elástico asume un suelo idealmente elástico y continúo, surge como alternativa el análisis esfuerzo-deformación desarrollado a través del método de los elementos finitos, el método se describe tradicionalmente como una poderosa técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas para ecuaciones diferenciales parciales usando una discretización del medio continuo, usando elementos de dimensiones diferenciales y métodos variacionales para minimizar una función de error, y producir una solución estable (Strang y Fix 2006). El uso de los elementos finitos permite un mejor entendimiento del comportamiento del pilote y el suelo ante aplicación de cargas laterales, pues al tener como base el uso de elementos de dimensiones diferenciales, facilita la interpretación del comportamiento del pilote en toda su longitud, tanto adelante como atrás del punto de aplicación de la carga. La obtención y análisis de resultados de esfuerzos cortantes, momentos flectores, desplazamientos y su variación con el incremento en la aplicación de la carga, permite definir las curvas de transferencia de carga horizontal p-y, las cuales constituyen un mejor punto de partida para el diseño estructural de los pilotes, y la base para una definición más aproximada de los desplazamientos del pilote, aplicando la carga mediante incrementos y utilizando modelos constitutivos que se ajusten de mejor forma a las condiciones de esfuerzo y deformación del problema. Actualmente el uso de los FEM se ha vuelto muy popular en la práctica de la Ingeniería Geotécnica para manejar problemas complejos y minimizar las incertidumbres o limitaciones que se tienen con soluciones analíticas o empíricas. Sin embargo, uno de los elementos que más afectan la modelación numérica en problemas geotécnicos, son las relaciones constitutivas, las cuales representan un modelo de comportamiento esfuerzo-deformación para un tipo de material en específico, el comportamiento real del suelo es complejo, muestra no linealidades, y las deformaciones incluyen componentes plásticas no recuperables. Dependiendo de la historia de esfuerzos, el suelo puede compactarse o dilatarse, su rigidez puede depender de la magnitud de los niveles de esfuerzos, las deformaciones del suelo dependen del tiempo, entre muchos otros factores. La selección de un modelo constitutivo adecuado es importante para una apropiada representación de la respuesta
16 Introducción
mecánica de un suelo. Respecto a este tipo de modelos, en los últimos años, se han desarrollado en la mecánica de suelos relaciones constitutivas basadas en diferentes conceptos como la elasto-plástica de los suelos, en la que se consideran la elasticidad no lineal, el endurecimiento por deformación, la teoría del estado crítico y la hipoplasticidad (Brinkgreve 2005). El propósito de este Trabajo Final es el de poder ajustar los métodos de interacción basados en resortes, evaluando la relación carga desplazamiento de los resortes, dependiendo de la longitud del pilote, la magnitud de la carga aplicada, las relaciones constitutivas de los suelos y la ubicación de cada resorte a lo largo del Pilote, con ese fin, se modeló en elementos finitos tridimensionales el problema de un pilote sometido a carga lateral y soportado por un suelo que endurece por deformación, de este modo, se expondrán las características y ventajas de implementar el modelo constitutivo de endurecimiento por deformación conocido como Hardening Soil Model (HS). A partir de los resultados obtenidos de la modelación en elementos finitos, como base para cumplir los objetivos, se analiza el comportamiento de los esfuerzos, el cumplimiento del criterio de falla y la evaluación de los empujes resultantes. Finalmente, se calculan las fuerzas impuestas sobre el elemento estructural, evaluando las fuerzas de corte y el momento flector en el pilote, así como los esfuerzos y las deformaciones en la interfaz suelo-pilote, con el objetivo de calcular los resortes equivalentes o módulos de reacción de cimentación para los diferentes incrementos de carga aplicados. Este análisis busca contribuir al diseño de cimentaciones profundas, el cual suele despreciar los efectos de la interacción suelo estructura y restar importancia a las cargas laterales. Asimismo, contribuye a la aplicación en geotecnia de la modelación numérica en elementos finitos, herramienta que nos permite incluir dentro del diseño, consideraciones especiales de frontera y el uso de modelos constitutivos que se ajustan mejor al comportamiento esfuerzo-deformación real de los suelos.
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1. Comportamiento de Pilotes a carga lateral
En este capítulo se incluyen los principales aspectos conceptuales del análisis carga-desplazamiento de pilotes cargados lateralmente, en primera medida se realiza una descripción breve del proceso de interacción mediante la distribución de los esfuerzos de reacción en el contacto suelo-estructura. La determinación de estos empujes debe satisfacer las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos y constitutivas, tanto del suelo como de la estructura y se debe garantizar la compatibilidad de deformaciones en esa interfaz. Dado que lo anterior requiere determinaciones complejas se abordará mediante un método numérico robusto como el de los Elementos Finitos. Independientemente de la herramienta utilizada, el análisis requiere de un predimensionamiento del pilote, el cual se deriva, usualmente, del análisis de capacidad portante. Para este trabajo se presenta la teoría de capacidad de carga de Broms (1964). A modo de marco conceptual a continuación se describen los conceptos relacionados a la caracterización del comportamiento esfuerzo-deformación de pilotes cargados lateralmente, desarrollando el mecanismo de deformación y falla mediante el mmétodo de Broms, aplicable para suelos cohesivos y friccionantes, evaluado para dos condiciones diferentes de frontera en el cabezal del pilote.
1.1 Respuesta mecánica de pilotes cargados lateralmente
La respuesta mecánica de pilotes sometidos a carga lateral está influenciada por fenómenos de interacción suelo-estructura que se desarrollan a lo largo del pilote. El comportamiento de pilotes con rigidez a flexión 𝐸𝐼 sometidos a Momento (𝑀 , cortante (𝑄 ) y carga axial (𝑄 ) pueden apreciarse en la Figura 1-1, donde se presenta la
deformada de un pilote con las reacciones del suelo causadas por la acción de las fuerzas externas. Se asume que en cualquier punto 𝑧 del pilote, la reacción del suelo por unidad de longitud es proporcional al desplazamiento en dicho punto, esta es la principal presunción de la teoría del módulo de reacción (Winkler 1867). Para el cual la reacción del suelo por unidad de longitud 𝒑, es igual a un módulo de reacción de subrasante 𝒌 multiplicado por el desplazamiento en el mismo punto 𝑧.
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Figura 1-1: Equilibrio de fuerzas a lo largo de un pilote sometido a Momento flector (M), Fuerza Cortante (Qh) y Carga Axial (Qv).
La distribución de las reacciones del suelo debe ser tal que se satisfagan las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos, tanto del suelo como de la estructura y dependen en todos los casos de las relaciones constitutivas garantizando la compatibilidad de deformaciones en la interfaz suelo-pilote, por tanto, el problema se vuelve iterativo y altamente complejo.
Una manera de aproximarse a una solución consiste en modelar el sistema suelo-pilote como una viga-columna apoyada sobre un medio elástico de suelo que se discretiza con resortes de Winkler, donde a la rigidez de los resortes se le denomina módulos de reacción de cimentación 𝒌. De este modo, el comportamiento del pilote puede ser analizado a través de la ecuación diferencial de una viga apoyada en una base elástica (Hetenyi 1946), o mediante un proceso iterativo de interacción como el presentado por Zeevaert, 1982. En la Figura 1-2 se presenta el esquema de la deformada de un pilote sometido a carga lateral considerando que la reacción del suelo se transmite a la estructura por la interacción de la carga en el cabezal del pilote con los resortes del suelo. Observando que la deformación de los resortes no es la misma, así como que los resortes pueden tener rigideces no lineales y diferentes con la profundidad, resulta importante determinar la distribución de los módulos de reacción en un análisis robusto para su posterior utilización en métodos simplificados que pueden ser fácilmente aplicables.
Por otra parte, pueden implementarse métodos más robustos como el análisis FEM, en el cual se pueden modelar el pilote y el suelo como elementos tridimensionales, para los cuales se hacen cumplir las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad. No obstante, todos los análisis parten de una predimensión del elemento estructural, el cual se deriva usualmente del análisis de capacidad portante.
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Figura 1-2: Comportamiento de pilotes cargados lateralmente con idealización de resortes de Winkler.
1.2 Análisis de Capacidad Portante
1.2.1 Mecanismo de resistencia de pilotes cargados lateralmente
Los análisis de capacidad portante normalmente suponen que la distribución de la reacción del suelo por unidad de longitud es conocida. Posteriormente, en consideración de las cargas aplicadas y condiciones de frontera en el cabezal, se evalúan las ecuaciones de equilibrio de la estática, planteando sumatoria de fuerzas en la dirección de la carga ∑𝐹 0 y sumatoria de momentos ∑𝑀 0. A continuación, se plantea la forma de estas ecuaciones de equilibrio, teniendo en cuenta que la reacción última del suelo es función de la profundidad 𝑃 𝑧 de acuerdo con lo presentando en la Figura 1-3.
Sumatoria de fuerzas en la dirección horizontal ∑𝐹 0
𝑄 𝑃 𝑧 𝐷𝑑𝑧 𝑃 𝑧 𝐷𝑑𝑧 0 (1.1)
Sumatoria de momentos ∑𝑀 0
𝑄 𝑒 𝑃 𝑧 𝐷𝑧𝑑𝑧 𝑃 𝑧 𝐷𝑧𝑑𝑧 0 (1.2)
Donde,
𝑧 es la profundidad del punto de rotación del pilote.
20
𝑒 es la longitud del punto de excentricidad de aplicación de la carga.
Figura 1-3: Resistencia lateral movilizada para un pilote rígido cargado lateralmente.
Teniendo en cuenta las ecuaciones (1.1) y (1.2), es posible estimar cual es la magnitud de la carga lateral última. Este enfoque es el que utiliza Broms para definir la capacidad portante de pilotes cortos cargados lateralmente y para el cual se presentan diferentes distribuciones de la reacción del suelo en un material cohesivo y friccionante.
1.2.2 Carga lateral última de pilotes en suelo cohesivo
Broms adopta una distribución de resistencia unitaria del suelo uniforme en profundidad con un valor de 9𝐶 𝐷, donde 𝐶 es la resistencia al corte no drenada del suelo. Esta propuesta ignora la resistencia unitaria del suelo en una longitud de 1.5 veces el diámetro. A continuación, se presenta la metodología propuesta por Broms para predimensionar un pilote cargado lateralmente, considerando los casos de cabezal libre y cabezal restringido.
Cabezal libre
La resistencia lateral unitaria en suelos cohesivos definida por Broms para pilotes cortos sin restricción al giro y desplazamiento se presenta en la Figura 1-4
21
Figura 1-4: Diagrama de deflexión (a), resistencia lateral del suelo (b), fuerza cortante (c) y momento flector (d) de un pilote corto con cabezal libre en suelo cohesivo
Con base en la figura anterior y haciendo sumatoria de fuerzas igual a cero ∑𝐹 0 se tiene:
𝑄 9𝐶 𝐷 ∗ 𝑓𝑔2
9𝐶 𝐷 ∗𝑔2
0 (1.3)
Resolviendo la anterior ecuación para 𝑓 se tiene:
𝑓𝑄
9𝐶 𝐷 (1.4)
La siguiente ecuación resulta de la integración del diagrama de cortante desde el cabezal hasta el punto en donde el cortante es nulo, es decir el punto en donde el momento flector es máximo.
𝑀 𝑄 𝑒 1.5𝐷 0.5𝑓 (1.5)
Integrando la porción inferior del diagrama de cortante se tiene:
𝑀12∗ 𝑔 ∗ 4. 5𝐶 𝐷𝑔
94𝐶 𝐷𝑔 (1.6)
Igualando (1.5) y (1.6) se obtiene:
𝑄 𝑒 1.5𝐷 0.5𝑓94𝐶 𝐷𝑔 (1.7)
(a) (b) (c) (d)
22
Resolviendo la ecuación anterior para 𝑔:
𝑔23
𝑄𝐶 𝐷
𝑒 1.5𝐷 0.5𝑓 (1.8)
Se debe resaltar que las expresiones para 𝑓 y 𝑔 son dependientes del diámetro 𝐷, al igual el momento flector de fluencia del pilote. Con el momento máximo dado por la Ecuación (1.5) se obtiene el valor del diámetro mínimo requerido para el pilote.
Para determinar el momento flector de fluencia 𝑀 , considérese la Figura 1-5, donde se
muestra la variación de los esfuerzos normales a lo largo de la sección transversal de un pilote circular de radio 𝑟 que alcanza en la fibra externa la resistencia a la tracción del material 𝜎 .
Figura 1-5: Esfuerzos normales en la sección transversal de pilote. Evaluando 𝑀 como el producto de la integral sobre el área del elemento diferencial de
fuerza y la distancia al centro de la sección, de la figura anterior se obtiene:
𝑥 𝑟 sin𝛽 ∴ 𝑑𝑥 𝑟 cos𝛽 𝑑𝛽 (1.9)
𝐿 2𝑟 cos𝛽 ∧ 𝑑𝐴 𝐿𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝐴 2𝑟 cos 𝛽 𝑑𝛽 (1.10)
𝜎 𝜎𝑥𝑟
∴ 𝜎 𝜎 sin𝛽 (1.11)
Entonces, los diferenciales de fuerza 𝑑𝐹 y momento 𝑑𝑀 son:
𝑑𝐹 𝜎 𝑑𝐴 𝜎 sin𝛽 ∗ 2𝑟 cos 𝛽 𝑑𝛽 ∴ 𝑑𝐹 2𝜎 𝑟 cos 𝛽 sin𝛽 𝑑𝛽 (1.12)
𝑑𝑀 2𝑑𝐹 ∗ 𝑥 ∴ 𝑑𝑀 4𝜎 𝑟 sin 𝛽 cos 𝛽 𝑑𝛽 (1.13)
Recordando que sin 2𝛽 2 sin𝛽 cos𝛽 y que sin 2𝛽 , se reduce a:
23
𝑑𝑀 𝜎 𝑟 𝑑𝛽 (1.14)
Integrando la ecuación anterior entre 𝛽 0 𝑦 𝛽 , e incluyendo toda la sección del
pilote analizada se obtiene el momento de fluencia 𝑀 como:
𝑀𝜎 𝑟
21 cos 4𝛽 𝑑𝛽 →𝑀
𝜋4𝜎 𝑟 𝑜 𝑀
𝜋32
𝜎 𝐷 (1.15)
Igualando las expresiones (1.5) y (1.15), y remplazando 𝑓 por la expresión (1.4) se puede resolver implícitamente el valor mínimo de 𝐷 de la siguiente manera:
𝑄 𝑒32𝐷
𝑄18𝐶 𝐷
𝜋32
𝜎 𝐷 (1.16)
La anterior ecuación puede resolverse por aproximaciones de un método numérico, en este caso se resuelve utilizando el método de Newton Raphson, el cual es una herramienta numérica eficiente para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas.
Una vez obtenido el diámetro 𝐷 , la longitud mínima del pilote será definida por la siguiente ecuación, con lo cual se concluye el predimensionamiento del pilote.
𝐿 1.5𝐷 𝑓 𝑔 (1.17)
Cabezal restringido
Para pilotes cortos con restricción al giro, Broms considera dos patrones de falla para los pilotes, véase Figura 1-6, los cuales dependen de si la longitud del pilote es suficiente o no para desarrollar un punto de giro y alcanzar el momento de fluencia 𝑀 .
24
Figura 1-6: Diagrama de deflexión, resistencia del suelo, fuerza cortante y momento flector de un pilote con cabezal restringido en suelo cohesivo. a) Pilote corto y b) Pilote Intermedio. Bajo el mecanismo indicado como “a” en la imagen anterior, se considera un movimiento horizontal uniforme del pilote, con el cual, se desarrolla el mismo valor de resistencia del suelo a lo largo de todo el pilote, excepto en una longitud inicial igual a 1.5 veces el diámetro del pilote, en donde la resistencia del suelo no se considera. Al igual que se realiza con la condición de cabezal libre, con base en la Figura 1-6a se plantea la sumatoria de fuerzas igual a cero ∑𝐹 0 del siguiente modo.
𝑄 9𝐶 𝐷 ∗ 𝐿 1.5𝐷 0 (1.18)
𝐿𝑄
9𝐶 𝐷1.5𝐷 (1.19)
Por otra parte, haciendo sumatoria de momentos igual a cero ∑𝑀 0 en 1.5𝐷
𝐿 1.5𝐷 , se obtiene:
𝑀 𝑄 0.5𝐿 0.75𝐷 1.5𝐷 0 ∴ 𝑀 𝑄 ∗ 0.5𝐿 0.75𝐷 (1.20)
Considerando que el momento anterior tiene como valor máximo el momento de fluencia de la sección del pilote, se igualan las ecuaciones (1.15) y (1.20), obteniendo:
a)
b)
25
𝑄 ∗ 0.5𝐿 0.75𝐷𝜋
32𝜎 𝐷 (1.21)
Remplazando (1.19) en (1.21) se tiene:
𝑄32𝐷
𝑄18𝐶 𝐷
𝜋32
𝜎 𝐷 (1.22)
Finalmente, de la expresión anterior se puede encontrar el diámetro mínimo del pilote 𝐷 y una vez calculado este valor, de la ecuación (1.19) se obtiene la longitud mínima del pilote 𝐿 . Cabe destacar que si la excentricidad 𝑒 del cabezal libre es igual a cero, la solución del diámetro mínimo para ambas condiciones del cabezal (Libre y restringido) es la misma, pero la longitud del pilote requerida es diferente.
Para el mecanismo indicado como “b” en la imagen anterior, se supone el desarrollo de un punto de giro cerca a la punta del pilote y se considera que en el cabezal se alcanza el momento de fluencia del pilote 𝑀 . Haciendo sumatoria de fuerzas igual a cero
∑𝐹 0, se llega de igual forma a la ecuación de 𝑓, ver ecuación (1.4).
La siguiente ecuación resulta de la integración del diagrama de cortante desde la parte superior hasta el punto en donde el cortante es nulo, es decir el punto en donde el momento flector es máximo.
𝑀 𝑄 1.5𝐷 0.5𝑓 𝑀 (1.23)
Integrando la porción inferior del diagrama de cortante se obtiene la ecuación (1.6) anteriormente presentada. La siguiente expresión se encuentra igualando las ecuaciones (1.6) y (1.23):
𝑄 1.5𝐷 0.5𝑓 𝑀94𝐶 𝐷𝑔 (1.24)
Resolviendo para 𝑔 se tiene:
𝑔23
1𝐶 𝐷
𝑄 1.5𝐷 0.5𝑓 𝑀 (1.25)
De modo similar al mecanismo indicado como a, la longitud mínima del pilote en el mecanismo b, se encuentra mediante la ecuación (1.17).
1.2.3 Carga lateral última de pilotes en suelo friccional
En el caso del suelo friccional, Broms supone una distribución de resistencia unitaria del suelo linealmente creciente en profundidad con una pendiente de 3𝐷𝛾𝑘 , donde 𝐷 es el
diámetro del pilote, 𝛾 corresponde al peso unitario total y 𝑘 al coeficiente pasivo de
26
presión de tierras de Rankine (Terzaghi et al. 1996). A continuación, se presenta el procedimiento para el predimensionamiento de pilotes cargados lateralmente considerando las condiciones de cabezal libre y cabezal restringido.
Cabezal libre
La resistencia lateral unitaria en suelos friccionales definida por Broms para pilotes cortos
sin restricción al giro y desplazamiento se presenta en la Figura 1-7.
Figura 1-7: Diagrama de deflexión (a), resistencia del suelo (b), fuerza cortante (c) y
momento flector (d) de un pilote corto con cabezal libre en suelo friccional.
Haciendo sumatoria de fuerzas igual a cero ∑𝐹 0 se obtiene:
𝑄12
3𝐷𝛾𝑘 𝐿 𝐿 𝐹 0 (1.26)
Resolviendo la ecuación anterior para 𝐹 se tiene:
𝐹32𝐷𝛾𝑘 𝐿 𝑄 (1.27)
La siguiente ecuación resulta de la integración de la parte superior del diagrama de resistencia unitaria del suelo, desde el cabezal hasta el punto de cortante cero (𝑓):
𝑄32𝐷𝛾𝑘 𝑓 0 (1.28)
Resolviendo para 𝑓 se obtiene:
𝑓2𝑄
3𝐷𝛾𝑘 (1.29)
(a) (b) (c) (d)
27
De forma similar a los casos anteriores, se integra la parte superior del diagrama de fuerza cortante hasta el punto donde el cortante es nulo, es decir donde el momento flector es el máximo. Restando al área rectangular 𝑄 ∗ 𝑒 𝑓 la porción sobrante de la parábola se obtiene:
𝑀 𝑄 𝑒 𝑓𝑄 𝑓
3𝑄 𝑒
23𝑓 (1.30)
Para calcular el diámetro mínimo del pilote debe incluirse el momento de fluencia 𝑀
obtenido en la ecuación (1.15). Igualando (1.15) y (1.30) y remplazando 𝑓 por la expresión de la ecuación (1.29) se puede resolver implícitamente el valor de 𝐷 con la siguiente expresión:
𝑄 𝑒23
2𝑄3𝐷𝛾𝑘
𝜋32
𝜎 𝐷 (1.31)
La anterior ecuación también puede resolverse por aproximaciones de un método numérico, del mismo modo, se resuelve utilizando el método de Newton Raphson. Para completar el proceso de predimensionamiento es necesario encontrar la longitud mínima 𝐿 del pilote, para esto se realiza la sumatoria de momentos en la base del pilote igual a cero ∑𝑀 0:
𝐷𝛾𝑘 𝐿2
𝑄 𝑒 𝐿 0 (1.32)
De la ecuación cúbica anterior es posible obtener el valor de la longitud mínima, en este trabajo se optó por resolver de forma numérica a través de Newton Raphson.
Cabezal restringido
Para pilotes cortos con restricción al giro, Broms considera el patrón de resistencia unitaria del suelo como se presenta en la Figura 1-8. Bajo este mecanismo, se considera un movimiento horizontal uniforme del pilote que supone una distribución de resistencia unitaria del suelo linealmente creciente en profundidad con una pendiente de 3𝐷𝛾𝑘 . Es
de aclarar que, de acuerdo con el autor, bajo la condición de cabezal restringido no se considera la fuerza externa F utilizada en la condición de cabezal libre, véase Figura 1-7.
28
Figura 1-8: Diagrama de deflexión (a), resistencia del suelo (b), fuerza cortante (c) y momento flector (d) de un pilote corto con cabezal restringido en suelo friccional.
Al igual que en la condición anterior, se plantea la sumatoria de fuerzas igual a cero ∑𝐹 0.
𝑄12
3𝐷𝛾𝑘 𝐿 𝐿 0 (1.33)
𝐿2𝑄
3𝐷𝛾𝑘 𝐷 (1.34)
Por otra parte, haciendo sumatoria de momentos igual a cero en 𝐿 , ∑𝑀 0 se
obtiene:
𝑀 𝑄2𝐿3
0 ∴ 𝑀2𝑄 𝐿
3 (1.35)
Considerando que el momento máximo anterior, tiene como valor máximo el momento de fluencia de la sección del pilote, se igualan las ecuaciones (1.15) y (1.35), obteniendo:
2𝑄 𝐿3
𝜋32
𝜎 𝐷 (1.36)
Remplazando (1.34) en (1.36) se tiene:
8𝑄27𝐷𝛾𝑘 𝐷
𝜋32
𝜎 𝐷 (1.37)
(a) (b) (c) (d)
29
Finalmente, de la expresión anterior se puede encontrar el diámetro mínimo del pilote 𝐷 y una vez calculado este valor, de la ecuación (1.19) se encuentra la longitud mínima 𝐿 .
30
2. Modelo Constitutivo de Endurecimiento por Deformación (HS)
Para evaluar el proceso de interacción suelo-estructura ante un proceso de carga lateral, se utilizará el modelo constitutivo de Hardening Soil (HS). Continuando con el marco teórico, a continuación, se presentan los elementos que conforman las ecuaciones constitutivas, especialmente los relacionados al criterio de cedencia, ley de endurecimiento y regla de flujo.
Considerando que el comportamiento esfuerzo-deformación de un suelo es no lineal, es relevante identificar la variación de la rigidez en función de la deformación experimentada ante la aplicación de una carga. A diferencia de otros materiales antrópicos como el concreto o el vidrio, los cuales tras alcanzar el esfuerzo de fluencia se fracturan, los suelos son capaces de variar su rigidez tras superar el esfuerzo de fluencia, esto se evidencia en el caso del modelo HS, el cual representa de mejor forma que el modelo plástico perfecto, a aquellos suelos cuyo esfuerzo de falla se incrementa con base se aumentan las deformaciones, véase la siguiente figura.
Figura 2-1: Ejemplos de curvas esfuerzo-deformación para diferentes comportamientos.
A continuación, se describen los fundamentos teóricos relacionados a la aplicación del modelo Hardening Soil, el cual es utilizado para evaluar el comportamiento de pilotes cargados lateralmente.
31
2.1 Modelo constitutivo
Para entender el modelo HS se debe recordar que este se basa en la relación constitutiva definida por Duncan y Chang en 1970 a través del modelo hiperbólico, por lo cual, es un modelo elasto-plástico no lineal con endurecimiento por deformación cortante y volumétrica.
El modelo asume una relación entre la deformación vertical y un esfuerzo cortante equivalente con base en el ensayo de compresión triaxial – compresión axial drenado (CT-CA), válido para un material dúctil en condición drenada con una relación de sobreconsolidación baja.
Considérese una curva esfuerzo desviador contra deformación axial para un ensayo CT-CA en un material dúctil, véase Figura 2-2, en la cual la pendiente de la curva en cualquier punto es el módulo de Young E y el módulo de Young inicial E . De la siguiente figura puede observarse que E disminuye con el incremento en las deformaciones hasta alcanzar la falla del material 𝜎 𝜎 .
Figura 2-2: Respuesta típica esfuerzo-deformación para ensayo triaxial CT-CA en material dúctil con una OCR baja.
De acuerdo con el modelo y como se observa en la Figura 2-3 es posible aproximar la curva de la Figura 2-2 a una del tipo hiperbólico definida por la siguiente expresión:
𝜎 𝜎𝜀
𝐶 𝐶 𝜀 (2.1)
32
Figura 2-3: Aproximación hiperbólica de la curva esfuerzo-deformación para ensayo triaxial CT-CA drenado en material dúctil con una OCR baja.
Donde 𝜎 𝜎 es el esfuerzo cortante equivalente de falla real del material ensayado,
𝜎 𝜎 es el esfuerzo cortante equivalente asintótico de la aproximación hiperbólica y E es el módulo secante al 50% del esfuerzo desviador en la falla.
Si se denomina (𝑅 a la relación de falla, la cual está definida por la siguiente expresión:
𝑅𝜎 𝜎𝜎 𝜎
(2.2)
Teniendo en cuenta que 𝜎 𝜎 es siempre menor que 𝜎 𝜎 , véase la Figura
2-3, el valor de 𝑅 es siempre menor a la unidad, variando entre 0.5 y 0.9 para la mayoría
de los suelos. En la práctica se asumen valores cercanos a 0.5 para suelos arenosos bien gradados y cercanos a 0.9 para suelos finos normalmente consolidados o ligeramente sobreconsolidados.
El modelo HS adopta el criterio de falla Mohr-Coulomb, de esta forma es posible encontrar 𝜎 𝜎 a partir de escribir el criterio de falla en un sistema de invariantes 𝑠
𝑡 de la siguiente forma:
𝑡 c′ cos𝜙 𝑠′ sin𝜙 (2.3)
Donde:
𝜙 es el ángulo de fricción interno del material. 𝑐 es el intercepto de cohesión aparente del material.
𝑡12𝜎 𝜎 (2.4)
𝑠 𝜎 𝜎 𝜎 𝑡 en la falla. (2.5)
33
Remplazando las ecuaciones (2.4) y (2.5) en (2.3) y organizando términos se tiene:
𝜎 𝜎 2 c′ cos𝜙 𝜎 sin𝜙
1 sin𝜙 (2.6)
De forma similar, se puede expresar 𝜎 𝜎 en función de la envolvente de Mohr-Coulomb a través de relacionar las ecuaciones (2.2) y (2.6) como sigue:
𝜎 𝜎 2 c′ cos𝜙 𝜎 sin𝜙
𝑅 1 sin𝜙 (2.7)
2.2 Rigidez en la carga
El módulo de Young inicial del modelo se define para el mecanismo de endurecimiento por cortante como el 𝐸 , este depende del estado de esfuerzos y se ajusta mediante una ley potencial de Janbu, la cual es función del esfuerzo principal menor 𝜎′ :
𝐸 𝐸𝜎′ 𝑐 cot𝜙𝑝 𝑐 cot𝜙
(2.8)
Donde:
c,𝜙 son los parámetros de resistencia del modelo Mohr-Coulomb 𝑚 es el módulo exponente
𝐸 es el módulo 𝐸 a un nivel de confinamiento conocido (𝑝 ).
Se puede relacionar 𝐸 y 𝐸 a partir de la siguiente expresión:
𝐸2𝐸
2 𝑅 (2.9)
2.3 Rigidez en descarga-recarga
Recordando que en una trayectoria de descarga del ensayo triaxial CT-CA drenado se genera un bucle de histéresis, es apropiado adoptar un módulo de descarga-recarga 𝐸 , también dependiente de 𝜎′ :
𝐸 𝐸𝜎′ 𝑐 cot𝜙𝑝 𝑐 cot𝜙
(2.10)
Donde:
𝐸 es el módulo 𝐸 a un nivel de confinamiento conocido (𝑝 ).
34
Con este módulo se obtienen las componentes elásticas de las deformaciones para trayectorias de descarga-recarga hasta alcanzar nuevamente la superficie de cedencia.
2.4 Elasto-Plasticidad
La formulación de un modelo constitutivo elasto-plástico requiere del establecimiento de las siguientes ecuaciones:
El criterio de cedencia que define el límite de las relaciones elásticas del suelo y
determina la ocurrencia de las deformaciones plásticas para un campo de
esfuerzos.
La regla de flujo que indica la razón en la cual se desarrollan las deformaciones
plásticas una vez se alcanza la superficie de cedencia.
El criterio de endurecimiento, el cual describe el cambio de la superficie de
cedencia con las deformaciones plásticas, de tal manera que el estado de
esfuerzos para la plastificación subsecuente se pueda establecer.
2.4.1 Criterio de Cedencia
Matemáticamente el criterio de cedencia se puede expresar como función del tensor de esfuerzos corrientes 𝜎 , la historia de deformaciones plásticas 𝜀 y el parámetro de estado 𝑘, que relaciona 𝜎 y 𝜀, véase la siguiente expresión:
F 𝜎 , 𝜀 , 𝑘 (2.11)
Se destaca que el modelo HS presenta superficies de fluencia independientes para la condición de corte y para la condición de cambio de volumen. La función de cedencia para el mecanismo de corte 𝑓 se formula mediante la aproximación hiperbólica Duncan-Chang anteriormente descrita, acotándola al esfuerzo desviador de falla, véase Figura 2-4.
35
Figura 2-4: Relación hiperbólica esfuerzo-deformación. (Obrzud y Truty 2018)
Derivando la expresión (2.1) y evaluando en 𝜀 0, se obtiene:
𝐶1𝐸
(2.12)
De igual forma, evaluando el límite de la ecuación (2.1) cuando 𝜀 ∞, se obtiene:
𝐶1
𝜎 𝜎 (2.13)
Remplazando (2.12) y (2.13) en (2.1) se obtiene la ecuación general hiperbólica:
𝜎 𝜎𝜀
1𝐸
𝜀𝜎 𝜎
(2.14)
Resolviendo la ecuación (2.14) para 𝜀 y remplazando 𝑞 𝜎 𝜎 se encuentra la deformación axial:
𝜀𝑞𝐸
𝑞𝑞 𝑞
(2.15)
La componente elástica de la deformación axial (𝜀 ) se puede calcular como:
𝜀𝑞𝐸
(2.16)
Con base en lo anterior, Schanz presenta la siguiente expresión para la superficie de cedencia por cortante, expresada en términos de la aproximación hiperbólica, la componente elástica de las deformaciones y un parámetro de endurecimiento:
36
𝑓2𝑞𝐸
𝑞𝑞 𝑞
2𝑞𝐸
𝛾 (2.17)
Donde 𝛾 es el parámetro de endurecimiento, función de las deformaciones plásticas principales, 𝜀 , 𝜀 , 𝜀 . El modelo HS asume que el cambio de volumen plástico es despreciable, es decir 𝜀 =𝜀 𝜀 𝜀 ≅ 0, por lo tanto, se puede definir el parámetro de endurecimiento como:
𝛾 𝜀 𝜀 𝜀 2𝜀 𝜀 2𝜀 (2.18)
Es posible identificar que en la Ecuación (2.17) el término corresponde a
2𝜀 2𝜀 , y el término a 2𝜀 2𝜀 . Es decir, se puede reescribir la Ecuación (2.17)
como:
𝑓 2𝜀 2𝜀 𝛾 (2.19)
Por otra parte, la superficie de cedencia para procesos de cambio de volumen (𝑓 ) se define para cerrar la zona elástica en compresión isotrópica. Schanz presenta la siguiente expresión para la superficie de cedencia con forma de elipse de centro en el origen:
𝑓𝑞𝑀
𝑝′ 𝑝 (2.20)
Donde 𝑀 es un parámetro auxiliar del modelo, el cual controla el valor de la superficie de cedencia volumétrica en el espacio p-q, 𝑝 es el esfuerzo de preconsolidación del material, 𝑝′ es el esfuerzo promedio y 𝑞 es un esfuerzo desviador especial definido mediante la siguiente expresión:
𝑞 𝜎 𝛿 1 𝜎 𝛿 𝜎 Con 𝛿 (2.21)
La escogencia del esfuerzo especial 𝑞 es necesaria para definir la superficie de cedencia volumétrica desviadora del modelo HS al cono que forma la envolvente Mohr- Coulomb en el espacio de esfuerzos principales 𝜎 ,𝜎 𝑦 𝜎 . Para el caso de un ensayo triaxial CT-CA drenado 𝑞 𝑞 𝜎 𝜎 .
2.4.2 Criterio de Endurecimiento
El modelo de HS define mediante dos variables el desarrollo de endurecimiento: el parámetro plástico de endurecimiento 𝛾 , y la presión de sobreconsolidación 𝑝 .
Su evolución es definida por medio de las siguientes expresiones:
Para el mecanismo de corte:
37
𝑑𝛾 𝑑𝜆 ℎ 𝐶𝑜𝑛 ℎ𝜕𝑔𝜕𝜎
𝜕𝑔𝜕𝜎
𝜕𝑔𝜕𝜎
1 (2.22)
Para el mecanismo volumétrico:
𝑑𝑝 𝑑𝜆 ℎ 𝐶𝑜𝑛 ℎ 2𝐻𝜎 𝑐 cot𝜙𝑝 𝑐 cot𝜙
𝑝 (2.23)
Donde 𝐻 es el parámetro que controla la evolución de la deformación volumétrica plástica y el esfuerzo de preconsolidación. El modelo define la función de evolución 𝑝 como:
𝑑𝑝 𝐻𝜎 𝑐 cot𝜙𝑝 𝑐 cot𝜙
𝑑𝜀 (2.24)
Descomponiendo la deformación volumétrica en la componente elástica y plástica, 𝐻 puede ser escrito como una función del módulo bulk descarga-recarga, 𝐾 y el modulo bulk en carga primaria, 𝐾 como:
𝐻𝐾 𝐾𝐾 𝐾
(2.25)
En donde debido a las consideraciones del modelo de elasticidad isotrópica, se puede
relacionar 𝐾 con 𝐸 y 𝐾 con el módulo de carga primaria de un ensayo odométrico a
la misma presión de referencia 𝐸 :
𝐾𝐸
3 1 2𝜐 (2.26)
𝐾𝐸
3 1 2𝜐 (2.27)
En la Figura 2-5 se presenta el mecanismo de endurecimiento por cortante y cambio de volumen del modelo HS. El material endurece moviéndose en la dirección de los ejes q y p’, expandiendo la superficie de cedencia hasta definir el nuevo límite para la plastificación subsecuente.
38
Figura 2-5: Evolución de superficies de cedencia de modelo HS en espacio p-q para un ensayo triaxial CT-CA.
2.4.3 Regla de Flujo
La regla de flujo indica la razón en la cual se desarrollan las deformaciones plásticas una vez se alcanza la superficie de cedencia (F 0). Teniendo en cuenta que el parámetro 𝛾 controla las deformaciones cortantes, el autor busca relacionar la componente volumétrica de las deformaciones plásticas a través de la siguiente regla de flujo:
𝛿𝜀 Sin𝜓 𝛿𝛾 (2.28)
Donde 𝜓 es el ángulo de dilatancia movilizado, el cual es definido de acuerdo con la teoría de dilatancia de Rowe, 1962:
sin𝜓sin𝜙 sin𝜙
1 sin𝜙 sin𝜙 𝑐𝑜𝑛 𝜙 𝜙 (2.29)
Donde 𝜙 es el ángulo de fricción en el estado crítico independiente de las condiciones de esfuerzo siendo una propiedad intrínseca del suelo y 𝜙 es el ángulo de fricción movilizado, el cual se calcula a partir de la siguiente ecuación:
sin𝜙𝜎 𝜎
𝜎 𝜎 2𝑐 cot𝜙 (2.30)
Siendo 𝜙 ángulo de fricción en la falla.
La principal característica del modelo HS es que el material contrae para una baja relación de esfuerzos, es decir cuando 𝜙 𝜙 , mientras que para altas relaciones de esfuerzos donde 𝜙 𝜙 el material dilata. En la falla, cuando el ángulo de fricción movilizado es igual al ángulo de falla (𝜙 𝜙 ) se puede encontrar que:
39
sin𝜙sin𝜙𝑝 sin𝜓
1 sin𝜙𝑝 sin𝜓 (2.31)
Donde 𝜓 es el ángulo de dilatancia en la falla.
La Ecuación (2.31) permite calcular el ángulo de fricción del estado crítico a partir de los ángulos 𝜙 y 𝜓 en la falla. La anterior definición de la regla de flujo es equivalente a las
siguientes funciones de potencial plástico:
𝑔𝜎 𝜎
2𝜎 𝜎
2sin𝜓 (2.32)
𝑔𝜎 𝜎
2𝜎 𝜎
2sin𝜓 (2.33)
2.5 Parámetros de modelo HS
En la Tabla 2-1, se resumen los principales parámetros utilizados en el modelo HS.
Tabla 2-1: Parámetros utilizados en el modelo HS.
Parámetro Unidad Descripción Valor de
referencia
𝐸 [kPa] Rigidez secante en ensayo triaxial drenado 𝐸 2 𝑅2
𝐸 [kPa] Rigidez tangente para carga odométrica
primaria 𝐸
𝐸 [kPa] Rigidez Descarga/Recarga 3𝐸
𝑝 [kPa] Presión de referencia 100
𝑚 [-] Factor de potencia para dependencia de la
rigidez con los esfuerzos 0.5 𝑚 1
𝜈 [-] Relación de 0.15 𝜈 0.495
𝑅 [-] Relación de falla (𝑞 /𝑞 0.9 1
𝑐 [kPa] Cohesión efectiva 𝑀𝐶
𝜙 [°] Ángulo de fricción efectivo 𝑀𝐶
40
Parámetro Unidad Descripción Valor de
referencia
𝜓 [°] Ángulo de dilatancia efectivo 0.0 𝜓 𝜙
𝐾 [-] K0 para suelo normalmente consolidado 1 sin𝜙 1
𝑝 [kPa] Resistencia a tensión para corte 0
41
3. Interacción Suelo-Estructura
En este capítulo, a modo de metodología se exponen las consideraciones de simulación en el programa Midas GTS NX con el fin de representar el comportamiento de pilotes cargados lateralmente. En primera medida se predimensionó un pilote corto a partir de la teoría de capacidad portante de Broms en un suelo friccionante, adicionalmente se incluye el análisis de un pilote de mayor longitud con igual sección transversal del pilote corto. Se describe la geometría, propiedades del suelo, del material del pilote, el tipo de enmallado, las condiciones de frontera, las cargas aplicadas y los criterios de convergencia adoptados para la aceptación de los resultados.
Para los resultados obtenidos se verifica el cumplimiento del criterio de falla definido por la envolvente Mohr-Coulomb y se presenta la metodología para calcular las fuerzas cortantes y momentos flectores sobre el elemento estructural. Finalmente, se presentan las consideraciones para obtener los esfuerzos de reacción horizontal en la interfaz suelo-pilote, con las cuales se estimaron los módulos horizontales de cimentación.
3.1 Dimensionamiento de Pilotes
Inicialmente se determinó cual sería la carga resistente para la configuración de un pilote corto a través de la metodología de Broms para suelo friccionante, véase numeral 1.2.3. Con esta finalidad se asumen las siguientes propiedades para el material de concreto del pilote:
- Resistencia a la compresión: 28000 kPa.
- Módulo de elasticidad: 25000000 kPa.
- Resistencia a la tracción: 3280 kPa.
La evaluación de carga última se realizó suponiendo una condición de cabezal libre, sin restricción al giro y de libre desplazamiento. Para la predimensión se utilizó una carga de 150 kN sin excentricidad, obteniendo los siguientes resultados a través del algoritmo realizado en hoja de cálculo:
42
Tabla 3-1: Resultados del predimensionamiento de un pilote corto.
Obtenidos los resultados del predimensionamiento, se aproxima la solución del pilote corto a un diámetro de 0.80 m y una longitud embebida de 2.75 m. Adicionalmente al pilote corto se plantea un modelo con un pilote de 10.0 m de longitud, el cual se pueda asociar al comportamiento de un pilote largo. Ambos modelos se llevan a una carga de 150 kN y se resuelven tanto para el modelo MC como para el modelo HS. El momento de fluencia del pilote se estimó en 157.72 kN*m, sin embargo, se recuerda que, entre las limitaciones del modelo numérico, se tiene que considera el concreto como un material elástico perfecto
3.2 Método de los elementos finitos (FEM)
El método de los elementos finitos es una poderosa técnica numérica que permite evaluar la respuesta de un sistema mecánico, en este caso el desplazamiento de un pilote ante carga lateral. Para ese objetivo se discretiza el dominio en elementos, se escribe el sistema de ecuaciones nodales y se resuelve el sistema de ecuaciones para estimar desplazamientos en los nodos y posteriormente interpolar esfuerzos y deformaciones, considerando el estricto cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos, relaciones constitutivas y compatibilidad de desplazamientos.
El procedimiento de solución para un problema resuelto con el método de los elementos finitos es generalmente el siguiente:
1. Discretización del medio modelado en elementos finitos.
En esta etapa se discretiza la masa de suelo en elementos finitos, cuyos vértices son los nodos del elemento, la unión entre elementos constituye las superficies comunes. En la práctica se utilizan diferentes tipos de elementos para condiciones bidimensionales 2d y tridimensionales 3d, generalmente se usan elementos triangulares o tetraédricos, así
1. Perfil promedio analizado
(kN/m3) C'|Cu (kPa) φ (°) Tipo Kp
17.00 1.00 30.00 Friccional 3.00 Pile Head F
(F = Free, FX = Fully‐Fixed)
3. Material pilote 4. Factor de seguridad (FoS)
Tipo
F'c (kPa) 2.80.E+04 Friccional 1.00Ep (kPa) 2.49.E+07σt (kPa) 3281 .
5. Carga última 6. Díametro Mínimo 7. Longitud Mínima
qadm (kN) 150 Dmín (m) 0.79 f (m) 1.58
qu (kN) 150 Myield (kN*m) 157.72 g (m) 1.15
e (m) 0.00 Lmín (m) 2.73
Resistencia lateral
43
como cuadriláteros o hexaedros, véase Figura 3-1 donde se presenta un elemento hexaédrico de 8 nodos, correspondiente al tipo de elementos definido para este trabajo.
Figura 3-1: Ejemplo de elemento finito tipo hexaédrico de 8 nodos.
La cantidad de elementos en una malla es directamente proporcional a la precisión de los resultados, sin embargo, esto se traduce en un mayor tiempo de cómputo, por lo anterior, es recomendable densificar la malla en aquellas áreas en donde se espera mayor variación en la respuesta.
2. Definir las ecuaciones de los elementos
Debido a que los análisis FEM suelen utilizar como un mínimo un principio variacional como el de la energía potencial, las variables de aproximación primaria son los desplazamientos nodales. Posteriormente mediante procesos de derivación se encuentran las deformaciones y, finalmente, usando las ecuaciones constitutivas se obtienen los esfuerzos.
El procedimiento anterior se realiza mediante las funciones de interpolación, las cuales permiten conocer los desplazamientos en cualquier parte del elemento discretizado a partir de los desplazamientos conocidos en los nodos. Generalmente las funciones de interpolación tienen formas polinómicas definidas a través de los vectores de desplazamiento en las direcciones x, y, z.
3. Escribir las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos y definir las relaciones deformación-desplazamiento.
En la Figura 3-2 se presenta el equilibrio de esfuerzos sobre un elemento diferencial en coordenadas cartesianas, considerando que los esfuerzos de compresión son positivos, se obtienen las siguientes tres ecuaciones de equilibrio, en donde se desprecian todas las fuerzas de cuerpo a excepción del peso propio actuante en el eje Z.
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Figura 3-2: Equilibrio de esfuerzos en un elemento diferencial.
𝜕𝜎𝜕𝑥
𝜕𝜏𝜕𝑦
𝜕𝜏𝜕𝑧
0 (3.1)
𝜕𝜏𝜕𝑥
𝜕𝜎𝜕𝑦
𝜕𝜏𝜕𝑧
0 (3.2)
𝜕𝜏𝜕𝑥
𝜕𝜏𝜕𝑦
𝜕𝜎𝜕𝑧
𝛾 (3.3)
Teniendo en cuenta la convención de signos anterior, se definen las deformaciones axiales y cortantes a partir de los desplazamientos en las direcciones 𝑢, 𝑣 y 𝑤, conocidas como las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones:
𝜀 𝜕𝑢/𝜕𝑥 (3.4)
𝜀 𝜕𝑣/𝜕𝑦 (3.5)
𝜀 𝜕𝑤/𝜕𝑧 (3.6)
𝛾 𝜕𝑣/𝜕𝑥 𝜕𝑢/𝜕𝑦 (3.7)
𝛾 𝜕𝑤/𝜕𝑦 𝜕𝑣/𝜕𝑧 (3.8)
𝛾 𝜕𝑢/𝜕𝑧 𝜕𝑤/𝜕𝑥 (3.9)
Donde 𝑢= desplazamiento en x; 𝑣= desplazamiento en y; y 𝑤= desplazamiento en z.
Las ecuaciones (3.4) a (3.9) se pueden escribir matricialmente como:
Ε 𝐿 𝑑 (3.10)
45
Donde:
𝐿
⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜕/𝜕𝑥 0 0
0 𝜕/𝜕𝑦 00 0 𝜕/𝜕𝑧𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑥 0
0 𝜕/𝜕𝑧 𝜕/𝜕𝑦𝜕/𝜕𝑧 0 𝜕/𝜕𝑥 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
(3.11)
𝑑 𝑢 v w (3.12)
Expresando las deformaciones a partir de las funciones de forma derivadas del sistema coordenado x,y,z se pueden calcular las deformaciones en cualquier punto del elemento.
4. Escribir las ecuaciones constitutivas para el suelo.
Para la solución de problemas mecánicos se utiliza las relaciones esfuerzo-deformación. Generalmente, estas relaciones se pueden escribir de forma matricial a través de la siguiente ecuación:
𝜎 𝐶 Ε (3.13)
Donde 𝜎 es el tensor de esfuerzos nodales y 𝐶 es la matriz de relaciones constitutivas del modelo de suelo utilizado. Para el presente trabajo se utilizará un modelo de endurecimiento por deformación HS, el cual se explica dentro del Numeral 2 del documento. A partir de las deformaciones interpoladas es posible estimar los esfuerzos mediante las relaciones constitutivas del material.
5. Derivar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de un elemento de suelo.
En los análisis FEM se utiliza una técnica conocida como el Principio Variacional, el cual postula que la solución más precisa para las trayectorias admisibles de desplazamiento de un sólido entre dos instantes de tiempo se encontrará cuando la lagrangiana del sistema sea mínima. De forma matemática se establece que:
𝛿 𝐿d𝑡 0 (3.14)
Donde 𝐿 es la función lagrangiana obtenida usando un conjunto de desplazamientos admisibles, la cual se define como:
𝐿 𝑇 Π 𝑊 (3.15)
Donde 𝑇 es la energía cinética, Π es la energía potencial, que en este caso será la energía de deformación elástica y 𝑊 es el trabajo realizado por las fuerzas externas.
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Teniendo en cuenta que se analiza una condición estática del problema, se puede eliminar el termino correspondiente a la energía cinética.
La energía de deformación en la mecánica de sólidos se expresa como:
Π12
Ε 𝜎 dV (3.16)
Donde V representa el volumen total del sólido; remplazando (3.13) en (3.16) se tiene:
Π12
Ε 𝐶 Ε dV (3.17)
El trabajo realizado por las fuerzas externas, cuerpo y superficie, se obtiene como:
W 𝑈 Z dV 𝑈 T dS (3.18)
Donde S, representa la superficie del sólido en la cual se prescriben las fuerzas externas, Z son las fuerzas de cuerpo y T son las fuerzas de superficie sobre el elemento.
A partir de las funciones de interpolación se obtiene la energía de deformación para el elemento finito:
Π12
𝑑 𝐵 𝐶 𝐵 𝑑 dV12𝑑 𝐵 𝐶 𝐵 dV 𝑑 (3.19)
Donde V es el volumen del elemento, esto se puede realizar debido a que el funcional utilizado incluye la condición de compatibilidad. Al termino entre paréntesis se le conoce como matriz de rigidez del elemento, es decir:
𝑘 𝐵 𝐶 𝐵 dV (3.20)
Reescribiendo la ecuación (3.19) se obtiene:
Π12𝑑 𝑘 𝑑 (3.21)
De forma similar, el vector de desplazamiento del elemento en (3.18) y cambiando el dominio de la integral al elemento se obtiene:
W 𝑑 𝑁 Z dV 𝑑 𝑁 T dS
𝑑 𝑁 Z dV 𝑑 𝑁 T dS (3.22)
Las integrales se definen en los siguientes términos, asociados a las fuerzas de cuerpo y superficie actuantes en el volumen y contorno del elemento, respectivamente así:
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Q 𝑁 Z dV (3.23)
Q 𝑁 T dS (3.24)
Remplazando las ecuaciones (3.23) y (3.24) en (3.22) se tiene:
W 𝑑 Q 𝑑 Q 𝑑 𝑄 (3.25)
Donde,
𝑄 Q Q (3.26)
Finalmente, remplazando (3.21) y (3.25) en la función lagrangiana, es decir en la ecuación (3.15), se tiene la siguiente expresión para la condición estática del campo de desplazamientos admisibles:
𝐿12𝑑 𝑘 𝑑 𝑑 𝑄 (3.27)
Aplicando el principio variacional, ecuación (3.14), se obtiene:
𝛿12𝑑 𝑘 𝑑 𝑑 𝑄 d𝑡 0 (3.28)
Recordando que los operadores de variación e integración son intercambiables, la expresión anterior se puede operar y reescribir de la siguiente forma:
𝛿 𝑑 𝑘 𝑑 𝛿 𝑑 𝑄 d𝑡 𝛿 𝑑 𝑘 𝑑 𝑄 d𝑡 0 (3.29)
Para que la integral de la ecuación (3.29) sea igual a cero, el integrando mismo tiene que ser cero, es decir:
𝛿 𝑑 𝑘 𝑑 𝑄 0 (3.30)
De forma similar, para la ecuación (3.30) se puede dar la igualdad si y solo se da la siguiente condición:
𝑘 𝑑 𝑄 (3.31)
La ecuación (3.31) representa la ecuación FEM del elemento, 𝑘 es la matriz de rigidez del elemento y 𝑄 es el vector de fuerzas actuantes sobre el elemento. Todas estas matrices y vectores se obtienen resolviendo las integrales indicadas en las ecuaciones (3.20) a (3.29), sin embargo, para algunas funciones de interpolación, las integrales de las ecuaciones (3.20), (3.23) y (3.24) pueden no tener una solución cerrada, por lo tanto, en estos casos se hace uso de la integración numérica usando esquemas de Gauss–Legendre.
48
6. Definición de sistema general de ecuaciones nodales
El proceso de ensamble consiste en sumar las contribuciones de todos los elementos conectados en un nodo. Una vez ensamblada la matriz de cada elemento que compone la malla de elementos finitos, se puede llegar a la ecuación global que gobierna toda la masa de suelo discretizada:
𝐾 D Q (3.32)
Donde 𝐾 es la matriz de rigidez global del medio discretizado, D es el vector de todos los desplazamientos en el dominio del problema y Q es el vector de fuerzas actuantes.
7. Introducir las condiciones de frontera dentro de la ecuación matricial global
Las condiciones de frontera son aquellas características propias del problema por resolver, estas se definen especificando principalmente los valores de fuerzas y desplazamientos, así como de elementos especiales como apoyos o elementos estructurales. Estas condiciones entran a modificar las matrices globales directamente.
8. Resolver las incógnitas del sistema matricial global.
Las ecuaciones globales tienen forma de un gran sistema de ecuaciones simultaneas, las cuales se solucionan con metodologías numéricas y de convergencia con el fin de obtener los desplazamientos en todos los nodos. Una vez obtenida la variable primaria que corresponde a los desplazamientos, se determinan los esfuerzos y deformaciones, aplicando funciones de interpolación.
3.3 Programa
GTS NX es un programa de elementos finitos enfocado al análisis geotécnico 2D y 3D, desarrollado por la empresa coreana MIDAS IT con múltiples aplicaciones en excavaciones, túneles, presas, cimentaciones profundas, estabilidad de taludes, análisis de consolidación, análisis dinámico, análisis de filtración, entre algunos otros.
Entre sus ventajas el programa cuenta con la capacidad de modelar geometrías complejas, e incluye elementos particulares 1d como anclajes y pilotes. Adicionalmente permite acelerar los cálculos utilizando todos los núcleos del procesador e integrando la tarjeta gráfica de los sistemas, incluye mallas híbridas, diferentes modelos constitutivos para suelos y materiales estructurales y considera elementos de interfaz con diferentes propiedades de rigidez y fricción para la modelación de la interacción suelo-estructura.
Bajo este entorno se pretende modelar mediante un análisis de esfuerzos incremental el comportamiento de pilotes cargados lateralmente, definiendo un tamaño de modelo apropiado, así como las condiciones de frontera del problema de cabezal libre, buscando
49
determinar el comportamiento carga-desplazamiento de los pilotes mediante un análisis de interacción suelo-estructura.
3.4 Propiedades del suelo
Para la aplicación de los modelos numéricos se considera un material friccionante bajo una condición de carga drenada, se toma como referencia un material altamente estudiado como lo es la Arena de Hostun (Benz 2007). Los parámetros utilizados en la modelación se presentan en la siguiente tabla:
Tabla 3-2: Parámetros utilizados en el modelo HS.
Parámetro Unidad Descripción Valor
𝐸 [kPa] Rigidez secante en ensayo triaxial drenado 20000
𝐸 [kPa] Rigidez tangente para carga odométrica primaria 20000
𝐸 [kPa] Rigidez Descarga/Recarga 60000
𝑝 [kPa] Presión de referencia 100
𝑚 [-] Factor de potencia para dependencia de la rigidez con los esfuerzos
0.5
𝜈 [-] Relación de 0.3
𝑅 [-] Relación de falla (𝑞 /𝑞 0.9
𝑐 [kPa] Cohesión efectiva 1
𝜙 [°] Ángulo de fricción efectivo 30
𝜓 [°] Ángulo de dilatancia efectivo 0
𝐾 [-] K0 para normalmente suelo consolidado 0.5
𝑝 [kPa] Resistencia a tensión para corte 0
𝛾 [kN/m3] Peso unitario total 17
Para propósitos comparativos, el modelo elástico perfectamente plástico se evaluará con
un módulo de elasticidad correspondiente a 𝐸 20000 kPa. La envolvente de
resistencia es la misma que el modelo HS.
50
3.5 Formulación del modelo de elementos finitos
En la Figura 3-3 se presenta el procedimiento general aplicado para la modelación numérica de un pilote cargado lateralmente, posteriormente se describen cada una de las actividades realizadas.
Figura 3-3: Diagrama de flujo utilizado para el desarrollo del modelo numérico en elementos finitos para un pilote cargado lateralmente.
51
3.5.1 Geometría
El programa Midas GTS NX tiene un apartado para dibujo asistido por computadora (CAD) en el cual se pueden realizar varios arreglos geométricos. Para el suelo se usa un elemento tipo cubo, mientras que para el pilote uno tipo cilindro.
El primer aspecto por considerar son las dimensiones de la caja que representa el suelo, para este trabajo la zona de influencia se llevó hasta 26D para que el efecto de las fronteras rígidas fuera mínimo en la respuesta del pilote. Este criterio se definió tras realizar diferentes pruebas numéricas en las que las dimensiones de la caja se variaron contra los desplazamientos acumulados en la malla, hasta obtener una relación en la cual la influencia del pilote es adecuada para detallar la respuesta carga-desplazamiento en la interfaz. La zona de influencia se presenta en la Figura 3-4.
Figura 3-4: Zona de influencia del modelo.
Por otra parte, se busca minimizar el tiempo de cálculo de los modelos, ya que al ser tan extensos incorporan un número elevado de nodos que implica gran cantidad de desplazamientos, deformaciones y esfuerzos que deben resolverse, para lo anterior, se aprovecha la simetría en geometría y carga. Como puede observarse en la Figura 3-4 el
𝐏𝐢𝐥𝐨𝐭𝐞 𝐃
𝟐𝟔𝐃 𝟐𝟔𝐃
𝐋
𝐋
52
problema es simétrico respecto al plano YZ, por lo cual solo se empleará la mitad de la zona de influencia aplicando condiciones de frontera relacionadas en el Numeral 3.5.5.
Respecto a la altura del volumen se define una longitud de 2 veces la profundidad del pilote.
3.5.2 Materiales y Propiedades
El programa separa los modelos constitutivos según el tipo de elemento 3D, 2D o 1D, en el caso de elementos tipo 2D, el programa incluye elementos de deformación plana, de esfuerzos planos, de simetría axial, entre otros. Los materiales se establecen directamente a través del modelo constitutivo, en donde se definen las propiedades del material como resistencia, deformabilidad, características hidráulicas, térmicas e interfaces. En la Figura 3-5 se muestra el formato para ingresar las propiedades de los materiales en el programa MIDAS GTS NX.
Figura 3-5: Ejemplo para la creación de materiales y propiedades en Midas GTS NX.
Para este trabajo se utilizan elementos 3D para los volúmenes del suelo y el pilote, adicionalmente, se usan elementos 1D tipo viga, cuya aplicación se explica posteriormente, pero en resumen pretende simplificar el cálculo de fuerzas dentro del pilote.
53
3.5.3 Control de Enmallado
El tamaño relativo entre los elementos conectados, la forma y la calidad de una malla tienen un mayor efecto en los resultados que su tamaño absoluto, por lo tanto, después de crear una malla, es importante comprobar y modificar la calidad de la malla, especialmente para los elementos 3D. A diferencia de otros programas de ingeniería geotécnica, Midas GTS NX no incorpora un enmallado totalmente automático, y aunque hay opciones simplificadas para construir el enmallado de sólidos, estos resultan contener elementos con formas fácilmente distorsionadas, ángulos sesgados y altos alabeos entre otros factores que dificultan su uso. Por lo anterior, es importante especificar al programa unos lineamientos o controles sobre cómo debe ejecutar el proceso de enmallado. A continuación, se listan algunos de los controles aplicados:
- Espesor de capas: Todos los elementos se mallarán definiendo espesores de 0.275m para el pilote corto y de 0.50m para el pilote largo, lo cual permitirá la construcción de diagramas de esfuerzos sin sobresaltos y evaluar de forma más precisa las deformaciones.
- División del pilote: Estrictamente hablando no es posible modelar elementos curvos, por lo cual se realiza una aproximación transformando la sección circular del pilote a un Isodecágono.
- Tangente Hiperbólica: Esta función permite preajustar la posición y el tamaño de malla del nuevo nodo en determinados segmentos de la geometría. Para este trabajo la función se usa para interpolar entre un elemento más fino en la parte central del pilote y aumentarlo radialmente hasta el contorno externo del volumen que representa el suelo. A modo de ejemplo, se presenta la Figura 3-6.
Figura 3-6: Control de malla mediante tangente hiperbólica. (Midas GTS NX, Manual 2019).
3.5.4 Enmallado de elementos
El enmallado se realiza por medio de la función Map-Solid, la cual permite realizar un enmallado 3D con elementos tetraédricos y hexaédricos ajustándose a la forma de los elementos, consiguiendo que la malla entre dos caras de un mismo solido sea igual, por lo tanto, para formas complejas, el sólido debe dividirse adecuadamente o la información de los controles de malla debe ser introducida de antemano.
54
El proceso de enmallado fue optimizado para obtener resultados lo suficientemente precisos para los análisis, así mismo se utilizó la facilidad geométrica para la extracción de resultados mediante la interpolación de nodos específicos. En la Figura 3-7, se presenta un esquema de los tipos de enmallados generados optimizando las relaciones de aspecto, ángulos y alabeos de los elementos finitos.
Figura 3-7: (a) Malla de elementos tetraédricos y (b) malla de elementos hexaédricos.
De acuerdo con los resultados obtenidos en diversos modelos, y aunque la forma de la malla se optimice, las mallas de elementos hexaédricos fueron más favorables respecto a las mallas de elementos tetraédricos, dado que, al tener un mayor número de nodos de interpolación, los elementos hexaédricos detallan mejor la variación de los esfuerzos. Por ejemplo, para evaluar la condición geoestática de esfuerzos, la Figura 3-8 muestra la variación de los esfuerzos totales verticales en ambos tipos de enmallado; en la parte izquierda se presenta el diagrama de variación de esfuerzos 𝜎 el cual muestra una mejor continuidad en la figura b en comparación con la figura a.
𝐚
𝐛
55
Figura 3-8: Esfuerzos 𝜎 en (a) malla de elementos tetraédricos y (b) malla de elementos hexaédricos.
En el proceso de optimización de la malla se tiene en cuenta la relación de aspecto, el ángulo de sesgo, el alabeo, la forma cónica y la proporción jacobiana, entre otras consideraciones. Cuando una malla no cumplía con los estándares de calidad contemplados tales como la continuidad entre elementos y una adecuada relación de aspecto, se procedía a reevaluar los puntos de control y a modificar el tamaño de la malla. Para ambos modelos MC y HS se utiliza el mismo enmallado.
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56
3.5.5 Condiciones de Frontera
En el plano horizontal Z se restringe los desplazamientos en las direcciones X, Y Z; en los planos verticales Y se restringe el desplazamiento en la dirección Y; finalmente en los planos verticales X se restringe el desplazamiento en la dirección X, adicionalmente en el plano vertical X de simetría, se restringe el giro en la dirección Y Z. La representación gráfica de las condiciones de borde del modelo se presenta en la Figura 3-9.
Figura 3-9: Condiciones de frontera aplicadas en los modelos MC y HS.
3.5.6 Fuerzas de Cuerpo
Midas GTS NX no contempla de forma automática la aplicación de las fuerzas de cuerpo, permitiendo ignorar el peso propio de los elementos o considerar aceleraciones especiales en diferentes direcciones. Por defecto, la aceleración de la gravedad se contempla como 9.80665 m/s2 y el peso propio se asigna al modelo automáticamente una vez se activan las mallas. En la Figura 3-10 se muestra la asignación del peso propio para el volumen del suelo modelado.
57
Figura 3-10: Fuerzas de cuerpo aplicadas en los modelos MC y HS.
3.5.7 Carga Lateral
Se evidenció que cuando se aplicaba la carga lateral sobre un nodo específico en la malla del pilote, se generaba una condición de punzonamiento y no se lograba transmitir uniformemente la carga a todo el cabezal. Debe considerarse que, en medios continuos, una carga puntual va a provocar plastificaciones, por lo cual, la solución implementa una carga uniformemente distribuida en los nodos que conforman la superficie de la cabeza del pilote, donde la suma de esta carga es equivalente a aplicar una sola carga puntual en el cabezal. La carga lateral por unidad de área se aplicó paralela a la dirección Y. En la Figura 3-11, se presenta la forma en que se aplica la carga lateral.
Figura 3-11: Presión lateral aplicada en el cabezal de los pilotes.
58
3.5.8 Fases Constructivas
El programa Midas GTS NX permite incorporar fases constructivas, las cuales se modifican adicionando o eliminando parámetros en las matrices de rigidez global 𝐾 , en el vector de desplazamientos D y en el de fuerzas Q .
Entre los posibles ajustes para la definición de las fases constructivas se incluyen los cambios de material, aplicable por ejemplo en la fase de construcción del pilote, en donde el material definido en la etapa de esfuerzos iniciales como suelo MC o HS es reemplazado por el material del pilote, en este caso concreto.
Otras configuraciones para la creación de fases constructivas son la eliminación o la adición de nuevos elementos enmallados, cambios en las condiciones de frontera, aplicación de cargas, entre otros. A continuación, se enlistan las 3 fases de modelación:
1. Esfuerzos iniciales: La primera etapa se utiliza para calcular los esfuerzos in situ de los estratos del suelo, los cuales son calculados por equilibrio del propio peso de los elementos, es decir el programa calcula el coeficiente de presión de tierras del material (𝑘 ) a partir de las relaciones constitutivas de forma automática. Con el fin de evitar que los asentamientos obtenidos durante la fase de cálculo de los esfuerzos iniciales influyan en los resultados de las fases posteriores, se incluye una fase intermedia en la cual los desplazamientos se reinician, es decir se establecen en cero. Se resalta que esta fase no representa un fenómeno físico en el mecanismo de un pilote sometido a carga lateral, por lo cual no se describe como una fase de modelación.
2. Construcción del Pilote: La segunda etapa contempla simular simplificadamente la construcción del pilote de concreto, mediante la realización de un cambio de material. Este cambio modifica automáticamente la matriz de rigidez global del sistema, el vector de fuerzas y genera asentamientos, debido al peso del pilote. Estos asentamientos nuevamente se reinician para no afectar la fase de carga lateral.
3. Carga Lateral: En esta fase la aplicación de la carga se activa y se aplica incrementalmente. Para los análisis se decidió aplicar la carga en un mínimo de 100 intervalos iguales, para los cuales se guardarán los resultados del análisis. Sin embargo, en modelos altamente no lineales cerca a la falla, es posible que el programa bisecte los incrementos propuestos considerando un número mayor de incrementos, sin embargo, solo se guardarán los 100 incrementos inicialmente establecidos.
59
3.5.9 Criterios de convergencia y tolerancias
De forma complementaria a lo expuesto en el numeral 3.2, aquí se expone simplificadamente, el proceso de convergencia y solución aproximada que ejecuta el
programa en cada iteración. En la Figura 3-12, t fext y t+Δt fext representan las fuerzas externas en un tiempo t y en un tiempo t+Δt, respectivamente. La solución en desplazamientos incrementales puede expresarse de acuerdo con la siguiente relación:
t+Δt u t u+ Δu (3.33)
Donde Δu es la solución incremental para un tiempo Δt.
Figura 3-12: Solución Incremental acumulada y convergencia de análisis de elementos finitos no lineales.
La fuerza desbalanceada gi es expresada como la diferencia entre la fuerza externa t+Δt
fext y la fuerza interna fint,i. Estas ecuaciones son iteradas hasta satisfacer los criterios de convergencia definidos por el usuario, usando tolerancias mínimas para variaciones en las fuerzas desbalanceadas, desplazamientos incrementales o energía de deformación (trabajo virtual).
Para definir si un incremento converge en MIDAS GTS NX se pueden considerar los tres criterios siguientes:
1. Norma del vector Fuerza Desbalanceada
(3.34)
60
2. Norma del vector de Desplazamiento Incremental
(3.35)
3. Magnitud vector de Energía
(3.36)
Generalmente, en sistemas no lineales como los analizados en este trabajo, la convergencia de los tres criterios disminuye simultáneamente a medida que el sistema converge. Por defecto el programa Midas GTS NX recomienda una tolerancia de 1,00E-03 para la norma del vector de fuerza desbalanceada y desplazamiento incremental, mientras que para la magnitud de energía la tolerancia es de 1.00E-06. Buscando garantizar que los elementos del enmallado no infrinjan de forma estricta en ninguna parte del dominio los criterios de falla (Mohr-Coulomb), se precisó una tolerancia de 1,00E-04 y 1,00E-03 para los vectores de fuerza y desplazamiento respectivamente, obteniendo resultados adecuados.
3.6 Procesamiento de Resultados
Posterior a la convergencia del modelo, el siguiente paso es la recuperación de los resultados y su análisis. Inicialmente se revisó si realmente se aplicaron todos los incrementos o si, por el contrario, el modelo falla y por tanto el análisis no converge. Esta última situación fue usual en la mayoría de los análisis con el modelo HS; el sistema perdía estabilidad al presentar un gran número de puntos de plastificación, especialmente por falla activa.
El programa permite la obtención de los desplazamientos en los nodos, pero las deformaciones y los esfuerzos están limitados a los elementos, y pueden asignarse a los puntos de interpolación que, por defecto, tienen los elementos. Sin embargo, es posible obtener la variación de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos en planos o líneas que se definan dentro del dominio,
3.6.1 Cumplimiento del Criterio de Falla
Una manera de validar que el programa esté modelando el proceso deseado, es verificar que no se esté infringiendo en ninguna parte del dominio el criterio de falla de Mohr-Coulomb; es decir, que el estado del suelo quede sobre la superficie de cedencia. Para este fin, se utilizó una función que permite calcular un factor de seguridad del elemento mediante la relación entre los esfuerzos actuantes respecto a la envolvente de resistencia. En la Figura 3-13 se presenta el resultado de la variación del factor de
61
seguridad ante un proceso de carga lateral, resaltando que la totalidad de los factores de seguridad es superior a 1, por lo cual, se da cumplimiento al criterio de falla Mohr Coulomb.
Figura 3-13: Variación del factor de seguridad en las inmediaciones del pilote (Mohr-Coulomb).
Para ciertos nodos reportados en falla, se validaron las magnitudes de los esfuerzos principales, y se verificó manualmente que el círculo mayor de Mohr en falla fuera tangente a la envolvente de resistencia. El primer punto de validación corresponde al de coordenadas (0, -0,40 -1,50).
En la Figura 3-14 se presentan los círculos de Mohr para la condición inicial, es decir antes de la aplicación de la carga lateral y para la condición de carga lateral aplicada en el último incremento, es decir para la condición de falla.
62
Figura 3-14: Cumplimiento del criterio de falla del suelo en un elemento adelante del pilote – Caso Activo.
De acuerdo con la Figura 3-14 se valida que, una vez aplicado el último incremento de carga, el elemento se encuentra en falla, observando una gran reducción de todos los esfuerzos principales, presentando una falla asociada a una condición activa.
El segundo punto de evaluación del cumplimiento del criterio de falla corresponde al de coordenadas (0, 1,04 -0,50), es decir al frente del pilote.
En la Figura 3-15 se observa que, tras la aplicación del último incremento de carga, el elemento se encuentra en falla bajo un mecanismo que se asemeja a una condición pasiva, donde los esfuerzos principales crecen hasta que el circulo mayor es tangente a la envolvente.
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20 25 30
Esfu
erzo
cor
tant
e
(kPa
)
Esfuerzo normal (kPa)
Shear Envelope
Mayor
Medio
Menor
Mayor inicial
Medio inicial
Menor inicial
63
Figura 3-15: Cumplimiento del criterio de falla del suelo en un elemento al respaldo del pilote – Caso Pasivo.
Con base en las Figura 3-14 y Figura 3-15 se concluye que el programa da cumplimiento al criterio de falla, exponiendo una condición de falla activa y otra pasiva.
3.6.2 Fuerzas Cortantes y Momentos flectores
Parte del proceso de diseño de un pilote cargado lateralmente requiere precisar la variación de las fuerzas cortantes y momentos flectores a lo largo del elemento de su eje axial. En primera medida se analizó el cálculo de las fuerzas directamente sobre el elemento 3D del pilote, las fuerzas cortantes y Momentos flectores se calcularon de acuerdo con las siguientes ecuaciones:
𝑆 𝜏 𝐴 (3.37)
𝑀𝜎 𝐼𝑌
(3.38)
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Esfu
erzo
cor
tant
e
(kPa
)
Esfuerzo normal (kPa)
Shear Envelope
Mayor
Medio
Menor
Mayor inicial
Medio inicial
Menor inicial
64
Donde 𝑆 y M son la fuerza cortante y momento flector en una sección transversal del pilote ubicada a una determinada profundidad bajo la superficie del terreno, 𝜏 es el
esfuerzo cortante en el j-enésimo elemento del área transversal, 𝐴 es el área de ese
elemento y 𝑛 es el número de elementos en la sección transversal del pilote. 𝜎 es el esfuerzo normal en cada elemento, Ycen la distancia del centro geométrico del elemento de área al eje X que pasa por el centro de la sección e 𝐼 es el momento de inercia
respecto al eje neutro de la sección.
Figura 3-16: Esfuerzos cortantes 𝜏 sobre un elemento típico de pilote 3D.
En la Figura 3-16 se presentan los resultados de los esfuerzos cortantes 𝜏 sobre el
pilote, de la figura se identifica la generación de cortantes relevantes en la base del pilote, lo cual difiere de la idealización de Broms para pilotes cortos, véase Figura 1-7.
La integración de los cortantes que actúan sobre las caras superiores de cada uno de los elementos que compone el pilote, se realizó de forma automática a través de la consola de comandos, con la cual es posible recuperar todas las fuerzas aplicadas en las caras de los elementos. A continuación, se presenta el formato de salida de los resultados recuperados. La fuerza cortante se calcula para cada sección transversal y corresponde al termino Fy de la Figura 3-17.
65
Figura 3-17: Sumatoria de fuerzas cortantes 𝜏 sobre una sección transversal de la
malla del pilote 3D.
En el caso de los esfuerzos normales 𝜎 , la fibra de mayor compresión coincide con el borde del elemento estructural, véase la franja azul en la Figura 3-18. La extracción de los resultados se realiza a través de la función diagrama de corte y el momento flector se calcula para cada uno de estos nodos.
66
Figura 3-18: Esfuerzos normales 𝜎 sobre un elemento típico de pilote 3D.
3.6.3 Reacción por unidad de longitud y Módulos de Reacción
El paso final para el procesamiento de los resultados del modelo numérico es el cálculo de las fuerzas horizontales (𝑞) por unidad de longitud que actúan sobre el pilote y los respectivos módulos horizontales de cimentación (𝑘). En la Figura 3-19 se presenta, en forma gráfica, el procedimiento utilizado para evaluar la variación de los módulos de cimentación con la profundidad.
Figura 3-19: Procedimiento para la estimación de fuerzas por unidad de longitud y módulos de reacción a partir de un análisis FEM.
a) b) c) d)
67
La carga por unidad de longitud, evaluada en una capa de elementos del pilote como la presentada en la Figura 3-19a, es igual a la sumatoria de las fuerzas normales en dirección Y que actúan en las caras perimetrales de los elementos de la capa. Como resultado y considerando que los esfuerzos varían en el perímetro de la sección transversal, se tendrá una distribución de fuerzas en la interfaz dada por 𝜎 , la cual,
depende de la profundidad y del nodo analizado, véase la Figura 3-19b.
Analizando por separando los efectos al respaldo y adelante del pilote, se consideran las fuerzas actuantes sobre los nodos en el perímetro, con las cuales se determina la fuerza resultante aplicada sobre el elemento estructural. Integrando los esfuerzos sobre el contorno, se obtiene una fuerza por unidad de longitud al respaldo y adelante del pilote, véase la Figura 3-19c; la integración numérica se realiza a través de la siguiente expresión:
𝑝 𝜎 𝑑𝑙 ≅ 𝜎 𝑙 (3.39)
Donde 𝑙 es la longitud de un segmento de arco entre dos nodos continuos, calculada
como:
𝑙 𝑋 𝑋 𝑌 𝑌 (3.40)
Donde 𝑋 y 𝑌 son las coordenadas de un nodo 𝑘-enésimo del contorno del pilote.
Dado que el problema tiene simetría sobre el plano X, las fuerzas resultantes de la integración se duplican para considerar el pilote completo.
Figura 3-20: Identificación de nodos perimetrales de la zona de interfaz suelo-pilote para los cuales se interpolan los esfuerzos normales 𝜎 .
Por último, cabe destacar que este procedimiento ocurre en un instante de incremento de carga i-enésimo, si la metodología anterior se repite para varios incrementos de carga, es posible construir curvas carga unitaria contra desplazamientos para diferentes
68
profundidades, cuya pendiente representa la variación de los módulos horizontales de cimentación (𝑘), véase la Figura 3-19d.
3.7 Validación de la Metodología
Además de seguir las recomendaciones de diferentes autores para evaluar correctamente la respuesta de pilotes cargados lateralmente, se comparan los resultados obtenidos con los efectos presentados en la tesis “Validation of PLAXIS Embedded Piles For Lateral Loading” (Dao 2011), la cual modela procesos de carga lateral en pilotes de forma simplificada, a través del uso de un elemento 1D conocido en el entorno del programa PLAXIS como “embedded pile”. Este elemento no es más que un elemento tipo viga, pero con la posibilidad de incorporar algunas propiedades de fricción y resistencia en la punta a modo de pilote.
Para esta validación se construye un modelo diferente y adicional al propuesto para el desarrollo de este documento, buscando recrear las condiciones presentadas en la tesis indicada anteriormente, con la finalidad de validar la metodología propuesta para evaluar las fuerzas sobre el pilote y la interfaz suelo-estructura.
El modelo por recrear consiste en una caja de suelo en condición drenada bajo un modelo de Mohr-Coulomb de dimensión 20.0 m en cada uno de los ejes X,Y y Z medidos a partir del origen de coordenadas, este presenta un nivel freático a 1.0 m de profundidad respecto a la superficie del terreno. Sobre el origen de coordenadas, se plantea un pilote en concreto bajo un modelo elástico de diámetro 0.70 m y longitud embebida 10.0 m. Se aplica entonces, una carga lateral de 1000 kN sobre la superficie del pilote. En la Figura 3-21, se presenta una vista 3D del modelo y los parámetros de los materiales se presentan en la Tabla 3-3 y Tabla 3-4.
Figura 3-21: Vista 3D del modelo de validación. (Dao 2011).
69
Tabla 3-3: Parámetros utilizados para el pilote en el modelo de validación
(Dao 2011).
Tabla 3-4: Parámetros utilizados para el suelo en el modelo de validación.
(Dao 2011).
Plaxis 3D por defecto aplica elementos tipo tetraedro de 10 nodos, este mismo tipo de enmallado se implementa para la validación en Midas GTS NX, sin embargo, solo se modela la mitad del modelo para optimización del tiempo de cálculo.
Se destaca algo importante tomado del documento de Dao, y es la incorporación de un elemento de control tipo viga 1D, el cual se conecta al eje del enmallado tridimensional del pilote. Este elemento presentará las mismas propiedades de inercia del elemento estructural, pero no su misma rigidez, en este caso se toma como rigidez un valor 1.00E+06 veces menor a la del concreto del pilote, ya que lo que se pretende es que este elemento se deforme igual que el pilote, pero sin generar ningún tipo de influencia sobre el modelo. Algunos autores lo llaman “gauging element” (Lees 2016), ya que generalmente los programas de elementos finitos permiten el cálculo de fuerzas axiales, cortantes y momentos, pero únicamente en elementos “beam” o “plate”. En la Figura 3-22 se presenta la malla 3D generada para el pilote, donde se puede apreciar la conexión en el eje de este con el elemento de control 1D.
70
Figura 3-22: Malla 3D del pilote con conexión a elemento 1D de control.
A continuación, se presenta el enmallado generado para el modelo de validación:
Figura 3-23: Enmallado para modelo de verificación.
71
El documento de comparación presenta la variación de la curva carga-desplazamiento con la densidad del enmallado preestablecido en Plaxis3D, desde “muy grueso” hasta “muy fino”. Esta gráfica se ajustó para incluir los resultados del presente trabajo, lo cual se muestra en la Figura 3-24.
Figura 3-24: Curva de Carga-Desplazamiento en el cabezal del pilote en modelo de validación. Ajustado de (Dao 2011).
El diagrama de momentos se calculó como se expone en el numeral 3.6.2 de este documento, adicionalmente se incluye la estimación de los diagramas a través del uso del elemento de control 1D, multiplicando el diagrama de momento que genera el programa por el factor sobre el cual se afectó el módulo de elasticidad del concreto, en este caso 1.00E+06; los resultados se presentan en la Figura 3-25.
De acuerdo con los resultados obtenidos, la curva carga-desplazamiento del cabezal del pilote presenta un comportamiento similar al resultado de Dao referente a la malla más fina, con una magnitud total de desplazamiento del cabezal del pilote cercano a 0.21 cm. Respecto a los momentos flectores, aunque se tiene variación en la profundidad del momento máximo, la magnitud es muy similar, cercano a 1925 kN-m. Las leves diferencias se consideran aceptables en tanto los valores máximos son semejantes; así bien se da por terminado el proceso de validación de los modelos desarrollados.
72
Figura 3-25: Distribución del momento flector a lo largo del pilote en modelo de validación. Ajustado de (Dao 2011).
73
4. Resultados Modelación Numérica.
En este capítulo se presentan y discuten los resultados obtenidos en cada uno de los modelos numéricos FEM ejecutados para las condiciones de pilote corto y largo, realizados sobre los modelos constitutivos HS y MC.
Es de destacar que los modelos HS no convergieron hasta el último incremento de carga contemplado durante el predimensionamiento, esto se asocia a problemas de convergencia de la aproximación hiperbólica cerca a la falla y puntos de plastificación por tensión. Véase Tabla 4-1, en donde se presenta el máximo porcentaje de carga aplicado en el cabezal respecto al total (150kN).
Tabla 4-1: Porcentaje de carga aplicada en el cabezal hasta el último incremento posible.
Modelo MC HS Pilote Corto L=2.75m 100% 56% Pilote Largo L=10m 100% 81%
En los siguientes numerales se comparan los resultados de los modelos constitutivos MC y HS hasta el último incremento de carga aplicada en común, 56% para la condición de pilote corto y 81% para el pilote largo. En el numeral 4.1 se presentan los mecanismos de deformación, así como su variación con la carga aplicada en el cabezal. En segundo lugar, en el numeral 4.2, se muestra para algunos incrementos de carga, el comportamiento de los esfuerzos laterales y la variación de la carga del suelo por unidad de longitud a lo largo del pilote. Adicionalmente, en el numeral 4.3 se realiza el análisis de las fuerzas sobre el pilote, presentando los diagramas de fuerza cortante y momento flector obtenidos para el último incremento de carga. Finalmente, en el numeral 4.4, se muestra la variación de los módulos horizontales de cimentación para los diferentes incrementos de carga evaluados.
4.1 Desplazamientos
4.1.1 Pilote Corto
En la Figura 4-1 y Figura 4-2 se observa para el pilote corto la variación de los desplazamientos laterales en la malla de elementos finitos, deformada para el 56% de la carga aplicada en los modelos MC y HS respectivamente.
74
Figura 4-1: Desplazamientos laterales en pilote corto – Modelo MC.
Figura 4-2: Desplazamientos laterales en pilote corto – Modelo HS.
El patrón de desplazamientos en ambos casos consiste en la rotación horaria del pilote, en el caso del modelo MC, se alcanza un desplazamiento en el cabezal de 13mm, es decir, 8mm menos que con el modelo HS, en el cual se obtiene un desplazamiento en el cabezal de 21 mm. Por otra parte, es posible apreciar en el enmallado, un hundimiento al respaldo del pilote, relacionado con la reducción del esfuerzo promedio en dicha zona. Es importante mencionar que este mecanismo coincide con lo supuesto por Broms en la Figura 1-7, en tanto es una suposición válida para un pilote corto sin restricción al giro en su cabezal
Frente Respaldo
Respaldo Frente
75
En la Figura 4-3 se presenta la variación de los desplazamientos laterales en el eje del pilote para diferentes porcentajes de carga aplicada, en donde se observa que el eje de rotación del pilote se encuentra en ambos casos cercano a 2.30m de profundidad.
Figura 4-3: Desplazamientos laterales en pilote corto.
Al comparar la carga y el desplazamiento en el cabezal, se observa que el proceso de deformación del cabezal del pilote se desarrolla de forma no lineal, aproximándose a una curva hiperbólica, véase la Figura 4-4.
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-5 5 15 25
Pro
fun
did
ad (
m)
MC Desplazamiento Lateral (mm)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%56.0%
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-15 -5 5 15 25
Pro
fun
did
ad (
m)
HS Desplazamiento Lateral (mm)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%56.0%
76
Figura 4-4: Relación carga-desplazamiento en el cabezal para pilote corto.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 20 40 60 80 100 120 140
P/ P
ult
(-)
Desplazamiento lateral en el cabezal (mm)
MC HS
77
4.1.2 Pilote Largo
En la Figura 4-5 y Figura 4-6 se observa para el pilote largo la variación de los desplazamientos laterales en la malla de elementos finitos deformada para el 81% de la carga aplicada en el modelo MC y HS respectivamente.
Figura 4-5: Desplazamientos laterales en pilote largo – Modelo MC.
Figura 4-6: Desplazamientos laterales en pilote largo – Modelo HS.
Frente Respaldo
Frente Respaldo
78
El mecanismo de desplazamientos para la condición de pilote largo se asemeja al generado por una viga en voladizo. Como se observa en las figuras anteriores, la deformada de un pilote largo no coincide con el mecanismo tradicional de capacidad portante de Broms, observando adicionalmente que el tramo inferior del pilote presenta un ligero desplazamiento hacia el respaldo.
Por otra parte, se recuerda que el pilote se modela como un elemento elástico, por lo que al menos para este trabajo, no se considera que pueda desarrollarse una rotula plástica una vez el momento flector del pilote alcanza el momento flector de fluencia de la sección.
Figura 4-7: Desplazamientos laterales en pilote largo.
En la Figura 4-7 se presenta para los modelos MC y HS el desarrollo de los desplazamientos en función de la carga aplicada. Aunque el punto de desplazamiento nulo y el mecanismo de deformación en los dos modelos es similar, el modelo MC genera mayores desplazamientos hacia el respaldo en la parte inferior del pilote. Para cualquier profundidad por encima del punto de desplazamiento nulo, el desplazamiento en el cabezal es ligeramente inferior en el modelo MC con respecto al modelo HS.
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0-2 0 2 4 6
Pro
fun
did
ad
(m
)
MC Desplazamiento Lateral (mm)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%60.0% 65.0% 75.0% 80.0%81.0%
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0-2 0 2 4 6
Pro
fun
did
ad
(m
)
HS Desplazamiento Lateral (mm)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%60.0% 65.0% 75.0% 80.0%81.0%
79
Finalmente se destaca que para la condición de pilote largo tanto la deformada como la relación de carga-desplazamiento del cabezal mostrada en la Figura 4-8, se desarrollan de forma no lineal, esta última puede ser aproximada a una relación hiperbólica.
Figura 4-8: Relación carga-desplazamiento en el cabezal para pilote largo.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P/P
ult
Cab
ezal
(-)
Desplazamiento lateral (mm)
MC HS
80
4.2 Esfuerzos
4.2.1 Pilote Corto
En la Figura 4-9 y Figura 4-10 se observa la variación de los esfuerzos laterales (𝜎 ) en la malla de elementos finitos para el 56% de la carga aplicada en el modelo MC y HS, respectivamente.
Figura 4-9: Esfuerzos 𝜎 en pilote corto – Modelo MC.
Figura 4-10: Esfuerzos 𝜎 en pilote corto – Modelo HS.
De acuerdo con las figuras anteriores se evidencia que en las zonas de color rojo se concentran los esfuerzos horizontales más grandes, los cuales se asemejan a un mecanismo de presión pasiva de tierras, en el cual, se incrementan los esfuerzos hasta alcanzar la envolvente de resistencia. De otro modo, las zonas azules en el contorno del
Frente
Frente Respaldo
Respaldo
Pasivo
Pasivo
Activo
Activo
Pasivo
Pasivo
Activo
Activo
81
pilote muestran una reducción de los esfuerzos, aproximándose a una condición de falla activa, en la cual, el esfuerzo principal menor se reduce hasta la falla. Ambos procesos se dan de manera simultánea al frente y al respaldo del pilote en un proceso de carga lateral.
Comparando ambos modelos constitutivos se identifica que la distribución de los esfuerzos desarrollados es similar y solo se tienen cambios apreciables en la magnitud de estos, en donde el modelo HS presenta esfuerzos ligeramente inferiores en la zona pasiva.
En la Figura 4-11 y Figura 4-12 se presentan las trayectorias de esfuerzos en los planos de Cambridge p’-q para puntos localizados sobre la interfaz a diferentes profundidades al frente y al respaldo del pilote.
Figura 4-11: Trayectorias de esfuerzos en plano p’-q para pilote corto – Modelo MC.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Esf
uer
zo c
ort
ante
eq
uiv
ale
nte
q (
kPa)
Esfuerzo normal promedio p' (kPa)
(b) Trayectoria de Esfuerzos al Respaldo del Pilote - MC
Envolvente M-C Z=0.00 Z=0.55
Z=1.10 Z=1.65 Z=2.20
Z=2.75
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Esf
uer
zo c
ort
ante
eq
uiv
alen
te q
(kP
a)
Esfuerzo normal promedio p' (kPa)
(a) Trayectoria de Esfuerzos al Frente del Pilote - MC
Envolvente M-C Z=0.00 Z=0.55
Z=1.10 Z=1.65 Z=2.20
Z=2.75
82
Figura 4-12: Trayectorias de esfuerzos en plano p’-q para pilote corto – Modelo HS.
De acuerdo con las trayectorias de esfuerzos anteriores se observa para ambos modelos, un incremento de los esfuerzos normal promedio y cortante equivalente para el frente del pilote entre 0.00 m < Z < 1.65m. Por el contrario, se obtiene la reducción de los esfuerzos normal promedio y cortante equivalente para las mismas profundidades al respaldo del pilote. Se destaca que en la zona con 1.65m < Z < 2.75m se presenta la descarga-recarga de esfuerzos, especialmente cerca del punto de giro del pilote.
Por último, se comparan los resultados de la integración de los esfuerzos 𝜎 a lo largo del perímetro del pilote, equivalente a la fuerza por unidad de longitud q. En la Figura 4-13, se presentan los resultados al frente del pilote, en la Figura 4-14 se muestra la variación al respaldo de este y en la Figura 4-15 la variación neta de estas fuerzas.
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Esf
uer
zo c
ort
ante
eq
uiv
alen
te q
(kP
a)
Esfuerzo normal promedio p' (kPa)
(a) Trayectoria de Esfuerzos al Frente del Pilote - HS
Envolvente M-C Z=0.00 Z=0.55
Z=1.10 Z=1.65 Z=2.20
Z=2.75
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Esf
uer
zo c
ort
ante
eq
uiv
alen
te q
(kP
a)
Esfuerzo normal promedio p' (kPa)
(b) Trayectoria de Esfuerzos al Respaldo del Pilote - HS
Envolvente M-C Z=0.00 Z=0.55
Z=1.10 Z=1.65 Z=2.20
Z=2.75
83
Figura 4-13: Fuerza por unidad de longitud al frente en pilote corto.
Figura 4-14: Fuerza por unidad de longitud al respaldo en pilote corto.
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-100-80-60-40-200
Pro
fun
did
ad (
m)
q Frente MC (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%56.0%
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-100-80-60-40-200
Pro
fun
did
ad (
m)
q Frente HS (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%56.0%
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-80 -60 -40 -20 0
Pro
fun
did
ad (
m)
q Respaldo MC (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%56.0%
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-80 -60 -40 -20 0
Pro
fun
did
ad (
m)
q Respaldo HS (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%56.0%
84
Figura 4-15: Fuerza neta por unidad de longitud en pilote corto.
Comparando los resultados entre ambos modelos constitutivos, se obtienen esfuerzos de reacción similares en magnitud y distribución con pequeñas variaciones en los máximos relativos. En general, las reacciones son crecientes con los incrementos de carga, sin embargo, cerca al punto de giro se presentan descargas y recargas debido a que este punto se desplaza ligeramente en profundidad.
Si bien las diferencias en la distribución de esfuerzos para ambos modelos constitutivos MC y HS son menores, la diferencia en los desplazamientos obtenidos para cada modelo es relevante, lo que sin duda influirá en el cálculo de los módulos de reacción.
Si se compara la variación de la fuerza neta con la suposición de Broms de una línea con pendiente 3𝐷𝛾𝑘 se tiene la siguiente gráfica para el último incremento de carga
aplicada:
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-100 -50 0 50 100
Pro
fun
did
ad (
m)
q Neto MC (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%56.0%
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-100 -50 0 50 100
Pro
fun
did
ad (
m)
q Neto HS (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%56.0%
85
Figura 4-16: Fuerza neta por unidad de longitud en pilote corto respecto a la falla (Broms).
Se puede apreciar respecto a la figura anterior, que la propuesta de Broms se ajusta adecuadamente a la pendiente inicial de las curvas obtenidas para los modelos MC y HS, sin embargo, no es posible obtener la falla del sistema suelo-pilote en toda la longitud del elemento, al menos para las condiciones específicas modeladas. Si no que, en gran parte se desarrolla un proceso de falla local.
4.2.2 Pilote Largo
En la Figura 4-17 y Figura 4-18 se observa la variación de los esfuerzos laterales (𝜎 ) en la malla de elementos finitos para el 81% de la carga aplicada en el modelo MC y HS, respectivamente.
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-100 0 100 200 300 400
Pro
fun
did
ad (
m)
q Neto (kN/m)
MC HS Broms (Falla)
86
Figura 4-17: Esfuerzos 𝜎 en pilote largo – Modelo MC.
Figura 4-18: Esfuerzos 𝜎 en pilote largo – Modelo HS.
Pasivo
Pasivo
Activo
Activo
87
De acuerdo con las figuras anteriores se evidencia que los principales cambios en los esfuerzos horizontales ocurren en los primeros 6.0 m del pilote, se observa en ambos modelos en la parte frontal, una zona donde los esfuerzos se incrementan, mientras que al respaldo se reducen.
Comparando ambos modelos constitutivos se observa que la distribución de los esfuerzos desarrollados es similar y solo se tienen cambios apreciables en la magnitud de estos, en donde el modelo HS presenta esfuerzos inferiores en la zona pasiva en comparación al modelo MC, al igual que ocurre en la condición de pilote corto.
En la Figura 4-19 y Figura 4-20 se presentan las trayectorias de esfuerzos en los planos de Cambridge p’-q para puntos localizados sobre la interfaz a diferentes profundidades al frente y al respaldo del pilote.
Figura 4-19: Trayectorias de esfuerzos en plano p’-q al frente y al respaldo para pilote largo – Modelo MC.
0
20
40
60
80
100
120
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0 20 40 60 80 100 120
Esf
ue
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co
rtan
te e
qu
ival
ente
q (
kPa)
Esfuerzo normal promedio p' (kPa)
Trayectoria de Esfuerzos al Frente del Pilote - MC
Envolvente M-C
Z=0.00
Z=2.00
Z=4.00
Z=6.00
Z=8.00
Z=10.0
0
20
40
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0 20 40 60 80 100 120
Esf
uer
zo c
ort
ante
eq
uiv
ale
nte
q (
kPa)
Esfuerzo normal promedio p' (kPa)
Trayectoria de Esfuerzos al Respaldo del Pilote - MC
Envolvente M-C
Z=0.00
Z=2.00
Z=4.00
Z=6.00
Z=8.00
Z=10.0
88
Figura 4-20: Trayectorias de esfuerzos en plano p’-q al frente y al respaldo para pilote largo – Modelo HS.
Las trayectorias de esfuerzos anteriores indican que los principales cambios de esfuerzos al frente y respaldo del pilote se generan en los primeros 4.0m de profundidad evidenciando procesos de carga y descarga respectivamente. Se observan algunas trayectorias de descarga-recarga, especialmente en los puntos de mayor profundidad.
Por último, se comparan los resultados de la integración de los esfuerzos 𝜎 a lo largo del perímetro del pilote, equivalente a la fuerza por unidad de longitud q. En la Figura 4-21, se presentan los resultados al frente del pilote, en la Figura 4-22 se muestra la variación el respaldo de este y en la Figura 4-23 la variación neta de estas fuerzas.
0
20
40
60
80
100
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160
0 20 40 60 80 100 120
Esf
uer
zo c
ort
ante
eq
uiv
ale
nte
q (
kPa)
Esfuerzo normal promedio p' (kPa)
Trayectoria de Esfuerzos al Frente del Pilote - HS
Envolvente M-CZ=0.00Z=2.00Z=4.00Z=6.00Z=8.00Z=10.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 20 40 60 80 100 120
Es
fuer
zo c
ort
ante
eq
uiv
alen
te q
(kP
a)
Esfuerzo normal promedio p' (kPa)
Trayectoria de Esfuerzos al Respaldo del Pilote - HS
Envolvente M-CZ=0.00Z=2.00Z=4.00Z=6.00Z=8.00Z=10.0
89
Figura 4-21: Fuerza por unidad de longitud al frente de pilote largo.
Figura 4-22: Fuerza por unidad de longitud al respaldo de pilote largo.
-10
-9
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0-120-100-80-60-40-200
Pro
fun
did
ad (
m)
q Frente MC (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%60.0% 65.0% 70.0% 75.0%80.0% 81.0%
-10
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-1
0-120-100-80-60-40-200
Pro
fun
did
ad (
m)
q Frente HS (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%60.0% 65.0% 70.0% 75.0%80.0% 81.0%
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0-120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Pro
fun
did
ad (
m)
q Respaldo MC (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%60.0% 65.0% 70.0% 75.0%80.0% 81.0%
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-1
0-120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Pro
fun
did
ad (
m)
q Respaldo HS (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%60.0% 65.0% 70.0% 75.0%80.0% 81.0%
90
Figura 4-23: Fuerza neta por unidad de longitud en pilote largo.
En las figuras anteriores se observan diferencias en la distribución de los esfuerzos de reacción generados al frente y al respaldo del pilote, lo que refiere un mayor volumen del suelo que se comprime en el modelo HS respecto al MC. Antes del punto de fuerza nula, se presentan incrementos en los esfuerzos horizontales, mientras que posterior a dicha profundidad se reduce ligeramente la reacción del suelo.
Al igual que en la condición del pilote corto en la Figura 4-24, se compara la variación de la fuerza neta con la suposición de falla de Broms, sin embargo, en esta ocasión no se dibuja por completo la envolvente debido a que se aleja rápidamente de los resultados encontrados.
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-1
0-20 0 20 40 60
Pro
fun
did
ad (
m)
q Neto MC (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%60.0% 65.0% 70.0% 75.0%80.0% 81.0%
-10
-9
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-5
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-3
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-1
0-20 0 20 40 60
Pro
fun
did
ad (
m)
q neto HS (kN/m)
0.0% 5.0% 10.0% 15.0%20.0% 25.0% 30.0% 35.0%40.0% 45.0% 50.0% 55.0%60.0% 65.0% 70.0% 75.0%80.0% 81.0%
91
Figura 4-24: Fuerza Neta por unidad de longitud en pilote largo respecto a la falla (Broms).
En esta condición el mecanismo requiere alcanzar esfuerzos muy grandes para llegar a la falla, dada la longitud del elemento, este es incapaz de movilizar la resistencia estimada por Broms. Se recalca que bajo este mecanismo es probable que, para algún incremento de carga, el momento flector máximo del pilote alcance el momento flector de fluencia, produciéndose una rotula plástica.
4.3 Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores
4.3.1 Pilote Corto
En la Figura 4-25 y Figura 4-26 se comparan los diagramas de fuerza cortante y momento flector para el 56% de la carga aplicada en el modelo MC y HS mediante la metodología tridimensional (Pilote 3D) y simplificada unidimensional (Pilote 1D).
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-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0-40 10 60 110 160
Pro
fun
did
ad
(m
)
q neto HS (kN/m)
Broms MC HS
92
Figura 4-25: Diagramas de fuerza cortante pilote corto.
Figura 4-26: Diagrama de momento flector pilote corto.
-2.75
-2.25
-1.75
-1.25
-0.75
-0.25
-100 -50 0 50 100
Lo
ng
itu
d d
e p
ilo
te (
m)
Fuerza Cortante MC (kN)
Pilote 1D
Pilote 3D
-2.75
-2.25
-1.75
-1.25
-0.75
-0.25
-100 -50 0 50 100
Lo
ng
itu
d d
e p
ilo
te (
m)
Fuerza Cortante HS (kN)
Pilote 1D
Pilote 3D
-2.75
-2.25
-1.75
-1.25
-0.75
-0.25
-80 -60 -40 -20 0
Lo
ng
itu
d d
e p
ilo
te (
m)
Momento Flector MC (kN-m)
Pilote 1D
Pilote 3D
-2.75
-2.25
-1.75
-1.25
-0.75
-0.25
-80 -60 -40 -20 0
Lo
ng
itu
d d
e p
ilo
te (
m)
Momento Flector HS (kN-m)
Pilote 1D
Pilote 3D
93
Respecto a ambos diagramas de cortante se evidencia que existen fuerzas cortantes en la base del pilote, reflejando que debe existir una fuerza de fricción suelo-pilote en la base del elemento. El punto de cortante nulo o momento máximo en ambos casos se encuentra próximo a 1.25m; la variación de los cortantes es muy similar, coincidiendo con la distribución de las fuerzas por unidad de longitud, la cual corresponde a la derivada del diagrama de cortante respecto a la longitud.
Los diagramas de momento flector en ambos casos presentan una distribución y valor máximo muy similares, en ambos modelos constitutivos se encuentra un valor de momento en la base, relacionado a que incluso para la condición de pilote corto, es posible considerar un empotramiento, lo cual suele ignorarse en los modelos de capacidad portante, así como en los análisis simplificados que asumen que el pilote embebido es completamente libre en la base. El momento máximo obtenido es de alrededor de 60kN-m, el cual es inferior al momento de fluencia estimado en el capítulo anterior, 157 kN-m de acuerdo con la Tabla 3-1.
4.3.2 Pilote Largo
En la Figura 4-27 y Figura 4-28 se comparan los diagramas de fuerza cortante y momento flector para el 81% de la carga aplicada en el modelo MC y HS mediante la metodología tridimensional (Pilote 3D) y simplificada unidimensional (Pilote 1D).
Figura 4-27: Diagrama de fuerza cortante pilote largo.
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-9
-8
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-3
-2
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0-100 -50 0 50 100 150
Lo
ng
itu
d d
e p
ilo
te (
m)
Fuerza Cortante HS (kN)
Pilote 1D
Pilote 3D
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0-100 -50 0 50 100 150
Lo
ng
itu
d d
e p
ilo
te (
m)
Fuerza cortante MC (kN)
Pilote 1D
Pilote 3D
94
Figura 4-28: Diagrama de momento flector pilote largo.
En la comparación de las fuerzas cortantes se identifica que, a diferencia de la condición de pilote corto, la fricción en la base del pilote no es tan relevante y el diagrama de corte cierra de forma aproximada.
En los diagramas de momento se resalta que el momento máximo obtenido con el modelo HS es 21% superior al del modelo MC y que el punto de aplicación de este es ligeramente diferente en ambos casos. Así mismo, la magnitud de los momentos máximos en ambos casos es superior al momento flector de fluencia del material, el cual se estimó en 157 kN-m de acuerdo con la Tabla 3-1.
Los resultados obtenidos reflejan que el diseño de un pilote con un modelo constitutivo MC subestimaría la solicitación del momento flector sobre el pilote; adicionalmente se destaca la presencia de un momento flector para ambos modelos constitutivos en la base del pilote, que, aunque es bajo en magnitud, denota algún tipo de empotramiento que usualmente no se considera en los análisis.
4.4 Módulos de Reacción
4.4.1 Pilote Corto
En la Figura 4-29 se compara la distribución de los módulos de reacción horizontal para el 56% de la carga aplicada en los modelos MC y HS a través de la integración en
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0-250 -200 -150 -100 -50 0 50
Lo
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d d
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ilo
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m)
Momento Flector HS (kN-m)
Pilote 1D
Pilote 3D
-10
-9
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0-250 -150 -50 50
Lo
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m)
Momento Flector MC (kN-m)
Pilote 1D
Pilote 3D
95
profundidad de las fuerzas por unidad de longitud y los desplazamientos obtenidos sobre la interfaz suelo-pilote para la condición de pilote corto.
Figura 4-29: Módulos de reacción horizontal pilote corto en el último incremento de carga aplicado (56%).
En la figura anterior se muestra la variación en profundidad de los módulos de reacción horizontal, los cuales se degradan en consecuencia a las trayectorias de esfuerzos, siendo mínimos en el cabezal, donde los elementos están más cerca a la falla y mayores en profundidad. De la gráfica anterior es posible afirmar que no es recomendable simplificar los diseños suponiendo un módulo constante en profundidad, pues los desplazamientos en el cabezal del pilote pueden ser subestimados.
Si bien a partir de ambos modelos constitutivos se obtiene una variación similar del módulo de reacción horizontal, los módulos de reacción obtenidos con el modelo MC son mayores respecto al modelo HS, por lo cual se puede afirmar que, la rigidez del resorte se sobreestima al considerar correlaciones dependientes del módulo de elasticidad 𝐸 .
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-2.5
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-1
-0.5
0-10000 0 10000 20000 30000 40000
Pro
fun
did
ad (
m)
K (kN/m)
MC HS
96
Como parte de los objetivos de este trabajo se presenta a continuación para un pilote corto, la variación del módulo de reacción horizontal en función de la carga aplicada y la profundidad, obtenida mediante el uso de los modelos MC y HS.
Figura 4-30: Variación de los Módulos de reacción horizontal de cimentación en un pilote corto para diferentes cargas aplicadas en el cabezal.
Se puede observar de acuerdo con la figura anterior que los módulos de reacción para los incrementos de carga iniciales, iniciando desde el 5%Pu, son mayores en el modelo HS en comparación al modelo MC, debido principalmente a que el modelo HS que tiene una aproximación hiperbólica a la falla, calcula las deformaciones en los incrementos iniciales con un módulo de elasticidad que se encuentra entre el módulo de elasticidad 𝐸 y el módulo de elasticidad 𝐸 , el cual se reduce progresivamente hasta que los módulos de elasticidad sean inferiores a los calculados con el modelo MC.
La variación en los módulos de reacción horizontal con la profundidad, así como su no linealidad son aspectos que pueden ser incluidos en la formulación de modelos tipo viga apoyados en un sistema de resortes no lineales, en conjunto con un criterio de falla. Para ilustrar lo anterior, a continuación, se presentan las curvas de transferencia de carga
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-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-30000 -10000 10000 30000 50000 70000 90000
Pro
fun
did
ad (
m)
K MC (kN/m)
5.0% 10.0% 15.0% 20.0%
25.0% 30.0% 35.0% 40.0%
55.0% 56.0%
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0-30000 -10000 10000 30000 50000 70000 90000
Pro
fun
did
ad (
m)
K HS (kN/m)
5.0% 10.0% 15.0% 20.0%
25.0% 30.0% 35.0% 40.0%
50.0% 55.0% 56.0%
97
contra el desplazamiento, obtenidas en el modelo HS para diferentes profundidades del pilote corto.
Figura 4-31: Curvas de transferencia de carga - pilote corto en modelo HS.
En estas curvas también se incluye una formulación semi-empírica tradicional para evaluar el módulo de reacción propuesta por Vesic, 1961. Para la condición de pilote corte es evidente que esta propuesta sobrestima el módulo de reacción de subrasante para desplazamientos superiores a 1.00mm, por lo cual, su aplicación debería estar limitada a procesos de muy bajos desplazamientos laterales.
Estas curvas son producto del proceso de interacción suelo-estructura y dependerán en gran medida del modelo constitutivo del material, lo que definirá la pendiente inicial de la curva y la forma en la que el módulo de reacción horizontal de cimentación se degrada. El criterio de falla del material estará asociado a la profundidad del punto; para el ajuste de estas curvas se recomienda el uso de una curva hiperbólica acotada a una fuerza por unidad de longitud en la falla.
Existe interdependencia de los resortes en puntos continuos, lo cual puede afectar los resultados, esto es especialmente importante cerca al punto de giro, pues como se observa en los resultados presentados de la Figura 4-31, aún con reducciones de los esfuerzos horizontales sobre estas zonas, se presentan incrementos en las deformaciones.
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-10 -5 0 5 10 15 20 25
qn
eto
(kN
/m)
Desplazamiento lateral (mm)
0.000 -0.275 -0.550 -0.825 -1.100 -1.375
-1.650 -1.925 -2.200 -2.475 -2.750 Vesic, 1961
98
4.4.2 Pilote Largo
En la Figura 4-32 se compara la distribución de los módulos de reacción horizontal para el 81% de la carga aplicada en los modelos MC y HS a través de la integración en profundidad de las fuerzas por unidad de longitud y los desplazamientos obtenidos sobre la interfaz suelo-pilote para la condición de pilote largo.
Figura 4-32: Módulos de reacción horizontal pilote largo en el último incremento de carga aplicado (81%).
De igual modo que en la condición de pilote corto, los módulos de reacción serán mínimos en el cabezal e irán creciendo con la profundidad en la medida que se aleja de la envolvente de resistencia del material. Se puede apreciar debido a que el pilote moviliza resistencia principalmente en los primeros 4.0m de longitud, que los módulos de reacción estimados con HS son menores a los calculados a partir del modelo MC, en gran medida porque a bajas deformaciones el módulo de elasticidad aplicado por el HS se encuentra entre 𝐸 y 𝐸 , mientras que para el modelo HS será estrictamente 𝐸 .
En la Figura 4-33 se presenta la variación de los módulos de reacción con la carga hasta el incremento del 81%, se resalta que la gráfica se encuentra acotada dado que durante los incrementos se obtuvieron desplazamientos cercanos a 0.0m entre una profundidad
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-5
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-2
-1
0-200,000 -100,000 0 100,000 200,000 300,000
Pro
fun
did
ad (
m)
K (kN/m)
MC HS
99
del pilote de 4.0 a 6.0m, por lo cual, se estiman módulos de reacción muy altos a esta profundidad.
Figura 4-33: Variación de los Módulos de reacción horizontal de cimentación en un pilote largo para diferentes cargas aplicadas en el cabezal.
A continuación, se presentan las curvas de transferencia de carga contra el desplazamiento para diferentes profundidades del pilote largo para el modelo de HS:
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-10
-9
-8
-7
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-4
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0-300000 -200000 -100000 0 100000 200000 300000
Pro
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ad (
m)
K MC (kN/m)
5.0% 10.0% 15.0% 20.0%
25.0% 30.0% 35.0% 40.0%
45.0% 50.0% 55.0% 60.0%
65.0% 70.0% 75.0% 80.0%
81.0%
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0-300,000 -200,000 -100,000 0 100,000 200,000 300,000
Pro
fun
did
ad (
m)
K HS (kN/m)
5.0% 10.0% 15.0% 20.0%
25.0% 30.0% 35.0% 40.0%
45.0% 50.0% 55.0% 60.0%
65.0% 70.0% 75.0% 80.0%
81.0%
100
Figura 4-34: Curvas de transferencia de carga pilote largo en modelo HS.
De igual modo a la condición de pilote corte, las anteriores curvas incluyen una formulación semi-empírica tradicional para evaluar el módulo de reacción propuesta por Vesic, 1961. Para la condición de pilote largo se presenta sobrestimación y subestimación del módulo de reacción de subrasante obtenido mediante esta simplificación, esto según la profundidad a la que se esté analizando. Utilizar esta formulación en superficie, llevara a sobrestimar los valores del módulo de reacción, mientras que utilizar esta expresión en un punto más profundo del pilote, conlleva a subestimar los módulos de reacción.
Sobre la gráfica anterior se puede observar que, en el caso de un pilote largo, las curvas de transferencia de carga no alcanzan a desarrollarse en su totalidad hasta la reacción neta de falla, sin embargo, estas guardan bastante similitud con las profundidades reportadas en el análisis de pilote corto. Por lo cual, podría pensarse que el comportamiento de estas curvas en procesos de carga neta incremental es independiente de la longitud del pilote, pero si sería función del confinamiento del punto analizado y su uso facilitaría su aplicación en todo tipo de geometrías.
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-1 0 1 2 3 4 5 6
qn
eto
(kN
/m)
Desplazamiento lateral (mm)
0.00 -0.50 -1.00 -1.50 -2.00 -2.50-3.00 -3.50 -4.00 -4.50 -5.00 -5.50-6.00 -6.50 -7.00 -7.50 -8.00 -8.50-9.00 -9.50 -10.00 Vesic, 1961
101
5. Conclusiones
Como se presenta a lo largo del desarrollo de este trabajo, el comportamiento esfuerzo-deformación de pilotes cargados lateralmente es altamente complejo, estrictamente para su solución se requiere realizar un proceso de interacción suelo-estructura, que dada la condición geométrica y de carga necesita de un análisis tridimensional de esfuerzos con métodos numéricos poderosos.
El análisis de pilotes individuales de manera tridimensional repercute en altos esfuerzos computacionales, por lo cual, se considera adecuado la utilización de metodologías simplificadas para analizar pilotes o grupos de pilotes mediante modelos reológicos no lineales, los cuales pueden ser calibrados con ensayos a escala o mediante modelaciones numéricas puntuales como las presentadas en este trabajo.
Durante el proceso de modelación en elementos finitos se destaca la ocurrencia de presiones de tierras activas y pasivas para los dos costados del pilote cargado, estas presiones aumentan al incrementar la carga del cabezal, afectando los esfuerzos normales en profundidad y de manera radial.
Debido a que el modelo HS considera una envolvente de resistencia hiperbólica, se presentaron problemas de convergencia en la zona de falla, por tal razón, los análisis no consideran el 100% de la carga aplicada y los resultados se limitan hasta el último porcentaje de carga en el cual el modelo converge. Ya que el propósito de este trabajo es evaluar el comportamiento de un pilote hasta aproximarse a la falla total del sistema, los resultados obtenidos se consideran suficientes.
La respuesta de un pilote corto ante la aplicación de una carga horizontal es la rotación respecto a un punto cercano a la punta del pilote. Por otro lado, en el pilote largo se genera la flexión del pilote en el cabezal, similar al comportamiento de una viga en voladizo con restricción de empotramiento en la base.
Al comparar ambos modelos constitutivos, se identifica que los desplazamientos obtenidos en el cabezal del pilote son mayores en el modelo HS, y es más notorio en el sentido que se desarrolle resistencia lateral como el caso del pilote corto, para el cual varios elementos de suelo alrrededor del pilote se plastifican, reflejando que una metodología tradicional se puede estar subestimando los desplazamiento en el cabezal.
102 Error! Use the Home tab to apply Título 2;Título Segundo nivel to the text that you want to appear here.
El caso contrario, es decir cuando se moviliza poca resistencia lateral del suelo, el modelo HS trabajará con un módulo de elasticidad que varía entre 𝐸 y 𝐸 generando menores deformaciones en la interfaz, lo cual contribuye a que en estas zonas los módulos de reacción calculados con HS sean superiores a los del modelo MC.
Las trayectorias de esfuerzos mostraron procesos de carga en la parte frontal del pilote, así como descargas al respaldo de este, estos cambios de esfuerzos modifican no solo los esfuerzos laterales principales, sino a su vez el esfuerzo principal mayor. Así mismo, a profundidades cercanas al punto de giro se presentan trayectorias de descarga y recarga. Este mismo comportamiento se evidencia al integrar los esfuerzos horizontales sobre el perímetro del pilote.
Al menos para la condición de pilote corto, la propuesta de Broms para la resistencia última del suelo se ajusta adecuadamente a los resultados obtenidos en este trabajo, sin embargo, para que la resistencia ultima se desarrolle por completo, se requiere una falla generalizada del suelo, esto generalmente no ocurre y lo que realmente se desarrolla es un proceso de falla parcial.
Los diagramas de cortante muestran la existencia de fuerzas de fricción en la base de un pilote corto y largo, las cuales son de mayor relevancia en el primero, lo que dista de las suposiciones presentadas por los métodos tradicionales, en los cuales se suponen fuerzas externas para cerrar los diagramas. De otro modo, el diagrama de momentos indica la existencia de un momento en la base del pilote, debido al cual se experimenta cierto grado de empotramiento, efecto que también suele ignorarse en la práctica común. Así mismo al comparar la utilización de los dos modelos constitutivos se llegó a que en ambas condiciones de pilote corte y largo, el momento flector máximo evaluado era superior en el modelo HS, haciendo que se esté subestimando el momento flector con la utilización de un modelo MC o tradicional; esto cobra especial importancia ya que en varios análisis es cuando el momento flector máximo iguala al de fluencia que se separan los mecanismos de pilote corto y largo.
Se recomienda como siguiente paso para el desarrollo de posteriores estudios la aplicación de los resultados de fuerzas por unidad de longitud y desplazamientos en la interfaz para compilar modelos de resortes no lineales que solucionados a través de metodologías como las de Zeevaert permitan obtener la respuesta de pilotes cargados lateralmente independientemente de la longitud y la carga aplicada, así como su aplicación en grupos de pilotes y cargas combinadas como Axial, Cortante y Momento en el cabezal.
103
6. Anexos
A. Figuras De Esquemas Presentados
B. Hoja De Cálculo Para Predimensión De Pilotes
C. Procesamiento De Resultados
104 Error! Use the Home tab to apply Título 2;Título Segundo nivel to the text that you want to appear here.
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