Concepto de Cambio

Desarrollado por Rodrigo Vergara Rojas

roverg@gmail.com

Introduccin

Uno de los aspectos ms destacables de la naturaleza es sucarcter variable.

La Tierra y todos los sistemas biolgicos han experimentado,experimentan y experimentarn cambios.

Resulta inevitable e importante pensar la naturaleza en trminos decambios.

Suposiciones para situaciones simples.

El tiempo es variable y su valor siempre aumenta (la teora de larelatividad analiza el caso de que esta suposicin sea falsa).

En el transcurso del tiempo cualquier cosa puede variar de cualquiermodo.

El tiempo aumenta a una tasa constante para todos los cambios, y enforma independiente de ellos.

Fenmenos Determinsticos y

AleatoriosSi se repite un mismo fenmeno varias

veces bajo las mismas condiciones.

El resultado no siempre ser

el mismo.

Existen patrones consistentes

que se observan al repetirlo

muchas veces.

Para analizarlos

matemticamente se

requiere de la teora de

probabilidades y estadsticas.

El resultado siempre ser

el mismo

Para predecirlo, basta

conocer todos los hechos

relevantes.

Se pueden modelar

usando funciones

matemticas.

Funciones Matemticas en Fsica Si dos cantidades estn relacionadas en tal forma que al dar un

valor a una de ellas, escogida como variable independiente,

existe un modo sistemtico para encontrar el valor

correspondiente de la otra, llamada variable dependiente,

decimos que esta ltima cantidad es una funcin de la variable

independiente.

Una funcin puede ser representada de tres maneras diferentes

Tabla de valores numricos

Ecuacin matemtica

Grfico

Variable independiente

Generalmente el tiempo.

Variable dependiente

Cualquier cantidad

fsica.

Ejemplo: Reproduccin de

microorganismos por simple divisin. Este proceso requiere, en trminos medio, el transcurso de

un determinado intervalo de tiempo, llamado tiempo de

generacin , que es el tiempo que demora la duplicacin delnmero de microorganismos.

t=0

t=

t=2

t=3

t=4

Representacin de funciones

La representacin de este

fenmeno como ecuacin

matemtica es la siguiente:

Donde

N: N de Microorganismos (variable

dependiente)

t: tiempo (variable independiente)

Para = 20 [min], la ecuacinqueda expresada as:

Con t en [min]

Representacin del fenmeno

usando una tabla de valores

Representacin de la funcin usando grficos

t: escala lineal

N: escala lineal

t: escala lineal

N: escala de potencias de 10

t t

Eje de las abcisas, donde va la variable independiente.

Eje de las ordenadas, donde va la variable dependiente.

N N

Concepto de cambio

Cuando nos interesa saber

en cuanto ha variado cierta

cantidad fsica calculamos

diferencias.

Considere una cantidad

fsica F(t), como la

mostrada en la figura.

Se define el cambio F dela funcin entre los

instantes t y t + t como: ( ) ( )tFttFF +=

Concepto de cambio

( ) ( )tFttF >+

Cambio Positivo

0F >

( ) ( )tFttF =+

Cambio Cero o Nulo

0F =

( ) ( )tFttF

Interpolacin Lineal

Se traza la recta que une los puntos entre los cuales est el instante de inters t.

Se dibujan las posiciones de t y F(t) tomando como referencia esa recta.

Se plantea una proporcin directa a partir del grfico.

Se despeja F(t) a partir de la proporcin anterior.

En este grfico se muestra el

procedimiento para obtener,

mediante interpolacin lineal, el

valor de la funcin F en un

instante t entre los instantes

medidos t1 y t2.

Lmites de la interpolacin.

En este grfico se representan con

pequeos crculos los resultados de un

experimento.

Se ha trazado una curva (interpolacin) a

partir de ese conjunto de puntos.

Al repetir posteriormente el experimento

tomando ms datos para la seccin central

de la variable estudiada, se obtienen los

resultados representados por los tringulos

de este otro grfico.

Con los nuevos datos, queda en evidencia

que la interpolacin inicial no era vlida.

Extrapolacin Proceso de hacer predicciones basadas en la extensin de una

curva ms all de los puntos lmites que corresponden a

mediciones.

Se puede hacer cuando el instante buscado es muy cercano al

ltimo dato medido y/o cuando se tiene la certeza de que la

funcin mantendr a futuro la tendencia marcada por los ltimos

datos medidos.

Cuando esta tendencia es lineal, se habla de extrapolacin lineal.

La idea de extrapolacin est implcita en todos los pronsticos

de cotidiana importancia.

Pronsticos en economa, como proyecciones de crecimiento e inflacin.

Pronstico del clima.

Extrapolacin Lineal Se traza la recta que pasa por los dos

ltimos puntos medidos de manera

que quede sobre el instante de

inters t.

Se dibujan las posiciones de t y F(t)

tomando como referencia esa recta.

Se plantea una proporcin directa a

partir del grfico.

Se despeja F(t) a partir de la

proporcin anterior.

En este grfico se muestra el

procedimiento para obtener,

mediante extrapolacin lineal, el valor

de la funcin F en un instante t

posterior al ltimo instante medido t4.

Lmites de la extrapolacin

Las mediciones de cierto experimento estn

representadas por los crculos que se muestran en

el grfico adjunto.

Se ha trazado una curva que pasa entre esos

puntos y luego se ha extrapolado linealmente

(recta segmentada en el grfico).

Predicciones tericas posteriores indicaron que los

resultados experimentales deberan corresponder

a la curva del grfico de la derecha.

Cuando se dieron las condiciones tcnicas para

completar el experimento, se obtuvieron los datos

representados por los tringulos del grfico.

En este caso, la extrapolacin fall.

Cuidados para interpolar y extrapolar

Cuando se trabaja con datos, ya sea obtenidos en

tablas o grficos, es conveniente conocer las

condiciones bajo las cuales fueron obtenidos.

Es necesario usar estos datos con cuidado,

especialmente en los procesos de interpolacin y

extrapolacin.

En particular, hay que cerciorarse de que se cumplen

las condiciones que permitan que la interpolacin o

extrapolacin entreguen resultados razonables.