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Actualidad de la Actualidad de la

teoría de situacionesteoría de situaciones

Guy BrousseauGuy Brousseau

Conferencia dictada en Famaf el 25 de Conferencia dictada en Famaf el 25 de octubre de 2006octubre de 2006

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IntroducciónIntroducción

En esta conferencia, después de evocar En esta conferencia, después de evocar brevemente algunos conceptos, querría:brevemente algunos conceptos, querría:

► En primer lugar, recordarles resultados En primer lugar, recordarles resultados experimentales obtenidos por medio de la experimentales obtenidos por medio de la teoría de las situaciones.teoría de las situaciones.

► Y mostrarles sobre qué problemas Y mostrarles sobre qué problemas actuales esta teoría trata de aportar actuales esta teoría trata de aportar explicaciones útiles.explicaciones útiles.

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1. Una situación didáctica1. Una situación didáctica

¿Qué es la geometría?¿Qué es la geometría?

Un ejemplo de iniciación a la Un ejemplo de iniciación a la actividad matemática actividad matemática

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Ejemplo: problema y situaciónEjemplo: problema y situación

Un problema clásico:Un problema clásico:

““Probar que las mediatrices de los lados de Probar que las mediatrices de los lados de

cualquier triángulo son concurrentes.”cualquier triángulo son concurrentes.”

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Primer estudiantePrimer estudiante : “¡Lo veo! ¿Por qué dar : “¡Lo veo! ¿Por qué dar una prueba?”una prueba?”

Segundo estudianteSegundo estudiante: “Estoy sorprendido… : “Estoy sorprendido… ¿La tercera mediatriz pasa exactamente ¿La tercera mediatriz pasa exactamente por el punto de intersección de las dos por el punto de intersección de las dos primeras?”primeras?”

El segundo estudiante formula una El segundo estudiante formula una pregunta y, espontáneamente, convierte pregunta y, espontáneamente, convierte el problema en una situación interesante.el problema en una situación interesante.

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Pero para sacar lo mejor de esta sorpresa Pero para sacar lo mejor de esta sorpresa es necesario:es necesario:

► que consideren una alternativa…que consideren una alternativa…►… … y que la pregunta interese a todos los y que la pregunta interese a todos los

alumnos de la clase.alumnos de la clase.

Por eso el profesor debe imaginar, Por eso el profesor debe imaginar, producir y conducir una producir y conducir una situación situación matemáticamatemática para los alumnos, para los alumnos,

Y ponerla en escena dentro de una Y ponerla en escena dentro de una situación didácticasituación didáctica que determina su que determina su propio rol.propio rol.

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A

B

C

En su rol de En su rol de profesor, pide a sus profesor, pide a sus alumnos alumnos debutantes que debutantes que tracen las tres tracen las tres mediatrices de un mediatrices de un pequeño triángulo pequeño triángulo ABC muy ABC muy «aplastado».«aplastado».

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A

B

C

A’

B’

C’

Observan un Observan un «co-triángulo». El profesor, «seriamente»,«seriamente», da la denotación a los vértices (A' B' C‘) denotación a los vértices (A' B' C‘) del pequeño triángulo que del pequeño triángulo que "deben" obtener."deben" obtener.

Los alumnos obtienen figuras del tipo:

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A

B

C

C’

A’B’

El profesor lamenta tener co-triángulos demasiado pequeños, y pide disculpas por haber dibujado un caso particular, ¡tan poco conveniente!Pide a los alumnos que busquen un

triángulo ABC cuyo co-triángulo entre en la hoja, ¡pero que sea lo más grande posible !

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AA

BB

CC

Los alumnos piensan que lo pueden hacer cambiando la posición, por ejemplo, de BC

AA

BB

CC

A’B’B’

CC’’

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. Los alumnos se empecinan en la búsqueda . Los alumnos se empecinan en la búsqueda del co-triángulo.del co-triángulo.

. Finalmente, deben emitir la . Finalmente, deben emitir la hipótesishipótesis de que de que los puntos A’, B’, C’ podrían coincidir.los puntos A’, B’, C’ podrían coincidir.

. Tienen la figura, hay que dar la . Tienen la figura, hay que dar la pruebaprueba en en contra de “la evidencia”.contra de “la evidencia”.

. . Más que mirar la figura completa, siguen el Más que mirar la figura completa, siguen el orden de construcción que utilizaron varias orden de construcción que utilizaron varias veces: veces:

- construyen la mediatriz de AB, - construyen la mediatriz de AB,

- la de AC que determina A’ - la de AC que determina A’

- Y se preguntan si BC puede pasar por otra - Y se preguntan si BC puede pasar por otra parte que no sea A’… demostración.parte que no sea A’… demostración.

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. Deben ponerse de acuerdo sobre la . Deben ponerse de acuerdo sobre la definición de la mediatriz, y demostrar definición de la mediatriz, y demostrar para convencerse.para convencerse.

. A veces deben elegir cuáles son los . A veces deben elegir cuáles son los postulados...postulados...

. El profesor explica entonces la diferencia . El profesor explica entonces la diferencia entre "ver" y "demostrar" .entre "ver" y "demostrar" .

La geometría no consiste en describir lo La geometría no consiste en describir lo

que se ve sino en establecer lo que que se ve sino en establecer lo que

«debe» ser visto.«debe» ser visto.

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¡Estudiantes profesores! Por favor, no ¡Estudiantes profesores! Por favor, no deben tratar de reproducir esta situación deben tratar de reproducir esta situación

en clase…en clase…

Deberían: ► dibujar una figura falsa,dibujar una figura falsa,► mostrarse confundidos por haber elegido un caso mostrarse confundidos por haber elegido un caso

particular y disculparse, particular y disculparse, ► decir mentiras y reconocerlo cínicamente, explicar decir mentiras y reconocerlo cínicamente, explicar

fantasías, cambiar de idea…fantasías, cambiar de idea…► pedir a los alumnos que hagan algo imposible… y pedir a los alumnos que hagan algo imposible… y

finalmente proponer una improbable hipótesis de finalmente proponer una improbable hipótesis de tres puntos en uno…tres puntos en uno…

► ¡Y obtener una prueba por contradicción!¡Y obtener una prueba por contradicción!► … … con una clase que a veces no coopera.con una clase que a veces no coopera.

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► Una de las primeras situaciones didácticas Una de las primeras situaciones didácticas sobre la sobre la geometríageometría apunta a definirla en apunta a definirla en relación – en oposición- con el relación – en oposición- con el conocimiento del conocimiento del espacio.espacio.

► Los alumnos tuvieron experiencias que les Los alumnos tuvieron experiencias que les permitieron desarrollar determinados permitieron desarrollar determinados conocimientos del espacio tales como construir conocimientos del espacio tales como construir objetos, figuras, trayectos y prever el resultado objetos, figuras, trayectos y prever el resultado de ciertas acciones o transformaciones, utilizar de ciertas acciones o transformaciones, utilizar un vocabulario apropiado, etc.un vocabulario apropiado, etc.

► Pero ahora la Pero ahora la geometría geometría es el es el estudio de la estudio de la consistencia de esas descripcionesconsistencia de esas descripciones del espacio. del espacio.

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2. Las teorías de las2. Las teorías de las

situacionessituaciones

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► En el dominio de la didáctica, una teoría de las En el dominio de la didáctica, una teoría de las situaciones modeliza las condiciones bajo las cuales situaciones modeliza las condiciones bajo las cuales los seres humanos producen y aprenden los los seres humanos producen y aprenden los "conocimientos" que reconocemos como "conocimientos" que reconocemos como matemáticos.matemáticos.

► Estos modelos pueden ser modelos matemáticos.Estos modelos pueden ser modelos matemáticos.

► Así, toda actividad matemática se desarrolla bajo Así, toda actividad matemática se desarrolla bajo condiciones específicas de un conocimiento preciso.condiciones específicas de un conocimiento preciso.

► Modelizar las condiciones mediante “situaciones” Modelizar las condiciones mediante “situaciones” significa que no son independientes. Forman significa que no son independientes. Forman sistemas.sistemas.

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Introducimos dos grandes categorías de modelos Introducimos dos grandes categorías de modelos de situaciones que se distinguen por su de situaciones que se distinguen por su estructura, por su funcionamiento y, sobretodo, estructura, por su funcionamiento y, sobretodo, por las leyes que las gobiernan. Esencialmente por las leyes que las gobiernan. Esencialmente son:son:

- las - las situaciones matemáticassituaciones matemáticas y y

- las - las situaciones didácticas en matemáticassituaciones didácticas en matemáticas

Hemos visto cómo una situación didáctica puede Hemos visto cómo una situación didáctica puede involucrar una situación matemática.involucrar una situación matemática.

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► Las Las situaciones matemáticassituaciones matemáticas tienen por objeto tienen por objeto representar el representar el mínimo de condiciones necesariasmínimo de condiciones necesarias para «explicar» o justificar la puesta en obra de un para «explicar» o justificar la puesta en obra de un enunciado matemático, por un «agente», o por un enunciado matemático, por un «agente», o por un grupo de agentes... sin grupo de agentes... sin intervención didáctica intervención didáctica exteriorexterior..

► La forma mas básica de situación matemática La forma mas básica de situación matemática usada en la enseñanza desde siglos es el usada en la enseñanza desde siglos es el problemaproblema..

► Creo que ya conocen también diversas situaciones Creo que ya conocen también diversas situaciones matemáticas más completas como la del matemáticas más completas como la del rompecabezas (linealidad) o la de los números rompecabezas (linealidad) o la de los números naturales... naturales...

2020

3. 3. Resultados en TSMResultados en TSM

ResumenResumen

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Proyecto inicial:condiciones límites de una experiencia en pedagogía de las matemáticas

Ingeniería didáctica y observación

Instituto de Investigación en Enseñanza de la Matemática (IREM). Centro para la Observación e Investigación en Enseñanza de la Matemática (COREM)

Teoría de las situaciones

1. Teoría constructivista de las situaciones matemáticas

Conceptos: tipos de situación, de comportamientos y de aprendizajes, obstáculos, diversas funciones de los conocimientos, transposición

didáctica…

Resultados a. es posible…

Determinar las condiciones de estas enseñanzas…

… Y comunicarlasEnseñar las matemáticas con un sentido correcto en la escuela

Pero la cultura didáctica, matemática y epistemológica actual no lo permiten

Resultados

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Corregir las enseñanzas a través del uso abusivo de la evaluación institucional.

El constructivismo radical porquela institucionalización es indispensable.

La progresión regular desde el nivel inicial a la universidad porque los obstáculos requieren retomar lo trabajado.

Resultados b. Por el contrario, es imposible…

Conclusión: Las situaciones constructivistas matemáticas son insuficientes. Su uso didáctico es paradójico.

2. Una teoría de las situaciones didácticas en matemáticas es indispensable

Como lo es el contrato didáctico mismo.

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Aunque tenemos soluciones micro didácticas demostradas y efectivamente aplicables con los medios disponibles, fenómenos socioculturales pueden impedir

su ejecución.

Limitaciones actuales de la teoría de las situaciones didácticas:

La teoría de las situaciones didácticas produjo también numerosos resultados: institucionalización, transposición y des-transposición didáctica, diversos “efectos”, etc.

La teoría de las situaciones matemáticas y la teoría de las situaciones didácticas forman la micro didáctica,micro didáctica, estudio de las estudio de las interacciones entre agentes (o sociedades) uno de los cuales interacciones entre agentes (o sociedades) uno de los cuales quiere, intencionalmente, modificar los conocimientos de los otros quiere, intencionalmente, modificar los conocimientos de los otros cuando estos últimos no experimentan la necesidad de hacerlo.cuando estos últimos no experimentan la necesidad de hacerlo.

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La macro didáctica estudia las relaciones de las La macro didáctica estudia las relaciones de las grandes instituciones humanas con conocimientos grandes instituciones humanas con conocimientos particulares.particulares.

Ejemplos de manifestaciones macro didácticas: la Ejemplos de manifestaciones macro didácticas: la diferencia de actitud entre Francia y los países diferencia de actitud entre Francia y los países anglosajones en relación con la estadística, algunos anglosajones en relación con la estadística, algunos grandes movimientos de reformas en la grandes movimientos de reformas en la enseñanza...enseñanza...

3.3. Macro didácticaMacro didáctica

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Un estudio en macroUn estudio en macro

didáctica didáctica

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En 1979, denuncié por primera vez los peligros con el uso En 1979, denuncié por primera vez los peligros con el uso ingenuo de la evaluación institucional, «ingenuo» en el ingenuo de la evaluación institucional, «ingenuo» en el sentido de «ausencia de una teoría didáctica sólida que sentido de «ausencia de una teoría didáctica sólida que tenga en cuenta el rol de los conocimientos en el tenga en cuenta el rol de los conocimientos en el aprendizaje y en la enseñanza de las matemáticas».aprendizaje y en la enseñanza de las matemáticas».

► Había previsto que las evaluacionesHabía previsto que las evaluaciones subevaluarían a los estudiantes dando la impresión de subevaluarían a los estudiantes dando la impresión de

una disminución de nivel,una disminución de nivel, conducirían a los profesores, en primer lugar a reforzar conducirían a los profesores, en primer lugar a reforzar

los aprendizajes por repetición, y luego a solicitar los aprendizajes por repetición, y luego a solicitar programas menos recargadosprogramas menos recargados

que en siguientes evaluaciones los estudiantes no que en siguientes evaluaciones los estudiantes no mejorarían,mejorarían,

lo que conduciría a un proceso de reiteración y a bajar el lo que conduciría a un proceso de reiteración y a bajar el nivel efectivamente.nivel efectivamente.

► No había previsto el mal uso que los medios de No había previsto el mal uso que los medios de comunicación y los políticos harían de este abuso de la comunicación y los políticos harían de este abuso de la evaluación para manipular la opinión en períodos de evaluación para manipular la opinión en períodos de elecciones.elecciones.

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► La negociación entre la enseñanza y sus La negociación entre la enseñanza y sus mandatarios (autoridades, padres…) trata solo mandatarios (autoridades, padres…) trata solo sobre “saberes”, es decir sobre partes de los textos sobre “saberes”, es decir sobre partes de los textos de referencia, tomados de la disciplina constituida.de referencia, tomados de la disciplina constituida.

► El proyecto de enseñanza es concebido como una El proyecto de enseñanza es concebido como una lista de lista de saberessaberes que se puede «convocar» a través que se puede «convocar» a través de cuestiones aisladas «simples» (fuera de una de cuestiones aisladas «simples» (fuera de una situación).situación).

► La concepción sociocultural de la enseñanza y del La concepción sociocultural de la enseñanza y del aprendizaje aprendizaje considera solamente los saberes.considera solamente los saberes.

¿Cómo se obtienen esas previsiones?

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1. El objeto de enseñanza debe ser estructurado1. El objeto de enseñanza debe ser estructurado

► Enseñar utilizando relaciones entre los saberes es Enseñar utilizando relaciones entre los saberes es más económico que la enseñanza errática de más económico que la enseñanza errática de saberes aislados.saberes aislados.

► Cuanto más estructurados son los saberes, su Cuanto más estructurados son los saberes, su enseñanza parece más económica.enseñanza parece más económica.

► Las relaciones más fuertes, las más estables y las Las relaciones más fuertes, las más estables y las más “reconocidas” son las de constitución más “reconocidas” son las de constitución (definición) y prueba (deducción).(definición) y prueba (deducción).

► Desde el punto de vista de la evaluación, Desde el punto de vista de la evaluación, necesariamente parcial, la estructuración es solo un necesariamente parcial, la estructuración es solo un medio entre otros.medio entre otros.

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2. Se impone la estructuración deductiva2. Se impone la estructuración deductiva

► Pero en el control social del trabajo, el profesor puede Pero en el control social del trabajo, el profesor puede mostrar que la estructuración constitutiva o deductiva mostrar que la estructuración constitutiva o deductiva de los saberes enseñados le permite respetar la de los saberes enseñados le permite respetar la inevitable inevitable Regla de Información Previa SuficienteRegla de Información Previa Suficiente (RIPS)(RIPS)..

► Esta regla dice: «Para ser inteligible, un mensaje debe Esta regla dice: «Para ser inteligible, un mensaje debe utilizar un repertorio de términos y una sintaxis utilizar un repertorio de términos y una sintaxis conocidos por su destinatario.»conocidos por su destinatario.»

Aplicada a la enseñanza: «todo lo que es necesario Aplicada a la enseñanza: «todo lo que es necesario para la adquisición de un conocimiento que se quiere para la adquisición de un conocimiento que se quiere enseñar, debe haber sido enseñar, debe haber sido enseñadoenseñado previamente». previamente».

► La RISPLa RISP conduce así a una conduce así a una presentación deductivapresentación deductiva de  de los saberes matemáticos a enseñar.los saberes matemáticos a enseñar.

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3. La RISP permite una distribución social de las 3. La RISP permite una distribución social de las responsabilidadesresponsabilidades

► El profesor define y presenta el saber a aprender El profesor define y presenta el saber a aprender construyéndoloconstruyéndolo a partir de los saberes anteriores, a partir de los saberes anteriores, enseñados a través de la presentación estándar de enseñados a través de la presentación estándar de las matemáticas.las matemáticas.

► La responsabilidad de los alumnos reside en La responsabilidad de los alumnos reside en aplicaraplicar estos saberes cuando se presente la oportunidad.estos saberes cuando se presente la oportunidad.

4.4. Pero este contrato social ingenuo tiene Pero este contrato social ingenuo tiene numerosas numerosas consecuencias negativasconsecuencias negativas para la organización de la para la organización de la enseñanza, para sus resultados.enseñanza, para sus resultados.

5.5. Sirve de vehículo a Sirve de vehículo a concepciones epistemológicas concepciones epistemológicas falsas falsas y provoca procesos destructores.y provoca procesos destructores.

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► El resultado de una enseñanza es El resultado de una enseñanza es sistemáticamente interpretado como un sistemáticamente interpretado como un fracaso.fracaso.

► El profesor debe recomenzar esta El profesor debe recomenzar esta enseñanza.enseñanza.

► Pero si no recurre al sentido y a los Pero si no recurre al sentido y a los conocimientos, su acción está condenada al conocimientos, su acción está condenada al fracaso en un plazo determinado.fracaso en un plazo determinado.

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Es larga la lista de debilidades, errores y Es larga la lista de debilidades, errores y consecuencias negativas de la concepción RISP consecuencias negativas de la concepción RISP fundada solamente sobre los saberes:fundada solamente sobre los saberes:

1. Los principios «aprender primero, aplicar luego» 1. Los principios «aprender primero, aplicar luego» o «aprender primero, comprender luego» conducen o «aprender primero, comprender luego» conducen a que el sentido y la adaptación a su uso no puedan a que el sentido y la adaptación a su uso no puedan intervenir en el aprendizaje inicial.intervenir en el aprendizaje inicial.

► El aprendizaje y la enseñanza deben entonces El aprendizaje y la enseñanza deben entonces ignorar los procesos efectivos –tanto personales ignorar los procesos efectivos –tanto personales como históricos- del pensamiento y la invención como históricos- del pensamiento y la invención matemática en beneficio de una ficción matemática en beneficio de una ficción epistemológica.epistemológica.

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► Los procesos reales requieren diversas funciones de los Los procesos reales requieren diversas funciones de los saberes.saberes.

► La presentación deductiva de los saberes es la última etapa La presentación deductiva de los saberes es la última etapa del trabajo matemático. La génesis de esta presentación del trabajo matemático. La génesis de esta presentación sigue otras vías. Utiliza funciones del saber, los sigue otras vías. Utiliza funciones del saber, los conocimientosconocimientos, que no pueden ser tratados (evaluados, , que no pueden ser tratados (evaluados, utilizados, enseñados, aprendidos) como utilizados, enseñados, aprendidos) como saberessaberes: esquemas : esquemas de acción, repertorios de comunicación, medios de de acción, repertorios de comunicación, medios de convicción, etc.convicción, etc.

► Los Los conocimientosconocimientos son, por ejemplo, anticipaciones, hipótesis, son, por ejemplo, anticipaciones, hipótesis, tentativas de representación, intuiciones, etc., es decir son tentativas de representación, intuiciones, etc., es decir son instrumentos. No son errores ni verdades, sino medios de instrumentos. No son errores ni verdades, sino medios de manipular y activar los saberes. Lo que importa es su rol en el manipular y activar los saberes. Lo que importa es su rol en el proceso. Si no son aprehendidos, reconocidos por el juego de proceso. Si no son aprehendidos, reconocidos por el juego de los los saberessaberes, desaparecen con el contexto., desaparecen con el contexto.

► Los Los saberessaberes son medios culturales de reconocimiento y de son medios culturales de reconocimiento y de institucionalización de los conocimientos (identificación, institucionalización de los conocimientos (identificación, comunicación, puesta a prueba, referencia, etc.)comunicación, puesta a prueba, referencia, etc.)

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► En realidad la concepción RISP conduce a En realidad la concepción RISP conduce a considerar como fracasos un cierto número de considerar como fracasos un cierto número de hechos que son ineluctables.hechos que son ineluctables.

► Y engendra una serie de correcciones inapropiadas Y engendra una serie de correcciones inapropiadas que desembocan en producir efectivamente que desembocan en producir efectivamente fracasos.fracasos.

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► La taxonomía intenta evaluar otras competencias La taxonomía intenta evaluar otras competencias además de la aplicación de saberes.además de la aplicación de saberes.

► A partir de los trabajos de Bloom, los instrumentos A partir de los trabajos de Bloom, los instrumentos de evaluación se han perfeccionado para intentar de evaluación se han perfeccionado para intentar describir mejor los objetivos de alto nivel.describir mejor los objetivos de alto nivel.

► Pero dichos objetivos son aquéllos para los cuales Pero dichos objetivos son aquéllos para los cuales los resultados son menos previsibles, y entonces los los resultados son menos previsibles, y entonces los instrumentos son peores: las competencias que instrumentos son peores: las competencias que corresponden escapan visiblemente a la RISP.corresponden escapan visiblemente a la RISP.

► La taxonomía no considera ninguno de los procesos La taxonomía no considera ninguno de los procesos de génesis de los saberes.de génesis de los saberes.

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2. La organización deductiva no puede requerir ni el 2. La organización deductiva no puede requerir ni el sentido ni el uso de los saberes, los cuales deben sentido ni el uso de los saberes, los cuales deben ser ser aprendidos sin su significaciónaprendidos sin su significación (primero (primero aprender y luego comprender).aprender y luego comprender).

3. Cada saber presentado debe ser 3. Cada saber presentado debe ser aprendido antesaprendido antes que el siguiente, que debe contribuir a construirlo que el siguiente, que debe contribuir a construirlo (aprender y luego aplicar). En caso de fracaso de (aprender y luego aplicar). En caso de fracaso de una parte de los alumnos, el profesor debe retomar una parte de los alumnos, el profesor debe retomar la misma tentativa la misma tentativa Enseñanza Enseñanza por repeticiónpor repetición (flow chart).(flow chart).

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4. La presentación deductiva tiene un rendimiento 4. La presentación deductiva tiene un rendimiento bastante débil. El sentido se desplaza hacia bastante débil. El sentido se desplaza hacia aplicaciones futuras y tarda en acompañar los aplicaciones futuras y tarda en acompañar los aprendizajes, sobre todo para los alumnos que aprendizajes, sobre todo para los alumnos que necesitan más tiempo. Se necesita entonces más necesitan más tiempo. Se necesita entonces más tiempo para obtener la misma tasa de éxito.tiempo para obtener la misma tasa de éxito.

El profesor, de todas maneras, tiene que pasar a la El profesor, de todas maneras, tiene que pasar a la lección siguiente antes de poder asegurarse que el lección siguiente antes de poder asegurarse que el alumno podrá «aplicar» con solvencia lo que alumno podrá «aplicar» con solvencia lo que aprendió. Debe aceptar cierto riesgo de fracaso aprendió. Debe aceptar cierto riesgo de fracaso (enseñando individualmente) y cierta tasa de fracaso (enseñando individualmente) y cierta tasa de fracaso en la enseñanza colectiva.en la enseñanza colectiva.

5. Cuanto más fuerte es la presión del entorno sobre 5. Cuanto más fuerte es la presión del entorno sobre el profesor, más debe el profesor, más debe mostrarmostrar que aplica que aplica rigurosamente la RISP.rigurosamente la RISP.

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► Sin embargo, el profesor puede tener cierto éxito gracias Sin embargo, el profesor puede tener cierto éxito gracias al funcionamiento oculto de los al funcionamiento oculto de los conocimientosconocimientos..

Los conocimientos nacen de la actividad cognitiva propia Los conocimientos nacen de la actividad cognitiva propia –individual o colectiva- de los alumnos en situaciones –individual o colectiva- de los alumnos en situaciones más abiertas que los ejercicios.más abiertas que los ejercicios.

Están hechos del reconocimiento más o menos preciso Están hechos del reconocimiento más o menos preciso de objetos re-encontrados, de saberes cuya adecuación de objetos re-encontrados, de saberes cuya adecuación es hipotética, de tentativas de modelización, etc.es hipotética, de tentativas de modelización, etc.

Permiten anticipar cierto «sentido» de los saberes Permiten anticipar cierto «sentido» de los saberes presentados para justificarlos y así desviarse de la RISP.presentados para justificarlos y así desviarse de la RISP.

Juegan un rol capital –el mismo- en el pensamiento Juegan un rol capital –el mismo- en el pensamiento matemático «real», tanto en el común como en el matemático «real», tanto en el común como en el original. Su rol es visible en la historia. Surgen en un original. Su rol es visible en la historia. Surgen en un orden que no corresponde para nada al orden de la RISP.orden que no corresponde para nada al orden de la RISP.

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► «Conocimiento» y «saber», en las situaciones, son «Conocimiento» y «saber», en las situaciones, son funciones diferentes que tienen momentáneamente funciones diferentes que tienen momentáneamente los conocimientos (en el sentido usual).los conocimientos (en el sentido usual).

► La TSDM puso en evidencia la necesidad de La TSDM puso en evidencia la necesidad de procesos específicos de institucionalización de los procesos específicos de institucionalización de los conocimientos producidos por las situaciones conocimientos producidos por las situaciones matemáticas para hacerlos saberes.matemáticas para hacerlos saberes.

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► «La evaluación» (el inventario) de los saberes y de «La evaluación» (el inventario) de los saberes y de los conocimientos tiene por finalidad describir los los conocimientos tiene por finalidad describir los conocimientos de los alumnos.conocimientos de los alumnos.

► Los profesores la utilizan para establecer los Los profesores la utilizan para establecer los conocimientos a los cuales pueden referirse para conocimientos a los cuales pueden referirse para organizar su enseñanza y para determinar sus organizar su enseñanza y para determinar sus objetivos.objetivos.

► Los resultados sobre la mejora de los instrumentos Los resultados sobre la mejora de los instrumentos de evaluación son inestables y difíciles de utilizar, de evaluación son inestables y difíciles de utilizar, tanto para prevenir como para tomar decisiones.tanto para prevenir como para tomar decisiones.

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► Por el contrario, la interpretación y el uso Por el contrario, la interpretación y el uso «ingenuo» de la evaluación se desarrolla sin cesar y «ingenuo» de la evaluación se desarrolla sin cesar y penetra en la intimidad de los procesos de penetra en la intimidad de los procesos de aprendizaje.aprendizaje.

Consiste en interpretar directamente los resultados Consiste en interpretar directamente los resultados de las evaluaciones y a inferir decisiones didácticas de las evaluaciones y a inferir decisiones didácticas radicales: lo que resultó poco logrado es retomado radicales: lo que resultó poco logrado es retomado (reforzado, repetido) o abandonado.(reforzado, repetido) o abandonado.

► No es la evaluación lo que se cuestiona, sino su uso No es la evaluación lo que se cuestiona, sino su uso bárbaro que no se basa en algún tipo de análisis, bárbaro que no se basa en algún tipo de análisis, sea o no científico.sea o no científico.

► Los resultados de este uso son previsibles (como la Los resultados de este uso son previsibles (como la metereología empírica de Gengis Khan):metereología empírica de Gengis Khan):

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1. Los objetivos de alto nivel escapan por definición al 1. Los objetivos de alto nivel escapan por definición al tratamiento por repetición.tratamiento por repetición.

► La mayoría de los conocimientos se esfuman en un control La mayoría de los conocimientos se esfuman en un control fuera de contexto.fuera de contexto.

► Contrariamente a los saberes, el rol de los conocimientos no Contrariamente a los saberes, el rol de los conocimientos no es ser «verdaderos» o «falsos», sino ser fecundos es ser «verdaderos» o «falsos», sino ser fecundos alimentando el proceso de desarrollo y control de los saberes alimentando el proceso de desarrollo y control de los saberes en una situación dada. Por ejemplo, tratarlos como saberes, en una situación dada. Por ejemplo, tratarlos como saberes, impide considerarlos.impide considerarlos.

► Las acciones didácticas van a concentrarse sobre objetivos de Las acciones didácticas van a concentrarse sobre objetivos de bajo nivel taxonómico (conocimiento de algoritmos y hechos bajo nivel taxonómico (conocimiento de algoritmos y hechos aislados) por medio de acciones aislados) por medio de acciones artificialesartificiales tanto más penosas tanto más penosas cuando los alumnos ya están en dificultades.cuando los alumnos ya están en dificultades.

2. Al ser ignorado el rol de los conocimientos, todo lo que no 2. Al ser ignorado el rol de los conocimientos, todo lo que no desemboque en un saber exhibido será ignorado, perdido, o desemboque en un saber exhibido será ignorado, perdido, o atestará los repasos y las repeticiones.atestará los repasos y las repeticiones.